smi s4 e2 · 2018. 6. 18. · electromagnétisme jean marie brebec hprépa . page 5 sur 70...

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Cours en ligne : Site : http://www.fsdmfes.ac.ma/

(voir ressources pédagogiques/filière SMI/S4/REZZOUK)

SMI – S4 – E2 Module Physique 4 – (Électromagnétisme)

E2 : Cours magnétostatique dans le vide et courant alternatif

Année 2017/ 2018 – 2019/2020

Réaliser par :

A. REZZOUK, PES.

http://www.fsdmfes.ac.ma/


SOMMAIRE

Chapitre 1 : Champ magnétique créé par les courants permanents INTRODUCTION 5

I. Champ magnétique créé par les courants. 5

I.1. L'interaction magnétique 5

I.1.1. Action d’un courant sur un aimant

I.1.2. Action d’un aimant sur un courant

I.1.3. Action entre courants

I.2. Notion de champ magnétique 6

I-3-Loi de Biot et Savart 7

I.3.1. B crée par une charge en mouvement :

I.3.2. B crée par un courant stationnaire :

I.3.3. Règles pour trouver le sens de B

I-4- Effets des symétries des sources de courants sur le champ B

10

I-5- Champ B crée par des circuits magnétiques simples 10

I.5.1. Fil rectiligne infini

I.5.2. Spire circulaire

I.5.3. Solénoïde

I-6- Spectre magnétique 11

II. Force magnétique et f.e.m. induite 12 II-1- Force de Lorentz

II-2- Force de Laplace

II-3- F.e.m. induite

II-4- Quelques exemples d’application de la force de Laplace 14

II-5- Interaction entre courant électriques 14

II.5.1. Expression des forces électromagnétiques d Laplace

II.5.2. Définition légale de l’ampère 15

Chapitre 2 : Propriétés du champ magnétique

INTRODUCTION 16

I. Circulation du champ magnétique. Théorème d’Ampère. 16 I-1- Circulation du champ magnétique.

I-2- Théorème d’Ampère

I-3- Forme Locale (différentielle) de théorème d’Ampère 18

I-4- Quand appliquer le théorème d’ampère : 18

II. conservation du flux magnétique 19

II-1- Forme locale de la conservation du flux magnétique 19

II-2- Forme intégrale de la conservation du flux magnétique 20

III. Le potentiel vecteur 21

III-1- Cas d’une distribution volumique de courant J= j

21

III-2- Circulation ou intégrale du A

le long d’un contour fermé 22

III-3- Cas particulier d’un fil conducteur 22

III-4- Laplacien de A

ou équation locale de potentiel vecteur. 23


Chapitre 3 : Énergie et dipôle magnétique

INTRODUCTION 24

I. Travail des forces électromagnétiques de Laplace 24

I.1.Premier énoncé du théorème de Maxwell.

I.2. Deuxième énoncé du théorème de Maxwell.

II. Calcul des forces de Laplace à partir du flux. 26

Règle du flux maximum II.1. Energie potentielle électromagnétique Ep

II.2. Torseur des forces électromagnétiques de Laplace

II.2.1. Force de Laplace

II.2.2. Moment résultant par rapport à un point O 27

II.3. Règle du flux maximal 27

III. Énergie magnétostatique Wm 27 III.1. Cas d’un circuit filiforme

III.2. Cas de deux circuits filiformes

III.3. Cas de n circuits filiformes

IV. Dipôle magnétique 28

IV.1. Moment magnétique dipolaire

IV.2. Moment de la force de Laplace

29

IV.3. Analogie entre dipôle magnétique et dipôle électrique 29

Chapitre 4 : INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE

INTRODUCTION 30

I. Exemples d’expériences d’induction électromagnétique 30 I.1. Induction motionnelle

I.2. Induction non motionnelle

II. Loi de Faraday et loi de Lenz 31 II.1. Loi d’induction de Faraday

II.2. Enoncé de la loi de Faraday 31

II.3. Enoncé de la loi de Lenz 31

III. Auto - induction (self-induction) 33 III.1. Auto inductance (ou induction Propre)

III.2. f.e.m d’auto-induction

III.3. Bobine électrique

IV. induction mutuelle 34

V. Énergie magnétique des circuits 35 V.1. Cas d’un circuit

V.2. CAS DE 2 CIRCUITS 36

V.3. LOCALISATION DE L’ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE 36

VI. CONCLUSION 38

Ce qu’il faut savoir 39


Chapitre 5 : Le courant alternatif

I. Introduction 41

1. Définitions 41

2. Les grandeurs périodiques 42

3. Valeur moyenne et valeur efficace : 43

4. Théorème de Fourier : 44

II. Le courant alternatif sinusoïdal 45

- Fonction mathématique 45

- Représentation de Fresnel 46

- Calcul avec les nombres complexes : 48

III. Déphasage (ou différence de phase) 48

IV. Les réseaux électriques en courant alternatif 51

- Lois de Kirchoff en AC : 51

- Théorèmes généraux 52

- Tension, courant et impédance 54

- Les impédances en série et en parallèle 55

V. Dipôle passif linéaire en régime sinusoïdale 56

- Circuit comportant uniquement une résistance pure : 57

- Circuit comportant uniquement (capacité pure) 58

- Circuit comportant uniquement un inducteur 59

- Le circuit RLC série en courant alternatif 61

- La représentation de Fresnel 62

- Méthode de représentation dans le plan complexe 64

VI. La puissance électrique en courant alternatif AC 66

BIBLIOGRAPHIE

Notes de cours en ligne : Site : http://www.fsdmfes.ac.ma/

(voir ressources pédagogiques/filière SMI/S4/REZZOUK)

Electricité 2 QUEREL ET MESPLEDE Bréal

Électricite1 et 2 BOUTIGNY Vuibert

Électromagnétisme 1 et 2 GIE ET SARMANT Tec Doc

Électromagnétisme 1 FEYMAN Interéditions

Champs et Ondes ALONSO ET FINN Interéditions

Electromagnétisme JEAN MARIE BREBEC HPrépa

http://www.fsdmfes.ac.ma/


Chapitre 1 : Champ magnétique créé par les courants permanents

INTRODUCTION

Le magnétisme est la partie de la physique qui étudie les effets magnétiques des

courants électriques et des aimants

L’interaction électrique est la branche de l’électromagnétisme qui décrit les

interactions de particules chargées fixes dans un référentiel donné.

Il existe dans la nature un autre type d’interaction qui a reçu le nom d’interaction

magnétique.

L’interaction magnétique est une manifestation des charges en mouvement.

Les interactions électrique et magnétique doivent être considérées comme un tout,

c’est l’interaction électromagnétique.

I. Champ magnétique créé par les courants.

I.1. L'interaction magnétique

Nous savons que les aimants sont des sources de champ magnétique. L’expérience

d’Oersted (1819) a montré que les courants électriques créent aussi des champs

magnétiques.

I.1.1. Action d’un courant sur un aimant

Au début du XIXéme siècle (en 1819), le physicien Danois Christian Oersted

met en évidence pour la première fois l’effet d’un courant électrique sur un aimant.

Dans son expérience, il place un fil conducteur parallèlement à une boussole et fit

passer un courant.

Résultat : La boussole s’oriente perpendiculairement au fil et le sens d’orientation

change avec celui du courant (Figure 1).

Figure 1

I.1.2. Action d’un aimant sur un courant

Un effet réciproque est observé lorsqu’on place un fil conducteur parcouru par

un courant électrique à côté d’un aimant fixe (Figure 2).

Résultat : Le fil est soumis a des actions mécaniques (répulsion ou attraction suivant

le sens du courant).


Figure 2

De même, un faisceau de particules chargées en mouvement est dévié lorsqu’on

rapproche un aimant (oscilloscope, TV…).

I.1.3. Action entre courants

Rapprochons un fil conducteur et une bobine parcourue par deux courants I et

I’ respectivement (figure 3). Les deux courants s’exercent mutuellement des forces qui

changent d’orientation si on change leur sens. L’effet de la bobine sur le courant est tout à fait

similaire a celui d’1 aimant sur un courant (figure 2). Bobine = un aimant ayant une face nord

et une face sud.

Figure 3

D’après ces expériences, on remarque que les propriétés de l’espace sont modifiées

aux alentours d’un circuit parcourus par un courant électrique et au voisinage d’un aimant.

Question : Quelle est l’origine physique de ces effets magnétiques observes ?

I-2- Notion de champ magnétique

La notion de champ magnétique est un concept qui a été introduit pour expliquer les

phénomènes magnétiques observés dans une région de l’espace. La connaissance locale de ce

champ (noté B

), dans une région de l’espace suffit pour déterminer entièrement les

phénomènes magnétiques observées.

Considérons le cas simple de

l’interaction entre deux charges mobiles “q” et

“q’” animées de vitesses v et v’ respectivement.

Intéressons-nous par exemple `a l’influence de

la charge “q’” sur “q”. En plus de la force

électrostatique (Figure 4), la charge “q” subit

une force supplémentaire dite force magnétique

Fm qui est perpendiculaire à la vitesse v .

Fig. 4

La force totale subite par la charge “q” a pour expression :

me FF

BvqEqF : force de Lorentz

Définition de B : C’est un vecteur qui détermine la partie proportionnelle à la vitesse de

la force agissant sur une particule chargée en mouvement. B traduit la modification des

propriétés de l’espace.


Remarque :

Le champ B

obéit au principe de superposition. Si deux charges en mouvement créent

en un point M deux champs B

1 et B

2, le champ total est B

= B

1+ B

2. A noter que ce résultat

est vrai pour plusieurs charges en mouvement.

Unité de B :

• L’unité du champ magnétique B dans le système international SI(M.K.S.A.) est le

Tesla : symbole “T” (volt-second / mètre carré).

• Autre unité utilisée le gauss : symbole “G’’ avec 1G = 10−4T.

Exemples (quelques ordres de grandeurs) :

• Champ magnétique terrestre0, 5G (50μT). Ce champ est très faible.

• Les électroaimants produisent des champs magnétiques allant de 0, 1T à 2T. Ces

valeurs correspondent à des champs moyens.

• Les bobines de fil de cuivre émaillé créent des champs magnétiques allant jusqu’`a

100T. Ce sont des champs très intenses !

I-3-Loi de Biot et Savart

I.3.1. B crée par une charge en mouvement :

Soit une charge “q” en un point “P”

animée d’une vitesse ‘’v’’. On montre que q

crée un champ magnétique en un point “M” :

2

0

3

0

44)(

r

uvq

r

rvqMB

(1)

),( vrplanB

B est perpendiculaire au plan (r, v) ;

0 est la perméabilité du vide. Elle traduit la capacité du vide à “laisser passer” le

champ magnétique. 0 = 4 10

-7 Hm−1

(henry/mètre). On a 2

00 1 c où désigne la

permittivité du vide.

