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Sommaire de la séquence 1

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Je redécouvre ce qu’est une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Je retiens le vocabulaire des droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Je découvre la demi-droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Je découvre le segment . Je différencie droite, demi-droite et segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Je découvre le milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22J’étudie les positions de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28J’étudie la médiatrice et les positions de droites - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32J’étudie les positions de droites - fin - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Je redécouvre le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Séance 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42J’apprends à reporter des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Objectifs Savoir tracer une droite, une demi-droite, un segment et un cercle .

Être capable de tracer des droites parallèles, des droites perpendiculaires .

Savoir déterminer le milieu d’un segment .

Apprendre à utiliser le compas pour reporter des longueurs .

Apprendre à effectuer des démonstrations .

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Séquence 1séance 1 —

Séance 1Je redécouvre ce qu’est une droite

Avant de commencer, lis à voix haute les objectifs de cette séquence : ce sont les compétences que tu vas acquérir tout au long de la première séquence de l’année. Cette séquence comporte dix séances d’environ une heure.

Maintenant, effectue le test ci-dessous. Il te permettra de faire le point sur des connaissances de l’école primaire qui te seront utiles. Prends ton cahier d’exercices à la première page blanche et écris le numéro et le titre de la séquence : « SÉQUENCE 1 : RÈGLE, ÉQUERRE, COMPAS ». Écris ensuite juste en dessous : « JE RÉVISE LES ACQUIS DE L’ÉCOLE ». Tu noteras les réponses aux cinq questions du test. Une fois le test fini, reporte-toi à la partie « corrigés » afin d’étudier ce que l’on attendait de toi ainsi que les remarques, observations et conseils du professeur.

Avant de commencer, je te rappelle qu’une figure, en mathématiques, est ce que tu dessines avec (ou même sans) tes instruments de géométrie (par exemple des droites, des cercles, etc.).

je révise les acquis de l’école 1- La figure ci-dessous représente :

a) une droite

b) une courbe

c) un cercle

d) un segment

�- Quelle figure représente deux droites qui semblent perpendiculaires ?

a) b)

c) d)

�- Quelle figure représente deux droites qui semblent parallèles ?

a) b)

c) d)

�- Pour vérifier que deux droites sont perpendiculaires, j’utilise :

a) un disque

b) un rapporteur

c) une équerre

d) un compas

�- Voici un segment. Le point représenté par le trait rouge représente :

2 cm 2 cm a) la moitié du segment b) le centre du segment

c) le milieu du segment d) une extrémité


Séquence 1 — séance 1

— © Cned, Mathématiques 6e8

Voici maintenant l’activité que tu vas effectuer tout au long de la première séquence : tu auras à compléter progressivement la carte afin d’arriver à trouver l’emplacement d’un trésor.


Exercice 1 La Carte au trésorAutrefois, un pirate redoutable et cruel, mais féru de mathématiques, est venu se réfugier sur une île perdue au milieu de l’océan : l’île de Mathie. Son fabuleux trésor y est caché et personne ne l’a encore découvert malgré la carte que l’on retrouva des siècles plus tard. Sauras-tu le localiser ? À toi de jouer !

Tu compléteras la carte de la page précédente à l’aide des indications du pirate au fur et à mesure que tu avanceras dans la séquence.

Indication du pirate : « Les pistes rouge et bleue se rejoignent. »

Les pistes rouge et bleue, parfaitement rectilignes à l’époque, ont partiellement disparu. Elles représentent deux droites.

• Trace ces deux droites à la règle à l’aide d’un crayon à papier bien taillé. Elles se coupent en un point. Nomme ce point par la lettre K.

Une fois que tu as terminé l’exercice 1, lis son corrigé : pour cela, prends ton livret de corrigés à la page 2.Représenter une figure demande de la précision. Les traits doivent être fins. Pour cela, tu dois avoir du matériel adapté : un crayon à papier bien taillé, une règle en bon état.Avant de poursuivre la recherche du trésor, tu vas devoir approfondir tes connaissances sur les points et les droites.Tu viens de voir qu’un point s’obtenait naturellement comme étant le lieu où se « coupent deux droites », mais un point peut aussi se représenter « tout seul ».

Écris « Exercice 2 » dans ton cahier d’exercices puis effectue-le.

Exercice 21- Place un point A sur ton cahier (indication : un point se représente par une petite croix)

�- Recopie et complète :

Pour tracer une droite, j’utilise .......................................................... .

�- Trace trois droites passant par A. Nomme-les (d),(d’) et (d’’).

Remarques : (d’) se lit « d prime » et (d’’) se lit « d seconde ».

�- Combien peut-on tracer de droites passant par A ?

a) 1 000 b) 1 000 000 c) plus que n’importe quel nombre : une infinité

Tu as terminé l’exercice 2 ? Lis son corrigé dans ton livret de corrigés.

Lis ensuite attentivement le paragraphe ci-dessous :

Un point se représente de trois façons différentes :

le point A est sur une droite

le point A est là où se coupent deux droites

le point A se trouve ici



le point A est quelconque

A AA

je retiens




Remarque : Pourquoi, dans le corrigé de la question 3) de l’exercice 2, le point A qui se trouve à l’endroit où se coupent des droites est-il quand même représenté par une croix ?

Voici ce qu’il faut faire :

- si l’on te demande d’abord de placer un point, tu dois dessiner une croix. Si ensuite tu traces des droites passant par ce point, tu n’effaces pas la croix.

- si l’on te demande de tracer deux droites qui se coupent en un point, tu n’as pas à dessiner de croix : le point se trouve à l’endroit où elles se coupent.

Enfin, pour terminer cette séance, je te propose de réviser tes tables d’addition. Si possible, fais-toi interroger par quelqu’un de ton entourage.

Séance �Je retiens le vocabulaire des droites

Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 3 La Carte au trésor — suite —Le Phare du Vent est représenté par un point que l’on appelle V. • Note la lettre V sur la carte. La droite représentée par la piste rouge passe-t-elle par le

point V ?

Entoure la bonne réponse oUi - NoN

L’Épave de William est représentée par un point que l’on appelle W.

• Marque la lettre W sur la carte. La droite représentée par la piste bleue passe-t-elle par le point W ?


Prends ton cahier de cours à la première page blanche et note en rouge le numéro et le titre de la séquence : « SÉQUENCE 1 : DROITE, RÈGLE, ÉQUERRE ». Recopie le paragraphe ci-dessous sur ton cahier :

LES BASES

Droite :

Une droite est une ligne droite illimitée « des deux côtés ».

on la représente par un trait droit. )(d

on peut la nommer à l’aide d’une lettre écrite entre parenthèses.

Ci-contre, on a par exemple tracé la droite (d).

je retiens




Droite et point :

on a représenté ci-dessous deux droites (Δ) et (Δ’). Le symbole Δ se prononce « delta » , c’est la lettre D écrite en grec.

