Journal of Algebra 423 (2015) 148–176

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Schémas sur les catégories abéliennes monoïdales

symétriques et faisceaux quasi-cohérents

Abhishek BanerjeeCollège de France, 3, rue d’Ulm, 75231, Paris Cedex 05, France

i n f o a r t i c l e r é s u m é

Historique de l’article :Reçu le 29 mars 2013Disponible sur Internet le xxxxCommuniqué par Michel Van den Bergh

MSC :14F0518D1018E30

Keywords:Symmetric monoidal categoriesNon-noetherian schemes

Soit X un schéma sur une catégorie abélienne monoïdale symétrique (C, ⊗, 1) vérifiant certaines conditions. Dans cet article, nous développons la théorie de la catégorie dérivée D(OX − QCoh) des faisceaux quasi-cohérents sur X (où Xn’est pas nécessairement noethérien). En particulier, nous montrons les deux résultats suivants sur la catégorie D(OX −QCoh) : (1) la catégorie D(OX − QCoh) est munie d’un produit tensoriel dérivé et un hom interne, et (2) soit Δ(X) la plus petite sous-catégorie triangulée contenant tous les objets j∗M•, où j : U −→ X est une immersion ouverte avec U affine et M• ∈ D(OU − QCoh). Alors, Δ(X) = D(OX − QCoh).

© 2014 Elsevier Inc. Tous droits réservés.

a b s t r a c t

Let X be a scheme over an abelian symmetric monoidal category (C, ⊗, 1) satisfying certain conditions. In this article, we develop the theory of the derived category D(OX −QCoh)of quasi-coherent sheaves on X (where X is not necessarily noetherian). In particular, we show the following two results: (1) the category D(OX − QCoh) carries a derived tensor product and contains internal hom objects, and (2) let Δ(X)be the smallest triangulated subcategory of D(OX − QCoh)containing all the objects j∗M•, where j : U −→ X is an open

Adresse e-mail : abhishekbanerjee1313@gmail.com.

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immersion with U affine and M• ∈ D(OU − QCoh). Then, Δ(X) = D(OX − QCoh).

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1. Introduction

Soit k un anneau commutatif et soit Z un schéma sur Spec(k). Quand Z est noethé-rien, la théorie de la catégorie dérivée des faisceaux quasi-cohérents sur Z est classique (voir Hartshorne [8] pour une exposition). Puis, de nombreux auteurs ont étudié la ca-tégorie derivée des faisceaux quasi-cohérents sur les schémas non-noethériens (voir, par exemple, les travaux de Lipman [15,17] et Neeman [20]). Le but de cet article est d’étu-dier cette théorie pour les schémas non-noethériens sur une catégorie abélienne monoïdale symétrique (C, ⊗, 1). Quand C est égal à la catégorie des k-modules, la géométrie al-gébrique sur (C, ⊗, 1) est la même que la géométrie algébrique des schémas sur k. Plus généralement, on peut prendre, par exemple, C = FscAb(X), la catégorie des faisceaux des groupes abéliens sur un espace topologique X ; ou C = A∗ − Mod, la catégorie des modules simpliciaux sur un anneau simplicial commutatif A∗ (voir [26, § 1.1]) ; ou C = Comod(A, Γ ), la catégorie des comodules sur une algébroïde (A, Γ ) de Hopf plat (voir [11, § 1] pour les définitions). Étant donné un groupe fini G d’ordre g et un corps K dont la caractéristique ne divise pas g, on peut aussi prendre C = Stmod(K[G]), la catégorie stable des K[G]-modules, où K[G] est la K-algèbre du G (voir [9, § 2.2, § 4.2, § 4.3]). Pour en savoir plus sur la géométrie algébrique sur une catégorie monoïdale symétrique (C, ⊗, 1), voir, par exemple, Deligne [4], Hakim [7], Toën et Vaquié [24].

Plus précisément, soit (C, ⊗, 1) une catégorie monoïdale symétrique et abélienne vé-rifiant certaines hypothèses détaillées dans Section 2. Soit X un schéma sur (C, ⊗, 1) au sens de Toën et Vaquié [24]. Si X vérifie certaines hypothèses analogues aux schémas noethériens, nous avons étudié dans [1] la catégorie OX − QCoh des faisceaux quasi-cohérents sur X. Dans cet article, nous déveleppons la théorie de la catégorie dérivée D(OX − QCoh) des faisceaux quasi-cohérents sur X (où X n’est pas nécessairement noethérien). Nous pensons que c’est une étape naturelle dans la géométrie algébrique sur une catégorie monoïdale symétrique.

Puisque la catégorie monoïdale symétrique (C, ⊗, 1) est abélienne, notons qu’elle ad-met un plongement dans une catégorie des modules sur un anneau. Alors, on peut essayer de traiter la géométrie algébrique sur la catégorie (C, ⊗, 1) du point de vue classique. Cependant, dans cet article, on va utiliser «un point de vue relatif », c’est-à-dire le formalisme des schémas relatifs à (C, ⊗, 1). Le formalisme des schémas relatifs est une première étape pour obtenir des analogues de nos résultats dans la géométrie algébrique homotopique sur une catégorie abélienne modèle. En particulier, il y a des liens profonds entre la catégorie des modules simpliciaux sur un anneau simplicial commutatif et la géo-métrie algébrique dérivée (voir Lurie [19]). Plus généralement, la théorie des monoïdes dans les catégories abéliennes modèles est étudiée dans Hovey [10]. Pour en savoir plus

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sur la géométrie algébrique homotopique, voir les travaux de Toën et Vezzosi [25,26]. De plus, il semble que le formalisme des schémas relatifs à (C, ⊗, 1) est plus agréable pour le développement de la théorie des faisceaux quasi-cohérents sur les schémas non-commutatifs. Pour en savoir plus sur les approches aux schémas non-commutatifs, voir, par exemple, Rosenberg [21,22].

Dans Section 2, on commence par introduire les préliminaires sur les faisceaux quasi-cohérents. Nous associons à chaque schéma X sur (C, ⊗, 1) un faisceau structural OX

(voir (2.3)). Alors, OX est un foncteur à valeurs dans la catégorie Comm(C) des mo-noïdes commutatifs dans C. Pour chaque monoïde commutatif A dans (C, ⊗, 1), nous supposons que les colimites filtrantes commutent avec les limites finies dans la catégo-rie A − Mod des A-modules. De plus, nous supposons que, pour chaque objet M dans A −Mod, on dispose d’un epimorphisme Q −→ M dans A −Mod, où Q est un A-module plat (voir les conditions (C1) et (C2) dans Section 2).

D’après Toën et Vaquié [24], les objets de la catégorie opposée Comm(C)op sont appelés comme les schémas affines sur (C, ⊗, 1). Pour un schéma X sur (C, ⊗, 1), notons par ZarAff (X) la catégorie des immersions ouvertes de Zariski U −→ X (au sens de [24, Définition 2.12]) avec U affine. Si Z est un schéma séparé sur Spec(k), on sait que, pour U , V ouverts affines de Z, U ×Z V est affine. Dans cet article, on dit qu’un schéma Xsur (C, ⊗, 1) est «préséparé» si, pour chaque U , V ∈ ZarAff (X), U ×X V ∈ ZarAff (X)(voir Définition 2.7). De même, dans cet article, un morphisme f : X −→ Y des schémas sur (C, ⊗, 1) est dit «préséparé» si, pour chaque V ∈ ZarAff (Y ), U = V ×Y X et U1, U2 ∈ ZarAff (U), le produit fibré U1 ×U U2 ∈ ZarAff (U).

Si X est un schéma sur (C, ⊗, 1), la catégorie ZarAff (X) est munie d’une topologie de Grothendieck définie par les recouvrements de Zariski au sens de [24, Définition 2.10]. Alors, nous disons qu’un schéma X sur (C, ⊗, 1) est quasi-compact si chaque recouvre-ment Zariski affine de X (au sens de Définition 2.1) dispose d’un sous-recouvrement fini. De même, un morphisme f : X −→ Y des schémas sur (C, ⊗, 1) est dit quasi-compact, si, pour chaque V ∈ ZarAff (Y ), U = V ×Y X, chaque recouvrement Zariski affine (Uj −→ U)j∈J de U dispose d’un sous-recouvrement fini. Pour un schéma X sur (C, ⊗, 1), soit OX − QCoh (resp. OX − Mod) la catégorie des faisceaux quasi-cohérents (resp. OX -modules) sur X (voir Définition 2.2 et Définition 2.3). Si f : X −→ Y est un morphisme quasi-compact et préséparé des schémas, nous construisons le foncteur f∗d’image directe (voir Proposition 2.4)

f∗ : OX − QCoh −→ OY − QCoh (1.1)

sur les faisceaux quasi-cohérents. De plus, si f∗ est le foncteur d’image inverse, nous montrons que (f∗, f∗) est un couple des foncteurs adjoints.