Pour une particule q animée de v

, la loi de Biot et Savart aura comme module

),(sin

4 2

0 uvdontr

qvB

.


I.3.2. B crée par un courant stationnaire :

Pour permettre le calcul des

champs créés par des circuits de différentes

formes, on introduit la notion d’élément de

courant.

dI. . Un élément de courant n’a

pas d’existence physique car il n’est pas

possible d’isoler un segment de circuit dans

lequel passe un courant I.

La loi de Biot et Savart donne l'expression du champ magnétique créé, en tout point

de l'espace, par un circuit électrique filiforme (rigide et mobil placé dans le vide) parcouru par

un courant I, à savoir :

23 44 r

udI

r

rdIBd oo

C

o

r

rdIB

34

(2)

La relation (2) indique la loi du BIOT et SAVART et aura comme module

2

0 sin

4 rd

IdB

et l’angle entre urretd

. . Le trièdre Bdud

,, est direct.

Dans la loi de Biot et Savart, u

représente le vecteur unitaire et r la distance entre

l'élément

d (où la charge est en mouvement) et le point où on considère le champ

magnétique.

B

est créé par des charges en mouvement et agit sur des charges en mouvement.

Le champ magnétique élémentaire diminue en 1/r2 !

Le champ magnétique obéit au principe de superposition.

Rappel : Champ électrique élémentaire produit par une charge dq: 34

1

r

rdqEd

o

La loi de Biot Savart est l’équivalent magnétique de la loi de Coulomb à la différence

près qu’en régime stationnaire l’élément infinitésimal de courant ne peut exister seul

sans violer la conservation de la charge.

I.3.3. Règles pour trouver le sens de B

On adopte la notation suivante pour la représentation d’un vecteur :

V

On voit l’arrière de la flèche du vecteur. Le vecteur « s’éloignes » de l’observateur.

• V

On voit la pointe de la flèche du vecteur. Le vecteur « vient » vers l’observateur.

Le sens de B

est obtenu à l’aide des trois règles suivantes :

(C)


1) la règle des trois doigts de la main droite :

- L’Index donne le sens de l’Intensité.

- Le Majeur donne le sens de champ Magnétique.

- Le Pouce donne le sens de la Force.

Placer les 3 doigts à angle droit. L’index et le pousse

parallèlement à I et à dℓ. Le majeur indique le sens de dB.

2) la règle du tire-bouchon :

En pensée, on place un tire-bouchon sur le

conducteur. On le tourne pour qu’il s’enfonce dans le sens

du courant. Le sens de rotation donne le sens du

champ B

.

3) Règle du Bonhomme d’Ampère

La règle du Bonhomme (ou observateur) d’Ampère : l’observateur d’Ampère est placé

sur le fil de façon que le courant le traverse des pieds vers la tête. En regardant vers le point

où on cherche la direction du champ magnétique, la main gauche du bonhomme d’Ampère

indique la direction du champ B

.

Dans le cas d’une boucle de courant (spire par exemple), un tire-bouchon tournant

dans le sens du courant indique le sens de B

à l’intérieur de la boucle (figure 4).

La face nord d’une boucle de courant est par convention celle d’où on voit le courant

tourner dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. On repère aussi la face nord

en inscrivant un “N” dans le sens du courant sur cette face. D’autre part, la face sud est

repérée en inscrivant la lettre “S” (figure 5).

Le champ B rentre par la face sud et sort par la face nord.

Figure 4 Figure 5

I

Fce


I-4- Effets des symétries des sources de courants sur le champ B

Nous nous contenterons, sans le démontrer, de donner certaines règles de symétrie

concernant le champ magnétique B

. Ces règles de symétrie s’appliquent à B

en tant que

pseudo vecteur.

Règles de symétrie :

Considérons une distribution de courant J = j

tq dVvqndVjdSjdI .......

.

Plan de symétrie : Si J possède un plan de symétrie, alors le champ B

est

perpendiculaire à ce plan.

Plan d’antisymétrie : Si j

possède un plan d’antisymétrie, alors B

est contenu dans ce plan.

Invariance par translation : Si J est invariant par translation le long d’un axe “Oz” alors

B est indépendant de la variable “z”.

Symétrie de rotation : Si J est invariant pour toute rotation autours d’un axe “Oz”, alors

B

est indépendant de .

Symétrie cylindrique : Si J est invariant par translation le long d’un axe “Oz” et par

rotation autours du même axe, alors B

ne dépend que de la distance à l’axe “a”.

Symétrie sphérique : Si J est invariant dans toute rotation autours d’un point fixe “O”,

alors le champ ne dépend que de la distance au centre “r”.

I-5- Champ B crée par des circuits magnétiques simples (cf TD)

I.5.1. Fil rectiligne infini

Soit un fil parcouru par un courant I indépendant du

temps. On se propose de déterminer le champ magnétique

B crée par le fil en un point M éloigné d’une distance a du

fil (figure 6).

Règles de symétrie

• Tout plan passant par M et contenant le fil est un plan de

symétrie B à ce plan. Tout plan perpendiculaire au

plan de la feuille est un plan d’antisymétrique B à ce

plan.

• (POM) est plan de symétrie. B appartient à ce plan. On

peut aussi utiliser la méthode du bonhomme d’Ampère.

• Il y’a invariance par translation et par rotation autour de

l’axe du fil B dépend uniquement de a (distance à l’axe).

Calcul de B

La loi de Biot et Savart appliquée à l’élément de

courant Idℓ donne :

Figure 6

.2

sinsin2

cos4

coscostan

cos

44

122

2

223

2

1

a

IB

a

Id

a

IB

add

r

aet

aord

r

IB

r

rldIBd

ooo

oo

I.5.2. Spire circulaire

Soit une spire circulation de rayon R parcouru par un courant I. On se propose de

déterminer le champ B créé par la spire au point M.

L’élément de courant Idℓ placé en P créé en M le champ magnétique dB,

perpendiculaire à PM :

P


2

0 .4 r

udlIBd

z

Rz

RIB

.

22

322

2

0

I.5.3. Solénoïde

Un solénoïde est constitué par un ou plusieurs enroulements de fil conducteur autours

d’un cylindre.

C’est un ensemble de spires placées les unes à la suite des autres et parcourues par un

même courant I.

Soit n le nombre de spire par unité de longueur (n = N/ℓ) où N = nb totale de spires et

ℓ : longueur du solénoïde.

On montre (cf TD ou chapitre 4) que le champ magnétique en un point de l’axe à

l’intérieur du Solénoïde a pour expression : zIn

B

.coscos2

21

0

Cas d’un solénoïde indéfini (R <<ℓ`)

Dans ce cas : znIBB

.),0(),( 021 . Le champ est uniforme sur l’axe d’un

solénoïde long.

I-6- Spectre magnétique

L’ensemble des lignes de champ magnétique constitue le spectre magnétique.

On appelle ligne de champ une courbe dans l’espace telle que en chacun de ces points

le vecteur B

soit tangent à la courbe. La ligne de champ est orientée dans le sens du champ.

• Pour un solénoïde :


• Pour un conducteur rectiligne

infiniment long :

• Pour un aimant droit

Remarques :

L’aimant droit a le même spectre que le

solénoïde.

Les lignes de champ sont des lignes

fermées.

L’intensité du champ magnétique augmente

avec le resserrement des lignes de champ

II. Force magnétique et f.e.m. induite

II.1. Force de Lorentz

Soit une particule de charge q se déplaçant, avec une vitesse v, dans une région où

règne un champ électrique E

et un champ magnétique B

:

La particule est soumise à une force électromagnétique (force de Lorentz) : )( BvEqF

Cette force a 2 composantes :

Force électrostatique : EqFe

Force magnétique : mm EqBvqF

mF

: est appelé Force de Laplace

mE

: est appelé champ électromoteur

Force subit par une charge électrique q au repos : EqF

(Force électrostatique)

Force subit par une charge q en mouvement : )( BvEqF

(Force de Lorentz)

II-2- Force de Laplace

BvqFm

est la force de Laplace d’une charge q se déplaçant dans une région où

règne un champ magnétique B

.


Soit un conducteur électrique (figure 7) parcouru par un courant I, soumis à un champ

magnétique B

. Une portion de conducteur de longueur dℓ est soumise à une force

magnétique (force de Laplace) : BdIFd

. .

Son sens est, celui du trièdre direct : BFdId

,, , définit par la règle des 3 doigts de

la main droite (figure 8).

Son module est : sin... BdIdF .

Figure 7 Figure 8

Cas particulier d’un conducteur rectiligne

Soit un circuit rectiligne de longueur ℓ soumis à un champ magnétique uniforme. La force

globale qui s’applique sur le conducteur est égale à

la somme des forces élémentaires qui s’appliquent

sur chaque portion du circuit (figure 10):

BIBdIFdF

.. .

Conséquences :

),sin(...),( BBIFetBplanF

Figure 10

Cas d’un circuit fermé (figure 11)

- La force de Laplace agissant sur l’ensemble du

circuit C vaut : C

BdIF

- Si B est uniforme : 0)0()(

BIBdIFC

“La somme des forces de Laplace est nulle pour un

circuit, fermé, placé dans un champ B uniforme’’. On

montre dans ce cas que le circuit est soumis à un couple :

SItqB

.

Où S est la surface du circuit” et M : moment magnétique.

Figure 11

II.3. F.e.m. induite

Soit un conducteur rectiligne plongé dans un champ magnétique uniforme et entraîné à

la vitesse v (figure 12).

Une tension électrique apparaît entre les deux extrémités du conducteur : c’est « force

électromotrice induite » (f.e.m induite). Ici : vBe ..

Force

Champ

courant


Figure 12

Applications : C’est le principe de la génératrice à courant continu, du microphone

électrodynamique …

II-4- Quelques exemples d’application de la force de Laplace

-galvanomètre

- ampèremètre et voltmètre magnétoélectriques

- moteur électrique

- haut-parleur

- Balance de Cotton

- La roue de Barlow

- tube cathodique (déflexion magnétique)

- balance magnétique etc …

II-5- Interaction entre courant électriques

II.5.1. Expression des forces électromagnétiques de Laplace

Soient 2 circuits C1 et C2 parcourus par les courants permanents I1 et I2 . C1 et C2 sont

placés côte à côte.


