POUTRE RECTANGULAIRE A L'E.L.U. EUROCODE 2

Contrainte du béton non limitée à l'ELS : Classe : X0, XCet XA : Palier inclinéHypothèses d'études

Données

Dimensions caractéristiques

Charge permanente : G

charge d'exploitation : Q

Moment ultime : Med

Moment service : Mser

Contrainte de l'acier utilisé : Fyk

Contrainte du béton à 28 jours : Fck

Rapport entre le moment ultime et service

Coefficient d'équivalence acier / béton

Es : Module de Young de l'acier

Moecar : Moment a L'ELS sous combinaison caractéristique

Moepq : Moment a L'ELS : combinaison quasi permanante

Coefficient de Fluage effectif

Maitrise de la fissuration = Mettre 1 si elle est requise

Contrainte a la traction

Contraintes de calcul

Contrainte de compression du béton à l' ELU : Fcd

Contrainte de traction des aciers : Fyd

Calcul des moments réduits

Moment ultime réduit

Moment Limite ultime

Cas ou aciers comprimés est necessaires

Section d'armatures comprimées

Détermination de la section des aciers tendues

Bras de levier : Zc

Section d'aciers tendues : As1 = Med / Zc * Fyd si As2 = 0

Section minimale d'armatures

Fct,eff = Fctm si la maitrise de la fissuration est non requise

Calcul de la flècheDonnées de calcul

Moment service sous combinaison quasi permanente

Module de déformation instantanée

Module d'élasticité effectif tangent du béton

β : coefficient prenant en compte l'influence de la durée du chargement ou

caractéristique de la section non fissuréeSi As2 = 0 : A's = b*h + n*(As1)

Si As2 = 0 : y’=(b*h²/2+n*As1*d)/As’

Si As2 = 0 : I=b*h^3/3+n*(As1*d²)-As’y’²

caractéristique de la section fissuréDistance du haut de la poutre à l’axe neutre : x

Contrainte de l'acier :

Flèche totaleMoment critique

Calcul de flèche

Flèche LimiteSi L<7m

Si L>7m

Vérification de l'effort tranchantValeur de l'effort tranchant : Vrd

Valeur de l'effort tranchant maximale : Vrd max

Inertie de l'inertie fissurée : If

Dimmensionnement des armatures transversalesSection d'armatures transversales

POUTRE RECTANGULAIRE A L'E.L.U. EUROCODE 2

Contrainte du béton non limitée à l'ELS : Classe : X0, XCet XA : Palier incliné

DonnéesLongueur de la poutre L=

Largeur de la poutre b =

Hauteur de la poutre h=

Hauteur utile des aciers tendus d =

Hauteur utile des aciers comprimés

( si nécessaire ) d' =

G=

Q=

Med = (1.35 G + 1.5 Q + (1,5*ψi)*Qi)*L² / 8 Med,u =

Mser = (G + Q) * L² / 8 Mser =

Fyk =

Fck =

γ=

Es = 200 Gpa Es =

Fcm = Fck + 8 Fcm=

Ecm = 22000 * (Fcm/10)^0,3 Ecm=

Moecar = (G + Q) * L² / 8 Moecar=

Moepq = G + ( 0,3*Q ) * L² / 8 Moepq=

Φeff = Φ∞ * (Moepq / Moecar) ; Φ∞ = 2 Φeff=

Coefficient λ : pour Fck < 50 Mpa : λ = 0,8 λ=

Mettre 2 Dans les autres cas

γ = Med / Mser

αe = Es /( Ecm / 1+Φeff ) αe=

Fctm = 0,3 * Fck ^2/3 Fctm=

Contraintes de calcul

Fcd =

( Fyk / 1.15 ) Fyd =

Calcul des moments réduits

µcu = Med / ( b x d² x Fcd )