Pour un schéma X sur (C, ⊗, 1), la structure monoïdale sur D(OX − QCoh) est étudiée dans Section 3. Pour chaque schéma quasi-compact et préséparé X sur (C, ⊗, 1), on suppose que les catégories OX −QCoh et OX −Mod sont des catégories abéliennes de Grothendieck au sens de [13, Definition 8.3.24]. De plus, nous supposons que le foncteur

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d’inclusion D(OX − QCoh) −→ Dqc(X) est une équivalence des catégories, où Dqc(X)est la sous-catégorie pleine de D(OX − Mod) qui consiste des complexes de chaînes sur OX−Mod tels que leurs faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents (voir les conditions (C3) et (C4) dans Section 3). En particulier, on sait que ces conditions sont vérifiées pour les schémas sur Spec(Z) (voir [2, Corollary 5.5], [5, Lemma 1.3] et [6, Proposition 3.1.1]). Le but est de montrer que la catégorie dérivée D(OX − QCoh) est munie d’un produit tensoriel dérivé __ ⊗L

OX__ et d’un hom interne HomOX

(__, __) et on a

HomD(OX−QCoh)(L• ⊗L

OXM•,N •) ∼= HomD(OX−QCoh)

(L•,Hom•

OX

(M•,N •)) (1.2)

pour L•, M•, N • ∈ D(OX − QCoh). Si U = (Ui −→ X)i∈I est un recouvrement affine et fini de X, nous utilisons les complexes de Čech pour montrer que, pour chaque M• ∈OX − QCoh, on dispose d’un isomorphisme Q• ∼= M• dans D(OX − Mod) tel que Q•

est un complexe K-plat des OX-modules quasi-cohérents (voir Proposition 3.6). Alors, on peut définir un produit tensoriel dérivé __⊗L

OX__ sur la catégorie D(OX −QCoh)

comme dans (3.24).Soit iX : OX − QCoh −→ OX − Mod le foncteur d’inclusion. Sur la catégorie OX −

Mod, nous construisons un analogue du quasi-cohéreur classique (voir [12, Lemme 3.2]) ; autrement dit, nous construisons un foncteur QX qui associe à chaque N ∈ OX − Modun faisceau quasi-cohérent QX(N ) tel que

HomOX−Mod(iX(M),N

) ∼= HomOX−QCoh(M, QX(N )

)(1.3)

pour chaque M ∈ OX − QCoh (voir Proposition 3.1). Nous montrons que le couple (iX , QX) induit une adjonction au niveau des catégories dérivées. Notons par RQX

le quasi-cohéreur dérivé RQX : D(OX − Mod) −→ D(OX − QCoh). Pour M•, N • ∈D(OX − QCoh), nous posons

RHom•OX

: D(OX − QCoh)op ×D(OX − QCoh) −→ D(OX − Mod)

RHom•OX

(M•,N •) := Hom•

OX

(M•, I•

N)

(1.4)

où HomOX(M•, I•

N ) est comme dans (3.36) et I•N est une résolution K-injective de N •.

Composant avec le quasi-cohéreur dérivé, on définit l’hom interne dans D(OX −QCoh)comme

Hom•OX

: D(OX − QCoh)op ×D(OX − QCoh) −→ D(OX − Mod)

Hom•OX

(M•,N •) := RQX

(Hom•

OX

(M•, I•

N))

(1.5)

Enfin, dans Section 4, nous considérons la structure triangulée sur la catégorie D(OX − QCoh). Soit X un schéma quasi-compact et préséparé et soit Δ(X) la plus petite sous-catégorie triangulée de D(OX − QCoh) contenant tous les objets j∗M•, où j : U −→ X est une immersion ouverte avec U affine et M• ∈ D(OU − QCoh). Nous

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montrons que Δ(X) = D(OX − QCoh). Pour montrer ce résultat, on procède par in-duction sur le nombre minimal des affines à sélectionner pour former un recouvrement de X.

2. Faisceaux quasi-cohérents

Soit (C, ⊗, 1) une catégorie monoïdale symétrique. Supposons que C est abélienne et toutes les limites et colimites sont contenues dans C. De plus, supposons que C est fermée ; autrement dit, pour objets X, Y ∈ C, il existe un objet HomC(X, Y ) ∈ C tel qu’on a un isomorphisme naturel :

HomC(Z ⊗X,Y ) ∼= HomC(Z,HomC(X,Y )

)(2.1)

pour chaque objet Z ∈ C. En particulier, il résulte de (2.1) que le foncteur __ ⊗ X

préserve les colimites pour chaque objet X ∈ C.Soit Comm(C) la catégorie des monoïdes commutatifs dans C. Pour chaque monoïde

A dans Comm(C), notons par A −Mod la catégorie des A-modules dans C. Alors, A −Modest également une catégorie monoïdale symétrique qui est abélienne et fermée (voir, par exemple, Vitale [27]). En particulier, le foncteur __ ⊗A M sur A − Mod préserve les colimites pour chaque objet M de A −Mod. De plus, nous supposons que les catégories A − Mod vérifient les deux conditions suivantes :

(C1) Les colimites filtrantes dans A − Mod commutent avec les limites finies.(C2) Pour chaque M ∈ A −Mod, on dispose d’un epimorphisme Q −→ M dans A −Mod,

où Q est un A-module plat.

La catégorie opposée Aff C := Comm(C)op est appelée comme la catégorie des sché-mas affines sur C. Si A est un objet de Comm(C), nous notons par Spec(A) l’objet de Aff C = Comm(C)op correspondant à A. La catégorie AffC est munie d’une topologie subcanonique de Grothendieck définie par les recouvrements de Zariski au sens de Toën et Vaquié [24, Définition 2.10]. Nous notons par Fsc(Aff C) la catégorie des faisceaux sur Aff C.

De plus, dans [24, Définition 2.12], Toën et Vaquié ont introduit une notion des im-mersions ouvertes de Zariski dans la catégorie Fsc(Aff C). D’après [24, Définition 2.15], un schéma sur C est défini comme ci-dessous :

Définition 2.1. Un objet X de Fsc(Aff C) est un schéma sur (C, ⊗, 1) s’il existe une famille {Xi}i∈I des schémas affines sur (C, ⊗, 1) et un morphisme

p :∐i∈I

Xi −→ X (2.2)

vérifiant les conditions suivantes :

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(a) Le morphisme p est un epimorphisme dans Fsc(Aff C).(b) Pour chaque i ∈ I, le morphism Xi −→ X est une immersion ouverte de Zariski

dans Fsc(Aff C).

Une telle famille {Xi −→ X}i∈I des morphismes est appelée un recouvrement Zariski affine de X.

On sait que la catégorie des schémas sur C est stable par réunions disjointes et par pro-duits fibrés (voir [24, Proposition 2.18]). Soit X un schéma sur C. Notons par ZarAff (X)la sous-catégorie de Fsc(Aff C)/X dont les objets sont les immersions ouvertes U −→ X

telles que U est affine. Un morphisme de p′ : U ′ −→ X vers p : U −→ X dans la catégorie ZarAff (X) est une immersion ouverte u : U ′ −→ U telle que p ◦ u = p′. S’il n’existe pas de risque de confusion, un objet U −→ X de ZarAff (X) sera noté simplement par U . Nous disons qu’une famille {Ui = Spec(Ai) −→ Spec(A) = U}i∈I de immersions ouvertes dans ZarAff (X) est un recouvrement de U = Spec(A) s’il existe un sous-ensemble fini J ⊆ I tel qu’un morphisme f : M −→ M ′ dans A − Mod est un isomorphisme si et seulement si chaque morphisme induit f ⊗A Aj : M ⊗A Aj −→ M ′ ⊗A Aj , ∀j ∈ J est un isomorphisme. Il s’ensuit que ZarAff (X) est munie d’une topologie de Grothendieck. Alors (voir [24, § 2.4]), on a un foncteur

OX : ZarAff (X)op −→ Comm(C) (2.3)

défini comme suit : si Spec(A) = U −→ X est un objet de ZarAff (X), nous posons OX(U) := A. Alors, si {Ui = Spec(Ai) −→ Spec(A) = U}i∈I est un recouvrement dans ZarAff (X), on sait que (voir [24, Corollaire 2.11])

A = lim(∏

i∈I

Ai ⇒∏i,j∈I

Ai ⊗A Aj

)(2.4)

Donc, le foncteur OX est appelé comme le faisceau structural de X.Soit f : X −→ Y un morphisme des schémas sur C et soit V −→ Y un objet de

ZarAff (Y ). Considérons le carré cartésien suivant

Uf ′

p′

V

p

Xf

Y (2.5)

Donc, p′ : U −→ X est une immersion ouverte. Alors, on définit un foncteur

f∗OX : ZarAff (Y )op −→ Comm(C) f∗OX(V ) := lim OX(W ) (2.6)

W∈ZarAff (U)

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Pour chaque W ∈ ZarAff (U) comme dans (2.6), on a un morphisme OY (V ) −→ OX(W )dans Comm(C) induit par la composition W −→ U

f ′

−→ V . Combinant avec (2.6), on a un morphisme induit

OY (V ) −→ f∗OX(V ) = limW∈ZarAff (U)

OX(W ) (2.7)

On voit que les morphismes dans (2.7) induisent une transformation des foncteurs

f � : OY −→ f∗OX (2.8)

Soit SchC la catégorie des schémas sur C. Désormais, nous allons souvent décrire un schéma X comme un couple (X, OX), où OX est le faisceau structural de X. Un morphisme f : X −→ Y des schémas sera également noté comme un couple (f, f �), où f � est la transformation naturelle des foncteurs associée à f comme dans (2.8).

Considérons la catégorie ModC des couples (A, M), où A est un objet de Comm(C)et M est un objet de A − Mod. Un morphisme des couples (f, f�) : (A, M) −→ (B, N)dans la catégorie ModC est composé d’un morphisme f : A −→ B dans Comm(C) et d’un morphisme f� : B ⊗A M −→ N des B-modules. Nous sommes prêts à définir la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur un schéma (X, OX).

Définition 2.2. (Voir [1, Definition 2.2].) Soit (X, OX) un schéma. Un faisceau quasi-cohérent sur (X, OX) est un foncteur M : ZarAff (X)op −→ ModC vérifiant les deux propriétés suivantes :

(a) Si p : ModC −→ Comm(C) est la projection naturelle, on a p ◦M = OX .(b) Étant donné un morphisme u : U ′ −→ U dans ZarAff (X), posons M(U) =

(OX(U), M), M(U ′) = (OX(U ′), M ′) et considérons le morphisme induit

M(u) :=(OX(u),M(u)�

):(OX(U),M

)−→

(OX

(U ′),M ′) (2.9)

dans ModC. Alors, le morphisme M(u)� : OX(U ′) ⊗OX(U) M −→ M ′ est un isomor-phisme.

Un morphisme des faisceaux quasi-cohérents est une transformation T : M −→ Ndes foncteurs telle que la transformation induite p ◦T : OX = p ◦M −→ p ◦N = OX est l’identité. Notons par OX−QCoh la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur (X, OX).

S’il n’existe pas de risque de confusion, pour U ∈ ZarAff (X), nous notons par M(U)le OX(U)-module correspondant à M.