A

(∆) ∆( )B

‘

La droite (Δ) passe par le point A.

On peut également dire et écrire :« A est un point de la droite (Δ) ».

« Le point A appartient à la droite (Δ) ».

La droite (Δ’) ne passe pas par le point B.

On peut également dire et écrire :« B n’est pas un point de la droite (Δ’) ».

« Le point B n’appartient pas à la droite (Δ’) ».

On écrit : A ∈ (Δ) ↑ symbole mathématique signifiant « appartient à »

On écrit : B ∉ (Δ’) ↑ symbole mathématique signifiant « n’appartient pas à »

Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret:

Exercice 4 La Carte au trésor – suite –• Nomme respectivement (Δ) et (Δ’) les droites rouge et bleue à l’aide de ton crayon à

papier.

« respectivement » signifie que la première droite, (Δ), est celle tracée en rouge et que la seconde droite, (Δ’), est celle tracée en bleu. Retiens bien cet adverbe : il sera souvent employé en mathématiques.

Indication du pirate : « La première piste secrète est rectiligne. Elle passe par l’Arbre Millénaire et l’Ancienne tour Fortifiée » .

• Nomme M le point représentant l’Arbre Millénaire et F celui qui représente l’Ancienne tour Fortifiée. Trace une droite passant par ces deux points M et F.

• Peux-tu tracer une autre droite que la précédente, passant également par M et par F ?


on note cette droite la droite (MF).

Lis attentivement ce qui suit :

Propriété : Par deux points distincts (c’est-à-dire différents) A et B, il ne passe qu’une seule droite. on note cette droite (AB) ou (BA).

A

B

je retiens




Effectue l’exercice 5 directement sur ton livret:

Exercice 5 Voici quatre point E, F, G et H.

1- Trace toutes les droites passant par deux de ces points. E

F

GH�- Nomme ces droites de deux manières différentes :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prends ton cahier d’exercices, note « exercice 6 » et effectue l’exercice suivant :

Exercice 6on considère trois points A , B et C. Combien y a-t-il de droites passant par deux de ces points ?

Effectue ensuite l’exercice 7 directement sur ton livret.

Tu écriras tes réponses au crayon à papier et tu corrigeras (si c’est nécessaire) une fois que tu auras lu le corrigé.

Exercice 7

1- Les points M, o et P semblent-ils alignés ?

�- Les points M, N, Q et R sont-ils alignés ?

P

O

M

Q

N

R

Cherche dans le dictionnaire la signification du mot « définition ». Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

Définition de points alignés :Reconnaître que trois points (ou plus) sont alignés revient à reconnaître que ces points appartiennent à une même droite.

je retiens

— © Cned, Mathématiques 6e1�



Prends ton cahier d’exercices, note « ExERCICE 8 » et effectue l’exercice suivant :

Exercice 8 Place trois points alignés X, Y et Z et trace la droite (XY). La droite (XY) peut se nommer de plusieurs façons. Donne-les toutes.

Effectue ensuite l’exercice 9 directement sur ton livret.

Exercice 91- Place S tel que K, N, S d’une part et L, M, S K

L

M

N

d’autre part soient alignés.

�- Place T tel que K, L, T d’une part et M, N, T d’autre part soient alignés.

Effectue l’exercice10 directement sur ton livret:

Exercice 10 La Carte au trésor – suite–Place le point B tel que : • M, F et B soient alignés

• B ∈ (Δ).

Enfin, pour terminer cette séance, tu vas faire un peu de calcul mental :

Complète chacune des suites de nombres suivantes :

33 36 39 42 .... .... .... .... ....

23 28 38 43 53 58 68 .... .... .... ....

Réponse :

333639424548515457

2328384353586873838898

Séance �Je découvre la demi-droite

Pour commencer cette séance, tu vas continuer la recherche du trésor.

Exercice 11 La Carte au trésor – suite – Indication du pirate : « Pour trouver le trésor, tu vas maintenant devoir marcher. Pars du Dolmen du couchant, tourne-lui le dos, rejoins la Source éternelle et poursuis ton chemin (pendant tout le trajet, marche toujours tout droit). »

Cette indication doit t’amener à tracer une demi-droite.


© Cned, Mathématiques 6e — 1�


• Nomme D le point représentant le Dolmen du couchant et S celui de la Source éternelle.

• Trace la demi-droite nommée [DS). C’est la portion de la droite (DS) qui est limitée au point D, qui passe par S et qui se prolonge au-delà de S.

Tu viens de découvrir la notion de demi-droite. Prends maintenant ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

Demi-droite :

Une demi-droite est une ligne droite limitée « d’un côté » et illimitée « de l’autre ».

Une demi-droite d’origine A est une demi-droite limitée par le point A. on peut la noter [Ax).

Ax

La demi-droite d’origine A passant par le point B se note [AB). AB

je retiens

Remarque : lorsqu’on nomme une demi-droite, on commence par citer son origine.

Dans la notation [AB), le crochet tourné vers A rappelle que la demi-droite est limitée par son origine A et que A est un point de [AB). La parenthèse rappelle que la demi-droite est illimitée du « côté » de B.

Effectue l’exercice d’application suivant directement sur le livret.

Exercice 12

1- AB

on a représenté en bleu la demi-droite d’origine .............. passant par ..............

on la note ..............

�- C

Don a représenté en bleu la demi-droite d’origine ............... passant par ..............

on la note ..............

�-

E

F

G 1ère possibilité : on a représenté en bleu la demi-droite d’origine .............. passant par .............. on la note ..............

�ème possibilité : on a représenté en bleu la demi-droite d’origine .............. passant par .............. on la note ..............

�- H

ITrace la demi-droite d’origine H passant par i. on la note ..............

�- J

KL

J, K et L sont des points alignés.

Trace la demi-droite d’origine L passant par J. on la note .............. ou ..............

Effectue les trois exercices suivants sur le livret. Utilise des crayons de couleur pour tracer les demi-droites.




Exercice 13Les trois points A, B et C sont alignés.

A

BC

a) Trace en bleu la demi-droite d’origine B passant par A.

b) Trace en vert la demi-droite d’origine B passant par C

c) Ces deux demi-droites ont-elles des points en commun ? Si oui, lesquels ? ..............................................................

d) Que représente la partie coloriée en vert ou en bleu ?

........................................................................................

Exercice 14 a) Trace en bleu la demi-droite d’origine K passant par L.

M

K

L

b) Trace en vert la demi-droite [LM).

c) Trace en jaune la demi-droite [MK).

d) Trace en rouge la demi-droite [ML).

e) Que représente la partie coloriée en vert ou en rouge ?

........................................................................................

