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SRIESPLAN

I : Sries1) Dfinition2) Exemples de sries

II : Sries termes positifs1) Critres de convergence2) Comparaison avec une intgrale

III : Sries quelconques1) Absolue convergence2) Exemple

Annexe I : HistoriqueAnnexe II : Acclration de convergenceAnnexe III : Un calcul d'EulerAnnexe IV : Quelques sommes de sries

I : Sries

1 DfinitionDEFINITION :q On appelle srie ( xn) de terme gnral xn, rel ou complexe, la suite de terme gnralSn = x0 + ... + xn, appele somme partielle. La srie converge si la suite des sommes partielles

converge. La limite S s'appelle somme de la srie. On note n=0

xn la limite lorsqu'elle existe.

2 Exemples de sriesEXEMPLE 1 : un premier exemple de srie est fourni par le dveloppement dcimal d'un rel. On aen effet :

x = M + n=0

an10n

o M est la partie entire de x, et les ai des chiffres tels que n, m > n, am 9. Cette condition apour but d'viter les critures dcimales avec une infinit de 9. Au lieu de 0,9999999999..., on a 1tout simplement. Sous cette condition, la dcomposition de x est unique.

EXEMPLE 2 : Pour x < 1, on a n=0

xn =

11 x. Il s'agit d'une srie gomtrique. En effet :

1 + x + ... + xn = 1 xn+1

1 x qui tend bien vers 1

1 x car xn+1

tend vers 0

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EXEMPLE 3 : on appelle srie harmonique la srie 1n

. Elle diverge. Les dmonstrations en sont

innombrables :Dmonstration 1Elle est essentiellement due, aux notations prs, Nicolas Oresme (Questiones super geometriameuclidis, 1360). La somme partielle, de 1 N = 2k est minore par :

p=1

k

n = 2p1+1

2p

1n

p=1

k

2p12p =

k2 qui tend vers + avec k

Dmonstration 2

Posons Sn = k=1

n

1k. On a :

S2n Sn = 1n + 1 +

1n + 2 + ... +

12n nombre de termes plus petit terme =

n

2n = 12

Si la srie convergeait vers S, on aurait, en passant la limite :0 = S S 12

Dmonstration 3

Une variante de la prcdente. Posons Sn = k=1

n

1k et Dn = S2n Sn. On a videmment Dn > 0.

De plus : Dn Dn1 = 12n + 1

2n 1 1n =

12n 1

12n > 0. Donc la suite (Dn) est strictement croissante

et strictement positive, donc elle ne peut tendre vers 0, ce qui serait si la suite (Sn) convergeait. Donc(Sn) diverge.

Dmonstration 4

Posons Sn = k=1

n

1k. On a :

Sn = 1 + 12 + ... + 1n

= 22 +

24 + ... +

22n avec

22 =

12 + 1 +

12 et

22k

12k 1 +

12k

Donc Sn 12 + 1 + 12 +

13 +

14 + ... +

12n1 +

12n =

12 + S2n

Si la suite (Sn) convergeait vers une limite S, on aurait :S 12 + S

ce qui est absurde.

Dmonstration 5

On a ln(1 + x) x pour x > 1 donc k=1

n

1k k=1

n

ln(1 + 1k) = k=1n

ln(1 + kk ) = ln (n + 1)!

n! = ln(n + 1), donc

la srie diverge vers + quand n tend vers +.

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Dmonstration 6Elle est due Mengoli en 1650. Pour tout entier n, on a 1

n 1 + 1n

+ 1

n + 1 3n donc :

1 + (12 + 13 +

14) + (

15 +

16 +

17) + ... + (

13n 1 +

13n +

13n + 1) 1 +

33 +

36 + ... +

33n

1 + 1 + 12 + ... + 1n

soit S3n+1 1 + Sn. Si la suite (Sn) des sommes partielles convergeait vers S, on aurait S 1 + S.

Dmonstration 7Elle est due Jacques Bernoulli. Pour tout entier n, on a :

1n +

1n + 1 + ... +

1n

2 = 1n +

k=1

n2 n

1n + k

1n

+ n

2 n

n2 = 1

donc, en regroupant les termes de la srie gomtrique par paquets entre l'indice n et n2, on peutdpasser toute quantit donne. Ainsi :

1 + (12 + 13 +

14) + (

15 + ... +

125) 1 + 1 + 1 = 3

Les regroupements peuvent tre effectus aussi loin que l'on veut.

EXEMPLE 4 : pour tout x, l'ingalit de TaylorLagrange applique la fonction exponentielle en 0donne :

ex (1 + x + x

2

2 + ... + x

n

n!) M x

n+1

(n+1)!o M est un majorant de ex entre 0 et x. On peut choisir par exemple M = exp x . Le membre dedroite de l'ingalit tend vers 0 quand n tend vers +, donc, pour tout x :

ex =

n=0

xn

n!

