Modlisation des actions mcaniques

McaniqueStatiqueStatique S1

Objectifs:

Modliser mathmatiquement une action mcanique;

Calculer un moment;

Dcrire une action mcanique par un torseur en un point;

Dterminer laction mcanique transmissible par une liaison mcanique parfaite.

Statique

Modlisation des actions mcaniques

1. Dfinition d'une action mcanique

D'une faon gnrale, on appelle action mcanique toute cause physique susceptible de maintenir un corps au repos, de crer, de maintenir ou de modifier un mouvement, de dformer un corps.

2. Classification des actions mcaniques

Les actions mcaniques sont de deux sortes:

Les actions mcaniques distance (champ de pesanteur, champ lectromagntique)

Les actions mcaniques de contact (liaisons surfaciques)

On distingue les actions mcaniques extrieures et intrieures un ensemble de corps.

Soient 3 solides (S1), (S2), (S3).

Soit (E) l'ensemble constitu par les 2 corps (S1) et (S2).

Bilan des actions mcaniques extrieures qui agissent sur le solide (E) :

Poids

Action de (S3) sur (E)

3. Le torseur daction mcanique

3.1. Notion de force

On appelle force, l'action mcanique qui s'exerce mutuellement entre deux particules lmentaires, pas forcment en contact.

Une force est toujours applique en un point. Elle est modlise par un vecteur, caractris par:

- Un point dapplication;

- Une direction;

- Un sens;

- Une norme (intensit).

Unit: Newton

Notation: Fsolide extrieur ( solide isol3.2. Notion de moment

3.2.1. Moment dune force par rapport un point

Les effets physiques dune A.M. dpendent de la position et de lorientation dans lespace de la force F associe cette A.M. On est amen introduire la notion de moment de la force F pour caractriser compltement lA.M.

On appelle moment par rapport au point A de la force F1(2 applique au point M, le vecteur dorigine A dfini par la relation:

_MA(F1(2) = _AM x F(1(2)Unit: Newton-mtre (Nm)

Corollaire: La relation ci-dessus reste valable pour nimporte quel point B appartenant la direction (() de F:

(B((, _MA(F1(2) = _AB x F(1(2)

3.2.2. Autre formule: Bras de levier

|| _MA(Fsolide 1 ( solide 2) || = d. || F(solide 1 ( solide 2) ||3.2.3. Dfinition gomtrique du vecteur _MA(Fsolide 1 ( solide 2)

origine: point A

direction: perpendiculaire au plan (Fsolide 1 ( solide 2; _AM)

sens: _AM, Fsolide 1 ( solide 2 et _MA forment un tridre direct

3.2.4. Relation fondamentale sur les moments

Soit Fsolide 1 ( solide 2 une force applique en M, et deux points quelconques A et B. On sait, par dfinition, que:

_MA(Fsolide 1 ( solide 2) = _AM x F(solide 1 ( solide 2)

Et

_MB(Fsolide 1 ( solide 2) = _BM x F(solide 1 ( solide 2)

Or _BM = _BA + _AM , par consquent:

_MB(Fsol. 1 ( sol. 2) = _MA(Fsol. 1 ( sol. 2) + _BA x F(sol. 1 ( sol. 2)

3.3. Champ de laction mcanique dune force sur un solide

Laction mcanique sur un solide 1 exerce par une force A(ext(1) applique en un point A de ce solide, se modlise en un point B quelconque par deux champs:

- un champ uniforme dfini par R(ext(1) = A(ext(1) appel Rsultante gnrale. un champ de moment dfini en tout point B par:

_MB (A(ext(1) )= _BA x A(ext(1) appel Moment rsultant.3.4. Torseur associ laction mcanique dune force

Pour dfinir compltement une A.M. nous avons donc besoin des vecteurs R(ext(1) et _MB (A(ext(1) ).

Lensemble des deux vecteurs R(ext(1) et _MB (A(ext(1) ), dfinis en tout point B, est appel torseur associ laction mcanique relative la force A(ext(1).