Définition 2.3. Soit (X, OX) un schéma. Un faisceau des OX -modules sur (X, OX) est un foncteur M : ZarAff (X)op −→ ModC vérifiant les deux propriétés suivantes :

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(a) Si p : ModC −→ Comm(C) est la projection naturelle, on a p ◦M = OX .(b) Pour chaque recouvrement fini (Ui −→ U)i∈I dans ZarAff (X), posons Uij :=

Ui×UUj , M(U) = (OX(U), M), M(Ui) = (OX(Ui), Mi), M(Uij) = (OX(Uij), Mij), ∀i, j ∈ I. Alors, le morphisme induit

M −→ lim(∏

i∈I

Mi ⇒∏i,j∈I

Mij

)(2.10)

est un isomorphisme.

Un morphisme des faisceaux des OX -modules est une transformation T : M −→ Ndes foncteurs telle que la transformation induite p ◦ T : OX = p ◦M −→ p ◦ N = OX

est l’identité. Notons par OX − Mod la catégorie des faisceaux des OX -modules.

Si M est un faisceau quasi-cohérent sur (X, OX), il satisfait la condition (2) dans Définition 2.3 (voir la démonstration de [24, Corollaire 2.11]). Donc, la catégorie OX −QCoh est une sous-catégorie pleine de OX − Mod.

Étant donné un morphisme (f, f �) : (X, OX) −→ (Y, OY ) des schémas, il faut décrire les cas dans lesquels on peut définir le foncteur d’image directe ou le foncteur d’image inverse. Dans [1, § 2], nous avons décrit ces foncteurs en cas des schémas qui satisfont certaines hypothèses analogues aux schémas noétheriens (voir [1, Definition 2.3]) (pour les faisceaux quasi-cohérents et les faisceaux cohérents). Mais, si nous nous limitons au cas des faisceaux quasi-cohérents, on peut appliquer les méthodes de [1] aux tous les schémas sur C.

Proposition 2.4. Soit (f, f �) : (X, OX) −→ (Y, OY ) un morphisme des schémas sur C. Supposons que f satisfait les deux conditions suivantes :

(a) Le morphisme f est quasi-compact ; autrement dit, pour chaque V ∈ ZarAff (Y ), U = V ×Y X, chaque recouvrement affine (Uj −→ U)j∈J de U dispose d’un sous-recouvrement fini.

(b) Le morphisme f est préséparé : autrement dit, pour chaque V ∈ ZarAff (Y ), U =V ×Y X et U1, U2 ∈ ZarAff (U), le produit fibré U1 ×U U2 ∈ ZarAff (U).

Alors, on a un foncteur d’image directe f∗ : OX−QCoh −→ OY −QCoh induit par f .

Démonstration. Soit V ∈ ZarAff (Y ) et U = X ×Y V . Puisque f : X −→ Y est quasi-compact, on peut choisir un recouvrement fini (Uk −→ U)k∈K de U par schémas affines Uk, k ∈ K. Puisque f est préséparé, chaque ouvert Uk1k2 := Uk1 ×U Uk2 , k1, k2 ∈ K est un schéma affine. Pour M ∈ OX − QCoh, nous posons :

f∗M(V ) := lim( ∏

M(Uk) ⇒∏

M(Uk1k2))

(2.11)

k∈K k1,k2∈K

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Soit V ′ −→ V un morphisme dans ZarAff (Y ) qui induit un morphisme OY (V ) −→OY (V ′) des monoïdes. Alors, OY (V ′) est un OY (V )-module plat. Nous posons U ′ :=U×V V ′ = X×Y V ′. Alors, (U ′

k := Uk×V V ′ −→ U ′)k∈K est un recouvrement fini de U ′. De plus, on sait que V , V ′, Uk, Uk1k2 , ∀k, k1, k2 ∈ K sont affines. Par suite, les schémas U ′k = Uk ×V V ′, ∀k ∈ K ainsi que les intersections U ′

k1k2:= U ′

k1×U ′ U ′

k2= Uk1k2 ×V V ′,

∀k1, k2 ∈ K sont affines. Puisque M est quasi-cohérent, on a (∀k ∈ K)

M(Uk) ⊗OY (V ) OY

(V ′) ∼= M(Uk) ⊗OX(Uk)

(OX(Uk) ⊗OY (V ) OY

(V ′))

∼= M(Uk) ⊗OX(Uk) OX

(U ′k

) ∼= M(U ′k

)(2.12)

De même, M(Uk1k2) ⊗OY (V ) OY (V ′) ∼= M(U ′k1k2

), ∀k1, k2 ∈ K. Puisque OY (V ′) est un OY (V )-module plat, le foncteur __ ⊗OY (V ) OY (V ′) commute avec les limites finies. Alors, on a :

f∗M(V ) ⊗OY (V ) OY

(V ′)

∼= lim( ∏

k∈K

M(Uk) ⇒∏

k1,k2∈K

M(Uk1k2))⊗OY (V ) OY

(V ′)

∼= lim( ∏

k∈K

M(Uk) ⊗OY (V ) OY

(V ′) ⇒ ∏

k1,k2∈K

M(Uk1k2) ⊗OY (V ) OY

(V ′))

∼= lim( ∏

k∈K

M(U ′k

)⇒

∏k1,k2∈K

M(U ′k1k2

))∼= f∗M

(V ′) (2.13)

Ceci montre que f∗M est un faisceau quasi-cohérent sur Y . �Remarque 2.5. On garde les notations dans la démonstration de Proposition 2.4.

(1) On peut également écrire : pour V ∈ ZarAff (Y ), U = X ×Y V , nous posons :

f∗M(V ) := limW∈ZarAff (X×Y V )

M(W )

∼= lim( ∏

k∈K

M(Uk) ⇒∏

k1,k2∈K

M(Uk1k2))

(2.14)

Ceci est une conséquence du fait que (W ×U Uk −→ W )k∈K est un recouvrement fini dans Aff C pour chaque W ∈ ZarAff (X ×Y V ).

(2) Si M est un OX -module, nous posons :

f∗M(V ) := limW∈ZarAff (X×Y V )

M(W )

∼= lim( ∏

M(Uk) ⇒∏

M(Uk1k2))

(2.15)

k∈K k1,k2∈K

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pour chaque V ∈ ZarAff (Y ). On peut vérifier que ceci définit un foncteur f∗ : OX −Mod −→ OY − Mod.

Proposition 2.6. Soit (f, f �) : (X, OX) −→ (Y, OY ) un morphisme des schémas sur C. Alors, on a un foncteur d’image inverse f∗ : OY − QCoh −→ OX − QCoh. De plus, si f est quasi-compact et préséparé, (f∗, f∗) est un couple des foncteurs adjoints.

Démonstration. Soit (Yi −→ Y )i∈I un recouvrement affine de Y . Pour un ouvert Udans ZarAff (X) et chaque i ∈ I, soit (Uij −→ U ×Y Yi)j∈Ji

un recouvrement affine de U ×Y Yi. Alors, (Uij −→ U)j∈Ji, i∈I est un recouvrement dans Aff C. Par définition des recouvrements dans Aff C (voir [24, Définition 2.10]), on dispose d’un sous-recouvrement fini. Donc, on peut supposer que les ensembles I, Ji, i ∈ I sont finis.

Soit N un faisceau quasi-cohérent sur Y . Pour i, k ∈ I, j ∈ Ji, l ∈ Jk, le produit fibre Uij,kl := Uij ×U Ukl des schémas affines est affine. Posons :

f∗N (U) := lim( ∏

i∈I, j∈Ji

N (Yi) ⊗OY (Yi) OX(Uij)

⇒∏

i,k∈I, j∈Ji, l∈Jk

N (Yi) ⊗OY (Yi) OX(Uij,kl))

(2.16)

où on constate que N (Yi) ⊗OY (Yi) OX(Uij,kl) ∼= N (Yk) ⊗OY (Yk) OX(Uij,kl) pour i, k ∈ I, j ∈ Ji, l ∈ Jk. Puisque (Uij −→ U)j∈Ji, i∈I est un recouvrement dans Aff C, la limite f∗N (U) dans (2.16) est un OX(U)-module comme une conséquence de la démonstration de [24, Corollaire 2.11].

Si U ′ −→ U est un morphisme dans ZarAff (X), (U ′ij := Uij ×U U ′ −→ U ′)j∈Ji, i∈I

est un recouvrement affine et fini de U ′. Pour i, k ∈ I, j ∈ Ji, l ∈ Jk, on a U ′ij,kl :=

U ′ij ×U ′ U ′

kl = Uij,kl ×U U ′. Puisque OX(U ′) est un OX(U)-module plat, on a

f∗N (U) ⊗OX(U) OX

(U ′)

= lim( ∏

i∈I, j∈Ji

N (Yi) ⊗OY (Yi) OX(Uij)

⇒∏

i,k∈I, j∈Ji, l∈Jk

N (Yi) ⊗OY (Yi) OX(Uij,kl))⊗OX(U) OX

(U ′)

∼= lim( ∏

i∈I, j∈Ji

N (Yi) ⊗OY (Yi) OX(Uij) ⊗OX(U) OX

(U ′)

⇒∏

i,k∈I, j∈Ji, l∈Jk

N (Yi) ⊗OY (Yi) OX(Uij,kl) ⊗OX(U) OX

(U ′))

∼= lim( ∏

i∈I, j∈Ji

N (Yi) ⊗OY (Yi) OX

(U ′ij

)⇒

∏i,k∈I, j∈Ji, l∈Jk

N (Yi) ⊗OY (Yi) OX

(U ′ij,kl

))∼= f∗N

(U ′)

158 A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176

Ceci montre que f∗N est un faisceau quasi-cohérent sur X. Enfin, supposons que f est quasi-compact et préséparé et M est un faisceau quasi-cohérent sur X. Soit g : N −→f∗M un morphisme des faisceaux quasi-cohérents sur Y . Pour V ∈ ZarAff (Y ) et W ∈ZarAff (X ×Y V ), on dispose d’un morphisme gW (V ) : N (V ) −→ f∗M(V ) −→ M(W )des OY (V )-modules dont l’image, sous l’isomorphisme suivant

HomOY (V )−Mod(N (V ), f∗M(W )

) ∼= HomOX(W )−Mod(N (V ) ⊗OY (V ) OX(W ),M(W )

)∼= HomOX(W )−Mod

(f∗N (W ),M(W )

)(2.17)

est un morphisme g′W (V ) : f∗N (W ) −→ M(W ) des OX(W )-modules. Les morphismes g′W (V ), ∀W ∈ ZarAff (X ×Y V ), V ∈ ZarAff (Y ), induisent un morphisme g′ : f∗N −→M des faisceaux quasi-cohérents sur X.