En particulier, n=0

1n! = e et n=0

(1)nn! =

1e. La convergence est trs rapide et permet de donner des

valeurs approches de l'exponentielle avec quelques termes de la somme partielle.

EXEMPLE 5 : on peut montrer que n=1

1n

2 = pi2

6 et n=1

1n

4 = pi4

90. Le calcul de ces deux sries constitua

un dfi au dbut du XVIIIme et leur somme fut pour la premire fois tablie par Euler. L'expressionremarquable du rsultat n'a d'gal que l'tonnement que l'on peut avoir sur la possibilit de l'tablir.Cela laisse faiblement entrevoir la joie qu'a d prouver Euler.

Plus gnralement on connat la valeur de la srie somme des inverses de n'importe quelle puissance

paire, mais on ne connat aucune formule pour n=1

1n

3 (on sait seulement depuis 1978 qu'il s'agit d'un

irrationnel).

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L'exemple 3 montre qu'il ne suffit pas que le terme gnral xn d'une srie tende vers 0. C'estcependant ncessaire. En effet, si une srie converge, alors Sn Sn1 tend vers S S = 0. OrSn Sn1 = xn. Ainsi, la srie (1)n diverge et nous n'attribuerons aucune valeur cette somme,contrairement Euler.

Il est facile de vrifier que l'ensemble des sries convergentes forme un espace vectoriel, et que l'on a

n=0

un + vn = n=0

un + n=0

vn et n=0

un = n=0

un. si un est complexe gal xn + iyn, alors la srie n=0

un

converge si et seulement si les sries n=0

xn et n=0

yn convergent et n=0

un = n=0

xn + in=0

yn. On a

galement

n=0

un = n=0

un .

Cela rsulte en effet des thormes sur les limites des suites.

II : Sries termes positifs

1 Critres de convergenceLa premire question qu'on se pose sur une srie est de savoir si elle converge. Il existe un certainnombres de critres permettant dans la plupart des cas de rpondre cette question. Une fois quel'on sait que la srie converge, une autre question est de trouver une expression explicite de sasomme, ou dfaut une valeur approche. Ces questions sont parfois trs dlicate en ne sont gureaborde dans ce chapitre. La dtermination d'une expression explicite n'est pas toujours possible.Quant la dtermination d'une valeur approche, elle se heurte parfois une vitesse de convergencelente. On se reportera l'annexe II pour un exemple.

Ce paragraphe s'applique aux sries terme gnral rel de signe constant. Quitte changer tous lessignes, on peut se ramener des sries terme gnral positif. Pour ces sries, on dispose desthormes de convergence suivants :

PROPOSITION :i) Soit ( un) une srie termes positifs ou nuls. Alors la srie converge si et seulement si les

sommes partielles sont majores. Dans ce cas, n=0

un = limn+

Sn = Sup Sn.

ii) Soient ( un) et ( vn) deux sries termes positifs. Si un = O(vn) et si vn converge, alors unconverge.iii) Si ( un) et ( vn) sont des sries de signe constant, et si un vn au voisinage de +, alors unet vn sont simultanment convergentes ou divergentes (on dit que les deux sries sont de mmenature).

Dmonstration :i) La suite des sommes partielles Sn = u0 + ... + un est une suite croissante. En effet, Sn+1 Sn = un+1est suprieur ou gal 0. Cette suite converge si et seulement si elle est majore et alors, elleconverge vers sa borne suprieure.

- 5 -

ii) On suppose qu'il existe N et M tel que, pour n N, on ait un Mvn. Supposons que la srie ( vn)converge. On a alors :

k=N

n

uk M k=N

n

vk M k=N

vk = M (k=0

vk k=0

N1 vk)

car la srie ( vn) converge en croissant vers sa limite. Les sommes partielles k=0

n

uk sont donc

majores et on applique le i).

Le plus souvent, on cherche directement une majoration un vn. Pour qu'une srie termes positifsconverge, il suffit de la majorer par une srie convergente. En prenant la contrapose, pour qu'unesrie termes positifs diverge, il suffit de la minorer par une srie termes positifs divergente.

iii) Au voisinage de l'infini, on a : vn2 un 3vn2 , donc : un = O(vn) et vn = O(un) d'o l'quivalence.

EXEMPLE 1 : n2 + 3n + 1

n3 + 5n 6

Cette srie est une srie divergente, car son terme gnral est quivalent 1n qui est positif, et terme

gnral d'une srie divergente.

EXEMPLE 2 : Considrons la srie 1n

, dite srie de Riemann. Nous disposons du rsultat suivant :

Les sries ( 1n

) convergent si et seulement si > 1.

Si 1, alors 1n

1n

, et comme la srie 1n diverge, il en est de mme de 1

n.

