rÉsistance des matÉriaux travaux dirigés · comparer # et • exercice 1 sections pleines :...

Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse – 135, Avenue de Rangueil 31077 Toulouse Cedex 4 – France / www.insa-toulouse.fr Stéphane LAURENS

PO Ingénierie de la construction – Semestre 5

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Travaux dirigés

Stéphane LAURENS

INSA Toulouse – Département de Génie Civil

RDM – 3IC – Travaux dirigés


• Centre de section

Lorsqu’une section admet un axe de symétrie, le centre de section � est forcément sur cet axe.

La section rectangulaire admet 2 axes de symétrie, le centre de section est donc le point d’intersection de ces axes.

Ici, le centre de section est donc évident : � � �Dans le cas général, on calcule ses coordonnées à l’aide des moments statiques

Montrer à l’aide des moments statiques que : �� 0

• Exercice 1 Sections pleines : rectangulaire

�

�

� � �




• Moment quadratique par rapport à l’axe ��

�� . ��

� � � ��. �. ��

�

��

��

��

� � ��. ��

�

��

� � ��

�

��

� ��3 ��

�

��

��

�

� ℎ�12 � �

�

�

�

�

�

� �

�

� � �. �

�� . ℎ�12


O

��?� �� . ℎ�

3

�� . � � �. ℎ�12 � ℎ

2!�. ℎ. � � �. ℎ�3�� " �. �

��# � ℎ. ��12


• Exercice 1

�

� �

�

�

�

� �

�

� � �. �En vous inspirant de la démonstration précédente, calculez ��#

��# � �. �. � � 0�

En vous inspirant de la démonstration précédente, montrer que le moment produit est nul.��#

• Moment produit ��

�

Sections pleines : rectangulaire


��# � ��. ��


O


� �

�

�

�

� �

�

� � �. �Comparer ��# et ��

�



Quels sont les axes centraux principaux (voir cours).



�

�

A partir des résultats obtenus sur les sections pleines rectangulaires, calculer : ��# et ��

• Exercice 1 Sections creuses : rectangulaire

• 2 axes de symétrie : centre de section à l’intersection

Démarche :

- Cette section est la différence entre le grand rectangle (� � ℎ) et le petit rectangle (�′ � ℎ′)

- Le moment quadratique présente la propriété d’additivité.

- On peut donc soustraire des moments quadratiques. Il s’agira ici de soustraire le moment quadratique du petit rectangle au moment quadratique du grand rectangle pour obtenir celui de la section creuse.



• Exercice 1

�

�Calculer l’aire de cette section : � � ?Calculer les coordonnées du centre de section dans le repère �, ��! à l’aide des moments statiques.

Sections minces : cornière

• Centre de section


�60 ((

40 ((

�. �� . ��

� �. ��*

� �. � →�,

�� ⋯

Démarche : décomposer la section en sous-sections de formes simples pour faciliter le calcul des intégrales.

��

�.

5 ((

5 ((

� �

�

� � �. �

�. �� ∬ �. �� ∬ �. ��* � ∬ �. ��, → �� ⋯ � � �. � ��

Par exemple :


• Exercice 2 Section mince (ou profilée) en Z


G ��

�� " ��. �

��# � ��# " ��. �

�� . ��

� ��. � � ��. � � ��. ��.

S1

S

2

S 3

� � �� 15 � �12

�3

� � �� 5 � �12

2

� � �� 35 � �3

2

�� 213750 ((1 � 21,375 5(1��# � 113750 ((1 � 11,75 5(1

��




Astuce :

Pour repérer intuitivement les directions principales d’inertie, il faut chercher le rectangle circonscrit à la section et présentant un élancement maximal (voir rectangle en trait pointillé sur la figure).

Elancement maximal = rapport �� (678(69




��# � ℎ. ��12 ≪ �� . ℎ�

12�

�


• Exercice 3-b)


YA

MA

3 actions de liaison extérieures : XA, YA et MA

1 poutre = 3 équations d’équilibre en plan

On dispose de suffisamment d’équations

d’équilibre statique pour calculer les

actions de liaison…

... Cette structure est donc isostatique !