µlu = µls = 0,3717 : S 500 µlu=

Vérification : Si µcu < µLu => As2 = 0 ; sinon As2 > 0 Pas d'aciers comprimés

Cas ou aciers comprimés est necessaires

Mlu = µlu * b * d² * Fcd Mlu=

α1 = 1/λ * (1-racine(1-2*µlu) α1=

εs2,u = εcu2 * ((α1 - δ')/(α1)) ; εcu2 = 3,5/1000 εs2,u=

εyd = Fyd / Es ; Es = 200000 Mpa εyd=

Condition : εyd > εs2,u => droite de Hooke ; sinon palier palier

σs2,e = 0,6*αe*γ*Fck - δ' * (A*Fck + B) : palier σs2,e=

A = -5 / αe + 13 A=

B = 6855 / αe - 9 B=

Droite de Hooke : σs2,e = Es * εs2,u σs2,e=

As2 = Med - Mlu / (d-d')*σs2,e As2=

Section d'armatures comprimées adoptée As2 adoptée=

Détermination de la section des aciers tendues

Si µcu < 0,225 => Zc = d*(1-0,6*µcu) sinon Zc = d*(1-λ/2 * αu) Zc=

As1 = Mlu / Zc * Fyd + As2 * σs2,e / Fyd si As2 > 0 As1=

As,min = Max ( 0,26*Fct,eff *b*d / Fyk ; 0,0013*b*d) As,min=

sinon = Max (1,6 - h /1000)*Fctm ; Fctm) Fct,eff=

Section d'armatures tendues adoptée As1 adoptée=

Calcul de la flècheDonnées de calcul

Moepq = ((G +γ2*Q)*(L²)) / 8 γ2 = 0,3 Moepq=

Fcm = Fck + 8 Mpa Fcm=

Ecm = 22000 *((Fcm)/(10)^0,3) Ecm=

( µ x α x Fck ) / 1.5 ; µ = α = 1

µcu=

Ec,eff = Ecm(t0) / (1+Φ) ; Φ = 2 Eceff=

1,0 dans le cas d'un chargement unique de courte durée

caractéristique de la section non fissuréeSi As2 > 0 : A's = b*h + n*(As1+As2) A's=

Si As2 > 0 : y’=(b*h²/2+n*As1*d + As2 *d')/As’ y'=

y=h-y’ y=

Si As2 > 0 : I=b*h^3/3+n*(As1*d²+As2*d'²)-As’y’² I=

y''=Mser /(Eceff*I) y''=

caractéristique de la section fissuréx=

If = b*y^3 / 3 + n*As*(d-x)² If=

y'=Mser/(Eceff*If) y'=

σs = αe * Mser * (d - x) / If σs=

Verification : σs < σs lim = 0,8*Fyk Condition verifiée

Flèche totaleMcr= fctm*I/(y) Mcr=

ζ =1- β*(Mcr/Ms)² ζ =

f= ζ*y''+(1- ζ)*y' f=

Flèche Limitef<flim = L/500

0.011f<flim = 0,014 + ((L-7m)/(1000))

Vérification : f<flim Condition verifiée

Vérification de l'effort tranchantVrd = ((1,35G + 1,5Q)*(L)) / 2 Vrd=

Vrd,max=

αcw = 1 d'apès l'annexe Français αcw=

v1 = 0,6 * ((1)-(Fck/250)) v1=

z = 0,9 d z=

0,5 dans le cas d'un chargement prolongé ou d'un grand nombre de cycles de chargement.

β=

x = 1/b * ((-(n*As) + ((n*As)² + (2*n*b*d*As))^0,5) : 0<x<h

Vrd max = αcw * b * z * v1 * ((Fcd)/(cotanθ + tan θ))

On adopte une valeur de cotanθ = 2,5 => tan θ = 0,4

Vérification : Vrd < Vrd,max Condition verifiée

Donc la valeur de cotanθ = 2,5 est bien valide

Dimmensionnement des armatures transversalesAsw / s=Asw / s > Vrd / z * Fyd * cotan θ

POUTRE RECTANGULAIRE A L'E.L.U. EUROCODE 2

Contrainte du béton non limitée à l'ELS : Classe : X0, XCet XA : Palier incliné Annexe EC2