Il est not:

{(ext(1)} = =

Remarques:

( Le point B nest pas ncessairement un point appartenant au solide 1;

( R(ext(1) et _MB (ext(1) sont appels lments de rduction du torseur {(ext(1)};

3.5. Actions mcaniques particulires

3.5.1. Torseur glisseur

On appelle torseur glisseur, tout torseur associ une action mcanique dont le moment est nul en un point.

{(ext(1)} =

3.5.2. Torseur couple

On appelle torseur couple, tout torseur associ une action mcanique dont la rsultante est nulle.

{(ext(1)} =

Remarque: les lments de rduction dun torseur couple sont les mmes en tout point.

3.6. Thorme du changement de centre de rduction Somme de deux torseurs

3.6.1. Changement de centre de rduction

Soit: {(ext(1)} =

au point B: {(ext(1)} =

Avec: _MB (ext(1) = _MA (ext(1) + _BA x R(ext(1)

3.6.2. Somme de deux torseurs

Soient: {(1(2)} =

et {(3(2)} =

alors:

{(1(2)} + {(3(2)} =

Remarque importante: La somme de deux torseurs implique que les lments de rduction de ceux-ci soient considrs au mme point.

4. Modlisation des actions distance

4.1. Dfinition

Laction mcanique de 1 sur 2 est dite distance, si elle ne rsulte pas dune liaison mcanique entre 1 et 2.

4.2. Cas du champ de pesanteur

en un point quelconque A:

{(pes(S)} =

au centre de gravit G:

{(pes(S)} =

5. Modlisation de laction mcanique de surface

5.1. Action de surface entre deux solides

Actions relles appliques de 1 sur 2Modlisation de ces actions

Laction mcanique de contact surfacique est modlisable par un vecteur F1/2 tel que:

Point dapplication: A; Direction: perpendiculaire au plan tangent commun;

Sens: de 1 vers 2

Intensit: ||F1/2|| = df1/25.2. Action mcanique due la pression dun fluide sur une surface plane

Les actions mcaniques de contact dun fluide sur une surface plane (S) peuvent se modliser par un torseur daction mcanique au centre G de la surface (S) tel que:

{(fluide(S)} =

avec:

p: pression du fluide, exerce sur la surface (S). Cette pression est suppose uniforme ;

S: aire de (S) ;

x: normale extrieure la paroi.

Units lgales :Autres units:Units pratiques:

p en Pap en MPap en bars

S en mS en mmS en cm

||R|| en N||R|| en N||R|| en saN

1 MPa = 106 Pa = 1 N/mm = 10 b

6. Action transmissible par une liaison parfaite (dans lespace)

Soient 1 et 2 deux solides en contact.

6.1. Hypothses

Une liaison parfaite entre deux solides 1 et 2 est caractrise par:

Des surfaces de liaison gomtriquement parfaites et indformables;

Des ajustements sans jeu;

Des contacts sans frottement.

6.2. Relation avec les degrs de libert dune liaison

Les mouvements possibles du solide 2 par rapport au solide 1 sont nots Rx, Ry et Rz (rotations) et Tx, Ty et Tz (translations).

Si un mouvement (rotation ou translation) est possible suivant un axe, alors il ny a pas de composante deffort (respectivement couple ou force) transmissible suivant cet axe.

NB: La liaison glissire hlicodale est une exception.

6.3. Exemple: La liaison pivot

Mobilits

Tx = 0 Rx = 0

Ty = 0 Ry = 0

Tz = 0 Rz = 1

Action transmissible

(force) (couple)

X ( 0 L ( 0

Y ( 0 M ( 0

Z ( 0 N = 0

7. Modlisation plan des actions mcaniques

Dans certains cas, ltude du mcanisme dans lespace peut tre dlicate. On recherche alors une possibilit de rduire ltude un problme plan, sous certaines hypothses.

7.1. Hypothses

La surface de contact a une gomtrie et des actions transmissibles qui prsentent une symtrie par rapport un plan;

On choisit alors un repre local dont les axes sont confondus avec les axes de symtrie de la liaison.

