Signaux électriques dans l’ARQS

Lycée Claude–Fauriel, MPSI

Cours proposé par P. Roux, septembre 2021

Extraits du programme officiel 2021

Notions et contenus Capacités exigiblesSeront traités dans ce chapitre :Charge électrique, intensité du courant.Potentiel, référence de potentiel, tension.Puissance.

Justifier que l’utilisation de grandeurs électriques con-tinues est compatible avec la quantification de la chargeélectrique.Exprimer l’intensité du courant électrique en termes dedébit de charge.Exprimer la condition d’application de l’ARQS enfonction de la taille du circuit et de la fréquence.Relier la loi des nœuds au postulat de la conservationde la charge.Utiliser la loi des mailles.Algébriser les grandeurs électriques et utiliser les con-ventions récepteur et générateur.Citer les ordres de grandeur des intensités et des ten-sions dans différents domaines d’application.

Dipôles : résistances, condensateurs, bobines, sourcesdécrites par un modèle linéaire.

Utiliser les relations entre l’intensité et la tension.Citer des ordres de grandeurs des composants R, L, C.Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans unerésistance.Exprimer l’énergie stockée dans un condensateur ouune bobine.Modéliser une source en utilisant la représentation deThévenin.

Association de deux résistances. Remplacer une association série ou parallèle de deuxrésistances par une résistance équivalente.Établir et exploiter les relations des diviseurs de tensionou de courant.

Ne seront pas traités dans ce chapitre, mais en TP :Résistance de sortie, résistance d’entrée. Évaluer une résistance d’entrée ou de sortie à l’aide

d’une notice ou d’un appareil afin d’appréhender lesconséquences de leurs valeurs sur le fonctionnementd’un circuit.Étudier l’influence des résistances d’entrée ou de sortiesur le signal délivré par un GBF, sur la mesure effectuéepar un oscilloscope ou un multimètre.

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Table des matières

1 Circuits électriques 31.0 L’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.0.1 L’électricité, transport de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.0.2 L’analogie hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.0.3 L’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.0.4 La condition d’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Charges et courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Charges élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Description mésoscopique des porteurs de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Déplacement des porteurs de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Signes et ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5 Densités volumiques de charges et de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.6 Loi des nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Potentiels et tensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Potentiels et référence des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Tensions et nœuds du réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Mesures des tensions et des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Dipôles électriques 92.1 Conventions récepteur et générateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Dipôle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Résistor et résistance électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.3 Condensateur et capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4 Bobine d’induction et inductance propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.5 Dipôles actifs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Énergie et puissance électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Énergie électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Unités électriques du système international . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 Puissance électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.4 Effet Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.5 Énergie électrique emmagasinée par un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.6 Énergie électrique emmagasinée par une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Associations de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Associations série et parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2 Associations de résistances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3 Diviseurs de tension et de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.4 Loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.5 Théorème de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

G. S. OHM, 1789–1854

1 Circuits électriques

1.0 L’ARQS

1.0.1 L’électricité, transport de charges

On étudie ici l’électrocinétique (ou électricité des circuits électriques) qui constitue le transport de charges élec-triques au sein de réseaux constitués notamment de matériaux conducteurs (des métaux comme le cuivre mais aussil’or et l’argent, ou bien le graphite ou des solutions aqueuses électrolytiques).

Cette étude est elle-même parfois déclinée en— électronique, terme qui désigne le transport d’informations électriques, hérité de l’époque où les constituants

de l’électronique étaient des tubes à vides chauffés pour permettre le passage de faisceaux d’électrons. C’est ceque nous étudierons au laboratoire, sous des tensions basses (quelques millivolt à quelques volts en général).

— et électrotechnique, terme qui désigne plutôt le transport de puissance dans un circuit électrique, notammentdans le réseau Enedis domestique (240V à la fréquence de 50Hz) ou les réseaux industriels (jusqu’à plusieurscentaines de kilovolt).

Les deux situations, électronique et électrotechnique, ne sont pas incompatibles et seront étudiées ensemble dansce qui suit.

1.0.2 L’analogie hydraulique

Les éléments théoriques nécessaires à l’étude axiomatique de l’électrocinétique seront développés ultérieurement ;on peut citer les travaux d’A.AMPÈRE (1820) sur l’unification électromagnétique, de M. FARADAY (1831) sur l’in-duction électromagnétique, de J. MAXWELL (1864) sur l’axiomatique générale (relativiste) de l’électromagnétismeet enfin de P. DRÜDE (1900) sur la conduction électronique dans les métaux.

Dans le cadre du premier abord que constitue ce chapitre, nous nous baserons seulement sur une analogie avec lescircuits hydrauliques, comme par exemple la descente d’eau ans une conduite forcée depuis un lac de retenue jusqu’àune usine hydroélectrique (figure 1).

Débit de masse

niveau zérohB

hA

•A

•B

FIGURE 1 – Circuit hydraulique

La charge électrique Q(t) (mesurée en coulomb) a pour analogue ici la masse d’eau M(t) et la source du transportde masse est la baisse de la réserve d’eau en altitude ; en électrocinétique il n’en va pratiquement jamais de même etnous rencontrerons plutôt des transports de masse initiés par des générateurs sans accumulation de charge.

Le débit de masse DM (en kilogramme par seconde), uniforme tout le long de la canalisation, a pour analogueélectrique le courant I(t) ’(mesuré en ampère, c’est-à-dire en coulomb par seconde), qui sera également uniforme toutle long des fils d’un circuit : il n’y a jamais accumulation de charge au sein d’un milieu conducteur.

Le dispositif d’utilisation de ce débit d’eau (par exemple un moulin, ou bien une centrale de production d’électri-cité) située au bas de la canalisation aura pour analogues les dispositifs électriques récepteurs de puissance (moteurs,éclairage, etc).