Le symbole ∈ qui signifie « appartient à », que tu as vu pour un point appartenant à une droite s’utilise également avec les demi-droites et les segments. Il en est de même pour le symbole ∉.

Exercice 15Complète les pointillés par ∈ ou ∉ :

A

B

C

M

r

s t

u

v wN

M .............. [AB)

M .............. [Ar)

M .............. [As)

C .............. [Bt)

C .............. [NB)

C .............. [Cw)

B .............. [CB)

Prends ton cahier d’exercices, note « exercice 16 » et effectue-le.

Exercice 16Trace une demi-droite [Ex). 1- Place un point M tel que : M ∉ [Ex).�- Place un point N tel que : N ∈ [Ex).�- Place un point o qui appartient à la droite (Ex) et qui n’appartient pas à la demi-droite

[Ex).�- Trace la demi-droite [Mt) telle que o appartienne à cette demi-droite.

�- Nomme une demi-droite déjà tracée dont l’origine est le point N et telle que o n’appartienne pas à cette demi-droite.


© Cned, Mathématiques 6e — 1�



Enfin, pour terminer cette séance, voici un peu de calcul mental :

Ajouter 24, c’est ajouter 20 puis 4. Ajouter 36 c’est ajouter 30 puis 6.

Utilise cette méthode pour trouver mentalement les réponses ci-dessous :

123 + 24 = ............. 53 + 36 = ............. 432 + 63 = ............. 215 + 81 = ..............

Réponse :

123 + 24 = 14753 + 36 = 89432 + 63 = 495215 + 81 = 296

Séance � Je découvre le segment.

Je différencie droite, demi-droite et segment.Pour commencer cette séance, tu vas continuer la recherche du trésor.

Exercice 17 La Carte au Trésor – suite – Indication du pirate : « Tu as été trop loin : il faut revenir sur tes pas. Pour poursuivre ta

recherche, tu dois rejoindre le Ravin qui se trouve à la croisée de deux pistes » : • celle sur laquelle tu te trouves

• la piste rectiligne limitée par l’Ours pétrifié et l’Arbre à thé.

• Note o le point représentant l’ours Pétrifié et A celui de l’Arbre à Thé.

• Représente la piste rectiligne partant de o et allant jusqu’au point A. Tu viens de tracer un segment.

On le note [OA] ou [AO] car un segment n’a pas « de sens ».• Le segment [oA] et la demi-droite [DS) se coupent en R, le point recherché qui

représente le Ravin. Marque le point R.

Nous nous rendons alors au point R pour poursuivre notre recherche.

Tu viens de re-découvrir la notion de segment. Recopie sa définition sur ton cahier de cours à la suite de ce qui était écrit précédemment :

Segment :La partie de la droite (AB) comprise entre les points A

B

A et B est appelé le segment d’extrémités A et B. A ∈ [AB] B ∈ [AB] on le note [AB] ou [BA].on mesure la longueur d’un segment avec une règle graduée. on note AB ou BA la longueur du segment [AB].Les phrases suivantes ont la même signification :

« Le segment [AB] mesure 4 cm. »ou « La longueur du segment [AB] est égale à 4 cm. »ou « AB = 4 cm. »

Attention : il ne faut pas confondre [AB] qui désigne un segment et AB qui désigne un nombre (puisque c’est une longueur).Remarque : On utilise deux crochets lorsqu’on nomme un segment afin de rappeler qu’un segment est limité à ses deux extrémités et que les deux extrémités appartiennent au segment.

je retiens




Effectue directement ci-dessous l’exercice d’application suivant :

Exercice 18

1- A B

on a représenté le segment d’extrémités .............. et ............... .

on le note .............. ou ...............

AB = .............. cm.

�- C

D

on a représenté le segment d’extrémités .... et ............... .

on le note .............. ou ..............

.............. = .............. cm.�-

EF on a représenté le segment d’extrémités ....

.............. et ............... .

on le note .............. ou ..............

.............. = .............. cm.

�- G H I Trace en bleu le segment [GH].

GH = .......... cm.

�- J K

LTrace en bleu le segment [KL].

KL = .......... cm.

Effectue l’exercice 19 ci-dessous directement sur le livret.

Exercice 19

Sur cette figure sont représentés : CD

E

• la droite ................................

• la demi-droite .......................

• le segment .............................

Prends maintenant ton cahier d’exercices, note « exercice 20 », et effectue-le.

Exercice 20

Place deux points R et S. Trace en bleu la demi-droite [RS). Trace en vert la demi-droite [SR).

a) Que représente la partie coloriée en bleu ou en vert ?

b) Que représente la partie coloriée à la fois en bleu et en vert ?

Effectue l’exercice 21 suivant directement sur le livret.




Exercice 21

on a représenté quatre points P, Q, R et S.

P

Q

R

S

Trace et nomme tous les segments ayant pour extrémités deux de ces points.

Effectue l’exercice suivant directement sur le livret.

Exercice 22observe la figure ci-contre puis complète en remplaçant

B

A

C

D

F

E

les pointillés par ∈ ou ∉.

E .............[AB] E ............ [AB) E ............ (AB)

F .............[BC] F ............ [BC) F ............ (BC)

D ............[AC] D .......... [AC) D ............ (AC)

A ............[CA]

Prends ton cahier d’exercices, note « exercice 23 » et effectue l’exercice ci-dessous :

Exercice 23Place trois points A, B et C.

1- Trace un point M tel que : M ∉ [AB] et M ∈ [AB).

�- Trace un point N tel que : N ∈ [BC].�- Trace un point P tel que P appartienne à [NB) et P n’appartienne pas à [BN].

�- Trace (MN), [NA] et [PM).

Nous allons maintenant apprendre ensemble à tracer un segment dont on connaît la longueur. Lis attentivement la méthode commentée ci-dessous.

je comprends la méthodeTracer un segment [AB] tel que AB = � cm

1ère étape : On prend une règle graduée et on trace un trait allant de la graduation 0 à la graduation 5.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2ème étape : On trace deux petits « traits » aux extrémités et on note le nom des points : A et B. On peut enfin noter la longueur « au-dessus du segment », soit ici 5 cm ou bien seulement 5 (si l’unité est le centimètre). Tu n’es pas obligé de représenter un segment horizontal : tu peux le tracer où tu veux, et dans n’importe quelle direction.

A B5 cm




Maintenant que tu sais représenter un segment dont on connaît la longueur, entraîne-toi en effectuant l’exercice 24 sur ton cahier d’exercices. N’oublie pas avant de commencer par écrire « ExERCICE 24 ».

Exercice 24a) Trace un segment [EF] tel que EF = 7 cm.

b) Trace un segment [EG] tel que EG = 3 cm.

c) Trace un segment [FH] tel que FH = 4,5 cm

Enfin, pour terminer cette séance, voici un peu de calcul mental :

Ajouter 19, c’est ajouter 20 puis retrancher 1. Ajouter 29, c’est ajouter 30 puis retrancher 1.