• C1 crée en M2 le champ magnétique B1 (loi de Biot et Savart) :

1

3

12

1211

012

4)(

C r

rdIBMB

• Un élément dℓ2 de C2 est soumis à la force de Laplace F12: 12212 BdIFd

• Un élément dℓ1 de C1 est soumis à la force de Laplace F21= - F12 :

21121 BdIFd

• La force de Laplace agissant sur C2 (sous l’effet de C1) vaut :

1 223

12

121221

01212

4 C CC r

rddIIFdF

C’est la loi des actions électromagnétique d’ampère

• En explicitant le double produit vectoriel 1212 rdd

, on obtient :

122111221212 .... rdddrdrdd

or

0.

1 21 2

0

122

2

112

3

1221

C CC C r

dd

r

rdd

1 2

3

12

122121

012 .

4 C C r

rddIIF

(Formule de Neumann)

• Un calcul analogue permet de déduire l’action de C2 sur C1. On trouve : 1221 FF

.

II.5.2. Définition légale de “l’Ampère”

Soient 2 fils infinis parcourus par des courants I1 et I2 stationnaires distants de d :

Action de C1 sur une portion dℓ de C2 :

xy ed

dIIFde

d

IBtqBdIFd

22

210

12

10

11212

On montre de même que 1221 FF

Le module de cette force s’écrit : dd

IIdFdF 217

2112 10.2

Conséquences :

- Si les deux courants sont de même sens (c’est à dire I1I2 > 0), les forces sont attractives

les deux fils s’attirent ;

- Si les deux courants sont de sens opposés (c’est `a dire I1I2 < 0), les forces sont répulsives

les deux fils se repoussent

- Dans le cas où les deux fils sont parcourus par le même courant : d

I

d

dF 2710.2

(4)

- La connaissance de cette force (équation 4) conduit à la définition de “l’Ampère” :

“ L’Ampère” est l’intensité de courant passant dans deux fils parallèles, situés à 1m l’un de

l’autre, et produisant une attraction réciproque de 2. 10−7N par unité de longueur du fil. ”


Chapitre 2 : Propriétés du champ magnétique

INTRODUCTION

Le champ magnétique obéit à deux propriétés :

• La conservation du flux qui sous sa forme locale s'exprime 0Bdiv

(1)

• et sous sa forme intégrale s

dsB 0.

(théorème d'ostrogradsky pour passer d'une

forme à l'autre).

• Le théorème d'Ampère. On considère un ensemble de fils parcourus par des

courants, la circulation C du champ magnétique le long d'une courbe fermée ()

quelconque est : enlacéIdBC 0.

(2)

I. Circulation du champ magnétique. Théorème d’Ampère.

I-1- Circulation du champ magnétique.

Soit un parcours (courbe) quelconque “L” limitée par deux points M1 et M2. La

circulation de B sur “L” est définie par :

ferméeLcourbeMMsidBCdBCL

M

M ),(,.. 12

2

1

I-2- Théorème d’Ampère

À partir de la loi de Biot et Savart, on peut obtenir rigoureusement le théorème

d’Ampère. Nous énoncerons le théorème d’Ampère sans le démontrer :

Énoncé théorème d'Ampère : La circulation de B

le long d’un contour fermé quelconque

() est égale au flux de vecteur j

0 à travers une surface (S) s’appuyant sur ().

j

S

j

jj

S


Remarques :

La loi d’Ampère est l’équivalent magnétique de la loi de Gauss.

Les courants électriques sont les sources du champ magnétique

Sous sa forme intégrale, il s'exprime :

k

kIdB 0.

enlacéIdBC 0.

où il ne faut considérer que les circuits " embrassés ou enlacés " par le contour fermé ,

où la somme des Ik représente la somme algébrique des courants qui traversent la

surface délimitée par .

Théorème d'Ampère : La circulation de B le long d’un contour fermé quelconque ( )

est égale à fois la somme algébrique des courants enlacé à travers une surface (S)

s’appuyant sur ( ).

Le flux (E / S fermée) = quotient par 0 de la somme de toutes les charges électriques

situées a l’intérieur de S : 0int)/(

i

fermée QSE

Les courants électriques sont les sources du champ magnétique.

EXEMPLE :

Soit une distribution donnée de courant (figure 1). On veut calculer la circulation de B

le long d’un contour en utilisant le théorème d’ampère. Pour trouver le signe des courants.

On adoptera la démarche suivante:

-

S+3I

1I

4I

2I5I

-

S+3I

1I

4I

2I5I

-

S+3I

1I

4I

2I5I

S+3I

1I

4I

2I5I

3I

1I

4I

2I5I

2I5I 5I

fig. 1

1. On oriente arbitrairement le contour de (par

exemple sens trigonométrique). Par convention, en tout

point d’une surface S s’appuyant sur , la direction du

vecteur normal à la surface est donnée par la règle du

tire-bouchon.

2. On multiplie par +1 les courants qui traversent

S dans le même sens que la normale et par -1 ceux qui

traversent S dans le sens contraire ; et ceci quel que soit

le signe des courants dans les conducteurs.

Remarque

i : Le choix du sens de circulation du contour est arbitraire.

ii : Les signes des courants obéissent aux règles suivantes :

• Tous les courants rentrants par la face sud sont comptés positivement ;

• Tous les courants rentrants par la face nord sont comptés négativement.

Dans l'exemple des figures 1 : 43210. IIIIdB

.


I5 n’intervient pas car il ne traverse pas la surface S s’appuyant sur le contour

Dans ce cas, la circulation de B le long du contour L vaut :

32100 IIIICj

j 1020 2. IIdBL

I.3. Forme Locale (différentielle) de théorème d’Ampère

Localement le théorème d'Ampère s'écrit :

(3) jBrot

.)( 0 en effet :

Puisque le théorème d’ampère peut s’appliquer à un

contour de forme quelconque, on va l’appliquer à un très petit

contour L délimitant une surface S dans un conducteur.

En utilisant le théorème de Stokes:

jBrotsdjsdBrotdB oS

oSL

Comme

IdBIIsdj oL

kkS

. : est la somme algébrique des

courants traversant la surface “S”,

Remarque :

la densité de courant j

est la source du champ magnétique.

L’expérience montre que la loi d’Ampère ne suffit pas pour décrire le champ

magnétique en régime dynamique ttj ),(

.

Le choix du sens de circulation des contours est arbitraire.

I-4- Quand appliquer le théorème d’ampère :

- Lorsque la distribution de courants possède d'importantes symétries.

- Il faut trouver un contour sur lequel B

est uniforme.

- Reconnaître tous les éléments de symétrie.

- Calcul direct de la circulation : produit scalaire entre les vecteurs champ et

déplacement.

- Calcul par la méthode d’Ampère : attention au sens des courants.

- égaler les 2 expressions


EXEMPLE : CHAMP MAGNETIQUE PRODUIT PAR UN SOLENOIDE

R

I zu

B

Par symétrie : en tout point de l’espace B

// zu

à l’axe du solénoïde (loin du bord)

On peut montrer que pour un solénoïde suffisamment long on a Bext = 0. (Voir TD)

Champ à l’intérieur du solénoïde :

nIBnIBdB ....... 0int0int

Où n : nombre de spire par unité de longueur.

II. conservation du flux magnétique Le flux magnétique travers une surface

quelconque, fermée ou non, placée dans un champ

magnétique B

est : S

SdBSdBd

..

SdB

. est le flux élémentaire d à travers

l’élément de surface Sd

orienté.Unité : weber (Wb) Remarques :

Le flux est défini par rapport à une surface

Le flux à travers un circuit électrique correspond au flux à travers la surface que délimite ce

circuit.

II-1- Forme locale de la conservation du flux magnétique

Calculons la divergence du champ magnétique

BBdiv

. à partir de l’équation (1) du chapitre 1.

On se place toujours dans le cas où la densité de

courant J= j

est uniforme et indépendante du temps

(J est indépendant de r= r

[c-`a-d x, y, z] et de t) :

dVvqndVjdSjdIavecBdiv .......?

V

o

V

oo dVr

rjdivdV

r

rjdiv

r

rdIdivBdiv

333 444

Notons que l’opérateur ‘’div’’ s’applique à r

et non J (car J est indépendant de r

donc de (x , y, z). Or d’après la relation )(.)(.)( ArotCCrotACAdiv

:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………


…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

0Bdiv

: c’est la forme locale de la conservation du flux du champ magnétique à

travers une surface fermée. Cette relation constitue une propriété intrinsèque du champ

magnétique.

II-2- Forme intégrale de la conservation du flux magnétique

L’expérience montre que le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée

est nul : 0. S dSB

.

On peut donc utiliser le théorème d’Ostrogradski : 0.. dVBdivdSBVS

.

Où V est le volume délimité par la surface fermée S.

On en déduit la loi fondamentale d’un champ magnétique :

‘’Le flux sortant du champ magnétique B

à travers toute surface fermée est nul. On

dit que B

est à flux conservatif. Ceci se traduit par la loi locale 00 Bdiv

dans tout

l’espace’’.

Remarques

Cette loi fondamentale de B

indique qu’il n’existe pas d’équivalent magnétique de la

charge électrique.

Cette loi est en accord avec l’expérience même en régime dynamique !

Illustration

Soit une surface fermée S quelconque de volume V

s’appuyant sur un contour orienté fermé (C) et baignant dans

un champ magnétique B

. Supposons que S est constituée de

deux surfaces S1 et S2, s’appuyant sur C tel que : S = S1 U S2.

On définit localement un élément de surface par :

ndSSd

.

Où n

. est un vecteur normal à dS et orienté vers

l’extérieur par convention).

On définit le flux élémentaire de B

à travers un élément de surface ndSSd

. par :

BndSSdBd S

...

• Pour la surface S = S1 U S2, la conservation du flux impose :

21210 SSSSS

‘’le flux qui rentre d’un côté sort de l’autre.”


III. Le potentiel vecteur

À partir de l’expression du champ magnétique B

créé par un circuit fermé de forme

quelconque, il est possible de montrer (la démonstration est laborieuse) que du fait que

0. BBdiv

, il existe un champ de vecteur A

tel que :

(4) 0 ArotdivcarAArotB

Où l’opérateur Nabla vaut kz

jy

ix

en coordonnées cartésiennes.

A

S’appelle le potentiel vecteur du champ magnétique. Il “joue” le même rôle que le

potentiel électrostatique V du champ électrostatique E.

III-1- Cas d’une distribution volumique de courant J= j

Le champ magnétique B

créé par un conducteur

de volume V (parcouru par une densité volumique de

courant j

) en un point M est donné par :

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

On en déduire l’expression du potentiel vecteur pour une distribution volumique de

courant j

:

(5) c

o

V

o

r

dIAdV

r

jA

.

44

dVvqndVjdSjdIavec .......