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L’écoulement du point A ua point B se fait sous l’action de la différence d’altitude ; cette altitude hA > hB est l’ana-logue des potentiels VA >VB (et dans un circuit le courant circulera souvent dans le sens des potentiels décroissants).Le choix de l’origine des altitudes (le niveau zéro) est aussi arbitraire que celui de l’origine des potentiels (on parle dupoint de masse électrique) et la tension ou différence de potentiel U = VA−VB est donc l’analogue de ∆h = hA−hB.Potentiels et tensions se mesurent en volt.

1.0.3 L’ARQS

Dans le cas d’un régime électrique quelconque (on dit aussi variable) les grandeurs électriques charge Q(t),courant I(t), potentiels Vi(t) et tension U(t) peuvent être des fonctions du temps quelconques. Cependant nous n’étu-dierons dans ce qui suit que les régimes de variation suffisamment lents pour qu’on puisse négliger tout phénomène depropagation : par exemple, le courant électrique s’établit de manière uniforme sur toute l’étendue du circuit, exacte-ment pour le débit de masse dans une canalisation forcée (cf. schéma de la figure 1) est uniforme tout le long de cettecanalisation. On parlera alors d’approximation des régimes quasi–stationnaires ou ARQS.

Une telle distribution de courants assure en particulier l’absence de toute accumulation de charges dans le cir-cuit ; d’une manière générale, le volume intérieur d’un milieu conducteur (quel que soit le type de conducteur) nepeut jamais comporter de charge nette, du fait de la compensation exacte des charges négatives et positives. Dans unconducteur métallique, les charges négatives sont celles des électrons et les charges positives celles des ions métal-liques du réseau cristallin du solide ; dans une solution aqueuse électrolytique, les charges négatives sont celles desanions et les charges positives celles des cations ; dans tous les cas la compensation est exacte.

Comme nous le verrons ultérieurement, le seul cas concret d’accumulation de charges dans une situation d’ARQSest celui de la surface d’un conducteur métallique, dans le cas des condensateurs.

1.0.4 La condition d’ARQS

L’approximation des régimes quasi–stationnaires (ARQS) qui permet l’établissement uniforme des grandeursélectriques sur un circuit de dimension L dépend de cette dimension, et de la durée caractéristique T des varia-tions des grandeurs électriques. Si ces variations sont par exemple périodiques, T est leur période et f = 1/T leurfréquence. La durée d’une éventuelle propagation du signal sur l’étendue du circuit est donc de l’ordre de ∆t = L/c,

où c = 3,00·108 m/s est la célérité des ondes électromagnétiques (et de la lumière) dans le vide ; il faut donc imposer

T ∆t ou encore L cT (condition de circuit de faible dimension), ce qui est équivalent à f cL

(condition de

basse fréquence).Ces conditions sont en fait peu contraignantes comme les montrent les exemples concrets d’un circuit en courant

industriel ( f = 50Hz), pour lequel cette condition s’écrit L 6000km : à part les réseaux interconnectés à l’échellecontinentale tout circuit électrotechnique usuel sera étudié dans le cadre de l’ARQS sans autre justification. Il en ira demême de tout circuit électrique ou électronique aux dimensions usuelles en « TP », L∼ 20cm s’il vérifie f 1GHz(nos générateurs et oscilloscopes n’atteignent pas cette limite).

1.1 Charges et courants

1.1.1 Charges élémentaires

Les charges mobiles au sein des conducteurs métalliques sont essentiellement des électrons, particules très mobilesdu fait de leur faible masse (me = 9,11·10−31 kg) et porteuses d’une charge négative dite élémentaire, q =−e où

e = 1,60·10−19 C . Ces charges négatives sont compensées par les charges positives des ions métalliques (par exempleles ions Cu+ dans le cuivre) mais celles-ci sont fixes et n’interviennent dons pas dans la conduction électrique dansles métaux.

Ces électrons sont présents en très grand nombre dans un matériau conducteur avec une densité particulaire n(nombre d’électrons par unité de volume) du même ordre de grandeur que ma densité particulaire des noyaux mé-

talliques (puisqu’en général chaque atome libère un électron de conduction). On peut donc l’estimer à n = NAρ

M

4

où ρ est la masse volumique du métal (entre 3·103 et 10·103 kg/m3), M sa masse molaire (entre 30 et 90g/mol) et

NA = 6,02·1023 mol−1 est la constante d’Avogadro. On retiendra l’ordre de grandeur n∼ 1028 m−3 .

1.1.2 Description mésoscopique des porteurs de charges

L’échelle des mesures électriques est dite macroscopique : elle va par exemple du millimètre au mètre. L’échelledes dimensions atomiques est dite microscopique (on devrait sans doute dire plutôt nanoscopique) ; elle est caractéri-sée par les dimensions atomiques caractéristiques, soit 0,1nm = 10−10 m. L’énorme étendue des ordres de grandeurséparant ces deux échelles permet d’envisager une échelle intermédiaire, qu’on qualifie alors de mésoscopique (ceterme signifie seulement son caractère intermédiaire, sans préciser obligatoirement d’ordre de grandeur).

S’agissant de dimensions infinitésimales à notre échelle, on utilisera une notation différentielle : ainsi, on étudierale déplacement des électrons pendant une durée dt à la vitesse v, donc sur une distance d` = v · dt ; celle notationsignifie simplement que d` 1mm.