Utilise cette méthode pour trouver mentalement les réponses ci-dessous.

64 + 19 = .................. 67 + 29 = .................. 137 + 49 = ................ 248 + 39 = ................

Réponse :

64 + 19 = 8367 + 29 = 96137 + 49 = 186248 + 39 = 287

Séance �Je découvre le milieu d’un segment

Exercice 25 a) Trace un segment [CD] tel que CD = 8 cm.

b) Place sur ce segment le point I tel que CI = 4 cm.

c) Détermine la longueur DI (déterminer veut dire calculer).

d) Que peux-tu dire des longueurs CI et DI ?

Recopie sur ton cahier de cours, à la suite de ce que tu as déjà écrit :

Définition du milieu d’un segment : Le milieu I du segment [AB] est le seul point du segment [AB] tel que IA = IB.

A

BI

Les deux petits traits bleus sur le segment [AI] et sur le segment [IB] signifient que les segments [AI] et [IB] ont la même longueur. On les appelle « un codage ». Ils permettent de visualiser l’égalité de longueur sur la figure. On peut utiliser de nombreux codages différents (deux traits, trois traits, une croix, un petit cercle...) pour signifier que des segments sont de même longueur.

Remarque : cette définition signifie que le milieu d’un segment est l’unique point (c’est-à-dire qu’il n’y en a pas d’autre) qui vérifie à la fois les deux conditions suivantes :• I est un point du segment [AB] (c’est-à-dire « I ∈ [AB] »)• I est à la même distance de A que de B (c’est-à-dire « IA = IB »).

je retiens



Effectue maintenant les exercices d’application ci-dessous sur ton livret.

Exercice 26 1- Place les milieux I, J et K respectifs

FC A

D

B

E

des segments [AB], [CD] et [EF] et code les segments de même longueur.

�- Que peux-tu dire des points I, J et K ?

.....................................................................

.....................................................................

Exercice 27 1- Place les milieux I, J et K respectifs

LM

N

des segments [NL], [MN] et [ML] et code les segments de même longueur.

�- Trace les droites (IM), puis (JL) et enfin (KN).

�- Que remarques-tu ? .............................

...............................................................

...............................................................

Exercice 28 La Carte au trésor – suite – Rappel : Tu te trouves au Ravin représenté par le point R.

Indication du pirate : « Marche maintenant tout droit jusqu’au milieu de la piste rectiligne limitée par le Ravin et la Pyramide de Mathie. »• Nomme P le point représentant la Pyramide de Mathie.

• Trace le segment [RP].

• Place le milieu U du segment [RP]. Pour cela, mesure la longueur de ce segment.

Rejoignons maintenant le point U pour poursuivre notre recherche.

Exercice 29

Dans la figure ci-contre : A

B

C

D

F

E

• AB = BC = CD = DA

• CE = CF

• C ∉ [AF]


— © Cned, Mathématiques 6e�0


© Cned, Mathématiques 6e — �1

1- Code les segments de même longueur.

�- on suppose de plus que C est le milieu de [AE]. Explique pourquoi : CA = CF.

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................�- Pourquoi C n’est-il pas le milieu du segment [AF] ?

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

Exercice 30Dans la figure ci-contre, on a :

B

A

D

E

F

CB ∈ [AC] et F ∈ [AE]. on sait également que CD n’est pas égal à BC.a) B est-il le milieu de [AC] ?

Explique ta réponse.

............................................................................................

............................................................................................b) F est- il le milieu de [AE] ?

Explique ta réponse.

............................................................................................

............................................................................................

Prends ton cahier d’exercices, note « Exercice 31 » et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 311- Trace :

a) un segment [AB] de 5 cm b) le point D tel que B soit le milieu de [AD].

c) le point E de [DB) tel que : DE = 8 cm d) le point F de [BD] tel que : BF = 3 cm

�- Calcule AD, AE, EB.

�- Que représente B pour le segment [EF] ? Justifie ta réponse

Finissons cette séance par un peu de calcul mental :

Complète les cases ci-dessous :

16 77

+5 +14 +29 +13 +39

Réponse :

1621356477

+5+14+29+13+39

116



— © Cned, Mathématiques 6e��

Séance �J’étudie les positions de droites

Effectue l’exercice ci-dessous :

(d1)

(d2)

(d3)(d4)

(d5)

Exercice 32 on a représenté 5 droites.1- Cite deux droites qui semblent ne jamais se

couper ...............................................................

�- Cite deux droites qui se coupent, puis deux autres, puis deux autres. ................................................

�- Cite deux droites qui semblent se couper en formant un angle droit ...................................

Recopie ce qui suit sur ton cahier de cours, à la suite :

LES DROITES

Définition de deux droites sécantes :

on dit que deux droites sont sécantes lorsqu’elles ont un point commun et un seul.

(d')(d)

I

Exemple :Ci-contre, (d) et (d’) sont sécantes.I est le point d’intersection des droites (d) et (d’).I ∈ (d) et I ∈ (d’).On dit également : les droites (d) et (d’) sont sécantes en I.

Définition de deux droites perpendiculaires :Deux droites sécantes qui forment un angle droit sont appelées des droites perpendiculaires.

(d')

(d)

I

Exemple :Pour exprimer qu’une droite est perpendiculaire à une autre, on utilise le symbole « ⊥ ». on écrit : (d) ⊥ (d’) Le symbole ⊥ signifie : « est perpendiculaire à ».Pour coder l’angle droit sur la figure, on représente un petit carré (un seul carré suffit). Remarque : Des droites perpendiculaires sont des droites sécantes particulières

Définition de deux droites parallèles :Deux droites qui ne sont pas sécantes sont appelées des droites parallèles.

(d')(d)

Exemple :Pour exprimer qu’une droite est parallèle à une autre, on utilise le symbole « // ». on écrit : (d) // (d’).Le symbole // signifie : « est parallèle à ».

j e retiens



© Cned, Mathématiques 6e — ��

Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret :

Exercice 33indique, en complétant les pointillés, si les droites « semblent perpendiculaires » ou « ne sont pas perpendiculaires ».

1- Les droites ...............................

perpendiculaires.

�- Les droites ...............................

perpendiculaires.

�- Les droites ...............................

perpendiculaires.

�- Les droites ...............................

perpendiculaires.

Exercice 34indique, en complétant les pointillés, si les droites semblent ou ne sont pas parallèles.

1- Les droites ...............................

parallèles.

�- Les droites ...............................

parallèles.

�- Les droites ...............................

parallèles.

�- Les droites ...............................

parallèles.

Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices suivants :

Exercice 35

1- Trace une droite (d) perpendiculaire à (Δ).

