OPTIQUE  II  Section  de  Physique  Professeur  :  R.  Houdré  Exercices  :  R.  Therisod  

Série  2  24  septembre  2015  

Cohérence  et  interférence      

1  

Ex  1  :  Ordres  de  grandeur  de  longueur  de  cohérence  pour  différentes  sources    

a) Déterminer   la   longueur   et   le   temps   de   cohérence   d’une   lampe   à   vapeur   de  mercure  de  largeur  spectrale  Δλ1/2  =  10  nm  autour  de  λ0=  546  nm.  Quel  est  l’effet  de  la  pression  de  la  vapeur  de  mercure  sur  le  temps  de  cohérence?  

b) Déterminer   la   longueur   et   le   temps   de   cohérence   d’un   laser   hélium-­‐néon  émettant   une   radiation   dans   le   rouge   à   λ0  =   632.8   nm   et   de   largeur   spectrale  Δν1/2=  1.4GHz.  

   Ex  2  :  Interféromètre  de  Mach-­‐Zehnder  utilisé  comme  additionneur  et  soustracteur      L’interféromètre  de  Mach-­‐Zehnder  est  représenté  sur  la  figure  ci-­‐dessous:  les  miroirs  M1  et  M2  sont  parfaitement  réfléchissants  et  les  lames  A  et  C  sont  semi  réfléchissantes.  On  a  AB=CD=3l/2   et   BC=AD=2l.   L’interféromètre   est   éclairé   par   une   source   ponctuelle,  monochromatique   de   longueur   d’onde   (dans   le   vide)   λ=0.5µm,   située   au   foyer   objet  d’une  lentille  mince  convergente  Lc.  

a) On   place   au  milieu   de   BC   un   diaphragme   D1   de   transmittance   t1(x,y)   et   à   une  distance   l  de  C  sur  CD  un  diaphragme  D2  de  transmittance  t2(x,y).  Montrer  que,  dans  le  plan  situé  à  la  distance  2l  d’une  lentille  L  de  distance  focale  image  f=l,  on  observe  une  répartition  d’intensité  égale  à  t1+t2  si  la  distance  de  C  à  L  est  l.  

b) Quelle  doit  être  l’épaisseur  d’une  lame  à  face  parallèles,  d’indice  1.5,  qu’il  faudrait  placer   normalement   sur   le   trajet   AD,   pour   obtenir   une   répartition   d’intensité  égale  à  t1-­‐t2?  

 

       

Lc  

L  

D2  t2(x,y)  

D1  t1(x,y)  

A1  M1  

M2  A  

B  

D  

C  O   Image  de  S  

S  

Ex  3  :  Séparation  d’un  doublet  atomique    On  considère  une  source  lumineuse  définie  par  une  raie  spectrale  double  symétrique,  i.e.  formée  de  deux  composantes  de  même  intensité  I00  et  de  fréquences  ν1  et  ν2   .  On  note  Δν1/2= ν2-­‐ ν1.la  séparation  entre  les  deux  composantes.  

a) Déterminer   l’intensité   I(τ)   détectée   par   un   interféromètre   de   Michelson   en  fonction   du   temps   de   retard   τ.   On   supposera   ν1   ≈ν2   ≈   ν0.   Tracer   l’allure   de   la  fonction  obtenue.  

b) En   déduire   la   visibilité   V   que   l’on   exprimera   en   fonction   de   τc=Δν1/2-­‐1   et  Lc= λ02/Δλ1/2.  

c) Pour   la  raie  rouge  (λ0=656.3nm)  du  spectre  de   l’atome  d’hydrogène,   le  nombre  d’interfranges   p   contenue   dans   un   lobe   de   I(τ)   vaut   46879.   Déterminer   Δλ1/2.  Cette  méthode  fut  historiquement  utilisée  en  1892  par  Michelson  pour  résoudre  les  deux  raies  rouges  de  l’atome  d’hydrogène.  