Même si on envisage une dimension de l’ordre de 10−7 m, elle reste très supérieure aux dimensions atomiques,ce qui permet d’affirmer qu’on système de dimension mésoscopique contient encore un nombre énorme de particulesélémentaires : un volume d`3 ∼ 10−21 m3 contient, avec une densité particulaire d’électrons n = 1028 m−3, un nombren ·d`3 = 107 électrons. Ce nombre est assez grand pour remplacer l’étude individuelle des porteurs de charge par uneétude collective, statistique (ou moyenne). De fait, lors de l’étude du passage du courant dans un conducteur, on nepeut en général pas distinguer le passage individuel de chaque électron mais seulement l’effet collectif de leur passagemoyen. On peut aussi dire qu’on traite les électrons comme un fluide continu.

1.1.3 Déplacement des porteurs de charge

Considérons un fil conducteur (métallique par exemple) de forme cylindrique de section s, parcouru par desporteurs de charge de charge individuelle q, en densité particulaire n, se déplaçant tous à la même vitesse v. Il s’agitdonc d’un phénomène de transfert de charge, c’est-à-dire d’un courant életcrique (figure 2).

s

v ·dt

•qv•qv

•qv

II

FIGURE 2 – Courant dans un fil conducteur

On souhaite décompter les charges dQ qui vont traverser, à la vitesse v, une section d’aire s du fil pendant ladurée dt. Il s’agit de toutes celles qui sont, au plus, à la distance d` = v · dt de cette surface donc qui se trouventdans un cylindre de volume s ·d` = s · v ·dt ; en notant ici encore n leur densité particulaire elles sont en nombre (enfait très grand, cf. ci-dessus les propriétés de l’échelle mésoscopique) dN = n · s · v ·dt donc la charge transportée estdQ = q ·dn.

On notera donc encore dQ = I · dt avec, par définition du courant électrique I dans ce fil, I =dQdt

donc aussi

I = j · s où on a introduit la densité volumique de courant j = n · q · v. On notera que le nom de cette grandeur estrelative à la nature du transport des charges (partout dans le volume du conducteur) et pas du tout à son unité : puisque

l’unité des courants électriques porte le nom d’ampère, celle des densités volumiques de courant j =Is

est l’ampèrepar mètre carré.

1.1.4 Signes et ordres de grandeur

Si les porteurs de charge sont, comme c’est le plus souvent le cas, des électrons, alors q < 0 donc aussi I < 0 :le courant est une grandeur algébrisée. Si on peut préférer le choisir positif si c’est possible, on n’oubliera jamais

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que toutes les grandeurs de l’électricité (charges, courants, potentiels et tensions) sont ainsi algébrisées. Dans le casfréquent du courant alternatif, elles changent même de signe deux fois par période, soit à un intervalle de temps T/2 ;

dans le cas du courant industriel, f = 50Hz donc T =1f= 20ms et le courant change de signe toutes les 10ms.

Notons aussi que l’unité usuelle (ampère par mètre carré) est fortement sous-dimensionnée ; un courant de l’ordrede 1 à 10A (courant domestique alimentant par exemple un dispositif d’éclairage ou bien un système de chauffageélectrique) qui circule dans un fil de cuivre de section s = 1,5mm2 (dimension usuelle) correspond à j = I/s variantde 7·105 à 7·106 A·m−2.

On peut en déduire un ordre de grandeur de la vitesse des porteurs de charge dans un tel fil de cuivre. En effet la

relation j = n ·q · v permet d’estimer v =j

n ·q, avec n∼ 1028 m−3, q =−1,6·10−19 C et en prenant j = 106 A·m−2 on

trouve v =−0,6mm/s. D’une manière générale les vitesses des porteurs de charge dans les conducteurs denses sonttoujours très faibles, comme on peut d’ailleurs s’y attendre du fait des forces interactions des électrons avec le milieusolide ou liquide.

On connaît aussi des cas de conduction dans des gaz (plasmas) avec des vitesses v plus élevées mais des densitésparticulaires de porteurs plus faibles.

1.1.5 Densités volumiques de charges et de courants

On peut recopier l’expression de j établie ci-dessus sous la forme j = ρmv si on note ρm = n ·q la densité volumiquedes charges électriques mobiles (les électrons) ; on peut même recopier cette expression sous forme vectorielle, pour

préciser le sens effectif de passage du courant, ~j = ρm~v . On n’oubliera pas qu’il existe aussi des charges fixes, quine contribuent pas au courant mais assurent la neutralité électrique du milieu.

Dans d’autres situations de conduction, comme dans le cas des solutions aqueuses électrolytiques (lors de l’élec-trolyse de l’eau par exemple) on assiste à une superposition de déplacements ; les ions H+, en densité particulaire n+ etdonc avec une charge volumique ρ+ = n+e se déplacement à la vitesse~v+ dans le même sens que le courant électriqueet, dans le même temps,les ions OH−, en densité particulaire n− et donc avec une charge volumique ρ− = −n−e se

déplacement à la vitesse ~v− en sens inverse. La densité volumique de courant totale est alors ~j = ρ+~v++ρ−~v− et

les deux types de porteurs contribuent au courant I = ‖~j‖s dans le même sens, alors que la solution restent partoutet toujours neutre avec ρ++ρ− = 0.

1.1.6 Loi des nœuds

La propriété fondamentale des courants dans un circuit électrique découle de l’impossibilité de stocker des charges

dans un conducteur, puisque celui-ci reste toujours et partout neutre. Ainsi, si un courant I =dQdt

parcourt un conduc-teur, les charges ainsi apportées doivent être évacuées par un autre conducteur ; c’est la loi des nœuds qu’on illustredans le cas particulier de la figure 3 (à gauche) par la relation I1 = I2 + I3 : la somme des courants parvenant au nœudN est égale à la somme de ceux qui en repartent.