(∆)

Trace une autre droite (d’) perpendiculaire à (Δ). Trace une nouvelle autre droite (d’’) perpendiculaire à (Δ).

�- Combien de droites perpendiculaires à (Δ) peux-tu tracer ? Coche la bonne réponse.

a) Je peux tracer une seule droite perpendiculaire à (Δ).

b) Je peux tracer beaucoup de droites perpendiculaires à (Δ) mais « au bout d’un moment », je ne peux plus.

c) Je peux tracer une infinité de droites perpendiculaires à (Δ).




Exercice 361- Trace une droite perpendiculaire à (d)

(d)

C

K

passant par le point C.

�- Peux-tu tracer une autre droite perpendiculaire à (d) passant par le point C ?

Entoure la bonne réponse : oUi – NoN

�- Trace une droite perpendiculaire à (d) passant par le point K.

�- Peux-tu tracer une autre droite perpendiculaire à (d) passant par le point K ?

Entoure la bonne réponse : oUi – NoN

Lis l’encadré ci-dessous :

Propriété :

Soit une droite (d) et un point A. il existe une seule (d)

A

(d)

A

droite passant par A et perpendiculaire à (d).

j e retiens

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. Tu devras l’appliquer dans les prochains exercices.

je comprends la méthodeTracer la perpendiculaire (d’) à la droite (d) passant par le point A A

(d)

1- on place un côté de l‘angle droit de l’équerre le long de la droite, on fait glisser l’équerre le long de la droite jusqu’à ce que le point A se trouve sur l’autre côté de l’angle droit de l’équerre.

�- on trace la droite passant par A et « longeant » le côté de l’angle droit passant par A.

�- on prolonge le trait à l’aide d’une règle et on code l’angle droit : on place un petit carré à l’intersection des deux droites. on écrit (d’) le nom de la droite.

A

(d)(d)

AA

(d)

(d')

Applique la méthode précédente dans l’exercice qui suit.




Exercice 37Dans les différents cas suivants, construis la droite (Δ) passant par M et perpendiculaire à (d).

M

(d)

M(d)

M

(d) M

(d)

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant :

Exercice 381- Trace : E

F G

• la droite (d1) passant par E et perpendiculaire à (FG)

• la droite (d2) passant par F et perpendiculaire à (EG)

• la droite (d3) passant par G et perpendiculaire à (EF).

�- Que peux-tu dire des droites (d1),(d2) et (d3) ?

Exercice 39 La Carte au trésor – suite – Rappel : Tu es sur la piste reliant le Ravin au point U. Tu te trouves au point P.

Indication du pirate : « Repère la piste perpendiculaire à la tienne et suis-la sur 10 km (tu n’auras pas à nager !). »• Trace la perpendiculaire au segment [RP] passant par le point U. Nomme-la (d).

• Place le point X tel que :

X est sur la droite (d)

X est à 10 km de U

X se trouve sur l’île.

Nous marchons jusqu’au point X. Nous nous rapprochons du trésor ...




Recopie ce qui suit sur ton cahier de cours, à la suite :

Définitions de droites concourantes :

Dire que trois droites ou plus sont concourantes, c’est dire que ces droites ont un point commun et un seul.

Exemple : les droites (d), (d’) et (d’’) sont concourantes en I.

(d')

(d)

(d'')

I. I est le point commun aux droites (d), (d’) et (d’’).

On dit aussi : I est le point de concours des droites (d), (d’) et (d’’).

I ∈ (d) I ∈ (d’) I ∈ (d’’)

j e retiens

Effectue enfin les deux exercices ci-dessous sur ton livret :

Exercice 40 AB

F

G

M

Construis le point K tel que l’on ait à la fois :

• les points F, G et K alignés

• (MK) ⊥ (AB).

Exercice 41observe bien la figure qui suit. Essaie de comprendre la méthode de construction et continue la figure jusqu’à ce qu’un des points entre dans la case « cible ». Tu obtiendras alors une figure appelée : « l’escargot de Pythagore ».




2

cible

point de départ

Indication : la figure doit ressembler à ceci :


Rends-toi à la page des tables à la fin de ce livret. Revois les tables de multiplication par 2, 3 et 4 et fais-toi interroger si tu le peux.




Séance 7J’étudie les positions de droites - suite -

Recopie sur ton cahier de cours et à la suite :

Définition de la médiatrice :La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire

AB

(d)

I

à ce segment en son milieu.

Remarque : cette définition signifie que la médiatrice d’un segment est la seule droite qui

• est perpendiculaire au segment

• le coupe en son milieu. (d) est la médiatrice de [AB] : (d) ⊥ (AB) et I est le milieu de [AB]

j e retiens

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant :

Exercice 42Précise, en justifiant ta réponse, si la droite (d) est la médiatrice du segment [MN] dans les différents cas suivants :

a) M

N

(d) b)

M

N

(d)c)

M

N

(d)

Effectue les exercices suivants directement sur ton livret.

Exercice 43 Trace la médiatrice (d) du segment [GH] et la médiatrice (Δ) du segment [CB].

G

H

CB





Exercice 44

OP

Q1- Trace les médiatrices (d1), (d2) et (d3)

respectives des segments [oP], [PQ] et [Qo].

�- Que peux-tu dire des droites (d1), (d2) et (d3) ?

.......................................................

.......................................................

.......................................................

Remarque : (d1), (d2) et (d3) se lisent « dé un », « dé deux » et « dé trois ».

Exercice 45 (d1)

Trace une droite (d2) perpendiculaire à la droite (d1) puis une droite (d3) perpendiculaire à (d1). Que peut-on dire des droites (d2) et (d3) ? .......................................................

.......................................................

.......................................................

Tu viens de voir que deux droites perpendiculaires toutes les deux à une même troisième droite semblent parallèles. En fait, ce résultat est toujours vrai. À partir de maintenant, on considèrera que ce résultat est toujours vrai : ce résultat s’appelle une propriété.

Recopie sur ton cahier de cours et à la suite la propriété suivante :

Propriété 1 :

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite,

(d2 )

(d3 )

(d1)

alors elles sont parallèles.

Ceci s’écrit également :

Si (d2) ⊥ (d1) et (d3) ⊥ (d1) alors (d2) // (d3)

j e retiens

En mathématiques, on ne peut affirmer un résultat que si on l’a prouvé (on dit démontré). Cette année, tu vas apprendre à démontrer des résultats (c’est-à-dire faire des démonstrations). Pour cela, on ne peut utiliser que ce que l’on sait d’après l’énoncé et le cours.

Ce que l’on sait d’après l’énoncé (et éventuellement une question précédente) s’appelle les données.

Une propriété, comme celle que nous venons de voir précédemment, est un outil important pour faire des démonstrations.



