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Universit Sad Dahlab de BLIDA

Facult des Sciences, Dpartement de mathmatiques

MI, 1reanne, algbre 1.

Srie d'exercices n 1

Exo1 : Soit E = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } un ensemble. A = { 1, 2, 3, 5, 7 }, B = { 0, 2, 4,5,6 }

deux sous ensembles de E. Dterminer A A, A A, A B, B A; A B, B A;

Soit AEC que l'on note parA , le complmentaire de A dans E.

Dterminer A , A , B , A B , A B , BA , BA .

Dterminer E / A, E / B ( la diffrence de E moins A), A / B, B / A, )AE(EC , ABC ,

)AB(BC , A B = (A / B ) ( B / A) ( la diffrence symtrique), A A, A .

Dterminer (B), l'ensemble des parties de B. Quelle est sa cardinalit?

Expliciter (), ( ()) et ( ( ())).

Donner une famille de parties de B indexe par un ensemble I = { 1, 2} ( I = {1, 2, 3, 4, 5, 6}).

Exo2 : Soit E un ensemble, A, B et C des sous ensembles de E et AEC = A , lecomplmentaire de A dans E. Vrifier les propositions suivantes.

A = A; AA = A; A A = A; A B = B A; A B = B A;

A ( B C ) = ( A B ) C; A ( B C ) = ( A B ) C

A ( B C ) = ( A B) ( A C) ; A ( B C ) = ( A B) ( A C )

BA = A B ; BA = A B ;

A B = A B A; A B = B B A;

Exo3 : Montrer que A B = (A B ) / ( A B) = )BA(BAC

Exo 4 : Soient A et B deux sous ensembles d'un ensemble E.

Montrer que: ( A B ) \ B = A A B =

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Exo5 : soit B E, B: E {0, 1 } est appele " fonction caractristique de B" ou

x

Bxsi0

Bxsi1

"fonction indicatrice de B". Elle est aussi note B = 1B.Soit A un ensemble, E et F deux sous ensembles de A, E A, F A. 1Aest not par 1.

Montrer que 1E= 1F E = F.

Quels sont les ensembles dont les fonctions caractristiques sont 1 - 1E, 1E1F, 1E + 1F - 1E1F ?

Exo 6 : soit f : +, qui a x x2. Dterminer ou reprsenter graphiquement une fonction

" restriction de f A ", A = { 2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Dterminer une fonction " prolongement de

f ". Est-elle unique?

Exo7 : Soient f : E F, g : F G et h : G H trois applications.

a) Montrer que si f et g sont injectives ( respectivement surjectives ou bijectives) gf est

injective ( respectivement surjective ou bijectives)

b) Montrer que si gf est injective, f l'est aussi.

c) Montrer que si gf est surjective, g l'est aussi.

d)

Montrer que si gf et hg sont des bijections alors f, g et h sont des bijections.

Exo 8 : tudier la nature de f: , ( l'injection, la surjection et la bijection).

x x2

Exo9 :A et B tant deux sous ensembles de E.

f : (E) (A) x (B) une application

X ( X A, X B )

A quelle condition f est une injection ? une surjection ?

Exo10 : Soit E un ensemble et A un sous ensemble fix de E ( que l'on a choisi ).

f : (E) (E) et g : (E) (E),

X A X X A X

Calculer f( (E) ), g( (E) ), f-1( Y) et g-1(Y), Y (E).

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Exo11 :par un exemple, montrer que f( AEC ) est diffrente de )A(fEC

A quelle condition a - t - on l'galit?

Exo12 : soit f : E F une application, A E, A' E, B F et B' F.Montrer que l'on a les proprits suivantes :

i) A A' f(A) f(A')

ii) f(A A') = f (A) f(A')

iii)

f(A A') f (A) f(A'). A quelle condition a t-on l'galit?

iv) B B' f -1(B) f -1(B')

v) f -1(B B') = f -1(B) f -1(B') et que f -1(B B') f -1(B) f -1(B').

vi) f-1( B ) = f -1( B

FC ) = )B(1f = )B(1f

EC

vii)

A f -1(B) f(A) B

viii) A f -1( f(A)) et que f (f -1(B)) B. A quelle conditions a t-on les galits?

