schéma d'euler pour les edschristophe.chorro.fr/docs/mc5.pdfmorceaux passant par les points (t...

Schéma d’Euler pour les EDS

Christophe Chorro ([email protected])

ENSA AGADIR

Décembre 2008

Christophe Chorro ([email protected]) (ENSA AGADIR)Schéma d’Euler pour les EDS Décembre 2008 1 / 34

Plan

Chapitre 1: Le schéma d’Euler pour les EDOChapitre 2: Le cas des EDS

Les EDSRésultat d’existenceLe schéma d’EulerRésultats de convergenceLe cas du CIR

Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S


Bibliographie

BALLY, V. AND TALAY, D. : The law of the Euler scheme for stochastic differential equations (I) : convergencerate of the distribution function. Probability Theory and Related Fields, 104 :43-60, 1995. N. BOULEAU, D.

TALAY : Probabilités numériques, INRIA, 1992.

D. LAMBERTON, B. LAPEYRE: Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Second edition,Ellipses, Paris, 1997.

B. LAPEYRE, E TEMAM: Competitive Monte Carlo Method for the pricing of asian options, Journal ofcomputational finance, 2002.PAGÈS G., Multi-step Richardson-Romberg Extrapolation : Remarks on Variance Control and Complexity,prépublication PMA, 2006.

L.C.G ROGERS, D. WILLIAMS : Diffusions, Marvov processes and Martingales, Vol 1. Foundations, Springer,Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2000.

TALAY, D. AND TUBARO, L. : Expansion of the global error for numerical schemes solving stochastic differentialequations. Stochastic Anal. Appl. 8(4) :483-509, 1990.


Plan

1 Le schéma d’Euler pour les EDOLe schéma d’Euler pour les EDO

2 Chapitre 2: Le cas des EDSLes EDSRésultat d’existenceRésultat d’existenceLe schéma d’EulerLe schéma d’EulerRésultats de convergence

3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&SChapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S


Le schéma d’Euler pour les EDOOn considère l’équation differentielle ordinaire (EDO) suivante :

y ′(t) = f (t , y(t)); y(0) = x0.

Lorsque qu’il n’y a pas de solution explicite on peut construire un schémad’approximation sur [0, T ] :

• On se donne une subdivision, ici, {t0 = 0, t1 = TN , ...., tN = T}.

• On approxime la solution aux points de la subdivision

y(0) = x0

y(tk ) = y(tk−1) +TN

f (tk−1, y(tk−1)).

• On approxime la solution sur [0, T ] par le processus linéaire parmorceaux passant par les points (tk , y(tk ))0≤k≤N .

Sous des hypothèses très faible sur la régularité de f

‖y − y‖∞ → 0N→∞


Le schéma d’Euler pour les EDO


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Les EDS

On considère un mouvement Brownien (MB) d dimensionnel (Wt)t∈[0,T ] i.e

Wt =

B1t...

Bdt

où B1, ..., Bd sont des Browniens indépendants.

Une équation differentielle stochastique (EDS) est une équation de la forme

(E)

X0 = x0 ∈ Rn

dXt = b(t , Xt)dt + σ(t , Xt)dWt

oùb : R+ × Rn → Rn

σ : R+ × Rn →Mn×d (R).


Les EDS

Exemples: • Black-Scholes (d = 1, n = 1, b(t , x) = rx , σ(t , x) = σx)

dSt = rStdt + σStdWt .

• Modèles à volatilité locale (d = 1, n = 1)

dSt = rStdt + σ(t , Xt)XtdWt .

• Modèles à volatilité stochastique (d = 2, n = 2, ρ ∈ [0, 1])

d[Stσt

]=

[µ(t , St)a(t , σt)

]dt +

[σtSt 0

ρ b(t , σt)√

1− ρ b(t , σt)

]dWt


Les EDS

DéfinitionUne solution à l’équation (E) est un processus vectoriel (Xt)t∈[0,T ] adapté à lafiltration Brownienne tel que

•∫ T

0 | b(s, Xs) | + | σ(s, Xs) |2 ds < ∞ p.s

• ∀t ∈ [0, T ],

Xt = x +

∫ t

0b(s, Xs)ds +

∫ t

0σ(s, Xs)dWs p.s


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Les EDS: Résultat d’existence

PropositionSous l’hypothèse

H1

∃K > 0, ∀t ∈ [0, T ], ∀(x , y) ∈ (Rn)2

|b(t , x)− b(t , y)|+ |σ(t , x)− σ(t , y)| ≤ K |x − y |

|b(t , x)|+ |σ(t , x)| ≤ K (1 + |x |)

l’équation (E) admet une unique solution (Xt)t∈[0,T ] vérifiant

E

[sup

s∈[0,T ]

X 2s

]< ∞.