Inversement, soit h : f∗N −→ M un morphisme des faisceaux quasi-cohérents sur X. Pour V ∈ ZarAff (Y ) et W ∈ ZarAff (X ×Y V ), on dipose d’un morphisme hV (W ) :f∗N (W ) ∼= N (V ) ⊗OY (V ) OX(W ) −→ M(W ) des OX(W )-modules, dont l’image, sous l’inverse du isomorphisme dans (2.17), est un morphisme h′

V (W ) : N (V ) −→ M(W ) des OY (V )-modules. En utilisant (2.14), les morphismes h′

V (W ), ∀W ∈ ZarAff (X ×Y V )induisent un morphisme h′(V ) : N (V ) −→ f∗M(V ) des OY (V )-modules. Donc, on a un morphisme h′ : N −→ f∗M des faisceaux quasi-cohérents sur Y .

Il est clair que les associations g → g′ et h → h′ sont inverses l’une de l’autre. Par suite, on a un isomorphisme naturel HomOX−QCoh(f∗N , M) ∼= HomOY −QCoh(N , f∗M). �Définition 2.7. Un schéma X sur (C, ⊗, 1) est dit quasi-compact si chaque recouvrement affine (Ui −→ X)i∈I de X dispose d’un sous-recouvrement fini.

Un schéma X sur (C, ⊗, 1) est dit préséparé si U ×X V ∈ ZarAff (X) pour chaque U , V ∈ ZarAff (X).

Remarque 2.8. Il est bien connu qu’un schéma Z sur un anneau commutatif k est dit séparé si le morphisme diagonal Δ : Z −→ Z ×Spec(k) Z est une immersion fermée. Il s’ensuit que, pour U , V ouverts affines de Z, U ×Z V est affine. Dans cet article, il suffit de prendre les schémas préséparés.

Dans toute la suite, nous nous limitons aux schémas quasi-compacts et préséparés sur C. Soit f : X −→ Y un morphisme des schémas quasi-compacts et préséparés. Si q : U −→ X est une immersion de Zariski, il résulte de [24, Proposition 2.17] que q est un monomorphisme dans Fsc(Aff C). Par suite, pour U1, U2 ∈ ZarAff (U), U1 ×U U2 =U1 ×X U2 est affine (puisque X est préséparé). Donc, U est préséparé.

Soit N ∈ OY − Mod. Pour chaque W ∈ ZarAff (X), posons :

ZarAff(f(W )

):=

{V ∈ ZarAff (Y )

∣∣ W ∈ ZarAff (X ×Y V )}

(2.18)

Puisque Y est préséparé, ZarAff (f(W )) est un système direct (si ZarAff (f(W )) = φ). Nous posons :

A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176 159

f∗pre N (W )

:={

lim−−→V ∈ZarAff (f(W ))N (V ) ⊗OY (V ) OX(W ) si ZarAff (f(W )) = φ

0 si ZarAff (f(W )) = φ(2.19)

Alors, f∗N ∈ OX − Mod est défini comme le faisceau sur ZarAff (X) à valeurs dans Cassocié au préfaisceau f∗

preN . De plus, on peut vérifier que (f∗, f∗) est un couple des foncteurs adjoints entre les catégories OX − Mod et OY − Mod.

Rappelons que (C, ⊗, 1) est une catégorie abélienne. Alors, pour chaque monoïde commutatif A dans C, la catégorie A-Mod des A-modules est abélienne. Étant donné un schéma X sur (C, ⊗, 1), nous montrons que la catégorie OX − QCoh est abélienne.

Proposition 2.9. Soit X un schéma sur (C, ⊗, 1). Alors, la catégorie OX − QCoh des faisceaux quasi-cohérents sur X est une catégorie abélienne et monoïdale symétrique.

Démonstration. Pour un morphisme f : M −→ N dans OX −QCoh, nous construisons un noyau et un conoyau. Puisque C est une catégorie abélienne, C est muni d’un objet nul 0. Pour chaque objet U de ZarAff (X), nous posons

Ker(f)(U) := lim(0 −→ N (U) ←− M(U)

)Coker(f)(U) := colim

(0 ←− M(U) −→ N (U)

)(2.20)

Si u : U ′ −→ U est un morphisme dans ZarAff (X), on a (puisque OX(U ′) est un OX(U)-module plat)

Ker(f)(U ′) = lim

(0 −→ N

(U ′) ←− M

(U ′))

∼= lim(0 −→ N (U) ⊗OX(U) OX

(U ′) ←− M(U) ⊗OX(U) OX

(U ′))

∼= lim(0 −→ N (U) ←− M(U)

)⊗OX(U) OX

(U ′)

= Ker(f)(U) ⊗OX(U) OX

(U ′) (2.21)

De même, puisque le foncteur __ ⊗OX(U) OX(U ′) préserve les colimites, on a Coker(f)(U ′) ∼= Coker(f)(U) ⊗OX(U) OX(U ′). Par suite, on voit que le morphisme f : M −→ N admet un noyau Ker(f) et un conoyau Coker(f) tel que

Ker(f)(U) = Ker(f(U) : M(U) −→ N (U)

)Coker(f)(U) = Coker

(f(U) : M(U) −→ N (U)

)(2.22)

pour chaque objet U de ZarAff (X). De plus, puisque chaque OX(U) − Mod est une catégorie abélienne, on a les isomorphismes naturels :

Coker(Ker

(M(U) −→ N (U)

)−→ M(U)

)∼= Ker

(N (U) −→ Coker

(M(U) −→ N (U)

))(2.23)

160 A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176

Combinant (2.22) avec (2.23), on a

Coker(Ker(f) −→ M

) ∼= Ker(N −→ Coker(f)

)(2.24)

Ainsi, OX − QCoh est une catégorie abélienne. Il reste de montrer que OX − QCoh est monoïdale symétrique. Soient M, N deux faisceux quasi-cohérents sur X. Pour chaque objet U de ZarAff (X), nous posons

(M⊗OXN )(U) := M(U) ⊗OX(U) N (U) (2.25)

Alors, si U ′ −→ U est un morphisme dans ZarAff (X), on a

(M⊗OXN )

(U ′) = M

(U ′)⊗OX(U ′) N

(U ′)

∼=(M(U) ⊗OX(U) OX

(U ′))⊗OX(U ′)

(OX

(U ′)⊗OX(U) N (U)

)∼=

(M(U) ⊗OX(U) N (U)

)⊗OX(U) OX

(U ′) (2.26)

Il résulte que M ⊗OXN est un faisceau quasi-cohérent sur X. On voit aisément que

ce produit __ ⊗OX__ définit une structure monoïdale symétrique sur la catégorie

OX − QCoh. �3. Structure monoïdale sur la catégorie dérivée

Si A est une catégorie abélienne, notons par C(A) la catégorie des complexes de chaînes sur A et notons par K(A) la catégorie suivante : ses objets sont les complexes de chaînes sur A et pour P •, Q• ∈ KA, HomKA(P •, Q•) est l’ensemble des classes d’homotopie des morphismes de P• vers Q•. Soit D(A) la catégorie dérivée obtenue en inversant les quasi-isomorphismes dans K(A).

Dans cette section et le reste de cet article, nous nous limitons aux schémas quasi-compacts et préséparés sur (C, ⊗, 1). De plus, dans toute la suite, nous supposons que chaque schéma X quasi-compact et préséparé sur (C, ⊗, 1) vérifie les deux conditions suivantes :

(C3) Les catégories OX − QCoh et OX − Mod sont des catégories abéliennes de Gro-thendieck au sens de [13, Definition 8.3.24].

(C4) Notons par Dqc(X) la sous-catégorie pleine de D(OX − Mod) qui consiste des complexes de chaînes sur OX − Mod tels que leurs faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents. Alors, le foncteur d’inclusion D(OX −QCoh) −→ Dqc(X) est une équivalence des catégories.

Si X est un schéma sur Spec(Z), la catégorie OX − Mod est une catégorie abé-lienne de Grothendieck (voir [6, Proposition 3.1.1]). De plus, pour un schéma X quasi-compact et préséparé sur Spec(Z), il résulte d’un théorème de Gabber (publié dans

A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176 161

[3, Lemma 2.1.7]) que la catégorie OX − QCoh est une catégorie abélienne de Grothen-dieck (voir [5, Lemma 1.3]). Enfin, on sait que la condition (C4) est vérifiée pour ces schémas sur Spec(Z) (voir Bökstedt et Neeman [2, Corollary 5.5]).

Si X est un schéma sur (C, ⊗, 1), soit iX : OX − QCoh −→ OX − Mod le foncteur d’inclusion. D’une manière analogue à [12, Lemme 3.2], nous construisons un foncteur QX : OX−Mod −→ OX−QCoh qui est adjoint à droite à iX . Le foncteur QX est appelé

le quasi-cohéreur. Si X est un schéma affine, il est evident que QX(M) := M(X) pour M ∈ OX − Mod.

Proposition 3.1. Soit X un schéma sur (C, ⊗, 1). Le foncteur iX : OX − QCoh −→OX − Mod admet un adjoint à droite QX : OX − Mod −→ OX − QCoh.