Si > 1, alors on remarque que :11

= 1

12

+ 13

22

= 1

2114

+ 15

+ 16

+ 17

44

= 1

41...

1(2p) +

1(2p + 1) +

1(2p + 2) + ... +

1(2p + 2p 1)

2p

(2p) = 1

(2p)1

En majorant la somme partielle n=1

N

1n

par une somme partielle analogue comprenant un nombre de

termes suprieur N de la forme 2p+1 1 et en utilisant les ingalits prcdentes, on a :

- 6 -

n=1

N

1n

n=0

p

1(2n)1 = n=0

p

1(21)n n=0

1(21)n srie gomtrique de terme gnral

121

< 1 qui

converge vers 11 1

21. Les sommes partielles tant majores, la srie

n=1

1n

converge.

EXEMPLE 3 : n2 + 3n + 1

n4 + 5n 6

Cette srie est une srie convergente, car son terme gnral est quivalent 1n

2 qui est positif, et

terme gnral d'une srie convergente d'aprs l'exemple prcdent.

q Il faut prendre garde que les sries sont des limites et non des sommes finies, sous peine deconnatre des dboires cuisants. Donnons de suite un exemple frappant. En 1655, Wallis donne laformule suivante :

2pi

= 1.3.3.5.5.7.7.9.9.11...2.2.4.4.6.6.8.8.10.10..

Il s'agit d'un produit infini mais on se ramne des sries en prenant le logarithme. Nous nechercherons pas montrer cette formule mais nous nous livrerons simplement quelques calculslmentaires... et paradoxaux. Considrons donc :

ln(1.3.3.5.5.7.7.9.9.11...2.2.4.4.6.6.8.8.10.10..) = ln(12

32

34

54

56

76

78 ...)

= ln(12) + ln(32 ) + ln(

34) + ln(

54) + ln(

56) + ln(

76) + ln(

78) + ...

somme de la forme n=1

(ln 2n 12n + ln 2n + 1

2n ). Son terme gnral peut s'crire :

ln 2n 12n + ln 2n + 1

2n = ln(1 12n) + ln(1 +

12n)

= 12n

18n2 +

12n

18n2 + o(

1n

2) (dveloppement limit de ln)

= 1

4n2 + o(1n

2) 14n2 terme de signe constant

Comme la srie 1n

2 converge, il en est de mme de n=1

(ln 2n 12n + ln 2n + 1

2n ).

Remarquons maintenant que, 1 tant neutre pour le produit, on devrait aussi bien avoir :2pi

= 1.3.3.5.5.7.7.9.9.11...2.2.4.4.6.6.8.8.10.10.. que

2pi

= 3.3.5.5.7.7.9.9.11...2.2.4.4.6.6.8.8.10... ou

2pi

= 1.1.3.3.5.5.7.7.9.9....2.2.4.4.6.6.8.8.10.10..

Mais la formule 2pi

= 3.3.5.5.7.7.9.9.11...2.2.4.4.6.6.8.8.10... est constitu de produits

3222,

5242,

7262, ... tous plus grands que

1, donc le produit augmente et est suprieur 1, et ne saurait converger vers 2pi

, qui est strictement

infrieur 1. D'ailleurs, en prenant les logarithmes, on trouve :

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ln(32

22) + ln(5242) + ln(

7262) + ... = n=1

ln (2n + 1)2

(2n)2 = 2 n=1

ln 2n + 12n = 2 n=1

ln(1 + 12n) srie termes

positifs dont le terme gnral est quivalent 12n, terme gnral d'une srie divergente. Ainsi, le fait

mme de supprimer le facteur 1 pourtant sans intrt dans un produit (ou de supprimer de la sommeln(1) qui est nul) et de rordonner les termes rend la formule divergente.Si au contraire, on rajoute 1 pour obtenir la formule 1.1.3.3.5.5.7.7.9.9....2.2.4.4.6.6.8.8.10.10.., alors les facteurs sont

122,

3242,

5262, ... tous infrieurs 1, donc le produit sera infrieur au premier facteur

122 =

14 alors que

2pi

est

strictement suprieur cette valeur. Aburdit galement. En prenant les logarithmes, le terme gnraldevient ln (2n 1)

2

(2n)2 = 2 ln 2n

2n 1 = 2 ln(1 + 1

2n 1) 2

2n 1 l aussi terme gnral d'une srie

divergente.

2 Comparaison srie-intgraleUn exemple frquent de srie an provient du cas o an = f(n) pour une certaine fonction. Si cettefonction est monotone, on peut encadrer an par des intgrales de f, souvent calculable, ce qui peutpermettre de donner un encadrement des sommes partielles de la srie et de prouver leurconvergence ou leur divergence.