L’hypothèse H1 est suffisante mais pas nécéssaire cf

(CIR): drt = a(b − rt)dt + σ√

rtdWt

avec (a, b, σ, r0) ∈ R+.Christophe Chorro ([email protected]) (ENSA AGADIR)Schéma d’Euler pour les EDS Décembre 2008 12 / 34

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Les EDS

D’un point de vue pratique nous avons souvent à calculer des quantités dutype

E [f (XT )]

où (Xt)t∈R+ est solution de (E).

La méthode MC nous assure que

E [f (XT )] ≈ 1M

M∑i=1

f (X iT ).

Problèmes:

• La loi de (Xt) est souvent inconnue• Impossible de simuler en temps continu ⇒ Discrétisation


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Le Schéma d’Euler

DéfinitionPour N ∈ N∗,

• On se donne une subdivision, ici, {t0 = 0, t1 = TN , ...., tN = T}.

• On approxime la solution aux points de la subdivision par

X N(0) = x0

X N(tk ) = X N(tk−1) +TN

b(tk−1, X N(tk−1)) + σ(tk−1, X N(tk−1))(Wtk −Wtk−1).

• On approxime la solution sur [0, T ] par le processus linéaire parmorceaux passant par les points (tk , X N(tk ))0≤k≤N :

∀t ∈ [tk , tk+1],

X N(t) = X N(tk ) + (t − tk )b(tk , X N(tk )) + σ(tk , X N(tk ))(Wt −Wtk ).


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Le Schéma d’Euler

• La mise en oeuvre pratique est très simple. Il suffit de générer N vecteursgaussiens indépéndents

Gi ↪→ N (0, Idn×n)

et considérerWti −Wti−1 =

√ti − ti−1Gi .

• Dans le cas Black-Scholes le schéma est donné en chaque pas de lasubdivision par

X N(tk ) = X N(tk−1)[1 +T bN

+ σ(Wtk −Wtk−1)].

• Lorsque l’on sait simuler de manière exacte une diffusion en tempsdiscret le schéma d’Euler est inutile.


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Convergence forte du schéma d’Euler

On considère l’hypothèse suivante

H2

∃K > 0,∃α > 0, ∀(t , s) ∈ [0, T ]2, ∀x ∈ Rn

|b(t , x)− b(s, x)|+ |σ(t , x)− σ(s, x)| ≤ K (1 + |x |) | t − s |α .

Remarque: Lorsque (E) est homogène H2 est automatiquement vérifiée.



PropositionSupposons (H2) vérifiée. Pour β = min(α, 1

2 ),

∀p ≥ 1, ∃Cp > 0, ∀N ∈ N∗

E [ supt∈[0,T ]

| X N(t)− Xt |2p] ≤Cp

N2βp .

Ainsi, ∀γ < β,

Nγ supt∈[0,T ]

| X N(t)− Xt |→ 0N→∞

p.s.



CorollaireLorsque l’équation est homogène,

∀p ≥ 1, ∃Cp > 0, ∀N ∈ N∗

E [ supt∈[0,T ]

| X N(t)− Xt |2p] ≤Cp

Np .

Ainsi, ∀γ < 12 ,

Nγ supt∈[0,T ]

| X N(t)− Xt |→ 0N→∞

p.s.



De la même manière si g : (Rn)d+1 → R est Lipschitzienne et si0 = t0 ≤ t1 ≤ ..... ≤ td = T ,

Corollaire• Sous (H2), lorsque α > 1

2 ,

| E [g(Xt0 , ..., Xtd )]− E [g(X N(t0), ..., X N(td ))] |≤ CN 1

2.

• Lorsque l’équation est homogène

| E [g(Xt0 , ..., Xtd )]− E [g(X N(t0), ..., X N(td ))] |≤ CN 1

2.

Exemple: Lorsque n = 1, options asiatiques ou lookback discrètes.


Convergence faible du schéma d’Euler

On etudie ici la vitesse de convergence de | E [f (XT )]− E [f (X N(T ))] |

Notations:

• C∞b ([0, T ]× Rn; Rp) est l’ensemble des fonctions dans C∞([0, T ]× Rn; Rp)dont les dérivées de tout ordre ≥ 1 sont bornées.