Démonstration. Soit M ∈ OX − QCoh, N ∈ OX − Mod. Soit (pj : Uj −→ X)j∈J un recouvrement affine et fini. Pour j, k ∈ J , nous posons :

pjk : Ujk := Uj ×X Uk −→ X p1jk : Ujk −→ Uj p2

jk : Ujk −→ Uk (3.1)

Si p : U −→ X est un ouvert affine de X et N ′ ∈ OU − Mod, on a un isomorphisme naturel :

HomOX−Mod(iX(M), p∗N ′)

∼= HomOU−Mod(p∗iX(M),N ′) ∼= HomOU−Mod

(iUp

∗(M),N ′)∼= HomOU−QCoh

(p∗(M), QU

(N ′)) ∼= HomOX−QCoh

(M, p∗QU

(N ′)) (3.2)

De plus, si g : V −→ U est un ouvert affine de U , on a un morphisme naturel :

QU (N|U) = N (U) −→ g∗N (V ) = g∗QV (N|V ) (3.3)

Il résulte de (3.3) que, pour j, k ∈ J , on dispose des morphismes naturels :

q1jk : pj∗QUj

(N|Uj) −→ pj∗p1jk∗QUjk

(N|Ujk) = pjk∗QUjk(N|Ujk)

q2jk : pk∗QUk

(N|Uk) −→ pk∗p2jk∗QUjk

(N|Ujk) = pjk∗QUjk(N|Ujk) (3.4)

Utilisant les morphismes dans (3.4), nous posons

QX(N ) := lim(∏

j∈J

pj∗QUj(N|Uj) ⇒

∏j,k∈J

pjk∗QUjk(N|Ujk)

)(3.5)

Comme une conséquence de (3.2), on a, ∀j, k ∈ J :

HomOX−QCoh(M, pj∗QUj

(N|Uj)) ∼= HomOX−Mod

(iX(M), pj∗(N|Uj)

)HomOX−QCoh

(M, pjk∗QUjk

(N|Ujk)) ∼= HomOX−Mod

(iX(M), pjk∗(N|Ujk)

)(3.6)

162 A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176

Appliquant le foncteur HomOX−QCoh(M, __) à (3.5), on a

HomOX−QCoh(M, QX(N )

)∼= HomOX−QCoh

(M, lim

(∏j

pj∗QUj(N|Uj) ⇒

∏j,k

pjk∗QUjk(N|Ujk)

))

∼= lim(∏

j

HomOX−QCoh(M, pj∗QUj

(N|Uj))

⇒∏j,k

HomOX−QCoh(M, pjk∗QUjk

(N|Ujk)))

∼= lim(∏

j

HomOX−Mod(iX(M), pj∗(N|Uj)

)⇒

∏j,k

HomOX−Mod(iX(M), pjk∗(N|Ujk)

))

∼= HomOX−Mod

(iX(M), lim

(∏j

pj∗(N|Uj) ⇒∏j,k

pjk∗(N|Ujk)))

Pour chaque W ∈ ZarAff (X), on a (N|Uj)(W×XUj) ∼= pj∗(N|Uj)(W ) et (N|Ujk)(W×X

Ujk) ∼= pjk∗(N|Ujk)(W ). Puisque (W ×X Uj −→ W )j∈J est un recouvrement fini de W , on a :

N (W ) = lim(∏

j

(N|Uj)(W ×X Uj) ⇒∏j,k

(N|Ujk)(W ×X Ujk))

∼= lim(∏

j

pj∗(N|Uj)(W ) ⇒∏j,k

pjk∗(N|Ujk)(W ))

(3.7)

Il résulte de (3.7) que :

N = lim(∏

j∈J

pj∗(N|Uj) ⇒∏

j,k∈J

pjk∗(N|Ujk))

(3.8)

Donc, on a un isomorphisme

HomOX−Mod(iX(M),N

)∼= HomOX−Mod

(iX(M), lim

(∏j

pj∗(N|Uj) ⇒∏j,k

pjk∗(N|Ujk)))

∼= HomOX−QCoh(M, QX(N )

)(3.9)

A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176 163

Enfin, puisque le foncteur QX construit dans (3.5) est adjoint à droite à iX , on voit que QX ne dépend pas sur le recouvrement (Uj −→ X)j∈J . �

Nous montrons que le couple (iX , QX) des foncteurs adjoints induit une adjonction au niveau des catégories dérivées. Nous rappelons ici la notion d’un complexe K-injectif sur une catégorie abélienne A.

Définition 3.2. Soit A une catégorie abélienne. Un complexe I• dans K(A) est dit K-injectif si, pour chaque complexe acyclique A• dans K(A), Hom•

K(A)(A•, I•) est acy-clique.

En particulier, si la catégorie abélienne A est une catégorie de Grothendieck, chaque objet A• ∈ K(A) dispose d’une résolution K-injective (voir [18, Theorem 5.4]). Donc, il résulte de condition (C3) que, si X est un schéma sur C, chaque objet M• ∈ K(OX −Mod) dispose d’une résolution K-injective. Le quasi-cohéreur QX étant exact à gauche, on a un foncteur dérivée :

RQX : D(OX − Mod) −→ D(OX − QCoh) (3.10)

Puisque iX est un foncteur exact, le quasi-cohéreur QX , qui est adjoint à droite à iX , préserve les objets injectifs. Alors, on a un couple (i, RQX) des foncteurs adjoints entre les catégories dérivées D(OX − QCoh) et D(OX − Mod).

Pour M, N ∈ OX −Mod, le produit tensoriel M ⊗OXN est défini comme le faisceau

sur ZarAff (X) à valeurs dans C associé au préfaisceau suivant :

U → M(U) ⊗OX(U) N (U) ∀U ∈ ZarAff (X) (3.11)

En particulier, si M, N ∈ OX − QCoh, on a :

(M⊗OXN )(U) = M(U) ⊗OX(U) N (U) ∀U ∈ ZarAff (X) (3.12)

Nous allons montrer que la catégorie dérivée D(OX − QCoh) est munie d’un produit tensoriel dérivé __⊗L

OX__. Rappelons qu’un complexe P• ∈ K(OX −Mod) est appelé

K-plat (voir [23, Definition 5.1]) si, pour chaque complexe acyclique M• dans K(OX −Mod), P• ⊗OX

M• est acyclique. Afin de construire un produit dérivé __ ⊗L

OX__ sur

D(OX −QCoh), on montre que chaque objet M• ∈ K(OX −QCoh) est isomorphe à un complexe K-plat Q• des OX -modules quasi-cohérents dans la catégorie D(OX − Mod). On procède comme dans [16, § 1], [14, § 2].

Soit U = (pi : Ui −→ X)1≤i≤n un recouvrement affine de X. Pour chaque φ = I ={i1, ..., ik} ⊆ {1, 2, ..., n}, nous posons :

pI : UI := Ui1 ×X Ui2 ×X · · · ×X Uik −→ X OI := OUI(3.13)

164 A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176

Puisque X est préséparé, UI est un schéma affine. Si φ = J ⊆ I ⊆ {1, 2, ..., n}, notons par pIJ : UI −→ UJ l’imersion ouverte de UI dans UJ .

Définition 3.3. Soit U = (pi : Ui −→ X)1≤i≤n un recouvrement affine d’un schéma X. Un U-module M = (MI , ϕIJ)φ�=J⊆I⊆{1,2,...,n} est décrit comme suivant :

(a) Pour chaque φ = I ⊆ {1, 2, ..., n}, MI est un OI -module.(b) Pour J ⊆ I ⊆ {1, 2, ..., n}, ϕIJ : p∗IJMJ −→ MI est un morphisme des OI-modules

tel que pour chaque K ⊆ J , on a ϕIK = ϕIJ ◦ p∗IJ(ϕJK). En partculier, si J = I, ϕIJ est l’identité.

Un U-module M est dit quasi-cohérent (resp. plat) si chaque MI est quasi-cohérent (resp. plat) comme un OI-module. La catégorie des U-modules (resp. la catégorie des U-modules quasi-cohérents) est notée par U − Mod (resp. U − QCoh).

On voit aisément que U − Mod est une catégorie abélienne. Pour un U-module M, nous posons :

Cm(M) :={⊕

|I|=m+1 pI∗MI si 0 ≤ m ≤ n− 10 si m /∈ {0, 1, ..., n− 1} (3.14)

Si K ⊂ J = {j0 < j1 < ... < jm < jm+1} est tel que K = J\{ja}, nous posons εJK = (−1)a et

δmJK : pK∗FK −→ pK∗pJK∗p∗JKFK = pJ∗p

∗JKFK

pJ∗(εJKϕJK)−−−−−−−−−→ pJ∗FJ (3.15)

Autrement, posons δmJK = 0. Les morphismes δmJK induisent un morphisme δm :Cm(M) −→ Cm+1(M) et on peut vérifier que δm+1 ◦ δm = 0. Alors, on a un fonc-teur C• de U − Mod vers la catégorie des complexes des OX-modules. Si M• est un complexe des U-modules, on définit le foncteur C• : C(U − Mod) −→ C(OX − Mod)en posant (C(M•))• := Tot•(Cr(Ms)), ∀0 ≤ r ≤ n − 1, s ∈ Z. Il est clair qu’on peut restreindre C• à un foncteur C• : C(U − QCoh) −→ C(OX − QCoh).

Lemme 3.4. Soit U = (pi : Ui −→ X)1≤i≤n un recouvrement affine d’un schéma Xcomme ci-dessus.

(a) Soit N ∈ OX − QCoh et soit N ′ l’objet de U − QCoh défini par N ′I := p∗IN pour

chaque φ = I ⊆ {1, 2, ..., n}. Alors, C•(N ′) est une résolution de N .(b) Le foncteur C• : C(U−QCoh) −→ C(OX−QCoh) préserve les quasi-isomorphismes.(c) Si N • ∈ C(U−QCoh) est un complexe des U-modules quasi-cohérents tel que chaque

N j, j ∈ Z est plat comme un U-module, chaque (C(N •))k, k ∈ Z est plat comme un OX-module.

A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176 165

(d) Le foncteur C• : C(U − QCoh) −→ C(OX − QCoh) préserve les limites inductives dans C(U − QCoh).

Démonstration. (a) Pour chaque W ∈ ZarAff (X), on a

pI∗N ′I(W ) = N ′

I(W ×X UI) ∼= (N|UI)(W ×X UI) ∼= N (W ×X UI) (3.16)

Puisque (W ×X Ui −→ W )1≤i≤n est un recouvrement affine de W et N ∈ OX − QCoh, il résulte de (3.16) que C•(N ′)(W ) est une résolution de N (W ) dans OX(W ) − Mod. Alors, C•(N ′) est une résolution de N dans OX − QCoh.