Etape 1 : analyse préliminaire

XA


• Exercice 3-b)


YA

MA

Equilibre / X ;< � 0

Equilibre / Y =< " > � 0

Equilibre en moment selon Z / point A �< " >. ? � 0�< � >. ?

=< � >

Etape 2 : calcul des actions de liaison par l’écriture du PFS

XA

?


• Exercice 3-b)


YA

MA

XA

?

Etape 3 : calcul des efforts internes par la méthode de la coupure

XA

YA

A

7

@ 7�A 7

B

C# 7 Equilibre amont (vs la coupure) :

• /X :

• /Y :

• Mnt en G /Z :

@ 7 � ;< � 0 → @ 7 � 0

C# 7 � =< � 0 → C# 7 � "=< � ">

�A 7 " =<. 7 � �< � 0 → �A 7 � =<. 7 " �<

�Remarque : sens positif des moments

;< � 0 =< � > �< � >. ?

Ici : une seule zone de calcul des efforts internes : 0 D 7 D ?

MA

�A 7 � >. 7 " >. ? �A 7 � >. 7 " ?!


• Exercice 3-b)


YA

MA

XA

?


Equilibre aval (vs la coupure) :

• /X :

• /Y :

• Mnt en G /Z :

@ 7 � 0

"C# 7 " > � 0 → C# 7 � ">

"�A 7 " >. ? " 7! � 0 → �A 7 � ">. ? " 7!

�Remarque : sens positif des moments

;< � 0 =< � > �< � >. ?


�A 7 � >. 7 " ?!

@ 7

�A 7B

C# 7

P

7 ? " 7


• Exercice 3-b)


;< � 0 =< � > �< � >. ?

�A 7

C# 7

7

7

�EFG � ">. ?

">

C# 7 � " P@ 7 � 0

�A 7 � ">. ? " 7!

Vérifier, pour tout 7 que :

�A 7 7 � "C# 7

Etape 4 : diagrammes Charge concentrée

→ diagramme de moment linéaire

Charge concentrée

→ diagramme d’effort tranchant uniforme


• Exercice 3-b)


;< � 0 =< � > �< � >. ?

Etape 5 : déformée de flexion

�A 7 � ">. ? " 7! � I. �� J′′ 7

J′′ 7 � �A 7I. ��

� " 1 I. ��

>. ? " 7!

J′ 7 � " 1 I. ��

> ?. 7 " 7�2 � K

K, L : constantes d’intégration à calculer en exprimant les conditions aux limites en déplacement de la poutre

Intégration 1

J 7 � " 1 I. ��

> ?. 7�2 " 7�

6 � K. 7 � LIntégration 2


• Exercice 3-b)


;< � 0 =< � > �< � >. ?


K, L : 2 constantes d’intégration à calculer…

… il faut donc exprimer 2 conditions aux limites en déplacement de la poutre

Conditions aux limites de cette poutre Pas de déplacement en A (encastrement)• J 7 � 0 � 0

• J′ 7 � 0 � 0 Pas de rotation en A (encastrement)

J 7 � 0 � " 1 I. ��

>. L � 0 → L � �

JM 7 � 0! � " 1 I. ��

>. K � 0 → K � �J 7 � " 1

I. �� > ?. 7�

2 " 7�6

JEFG � J 7 � ?!

JEFG � " >?�3 I. ��

J 7JEFG � " >?�

3 I. ��


• Exercice 3-b)


;< � 0 =< � > �< � >. ?J 7

JEFG � " >?�3 I. ��

Etape 6 : contrainte normale maximale ?

|OPQR | � " �A,EFG��

�EFG

� STU��²

�

OGG �

ℎ 2W

" ℎ 2W7

Axe neutre

OGG � � " �A��

�

1 . Section rectangulaire pleine (bxh)

2. Section rectangulaire creuse (

Section rectangulaire pleine (bxh)


• Exercice 3-c)


YA

MA








XA

Une charge répartie (ou distribuée) s’exprime en X@/(] !!!


• Exercice 3-c)


YA

MA

Equilibre / X ;< � 0Equilibre / Y =< " Z � ? � 0

Equilibre en moment selon Z / point A �< " Z � ? � ?2 � 0

�< � Z. ?�2

=< � Z. ?


XA

?

Force résultante

totale

Bras de levier

Z. ?

?