7.2. Simplification:

Lorsque les hypothses sont runies, lcriture du torseur daction mcanique transmissible par la liaison se simplifie. Subsistent:

La composante du moment porte par laxe perpendiculaire au plan de symtrie;

Les composantes de la rsultante contenues dans le plan de symtrie.

Dans notre exemple, le plan de symtrie est , le torseur en A associ aux efforts transmissibles par cette liaison a la forme:

Forme gnrale: Simplification:Forme simplifie (symtrie):

(6 inconnues)

(3 inconnues)

Pour une liaison parfaite particulire, parmi les composantes ci-dessus, certaines sont nulles. Mais il ny a jamais plus de trois inconnues.

Gnralisation:

Un mcanisme dont toutes les pices utiles admettent un mme plan de symtrie pour la gomtrie et les efforts est un mcanisme plan.

8. Tableau rcapitulatif: Liaisons parfaites

Tableau rcapitulatif de quelques torseurs transmissibles par des liaisons parfaites:

Type de liaison et repre local associ

R=(A,,,)Schmatisation spatialeMobilitsTorseur daction mcanique transmissibleTorseur daction mcanique

SimplifiSchmatisation plan

Pivot

daxe (A,)

Symtrie par rapport

(A,,)

Glissire

daxe (A,)

Symtrie par rapport

(A,,)

Pivot glissant

daxe (A,)

Symtrie par rapport

(A,,)

Appui plan

De normale (A,)

Symtrie par rapport

(A,,)

Sphrique

de centre A

Symtrie par rapport

(A,,)

Linaire circulaire

de centre A

et daxe (A,)

Symtrie par rapport

(A,,)

Linaire rectiligne

de normale (A,)

droite de contact (A,)

Symtrie par rapport

(A,,)

Ce tableau nest pas exhaustif

NB: La liaison hlicodale ne permet pas une modlisation plane simple.

INCORPORER Word.Picture.8

INCORPORER Word.Picture.8

Point de rduction

INCORPORER Word.Picture.8

NOMFICHIER S1_Modlisation des actions mcaniques .doc

INCORPORER Word.Picture.8

Repre de projection

Composantes de la rsultante

Composantes du moment rsultant

Modlisation des actions mcaniquespage 6/1

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_1062167160.unknown

_1062167344.unknown

_1062167443.unknown

_1062175770.doc

(S1)

(S2)

A

B

C

D

(S3)

_1062217952.doc

z

x

2

1

_1063726824.doc

O

x

y

z

(()

A

M

d

_MA(F)

F

_1062175875.doc

A

(1)

B

A(ext(1)

_1062175823.doc

G

(S)

Pi

Pi

Pi

Pi

A

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_1062168803.unknown

_1062167405.unknown

_1062167421.unknown

_1062167392.unknown

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_1032962793.doc

x

y

z

_1062164234.unknown

_1062164312.unknown

_1062164315.unknown

_1062164304.unknown

_1062164307.unknown

_1062164301.doc

1

2

y

z

_1062164226.unknown

_1062164232.unknown

_1062164148.doc

(P)

A

x

y

z

A2

H

f1y

f1z

A1

f1x

f2y

f2z

A1 et A2 (points de contact) et efforts transmissibles, symtriques par rapport au plan (P)

f2x

Surface de contactentre (S1) et (S2)

(P) plan de symtrie

_1062164184.unknown

_1061745255.doc

S1

S2

FS1/S2

Point dapplication

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x

z

1

2

_1032962616.doc

1

2

df1/2

_1032962634.doc

1

2

F1/2

A

_1032962730.doc

x

fluide

(S)

G

(pression p)

R(fluide(S)

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1

2

y

z

_980085140.doc

2

1

y

x

_980085100.doc

x

z

2

1

_980084606.doc

1

2

y

x

_979921279.bin

_979921327.bin

_979921351.bin

_979921374.bin

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