(b) Si f est un morphisme des complexes des U-modules, on constate queC•(Cone(f)) = Cone(C•(f)). On sait qu’un morphisme des complexes est un quasi-isomorphisme si et seulement si son cône est acyclique. Donc, il suffit de montrer que (C(N •))• est acyclique si N • ∈ C(U − QCoh) est acyclique. Pour W ∈ ZarAff (X) et chaque r ∈ {0, 1, ..., n − 1}, on a :

Cr(N •)(W ) =

⊕|I|=r+1

pI∗N •I (W ) =

⊕|I|=r+1

N •I (W ×X UI) (3.17)

Puisque N • ∈ C(U − QCoh) est acyclique, il résulte de (3.17) que Cr(N •)(W ) est acyclique comme un complexe des OX(W )-modules. Donc, les lignes Cr(N •) du bi-complexe Cr(N s) sont acycliques pour 0 ≤ r ≤ n − 1. Enfin, les lignes Cr(N •) du bicomplexe Cr(N s) étant nulles pour r /∈ {0, 1, ..., n −1}, le complexe total (C(N •))• :=Tot•(Cr(N s)) est acyclique.

(c) Pour chaque I ⊆ {1, 2, ..., n} et j ∈ Z, on sait que N jI est un OI -module quasi-

cohérent et plat. Il suffit de montrer que pI∗N jI ∈ OX − QCoh est plat. Pour chaque

W ∈ ZarAff (X), pI∗N jI (W ) = N j

I (W×XUI) est un OX(W×XUI)-module plat. Puisque OX(W ×X UI) est un OX(W )-module plat, il résulte que pI∗N j

I (W ) est plat comme un OX(W )-module.

(d) Soit {N •j }j∈J un système inductif dans C(U−QCoh). Pour chaque I ⊆ {1, 2, ..., n}

et k ∈ Z, on peut vérifier que le OI -module N kI défini comme

N kI (W ) := lim−−→

j∈J

N kj,I(W ) ∀W ∈ ZarAff (UI) (3.18)

est un OI -module quasi-cohérent et N kI = lim−−→j∈J

N kj,I dans OI − QCoh (et donc N • =

lim−−→j∈JN •

j dans C(U − QCoh)). Alors, il suffit de montrer que pI∗N kI = lim−−→j∈J

pI∗N kj,I .

Pour chaque W ′ ∈ ZarAff (X), on a :

pI∗N kI

(W ′) = N k

I

(UI ×X W ′) = lim−−→

j∈J

N kj,I

(UI ×X W ′) = lim−−→

j∈J

pI∗N kj,I

(W ′) (3.19)

Ceci montre le résultat. �

166 A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176

Proposition 3.5. Soit N = (NI , ϕIJ )φ�=J⊆I⊆{1,2,...,n} un U-module quasi-cohérent. Alors, on a un epimorphisme P −→ N dans U − Mod tel que P est un U-module plat et quasi-cohérent.

Démonstration. Pour chaque J ⊆ {1, 2, ..., n}, considérons le OX(UJ )-module NJ(UJ ). Comme une conséquence de condition (C2) dans Section 2, on peut choisir un epimor-phisme QJ −→ NJ(UJ ) des OX(UJ )-modules, où QJ est un OX(UJ )-module plat. Alors, on dispose d’un epimorphisme QJ −→ NJ des OUJ

-modules, où QJ est plat et quasi-cohérent. Pour chaque I ⊆ {1, 2, ..., n}, nous posons PI :=

⊕J⊆I p

∗IJQJ . Alors, on a un

morphisme eI : PI −→ NI induit par la famille des morphismes suivants :

eIJ : p∗IJQJ −→ p∗IJNJϕIJ−→ NI (3.20)

En particulier, si J = I, eIJ : QJ = QI −→ NI est un epimorphisme. Par suite, eI : PI −→ NI est un epimorphisme. De plus, on voit aisément que les p∗IJQJ =

˜QJ ⊗OX(UJ ) OX(UI), J ⊆ I sont tous plats. Enfin, pour chaque K ⊇ I, on a un mor-phisme :

ϕ′KI : p∗KIPI =

⊕J⊆I

p∗KIp∗IJQJ =

⊕J⊆I

p∗KJQJ −→⊕J⊆K

p∗KJQJ = PK (3.21)

Donc, P = (PI , ϕ′KI)φ�=I⊆K⊆{1,2,...,n} est un U-module plat et quasi-cohérent et on a un

epimorphisme P −→ N des U-modules. �Proposition 3.6. Soit M• un complexe des OX-modules quasi-cohérents. Alors, on a un isomorphisme Q• ∼= M• dans D(OX − Mod) tel que Q• est un complexe K-plat des OX-modules quasi-cohérents.

Démonstration. Soit U = (pi : Ui −→ X)1≤i≤n un recouvrement affine de X comme ci-dessus. En posant M′ •

I := p∗IM• pour chaque φ = I ⊆ {1, 2, ..., n}, on obtient un com-plexe M′ • des U-modules quasi-cohérents. De plus, on peut écrire M′ • = lim−−→j

τ≤jM′ •, où τ≤jM′ • est la « troncation intelligente » en degré j de M′ • au sens du [28, § 1.2.7]. Puisque le complexe τ≤jM′ • est nul en degrés assez grands, en conséquence de Propo-sition 3.5 et [8, Lemma I.4.6], on peut choisir une résolution P•

j −→ τ≤jM′ • tel que chaque Pk

j , k ∈ Z est quasi-cohérent et plat. Nous considérons le morphisme suivant :

P• := lim−−→j

P•j −→ lim−−→

j

τ≤jM′ • = M′ • (3.22)

Appliquant le foncteur C•, on a un morphisme :

(C(P•))• ∼= lim−−→

(C(P•j

))• −→(C(M′ •))• (3.23)

j

A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176 167

où l’isomorphisme (C(P•))• ∼= lim−−→j(C(P•

j ))• est une conséquence de Lemma 3.4(d). Puisque C• préserve les quasi-isomorphismes, on sait que le morphisme dans (3.23)est un quasi-isomorphisme (et donc un isomorphisme dans D(OX − Mod)). Il résulte de Lemma 3.4(a) qu’on a un quasi-isomorphisme M• −→ (C(M′ •))• et donc un iso-morphisme M• ∼= (C(M′ •))• dans D(OX − Mod). Combinant avec (3.23), on a un isomorphisme (C(P•))• ∼= M• dans D(OX − Mod).

En utilisant Lemma 3.4(c), on voit que chaque (C(P•j ))l, j, l ∈ Z (et donc chaque

(C(P•))l, l ∈ Z) est un OX -module quasi-cohérent et plat. Chaque complexe (C(P•j ))•

étant nul en degrés assez grands, (C(P•j ))• est K-plat. Alors, la colimite (C(P•))• ∼=

lim−−→j(C(P•

j ))• est K-plat. �Nous sommes prêts à définir le produit tensoriel dérivé sur la catégorie D(OX−QCoh).

Soit M•, N • ∈ D(OX − QCoh) et soit P•M

∼= M• (resp. P•N

∼= N ) un isomorphisme dans D(OX − Mod) tel que PM (resp. PN ) est un complexe K-plat des OX -modules quasi-cohérents. Nous posons :(

M• ⊗L

OXN •) := P•

M ⊗OXN • ∼= M• ⊗OX

P•N

∼= P•M ⊗OX

P•N (3.24)

Soit A ∈ Comm(C) et soit {Fi}i∈I un système projectif des A-modules. Rappelons que A −Mod est une catégorie monoïdale symétrique et fermée. Pour F, F ′ ∈ A −Mod, on a

HomA−Mod

(F ′, lim←−−

i

HomA(F, Fi))∼= lim←−−

i

HomA−Mod(F ′,HomA(F, Fi)

)∼= lim←−−

i

HomA−Mod(F ′ ⊗A F, Fi

)∼= HomA−Mod

(F ′ ⊗A F, lim←−−

i

Fi

)∼= HomA−Mod

(F ′,HomA

(F, lim←−−

i

Fi

))où HomA(F, Fi), i ∈ I sont les homs internes dans A − Mod. En utilisant le lemme de Yoneda, on a donc :

lim←−−i

HomA(F, Fi) ∼= HomA

(F, lim←−−

i

Fi

)∀F ∈ A− Mod (3.25)

De plus, si A −→ B est un morphisme dans Comm(C), pour chaque F, F ′ ∈ A − Mod, G ∈ B − Mod, on a

HomA−Mod(F ′,HomA(F,G)

) ∼= HomA−Mod(F ′ ⊗A F,G

)∼= HomB−Mod

(F ′ ⊗A F ⊗A B,G

)

168 A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176

∼= HomB−Mod((F ′ ⊗A B

)⊗B (F ⊗A B), G

)∼= HomB−Mod

(F ′ ⊗A B,HomB(F ⊗A B,G)

)∼= HomA−Mod

(F ′,HomB(F ⊗A B,G)

)En utilisant le lemme de Yoneda, on a donc :

HomA(F,G) ∼= HomB(F ⊗A B,G) ∀F ∈ A− Mod, G ∈ B − Mod (3.26)

où HomB(F ⊗A B, G) est consideré comme un B-module.