• C∞pol(Rn) est l’ensemble des fonctions dans C∞(Rn; R) dont les dérivées detout ordre sont à croissance polynomiale:

∀a = (a1, ..., an) ∈ Nn, ∃pa ∈ N, ∃Ca > 0, ∀x ∈ Rn,∣∣∣∣∂(a1+...+an)F∂xa1

1 ...∂xann

(x)

∣∣∣∣ ≤ Ca(1+ | x |pa).



Proposition(Talay-Tubaro 1990)

On suppose que b ∈ C∞b ([0, T ]× Rn; Rn) et σ ∈ C∞b ([0, T ]× Rn; Rnd ).Lorsque f ∈ C∞pol(Rn) on a ∀k ∈ N∗

E [f (XT )]− E [f (X N(T ))] =k∑

i=1

Ci

N i + O(

1Nk+1

)où les Ci ne dépendent que de f .

Remarque: Ce résultat n’est pas utilisable dans le cadre du Put ou du Calleuropéens...



Proposition(Bally-Talay 1995)

On suppose que l’équation (E) est homogène et que b ∈ C∞b (Rn; Rn) etσ ∈ C∞b (Rn; Rnd ).

Si∃A > 0,∀ξ ∈ Rn, ∀x ∈ Rn, ξtσ(x)σt(x)ξ ≥ A | ξ |2,

lorsque f est mesurable bornée,

E [f (XT )]− E [f (X N(T ))] =CN

+ O(

1N2

)où C ne dépendent que de f .

Remarque: Ce résultat est utilisable dans le cadre du Put européen (donc ducall).



• “Pour abaisser les conditions de régularité sur f on augmente celles sur laloi de la diffusion étudiée”

• Les dévellopements précédents permettent d’obtenir un ordre deconvergence en 1

N2 (Procédure d’extrapolation de Romberg):

E [f (XT )]− E [2f (X 2N(T ))− f (X N(T ))] = O(

1N2

).

Cependant cette procédure a tendance a faire “exploser” la variance del’estimateur (Pagès 2006).

• Ne pas oublier que “Erreur Pricing= Erreur discrétisation + ErreurMonte Carlo”


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Les options asiatiques

Soit n = 1 = d , on considère l’équation homogène suivante

(H1)

X0 = x0 ∈ R+

dXt = b(Xt)dt + σ(Xt)dWt .

On note AT = 1T

∫ T0 Xsds et on s’intéresse aux options asiatiques:

• Call asiatique à strike fixe ( 1T

∫ T0 Xsds − K )+

• Put asiatique à strike fixe (K − 1T

∫ T0 Xsds)+

• Call asiatique à strike flottant ( 1T

∫ T0 Xsds − XT )+

• Call asiatique à strike flottant (XT − 1T

∫ T0 Xsds)+



En notant At = 1T

∫ t0 Xsds,

d[XtAt

]=

[b(Xt)

XtT

]dt +

[σ(Xt)

0

]dWt

Le schéma d’euler correspondant est

X N(tk ) = X N(tk−1) +TN

b(X N(tk−1)) + σ(X N(tk−1))(Wtk −Wtk−1)

AN(tk ) =1N

X N(tk ) + AN(tk−1).

Ainsi

AN(T ) =1N

N∑k=0

X N(tk ).

Rq: Il s’agit ici de la méthode des rectangles pour le calcul de l’intégraleapprochée.



Les fonctions φ(x , y) = (x − y)+ et φ(x , y) = (x − K )+ étant Lipschitziennes:

| E [(AT − XT )+]− E [(AN(T )− X NT )+] |≤ C

N 12.

| E [(AT − K )+]− E [(AN(T )− K )+] |≤ CN 1

2.

Rq: Ces résultats sont valides dans le cadre Black-Scholes.


Les options asiatiquesMais dans le modèle de Black-Scholes on sait simuler exactement

(X0, X TN, ..., XT ).

Pourquoi ne pas utiliser

1T

∫ T

0Xsds ≈ 1

N

N∑k=0

Xtk = AN(T )?

Proposition(Lapeyre Témam 2002) Dans Black-Scholes,

| E [(AT − XT )+]− E [(AN(T )− X N

T )+] |≤ CN 1

2,

| E [(AT − K )+]− E [(AN(T )− K )+] |≤ C

N 12

où C = σ√

e(σ2+2r)T−112(σ2+2r) .



0 50 100 150 200

6.2

6.4

6.6

6.8

7.0

7.2

7.4

7.6

7.8

Comparaison des 2 methodes des rectangles pour un call asiatique (T=1,K=100,x0=100,sigma=0.02,r=0.01) exact(en noir) / Euler (en bleu)

N

prix


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