Voyons ce qu'il en est pour une fonction f positive dcroissante. f tant dcroissante, pour tout n, ona :

f(n)

n1

n

f(t) dt f(n 1)Ou mieux :

n

n+1

f(t) dt f(n)

n1

n

f(t) dtDonc, en sommant de 0 n :

0

n+1 f(t) dt Sn =

k=0

n

f(k) f(0) +

0

nf(t) dt

Ci-dessous les graphiques permettent d'illustrer la dmonstration :

k=1

n

f(k)

0

nf(t) dt

0

nf(t) dt k=0

n1 f(k)

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Si les intgrales convergent, alors la suite (Sn) sera croissante majore, donc convergera. Si lesintgrales divergent vers +, la suite (Sn) est minore par une quantit qui tend vers + doncdiverge.

Dans le cas de la convergence, en passant la limite dans les ingalits ci-dessus, on a enfinl'encadrement :

0

+

f(t) dt k=0

f(k) f(0) +

0

f(t) dt

o l'on a not

0

+

f(t) dt = limx

0

x

f(t) dt

EXEMPLE 1 : la srie harmonique ( 1n

) diverge (dmonstration 9) car :

n 1,

n

n+1

1t dt 1

n

donc

1

n+1

1t dt 1 + 12 + ... +

1n

et l'intgrale vaut ln(n + 1) qui tend vers +.

EXEMPLE 2 : on peut galement procder des encadrements en cas de fonction croissante.Considrons par exemple ln(n!). On a :

n1

n

ln(t) dt ln(n)

n

n+1

ln(t) dt

nln(n) 1 (n 1)ln(n 1) ln(n) (n + 1)ln(n + 1) 1 nln(n)On somme ensuite les ingalits, de 2 n pour l'ingalit de gauche, et de 1 n pour celle de droite : nln(n) n + 1 ln(n!) (n + 1)ln(n + 1) n nnen e n! (n + 1)n+1enComme (n + 1)n+1 = exp((n + 1)ln(n + 1)) = exp((n + 1)ln(n) + (n + 1)ln(1 + 1

n))

= exp((n + 1)ln(n) + (n + 1)(1n

+ o(1n)))

= exp((n + 1)ln(n) + 1 + o(1)) n

n en

on en dduit que n!n

ne

n est compris entre e et en qqc qui tend vers 1. Par des mthodes un peu plus

compliques, on peut montrer que n!n

ne

n 2pin, ou encore que n! nnen 2pin, ou enfin que

ln(n!) = nln(n) n + 12 ln(n) + 12 ln(2pi) + o(1) (Formule de Stirling).

III : Sries absolument convergentes

1 Absolue convergenceDEFINITION

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Une srie ( un) est dite absolument convergente si ( un ) converge.Cette notion n'a videmment d'intrt que pour les sries coefficients complexes ou rels de signenon constants

PROPOSITION :Une srie absolument convergente est convergente.

Dmonstration :Si un est coefficients complexes, on crit un = xn + iyn, et comme xn et yn sont infrieurs ou gaux

un , les sries obtenues en prenant les parties relles et imaginaires sont ellesmmes absolumentconvergentes. Il suffit donc de raisonner sur

. On suppose donc un rel. On pose :un

+ = un si un 0

= 0 sinonun

= un si un 0 = 0 sinon

On a alors :un = un

+ + un

un = un+ un

Les sries ( un+) et ( un) sont des sries termes positifs ou nuls, dont le terme gnral estmajore par un . Elles sont donc convergentes Il en est de mme de la srie ( un), diffrence de cesdeux sries. On a par ailleurs, en majorant la valeur absolue des sommes partielles et en passant lalimite :

n=0

un n=0

un

Il existe des sries qui sont convergentes sans tre absolument convergentes. Pour ces sries, on a

n=0

un+ =

n=0

un

= +, mais la srie des diffrences converge. C'est le cas de n=1

(1)n+1n

qui converge

vers ln(2) mais cette question sort du cadre du cours de premire anne. L'absolue convergence estdonc une condition suffisante de convergence.

Afin de voir si une srie ou une intgrale quelconque est convergente, on regarde si elle estabsolument convergente, se ramenant ainsi des sries termes positifs ou des fonctions positives.On peut alors appliquer les mthodes d'quivalents, de majorations, de minorations, de comparaisonavec les sries de Riemann.

Les sries absolument convergentes forment un espace vectoriel. En effet, si ( un) et ( vn) sontabsolument convergentes, il en est de mme de la somme, puisque :

un + vn un + vnet la srie somme, en valeur absolue, converge, son terme gnral tant majore par le terme gnrald'une srie convergente. La vrification pour le produit par un scalaire est facile.