Proposition 3.7. Soit X un schéma. Pour chaque M ∈ OX − QCoh et N ∈ OX − Mod, on a un hom interne HomOX

(M, N ) ∈ OX − Mod tel que

HomOX−Mod(M′ ⊗OX

M,N)

∼= HomOX−Mod(M′,HomOX

(M,N ))

∀M′ ∈ OX − Mod (3.27)

Démonstration. Pour M ∈ OX − QCoh, N ∈ OX − Mod, nous posons :

HomOX(M,N )(U) := HomOX(U)

(M(U),N (U)

)∀U ∈ ZarAff (X) (3.28)

Si V −→ U est un morphisme dans ZarAff (X), on a un morphisme

HomOX(M,N )(U)

= HomOX(U)(M(U),N (U)

)−→ HomOX(U)

(M(U),N (V )

)(3.29)

Appliquant (3.26), on a

HomOX(U)(M(U),N (V )

) ∼= HomOX(V )(M(U) ⊗OX(U) OX(V ),N (V )

)∼= HomOX(V )

(M(V ),N (V )

)∼= HomOX

(M,N )(V ) (3.30)

Combinant (3.29) et (3.30), on a un morphisme :

HomOX(M,N )(U) −→ HomOX

(M,N )(V ) (3.31)

De plus, soit (Uj −→ U)j∈J un recouvrement fini dans ZarAff (X). Appliquant (3.25) et (3.26), on a :

HomOX(M,N )(U) = HomOX(U)

(M(U),N (U)

)∼= HomOX(U)

(M(U), lim

(∏N (Uj) ⇒

∏N (Uj ×U Uk)

))

j∈J j,k∈J

A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176 169

∼= lim(∏

j∈J

HomOX(U)(M(U),N (Uj)

)⇒

∏j,k∈J

HomOX(U)(M(U),N (Uj ×U Uk)

))

∼= lim(∏

j∈J

HomOX(Uj)(M(Uj),N (Uj)

)⇒

∏j,k∈J

HomOX(Uj×UUk)(M(Uj ×U Uk),N (Uj ×U Uk)

))

∼= lim(∏

j∈J

HomOX(M,N )(Uj)

⇒∏

j,k∈J

HomOX(M,N )(Uj ×U Uk)

)

Alors, on voit que HomOX(M, N ) ∈ OX − Mod. Enfin, pour M′ ∈ OX − Mod et un

morphisme f : M′ −→ HomOX(M, N ) dans OX − Mod, chaque morphisme f(U) :

M′(U) −→ HomOX(U)(M(U), N (U)), U ∈ ZarAff (X) correspond à un morphisme f ′(U) : M′(U) ⊗OX(U) M(U) −→ N (U) des OX(U)-modules. Puisque M′ ⊗OX

M ∈OX − Mod est défini comme le faisceau sur ZarAff (X) associé au préfaisceau U →M′(U) ⊗OX(U) M(U), ∀U ∈ ZarAff (X) et N ∈ OX − Mod, les morphismes f ′(U) :M′(U) ⊗OX(U) M(U) −→ N (U) induisent un morphisme f ′ : M′ ⊗OX

M −→ N . Il est clair que l’association f → f ′ définit un isomorphisme :

HomOX−Mod(M′ ⊗OX

M,N) ∼= HomOX−Mod

(M′,HomOX

(M,N )) � (3.32)

Pour définir un hom interne dans D(OX − QCoh), on procède comme suit : on peut étendre HomOX

: (OX − QCoh)op × (OX − Mod) −→ (OX − Mod) à un foncteur

Hom•OX

: K(OX − QCoh)op ×K(OX − Mod) −→ K(OX − Mod) (3.33)

Dans le reste de cette section, nous supposons que le schéma X satisfait la condition suivante :

(C5) Si I• est K-injectif et L• est un complexe acyclique des OX -modules,Hom•

OX(L•, I•) est acyclique.

Soit u : M• −→ N • un morphisme des complexes des OX -modules et notons par C•u

le cône de u. On peut vérifier que

Hom•O

(C•

u, I•) ∼= C•Hom• (

∑u,I•) (3.34)

X OX

170 A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176

où ∑

u est le morphisme ∑

u :∑

M• −→∑

N sur les suspensions induit par u. En particulier, si u est un quasi-isomorphisme, C•

u est acyclique. Puisque I• est K-injectif, il résulte de condition (C5) que Hom•

OX(C•

u, I•) est acyclique. Par suite, C•

Hom•OX

(∑

u,I•)∼= Hom•

OX(C•

u, I•) est acyclique. Donc, le foncteur Hom•OX

(__, I•)préserve les quasi-isomorphismes.

Au niveau des catégories dérivées, nous posons :

RHom•OX

: K(OX − QCoh)op ×D(OX − QCoh) −→ D(OX − Mod)

RHom•OX

(M•,N •) := Hom•

OX

(M•, I•

N)

(3.35)

où N • −→ I•N est une résolution K-injective de N •. De plus, pour M•, M′ • ∈ K(OX−

QCoh) tels que M• ∼= M′ • dans D(OX − QCoh), on constate que HomOX(M•, I•

N ) ∼=HomOX

(M′ •, I•N ) (puisque HomOX

(__, I•N ) préserve les quasi-isomorphismes). Donc,

on a un foncteur induit :

RHom•OX

: D(OX − QCoh)op ×D(OX − QCoh) −→ D(OX − Mod)

RHom•OX

(M•,N •) := Hom•

OX

(M•, I•

N)

(3.36)

En composant avec le quasi-cohéreur dérivé RQX : D(OX − Mod) −→ D(OX − QCoh)(voir (3.10)), nous posons :

Hom•OX

: D(OX − QCoh)op ×D(OX − QCoh) −→ D(OX − QCoh)

Hom•OX

(M•,N •) := RQXRHom•

OX

(M•,N •) (3.37)

Proposition 3.8. Soit X un schéma sur (C, ⊗, 1). Alors, pour chaque M• ∈ D(OX −QCoh), (__ ⊗L

OXM•,Hom•

OX(M•, __)) est un couple des foncteurs adjoints. Autre-

ment dit, pour L•, N • ∈ D(OX − QCoh), on a un isomorphisme naturel :

HomD(OX−QCoh)(L• ⊗L

OXM•,N •)

∼= HomD(OX−QCoh)(L•,Hom•

OX

(M•,N •)) (3.38)

Démonstration. Par définition, on a

HomD(OX−QCoh)(L•,Hom•

OX

(M•,N •))

∼= HomD(OX−QCoh)(L•, RQXRHom•

OX

(M•,N •))

∼= HomD(OX−QCoh)(L•, RQXHom•

OX

(M•, I•))

où I• est une résolution K-injective de N •. Puisque i : D(OX − QCoh) −→ D(OX −Mod), RQX : D(OX − Mod) −→ D(OX − QCoh) est un couple des foncteurs adjoints, on a

A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176 171

HomD(OX−Mod)(L•,Hom•

OX

(M•, I•))

∼= HomD(OX−QCoh)(L•, RQXHom•

OX

(M•, I•)) (3.39)

En conséquence de Proposition 3.6, on peut choisir un isomorphisme Q• ∼= M• dans D(OX − Mod) tel que Q• est un complexe K-plat des OX -modules quasi-cohérents. Puisque I• est K-injectif, le foncteur Hom•

OX(__, I•) préserve les quasi-isomorphismes

et on a Hom•OX

(Q•, I•) ∼= Hom•OX

(M•, I•) dans D(OX − Mod). Par suite, on a

HomD(OX−Mod)(L•,Hom•

OX

(M•, I•))

∼= HomD(OX−Mod)(L•,Hom•

OX

(Q•, I•))

∼= HomD(OX−Mod)(L•, RHom•

OX

(Q•,N •)) (3.40)

Puisque Q• est K-plat, le foncteur __ ⊗OXQ•, qui est adjoint à gauche à

Hom•OX

(Q•, __), est exact. Donc, au niveau des catégories dérivées, on a

HomD(OX−Mod)(L• ⊗OX

Q•,N •)∼= HomD(OX−Mod)

(L•, RHom•

OX

(Q•,N •)) (3.41)

Puisque L• ⊗L

OXM• := L• ⊗OX

Q•, on a

HomD(OX−Mod)(L• ⊗OX

Q•,N •) ∼= HomD(OX−Mod)(L• ⊗L

OXM•,N •) (3.42)

Appliquant la condition (C4), D(OX − QCoh) −→ Dqc(X) est une équivalence des catégories. Par définition, Dqc(X) est une sous-catégorie pleine de D(OX − Mod). Il résule que D(OX −QCoh) est une sous-catégorie pleine de D(OX −Mod) et on a donc :

HomD(OX−Mod)(L• ⊗L

OXM•,N •) ∼= HomD(OX−QCoh)

(L• ⊗L

OXM•,N •) (3.43)

Ceci montre le résultat. �4. La catégorie triangulée D(OX − QCoh)

Soit X un schéma quasi-compact et préséparé sur (C, ⊗, 1). Alors, la catégorie dérivée D(OX −QCoh) est une catégorie triangulée. Si j : U −→ X est un objet de ZarAff (X), nous montrons que (voir Lemme 4.2) j∗ : OU−QCoh −→ OX−QCoh est exact. Donc, on a un foncteur induit j∗ : D(OU −QCoh) −→ D(OX −QCoh) sur les catégories dérivées. Soit Δ(X) la plus petite sous-catégorie triangulée de D(OX −QCoh) contenant tous les objets j∗M•, ∀M• ∈ D(OU − QCoh), (j : U −→ X) ∈ ZarAff (X). Le but de cette section est de montrer que Δ(X) = D(OX − QCoh).

172 A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176

Proposition 4.1. Soient f : Y −→ X, f ′ : Y ′ −→ X ′ morphismes préséparés et quasi-compacts des schémas. Soit M un faisceau quasi-cohérent sur Y . Étant donné un carré cartésien des schémas

Y ′ f ′

h

X ′

g

Yf

X (4.1)

tel que g, h sont des morphismes plats, on a un isomorphisme g∗f∗M ∼= f ′∗h

∗M des faisceaux quasi-cohérents sur X ′.