?/2

YA

MA

XA

Lorsque la charge répartie présente une forme simple, on peut la remplacer par sa résultante totale positionnée au centre de charge. Ici,

la charge répartie est uniforme (cas le plus simple), sa résultante vaut donc Z � ? et le centre de charge se trouve à ?/2.


• Exercice 3-c)


YA

MA

Equilibre / X ;< � 0

Equilibre / Y =< " � Z 7!. 7U

2� 0

Equilibre en moment selon Z / point A �< " � 7. Z 7!. 7U

2� 0

�< � Z. ?�2

=< � Z. ?


XA

?

Elément de force

(= résultante locale)Bras de levier

Z 7!. 7

?

7

YA

MA

XA

Lorsque la charge répartie présente une forme complexe exprimée par une fonction Z 7!, on doit procéder par intégration.

Ici, Z 7 � Z � [\]

7


• Exercice 3-c)


YA

MA

XA

?



• /X :

• /Y :

• Mnt en G /Z :

@ 7 � 0

"C# 7 " Z. ? " 7! � 0 → C# 7 � "Z. ? " 7!

"�A 7 " Z. ? " 7 . ? " 7!2 � 0

;< � 0 =< � Z. ? �< � Z. ?�2


@ 7

�A 7B

C# 77 ? " 7

Z

@ 7

�A 7B

C# 77 ? " 7

Z. ? " 7!? " 7

2

�A 7 � "Z. ? " 7!�2


• Exercice 3-c)


�A 7

C# 7

7

7

�EFG � " Z. ?�2

"Z. ?

C# 7 � "Z. ? " 7!

@ 7 � 0

Vérifier, pour tout 7 que :

�A 7 7 � "C# 7

Etape 4 : diagrammes

;< � 0 =< � Z. ? �< � Z. ?�2

�A 7 � "Z. ? " 7!�2

Charge répartie

→ diagramme de moment parabolique

Charge répartie

→ diagramme d’effort tranchant linéaire


• Exercice 3-c)



�A 7 � "Z. ? " 7 �2 � I. �� J′′ 7

JMM G � �A 7I. ��

� " Z I. ��

. ? " 7!�2

JM 7! � ⋯

K, L : constantes d’intégration à calculer en exprimant les conditions aux limites en déplacement de la poutre

Intégration 1

J 7 � ⋯Intégration 2

;< � 0 =< � Z. ? �< � Z. ?�2


• Exercice 3-c)



K, L : 2 constantes d’intégration à calculer…

… il faut donc exprimer 2 conditions aux limites en déplacement de la poutre

Conditions aux limites de cette poutre Pas de déplacement en A (encastrement)• J 7 � 0 � 0

• J′ 7 � 0 � 0 Pas de rotation en A (encastrement)

J 7JEFG � ?

;< � 0 =< � Z. ? �< � Z. ?�2

J 7 � ? ? ?JEFG � ? ? ? JEFG � " 5Z?1

24 I. ��JEFG � " 11Z?1

24 I. ��

JEFG � " Z?�3 I. ��

JEFG � " Z?18 I. ��


• Exercice 3-c)


Etape 6 : contrainte normale maximale ?

J 7JEFG � ?

;< � 0 =< � Z. ? �< � Z. ?�2

|OPQR | � " �A,EFG��

�EFG

� 3Z?²�ℎ²

�

OGG �

ℎ 2W

" ℎ 2W7

Axe neutre

OGG � � " �A��

�

Si section rectangulaire (bxh)


• Exercice 3-e)


YA

XA

YB








?6 6


• Exercice 3-e)


YA

XA

YB

?6 6

Equilibre / X

Equilibre / Y

Equilibre en moment selon Z / point O


Lorsque la charge répartie présente une forme simple, on peut la remplacer par sa résultante totale positionnée au centre de charge. Ici,

la charge répartie est uniforme (cas le plus simple), sa résultante vaut donc Z � ? et le centre de charge se trouve à ?/2.

;< � 0=< � =_ " Z � ? � 0

=< � 6 � =_ � ? " 6! " Z � ? � ?2 � 0

=< � =_ � Z ?2


• Exercice 3-e)


YA

XA

YB

?6 6

Etape 3 : calcul des sollicitations internes

Y

X


• Exercice 3-f)


Cette structure est isostatique !