Exo 13: Montrer que les relations suivantes sont d'quivalence.

a)

l'galit dans E : x y x = y

b)

dans et pour n fix, la relation "congruance modulo n" dfinie par : x y x - y est divisible par n k * / x - y = n k.

c) dans x : ( p, q ) ( p', q' ) p + q' = p' + q.

L'ensemble quotient (x / ) reprsente l'ensemble .

d) dans x* : ( p, q ) ( p', q' ) p q' = p' q.

Les classes d'quivalences sont appeles nombres rationnels et nots par p / q.

L'ensemble quotient (x* / ) reprsente l'ensemble .

e) soit f : E E une application, dfinie par :

( x, y) E x E, x y f(x) = f(y).

Exo14 :Dans l'ensemble *, on dfinit une relation binaire " S " par : ( x, y) ( *)2,

x S x' x2+x

1 = x' 2+

'x

1.

Montrer que S est d'quivalence. Dterminer la classe d'quivalence de x, note x .

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Exo 15 : Soit la relation dfinie sur par : ( x, y) 2 ,

x y x - y est divisible par 4.

Montrer que est d'quivalence. Dterminer l'ensemble quotient / .

Exo 16 : Soit A un sous ensemble de E, A E. Dans l'ensemble des parties de E, (E) on

dfinit ' par : ( X, Y) (E) 2, X ' Y A X = A Y.

Montrer que ' est d'quivalence. Dterminer X , la classe d'quivalence de X.

Que devient ' si A = ou A = E ?

Exo 17 : Soit la relation binaire dfinie sur par : ( a, b) ()2, a b a2- b2= a - b

Montrer qu'elle est une relation d'quivalence. Ecrire et discuter le nombre d'lments de la

classe d'un lment a.

Exo 18 : Soit f : E F une application.

On dfinit sur E une relation binaire par : ( x, y) E 2, x y f(x) = f(y).

Vrifier que est d'quivalence. Ecrire la classe x de l'ensemble quotient E/.

On dfinit la correspondance s :xx

/EE

a

. Montrer que "s" est une application surjective.

A quelle condition " s " est aussi injective?

Soit i :)x(f)x(f

F)E(f

a

l'injection canonique.

Montrer qu'il existe une unique application bijective f : )E(f/E telle que i o f o s = f.

Exo 19 : Montrer que :

i)

dans , , et , " " est un ordre total.

ii)

Dans *, "a / b, a divise b " est un ordre partiel.

iii) Dans (E) , l'ensemble des parties de E, " , l'inclusion " dfinit un ordre partiel ds

que E a plus d'un lment.

iv) Soit ( E, < ) un ensemble ordonn, la relation "

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Exo 20 : Dans l'ensemble des polynmes [x], on dfinit une relation par :

( p, q ) 2[x], p q deg p deg q. Est-elle une relation d'ordre?

Exo 21 : Dans

2

on dfinit la relation " 1" par : ( x, y ) 2

, ( x', y' ) 2

( x, y ) 1( x', y' ) ( x x' et y y' ).

Montrer que " 1" est une relation d'ordre appel " ordre produit". Est-il total ?

Reprsenter les couples tels que ( x, y) 1 ( 6, 3).

Soit M0= ( x0, y0) un point du plan. Dterminer les ensembles

D = { M' / M' 1 M0} et E = { M' / M'1 M0}.

Exo 22 :

Le but de cet exercice est de montrer qu' partir d'un pr-ordre(relation rflexive et transitive )

sur un ensemble E, on peut construire une relation d'ordre sur un ensemble F qu'on dfinira.

Soit la relation dfinie sur * par : a b " a divise b" . est-elle une relation d'ordre?

Soit la relation dfinie par a b " a b et b a". Montrer que est d'quivalence.

Calculer x , la classe d'quivalence de x* .

On considre la relation "" dfinie sur l'ensemble quotient */ par: a ba b

Montrer que " " est une relation d'ordre partiel sur ( */ ).