III-2- Circulation ou intégrale du A

le long d’un contour fermé

Considérons une surface S délimitée par un contour

orienté C. D’après Stokes :

CSS

dAdSArotdSBB

... (6)

Il en découle le résultat important suivant :

‘’Le flux de B

à travers une surface (S) délimitant le contour (C) est égal à la

circulation de potentiel vecteur A

le long de (C)’’.

III-3- Cas particulier d’un fil conducteur

Dans ce cas :

dIdVj .. . En remplaçant dans l’expression (5), le potentiel vecteur

créé par un fil conducteur est donné par : C r

dIA

4

0 (7).


III-4- Rotationnel, Laplacien de A

ou équation locale de potentiel vecteur.

0Bdiv

L’existence du potentiel vecteur A

, défini par ArotB

.

On peut former un autre potentiel vecteur fgradAA

' en ajoutant à A

le gradient

d'une fonction scalaire quelconque. On dit que A

n’est défini qu'à un gradient additif près. En

reportant A

dans, (3), l'expression locale du théorème d'Ampère on obtient donc :

jAAdivgradArotrotBrot

.... 0 .

La jauge de Coulomb consiste à chercher une solution A

avec la condition

supplémentaire 0Adiv

.

Ainsi le potentiel vecteur obéit à l'équation aux dérivées partielles :

0. 0 jA

(8)

qui donne trois relations scalaires analogues à l’équation de Poisson : 00

V .

Pour un circuit filiforme parcouru par un courant I, le potentiel vecteur s'écrit :

C r

dIA

4

0 (7)

Pour des courants surfaciques ou volumiques, on peut écrire des formules analogues en

introduisant dVjoudSj ss ..

ou dj.

.


Chapitre 3 : Energie et dipôle magnétique

INTRODUCTION

Dans ce chapitre, nous allons rechercher le travail effectué par les forces

électromagnétiques lors de déplacement d’un circuit filiforme indéformable, parcourut par un

courant constant et placé dans un espace où règne un champ magnétique indépendant de temps.

Nous traiterons le cas du dipôle magnétique en faisant l’analogie avec le dipôle électrique

I. Travail des forces électromagnétiques de Laplace Soit un circuit (C) parcouru par un courant I,

placé dans un champ magnétique B

. La force de

Laplace s'écrit : BdIFd

. (1).

Dans un premier temps, on calcule le travail de

cette force lors d’un déplacement élémentaire rd

d’un

élément du circuit

d (fig. 1). Tous les points du circuit

sont translatés de rd

, or d’après la propriété du produit

mixte :

drdBdBrdBdrd ,,,,,,

Figure 1

cdIBSdIBdrdIrdBdIrdFdWd 222 ......

.

drdSd 2 : surface élémentaire balayée lors de déplacement de

d entre t et t+dt,

on obtient : cdIWd 22 . (2)

BSdd c

.22 est le flux élémentaire coupé de B

à travers d2S

I.1.Premier énoncé du théorème de Maxwell.

Pour l’ensemble du circuit, le travail élémentaire

fournit par la force de Laplace lors du déplacement rd

est :

cC

cC

dIdIWddW ..)(

2

)(

2

c

Cc dd )(

2 est le flux coupé par l’ensemble du

circuit pendant le déplacement rd

à travers

drdSdSd 2 balayé pendant ce déplacement.

Pour un déplacement global entre 2 positions initiale et finale, le travail des forces

électromagnétiques a pour expression :

)(

.C

cc dIdWW flux coupé global

Théorème de Maxwell (1er énoncé)

“Le travail des forces électromagnétiques de Laplace appliquées a un circuit électrique

(parcouru par un courant I permanent) se déplaçant dans un champ magnétique ( B

) statique est

égal au produit de l’intensité du courant par le flux magnétique coupé par le circuit lors de son

déplacement ”. cc IWdIdW .. (3)


I.2. Deuxième énoncé du théorème de Maxwell.

Relation entre le flux coupé c et la variation de flux

Figure 2

Considérons un circuit rigide (indéformable) parcouru par un courant I et qui se déplace

d’une position 1, initiale Ci, vers une position 2, finale Cf, dans un champ B

statique.

Soient if SSetSS 12 deux surfaces quelconques s’appuyant sur if CetC

respectivement. On désigne par :

- 21 netn

deux vecteurs unitaires normales à if SSetSS 12 (leur orientation obéit à la

règle du tire-bouchon) ;

- Dans le déplacement jusqu'à sa position finale 2 (surface 2S ), il engendre une surface

latérale laS (surface balayée par le circuit);

- Les normales sont orientées vers l'extérieur du volume délimité par l'ensemble des

surfaces S1, S2, et Sla.

- Le flux coupé est égal à :

laC

cS

c SdBdcardSBla

..

(4).

Comme B

est à flux conservatif, le flux de B

à travers (surface fermée constitué par les

3 surfaces S1, S2, et Sla) est nul:

1221 0)/(

0....)/(221 1

cc

S SSSS S

B

SdBSdBSdBSdBBlala

(5)

Où 2 et 1 sont respectivement les flux de B

à travers le circuit (C) en position 2 et en

position 1. Finalement on obtient le 2ème énoncé de théorème de Maxwell :

1212 ... cc IIIdIW (6)

“Le flux coupé est égal à la variation du flux à travers le circuit et ne dépend que des

positions initiale et finale du circuit.”


Théorème de Maxwell (2ème énoncé)

Le travail des forces électromagnétiques agissant sur un circuit rigide parcouru par un

courant I maintenu constant et se déplaçant dans un champ magnétique statique est égal à I

multiplié par la variation de flux de champ magnétique à travers la surface orientée par le

circuit. Il est indépendant du chemin suivi : ).(. ifIIW (7)

On dispose de deux méthodes pour calculer le flux coupé, à partir de la définition (4) ou

en calculant la variation du flux du champ magnétique entre la position initiale du circuit et la

position finale (7).

Pour un déplacement élémentaire, le travail élémentaire des forces de Laplace est :

dIdW . Où d. est la variation élémentaire du flux

II. Calcul des forces de Laplace à partir du flux. Règle du flux maximum

Soit un circuit placé dans un champ magnétique statique B

extérieur et parcouru par un

courant permanent I.

II.1. Energie potentielle électromagnétique Ep

.)(. IEdEIddIdW pp (8)

“L’expression (8) désigne l’énergie potentielle électromagnétique du circuit Ep définie à

une constante près.”

II.2. Torseur des forces électromagnétiques de Laplace

II.2.1. Force de Laplace

Le travail élémentaire des forces de Laplace est :

,,,,,. zyxdIdW

,, sont les rotations du circuit C autour des axes OzOyOx ,,

Pour le déplacement rd

:

dzz

Idyy

Idxx

IdzFdyFdxFrdFdW zyx

....

(9)

On en déduit l’expression de la force de Laplace dans le cas où le circuit subit trois

rotations autours de axes OzOyOx ,, :

)(..

IgradIF

zIF

yIF

xIF

F

z

y

x

(10)

“L’expression (10) est très utile pour calculer F

dans le cas de circuits de formes complexes.”


II.2.2. Moment résultant par rapport à un point O

Supposons que le circuit subisse une rotation élémentaire dautur de Ox, le travail

élémentaire des forces de Laplace est donné par :

..

..

IdI

dIddW

x

x

.

.

.

)(

I

I

I

O

z

y

x

(11)

On en déduit l’expression (11) du moment.

II.3. Règle du flux maximal

Soit un circuit soumis aux seules forces électromagnétiques de Laplace. A l’équilibre

stable, l’énergie potentielle est minimale Ep. Tout écartement du circuit par rapport à cette

position tend à augmenter Ep. Le circuit revient à sa position d’équilibre en diminuant son énergie

potentielle Ep (voir TD).

Comme .IE p , la position d’équilibre correspond au flux maximal du circuit.

“Un circuit tend toujours à se déplacer vers une position d’équilibre stable pour

laquelle le flux magnétique est maximal. ”

III. Énergie magnétostatique Wm

III.1. Cas d’un circuit filiforme

L’énergie magnétostatique de circuit filiforme (C) parcouru par un courant d’intensité I

est égale au produit de ce courant par la variation du, flux d’inductions, à travers le circuit

(C). Wm dépend essentiellement de sens de I : .IWm (12)

III.2. Cas de deux circuits filiformes

Soient 2 circuits C1 et C2 parcourus respectivement par des courants d’intensités I1 et I2.

On définit :

- 12 le flux d’induction magnétique à travers C1

crée par le courant I2.

- 21 le flux à travers C2 crée par le courant I1.

- 11 le flux à travers C1 crée par le courant I1

- 22 le flux à travers C2 crée par le courant I2

- avec 21222

12111

- L’énergie d’interaction magnétique entre C1 et C2 :

212121212121 ..2

1..int IIIIeractionWmi (13)


- En tenant compte des flux crées par les courants à travers leurs propres circuits, dans

ce cas l’énergie d’interaction magnétique entre C1 et C2 :

222111 ..2

1 IIpropreWmp (14)

- L’énergie total sera donc (14)+(13):

2211 ..2

1 IIWWW mimpm (15)

III.3. Cas de n circuits filiformes

Dans le cas général de n circuits qui sont parcourus par des courants In , l’énergie totale

emmagasinée par les n circuits couplés est :

i

n

iim IW

12

1 (16) tel qu’avec

n

jiji

1

ij est le flux créé par le courant de circuit j à travers le circuit i.

IV. Dipôle magnétique

Définitions :

- On appelle dipôle magnétique (toute source de magnétisme quasi-ponctuelle, assimilable

à une distribution localisée de courants dont les dimensions sont très petites devant les distances

où s’exercent ses effets)

- On appelle, aussi, dipôle magnétique tous circuit dont les dimensions sont très petit

devant la distance qui sépare le circuit et le point où l’on veut faire le calcul.

IV.1. Moment magnétique dipolaire

Soit une spire parcourue par un courant I permanent,

plongée dans un champ magnétique B

extérieur constant (ie ayant

une variation spatiale sur une échelle bien plus grande que la taille

de la spire), son moment magnétique dipolaire est :

S

SISdIM

. (17)

Où S : surface quelconque s’appuyant sur le contour (C),

orientée suivant la " règle du tire-bouchon ". La force de Laplace

est défini par :

0..

BdIBdIF

spirespire (18)

L’expression (18) montre que champ magnétique B

extérieur ne va donc engendrer aucun

mouvement de translation de la spire.


Si P point du circuit et O centre d’inertie de la spire, son vecteur surface est défini par :

OPdOPSspireC

2

1 D’après l’expression (17) OPdIOPM

spire.

2

1 (19)

Pour une distribution volumique de courant : dVjOPM .2

1

(20)

IV.2. Moment de la force de Laplace

Le moment, au point P, de la force de Laplace (expression (18)) par rapport au centre

d’inertie O de la spire s’écrit :

knoùBBSIBnSI

OPdBIBOPOPdI

OPdOPBIBOPOPdI

BOPdIOPFdOP

spire spire

spire spire

spirespire

...