YA

MA

XA

Equilibre / X : ;< � 0Equilibre / Y : =< " � Z 7!. 7

U

2� =< " � ` ? " 7!. 7

U

2� 0

Equilibre en moment selon Z / point A :

�< " � 7. Z 7 . 7U

2� �< " � 7. ` ? " 7 . 7

U

2� �< " � ` ?. 7 " 7� . 7

U

2� 0

=< � � ` ? " 7!. 7U

2� ` ?. 7 " 7�

2 2

U� `?�

2


Lorsque la charge répartie présente une forme complexe exprimée par une fonction Z 7!, on doit procéder par intégration.

Ici, Z 7 � Z � [\]

=< � `?�2

�< � � ` ?. 7 " 7� . 7U

2� ` ?. 7�

2 " 7�3 2

U�< � `?�

6


• Exercice 3-f)


YA

MA

XA



• /X :

• /Y :

• Mnt en G /Z :

@ 7 � 0

"C# 7 " � Z a . aU�G

2� 0

"�A 7 " � a � Z a . aU�G

2� 0

@ 7

�A 7B

C# 77 ? " 7

Z 7!

Z a � Z 7! en a � 0

Z a

a

Z a � 0 en a � ? " 7

Z a � ` ? " 7 " a!

a = variable d’intégration comprise entre

0 et ? " 7

C# 7 � " � ` ? " 7 " a . aU�G

2

� "` ? " 7 . a " a�2 2

U�G� " ` ? " 7!�

2

C# 7 � " ` ? " 7!�2

�A 7 � " � a. ` ? " 7 " a . aU�G

2� " � ` ? " 7 a " a� . a

U�G

2�

� "` ? " 7 . a�2 " a�

3 2

U�G� " ` ? " 7!�

6 �A 7 � " ` ? " 7!�6

Z a!. a

a

B

7


• Exercice 3-f)


Etape 3 : calcul des sollicitations internes


• Contrôle TD 1



• Exercice 5-c)


YA

MA

XA

Actions de liaison

?

ℎ


• Exercice 5-c)


YA

MA

XA

On définit des repères locaux pour chaque barre.

Les efforts internes sont calculés dans chaque barre et exprimés dans les repères locaux.


• Exercice 5-c)


YA

MA

XA


• Exercice 5-b)


YA

MA

XA









• Exercice 5-b)


YA

Equilibre / X ;< � 0Equilibre / Y =< " Z � ? " b � 0Equilibre en moment selon Z / point A

�< " Z � ? � ? cos f2 " b � ? cos f � 0

=< � Z. ? � b


Bras de levier de la résultante

de la charge répartie

Lorsque la charge répartie présente une forme simple, on peut la remplacer

par sa résultante totale positionnée au centre de charge. Ici, la charge

répartie est uniforme (cas le plus simple), sa résultante vaut donc Z � ? et le

centre de charge se trouve à ?/2.

MA

XA

Bras de levier de la charge

ponctuelle b

�< � Z?� cos f2 � b? cos f


• Exercice 5-b)


YA

MA

XA



• Effort normal : projection des efforts aval /7

"@ 7 " Z cos g2 " f! ? " 7 " b cos g

2 " f! � 0

@ 7

�A 7B

C# 77 ? " 7

Z

@ 7

�A 7B

C# 77 ? " 7Z. cos g

2 " f! ? " 7!

? " 7

2

On se place en repère local.

b g2 " f

@ 7 � "Z cos g2 " f! ? " 7 " b cos g

2 " f!

b cos g2 " f!


• Exercice 5-b)


YA

MA

XA



• Effort tranchant : projection des efforts aval /�

"C# 7 " Z sin g2 " f! ? " 7 " b sin g

2 " f! � 0

@ 7

�A 7B

C# 77 ? " 7

Z

@ 7

�A 7B

C# 77 ? " 7

Z sin g2 " f! ? " 7!

? " 7

2


b

b sin g2 " f!