Données5.50 m

0.18 m

0.60 m

0.54 m

0.05 m

3.823 T/m

0.760 T/m

0.24 MN.m

0.17 MNm

500 MPa

25 MPa

1.37

18

200000 Mpa

33.00 MPa

31475.81 MPa

0.17 MNm

0.15

1.77

0.80

2

2.56 MPa

Contraintes de calcul

16.67 MPa EC 2 – 3.1.7 (3)

434.78 MPa

Calcul des moments réduits

0.272 MN.m

0.3717

Pas d'aciers comprimés

Cas ou aciers comprimés est necessaires

0.325

0.617

0.003

0.002

palier

298.009 Mpa

12.716

380.775

594.918 MPa

-5.951 cm²

-5.951 cm²

Détermination de la section des aciers tendues

0.407 m

13.472 cm²

1.296 cm²

2.6 Mpa EC 2 – 7.1 (2)

14.07 cm²

Calcul de la flècheDonnées de calcul

0.2 MNm

33.000 Mpa

31475.8 MPa

10491.9 Mpa

0.500

caractéristique de la section non fissurée0.133 m²

0.341 m

0.259 m

0.005 m4

0.003 m

caractéristique de la section fissuré0.272 m

0.003 m^4

0.006 m

274.034 Mpa

Condition verifiée

Flèche totale0.047 MNm

0.953

0.004 m

Flèche Limite

0.011

Condition verifiée

Vérification de l'effort tranchant0.173 MN

0.271 MN

1.000

0.540

0.486 m

Condition verifiée

Dimmensionnement des armatures transversales3.280 cm²/ml

POUTRE RECTANGULAIRE A L'E.L.U.EUROCODE 2

Contrainte du béton est limitée à l'ELS : Classe : XD , XF et XS : Palier inclinéHypothèses d'études

Données

Dimensions caractéristiques

Charge permanente : G

charge d'exploitation : Q

Moment ultime : Med

Moment service : Mser

Contrainte de l'acier utilisé : Fyk

Contrainte du béton à 28 jours : Fck

Es : Module de Young de l'acier

Moecar : Moment a L'ELS sous combinaison caractéristique

Moepq : Moment a L'ELS : combinaison quasi permanante

Coefficient de Fluage effectif

Maitrise de la fissuration = Mettre 1 si elle est requise

Résistance a la traction

Contraintes de calcul

Contrainte de compression du béton à l' ELU : Fcd

Contrainte de traction des aciers : Fyd

Calcul des moments réduits

Moment ultime réduit

Moment Limite ultime

Cas ou aciers comprimés est necessaires

Section d'armatures comprimées

Détermination de la section des aciers tendues

Bras de levier : Zc

Section d'aciers tendues : As1 = Med / Zc * σs1 si As2 = 0

Section minimale d'armatures

Fct,eff = Fctm si la maitrise de la fissuration est non requise

Calcul de la flèche

Données de calcul

Moment service sous combinaison quasi permanente

Module de déformation instantanée

Module d'élasticité effectif tangent du béton

β : coefficient prenant en compte l'influence de la durée du chargement ou de la répétition du

caractéristique de la section non fissuréeSi As2 = 0 : A's = b*h + n*(As1)

Si As2 = 0 : y’=(b*h²/2+n*As1*d)/As’

Si As2 = 0 : I=b*h^3/3+n*(As1*d²)-As’y’²

caractéristique de la section fissuréDistance du haut de la poutre à l’axe neutre : x

Contrainte du béton :

Contrainte de l'acier :

Flèche totaleMoment critique

Calcul de flèche

Inertie de l'inertie fissurée : If

Flèche LimiteSi L<7m

Si L>7m

Vérification de l'effort tranchantValeur de l'effort tranchant : Vrd

Valeur de l'effort tranchant maximale : Vrd max

On adopte une valeur de cotanθ = 2,5 => tan θ = 0,4

Dimmensionnement des armatures transversalesSection d'armatures transversales

POUTRE RECTANGULAIRE A L'E.L.U.EUROCODE 2

Contrainte du béton est limitée à l'ELS : Classe : XD , XF et XS : Palier inclinéEC 2 – 7.2 (2)