Démonstration. Soit {Vi −→ X}i∈I un recouvrement affine de X. Posons

V ′i := X ′ ×X Vi Wi := Y ×X Vi W ′

i := Wi ×Y Y ′ (∀i ∈ I) (4.2)

Pour chaque V ′ ∈ ZarAff (V ′i ), on a

g∗f∗M(V ′) = f∗M(Vi) ⊗OX(Vi) OX′

(V ′)

∼=(

limW∈ZarAff (Wi)

M(W ))⊗OX(Vi) OX′

(V ′) (4.3)

Comme dans (2.14), on peut remplacer le système ZarAff (Wi) dans (4.3) par un sous-système fini Δi ⊆ ZarAff (Wi) tel que :

(lim

W∈ZarAff (Wi)M(W )

)=

(lim

W∈Δi

M(W ))

(4.4)

Puisque V ′i = Vi ×X X ′ −→ Vi est un morphisme plat et V ′ −→ V ′

i est une immersion ouverte, OX′(V ′) est plat considéré comme un OX(Vi)-module. Alors, on a

g∗f∗M(V ′) ∼= (

limW∈Δi

M(W ))⊗OX(Vi) OX′

(V ′)

∼=(

limW∈Δi

M(W ) ⊗OX(Vi) OX′(V ′))

∼=(

limW∈ZarAff (Wi)

M(W ) ⊗OX(Vi) OX′(V ′)) (4.5)

De plus, pour chaque W ∈ ZarAff (Wi) et W ′ = W ×ViV ′, on a un isomorphisme des

OX′(V ′)-modules :

M(W ) ⊗OX(Vi) OX′(V ′) ∼= M(W ) ⊗OY (W ) OY ′

(W ′) (4.6)

A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176 173

En combinant (4.5) avec (4.6), on a

g∗f∗M(V ′) ∼= (

limW ′∈ZarAff (Wi×Vi

V ′)M(W ) ⊗OY (W ) OY ′

(W ′))

=(

limW ′∈ZarAff (Wi×Vi

V ′)h∗M

(W ′)) (4.7)

Puisque Wi ×ViV ′ = W ′

i ×V ′iV ′ = Y ′ ×X′ V ′, on a

g∗f∗M(V ′) =

(lim

W ′∈ZarAff (Y ′×X′V ′)h∗M

(W ′)) = f ′

∗h∗M

(V ′) (4.8)

pour chaque V ′ ∈ ZarAff (V ′i ). Puisque (V ′

i −→ X ′)i∈I est un recouvrement de X ′, ceci montre qu’on a un isomorphisme g∗f∗M ∼= f ′

∗h∗M. �

Lemme 4.2. Soit j : U −→ X une immersion ouverte de Zariski telle que U est affine. Alors, le foncteur j∗ : OU − QCoh −→ OX − QCoh est exact.

Démonstration. Puisque j∗ a un adjoint à gauche, j∗ préserve les limites finies. Donc, il reste de montrer que j∗ préserve les colimites finies. Soit {Ni}i∈I un système inductif dans OU − QCoh et soit N := colimi∈I Ni. Comme dans (3.18), on sait que

N (W ) = colimi∈I Ni(W ) ∀W ∈ ZarAff (U) (4.9)

Le schéma X étant préséparé, W ′ ×X U est affine pour chaque W ′ ∈ ZarAff (X). Alors, pour chaque W ′ ∈ ZarAff (X), on a :

j∗N(W ′) = N

(W ′ ×X U

)= colimi∈I Ni

(W ′ ×X U

)= colimi∈I j∗Ni

(W ′) (4.10)

Par suite, on a j∗N = colimi∈I j∗Ni. �Rappelons qu’on peut écrire chaque schéma X sur (C, ⊗, 1) comme un quotient X =

Y/R, où Y =∐n

i=1 Ui est une réunion disjointe des schémas affines Ui et R ⊆ Y × Y

est une relation d’équivalence dans Fsc(Aff C) vérifiant certaines conditions détaillées dans [24, Proposition 2.18]. Nous posons Y ′ :=

∐n−1i=1 Ui et définissons une relation

d’équivalence R′ sur Y ′ comme suite :

R′ := R×(Y×Y ) (Y ′ × Y ′) Y ′ × Y ′

R Y × Y (4.11)

Alors, il est clair que toutes les conditions dans [24, Proposition 2.18] sont vérifiés pour R′ ⊆ Y ′ × Y ′. Donc on a un schéma X ′ := Y ′/R′ et un morphisme induit p : X ′ −→ X.

174 A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176

Lemme 4.3. Le morphisme p : X ′ −→ X est une immersion ouverte de Zariski.

Démonstration. Puisque Y , Y ′, R, R′ sont des faisceaux sur Aff C à valeurs dans la catégorie des ensembles, pour chaque U ∈ Aff C, on a un carré cartésien dans la catégorie des ensembles :

R′(U) Y ′(U) × Y ′(U)

R(U) Y (U) × Y (U) (4.12)

Soient p1(U), p2(U) : R(U) −→ Y (U) (resp. p′1(U), p′2(U) : R′(U) −→ Y ′(U)) les deux projections naturelles. Posons :

Z(U) := colim(Y (U) p1(U)←− R(U) p2(U)−→ Y (U)

)Z ′(U) = colim

(Y ′(U) p′

1(U)←− R′(U) p′2(U)−→ Y ′(U)

)(4.13)

Puisque les colimites dans (4.13) sont considérées dans la catégorie des ensembles, le mor-phisme induit Z ′(U) −→ Z(U) est un monomorphisme. Alors, on a un monomorphisme Z ′ −→ Z des préfaisceaux sur Aff C. Par définition, on a

X = colim(Y ←− R −→ Y ) X ′ = colim(Y ′ ←− R′ −→ Y ′) (4.14)

dans la catégorie Fsc(Aff C). Il résulte de (4.13) et (4.14) que X (resp. X ′) est le faisceau sur Aff C associé au préfaisceau Z (resp. Z ′). Donc, le morphisme p : X ′ −→ X dans Fsc(Aff C) induit par Z ′ −→ Z est un monomorphisme (puisque le foncteur qui associe un préfaisceau sur Aff C à un faisceau sur Aff C est exact).

Enfin, nous considérons le recouvrement affine Ui −→ X ′, 1 ≤ i ≤ n − 1 de X ′. On sait que chaque composition Ui −→ X ′ p−→ X est une immersion ouverte de Zariski. Appliquant [24, Proposition 2.17], il résulte que p : X ′ −→ X est une immersion ouverte de Zariski. �

Par hypothèse, le schéma X est quasi-compact et préséparé. En conséquence du Lemme 4.3, X ′ est préséparé. La famille (Ui −→ X ′)1≤i≤n−1 étant un recouvrement affine et fini de X ′, X ′ est quasi-compact. Donc, X ′ vérifie les conditions (C3) et (C4). Appliquant la condition (C3), il résulte que OX′ − QCoh est une catégorie abélienne de Grothendieck. Donc, chaque objet dans K(OX′ − QCoh) dispose d’une résolution K-injective. Par suite, on a un foncteur dérivé :

Rqcp∗ : D(OX′ − QCoh) −→ D(OX − QCoh) (4.15)

A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176 175

Proposition 4.4. Soit X un schéma quasi-compact et préséparé. Soit Δ(X) la plus petite sous-catégorie triangulée de D(OX − QCoh) contenant tous les objets j∗M•, ∀M• ∈D(OU − QCoh), (j : U −→ X) ∈ ZarAff (X). Alors, Δ(X) = D(OX − QCoh).

Démonstration. Soit X = Y/R comme ci-dessus, où Y :=∐n

i=1 Ui est une réunion disjointe des schémas affines. De plus, supposons que n = n(X), où n(X) est le nombre minimal des affines à sélectionner pour former un tel recouvrement de X. On procède par induction sur n(X). Si n(X) = 1, il est clair que Δ(X) = D(OX − QCoh). Supposons que ce résultat est vrai pour chaque schéma (quasi-compact et préséparé) Z tel que n(Z) < n(X). En particulier, n(X ′) < n(X) et il résulte que Δ(X ′) = D(OX′ −QCoh), où X ′ = Y ′/R′ comme ci-dessus.

Soit M• ∈ D(OX −QCoh). Puisque p∗ : OX −QCoh −→ OX′ −QCoh est exact, on a un couple (p∗, Rqcp∗) des foncteurs adjoints entre les catégories dérivées D(OX −QCoh)et D(OX′ −QCoh). Pour le morphisme naturel M• −→ Rqcp∗(p∗M•) = Rqcp∗(M•|X ′), on a un triangle distingué dans D(OX − QCoh) :

N • −→ M• −→ Rqcp∗(M•|X ′) −→ N •[1] (4.16)

Si i : W −→ X ′ est une immersion ouverte avec W affine, on constate que

(p ◦ i)∗ ∼= Rqc(p ◦ i)∗ ∼= (Rqcp∗) ◦ (Rqci∗) ∼= (Rqcp∗) ◦ i∗ (4.17)

(puisque i∗ et (p ◦i)∗ sont des foncteurs exacts comme une conséquence du Lemme 4.2). Le foncteur dérivé Rqcp∗ : D(OX′ −QCoh) = Δ(X ′) −→ D(OX −QCoh) étant un foncteur triangulé, l’image du Rqcp∗ est contenue dans Δ(X). Donc, Rqcp∗(M•|X ′) ∈ Δ(X).

Pour chaque 1 ≤ i ≤ n, soit qi : Ui −→ X l’immersion ouverte corréspondant à Ui ∈ ZarAff (X). On va montrer que c : N • −→ qn∗(N •|Un) est un isomorphisme. Pour chaque Ui, i = n, il résulte du triangle (4.16) que N •|Ui = 0. De plus, on a un carré cartésien (pour chaque i = n) :

Un ×X Ui

q′n

q′i

Ui

qi

Un

qnX (4.18)

Appliquant Proposition 4.1, on a(qn∗

(N •|Un

))|Ui

∼= q∗i qn∗(N •|Un

) ∼= q′n∗q′ ∗i

(N •|Un

) ∼= q′n∗q′ ∗n

(N •|Ui

)= 0 (4.19)

et on a donc c|Ui : N •|Ui = 0 −→ (qn∗(N •|Un))|Ui = 0 est un isomorphisme pour chaque i = n. Si i = n, il est clair que c|Un : N •|Un −→ (qn∗(N •|Un))|Un =N •|Un est un isomorphisme. Alors, c : N • −→ qn∗(N •|Un) est un isomorphisme et

176 A. Banerjee / Journal of Algebra 423 (2015) 148–176

N • ∼= qn∗(N •|Un) ∈ Δ(X). Puisque Rqcp∗(M•|X ′) est également dans Δ(X), il résulte du triangle (4.16) que M• ∈ Δ(X). �Références

[1] A. Banerjee, The relative Picard functor on schemes over a symmetric monoidal category, Bull. Sci. Math. 135 (4) (2011) 400–419.

[2] M. Bökstedt, A. Neeman, Homotopy limits in triangulated categories, Compos. Math. 86 (1993) 209–234.

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