C# 7 � "Z sin g2 " f! ? " 7 " b sin g

2 " f!

g2 " f


• Exercice 5-b)


YA

MA

XA



• Mnt en G /Z :

"�A 7 " Z sin g2 " f! ? " 7 . ? " 7

2 " b sin g2 " f! ? " 7! � 0

@ 7

�A 7B

C# 77 ? " 7

Z

@ 7

�A 7B

C# 77 ? " 7

? " 7

2

�A 7 � "Z sin g2 " f! ? " 7 �

2 " b sin g2 " f! ? " 7!


b

b sin g2 " f!

Z sin g2 " f! ? " 7!

g2 " f


• Exercice 5-a)



• Exercice 9


Critère de dimensionnement : jEFG D klm


• Exercice 9


1) Section pleine circulaire de rayon k.

jEFG � �n . k.��

D klm

jGo p � 2�n . p�. k� q! � 2�n . p

�. k.� � 2�n . pgk.�. k.� � 2�n . p

gk.1 � �n . p��

Remarque : moment d’inertie polaire

On obtient alors :

jEFG � �n . k.��

� 2�n . k.gk.1 � 2�n

g k.� D klm 2�ng. klm

. �WD k.

Masse de l’arbre : (. � r � ?gk.�r = masse volumique

�� gk.12 k.�

k q � [\] � k. dans le cas de cette section circulaire

�n


• Exercice 9


2) Section creuse circulaire de rayon extérieur k�et intérieur p � α. k�

jEFG � �n. k��

D klm

On obtient :

jEFG � �n. k��

� 2�ng k�� 1

1 " f1 D klm

11 " f1

. �W� 2�n

g. klm

. �WD k�

Masse de l’arbre :

(� � r � ?g k�� " p� � r � ?gk�� 1 " f� r = masse volumique

�� g k�1 " p1!2 � gk�1

2 1 " f1! k��p�n

Remarque : moment d’inertie polaire


• Exercice 9


3) Comparaison entre section pleine et section creuse dans

le cas : α � .�

�� g k�1 " p1!2 � gk�1

2 1 " 12

1� gk�1

2 � 1516

k� t 1615

. �W� 2�n

g. klm

. �W

k.

k� � 1615

. �W� k. u 1,02 � k.

�. � r?gk.�

�� r?gk�� 1 " 12

�� 3

4 r?gk�� 34 r?g � 1,02 k.!� u 0,78 � r?gk.� u 0,78 �.

Pour un encombrement supérieur de 2 % seulement, la section creuse permet un allègement de 22 % de l’arbre de transmission.

k��p�n


• Exercice 10



• Exercice 11



• Exercice 11


?2ℎ 2ℎ

ℎ] ]2] 2]

2]

2]2] 2]

Géométrie de la section et contour moyen

��n


• Exercice 11


?2ℎ 2ℎ

ℎ

Contour moyen de la section profilée

ℎ 5v�

�n

Cellule 1 Cellule 2 Cellule 3

ℎ 5v


• Exercice 11


Flux de cisaillement dans les cellules

�

Cellule 1 Cellule 2 Cellule 3

∅�

∅. ∅�

Objectifs :

- calculer les 3 flux de cisaillement ∅., ∅� et ∅�en fonction de �n

- en déduire les contraintes de cisaillement dans chaque branche de la section profilée en fonction de �n


• Exercice 11


Rappels de cours

Pour chaque cellule : �n,x � 2 � Kx� ∅x

Fraction du moment de torsion total �n repris par la cellule 8.

�n � y �n,xv

x

Aire délimitée par le contour moyen de la cellule 8.

Flux de cisaillement associé à la cellule 8.

�n � y 2 � Kx� ∅xv

x

q 7 � 1

2. Kx . � z j�Г|. 9

De plus :

∅� � j� � ]�et

Taux de rotation axiale

� : module de cisaillementГx : contour moyen de la cellule 8

Abscisse curviligne

j� � ∅�]�

∅� : flux dans une branche de la cellule ij� : contrainte de cisaillement dans une branche de la cellule i]� : épaisseur d’une branche de la cellule i


• Exercice 11


Cellule 1

∅.

Г.

∅.

∅�

∅�

∅. " ∅�

K. � 12 � 2ℎ � ℎ � ℎ�

2� q 7 � 1

K.z j�Г*

. 9 � 1K.

z ∅�]�Г*

. 9

2� q 7 � 1

ℎ� � � ∅.2]

��

2. 9 � � ∅.