 Ex  4  :  Spectre  en  fréquence  d’une  impulsion  amortie  exponentiellement    Soit  E(t)  le  champ  d’une  impulsion  électromagnétique  amortie  exponentiellement:  

€

E(t) = e− t /τ c cos(ω0t) t ≥ 0etE(t) = 0 t < 0

 

avec

€

ω0 >>1/τ c .  

a)  Représenter  E(t)  ainsi  que  son  enveloppe.  

b) Déterminer  le  spectre  S(ω)  d’une  telle  impulsion.  

c) Quelle  quantité  physique  est  mesurée  par  un  spectromètre  (réseau  de  diffraction  ou  prisme  de  verre  dispersif)  ?  

d) Comment  peut-­‐on  mesurer  l’enveloppe  de  E(t)?  

 

Ex.  5  :  Franges  d’interférence  produites  par  la  superposition  de  deux  faisceaux  optiques  indépendants  

Cet   exercice   a   pour   but   de   comprendre   l’expérience   d’interférence   réalisée   par   G.  Magyar   et   L.   Mandel   [Nature,   Vol.198,     p255-­‐256,   (1963)]   avec   deux   sources  indépendantes   (deux  masers)  de   fréquences  ν1   et  ν2   différentes   et  de   forte   cohérence  temporelle.   Le   but   était   d’infirmer   la   phrase   “   l’interférence   entre   deux   photons  différents  n’a   jamais   lieu”  écrite  par  P.A.M.  Dirac  dans  son   livre  “Quantum  Mechanics”,  4ème  édition  (1958).  Un  schéma  très  simplifié  de   l’expérience  est  présenté  sur   la   figure  ci-­‐dessous.   L’émission  de   chaque  maser   consiste   en  une   série  de  pics   aléatoires  d’une  durée   approximative   de   0.5µsec.   Comme   deux   faisceaux   de   lumière   sont  

occasionnellement   émis   en   coïncidence,   la   camera   est   synchronisée   sur   de   telles  coïncidences.  

 

Montage  expérimental   franges  d’interférence  observées  sur  la  caméra  

 

   

Schéma  simplifié   Schéma  classique  de  l’expérience  des  fentes  d’Young  

e)  Pourquoi   s’attend-­‐on   a   priori   à   n’observer   aucune   frange   d’interférence   si   on  enregistre   suffisamment   longtemps   le   signal   sur   le   détecteur,   alors   que  l’expérience   des   fentes   d’Young   avec   une   seule   source   produit   toujours   des  franges  d’interférence?  

f) Déterminer  l’interfrange  x  en  fonction  de  la  longueur  d’onde  λ.  

g) On  représente   les  deux   faisceaux  en  un  point  M  du  détecteur  par  des   fonctions  complexes   analytiques   aléatoires  

€

V1(t − 12 τ)  et  

€

V2(t + 12 τ) ,   où  

€

cτ  représente   la  différence  de  chemin  optique  entre  les  deux  faisceaux.  On  notera  

€

I1(t) = V1(t)2  et  

€

I2(t) = V2(t)2  les  intensités  instantanées.  Déterminer  l’intensité  instantanée  totale  

€

I(t)  en  M.  

h) On  peut  exprimer  

€

V1(t)  et  

€

V2(t)  sous  la  forme:    

€

V1(t) = I1(t) exp[2πiν1t + iϕ1(t)]  

S1  

S2  d  

D  

S0   d  

D  

€

V2(t) = I2(t) exp[2πiν 2t + iϕ2(t)]  

Comment  varient  les  phases  et  les  intensités  sur  un  intervalle  de  temps  inférieur  au  temps  de  cohérence  

€

ξ ?  

i) Réécrire    

€

I(t)  en  utilisant  la  question  précédente  et  en  supposant  

€

τ <<

€

ξ .  

j) Calculer   le   signal  

€

S(t,T)  enregistré   pendant   un   temps   d’observation  

€

T ,   i.e.  