•NI1

I2

I3

Cas de l’ARQS : I1 = I2 + I3

•NI1

I2

I3

Hors ARQS, accumulation de charges I1 6= I2 + I3

Q(t)

FIGURE 3 – Loi des nœuds

Si l’ARQS ne s’appliquait pas on pourrait voir s’accumuler des charges au point N, par exemple Q(t) croissante siI1 > I2 = I3 ; ce ne sera bien sûr pas le cas dans ce qui suit. On généralise cette relation au cas d’un nombre quelconque

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de branches parvenant au nœud N sous la forme ∑ I→N = 0 : la somme des courants algébriques parvenant en toutnœud N d’un circuit électrique est toujours nulle.

1.2 Potentiels et tensions

1.2.1 Potentiels et référence des potentiels

Le potentiel électrique V (t) est une grandeur locale, définie en chaque point du circuit et qui y évalue l’équivalentélectrique de la hauteur dans un circuit hydraulique : les charges positives quittent « naturellement » les points depotentiel le plus élevé pour se diriger vers les points de potentiel le plus faible (les charges négatives circulent ensens inverse). Naturellement la fermeture d’un circuit et la circulation effective d’un courant ne sont possibles quesi les charges finissent par « remonter » vers les potentiels les plus élevés : c’est le rôle du ou des générateur(s) quialimente(nt) le circuit.

Ces potentiels s’exprime en volt. Compte tenu de l’arbitraire de l’origine des potentiels on devrait toujours fairefigurer explicitement le point de référence (qualifié de masse) comme sur la figure 4 à gauche ; toutefois il arrive queles schémas indiquent une ligne de masse (ligne basse le plus souvent sur le circuit, comme sur la figure 4 à droite)sans préciser le choix d’origine ; il vous appartient alors de le préciser : ce choix d’imposer l’origine des potentiels aupoint le plus pratique est toujours offert si le schéma n’impose pas la masse électrique.

•V = 0

Ici la masse est imposée,

ici elle est suggérée.

FIGURE 4 – Circuit électrique et référence des potentiels.

1.2.2 Tensions et nœuds du réseau

Seules les différences de potentiel ou tensions ont une signification physique indépendante du choix de l’originedes potentiels. On note ces tensions par un symbole fléché, U = VB−VA (figure 5). Dans certains cas la tensionrelativement à la masse s’identifie au potentiel.

•M •A

•B

U ′ =VA

U =VB−VAU′′ =

VB

FIGURE 5 – Potentiels et tensions

Ces tensions sont bien sûr des grandeurs algébrisées ; elles varient de quelques microvolt (dans des circuits dedétection), quelques millivolt ou au plus une dizaine de volt (circuits électroniques en TP) à quelques centaines devolts ou même plusieurs kilovolt dans le cas du courant industriel.

Dans le cas particulier du courant « domestique » qualifié souvent de 220V ou plus correctement 240V, la tension

d’alimentation prend la forme u(t) =Umax cos(ωt) ou encore u(t) =Ueff√

2cos(ωt) avec Ueff =Umax√

2' 240V , mais

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cette valeur n’est pas nécessairement stabilisée, au contraire de la fréquence d’alimentation f =ω

2π= 50Hz qui est,

elle, fixée et maintenue avec une grande précision.Tous les circuits sont réalisés au moyen de fils réputés idéaux, c’est-à-dire formant un ensemble équipotentiel : le

potentiel V est le même en tout point du fil. Ceci impose de reconnaître comme un point électrique unique l’ensembledes points reliés par des fils, comme sur la figure 6 : VA =VB =VC ; cette unique valeur sera aussi notée u.

•A •B •C

u

i1 i2 i3

i0

FIGURE 6 – Fils idéaux et nœuds

Pour la même raison on ne fera pas apparaître les courants circulants entre les différentes réalisations du nœud(A,B,C) pour écrire la loi des nœuds sous une forme « globale », i0 = i1 + i2 + i3.

1.2.3 Loi des mailles

Considérons (figure 7) un circuit comportant un certain nombre de nœuds, reliés ou non par des éléments divers,puis on exprime la propriété (évidente) de somme télescopique (UA−UB)+(UD−UA)+(UC−UD)+(UB−UC) = 0,consistant à sommer toutes les tensions de la maille ABCD dans un sens arbitraire choisi pour l’occasion (dans le casde la figure, c’est le sens horaire).

•A

•B •C

•D

+U1

U2

U3

U4

FIGURE 7 – Loi des mailles

On recopie cette relation sous la forme−U1+U2+U3−U4 = 0 : c’est la loi des mailles. On peut la généraliser enaffirmant que la somme des tensions le long d’une maille géométriquement fermée est nulle, si elles sont bien toutescomptées dans le même sens conventionnel, ∑

mailleUk = 0 .

La loi des mailles et la loi des nœuds, écrites pour chaque maille et chaque nœud indépendants, constituent deséléments suffisants à la résolution de n’importe quel problème d’électrocinétique, sous réserve de préciser la naturedes éléments (dipôles) figurant dans le circuit.

1.2.4 Mesures des tensions et des potentiels

La mesure d’une tension U = VA−VB se fait en branchant un voltmètre entre les points A et B. Cette mesure estadaptée aux tensions invariables (on dit aussi permanentes) avec un affichage numérique de la valeur mesurée. Onpeut aussi afficher des valeurs en régime sinusoïdal ; ce point sera abordé ultérieurement.

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Dans le cas des régimes variables on peut obtenir le tracé à l’écran des potentiels de plusieurs points du circuit(jusqu’à 4 avec les appareils du lycée) au moyen d’un oscilloscope ; il s’agit bien de potentiels, relativement à la massequi est obligatoirement connectée à une des bornes d’entrée de l’oscilloscope.

2 Dipôles électriques

2.1 Conventions récepteur et générateur

2.1.1 Dipôle orienté

Un dipôle électrique est un dispositif relié électriquement au reste du circuit par deux points A et B. Pour son étudeon doit nécessairement orienter ce circuit, c’est-à-dire fixer le sens conventionnel du courant I qui traverse le dipôle.Dans ce qui suit nous choisirons de mesurer le courant qui circule de A vers B (figure 8).

