Statistiques, deuxième séance

Licence de psychologie

2. Régression linéaire double

Cas de deux facteurs

PlanPlan

1. Un exemple et sa formalisation2. Les conditions d’application3. La procédure4. L’interprétation des résultats5. Exemples supplémentaires

2.1. Un exemple

Psychologie du « travail »

Greeley, ColoradoGreeley, ColoradoYou can smell Greeley,

Colorado, long before you can see it. The smell is hard to forget but not easy to describe, a combination of live animals, manure, and dead animals being rendered into dog food.

Eric Schlosser, Fast Food Nation, Peguin Books, 2002. P 149.

On sent Greeley (Colorado) bien avant de le voir. L’odeur est difficile à oublier, mais pas facile à décrire. Une combinaison d’animaux vivants, de fumier, de cadavres transformés en pâtée pour chiens.

Satisfaction au travail…Satisfaction au travail…

Grâce à un questionnaire détaillé, nous pouvons mesurer la satisfaction au travail d’employés attachés à des entreprises de l’industrie alimentaire. Le résultat du questionnaire, une fois codé, nous donne un score S de satisfaction

Nous aimerions savoir dans quelle mesure cette satisfaction dépend de l’ancienneté A (en années) et des responsabilités R (score) incombant aux employés.

Formalisation de l’exemple

Formalisation de l’exemple

Nous cherchons à déterminer dans quelle mesure la satisfaction dépend des responsabilités et de l’ancienneté

Cela pourrait permettre de prédire la satisfaction des futurs employés

On étudie le lien entre deux facteurs catégoriels quantitatifs X1 et X2, et une variable dépendante, également quantitative, X0

Afin de prédire la VD en fonction des deux VI

Formalisation de l’exemple

Formalisation de l’exemple

Nous voulons un modèle linéaire

Nous voulons généraliser la régression linéaire simple

On cherche :On cherche :

0 0 1 1 2 2X c c X c X

0 1 2S c c R c A

Il faut doncIl faut donc

Pouvoir mesurer l’erreur d’estimationMinimiser cette erreur pour déterminer les

coefficients ci

Déterminer les rôles respectifs des deux facteurs et leur éventuelle interaction dans leur effet sur la variable dépendante

2.2. Conditions d’application

De la régression multiple

Situation statistiqueSituation statistique

Nous disposons dedeux facteurs numériques

Et d’unevariable dépendante numérique

NotationsNotations

Nous noterons la variable X0 et les facteurs X1 et X2.

Nous noterons les coefficients de corrélation simples

0 101

i j

X X

ij X X

r au lieuder

r au lieuder

2.3. Procédure

Méthode, calculs

Coefficients de corrélation simples

Coefficients de corrélation simples

On calcule les coefficients de corrélations simplesQui donnent la matrice des coefficients de corrélation

simples

01 02

10 12

20 21

11

1

r r

R r r

r r

Coefficients de corrélation simples

Coefficients de corrélation simples

On calcule les coefficients de corrélations simplesQui donnent la matrice des coefficients de corrélation

simples

01 02

12

1* 1* * 1

r r

R r

AlphaAlpha

On calcule ensuite les coefficients de régression partiels

01 02 121 2

12

02 01 122 2

12

1

1

r r r

r

r r r

r

Corrélation doubleCorrélation double

Qui donnent le coefficient de corrélation double

0,12 1 01 2 02R r r

Enfin !Enfin !

De là, on tire les coefficients de régression :

02 2

2

01 1

1

0 1 1 2 2

c

c

y c c x c x

0 1 1 2 2Y c c X c X

Interprétation graphiqueInterprétation graphiqueOn cherche le meilleur plan pour représenter le nuage en dimension 3.

C’est illisible, aussi ne représente-t-on pas habituellement le nuage de points. -10

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10

Corrélation partielleCorrélation partielle

Il arrive qu’on ait besoin des coefficients de corrélation partiels

2 2 2 20,12 02 0,12 01

0,1.2 0,2.12 202 01

;1 1

R r R rR R

r r

2.4. Interprétation

Des valeurs obtenues

Premières remarquesPremières remarques

Le coefficient de corrélation double R(0;1,2) est l’équivalent double de |r|, et non de r

Les « alpha » mesurent le caractère plus ou moins important des facteurs sur la VD

Les c renseignent sur le sens des liens entre facteurs et VD. Ils sont de même signe que les « alpha » correspondant. Il s’agit du sens du lien dans le modèle incorporant les deux facteurs!