€

S(t,T)T

=1T

I(t')dt't

t+T

∫ .  

k) Déterminer   la   visibilité  

€

V .   Commenter   le   résultat.   Pour   quelle   valeur   de  

€

T  par  rapport  à  

€

1/ν 2 −ν1  les  franges  sont-­‐elles  visibles?  

l) Que  deviennent   les   franges  quand  on   intègre   le   signal   sur  plusieurs   impulsions  différentes  émises  par  les  masers  ?  

     

 Correction  

 Ex  1  :  Ordres  de  grandeur  de  longueur  de  cohérence  pour  différentes  sources    

a)

€

Lc =λ02

Δλ1/ 2≈ 30µm  et  

€

τ c =Lcc

=10−13 s  

Les   lampes   à   forte   pression   ont   une   largeur   spectrale   plus   grande   que   celles   à  faible   pression,   puisque   les   collisions   étant   alors   plus   nombreuses,   τc   est   plus  faible.  

b)

€

τ c =1

Δν1/ 2= 0.7 ×10−9 s  et  

€

Lc = cτ c ≈ 20 cm .  

   Ex  2  :  Interféromètre  de  Mach-­‐Zehnder  utilisé  comme  additionneur  et  soustracteur      

a) Comme   les   trajets   SABC   et   SADC   sont   égaux,   en   l’absence   de   diaphragme,   les  ondes  planes  issues  de  Lc  sont  en  phase  à   la  sortie  en  C.  La   lentille  L  forme  une  image  renversée  de  D1,  de  même  dimension,  puisque  les  distances  de  l’objet  et  de  l’image  au  centre  O  de  L  sont  égales  à  2l.  De  même  pour  le  diaphragme  D2  dont  l’image   se   forme   dans   le   plan   d’observation.   Il   en   résulte   que,   dans   ce   plan,   la  répartition  de  l’intensité  est  proportionnelle  à  t1+t2.  

b) Si  on  interpose  une  lame  sur  le  trajet  AD,  la  différence  de  phase  supplémentaire  introduite  est:    

€

Δφ = 2π (n −1)eλ

 

Pour

€

Δφ = π ,   i.e.  

€

e =λ

2(n −1)=0.5µm,   les   deux   ondes   à   la   sortie   en   C   sont   en  

opposition   de   phase.   Il   en   résulte   que   la   répartition   de   l’intensité   est   alors  proportionnelle  à  t1-­‐t2.  

   Ex  3  :  Séparation  d’un  doublet  atomique    

a) Chaque  composante  donne  sa  propre  distribution  d’intensité:    

€

I(τ) = 2I00 2 + cos(2πν1τ) + cos(2πν 2τ)[ ] = 4I00{1+ cos[π (ν1 −ν 2)τ ]cos[π (ν1 + ν 2)τ ]}  

Comme  ν1  ≈ν2  ≈  ν0,  on  en  déduit,  en  posant  I0=  2I00  

€

I(τ) = 2I0[1+ cos(πΔν1/ 2τ)cos(2πν 0τ)]  

La   fonction  

€

cos(2πν 0τ)  correspond   aux   franges   d’interférence   et   la   fonction  

€

cos(πΔν1/ 2τ)  correspond  à  l’enveloppe  qui  module  ces  franges.  

b)

€

Imax = 2I0 1+ cos π ττ c

$

% &

'

( )

*

+ , ,

-

. / /  et  

€

Imin = 2I0 1− cos πττ c

%

& '

(

) *

+

, - -

.

/ 0 0  

d’où  

€

V = γ(τ ) = cos π ττ c

%

& '

(

) * = cos π

LLc

%

& '

(

) *  

c)

€

Lc = pλ0 =λ02

Δλ1/ 2  d’où  

€

Δλ1/ 2 =λ0p

=14 pm  

   Ex  4  :  Spectre  en  fréquence  d’une  impulsion  amortie  exponentiellement    

a) L’enveloppe  de  E(t)  est  

€

U(t)e−t /τ c .  Avec  U(t)  est   la   fonction  marche:  U(t)=0  pour  t<0  et  U(t)=1  pour  t≥0.  