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2 Exemple

( (1)n+1

n2 ) est absolument convergente. On peut mme en calculer la somme si on admet la valeur

donne plus haut de n=1

1n

2 = pi2

6 . On en dduit (au besoin en considrant les sommes partielles avant

de prendre leurs limites) que :

n pair

1n

2 = p=1

1(2p)2 =

14 p=1

1p2 =

pi2

24

n impair

1n

2 = n=1

1n

2 n pair

1n

2 = pi2

6 pi2

24 = pi2

8

n=1

(1)n+1n

2 = n impair

1n

2 n pair

1n

2 = pi2

8 pi2

24 = pi2

12

Annexe I : HistoriqueAu XVIIIme, la notion de somme infinie de termes se dveloppe largement. Elle est en effet issuedu dveloppement des fonctions en srie, sans que le nombre de termes du dveloppement soitclairement prcis. De nos jours, on parle de dveloppement limit avec criture explicite d'un reste,mais l'poque cela ne gnait personne d'crire que :

ln(1 + x) = x x2

2 + x

3

3 ...

ou bien1

1 x = 1 + x + x2 + x3 + ...

Inversement, une somme infinie tant donne, il s'agissait d'en dterminer la somme sans que lesnotions de convergence soient clairement nonces. Ainsi, Euler tenait le raisonnement suivant pourcalculer S = 1 1 + 1 1 + 1 1 +... . Il regroupe les termes sous la forme :

S = 1 (1 1 + 1 1 + ...) = 1 Sdonc S = 12. Cette mthode tait largement accepte l'poque, bien que la mme, applique aux

puissances de 2, suscitt des rticences. Soit S = 1 + 2 + 4 + 8 + ... = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 +...)= 1 + 2S donc S = 1 !?! On obtient le mme rsultat l'aide du dveloppement

11 x = 1 + x + x

2 + x3 + ...

en posant x = 2. Cependant, de nos jours, un tel dveloppement est considr comme divergent et lasomme 1 + 2 + 4 + 8 + ... comme non dfinie. Il existe cependant d'autres dfinitions possibles dansdes contextes diffrents. Ainsi, dans un corps de nombres dit corps 2-adique, on crit les nombresavec un dveloppement infini de chiffres vers la gauche au lieu d'utiliser un dveloppement infini dechiffres vers la droite comme pour le corps des rels. Si on travaille en binaire, on vrifiera bien que,si S = ...11111111, alors S + 1 = 0, la retenue se propageant indfiniment vers la gauche, et donc queS = 1. Enfin, la formule 1 1 + 1 1 + 1 ... = 12 serait vraie si on prenait comme dfinition de la

somme d'une srie non pas la limite des sommes partielles comme nous le faisons, mais la limite deleur moyenne (dite limite au sens de Cesaro, les sommes partielles prenant alternativement les valeurs

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1 et 0, leur moyenne tend vers 12). Euler a galement cherch donner un sens la somme de la srie1 1! + 2! 3! + 4! + ... Sans se soucier du fait que la srie y = x 1!.x2 + 2!.x3 3!.x4 + ... n'estjamais convergente pour x 0, il la drive terme terme et obtient formellement l'quationdiffrentielle x2y' + y = x. Or cette quation a effectivement une seule solution telle que y(0) = 0,donne par l'expression :

y(x) = e1/x

0

xe

1/t

t dt =

0

xeu

1 + xu du (avec u = 1t

1x)

Euler considre donc que y(1) est la somme qu'il cherche, soit approximativement 0,596347, valeurqu'il obtient galement par d'autres mthodes. Il existe enfin des situations aussi bien enmathmatiques qu'en physique dans lesquelles on obtient des sries divergentes au sens usuel et pourlesquels il faut bien attribuer une somme. Citons par exemple le cas suivant. On peut montrerque (formule de Stirling) :

ln(n!) = (n + 12)ln(n) n + 12 ln(2pi) +

b21.2.n +

b43.4.n3 + ...+

b2p(2p1).2p.n2p1 + o(

1n

2p) tout ordre p, o les b2p sont les nombres dits de Bernoulli. A p fix, la prcision est d'autantmeilleure que n est grand, mais n fix, il est illusoire de prendre davantage de termes car la sriediverge lorsque p tend vers l'infini. Ce problme est particulirement ennuyeux car on souhaiteraitbien que la formule de Stirling donne une valeur de ln(n!) une prcision arbitraire !!