Corrélation simple et partielle

Corrélation simple et partielle

r(0,1) mesure le lien qui existe, de fait, entre X1 et X0

Entre « glace » et « lunette », le coefficient est élevé

R(0,1.2) mesure le lien qui existerait entre X1 et X0 si X2 n’intervenait pas

Entre « glace » et « lunette », si l’on supprime l’effet du soleil, le coefficient est faible

Causalités possiblesCausalités possiblesX(0) et X(1) sont liés

Causalitédirecte

0-1

Causalitédirecte

1-0

Causalitédouble2-0; 2-1

« AucuneCausalité »

SalaireSatisfaction

Maladie defoie

Alcool

GlaceLunettes

Note,Évolution

Alpha et cAlpha et c

Alors que les « alpha » mesurent le caractère plus ou moins prédictif des facteurs

Les « c » mesurent le caractère plus ou moins discriminant des facteurs

Est discriminant un facteur tel qu’une petite variation entraîne une grande variation de la VD

Est prédictif un facteur dont la connaissance renseigne efficacement sur celle de la VD

Discriminant vs prédictifDiscriminant vs prédictif

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Discriminant vs prédictifDiscriminant vs prédictif

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Discriminant vs prédictifDiscriminant vs prédictif

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Discriminant vs prédictifDiscriminant vs prédictif

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

2.5. Exemple pratique

De la régression linéaire double

Retour à l’abattoir

SituationSituation

Nous disposions d’un échantillon d’employés, appartenant à la population des employés travaillant dans les abattoirs.

Nous avions relevé sur cet échantillon les trois variables numériques suivantes :

1) La satisfaction au travail S (VD)2) L’ancienneté A (en années, VI)3) Les responsabilités R (score, VI)

Données prétraitéesDonnées prétraitées

La matrice des corrélations simples est, en posant VI(1)=A :

1 .23 .671 .57

1

Écarts types et moyennesÉcarts types et moyennes

0

1

2

1.5

2.3

0.9

0m

Coefficients simplesCoefficients simples

L’ancienneté est liée aux responsabilitésLa satisfaction est liée aux responsabilitésLa satisfaction est peu liée linéairement à

l’anciennetéTous les liens sont positifs

1 .23 .671 .57

1

AlphaAlpha

On calcule à partir des coefficients de corrélation simple :

01 02 121 2

12

02 01 122 2

12

.231

.801

r r r

r

r r r

r

1 .23 .671 .57

1

InterprétationInterprétationOn voit également que les responsabilités sont

plus prédictives de la satisfaction (le alpha correspondant étant plus grand en valeur absolue).

On voit que le premier facteur est lié négativement, dans l’équation de régression, à la VD. Ainsi, le modèle prévoit que la satisfaction diminue avec l’ancienneté, à responsabilités égales. (pourtant le r est positif).

MystèreMystèreLa satisfaction est liée négativement à l’ancienneté (c1)La satisfaction est liée positivement à l’ancienneté (r(01))On peut concevoir les choses comme suit :

L’ancienneté à un effet négatif (1 an: -1)Les responsabilités ont un effet positif (1 point: +2)L’ancienneté est les responsabilités sont liées: (1 an: +1)Dans ce cas, bien que l’ancienneté ait un effet négatif, visible

dans le modèle double, le r est positif à cause de RMais il est également évident qu’on a pu oublier un

facteur important…

RR

On en déduit

1 .23 .671 .57

1

0,12 1 01 2 02

.23 .23 .80 .670.70

R r r

InterprétationInterprétation

Le coefficient ne semble pas mauvais. On a donc raison ici d’utiliser (avec prudence toutefois !) le modèle de régression linéaire, qui permet de prévoir la satisfaction.

On peut presque affirmer que la satisfaction dépend de l’ancienneté et des responsabilités

Et enfinEt enfin1 .23 .67

1 .571

02 2

2

01 1

1

0 1 1 2 2 0

1.33

0.15

0

c

c

y c c x c x c

InterprétationInterprétation

On voit donc que la responsabilité est plus discriminante que l’ancienneté.

L’équation de régression ainsi obtenu permet de prédire les valeurs de S connaissant A et T, en remplaçant tout simplement A et T par leur valeurs.

Et enfinEt enfin1 .23 .67

1 .571

ˆ 1.33 0.15S R A

InterprétationInterprétationIl semble donc que l’ancienneté ait un effet plutôt

négatif. Cela provient entre autre (on a déjà donné une explication) sans doute du fait que si l’ancienneté augmente mais pas les responsabilités, cela est considéré comme un déclassement, peu ou prou.

Pour augmenter la satisfaction, il faut sans doute donner plus de responsabilités. Cela n’est pourtant pas sûr : ne donne-t-on pas déjà les responsabilités aux personnes les plus motivées ?

Prudence avec la régression

Quelques pièges à éviter

La régression linéaire double (multiple) dépend grandement du choix des facteurs. (conditions de travail, lieu de travail)

Comme dans le cas simple, corrélation n’est pas causalité

R est une estimation

Il n’y a rien de surprenant à obtenir un lien croissant ou décroissant selon la deuxième VI avec les mêmes données

Du fait que la représentation graphique est illisible, on ne voit pas bien les valeurs aberrantes.