Nous allons commencer par apprendre à faire un plan de démonstration. Etudions ce que nous appelons un plan de démonstration sur un exemple :

je comprends la méthodeEffectuer un plan de démonstration permettant de démontrer que (d’) et (d’’) sont parallèles

(d’)

(d)

(d” ) 1- Voici les données (ce que l’on sait) : (d’) ⊥ (d) et (d’’) ⊥ (d).

�- on sait que : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles » .

�- on rassemble alors ces informations dans le tableau suivant :

on sait que : (d’) ⊥ (d) et (d’’) ⊥ (d)

on applique la propriété : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.»

on déduit que :

(d’) // (d’’)

Remplis les deux plans de démonstration suivants :

Exercice 46a)

on sait que : ............................................................

(d )

(d1)

(∆)

on applique la propriété : ........................................

.................................................................................

.................................................................................

on déduit que : ............................................................

b) on sait que :

............................................................

(d1)

(d2)

(d3) on applique la propriété : ........................................

.................................................................................

.................................................................................

on déduit que : ............................................................




Effectue les trois exercices suivants :

Exercice 47Complète les deux plans de démonstration ci-dessous :

1- on sait que :

(d) ⊥ (Δ) et (Δ’) ⊥ (Δ)


on déduit que : ...................................

�- on sait que :

............ et (d) ⊥ (d’)


on déduit que :

(d) // (Δ)

Exercice 48

1- Démontre que (d1) et (d3) sont parallèles.

J

K

L

(d1)

(d2) (d3)

(d4)

Tu feras un plan de démonstration.

�- Que peux-tu dire des droites (d2) et (d4) ?


Figure à main levée

Exercice 49on considère trois points A, B et C alignés dans cet ordre tels que AB = 4 cm et AC = 7 cm.1- Trace la droite (d) passant par C et perpendiculaire à la droite (AB).

�- Trace la médiatrice (Δ) du segment [AB].

�- Démontre que les droites (Δ) et (AB) sont perpendiculaires.

Tu feras un plan de démonstration.�- Que peux-tu dire des droites (Δ) et (d) ?






Rends-toi à la page des tables à la fin de ce livret. Revois les tables de multiplication par 5, 6 et 7 puis fais-toi interroger si tu le peux.

Séance 8J’étudie les positions de droites - fin -

Effectue l’exercice ci-dessous :

Exercice 50

(d)

A

1- Trace la droite (Δ) perpendiculaire à (d) et passant par A.

�- Comment tracer une droite (d’) parallèle à (d) et passant par A ?

...........

...........

...........

�- Combien selon toi peut-on tracer de droites parallèles à (d) et passant par A ?

...........

...........

...........

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

Propriété :

Soit une droite (d) et un point A. il existe une seule droite (d’)

(d)

(d')

A

passant par A et parallèle à (d). (d’) // (d) A ∈ (d’)

j e retiens




On peut tracer (d’) en traçant la droite représentée dans le « je retiens » en pointillés. Cependant, je te conseille d’apprendre à tracer (d’) sans faire ce tracé intermédiaire. Pour cela, lis attentivement l’encadré suivant :

je comprends la méthode

(d)

ATracer (d’) la parallèle à une droite (d) passant par le point A

1- on place un côté de l‘angle droit de l’équerre le long de la droite, on fait glisser l’équerre le long de la droite jusqu’à ce que le point A se trouve sur l’autre côté de l’angle droit de l’équerre.

�- Ensuite, on place la règle le long du bord de l’équerre qui est perpendiculaire à la droite (d).

(d)

A

(d)

A

�- on fait glisser l’équerre le long de la règle jusqu’à ce que le point A se trouve sur l’autre côté de l’angle droit de l’équerre. on trace la droite passant par A et qui longe ce côté.

44 on nomme (d’) la droite tracée.

(d)

A

(d)

(d')

A

Entraîne-toi en effectuant les exercices ci-après directement sur ton livret.




Exercice 51 Dans chacun des cas suivants trace la parallèle (d’) à la droite (d) passant par A.

a)

(d)A

b)

(d)

A

Exercice 52

Construis le point D tel que (BD) A

B

C

soit perpendiculaire à (AC) et (CD) soit parallèle à (AB).

Exercice 53 La Carte au trésor – suite– Rappel : Tu te trouves au point X.

Indication du pirate : « Repère la piste passant par l’endroit où tu te trouves et qui est parallèle à la piste passant par le Ravin et la Source éternelle »• Trace la parallèle à la droite (RS) passant par le point X. Nomme-la (d’).

Nous marcherons dans cette direction au prochain épisode.

Prends maintenant ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant :

Exercice 54 1- Trace trois droites (d1), (d2) et (d3) telles que : (d1) // (d2) et (d1) ⊥ (d3).

�- Que peux-tu dire des droites (d2) et (d3) ?

Prends ton cahier de synthèse et écris le paragraphe ci-dessous :

Propriété � :

Soient deux droites parallèles. (d1)

(d2)

(d3)

Si une troisième droite est perpendiculaire à l’une de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire à l’autre.

Si (d1) // (d2) et (d3) ⊥ (d1) alors (d3) ⊥ (d2).

j e retiens




Nous allons apprendre à utiliser la propriété précédente pour faire des démonstrations :

je comprends la méthodeEffectuer un plan de démonstration permettant

de démontrer que (d1) et (d2) sont perpendiculaires(d1)

(d2)

(d3)

1- Voici les données (ce que l’on sait) : (d2) // (d3) et (d1) ⊥ (d3). �- on connaît la propriété : « Soient deux droites parallèles. Si une

troisième droite est perpendiculaire à l’une de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire à l’autre ».

�- on rassemble alors ces informations dans le tableau suivant :

on sait que : (d2) // (d3) et (d1) ⊥ (d3)

on applique la propriété : « Soient deux droites

parallèles. Si une troisième droite est perpendiculaire à l’une de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire à l’autre.»

on déduit que : (d1) ⊥ (d2)

Remplis les deux plans de démonstration suivants :

Exercice 55 (d')

(Δ) (d)

a) on sait que :

............................................................

on applique la propriété : ...................................

............................................................................

............................................................................

on déduit que :

............................................................ (d’) // (Δ)

b)

on sait que :

............................................................

(d1)

(d2)

(d3) on applique la propriété : ...................................

............................................................................

............................................................................

on déduit que :

............................................................





Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-dessous :

Exercice 56 on considère la figure à main levée ci-contre.

(d1)

(d2 )

(d4 )

(d3)

Les droites (d1) et (d3) sont parallèles.

1- Démontre que (d2) est perpendiculaire à (d3).

�- Démontre que (d2) et (d4) sont parallèles.

Exercice 57 1- Dans la figure ci-contre on a :

(d1)

(d3)

(d2)

(d1)//(d2) et (d3)//(d2).