•A •BI

Ur =VA−VB

convention récepteur

•A •BI

Ug =VB−VA

convention générateur

FIGURE 8 – Conventions de description des dipôles

Si le dipôle est un récepteur, c’est-à-dire s’il reçoit de l’énergie du reste du circuit, on choisit la conventionrécepteur : la tension Ur est alors en général du même signe que I, au moins si le courant circule dans le sens de lachute de potentiel. Si au contraire c’est un générateur qui est susceptible de fournir de l’énergie au reste du circuit, onchoisit la convention générateur : la tension Ug est alors ausi en général du même signe que I, dès lors que le courantcircule dans le sens de la remontée de potentiel.

Bien sûr Ug = −Ur donc il est possible de choisir arbitrairement une des deux conventions si le dipôle n’est pasconnu à l’avance, avant de faire un bilan énergétique à la fin de l’étude.

Dans ce qui suit nous étudierons trois dipôles récepteurs (résistor de résistance R, condensateur de capacité Cet bobine d’inductance L) que nous étudierons en convention récepteur, et deux types de générateurs (modèle deThévenin idéal ou réel) que nous étudierons en convention des générateurs.

2.1.2 Résistor et résistance électrique

Les dipôles les plus simples sont en général formés d’un simple cylindre de matériau plus ou moins conducteur :ce sont les résistors de résistance électrique R caractérisés par la relation U = RI (bien sûr en convention récepteur),cf. figure 9. On écrit aussi la même relation sous la forme I = GU où G = 1/R est la conductance du même résistor.

•R

•I

U = RI

FIGURE 9 – Schéma et photographie de résistors

L’unité usuelle des résistances est l’ohm (symbole Ω) et les valeurs numériques des résistances usuelles vont dequelques ohm (circuit consommant un courant élevé, comme les dispositifs de chauffage électrique domestique) àquelques millions d’ohm; en TP on manipulera fréquemment des résistances dans la gamme de 50Ω à 50kΩ parexemple. L’unité usuelle des conductances est l’inverse de l’ohm, appelé siemens (symbole S).

9

La valeur de R ne dépend que du matériau formant la résistance et de sa géométrie (il s’agit souvent de cylindresformées d’un matériau plus ou moins conducteur, par exemple du graphite). Une résistance électrique est toujourspositive, R > 0 .

2.1.3 Condensateur et capacité

Les condensateurs sont formés de deux plaques métalliques conductrices (appelées armatures du condensateur)de très grande surface (jusqu’à plusieurs mètres carrés, avant repliement) disposés de part et d’autre d’une très mincecouche isolante (par exemple une feuille de polyéthylène d’une fraction de millimètre d’épaisseur). Cette géométriepermet l’accumulation de charges opposées sur les faces métalliques en regard (voir la figure 10).

• •

+q −q

I

U

FIGURE 10 – Schéma et photographie de condensateurs

Le courant I(t) qui alimente le condensateur est relié à la charge par la relation générale liant charges et courants,

I =dqdt

(il s’agit bien de la dérivée de la charge q(t) accumulée sur la face métallique qui reçoit ce courant : tant que

I > 0, cette charge augmente avec une dérivée égale à I). Par ailleurs, le condensateur est caractérisé par sa capacitéC telle que q =CU , en convention des récepteurs.

Cette relation peut être également recopiée sous la forme I =ddt

(CU) où C est une constante, donc I =CdUdt

:

au contraire d’une résistance, le courant ne dépend pas de la valeur de la tension mais de sa dérivée.L’unité usuelle des capacités est le farad (symbole F) et les valeurs numériques des capacités vont de quelques

nanofarad (10−9 F) à quelques dizaines ou centaines de microfarad. La valeur de C ne dépend que de la surface desarmatures, de la distance qui les sépare et de la nature du matériau isolant disposé entre ces armatures. Une capacitéest toujours positive, C > 0 .

2.1.4 Bobine d’induction et inductance propre

Les bobines d’induction comportent souvent plusieurs centaines ou milliers de spires métalliques bobinées autourd’un axe commun (voir la figure 11). Il s’agit d’un dispositif créant un champ magnétique assez intense lorsqu’ilest parcouru par un courant électrique ; les effets associés à ce champ magnétique sont décrites, en convention des

récepteurs, par la relation U = LdIdt

où la constante L > 0 porte le nom d’inductance propre de la bobine. On notera

que la relation de dérivée entre I et U est exactement complémentaire de celle qui caractérise les condensateurs.

•L

•I

U

FIGURE 11 – Schéma et photographie de bobines

10

L’unité usuelle des inductances propres est le henry (symbole H) et les valeurs numériques des inductances propresvont de quelques millihenry à quelques henry. La valeur de L ne dépend que du nombre de spires et de leur géométrie.

Notons toutefois qu’au contraire des résistors et des condensateurs, respectivement bien décrits par le modèle

« parfait » soit U = RI dans le premier cas et I =CdUdt

dans le second cas, les bobines comportent toujours au moinsun défaut significatif : leur résistance interne r, de quelques ohm à quelques dizaines d’ohm, n’est pas forcément

négligeable. On utilise alors un modèle d’inductance propre réelle et écrivant U = LdIdt

+rI. Le modèle correspondantpeut aussi être décrit (figure 12) comme l’association d’une bobine idéale et d’une résistance r.