Vers la fin du XIXme se posait donc le problme suivant. Etant donn une suite (an), commentdonner un sens la somme des an ? Voici un bref rsum de quelques mthodes : La mthode usuelle, celle que nous allons tudier, qui consiste prendre la limite des sommes

partielles. Elle date de Cauchy, dans la premire moiti du XIXme :

S = limn+

k=0

n

ak

La mthode de Cesaro, qui consiste prendre la limite des moyennes des sommes partielles :

S = limn+

k=0

n

Skn+1 o Sk = a0 + ... + ak

La mthode d'Abel qui consiste multiplier ak par rk avant de faire tendre r vers 1 :

S = limr1r < 1

n=0

an rn = lim

r1r < 1

limN+

n=0

N an r

n

La mthode de Borel, consistant utiliser le fait que n! =

0

et tn dt pour dfinir :

S =

0

et n=0

an

n! tn dt

en esprant que la srie n=0

an

n! tn converge au sens usuel. Bornons-nous signaler que la mthode

usuelle est la plus simple, mais pas la plus efficace. En effet, les mthodes de Csaro et d'Abel sontplus puissantes : dans le cas o la mthode usuelle donne une valeur S, il en est de mme de cesdeux mthodes (avec la mme valeur de S). Mais ces deux mthodes attribuent des valeurs des

- 12 -

sommes de sries que nous qualifions usuellement de divergentes, par exemple, la valeur 12 la srie

1 1 + 1 1 +...). Quant la mthode de Borel, elle attribue cette srie la valeur

0

et

n=0

(1)nn! t

n dt or on a vu que

n=0

(1)nn! t

n n'est autre que et de sorte que l'intgrale devient

0

e2t

dt = 12 l aussi.

La plupart des rsultats noncs dans ce chapitre sont dus Cauchy.

Annexe II : Acclration de convergenceCette annexe a pour but d'illustrer une difficult relative au calcul approch des sommes des sriesconvergentes. En effet, la convergence peut tre tellement lente que le calcul d'une somme partielle,mme avec un nombre lev de termes, ne donnera qu'une faible ide de la valeur de la sommecomplte de la srie.

Considrons la srie harmonique dont on retire les entiers possdant dans leur dveloppementdcimal un chiffre donn c. Par exemple, pour c = 2, on obtient la srie :

1 + 13 + 14 + ... +

110 +

111 +

113 + ... +

119 +

130 +

131 +

133 +

134 + ...

Alors cette srie converge. En effet, entre 10p et 10p+1 1, les entiers possdent p + 1 chiffres (dontle premier est non nul), de sorte qu'il y a 8 9p entiers rpondant la question (8 choix pour lepremier chiffre et 9 pour les p chiffres qui suivent). La somme de la srie entre ces deux bornes estencadre par 8 9

p

10p+1 et 8 9p10p, qui sont les termes de sries convergentes.

Cependant la convergence est extrmement lente. Supposons que l'on souhaite une valeur approchede la somme 106 prs. Il serait naf de croire qu'il suffit de calculer la somme jusqu' n = 106 (cequi reprsente donc la somme de prs de 1 000 000 de termes) et de ngliger le reste. En effet,ngligeons le reste partir de 10p. Ce reste est encadr par la somme des 8 9

k

10k+1 et 8 9k10k , k variant de

p l'infini. Ces deux sommes encadrant le reste valent respectivement 8 ( 910)p et 80 ( 910)

p. Pour p

= 6, le reste est donc compris entre 4 et 43 !!! Par ailleurs, si l'on choisit p de faon que cetencadrement soit infrieur 106, on obtient p = 173. Il faudrait donc calculer la somme jusqu' n =10173, soit plus d'un milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard demilliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard demilliard de milliard de milliard de termes, ce qui reprsente une tche insurmontable dpassant entemps, et de loin, l'ge de l'univers.

On utilise alors des mthodes d'acclration de convergence, telles celles d'AitkenRichardson.Notons S(n) la somme jusqu'au terme n, S la somme de la srie complte, R(n) le reste. On a doncS = S(n) + R(n) avec R(10p) = O(0,9p), ou encore R(n) = O( 1

n), avec = 1 log(9), o log dsigne

le logarithme dcimal. Supposons que S(n) soit de la forme S(n) = S an

+ o( 1n

) avec a constante.Posons :

A[p,0] = S(10p) = S a 0,9p + o(0,9p))

- 13 -

On a : A[p+1,0] = S a 0,9p+1 + o(0,9p))de sorte que, si l'on pose :

A[p,1] = 10A[p+1,0] 9A[p,0]cela permet d'liminer les termes en 0,9p et d'avoir une suite convergeant plus rapidement vers S.Mme si la supposition faite sur S n'est pas exacte, on a quand mme :

limp+

A[p,1] = limp+

10A[p+1,0] 9A[p,0] = 10 S 9 S = Sdonc A[p,1] a de toute faon pour limite S et il ne cote rien d'appliquer la mthode. Le rsultat estspectaculaire. Lorsque le chiffre limin est c = 0, les valeurs successives de A[p,0] valentrespectivement :

2.82896825 4.89448069 6.71873434 8.35750721 9.83212841Celles de A[p,1] sont :

23.48409264 23.13701719 23.10646304 23.10371922alors que S = 23,10345...