DonnéesLongueur de la poutre L= 5.50 m

Largeur de la poutre bw = 0.18 m

Hauteur de la poutre h= 0.60 m

Hauteur utile des aciers tendus d = 0.54 m

Hauteur utile des aciers comprimés

d' = 0.05 m

G= 3.823 T/m

Q= 0.760 T/m

Med = (1.35 G + 1.5 Q + (1,5*ψi)*Qi)*L² / 8 Med,u = 0.238 MN.m

Mser = (G + Q) * L² / 8 Mser = 0.173 MNm

Fyk = 500 MPa

Fck = 25 MPa

γ= 1.375

18

Es = 200 Gpa Es = 200000 Mpa

Fcm = Fck + 8 Fcm= 33.000 MPa

Ecm = 22000 * (Fcm/10)^0,3 Ecm= 31476 MPa

Moecar = (G + Q) * L² / 8 Moecar= 0.173 MNm

Moepq = G + ( 0,3*Q ) * L² / 8 Moepq= 0.153

Φeff = Φ∞ * (Moepq / Moecar) ; Φ∞ = 2 Φeff= 1.768

Coefficient λ : pour Fck < 50 Mpa : λ = 0,8 λ= 0.800

Mettre 2 Dans les autres cas 2

Fctm = 0,3 * Fck ^2/3 Fctm= 2.6 MPa

γ = Med / Mser

αe = Es /( Ecm / 1+Φeff ) αe=

Contraintes de calcul

Fcd = 16.67 MPa

( Fyk / 1.15 ) Fyd = 434.78 MPa

Calcul des moments réduits

µcu = Med / ( b x d² x Fcd ) 0.272 MN.m

µlu= 0.238

K = (A+B*αe + C*αe²) * 0,0001 K= 1.090

A = 75,3*Fck - 189,8 A= 1692.700

B = -5,6*Fck + 874,5 B= 734.500

C = 0,04*Fck - 13 C= -12.000

Vérification : Si µcu < µLu => As2 = 0 ; sinon As2 > 0 Aciers comprimés necessaires

Cas ou aciers comprimés est necessaires

Mlu = µlu * b * d² * Fcd Mlu= 0.208

σs2,e= 298.009 Mpa

σs1,e = (A*Fck + B) - 0,6*αe*γ*Fck σs1,e = 335.967 MPa

A = -5 / αe + 13 A= 12.716

B = 6855 / αe - 9 B= 380.775

As2 = Med - Mlu / (d-d')*σs2,e As2= 2.081 cm²

Section d'armatures comprimées adoptée As2 adoptée= 2.36 cm²

Détermination de la section des aciers tendues

αu = 1/λ * (1-racine(1-2*µcu)) αu= 0.344

Valeur de µab µab= 0.1019

Valeur de µcu : Si As2 = 0 : µcu ; sinon : µcu = µlu 0.238

Vérification : µcu><µab : Si µcu > µab : pivot B sinon pivot A pivot B

εs1 = εc * 1 - αu / αu : Pivot B : εc = 3,5 ‰ εs1= 0.007

Pivot A : εud= 0.0225

εyd = Fyd / Es ; Es = 200000 Mpa εyd = 0.002

Condition : εs1= 0.007

Condition : εs1 > εyd => Palier ; sinon droite de Hooke Palier

σs1= 439.1

σs1= 1331.943

Condition : σs1= 439.053

Si µcu < 0,225 => Zc = d*(1-0,6*µcu) sinon Zc = d*(1-λ/2 * αu) Zc= 0.466 m

( µ x α x Fck ) / 1.5 ; µ = α = 1

µcu=

µlu = Fck / ((4,62-1,66*γ)*Fck + (165,69-79,62*γ)) * K

σs2,e = 0,6*αe*γ*Fck - δ' * (A*Fck + B)