]�� 3v

��. 9 � � ∅. " ∅�

2]�� 3v

�� 3v . 9

2� q 7 � 1

ℎ� � ∅.2] . 2ℎ � ∅.

] . ℎ 5v � ∅. " ∅�2] . ℎ

2� q 7 � 1

ℎ � ∅.] � ∅.

] . 5v � ∅. " ∅�2]

9 � 09 � 2ℎ

9 � 2ℎ � ℎ 5v

Point de départ pour le calcul de l’intégrale (par exemple)

9 � 3ℎ � ℎ 5v


• Exercice 11


Cellule 2

K� � ?. ℎ

∅�

∅�Г�

∅.

∅�

∅�

∅� " ∅�

∅.

∅�

∅� " ∅.

2� q 7 � 1

?. ℎ � � ∅�2]

U

2. 9 � � ∅� " ∅.

2]U��

U. 9 � � ∅�

2]�U��

U��. 9 � � ∅� " ∅�

2]�U��

�U��. 9

2� q 7 � 1

K�z j�Г,

. 9 � 1K�

z ∅�]�Г,

. 9

2� q 7 � 1

?. ℎ � ∅�2] . ? � ∅� " ∅.

2] . ℎ � ∅�2] . ? � ∅� " ∅�

2] . ℎ2� q

7 � 1?. ℎ � ∅�

] . ? � ∅� " ∅.2] . ℎ � ∅� " ∅�

2] . ℎ

9 � 09 � ?

9 � 2? � ℎ9 � ? � ℎ

9 � 2? � 2ℎ


• Exercice 11


Cellule 3

∅�

∅�

Г�

∅�

∅�

∅�

∅� " ∅�

K� � 12 � 2ℎ � ℎ � ℎ�

2� q 7 � 1

K�z j�Г}

. 9 � 1K�

z ∅�]�Г}

. 9

2� q 7 � 1

ℎ� � � ∅�2]

��

2. 9 � � ∅� " ∅�

2]��

��. 9 � � ∅�

]�� 3v

��. 9

2� q 7 � 1

ℎ� � ∅�2] . 2ℎ � ∅�

] . ℎ 5v � ∅� " ∅�2] . ℎ 2� q

7 � 1ℎ � ∅�

] � ∅�] . 5v � ∅� " ∅�

2]

9 � 09 � 2ℎ

9 � 3ℎ

9 � 3ℎ � ℎ 5v


• Exercice 11


En résumé :

Cellule 1 : 2� q 7 � 1

ℎ � ∅.] � ∅.

] . 5v � ∅. " ∅�2]

Cellule 2 :

Cellule 3 :

2� q 7 � 1

?. ℎ � ∅�] . ? � ∅� " ∅.

2] . ℎ � ∅� " ∅�2] . ℎ

2� q 7 � 1

ℎ � ∅�] � ∅�

] . 5v � ∅� " ∅�2]

(a)

(b)

(c)

(a) et (c) 2� q 7 � 1

ℎ � ∅.] � ∅.

] . 5v � ∅. " ∅�2] � 1

ℎ � ∅�] � ∅�

] . 5v � ∅� " ∅�2]

∅. � ∅�


• Exercice 11


En résumé :

Cellule 1 : 2� q 7 � 1

ℎ � ∅.] � ∅.

] . 5v � ∅. " ∅�2]

Cellule 2 : 2� q 7 � 1

?. ℎ � ∅�] . ? � ∅� " ∅.

2] . ℎ � ∅� " ∅�2] . ℎ

(a)

(b)

(a) et (b)

∅. � ∅�

2� q 7 � 1

ℎ � ∅.] � ∅.

] . 5v � ∅. " ∅�2] � 1

?. ℎ � ∅�] . ? � ∅� " ∅.

2] . ℎ � ∅� " ∅�2] . ℎ

1ℎ � ∅.

] � ∅.] . 5v � ∅. " ∅�

2] � 1?. ℎ � ∅�

] . ? � ∅� " ∅.2] . ℎ � ∅� " ∅.