On peut par ailleurs s'apercevoir que l'cart entre A[p,1] et S diminue d'environ un dixime chaqueitration de p, de sorte que l'on est amen penser que A[p,1] = S + b 0,09p + o(0,09p). Si l'on posealors :

A[p,2] = 100A[p+1,1] 9A[p,1]91 , le terme 0,09p est limin et la convergence est encore plus

rapide. (Mme si l'hypothse faite est fausse, on a de toute faon limp+

A[p,2] = S)Les premires valeurs de A[p,2] sont :

23.10269105 23.10344120 23.10344785puis, si l'on itre le procd :

A[p,3] : 23.10344801 23.10344791A[p,4] : 23.10344791

qui donnent quatre, voire cinq, six ou mme sept dcimales exactes aprs la virgule, et ceciseulement avec 105 termes 1

n calculs.

Pour c = 1, la somme est 16,1769695...Pour c = 7, la somme est 22.4934753...Pour c = 9, la somme est 22,9206766...

Annexe III : Un calcul d'EulerOn trouvera ci-dessous des exemples de calcul, typiques du XVIIIme, o l'on utilise sans souci dessries divergentes. Le thorme 2 de Variae observationes circa series infinitas d'Euler (1737)rapporte un rsultat d Goldbach :

ln(2) = 13 + 17 +

115 +

131 +

135 +

163 + ...

o les dnominateurs valent 1 de moins que les puissances suprieures ou gales 2 de nombrespairs (22, 23, 24, 25, 62, 26, ...). Voici la dmonstration qu'en donne Euler :

Il pose :x =

12 +

14 +

16 +

18 +

110 +

112 +

114 + ...(les dnominateurs sont tous les nombres pairs)

Euler sait que cette srie diverge. Nanmoins, Euler traite les sries divergentes comme les autressries en leur attribuant une somme, ici infinie, qu'il manipule formellement. Comme :

1 = 12 + 14 +

18 +

116 + ... (srie gomtrique de raison

12)

- 14 -

on a :

x 1 = 16 + 110 +

112 +

114 + ... (les dnominateurs sont les dnominateurs autres que les

puissances de 2, et donc aussi de 4, de 8...)Puis :

15 =

16 +

136 +

1216 + ... (srie gomtrique de raison

16)

Donc :

x 1 15 = 110 +

112 +

114 + ... (les dnominateurs sont les dnominateurs autres que les

puissances de 2, 4, 6, 8)Puis :

19 =

110 +

1100 +

11000 + ... (srie gomtrique de raison

19)

Donc :

x 1 15 19 =

112 +

114 + ... (les dnominateurs sont les dnominateurs autres que les

puissances de 2, 4, 6, 8, 10)On continue indfiniment. On obtient alors :

x 1 15 19

111 ... = 0 ou encore x = 1 +

15 +

19 +

111 + ... (1)

Chaque dnominateur vaut 1 de moins qu'un nombre pair qui n'est pas puissance d'un autre nombrepair plus petit.

Par ailleurs :x =

12 +

14 +

16 +

18 +

110 +

112 +

114 + ...

et ln(2) = 1 12 + 13

14 +

15 ...

x + ln(2) = 1 + 13 + 15 +

17 + ...(les dnominateurs sont tous les impairs) (2)

En retranchant (1) (2), on obtient :ln(2) = 13 +

17 +

115 +

131 +

135 +

163 + ...

o les dnominateurs sont les impairs autre que ceux qui prcdent un nombre pair qui n'est paspuissance d'un autre nombre pair plus petit. Donc les dnominateurs sont les impairs qui prcdentun nombre pair puissance d'un nombre plus petit. CQFD.

Une telle dmarche est totalement invalide aujourd'hui. Il est cependant bon de remarquer que lersultat est, lui, parfaitement exact. En effet, notons T l'ensemble des nombres pairs qui ne sont paspuissances d'un autre nombre. La somme initiale vaut :

S = 13 + 17 +

115 +

131 +

135 +

163 + ...

= k 2

a T

1a

k 1 or

1a

k 1 = n=1

1a

nk

- 15 -

S = k 2

a T

n=1

1a

nk

= k 2

p pair

1pk car les a

n dcrit tous les nombres pairs p lorsque a dcrit T et n dcrit *

= p pair

k 2

1pk (on peut montrer que l'intervertion des sommations est valide)

= p pair

1p(p 1) car k 2

1pk =

1p2

11 1p

= 1

p2 p

= n=1

12n(2n 1) = n=1

12n 1

12n = n=1

(1)n1n

= ln(2)

Autre exemple. Euler pose cette fois (thorme 7 de Variae observationes circa series infinitas) :x = 1 + 12 +

13 +

14 +

15 +

16 + ...

On divise par 2 : 12 x =

12 +

14 +

16 +

18 + ...

x 12 x = 12 x = 1 +

13 +

15 +

17 + ... (on a supprim les dnominateurs multiples de 2)

On divise le rsultat prcdent par 3 : 12

13 x =

13 +

19 +

115 + ...