Trace une droite (Δ) perpendiculaire à (d2) directement sur la figure de ton livret.

Réponds aux questions suivantes sur ton cahier.

�- Que peut-on dire de (d1) et (Δ) ?

�- Que peut-on dire de (d3) et (Δ) ?

�- Que peut-on dire de (d1) et (d3) ?

�- Quelle propriété vient-on de démontrer dans cet exercice ?

Prends ton cahier de cours et écris le paragraphe ci-dessous :

Propriété � :

Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, (d1)

(d3)(d2)

alors elles sont parallèles entre elles.

Si (d1) // (d2) et (d1) //(d3) alors (d2) // (d3)

j e retiens



Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous :

Exercice 58

1- Trace la droite (d) passant par B et CB

A

D

E

perpendiculaire à (AD) puis la droite (d’) passant par C et perpendiculaire à (d) et enfin la droite (d’’) passant par E et parallèle à (d’).

�- Démontre que : (AD) // (d’).

�- Que peut-on dire des droites (AD) et (d’’) ?

Finissons cette séance par un peu de calcul mental :Rends-toi à la page des tables, à la fin de ton livret. Revois les tables de multiplication par 8 et 9, puis fais-toi interroger si possible.

Séance 9Je redécouvre le cercle

Voici un exercice qui va te faire découvrir ce qu’est un cercle.

Exercice 59 Effectue la première partie de cet exercice sur ton livret de cours :

Première partie : 1- on a placé les points A, B, C, D, E

et F sur un cercle C .Complète après avoir effectué une mesure :

oA = . ............ cm oB = ............. cm

oC = ............ cm oD = ............. cm

oE = ............ cm oF = ............. cm

Que remarques-tu ?

...........................................................

...........................................................

...........................................................�- Place trois points J, K et L tels que :

oJ = 1 cm, oK = 2,5 cm , oL = 3 cm.

Les points situés à moins de 4 cm du point o semblent se trouver .....................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................


O

B

D

F

E

A

C

C



�- Place trois points M, N et P tels que oM = 4,5 cm, oN = 5 cm, oP = 6 cm. Les points situés à plus de 4 cm du point o semblent se trouver .........................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

Écris « ExERCICE 59 » sur ton cahier d’exercices et effectue la deuxième partie de cet exercice :

Deuxième partie :

Place un point o au milieu de ta feuille puis place six points G, H , I, J, K et L tels que :

oG = oH = oI = oJ = oK = oL = 3 cm.

Que remarques-tu ? .........................................................................................................

.........................................................................................................................................

Prends ton cahier de synthèse et écris le paragraphe ci-dessous.

Définition du CERCLE

Le cercleC de centre o et de rayon 2 cm est l’ensemble

O

C M

2 cm

de tous les points situés à 2 cm du point o. Autrement dit : Si M ∈C alors oM = 2 cm. Si oM = 2 cm alors M ∈ C . Remarque : le centre O du cercle n’est pas un point du cercle.

j e retiens

Maintenant que tu as vu ce qu’était un cercle, effectue cet exercice d’application directement sur le livret.

Exercice 60 1- Le centre du cercle passant par ..........

H

B

D

F

E

A

C

G H, E et C est un des points de la figure. À l’aide d’une règle graduée, trouve-le. ..........................................

�- Le centre du cercle passant par B, D et F est un des points de la figure. À l’aide d’une règle graduée, trouve-le. ..........................................

�- Le cercle de centre G passant par le point C passe par un des points de la figure. À l’aide d’une règle graduée, trouve-le. ..........................................

Prends maintenant ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-après. Le vocabulaire concernant le cercle est à apprendre et à retenir.




Vocabulaire :

Soit un cercle C de centre o et de rayon 2,5 cm.

OC

K

L

A B

AB

C

• Un rayon est un segment dont les extrémités sont un point du cercle et le centre o du cercle. Exemples : [oC], [oL], [oK] Le rayon est la longueur de chaque rayon soit ici 2,5 cm.

• Une corde est un segment dont les extrémités sont deux points du cercle. Exemple : [AB]

• Un diamètre est une corde qui passe par le centre o du cercle. Exemple : [KL] Le diamètre est la longueur de chaque diamètre soit ici 2 x 2,5 soit 5 cm.

• L’arc AB est la plus petite portion de cercle comprise entre les points A et B.

j e retiens

Les cercles sont des formes que l’on retrouve souvent dans la nature. En voici un exemple : des cercles obtenus en lançant une pierre à la surface d’un lac. Ces cercles ont tous le même centre : on dit alors qu’ils sont concentriques.

© Cned

Exerce-toi maintenant à tracer des cercles en faisant l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 61 1- Trace un cercle de centre Y et

de rayon 3 cm.

C

B

A�- Trace un cercle de centre Z et

de diamètre 4 cm. (Effectue la suite de l’exercice sur ton livret)

�- a) Trace le cercle C 1 de centre A et passant par C.b) Trace le cercle C 2 de centre B

et passant par C.c) Trace le cercle C 3 de centre C

et passant par B.

Tu as vu comment tracer un cercle de diamètre 4 cm. Lis attentivement l’encadré ci-après, il t’apprendra à tracer un cercle dont on connaît un diamètre (et non le diamètre : ce n’est pas la même chose ! ).




je comprends la méthodeTracer le cercle de diamètre [EF]

1- on veut tracer le cercle de diamètre [EF].

�- on mesure [EF]. on trouve 6 cm. on place alors le milieu de [EF] à 3 cm de E sur [EF].

�- on pointe le compas sur le milieu du segment, on prend pour écartement la distance entre ce point et F (3 cm) et on trace le cercle.

E

F E

F

0 12 3

4 56 7

EF

Effectue maintenant les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 62 1- Trace un segment [CD] de 7 cm.

�- on considère le cercle C de diamètre [CD]. Place o le centre du cercle C .�- Trace le cercle C de diamètre [CD].�- Trace une corde [CE] telle que CE = 4 cm.

�- Représente en vert l’arc DE.

Exercice 63

Trace un segment [EF] de 3 cm. Quels sont les points situés à la fois à 4 cm de E et à 5 cm de F ?

Exercice 64

1- Trace deux points K et L tels que : KL = 6 cm.

�- Trace le cercle C de centre K et de rayon 4 cm puis le cercle C ‘ de centre L et de rayon 3 cm.

�- Hachure en vert la zone où les points sont situés à moins de 4 cm de K.

�- Hachure en bleu la zone où les points sont situés à moins de 3 cm de L.

�- Quelle est la zone où sont situés les points à moins de 4 cm de K et à moins de 3 cm de L ?




Exercice 65 La Carte au trésor – suite – Rappel : Tu te trouves au point X.