2..).(.

).(..).(.

).(

0

2

spire

spirespire

spirespire

spire

spire

BMBnISBOPdOPI

BOPOPdBOPdOPI

BOPOPdIBOPdOPI

BOPdOPBOPdI

BOPdOPBOPOPdI

..2

1

).().(..2

1

).(.).(.0.

).(.).(.

).(.)..(.

2

Donc le moment de F

par rapport au centre d’inertie O s’écrit donc :

BMBSI

. (21)

Malgré une résultante des forces nulle (expression 18), le champ magnétique B

exerce un

moment magnétique (couple de la Force de Laplace) (expression 21), qui va avoir tendance à

faire tourner la spire sur elle-même, de telle sorte que son moment magnétique dipolaire M

(expression 19), s’aligne dans la direction de B

.

IV.3. Analogie entre dipôle magnétique et dipôle électrique

Moment électrique : .qM et le couple

EM

tend à amener le dipôle dans la

direction de E

.

Moment magnétique : SIM

. et le couple

BM

tend à amener le circuit

perpendiculairement à la direction de B

.

L’interaction entre un champ magnétique extérieur B

et un circuit électrique se traduit

par une énergie potentielle S

p SdBoùIE

.. .

S étant une surface s’appuyant sur le contour du circuit. Compte tenu des faibles

dimensions de ce dernier, B

est quasi-uniforme sur S et BME p

. (22)

On remarque l’analogie qui peut être faite avec les résultats sur le dipôle électrique à

savoir EpE p

. .


Chapitre 4 : INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE

INTRODUCTION

Les phénomènes d’induction électromagnétiques furent découverts pour la première fois

par le physicien anglais Faraday en 1831. Parmi les applications pratiques de ces phénomènes

physiques, nous citons comme exemples :

- Les moteurs électriques ;

- Les transformateurs ;

- Les générateurs de tension ;

- Les fours à induction . . . etc

I. Exemples d’expériences d’induction électromagnétique

I.1. Induction motionnelle

Fig 1.a : Le circuit C est immobile et l’aimant mobile Fig 1.b : Le circuit C est mobile et l’aimant fixe

“Un courant induit apparaît dès qu’il y a un mouvement relatif de la spire et de l’aimant.

Ce courant disparaît s’il n’y a pas de mouvement des deux.”

I.2. Induction non motionnelle

Le circuit C est immobile et baigne dans un champ magnétique variable avec le temps.

Exemple

Un circuit placé à côté d’un aimant mobile,

solénoïde parcouru par un courant I(t), variable dans

le temps. Ce solénoïde crée un champ B

variable à

travers le circuit. On remarque qu’il y a apparition

d’un courant induit dans le circuit.


II. Loi de Faraday et loi de Lenz

Soit un circuit placé dans un champ magnétique statique B

extérieur et parcouru par un

courant permanent I.

II.1. Loi d’induction de Faraday

Dans un circuit électrique qui est le siège d’une variation de flux magnétique, il se crée

une force électromotrice induite e : dt

de

(1) Loi de Faraday

La variation temporelle du flux magnétique à travers un circuit fermé induit une f.e.m. donnée

par l’expression (1).

Exemple : expérience des « rails de Laplace »

Fig 2.a Fig 2.b

Si on déplace la tige à la vitesse v, un courant induit i circule dans le montage. Il est dû à

l’apparition d’une fem induite consécutive à une variation du flux magnétique dans le circuit :

xBSB ...

(2)

(on choisit une orientation arbitraire du circuit, Figure 2.a).

vBdt

dxBxB

dt

d

dt

de ..)()(

(3)

On obtient le courant induit en appliquant la loi d’Ohm (Figure 2.b):

OhmdLoiR

vB

R

ei '

..

(4)

II.2. Enoncé de la loi de Faraday

Quelque soit l’origine des phénomènes d’induction, la loi de Faraday s’énonce comme

suit : dt

de

‘’La variation temporelle du flux magnétique à travers un circuit fermé induit une f.e.m’’

II.3. Enoncé de la loi de Lenz

Lenz a montré en 1834 que :

“le courant induit dans le circuit tend par ses effets à s’opposer aux causes qui lui ont données

naissance. C’est à dire à la variation du flux d’induction.”

Le signe “- ” dans l’expression de “ e ” traduit la loi de Lenz.


Exemple 1:

Reprenons l’exemple des rails de Laplace :

Le courant induit provoque dans le rail une …………………….………qui s’oppose au

mouvement de celui-ci.

Exemple 2: Boucle de courant placée dans un champ magnétique variable.

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………..

Exemple 3: Circuit en mouvement dans un champ fixe.

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………..

Exemple 4: Application l’alternateur

……………………

……………………

……………………

……………………

……………………

……………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………


III. Auto - induction (self-induction) Ce sont les phénomènes d’induction créés dans un circuit par une variation de l’intensité

du courant qui traverse le circuit lui-même.

On se place dans le cas où les variations sont assez lentes pour pouvoir utiliser les lois de

la magnétostatique (régime variable quasi-statique ou quasi-stationnaire).

III.1. Auto inductance (ou induction Propre)

Un circuit électrique C parcouru par un courant I. Ce courant engendre un champ

magnétique B

et crée ainsi un flux propre magnétique à travers le circuit lui-même :

ILISdr

rdSdB

L

S CS..

4.

3

0

(5)

Le flux propre est donc proportionnel au courant électrique :

L est le le coefficient d’auto-induction appelé aussi auto-inductance ou self .

son unité est le HenryH (Weber/Ampère) . L’unité du flux est le Weber

L dépend uniquement de la géométrie du circuit

L est tjrs positif

Exemple :

Soit un solénoïde de longueur ℓ= 10 cm, de section S = 10 cm2 contenant n=10 spires/mm

(n = N/ ℓ). Le flux propre est : )..(..)..(.. 2

0

2

0 SnLILISnNSB .

AN : L = 12.4mH

III.2. f.e.m d’auto-induction

On se limitera au cas d’un circuit rigide. Dans ce cas particulier l’inductance L est

constante. Si I varie, le flux varie et la f.e.m. d’auto-induction est donnée par :

dt

dIL

dt

de

(7)

“La f.é.m. d’auto-induction tend (Loi de Lenz) à produire un courant qui s’oppose à la variation

du courant dans le circuit.”

III.3. Bobine électrique

Une bobine électrique est un enroulement de fil conducteur. L’inductance L (en henry) est

la grandeur caractéristique d’une bobine.

Remarque : un solénoïde est une bobine formée par un conducteur enroulé autour d’un

cylindre.

Relation entre courant et tension dans une bobine parfaite

La bobine est le siège d’une fem auto induite :

dt

diL

dt

de


Il vient donc : dt

diL

dt

deu

(en convention récepteur)

Relation entre courant et tension dans une bobine réelle

Une bobine possède une certaine résistance électrique r (c’est la résistance de

l’enroulement) dont il faut tenir compte : dt

diLriu (8)

Energie emmagasinée par une bobine

Une bobine contient de l’énergie sous forme électromagnétique : 2.2

1iLW (9)

avec : W : énergie en joule (J)

L : inductance en henry (H)

i : intensité du courant électrique circulant dans la bobine en ampère (A)

IV. Induction Mutuelle

On considère deux circuits rigides, filiformes C1 et C2 parcourus par I1 et I2 placés l’un à

côté de l’autre dans le vide. On adopte comme sens de parcours positif celui des courants sur les

circuits C1 et C2. I1 et I2 sont comptés algébriquement. Soient 1B

le champ crée par C1 et 2B

le

champ créé par C2.

12 : flux de 2B

à travers S1

21 : flux de 1B

à travers S2

11 : flux de 1B

à travers S1

22 : flux de 2B

à travers S2

IV.1. Induction mutuelle

On peut donc écrire :

1122221222

2121112111

IMIL

IMIL

(10)

Le flux 21 de B1 à travers la surface S2 du circuit C2 est :

121211221

3

2110

2121 ...4

.2

21

2 1

IMISdr

rdSdB

S

M

S C

(11)

Le flux 12 de B2 à travers la surface S1 du circuit C1 est :

212122112

3

1220

1212 ...4

.1

12

1 2

IMISdr

rdSdB

S

M

S C

(12)


Les flux totaux à travers C1 et C2 sont donnés par :

1122221222

2121112111

IMIL

IMIL

(13)

On montre que M12 =M21 = M. M : coefficient d’induction mutuelle ou inductance

mutuelle. L’unité est le Henry (H).

M12 et M21 : dépendent de la distance rij entre les 2 circuits et de la géométrie de

chaque circuit.

L’énergie potentielle d’interaction mutuelle entre C1 et C2 est :

21212121 .... IIIIMEp (14)

IV.2. f.e.m. d’induction mutuelle en régime variable

On se place dans le cas des circuits rigides.

Si I1 varie, le flux 21

=M.I1 varie et il naît dans C2 une f.e.m. d’induction :

dt

dIM

dt

de 121

21 .

(15)

Si I2 varie, le flux 12

=M.I2 varie et il naît dans C1 une f.e.m. d’induction :

dt

dIM

dt

de 212

12 .

(16)

Les f.e.m. d’auto et mutuelle induction s’ajoutent :

dt

dIM

dt

dILeeeCCircuit

dt

dIM

dt

dILeeeCCircuit

12

2212222

21

1121111

..:

..:

(17)

IV.3. Couplage entre plusieurs circuits

Soient C1, C2,. . . C

n “n” circuits parcourus par les courants I

1, I

2 . . . I

n respectivement. On

montre que le flux total à travers un circuit Ck est donné par :

IMILn

k

kkk

n

k

kkkk .11

(18)

Mkℓ

est l’inductance mutuelle entre les circuits Ck et C

ℓ.

k c’est le flux total envoyé à

travers Ck par l’ensemble des autres courants filiformes Cℓ.

Écriture matricielle :

nnnn

n

n

n I

I

I

LMM

MLM

MML

2

1

21

2221

1121

2

1

(19)

La f.e.m induite dans le circuit Ck est :

n

k

kk

kk

kdt

dIM

dt

dIL

dt

de

1

..

(20)


V. Energie magnétique des circuits

Nous allons calculer dans ce paragraphe l'énergie magnétique emmagasinée dans un

circuit dont lequel passe le courant I ou bien dans un ensemble de circuits couplés (Cn) dans

lesquels circulent des courants (In).

V.1. Cas d’un circuit

On montre que l’énergie magnétique emmagasinée dans un circuit filiforme parcouru par

un courant I permanent et plongé dans un champ B

est :

StokesThSdBdAorArotBavecdAIWSCC

m ...)(..2

1

L’expression de l’énergie devient : .2

1.