12 x 12

13 x =

12

23 x = 1 +

15 +

17 +

111 + ... (on a supprim les dnominateurs multiples de 3)

On divise le rsultat prcdent par 5 : 12

23

15 x =

15 +

125 +

135 + ...

12 23 x

12

23

15 x =

12

23

45 x = 1 +

17 +

111 + ... (on a supprim les dnominateurs multiples de 5)

En oprant de mme avec 7, on obtiendra :12

23

45

67 x = 1 +

111 +

113 +

117 + ...

puis 12 23

45

67

1011 x = 1 +

113 +

117 + ...

et en continuant indfiniment :1.2.4.6.10.12.16...2.3.5.7.11.13.17... x = 1

ou encore :2.3.5.7.11.13.17...1.2.4.6.10.12.16... = x = 1 +

12 +

13 +

14 +

15 +

16 + ...

Au numrateur, apparaissent les nombres premiers, et au dnominateur, les nombres prcdents lesnombres premiers, ce qu'on pourrait noter :

- 16 -

p premier

pp 1 = n=1

1n

Il est noter que si, nos yeux, les deux expressions ci-dessus sont divergentes, on peut nanmoins

montrer, selon les critres les plus rigoureux, que p premier

ps

ps 1 = n=1

1n

s pour tout s > 1, proprit

qu'Euler nonce lui-mme dans le thorme 8 avec s entier. La fonction s n=1

1n

s s'appelle

aujourd'hui la fonction de Riemann. Sa relation avec les nombres premiers sera promise un belavenir et donnera lieu une clbre conjecture, la conjecture de Riemann, qui rsiste depuis 150 ansaux efforts des mathmaticiens. Cette conjecture est l'un des sept problmes du millnaire, et estdote d'un prix d'un million de dollars.

On peut galement tirer trois consquences de la relation p premier

pp 1 = n=1

1n. La premire, c'est

que, comme la srie du membre de droite diverge, le membre de gauche diverge galement, ce qui nepeut se produire que s'il y a une infinit de nombres premiers (sinon, le produit est fini et converge).La dmarche d'Euler constitue donc une dmonstration de l'infinit des nombres premiers. En secondlieu, en prenant le logarithme, on obtient que la srie ln( pp 1) = ln(

p 1p ) diverge. Comme

ln(p 1p ) 1p, il en rsulte que la srie p premier

1p diverge, rsultat loin d'tre vident, nonc par

Euler dans le thorme 19 de Variae observationes circa series infinitas. En troisime lieu, comme

n=2

n2

n2 1 converge vers 2 (exercice laiss au lecteur), et que p premier

pp 1 diverge, il y a selon les

termes d'Euler, en infinit (sic), plus de nombres premiers que de carrs. De fait, on sait depuis 1896que le nombre de nombres premiers infrieurs N est quivalent Nln(N), bien suprieur au nombrede carrs, quivalent N.

Les manipulations d'Euler sur les sries divergentes ne sont cependant pas toujours heureuses, etconduiront Cauchy au dbut du XIXme se consacrer uniquement aux sries convergentes (ce quenous faisons aussi). Cauchy crit en 1821 :

Je me suis vu forc d'admettre plusieurs propositions qui paratront peut-tre un peudures au premier abord. Par exemple [...] qu'une srie divergente n'a pas de somme.[...] Ainsi, avant d'effectuer la sommation d'aucune srie, j'ai d examiner dans quelscas les sries peuvent tre sommes, ou, en d'autres termes, quelles sont les conditionsde leur convergence ; et j'ai, ce sujet, tabli des rgles gnrales qui me paraissentmriter quelques attention.

Annexe IV : Quelques sommes de sriesOn donne ci-dessous quelques sommes de sries. Les dmonstrations ne sont pas donnes etdpassent en gnral le niveau de 1re anne de CPGE :

- 17 -

n=1

(1)n1n

= ln(2) n=0

(1)n2n + 1 =

pi4

n=1

1n

2 = pi2

6 n=0

1(2n + 1)2 = n impair

1n

2 = pi2

8

n pair

1n

2 = pi2

24 n=1

(1)n+1n

2 = pi2

12

n=0

11 + n2 =

pi2th(pi) +

12 n=0

1z2 + n2

= pi

2zth(piz) + 1

2z2

n=0

(1)n1 + n2 =

pi2sh(pi) +

12 n=0

(1)nz2 + n2

= pi

2zsh(piz) + 1

2z2

n=0

(1)n(2n + 1)3 =

pi3

32

n=1

1n

4 = pi4

90 n impair

1n

4 = pi4

96

n=1

1n

6 = pi6

945 n impair

1n

6 = pi4

960

u