 

b)

€

TF{E(t)}k = TF{U(t)e− t /τ c}k ⊗ TF{cos(ω0t)}k  On   a   utilisé   le   fait   que   la   TF   d’un  produit   de   deux   fonctions   est   le   produit   de   convolution   des   TF   de   chaque  fonction.    

€

TF{cos(ω0t)}ω = π δ(ω −ω0) + δ(ω +ω0)[ ]    

Ce  terme  détermine  la  position  en  fréquence  du  spectre,  à  savoir  

€

ω0.  

€

TF{U(t)e−t /τ c }ω = e−t /τ c eiωtdt0

∞

∫ = −1

1/τ c − iωe−(1/τ c − iω )t

'

( )

*

+ , 0

∞

=1

1/τ c − iω      

Ce   terme   permet   de   déterminer   la   forme   du   spectre.   En   multipliant   par  

1/ τ c − iω( )  on  peut  réécrire  

€

TF{U(t)e−t /τ c }ω =1/τ c

1/τ c( )2 +ω 2+ i ω

1/τ c( )2 +ω 2  

D’où  le  spectre  S(ω)  (densité  spectrale  de  puissance):  

τc  

0.37  e-­‐t/τ  c  

0  

1  

S(ω)=

€

TF{U(t)e− t /τ c}ω2

=1

1/τ c( )2 +ω 2    

On  reconnaît  une  Lorentzienne.  La  largeur  à  mi-­‐hauteur  ce  calcule  facilement  et  vaut  

€

2 /τ c .  

(Remarque  :  ce  genre  de  calcul  intervient  aussi  quand  on  a  affaire  à  des  pertes  et  à  un  problème  de  cohérence  spatiale.  Le  profil  de  départ  est  le  profil  d’intensité  I(z)=I0e-­‐αz   qui   permet   de   définir   le   coefficient   de   perte   α.   Le   champ   est   alors  E(z)=E0e-­‐(α/2)z.  Il  faut  faire  attention  au  facteur  2.)  

c) On   utilise   soit   un   spectromètre   à   prisme   ou   à   réseau   pour  mesurer   le   spectre  S(ω).  Cela  permet  d’obtenir  le  poids  relatif  de  chaque  composante  du  spectre  de  la   source.   Le   signal   mesuré   est   donc   par   définition   la   densité   spectrale   de  puissance.  

d) L’enveloppe   de   E(t)   n’est   rien   d’autre   que   le   module   du   degré   complexe   de  cohérence   temporelle  

€

γ t (τ ) =U(τ )e−τ /τ c ,   qui   est   égal   à   la   visibilité  obtenue  dans  une  expérience  d’interférence  de  type  spectromètre  par  transformée  de  Fourier.  

   

Ex.  5  :  Franges  d’interférence  produites  par  la  superposition  de  deux  faisceaux  optiques  indépendants  

a) Dans   l’interférence   classique   des   fentes   d’Young   il   y   a   une   relation   de   phase  déterministe  entre  les  fronts  d’ondes  qui  arrivent  sur  chaque  fente.  Si  on  utilise  deux  sources  différentes,  la  phase  est  a  priori  complètement  aléatoire  au  niveau  de  chaque  fente.  

b) x=λD/d  

c)

€

I(t) = V1(t − 12 τ) +V2(t + 1

2 τ )2

= V1(t − 12 τ)

2+ V2(t + 1

2 τ )2

+ 2Re[V1*(t − 1

2 τ )V2(t + 12 τ )]  

€

I(t) = I1(t − 12 τ ) + I2(t + 1

2 τ) + 2Re[V1*(t − 1

2 τ )V2(t + 12 τ )] .  