2

1 2 IILWm (21)

Exemple : Solénoïde de longueur ℓ

Cas d’un circuit plongé dans son propre champ B

: .2

1.

2

1 2 IILWm

Dans le cas de la solénoïde longueur ℓ :

22

0

2222

0

2

0

.2

1.

2

1

)..(.2

1...

2

1.

2

1

RN

LILIRN

W

NRIN

INSBIIW

L

m

m

V.2. Cas de deux circuits filiformes en interaction

Soient deux circuits couplés C1 et C2, parcourus par des courants établis I1 et I2,dont les

inductances propres sont L1 et L2 et le coefficient d’inductance mutuelle est M. Par simplification

d'écriture nous prenons M > 0.

À l’instant t, on appelle respectivement i1 et i2 les courants dans C1 et C2. Les flux qui

traversent C1 et C2 sont : 12221222

21112111

MiiL

MiiL

A t + dt, les courants sont i1 + di1 et i2 + di2 et les variations des flux sont :

12221222

21112111

MdidiLddd

MdidiLddd

Le travail élémentaire nécessaire pour passer de l’état à l’instant t à l’état à l’instant t+dt

vaut donc : 12212221112211 diidiiMdiiLdiiLdididWm

Par intégration on obtient l’énergie totale emmagasinée par les deux circuits couplés est :

21221122112

1

2

1IMIILILIIdWW mm (22)


Remarques :

- L'énergie magnétique est positive (emmagasinée) quelques soient quelques I1 et I2, ceci

entraîne 21

2 LLM .

-

22111221212121

2221112211

212211

22int2

1

2

1

int2

1

IIIIIMIeractionW

IIILILpropreWavec

eractionWpropreWIMIILILdWW

V.3. Cas de n circuits filiformes en interaction

Dans le cas général de n circuits qui sont parcourus par des courants In , l’énergie totale

emmagasinée par les n circuits couplés est :

n

i

j

n

ij

i

n

i

iii

n

i

im IIMILIW11 2

1

2

1 (23)

Avec

n

jiji

1

et ij est le flux de l’induction magnétique créé par le courant de circuit j à

travers le circuit i.

V.3. LOCALISATION DE L’ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE

Dans le cas de circuits filiforme. L’énergie électromagnétique est localisée dans l’espace

où règne le champ électromagnétique B

créé par le circuit.

Nous allons calculer la densité d’énergie emmagasinée par un solénoïde dont le rayon des

spires est très inférieur à sa longueur ℓ. Dans ce cas le champ magnétique B

est uniforme à

l’intérieur et nulle à l’extérieur et vaut : B = 0.n.I où n est le nombre de spires par unité de

longueur tel que n = N/ℓ avec N le nombre total de spires.

On en déduit le flux et l’énergie totale emmagasinée par le solénoïde :

VB

SB

ILIW

circuitdepropreceinducL

ILSIN

SnINSBN

m .2

..2

.2

1.

2

1

.tan:

.....

0

2

0

22

2

00

L’énergie par unité de volume est : 0

2

2

BWm (24)

Remarque :

Dans le cas du condensateur plan, la densité d’énergie emmagasinée entre les armatures,

espace où règne le champ électrique est 2

02

1EWe . Ces deux cas sont généraux :

Dans le vide, l’énergie par unité de volume de l’espace où règne un champ

électromagnétique est :

0

22

022

1

BEW (25).


VI. CONCLUSION

En électromagnétisme, il existe un ensemble d’équations locales, caractéristiques des

propriétés des champs et qui permettent de décrire entièrement le champ électromagnétique : ce

sont les équations de Maxwell.

Dans ce chapitre ainsi que celui sur les champs coulombiens (voir cours E1(électricité 1)

– E2 (électrostatique dans le vide), nous avons obtenu les équations de Maxwell dans le vide pour

les champs indépendants du temps.

-

0

Ediv

Forme locale du théorème de Gauss.

- 0

Erot E

dérive d’un potentiel scalaire ( VgradE

).

- 0Bdiv

B est à flux conservatif ( ArotB

).

- jBrot

0 Forme locale du théorème d’Ampère.

- t

BErot

Équation Maxwell – Faraday.

Physic on my

mind. It should

have been me….

Chapter is over ….

Physic on my

mind. It should

have been me….

Physic on my

mind. It should

have been me….

Chapter is over ….Chapter is over ….

(James Clerk Maxwell)


Ce qu’il faut savoir

a- Propriétés du champ magnétique

- BvqF

Force de Laplace d’1 particule de charge q et de vitesse v dans B.

- BdIFd

. Force de Laplace d’un circuit.

-2

0 ..

4 r

udIBd

Formule de Biot et Savart.

b- Conservation du flux

- 0Bdiv

Équation locale de conservation du flux.

- s

SdB 0.

Forme intégrale de conservation du flux.

- ArotB

B

dérive d’un potentiel vecteur A

.

c- Théorème d’Ampère

-

k

kIdB 0.

Théorème d’Ampère sous forme intégrale.

- jBrot

.)( 0 Forme locale du théorème d’Ampère.

d- Potentiel vecteur A

- r

rBrAArotB

)()(

A

potentiel vecteur

- C r

dIA

4

0 Définition du potentiel vecteur.

- 00 jA

Équation local de A

analogue à l’équation de poisson.

- CS

dASdBSB

../ Forme intégral de A

.

e- Méthode de calcul d’un champ magnétique

- Connaissant A

)(ArotB

.

- Loi de Biot et Savart donnant :

C r

udIB

2

0 .

4

.

- Théorème d’Ampère :

k

kISdjdB 00 ..

.

f- Travail des forces et énergies en Magnétostatique

- .. IIW c Théorème de Maxwell.

- SdBlaS

c

. Flux coupé

- .IE p Énergie potentiel électromagnétique.

- .IWm Énergie magnétostatique d’un circuit.

- 2211 ..2

1 IIWm Énergie magnétostatique de 2 circuits.


- i

n

i

im IW

12

1 Cas de n circuits.

g- Inductance magnétique

- CC

mi dBvdEe

.. F.E.M.

- tt

e c

i

Loi de Faraday.

- q

FBvEm

et

t

AEm

champ électromoteur.

- t

BErot

Équation de Maxwell – Faraday.

- ILISdr

rdSdB

L

S CS..

4.

3

0

L’inductance propre.

h- Énergie des Inductances

- 2.2

1ILWm Énergie emmagasiné par un circuit.

- 22112122112

1

2

1 IIIMIILILWm cas de 2 courants.

-

n

i

j

n

ij

i

n

i

iii

n

i

im IIMILIW11 2

1

2

1 cas de n courants.

- 0

2

2

BWm Énergie magnétique par unité de volume.

- 2

02

1EWe Énergie électrique par unité de volume

- 0

22

022

1

BEW énergie électromagnétique par unité de volume


Chapitre 5 : Le courant alternatif

I. Introduction

Le module d’électricité 1 contient l’étude des circuits comportant différentes

combinaisons de résistances, de condensateurs et d'inducteurs et alimentés par une source de

force électromotrice continue.

Dans ce chapitre nous allons voir ce qui se passe lorsqu'on connecte ces divers éléments à

une source de f.é.m. qui délivre une tension alternative et plus particulièrement une tension de

forme sinusoïdale.

But : étude de circuits électrique avec

un générateur de courant où de tension

variable et plus particulièrement une tension

de forme sinusoïdale

Remarque : Le courant électrique domestique est un courant alternatif sinusoïdal de

tension 110/220 volt et de fréquence 50 Hz.

1. Définitions :

On appelle courant alternatif, un courant électrique dont l’intensité est une fonction f(t):

- Périodique du temps : )()( tiTti .

- De valeur moyenne algébrique nulle comptée sur un nombre entier de périodes T.

- T

moy dttfT

Ff0

)(1

- Conclusion : un courant ou une tension dont la valeur moyenne est nulle est alternatif

Exemples de courant alternatif :

Signal carré :

A)t(f,2,2

Tpour

A)t(f,22

T,0pour

Signal triangulaire : Signal en dents de scie


2. Les grandeurs périodiques :

Un signal périodique est caractérisé par sa :

Période T : La période d’une fct périodique est l’intervalle de temps constant T qui

sépare 2 instant consécutifs ou le signal se reproduit identiquement a lui-même .

Fréquence f : La fréquence f (en hertz) correspond au nb de périodes par unité de temps

: f = 1/T

A.N.

T = 2 ms ↔ f = 500 Hz

(500 périodes par s)

Pulsation

La pulsation est définie par : = 2f = 2/T (en radians par seconde).

3. Valeur moyenne, composante DC et AC, et valeur efficace :

3.1. Valeur moyenne

La valeur moyenne d’une fonction périodique de période T est donnée par :

T

moy dttfT

F0

)(1

3.2. Composantes DC et AC

Une grandeur périodique a 2 composantes :

- La composante continue (c’est la valeur moyenne ou « offset ») et la composante

alternative : u(t) = <u> + uAC(t) :


Remarques :

- la composante alternative a une valeur moyenne nulle : <uAC> = 0

- 1 grandeur périodique alternative n’a pas de composante continue : <u> = 0

3.3. Valeur efficace

La valeur efficace de f(t) est donnée par : T

eff dttfT

F0

2)(

1

La valeur efficace est définie comme la racine de la moyenne du carré de la fonction. (En

anglais RMS : root mean square). La valeur efficace est une caractéristique définie pour

certaines grandeurs physiques telles que le courant ou la tension. Elle exprime l’effet de ces

grandeurs sur une charge. Par exemple, la valeur efficace d’un courant périodique est la valeur

d’un courant continu qui produirait le même échauffement en traversant la même résistance.


➢ Exemple :

➢ Exemple : RADEEF fournit une tension sinusoïdale alternative de valeur efficace 220 V

et de fréquence 50 Hz → Umax = 311 V.

3.4. Exercice sur valeur efficace:

➢ Réponse :

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

4. Théorème de Fourier:

Une fonction périodique f(t) de période T peut se décomposer en une somme de fonctions

sinusoïdales de la forme : (décomposition en séries de Fourier)

1n

nn0 )T

2etentiern()tnsinbtncosa(a)t(f

Les coefficients a0, an et bn sont indépendants du temps et sont donnés par les intégrales

suivantes :

T

0n

T

0n

T

00 dt)tnsin()t(f

T

2bdt)tncos()t(f

T

2adt)t(f

T

1a


On remarque que a0 est la valeur moyenne de la fonction f(t) : a0 est donc nul si la

fonction f(t) est alternative. La fonction périodique f(t) peut alors s’écrire :

1n

n )tncos()t(f

L’étude du courant alternatif revient donc à l’étude du courant alternatif sinusoïdal.

