Structures et réseaux

RESEAUX CUBIQUESRéseau cubique simpleC'est le réseau construit sur une base orthonormée.

Le réseau réciproque est aussi cubique simple. 

Réseau cubique centréa) Maille-Maille cubique multiple ayant un nœud en son centre.-Maille primitive rhomboédrique en prenant l'origine au centre du cube et trois vecteurs de base pointant vers trois sommets du cube. Ces trois sommets forment un triangle équilatéral ayant des diagonales de faces du cube pour arête. L'angle entre deux vecteurs de cette base est tel que cos =-1/3 donc ≈109°28'. -La multiplicité de la maille cubique est 2.

Cubique centré

Réseau réciproqueLe réseau réciproque est cubique, mais une analyse en termes

de plans réticulaires et d'indices de Miller montre que les nœuds (h,k,l) n'existent que si h+k+l= 2n (un nombre pair).

Considérons le plan d' indices de Miller (1,0,0) le plus proche de l'origine comme pour le réseau cubique simple.

Mais alors les nœuds comme celui au centre de la maille cubique ne sont pas sur un plan réticulaire.

Donc (2,0,0) doit être pris à la place.

Réseau réciproque analytiquement

On exprime les vecteurs de base primitive dans le repère orthonormé, de la base cubique de côté a :

-1/2 1/2 1/2 1/2 -1/2 1/2 1/2 1/2 -1/2

Dans cette base, leur module est √3/2 et ils font entre eux un angle tel que cos =-1/3 (=109°28').

Vaaa 321 Vecteurs réciproques avec V=1/2

212

10

32 aa

110

1a0 1 1

1 0 1

1 1 0

donc

Ces vecteurs de module √2 font des angles de 60°. Ils forment une base primitive de réseau cubique à faces centrées

Cubique à faces centrées

Réseau réciproque du c.f.c

Le réseau réciproque est cubique, mais une analyse en termes de plans réticulaires et d'indices de Miller montre que les nœuds (h,k,l) n'existent que si les trois nombres h k et l ont la même parité. On peut alors voir le réseau réciproque comme un réseau cubique centré de paramètre double de celui du cubique simple. Voir par exemple qu'il n'y a pas de nœuds (1,0,0) mais des nœuds (2,0,0) correspondants à des plans réticulaires deux fois plus proches. Par contre le nœud (1,1,1) existe.

Réseau réciproque analytiquement

On exprime les vecteurs de base primitive dans un repère orthonormé : 0 1/2 1/21/2 0 1/21/2 1/2 0Dans cette base, leur module est √2/2 et ils font un angle =60°.

3

a 1a 2aV

Avec

1 1 1

1 1 1

1 1 1

La base réciproque est

Réseau Hexagonal

Maille définie par une base ayant deux vecteurs de même module faisant un angle de 120° entre eux ; un troisième vecteur de module quelconque est orthogonal aux deux premiers. Elle n'a rien d'hexagonal dans sa forme, mais elle décrit un réseau de symétrie hexagonal.

Réseau réciproque

Il est également hexagonal avec une maille construite sur une base ayant deux vecteurs de même module faisant un angle de 60°.

Notation à quatre indices : (h,k,-(h+k),l) et en ne considérant que les deux premier et le dernier.

STRUCTURES COMPACTES

On désigne ainsi les structures où les atomes pratiquement sphériques se disposent de façon à constituer une structure de volume minimum. Les atomes se comportent comme des sphères dures. Ceci se rencontre surtout pour les métaux.

Empilement de sphères

Structure Hexagonale Compacte

Structure compacte cubique à faces centrées c.f.c.

c.f.c :Centres des sphèresForment un réseau

Hexagonale : ce n’est pas un réseau

Sites tétraédriques et octaédriques

Polyèdre de coordination

Diamant

cfc (0 0 0) (¼ ¼ ¼)

Chlorure de sodium

Chlorure de césium

Cubique simple : Cl (0,0,0) Cs (1/2,1/2,1/2)