•L,r

•I

U = LdIdt

+ rI

•L r

•I

U1 = LdIdt

U2 = rI

U =U1 +U2

FIGURE 12 – Modèle d’une bobine réelle

2.1.5 Dipôles actifs linéaires

Les dipôles actifs linéaires, ou générateurs de tension, constituent le modèle le plus courant des générateurs sus-ceptibles d’alimenter un circuit électrique : piles et batteries (fournissant une tension régulée constante), alimentationsecteur (fournissant une tension sinusoïdale de fréquence 50Hz) ou encore générateurs électriques commandés de la-boratoire, permettant de choisir en détail la tension imposée. On les décrit bien sûr en convention générateur. L’uniquemodèle que nous utiliserons est celui dugénérateur idéal de tension ou de THÉVENIN, représenté figure 13 (à gauche)Il décrit simplement un dipôle à tension imposée, U = e(t) est alors fixé par la constitution du générateur.

•

e(t)

•I

U = e(t)

Générateur idéal de Thévenin

•

e(t)

r•I

U = e(t)− rI(t)

Générateur de Thévenin réel

rI(t)

FIGURE 13 – Générateurs de Thévenin

Comme dans le cas des bobines, il n’est pas toujours possible de négliger le caractère résistif des générateurs ; ontient alors compte d’une résistance interne r du générateur, comme sur la figure 13, à droite. Dans le cas (fréquent)des générateurs de signaux de laboratoire (on parle souvent de générateur basse fréquence ou « GBF », comme sur lafigure 14) la résistance interne est souvent de l’ordre de r = 50Ω.

FIGURE 14 – La face de réglage d’un générateur basse fréquence de laboratoire

11

Un tel dispositif permet de choisir les caractéristiques et la forme du signal e(t) imposé : tension constante,sinusoïdale, en créneaux ou en impulsions, etc., cf. figure 15.

t

e(t)

signal sinusoïdal(périodique)

t

e(t)

signal créneau(périodique)

t

e(t)

signal en échelon(non périodique)

FIGURE 15 – Formes usuelles de tensions de générateur

2.2 Énergie et puissance électriques

2.2.1 Énergie électrique

Rappelons ici qu’une particule de masse m et de vitesse v est caractérisée par son énergie cinétique Ec =12

mv2 ;cette énergie s’exprime en joule (symbole J) et, compte tenu de l’expression de l’énergie cinétique, cette unité est aussiégale à 1kg·m2·s−2. Cette même particule a aussi une énergie potentielle de pesanteur qui s’exprime selon Ep = mghoù g est l’accélération de la pesanteur et h l’altitude de la particule (au-dessus d’un niveau de référence arbitraire).

Par analogie avec cette énergie de pesanteur (qui dépend de la masse m et de la auteur h) nous admettrons que cesparticules possèdent aussi une énergie potentielle électrique qui s’exprime selon Ee = qV , en fonction de la chargeq de la particule et du potentiel au point où elle se trouve (là aussi, par rapport à un niveau de référence arbitraire).

Dans le cas d’un électron (q = −e = −1,60·10−19 C, m = me = 9,11·10−31 kg l’énergie électrique l’emporte surtoutes les autres ; en effet, sa variation sera de l’ordre de ∆Ee =−e∆V ∼±10−19 J (pour une variation de potentiel assez

modeste, de 1V) tandis que l’énergie cinétique vaudra12

mev2 ∼ 10−35 J (avec v = 0,1mm/s) et l’énergie potentielle

vaudra mgh∼ 10−29 J (avec g = 9,8m/s2 pour une variation d’altitude de 1m.

2.2.2 Unités électriques du système international

Il est possible à ce stade de relier toutes les unités électriques à celles du système international, si on y inclut

l’ampère, unité de base électrique ; les relations I =dqdt

et Ee = qV permettent en effet d’expliciter les unites de charge

puis de tension, tandis que les relations U = RI, U = LdIdt

et I =CdUdt

permettent d’expliciter les unités des résistance,inductance propre et capacité (cf. table 1, donnée pour référence seulement ; on n’utilisera que les unités usuelles).

Grandeur Symbole Unité usuelle Unité ramenéeCourant électrique I ampère (A) idemDensité volumique de courant j ampère par mètre carré (A·m−2) idemCharge électrique Q, q coulomb (C) A·sPotentiels et tensions V , U volt (V) kg·m2·s−3·A−1

Résistances électriques R ohm (Ω) kg·m2·s−3·A−2

Inductances propres L henry (H) kg·m2·s−2·A−2

Capacités C farad (F) kg−1·m−2·s3·A2

TABLE 1 – Table des unités électriques

12

2.2.3 Puissance électrique

Exactement pour le courant électrique I n’est autre que le débit des charges (I = dq/dt) on peut définir un débit

d’énergie par unité de temps qui porte alors le nom de puissance selon P =dEdt

: la puissance reçue par un systèmephysique est égale à la variation (dérivée relativement au temps) de l’énergie de ce système par unité de temps. Unsystème (par exemple, une particule) qui voit son énergie augmenter reçoit donc une puissance positive.

Comme l’unité usuelle des énergies porte le nom de joule (symbole J), celle des puissances porte le nom de watt(symbole W).

Considérons d’abord (figure 16) un dipôle quelconque parcouru par le courant I (conventionnellement orientéde A vers B) et décrit en convention des récepteurs (donc U = VA −VB). Pendant une durée infinitésimale dt, lacharge dQ = I dt passe du potentiel VA à VB et son énergie passe de EA = VAdq à EB = vBdq ; elle varie donc dedEe = (VA−VB)dq =U dq.

•A •BI

U

FIGURE 16 – Puissance reçue par un dipôle

La puissance électrique reçue est donc Pe =dEe

dtdonc Pe =UI : en convention récepteur la puissance reçue

par les charges dans un dipôle est exactement égale au produit des courant et tension dans cette convention.De la même manière on montre évidemment que la puissance générée par un dipôle décrit en convention généra-

teur est aussi égale au produit Pe =UI des courant et tension dans cette convention.On notera aussi les ordres de grandeur des puissances fournies (premières lignes) ou consommées (plus bas)

proposés table 2.