Cas de palier : valeurs de σs1

Droite de Hooke : σs1 = Es * εs1

As1 = Mlu / Zc * σs1 + As2 * σs2,e / σs1,e si As2 > 0 As1= 12.015 cm²

As,min = Max ( 0,26*Fct,eff *b*d / Fyk ; 0,0013*b*d) As,min= 1.296 cm²

sinon = Max (1,6 - h /1000)*Fctm ; Fctm) Fct,eff= 2.6 Mpa

Section d'armatures tendues adoptée As1 adoptée= 12.57 cm²

Calcul de la flèche

Données de calcul

Ms = ((G +γ2*Q)*(L²)) / 8 γ2 = 0,3 Ms= 0.2 MNm

Fcm = Fck + 8 Mpa Fcm= 33.000 Mpa

Ecm = 22000 *((Fcm)/(10)^0,3) Ecm= 31475.8 MPa

Ec,eff = Ecm(t0) / (1+Φ) ; Φ = 2 Eceff= 10491.9 Mpa

1,0 dans le cas d'un chargement unique de courte durée

0.500

caractéristique de la section non fissuréeSi As2 > 0 : A's = b*h + n*(As1+As2) A's= 0.134 m²

Si As2 > 0 : y’=(b*h²/2+n*As1*d + As2 *d')/As’ y'= 0.332 m

y=h-y’ y= 0.268 m

Si As2 > 0 : I=b*h^3/3+n*(As1*d²+As2*d'²)-As’y’² I= 0.005 m4

y''=Mser /(Eceff*I) y''= 0.004 m

caractéristique de la section fissuréx= 0.249 m

If = b*x^3 / 3 + n*As*(d-x)² If= 0.003 m^4

y'=Mser/(Eceff*If) y'= 0.006 m

σc= 14.587 MPa

Vérification : σc < σc lim = 0,6*Fck Condition verifiée

σs = αe * Mser * (d - x) / If σs= 298.963 Mpa

Vérification : σs < σs lim = 0,8*Fyk Condition verifiée

Flèche totaleMcr= fctm*I/(y) Mcr= 0.044 MNm

ζ =1- β*(Mcr/Ms)² ζ = 0.958

f= ζ*y''+(1- ζ)*y' f= 0.004 m

0,5 dans le cas d'un chargement prolongé ou d'un grand nombre de cycles de chargement.

β=

x = 1/b * ((-(n*As) + ((n*As)² + (2*n*b*d*As))^0,5) : 0<x<h

σc = Mser * x / If

Flèche Limitef<flim = L/500

0.011f<flim = 0,014 + ((L-7m)/(1000))

Vérification : f<flim Condition verifiée

Vérification de l'effort tranchantVrd = ((1,35G + 1,5Q)*(L)) / 2 Vrd= 0.173 MN

Vrd,max= 0.271 MN

αcw = 1 d'apès l'annexe Français αcw= 1.000

v1 = 0,6 * ((1)-(Fck/250)) v1= 0.540

z = 0,9 d z= 0.486

Vérification : Vrd < Vrd,max Condition verifiée

Donc la valeur de cotanθ = 2,5 est bien valide

Dimmensionnement des armatures transversalesAsw / s= 3.280 cm²/ml

Vrd max = αcw * b * z * v1 * ((Fcd)/(cotanθ + tan θ))

Asw / s > Vrd / z * Fyd * cotan θ

Annexe EC2

Valeur de µab εud : Pivot A

Classe A 0.1019 0.0225

Classe B 0.0561 0.045

Classe C 0.0387 0.0675

S500 A 439.1 S 500 A : σs1 = 432,71+ 952,38.εs1 >/ 454 (MPa)

S500 B 438.0 S 500 B : σs1 = 433,20 + 727,27.εs1 >/ 466 (MPa)

S500 C 438.8 S 500 C : σs1 = 432,84 + 895,52.εs1 >/ 493 (MPa)

EC 2 – 7.1 (2)

EC 2 – 3.2.7 (2b) note 1 + voir AN