II. Le courant alternatif sinusoïdal

II.1. Fonction mathématique :

Un courant électrique est dit sinusoïdal si l’intensité i de ce courant varie d’une

façon sinusoïdale avec le temps : )tcos(I)t(i m

Im et sont respectivement l’amplitude et la pulsation du courant.

est la phase à l’instant t=0.

Intensité et tension efficace

T

m

T

m

T

meff dtI

Tdtt

I

TdttI

TI

0

2

0

2

0

222

2

1)(2cos

2

1)(cos

1

(En utilisant la relation suivante : 2

12cos)(cos2

aa )

- la première intégrale étant nulle on trouve l’expression de l’intensité efficace dans le

cas d’un courant sinusoïdal : 2

meff

II - de la même manière on définit la tension efficace

2

meff

VV pour une tension )cos()( tVtv m

Remarques :

- Dans un schéma de circuit, une source de f.é.m. alternative est représentée par le symbole

suivant :

- La valeur efficace d’une grandeur sinusoïdale est égale au quotient de sa valeur maximale

par la racine de 2. En pratique, u(t) et i(t) sont définies par leurs valeurs efficaces.

- 2

meff

II et

2

meff

VV

- Les multimètres en position (AC = ~ ) crt alternatif indiquent la valeur efficace des

tensions et courants alternatifs sinusoïdaux.

- Nous prendrons pour convention de représenter les valeurs instantanées des courants et

des tensions alternatives par des lettres minuscules (i, v), et les courants et les tensions

continues par les lettres majuscules.


II.2- Représentation de Fresnel

C’est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales. Le vecteur de

Fresnel associé au courant i(t) est défini de la façon suivante :

i

eff

IOx

II

),(

Exemple :

)4

sin(25)()12

sin(23)(

ttuettti

II.3. Calcul avec les nombres complexes :

Un nombre complexe s’écrit : Ccetbaavecjbac 2),( (pour des

raisons pratiques on présente les grandeurs complexes avec une barre en haut). Que l’on peut

écrire aussi sous forme polaire : )

a

bArctg()cArg(

eccj


II.3. 1. Opérations sur les nombres complexes :

Somme :

)(

(

))21

21

21

2

21

2

21

2121

222111

aa

bb

)b(b )a (a

bj(ba(acAddition :

jbacet jbacSoient

Arctg

ec

cc

j

Produit :

)(

21

21

21.

)).

jeccc

cc 21212121

222111

abbj(abba(acProduit :

jbacet jbacSoient

II.3.2. Passage des valeurs instantanées aux grandeurs complexes :

- Soit une fonction tVtv m cos)( on lui associé une fonction complexe

instantanée tj

mtj

m eVeVtv )( tel que j

mm eVV .

- On définit l’amplitude complexe (ou le phaseur) par : j

mm eVV

- Pour retrouver la fonction sinusoïdale de départ on écrit : )Re()( tjmeVtv

- Le calcul avec les amplitudes complexes est extrêmement simplifié par le fait que

la dépendance temporelle des grandeurs électriques a totalement disparu.

- Avec l’introduction des nombres complexes, un circuit à courant alternatif

sinusoïdal se traite donc comme un circuit à courant continu mais où les grandeurs électriques

comme mV et mI sont des amplitudes complexes (phaseurs).

- Evidemment, il faudra veiller à bien indiquer la présence des valeurs complexes

par la barre. De plus, on peut faire ce passage en fonctions complexes uniquement si toutes les

fonctions sinusoïdales impliquées dans un circuit ont la même fréquence f.


II.3.2. Amplitude, Nombre, complexe associé:

III. Déphasage (ou ≠ce de phase) entre 2 grandeurs sinusoïdales


IV. Les réseaux électriques en courant alternatif

Un circuit électrique linéaire est composé uniquement de dipôles linéaires passifs : R, L, C

et actifs : source de courant ou de tension sinusoïdal. Dans un tel circuit, v(t) et i(t) sont

sinusoïdaux (de fréquence f). On peut donc utiliser :

- la représentation vectorielle

- ou les nombres complexes associés.

L’étude des réseaux est régie par les mêmes lois que celles utilisées en courant continue à

condition, d’introduire la variable temps, de considérer les grandeurs instantanées où les

grandeurs complexes.

IV.1. Lois de Kirchhoff en AC :

Loi des nœuds : a chaque instant t, la somme algébrique des intensités du courant en un

nœud est nulle : n

nn )t(ix 0 .

Avec : xn=1 si le courant in arrive au nœud et xn=-1 si le courant part du nœud.

En représentation complexe : n

nn Ix 0

En raison des déphasages, la loi des nœuds ne s’applique pas aux valeurs efficaces.


Loi des mailles : la somme algébrique des tensions instantanées aux bornes des différents

éléments d’une maille du réseau est nulle : n

nn )t(vx 0 .

Avec xn=1 si le sens de parcours de la maille est le même que le sens d’orientation de la

tension et xn=-1 dans le cas contraire.

En représentation complexe : 0n

nnVx (Vn c’est l’amplitude complexe de la tension)

Loi des branches / Loi des mailles : u(t) = u1(t) + u2(t). La loi des branches ne s’applique

pas aux valeurs efficaces :

)()()(

)()()(

21

21

tUtUtU

tUtUtU

IV.2. Les théorèmes généraux :

Les théorèmes de superposition, de Thévenin et de Norton restent valables en courant

alternatif :

- Théorème de superposition :

Si le réseau contient plusieurs générateurs, le courant dans une branche est la somme

algébrique des courants dans cette branche lorsque chaque générateur est considéré seul dans le

réseau et les autres sont remplacés par leurs impédances internes.

- Théorème de de Thévenin : :

Soit un réseau contenant des générateurs et des éléments passifs. Entre 2 points P et N

quelconques, le réseau est équivalent à un générateur de tension dont la f.e.m. Eth est la ddp

entre P et N et dont l’impédance interne Zth est l’impédance équivalente entre P et N lorsque tous

les générateurs sont remplacés par leurs impédances internes.

IZVVVV ThvideNPechNP arg

et IZVVE ThechNPTh arg

Méthode

Soit un réseau contenant des générateurs et des éléments passifs. Entre 2 points P et N

quelconques, le réseau est équivalent à un générateur de tension :

f.e.m.: Eth = la ddp entre P et N

➢ Eth = VP - VN avec dipôle (entre P et N ) débranché.

en série avec une impédance interne Zth

➢ Zth = Zéq : impédance équivalente entre P et N lorsque, on court-circuit les

Générateurs de Tension (G.T) et on ouvre les Générateurs de Courant

(G.crt), (tous les générateurs sont remplacés par leurs impédances

internes).

➢ Zth entre P et N est déterminé en débranchant le dipôle entre P et N dans

la figure de réseau et en annulant tous les générateurs.


- Théorème de Norton : :

Entre 2 points P, N quelconques, le réseau est équivalent à un générateur de courant dont

le courant de court-circuit IN est le même que le courant de court-circuit du réseau entre P et N

et dont l’impédance interne ZN est l’impédance équivalente entre P et N lorsque tous les

générateurs sont remplacés par leurs impédances internes.

Méthode

- On court-circuit entre les bornes a et b pour trouver le courant de Norton.

- On calcule le courant total délivré par la source de tension.

- On trouve ensuite le Courant de Norton par la formule du diviseur de courant


IV.3. Tension, courant et impédance

Soit un élément passif (résistance, condensateur, bobine, etc.) alimenté par une tension

alternative : )t.cos(V v(t) m

Il s’établit dans le circuit un courant alternatif i(t) (régime permanent) de même fréquence

que v(t) : )t.cos(I i(t) m '

La différence de phase = (φ’- φ) est appelée le déphasage de i(t) par rapport à v.

Habituellement on choisit une des deux phases (φ où φ’) nulle et on cherche l’autre. On choisit

φ’=0

I

V Z


Si l’on introduit les valeurs complexes :

m'j

mm

jmm

IeII)t(i

eVV)t(v

L’impédance complexe du circuit Z est définie par :

A noter que :

Le déphasage est donné

par :

Z

Z)(tg

)sinj(cosZZeI

V

eI

eV

)t(i

)t(v

I

VZCZeZ

eI

V

I

eV

I

VZ

e

m

j

m

m

tjm

)t(jm

m

mj

j

m

m

m

jm

m

m

Remarque : si on choisit φ = 0, alors : )'sin'(cosZeI

V

eI

V

I

VZ

'j

m

m

'jm

m

m

m

et

par conséquent le déphasage de i(t) par rapport à v(t) est donné par : Z

Z)'(tg

e

m

On écrit alors la loi d’Ohm complexe :

VoltI.ZV

De façon générale, pour un circuit donné, l’impédance CZ , donc peut être écrite en

représentation cartésienne : jXRZ

- Avec : R = résistance ohmique du circuit [Ω] (R ≥0)

- Et X = réactance du circuit [Ω]

- Si X >0 l’élément passif est inductif

- et si X<0 le dipôle est capacitif et si X=0, le circuit est purement ohmique.

IV.4. Les impédances en série et en parallèle

a. Association d’éléments passifs en série :

Lorsque divers éléments d'un circuit sont branchés en série, comme à la figure ci-dessous,

l'impédance équivalente de la combinaison d'éléments est égale à la somme des impédances de

chaque élément 1Z et 2Z .

Z2 Z1 i

v

En effet on a le même courant qui circule dans les deux branches :

Donc : IZIZZVVV eq )( 2121

L’impédance complexe de l’élément équivalent est donnée par :

21 ZZZeq


b. Association en parallèle :

La loi des nœuds est valable en courant alternatif à condition de prendre les grandeurs

complexes :

2121

Z

V

Z

V

Z

VIII

eq

par conséquent l’impédance

complexe équivalente est donnée

par :

21

111

ZZZeq

Z1 Z2

i

i1 i2

- En parallèle, les admittances complexes s’additionnent.

- Voyons maintenant ce que valent les impédances dans quelques cas particuliers.

V. Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdale


V.1. Circuit comportant uniquement une résistance pure :

Soit une résistance R alimentée par une source de f.é.m. alternative v(t) = Vm cos (t).

La loi d'Ohm nous dit qu'à chaque instant, vR(t) = R i(t), où i est le courant qui circule dans le

circuit. Par conséquent : v(t) = R i(t),. Le courant aura la même dépendance temporelle que la

tension délivrée par la source à une constante R près. Le courant aura la forme :

)tcos(I)tcos(R

V)t(i m

m . Im et Vm sont respectivement l'amplitude du courant et de

la tension aux bornes de la résistance.