Dipôle Tension Courant PuissancePile électrochimique 1,5V < 500mA 750mWAlimentation stabilisée de laboratoire 30V 2A 60WGroupe électrogène GE-165 240W 650A 160kWTranche normalisée de centrale 25kV 40kA 1GWRésistor radio 1kΩ 15V 15mA 250mWMoteur électrique domestique 240V 10A 2kWToyota Prius MG 1 avant 2009 500V 100A 50kWAutorail AGC 1,5kV 1,3kA 1,9MWTGV Duplex 25kV 350A 9,0MW

TABLE 2 – Tensions, courants, puissances : ordres de grandeur

FIGURE 17 – Groupe électrogène GE-165 et Autorail AGC

13

2.2.4 Effet Joule

La puissance reçue par un résistor de résistance R lorsqu’il est alimenté sous la tension U , doc lorsqu’il est par-

couru par le courant I, s’écrit sous l’une des trois formes PR =UI = RI2 =U2

R; cette puissance, toujours positive,

s’accompagne d’abord d’un échauffement (important et très rapide) du résistor lui-même ; par la suite, dès que satempérature se stabilise, il doit à tout instant perdre exactement la même puissance qu’il reçoit du circuit électrique.Cette puissance est perdue sous forme de chaleur cédée au milieu extérieur ; on parle d’effet Joule.

L’effet Joule est parfois mis à profit tel quel pour des appareils de chauffage électriques (radiateurs, grille-pain oubouilloire, etc). Il s’agit aussi souvent d’un effet indésirable (élévation de température des bobinages d’un moteur enfonctionnement).

On retiendra que les échanges énergétiques au niveau d’un résistor sont irréversibles : le résistor reçoit toujoursune puissance électrique du reste du réseau et finit inévitablement par la céder sous forme thermique. La puissanceainsi transférée est notée PR(t) = RI2(t) et l’énergie transférée pendant un intervalle de temps [t1 , t2] s’obtient par

intégration, WR = R∫ t2

t1I2(t)dt . Dans le seul cas d’un courant constant on peut écrire WR = RI2

∆t où ∆t = t2− t1.

2.2.5 Énergie électrique emmagasinée par un condensateur

Considérons maintenant le cas d’un condensateur de capacité C décrit en convention des récepteurs ; le courant

I qui le parcourt se traduit par une augmentation de la charge q stockée selon I =dqdt

donc aussi de la tension U à

ses bornes puisque q(t) =CU(t). Au cours de cette évolution, le condensateur reçoit, du reste du circuit, la puissance

PC =UI =CU(t)dUdt

qu’on peut aussi écrire PC =ddt

(12

CU2(t))

.

Notant alors WC(t) =12

CU2(t), l’énergie électrique reçue par le condensateur pendant un intervalle de temps

[t1 , t2] s’obtient ici encore par intégration,∫ t2

t1PC(t)dt = WC(t2)−WC(t1). Ce résultat s’interprète ainsi : l’énergie

reçue par le dipôle est égale à l’augmentation de la grandeur WC pendant la même durée, donc WC(t) est l’énergieélectrique stockée ou emmagasinée par le condensateur, en choisissant conventionnellement de la prendre nulle si lecondensateur n’est pas chargé (U = 0⇒WC = 0).

On notera que cette énergie s’écrit sous plusieurs formes, WC(t) =12

CU2(t) =1

2Cq2(t) =

12

q(t)U(t) . Il est éga-

lement très important de ne pas confondre l’expression quadratique12

CU2 (c’est une énergie, en joule) avec celle

qu’on a introduit pour les résistorsU2

R= RI2 (c’est une puissance, en watt).

Dans un circuit électronique les condensateurs peuvent effectivement servir de stockage d’énergie de manièretemporaire mais avec un stockage modeste : un (gros) condensateur de 1000 µF alimenté sous la tension (élevée)100V stocke 10J, soit l’énergie potentielle d’une masse de 100g montée de 10m.

2.2.6 Énergie électrique emmagasinée par une bobine

Considérons enfin le cas d’une bobine d’inductance L décrite en convention des récepteurs ; la tension U imposée

à ses bornes se traduit par une augmentation du courant I (et du champ magnétique associé) selon U = LdIdt

. Au

cours de cette évolution, la bobine reçoit, du reste du circuit, la puissance PL =UI = LI(t)dIdt

qu’on peut aussi écrire

PL =ddt

(12

LI2(t))

.

Comme précédemment on note alors WL(t) =12

LI2(t) l’énergie magnétique stockée ou emmagasinée par la

bobine, en choisissant conventionnellement de la prendre nulle si le champ magnétique et le courant sont nuls (I =

14

0⇒WL = 0). Plus encore que pour les condensateurs on se méfiera des confusions entre12

LI2 (énergie stockée, en

joule) avec RI2 (puissance dissipée, en watt).Dans une bobine réelle, qu’on peut considérer comme l’association d’une bobine idéale et d’un résistor, les deux

phénomènes (stockage et dissipation) coexistent.

2.3 Associations de dipôles

2.3.1 Associations série et parallèle

On dit que deux (ou plus. . .) dipôles (D1) et (D2) sont associés en série lorsqu’ils sont parcourus par le mêmecourant I ; dès lors la tension aux bornes de l’ensemble est la somme des tensions aux bornes de chacun des dipôles(figure 18 à gauche), U =U1 +U2 + . . . .

(D1) (D2)I I

U1 U2

U

Association en série(D2)

(D1)

I I

U

I2

I1

Association en parallèle

FIGURE 18 – Associations en série et parallèle

On dit que deux (ou plus. . .) dipôles (D1) et (D2) sont associés en parallèle lorsqu’ils sont soumis à la mêmetension U ; dès lors le courant qui parcourt l’ensemble est la somme des courants dans chacun des dipôles (figure 18à droite), I = I1 + I2 + . . . .Attention, toute association ne se résume pas à un cas série ou parallèle ; il faut impérativement vérifier la définition(courant commun dans le premier cas, tension commune dans le second) ou bien revenir sinon aux lois des nœuds etdes mailles.