Indication du pirate : « Le point Y où tu dois aller se trouve sur la piste représentée par la droite (d’). Il se trouve à � km du Gué du diable et il doit te rapprocher de l’arbre Millénaire ».• Note G le Gué du diable.

• Trace l’ensemble des points situés à 6 km du point G.

• Le point Y se trouve à 6 km du point G sur (d’) et il doit être en sorte que l’on se « rapproche de M ». Place le point Y sur la carte.

Nous marchons jusqu’au point Y. Il ne reste plus qu’une étape à franchir avant de trouver le trésor !

Effectue maintenant l’exercice suivant directement sur ton cours.

Exercice 66

Construis le point A tel que A appartienne au cercle

MO

N

de diamètre [MN] et (AN) // ( Mo).

Exercice 67

Construis un point B tel que

• d’une part, B appartienne au cercle

L K

P R

de centre K passant par L.

• d’autre part : (BP) ⊥ (KR).


Complète les pointillés :

4 x .............. = 24 6 x ............. = 36 5 x ................= 45 6 x ............... = 54

Réponse :

4 x 6 = 246 x 6 = 365 x 9 = 456 x 9 = 54




Séance 10J’apprends à reporter des longueurs

Nous allons commencer cette séance par des exercices de reproduction de figures mathématiques. Prends ton cahier d’exercices et effectue les exercices suivants :

Exercice 68 La figure ci-contre est représentée à

A I B

C

D

5,5 cm

4 cm

main levée. Reproduis-la à l’aide d’une règle graduée et d’une équerre.

I ∈ [AB]

Exercice 69

Reproduis la figure ci-contre.

3 cm 3 cm

Nous allons maintenant apprendre, à partir d’une figure, à écrire une consigne (un petit texte) permettant à quelqu’un qui ne verrait pas la figure de pouvoir la tracer. Lis attentivement le paragraphe ci-après :




je comprends la méthodeÉcrire un texte permettant de reproduire la figure ci-dessous

A B

C

D

C (d) il s’agit de repérer les caractéristiques de la figure pour permettre à quelqu’un qui n’aurait pas vu la figure de pouvoir la reproduire.• on trace un triangle ABC.• on trace le cercle C dont [AC] est

un diamètre .• D est le centre du cercle C .• on trace le segment [BD].• La droite (d) est la droite perpendiculaire

à (AB) passant par le point B.

Attention : Quand on dit « reproduire une figure », on ne veut pas dire

AD

C

C

B(d)

« reproduire à l’identique », comme on pourrait le faire avec un papier calque, mais reproduire une figure qui possède les mêmes propriétés mathématiques, comme par exemple ici la figure ci-contre.

Entraîne-toi en effectuant sur ton cahier d’exercices, l’exercice suivant :

Exercice 70

Écris un texte permettant de reproduire cette figure.

B

C

A

I

C

D

5 cm




Nous allons maintenant découvrir l’utilisation du compas pour reporter des longueurs, qui est une méthode que l’on utilise constamment en géométrie :

je comprends la méthodeÉtant donné un segment [AB] et un point C, tracer un point D tel que : CD = AB

1- Je trace une demi-droite d’origine C. �- Je prends comme écartement de compas la longueur du segment [AB].

A B

C

x

A BC

x

�- Je trace le cercle de centre C avec l’écartement précédent du compas. �- Le cercle coupe la demi-droite au point D.

x

C

CD

x

Entraîne-toi en effectuant les quatre exercices suivants :

Exercice 71

a) Trace le point Z sur la demi-droite [Dw) tel que : DZ = AB

b) Trace deux points X et Y sur la droite (d) tels que : AX = AY = JK

A

B

D

w

J

A

(d) K





Exercice 72

Construis un point Y sur la demi-droite [Fx)

x

A

B

C

D

F

tel que :

FY = AB + CD.

Exercice 73

Sans utiliser une règle, compare AY et

I

M

A

Y

N

J

K

L

KL + MN + IJ.

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

Exercice 74

1- Trace sans utiliser de règle graduée le cercle C

L

KI

JH

de centre L et de rayon HI.

�- Trace un diamètre [AB] de ce cercle.

�- Trace une corde [BC] telle que : BC = KJ.



Exercice 75 La Carte au trésor – suite et fin

Rappel : Tu te trouves au point Y.

Indication du pirate : « Le trésor se trouve sur la piste rectiligne passant par le Dolmen du couchant et le point où tu te trouves. La distance qui te sépare du trésor est la même que celle qui sépare les deux pyramides. Parmi les deux possibilités, une seule est la bonne, car le trésor ne se trouve pas sur une plage ».• Trace la droite (DY).

• Nomme L la pyramide du levant.

• À l’aide de ton compas, reporte la distance LP à partir du point Y sur la droite (DY).

• Tu as obtenu deux points. Quel est celui qui correspond à la dernière indication du pirate. Nomme ce point T.

Voilà ! Tu as gagné : tu as retrouvé l’emplacement du Trésor !

Ce Trésor, le voici :

Te voila riche, à présent, de nouvelles connaissances et de nouvelles méthodes, qui te seront très utiles en mathématiques.

À toi, maintenant, de ne pas les oublier.Bon courage !

Un petit conseil : place-toi face à un miroir pour lire !

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche directement la ou les réponses sur ton livret. Une fois les 10 questions faites, reporte-toi aux corrigés et entoure en rouge les bonnes réponses.

Attention ! Pour certaines questions, plusieurs réponses proposées sont justes.




je m’évalue1- Combien y a t il de droites passant par

deux points distincts ?

® aucune droite® une droite® deux droites® une infinité

�- Les points suivants :

AC B® sont alignés

® semblent alignés® ne semblent pas alignés® semblent confondus

�- La demi-droite d’origine D et passant par E se note :

® (DE)® (DE]® [DE)® [DE]

�- Dans cette figure :

F G

H

I

® H est le milieu de [FG]® i est le milieu de [FG]® FH = GH® Fi + iG = FG

�- Dans la figure ci-contre, les droites :

® sont parallèles ® sont sécantes® sont perpendiculaires® sont confondues

�- Dans la figure ci-contre, les droites :

® sont parallèles® sont sécantes® sont perpendiculaires® sont confondues

7- Dans la figure ci-contre, les droites (d1) et (d2) :

(d1)

(d2)


8- Dans la figure ci-contre, les droites (d1) et (d2) :

(d1)(d3)

(d2)

(d2)//(d3)


9- Un cercle a pour diamètre 10 cm. La longueur de n’importe quelle corde de ce cercle :

® est égale à 10 cm® est supérieure à 10 cm® est inférieure ou égale à 10 cm® est égale à 5 cm

10- Dans la figure suivante qui représente un cercle de centre I :

IA

BC

® [AB] est un diamètre® [AB] est une corde® [BC] est un rayon® [BC] est une corde



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