Dans le cas d'une résistance, la notion de résistance et d'impédance complexe

coïncident.


V.2. Circuit comportant uniquement un condensateur idéal (capacité pure)


V.3. Circuit comportant uniquement un inducteur

A la figure ci-dessus un inducteur d'inductance L est connecté aux bornes d'une source

de f.é.m. alternative, v. Supposons que celle-ci produise un courant sinusoïdal :

)tcos(I)t(i m (φ’=0)

Et voyons quelle doit être la forme de v(t). D'après la loi des mailles, nous avons vL (t) = v(t).

Représentation complexe :

La loi d’induction : dt

)t(diL)t(v jLZIjLV mm

Donc l’impédance d’une inductance vaut : jLZ

)2

tcos(V)t(v20

L

Z

Z)(tg m

e

m

- Tension et courant ont la même fréquence, f = /2 mais sont déphasés de 2

.

- Cette situation est illustrée en haut. Elle montre que cette fois, la tension est en

avance de 2

par rapport à au courant.

- En comparant les deux circuits comportant L et C, on constate que :

o Pour celui contenant le C, i(t) est en avance de phase par rapport à v(t)

o Alors que pour le circuit contenant L, i(t) est en retard par rapport à v(t).


V.4. Le circuit RLC série en courant alternatif

Étudions maintenant le circuit RLC de la figure ci-dessous qui comporte une résistance

R, un inducteur d'inductance L et un condensateur de capacité C, montés en série et alimentés

par une source de f.é.m. alternative sinusoïdale de fréquence angulaire .

Fig. 1

Nous avons vu que dans ce cas, pour chacun de ces trois éléments, le courant était lui

aussi sinusoïdal et de même fréquence que celle de la source. Comme c'est le même courant

i(t) qui passe en chaque point du circuit, nous avons :

)cos()()()()( tItitititi mLCR

Dans la résistance, tension et courant sont en phase et que :

)cos(.)cos()( tVtRItv RmmR

Dans un condensateur, le courant devance la tension de 2

:

)2

cos()2

cos(1

tVtIC

v mCmC

Dans un inducteur, le courant est en retard de 2

par rapport à la tension :

)2

cos()2

cos(

tVtLIv mLmL

En appliquant la loi des mailles au circuit RLC Série, nous avons à chaque instant :

)2

cos()2

cos(cos)(

tILtC

ItRIvvvtv m

mmLCR (1)

ou bien : dtiCdt

diLiRtVtv m .

1.)cos()( (2)

Avec le déphasage de i par rapport à v

Comme vR, vC et vL n'ont pas le même déphasage, l'amplitude de la source n'est pas

égale à la somme des amplitudes de vR, vC et vL ; il en va de même pour les tensions efficaces.

Problème : Pour pouvoir relier la tension efficace de la source à celles des éléments du

circuit, tout comme pour calculer le déphasage de la source par rapport au courant, il faudrait

effectuer la somme des trois sinus d'angles différents dans l'expression (1) et se lancer dans

des calculs trigonométriques très longs.


Solution : Pour faciliter la résolution de ce problème, on préfère généralement faire

appel à une représentation vectorielle des tensions (représentation de Fresnel) ou faire appel à

la représentation dans le plan complexe et travailler avec des imaginaires. Nous allons exposer

ces méthodes dans les deux sections suivantes.

V.4.1. La Représentation de Fresnel

Pour pouvoir résoudre les circuits alternatifs complexes sans trop de difficultés, on

représente tensions et courants par des vecteurs tournants.

Dans le plan Oxy, une tension

dtiCdt

diLiRtVtv m .

1.)cos()(

(ou un courant), est représentée par un

vecteur de longueur égale à l'amplitude de la

tension Vm, faisant un angle (t + , avec

l'axe Ox (voir figure en face). C'est donc un

vecteur qui tourne dans le temps avec une

fréquence angulaire . Cette représentation

est appelée représentation de Fresnel.

t + x

y

Vm

0

Vy

Vx

La tension instantanée est donnée par la composante x de ce vecteur :

)cos()( tVv mx .

Dès lors, une relation comme la relation (2) devient une relation entre les composantes

x des vecteurs qui représentent les différentes tensions instantanées apparaissant dans cette

relation : LxCxRxx vvvv

Pour trouver v, il suffit donc de faire l'addition vectorielle des trois vecteurs

représentant vR, vC et vL.

La figure (2.a) montre un exemple de représentation des tensions et courant vR, vC , vL

et i(t), à l'instant t, pour le circuit de la Fig. 1 (nous avons choisis VmL>VmC).

Fig. 2

Ф Vm

O

Im

VmR

VmC

x

y

ωt

Im

VmR

VmC

x

y

ωt VmL-VmC

VmL-VmC

VmL

(a) (b)


A la figure 2.b la construction qui permet de calculer la somme vectorielle des

vecteurs représentant, vR, vC et vL est explicitée.

Les vecteurs représentant, vC et vL étant de sens opposés sont d'abord additionnés.

L'amplitude VmL étant plus grande que l'amplitude VmC, le résultat donne un vecteur de même

sens que celui représentant VL et de longueur mCmL VV .

Ensuite ce dernier vecteur est ajouté à celui représentant vR, en appliquant la règle du

parallélogramme. Le vecteur représentant la tension de la source v est donné par la diagonale

de ce parallélogramme, qui est ici un rectangle. Sa longueur donne l'amplitude de v :

22

mRmCmLm VVVV (3)

et l'angle qu'il fait avec le vecteur représentant le courant, donne le déphasage de la source

par rapport au courant :

m

mR

V

Vcos (4)

ou encore :

mR

mCmL

V

VVtg

(5)

Le signe de dépend du signe de mCmL VV

Remarquons que tous les vecteurs de la figure (2.a) tournent ensemble, avec la même

fréquence angulaire ; les angles qu'ils font entre eux ne changent pas au cours du temps,

leurs longueurs non plus.

Dès lors, il suffit de représenter tensions et courant à l'instant t = 0 et d'effectuer la

somme vectorielle à cet instant (voir figure 3).

Dès lors, le courant et la tension aux bornes des résistances sont toujours représentés

par des vecteurs de même sens que l'axe des x, les tensions aux bornes d'un inducteur, par un

vecteur dans le sens des y positifs et celles aux bornes d'un condensateur, par un vecteur dans

le sens des y négatifs.

Figure 3


V.4.2. Méthode des imaginaires où représentation dans le plan complexe

La méthode vectorielle, proposée à la section précédente, devient-elle aussi difficile à

mettre en pratique dans les circuits complexes. On préfère alors tirer parti des possibilités de

calcul avec les nombres complexes ;

Au lieu de représenter tensions et courant par un vecteur de Fresnel, on le représente

par un point dans le plan complexe, les parties réelle et imaginaire du nombre complexe

associé sont donc les coordonnées x et y du vecteur de Fresnel :

La tension, (ou un courant) )cos(.)( tVtv o est représentée par le nombre complexe :

)sin(.ImIm

)cos(.)(

sincos

00

00

0

tVeVeVy

tVeVeVtvx

eVeVtjtVV

o

tjtj

o

tj

e

tj

e

tj

m

tj

o

La tension instantanée est dès lors donnée par : )cos(.)( 00 tVeVeVtv o

tj

e

tj

e

Dans ce cas oo VV car la phase est nulle.

De la même manière : si l’intensité du courant est de la forme : )cos(.)( tIti o

En représentation complexe : )cos(..Re)()(

...)(

tIeItIti

eIeIIeItI

o

tj

oe

j

m

j

oo

tj

o

avec j

m

j

oo eIeII .. l'amplitude complexe associée.

But : On veut déterminer Io et de circuit RLC en série

Dans le cas du circuit RLC de la figure 1, pour déterminer Io et nous avons besoin de

calculer dt

id et dti .


CLjRZ

IZV

CLjRI

j

I

CILjIRVVVV

eIj

ej

IdtIeteIj

dt

Id

VVVdttICdt

tIdLtIReVtV

vvvdttiCdt

tdiLtRitVtv

mLmCmR

tjtjtj

LCR

tj

LCR

1

.

1.

1

.

)(1)(

)()(

)(1)(

)()cos()(

00

00

000

000

0

0

Avec )1

(

C

LjRZ est l'impédance complexe du circuit. La relation

oo IZV est analogue à la loi d'Ohm.

Calcul de l'amplitude Io

Pour déterminer I0 et le déphasage (courant / tension) d’un circuit, il suffit de déterminer

l’impédance équivalente Z. On a : )cos(.)( tIti o , soit en notation complexe

oo

o

tj

oe

j

m

j

oo

tj

o

IZV

tIeItIti

eIeIIeItI

)cos(..Re)()(

...)(

22 )1

(

C

LR

V

Z

VI oo

o

Calcul du déphasage .

De même pour déterminer le déphasage on écrit :

)sinj(cosZeZeI

V

I

VZ

j

jo

o

o

o

)(

)()(cos:

/1cos

Ze

Zmtget

Z

Zesoit

R

CLtget

Z

R


Remarque : Le signe du déphasage de l’intensité par rapport à la tension dépend du

signe de la quantité Lω-1/Cω. Si >0 l’intensité est en avance de phase par rapport à la

tension, sinon elle est en retard.

VI. La puissance électrique en courant alternatif AC

On remarque que Pa ne dépend pas du temps, Le produit effeff IV est appelé puissance

apparente et effeff IV

Pacos est appelé facteur de puissance.


22 effeff

vp i R

R

où Ieff et Veff sont le courant et la tension efficace.

Nous avons Ieff = I0/2et Veff = V0/2, pour des tensions et courants sinusoïdaux.


Contrairement à une résistance, un condensateur ne dissipe pas d'énergie sur un

nombre demi-entier de périodes. Ceci résulte du déphasage entre courant et tension. Pendant

un quart de cycle, le condensateur emmagasine de l'énergie en accumulant des charges sur ces

armatures, le produit (v.i) est positif, énergie qu'il restitue entièrement à la source pendant le

quart suivant du cycle, le produit (v.i) est négatif (voir figure ci-dessous). Une résistance, par

contre, n'emmagasine pas l'énergie : elle la dissipe en chaleur et ne la restitue donc pas à la

source.


Tout comme le condensateur, l'inducteur ne dissipe pas d'énergie sur un nombre demi-

entier de périodes, dû au déphasage entre courant et tension. Pendant un quart de cycle,

l'inducteur emmagasine de l'énergie, le produit v i est positif ; il la restitue ensuite entièrement

à la source pendant le quart de cycle suivant, le produit v i est négatif (voir figure ci dessous).

smi s4 e2 · 2018. 6. 18. · electromagnétisme jean marie brebec hprépa . page 5 sur 70...

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