2.3.2 Associations de résistances

Dans le cas particulier de l’association de résistors en série, la règle ci-dessus U = U1 +U2 + . . . associée àU1 = R1I, U2 = R2I (puisque tous les résistors sont parcourus par le même courant) impose aussi U = RsérieI avec

Rsérie = R1 +R2 + . . . ; on retiendra qu’il y a addition des résistances en série, la résistance équivalente à l’ensembleétant plus grande que chacune des résistances individuelles de l’association.

De même, dans le cas particulier de l’association de résistors en parallèle, la règle I = I1 + I2 + . . . associéeà I1 = G1U , I2 = G2U (si on note G1 = 1/R1 et G2 = 1/R2 les conductances des divers résistors) impose aussiI = GparallèleU avec Gparallèle = G1 +G2 + . . . ; on retiendra qu’il y a addition des conductances en parallèle.

Puisque les résistances et conductances varient en sens inverse, la résistance équivalente à l’ensemble sera plus faibleque chacune des résistances individuelles de l’association.

Dans le cas particulier le plus fréquent avec seulement deux résistances associées en parallèle, cette relation prend

la forme1

Rparallèle=

1R1

+1

R2soit après simplification Rparallèle =

R1R2

R1 +R2.

Attention, il n’existe pas de formule simple immédiatement semblable pour l’association en parallèle de trois résistorsou plus ; on doit revenir à la relation générale pour les conductances.

2.3.3 Diviseurs de tension et de courant

On peut reprendre les schémas de la figure 18 et relire les relations liant les différentes tensions dans une asso-ciation en série ; en effet, la valeur commune de I dans U = RsérieI et U1 = R1I peut s’éliminer, menant à la relation

15

U1 =UR1

Rsérie=U

R1

R1 +R2 + . . .(et les analogues pour U2, . . .) ; ainsi, toute association en série est aussi un diviseur

de tension, la tension d’ensemble U se répartit entre les différents dipôles en série U1, U2, . . ., proportionnellement àla résistance de chacun d’eux.

De la même manière, les relations liant les différents courants dans une association en parallèle permettent d’éli-

miner la valeur commune de U ; de I = GparallèleU et I1 = G1U on tire ainsi I1 = IG1

Gparallèle= I

G1

G1 +G2 + . . .(et

les analogues pour U2, . . .) ; ainsi, toute association en parallèle est aussi un diviseur de courant, le courant total I serépartit entre les différentes branches en parallèle I1, I2, . . ., proportionnellement à la conductance de chacune d’elles.

2.3.4 Loi d’Ohm

Si un résistor est réalisé au moyen d’un cylindre de matériau homogène (figure 19) de longueur ` et de section s,les lois d’addition permettent de justifier l’influence de ces paramètres géométriques sur la valeur de R.

sI

`

U

FIGURE 19 – Loi d’Ohm

En effet, doubler (par exemple) la longueur ` revient à associer en série deux conducteurs donc à doubler larésistance totale ; celle-ci est donc nécessairement proportionnelle à la longueur ` du milieu conducteur. De même,doubler la section s revient à associer en parallèle deux conducteurs donc à doubler la conductance totale ; celle-ci

est proportionnelle à s et la résistance est proportionnelle à l’inverse de s. Finalement, on notera R = ρ`

s=

1γ

`

soù

ρ est la résistivité du matériau employé et γ =1ρ

est sa conductivité. Cette expression fait partie intégrante de la loi

d’OHM, avec la relation U = RI. À titre strictement documentaire, la table 3 donne quelques valeurs de résistivités etde conductivités de certains métaux dans les conditions usuelles de température.

Matériau γ ρ

Argent 62,1·106 S·m−1 1,6·10−8Ω·m

Cuivre 58,7·106 S·m−1 1,7·10−8Ω·m

Or 44,2·106 S·m−1 2,3·10−8Ω·m

Fer 10,1·106 S·m−1 9,9·10−8Ω·m

TABLE 3 – Conductivités et résistivités de quelques métaux dans les CNTP

2.3.5 Théorème de Millman

Dans le cas particulier d’une association en parallèle « partielle », c’est-à-dire de résistors ayant un nœud encommun mais pas l’autre (figure 20) il existe une forme particulière de la loi des nœuds qui présente une grandecommodité d’application et qui, pour cette raison, porte parfois le nom de celui qui l’a énoncé pour la première fois :c’est le théorème de MILLMAN.

16

•A1

R1

•A2

R2

•A3

R3

•A4

R4

•NI

FIGURE 20 – Loi des nœuds (théorème de Millman)

On l’écrit d’abord sous la forme I = ∑k

Ik avec pour courant Ik dans le résistor Rk l’expression Ik =Vk−VN

Rk(on remarque que ces relations lient les potentiels des différents nœuds), soit aussi en fonction des conductances

Gk = 1/Rk, VN ∑k

Gk =−I +∑k

Vk ou finalement l’expression retenue VN =∑k GkVk− I

∑k Gk.

On peut d’abord relire cette expression dans le cas particulier où I = 0 : dans ce cas le potentiel d’un nœud estégal à la moyenne des potentiels des nœuds « voisins », pondérée par les conductances des résistors qui joignent cesnœuds. Enfin, si I 6= 0, le même résultat montre que le potentiel VN ainsi calculé doit être diminué lors de l’existenced’un « courant de fuite ». Naturellement cette expression ne s’applique que si un nœud fait toutes ses liaisons avec lesnœuds voisins par de simples résistors.

17