2] . ℎ

∅. � ∅� � 0,434 � ∅�Application numérique


• Exercice 11


∅. � ∅� � 0,434 � ∅�

�n � y 2 � Kx� ∅xv

x� 2 � K. � ∅. � K� � ∅� �K� � ∅� � 2 � 2 � K. � ∅. � K� � ∅�

K. � K� � ℎ� K� � ?. ℎ

�n � 2 � 2 � K. � 0,434 � ∅� � K� � ∅� � 2 � 2 � K. � 0,434 � K� � ∅�

Application numérique

∅� � 0,04 � �n

∅. � ∅� � 0,017 � �n


• Exercice 11


Connaissant les flux et les épaisseurs de chaque branche, on en déduit les contraintes de cisaillement de torsion.

jx � ∅x]x

j � ∅.2] � 0,057 �n j � ∅�

2] � 0,13 �n j � ∅�2] � 0,057 �n

j � ∅.] � 0,113 �n j � ∅�

] � 0,113 �n

j � ∅�2] � 0,13 �n

j � ∅� " ∅.2] � 0,076 �n

j � ∅� " ∅�2] � 0,076 �n


• Exercice 7


XO

MO

YO


• Exercice 7



• Contrôle continu n°2


L

45°

45°

1) Actions de liaison(repère global)

2) Efforts internes (repère local)

3) Diagrammes d’efforts internes (repère local)

4) Contrainte normale maximale sachant que la

section est rectangulaire (Largeur b et hauteur h)

5) Le point B monte-t-il ou descend-il ?

Section

b

h

SVP, exprimez vos résultats en fonction de q !


• Exercice 8


Ty


• Exercice 8



• Contrôle continu n°3


Calculer les contraintes de cisaillement dans chaque

branche de cette section profilée cloisonnée en

fonction de Mt

Application numérique :

e = 1 cm

h = 1 m

Remarque :

Cellules externes = demi-cercles

h

h


• Exercice 12



• Exercice 12


1. Moment quadratique

�� ℎ2 � ] � ℎ � ] �

12 "ℎ2 " ] � ℎ " ] �

12�� …

�� 512 ]ℎ�

] ≪ ℎ


• Exercice 12


2. Actions de liaison


• Exercice 12


3. Efforts internes


• Exercice 12


4. Champ de déplacement


• Exercice 12


5. Diagrammes


• Exercice 12


6. Déformée


• Exercice 12


7. Contrainte normale maximale dans la structure


Remarque

• Exercice 12


8. Contrainte tangentielle maximale dans la structure

G

CEFG

�

�

� = axe de symétrie portant Ty

Le flux de contrainte de cisaillement est nul sur un axe de symétrie.

On connait donc le flux aux point O et O’ : ∅ � 0On commence donc le calcul par un point où le flux est connu, par exemple

le point O.

On progresse branche par branche… ∅ � 0

∅ � 0

OA

B

A’O’


• Exercice 12



G

CEFG

�

�

∅ � 0

∅ � 0

OA

B

A’O’

Branche OA

On exprime le flux en un point P quelconque de la branche OA à l’aide de la loi des branches.

P

�

ℎ

ℎ/2

∅T " ∅� � " C#��

�~, �! � " C#��

��

D

�


• Exercice 12



G

CEFG

�

�

∅ � 0

∅ � 0

OA

B

A’O’

Branche AA’

On exprime le flux en un point P quelconque de la branche AA’ à l’aide de la loi des branches. P

�ℎ

ℎ/2

∅T " ∅< � " C#��

�~, �! � " C#��

��

D

�


• Exercice 12



G

CEFG

�

�

∅ � 0

∅ � 0

OA

B

A’O’

Branche AA’

On exprime le flux en un point P quelconque de la branche AA’ à l’aide de la loi des branches. P

�ℎ

ℎ/2

�


• Exercice 12



Distribution de l’intensité des contraintes de cisaillement le long du contour moyen de la section.

Variation linéaire dans les branches perpendiculaires à la direction de Ty.

Variation parabolique dans les branches parallèles à la direction de Ty.

jEFG � 35

�?]ℎ

jEFG � 35

�?]ℎ

j � CEFG��

ℎ�8 � 3

10�?]ℎ

j � 310

�?]ℎ

j � 310

�?]ℎ j � 3

10�?]ℎ

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