d) Les  phases  et  les  intensités  peuvent  être  considérées  constantes  sur  un  intervalle  de   temps   inférieur   au   temps   de   cohérence  

€

ξ  par   définition   du   temps   de  cohérence.  

e) A  partir  de    

€

I(t) = I1(t − 12 τ ) + I2(t + 1

2 τ)

+ 2 I1(t − 12 τ )I2(t + 1

2 τ ) Re{exp[2πiν 2(t + 12 τ) − 2πiν1(t − 1

2 τ) +ϕ2(t + 12 τ ) −ϕ1(t − 1

2 τ)]}  

€

I(t) = I1(t − 12 τ ) + I2(t + 1

2 τ)

+ 2 I1(t − 12 τ )I2(t + 1

2 τ ) cos[2π (ν 2 −ν1)t + π (ν 2 + ν1)τ +ϕ2(t + 12 τ ) −ϕ1(t − 1

2 τ)]  

Comme  

€

τ <<

€

ξ ,   on   a  

€

ϕ2(t + 12 τ) =ϕ2(t) ,  

€

ϕ1(t + 12 τ) =ϕ1(t) ,  

€

I2(t + 12 τ) = I2(t)  et  

€

I1(t − 12 τ) = I1(t)  

d’oú:  

€

I(t) = I1(t) + I2(t) + 2 I1(t)I2(t) cos[2π (ν 2 −ν1)t + π (ν 2 + ν1)τ +ϕ2(t) −ϕ1(t)]  

 

f)

€

S(t,T)T

=1T

I1(t ') + I2(t') + 2 I1(t')I2(t') cos[2π (ν 2 −ν1)t'+π (ν 2 + ν1)τ +ϕ2(t') −ϕ1(t ')]( )dt't

t+T

∫  Comme  

€

T<<

€

ξ ,  on  a  

€

ϕ2(t') =ϕ2(t) ,  

€

ϕ1(t') =ϕ1(t) ,  

€

I1(t') = I1(t)  et  

€

I2(t') = I2(t)  

d’oú:  

€

S(t,T)T

=1T(I1(t) ⋅T) +

1T(I2(t) ⋅T)

+2T

I1(t)I2(t)sin[2π (ν 2 −ν1)t'+π (ν 2 + ν1)τ +ϕ2(t) −ϕ1(t)]

2π (ν 2 −ν1)(

) *

+

, - t

t+T  

en  utilisant  l’égalité  

€

sin(a) − sin(b) = 2sin a − b2

#

$ %

&

' ( cos

a + b2

#

$ %

&

' ( on  en  déduit:  

€

S(t,T)T

= I1(t) + I2(t) + 2 I1(t)I2(t)sin(π (ν 2 −ν1)T)π (ν 2 −ν1)T

× cos[2π (ν 2 −ν1)(t + 12T) + π (ν 2 + ν1)τ +ϕ2(t) −ϕ1(t)]

 

g)

€

V =S(t,T)max − S(t,T)min

S(t,T)max + S(t,T)min=4 I1(t)I2(t)2I1(t) + 2I2(t)

sin(π (ν 2 −ν1)T)π (ν 2 −ν1)T

 

€

V =2

I1(t) /I2(t) + I2(t) /I1(t)sin(π (ν 2 −ν1)T)π (ν 2 −ν1)T

 

La   visibilité   est   maximale   quand  

€

I1(t) = I2(t) .   Les   franges   seront   nettement  visibles  quand  

€

T<<

€

1/ν 2 −ν1  .  

h) Puisque  et  

€

ϕ1(t)  et  

€

ϕ2(t)  sont  des  phases  aléatoires,   les  positions  des  maxima  et  des   minima   des   franges   sont   imprédictibles.   Quand   on   intègre   le   signal   sur  plusieurs  impulsions  différentes  les  franges  se  brouillent  très  rapidement.