robotique -ele4203- cours #6: jacobienne, dynamique des robots et commande enseignant: jean-philippe...

ROBOTIQUE-ELE4203-

Cours #6: Jacobienne, dynamique des robots et commande

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Octobre 2012

Cours #6

Bref retour sur le cours #5:

Mouvements différentiels et opérateurs différentiels

Matrice Jacobienne ou tout simplement « la Jacobienne »: Interprétation et utilité Comment la calculer efficacement

Concepts faisant intervenir la Jacobienne: Vitesse d’un point lié à un certain repère du robot Vitesses dans l’espace cartésien et vitesses dans l’espace articulaire

Possibilité d’inversion de la matrice Jacobienne. Relation liant les forces appliquées à l’outil (espace cartésien) et le

couple transmis par les articulations (espace articulaire)

2 Jean-Philippe Roberge - Octobre 2012

Cours #6

Notions du cours #6:

Dynamique des robots manipulateurs à l’aide d’Euler-Lagrange

Rappels de base sur le Lagrangien à l’aide d’exemples

Exemple de calcul des équations dynamiques:

Système simple à 1 D.D.L. en translation (joint prismatique)

Système simple à 1 D.D.L. en rotation (joint rotoïde)

Système à 2 D.D.L. en rotation (joints rotoïdes)

Généralisation pour des robots à n degrés de liberté

Propriétés des équations dynamiques des robots manipulateurs


Cours #6

Notions du cours #6 (suite):

Stratégies de commande des robots manipulateurs:

PID axe par axe

PD avec compensation de gravité

Commande par couple pré-calculé (precomputed torque)

D’autres types de commande sont possibles malgré que ces

stratégies ne soient pas à l’ordre du cours:

Nous discuterons brièvement de la commande adaptative

Nous discuterons aussi brièvement du contrôle de force


5

Bref rappel du cours #5 (1)Mouvement différentiel et opérateur différentiel

Soit une matrice de rotation roulis-tangage-lacet:

Cette matrice permet de représenter n’importe quel orientation d’un repère par rapport à un autre repère. Considérons maintenant des variations infinitésimales de l’angle de roulis, tangage et lacet:

Alors:


6


Donc, la matrice de transformation reliée à un mouvement différentiel:

Donc, un mouvement différentiel peut se représenter par le déplacement différentiel:

Ainsi que par l’opérateur différentiel:


7


L’opérateur différentiel est donné par:

Considérons un repère T qui subit un mouvement différentiel pour devenir T+dT:

On a donc:

Cette dernière équation permet souvent d’identifier les déplacements différentiels, comme nous le verrons dans le prochain exemple…


8

Mouvement différentiel et opérateur différentielExemple du robot planaire (1)

Soit le robot planaire RRR pour lequel nous avions réalisé la cinématique directe:

Calculons le changement qui affecte cette matrice lorsqu’elle subie un déplacement différentiel de δθ1:

Et puisque :

Alors:


T

123 123 3 123 2 12 1 1

123 123 3 123 2 12 1 1

1

0

0

0 0 0 0

0 0 0 0

S C a S a S S a

C S a C a C C adT

1

123 123 3 123 2 12 1 1 123 123 3 123 2 12 1 1 3 123 2 12 1 1

123 123 3 123 2 12 1 1 123 123 3 123 2 12 1 1 3 123 2 12 1 11

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

S C a S a S S a C S a C a C C a a S a S S a

C S a C a C C a S C a S a S S a a C a C C a

10 0 0

0 0 0 0

9


Nous pouvons alors identifier le déplacement différentiel (D) lorsque le robot est affecté d’un déplacement infinitésimal au niveau de son joint 1 (θ1):

Ce dernier résultat implique donc que le déplacement différentiel est donc donnée par:


3 123 2 12 1 1

3 123 2 12 1 11 1

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

z y

z x

y x

a S a S S a dx

a C a C C a dy

dz

1

3 123 2 12 1 1

3 123 2 12 1 1

1

0

0

0

1

x

y

z

dx a S a S S a

dy a C a C C a

dzD

10


Nous pouvons refaire la même démarche pour un mouvement infinitésimal au niveau des joints 2 et 3, les résultats que nous obtiendrions sont:

Donc, le mouvement différentiel total (c’est-à-dire le mouvement différentiel obtenu étant donnée une variation infinitésimale affectant tous les joints) est:


1

3 123 2 12 1 1

3 123 2 12 1 1

1

0

0

0

1

x

y

z

dx a S a S S a

dy a C a C C a

dzD

Ceci se nomme la matrice Jacobienne: 0 J

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Matrice Jacobienne et son interprétation (1)

La matrice Jacobienne est extrêmement puissante…

Comme nous l’avons vu, la matrice Jacobienne permet de lier les déplacements infinitésimaux dans l’espace articulaires au mouvement différentiel dans l’espace cartésien.

La matrice Jacobienne permet aussi de lier les vitesses articulaires aux vitesses dans l’espace cartésien:


Ceci se nomme la matrice Jacobienne : 0 J

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Supposons à l’inverse que, étant données des vitesses dans le repère de base, nous désirons connaître les vitesses pour chacune des articulations:

Pensez-vous qu’en général, la matrice Jacobienne est inversible?


Pas toujours! Rien n’assure que la matrice Jacobienne sera carrée. En fait, elle ne sera pas carrée lorsque le nombre de degrés de liberté du robot est différent

du nombre de degrés de liberté du robot dans l’espace cartésien.

Dans le cas où vous cherchez à inverser une Jacobienne qui n’est pas carrée, vous devez vous référez au pseudo-inverse (dans les notes: inverse généralisé), voir l’annexe à cet effet.

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Lorsque la matrice Jacobienne carrée n’est pas inversible, cela signifie que le robot se trouve dans une configuration de singularité. Par exemple:

Également:

Donc, la matrice Jacobienne intervient dans une foule de contexte

Calcul de vitesse, planification de trajectoires lisses, détermination des singularités, intervient dans les équations de la dynamique des manipulateurs et dans la relation entre les forces transmis par l’effecteur et les couples articulaires (moteurs).


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Matrice JacobienneAlgorithme de calcul (1)

La matrice Jacobienne 0J est exprimé dans le repère de base, il est toutefois simple d’exprimer la Jacobienne dans un repère arbitraire i:

Nous venons d’étudier la matrice Jacobienne, nous avons vu comment l’exprimer par rapport à un repère i, nous avons constater sa puissance et nous avons aussi vu comment la calculer.

Il existe toutefois une manière plus méthodique de calculer la Jacobienne…


15

Matrice JacobienneAlgorithme de calcul (2)

L’algorithme de calcul de la matrice Jacobienne:

Cet algorithme fonctionne si les repères ont été apposés selon la méthode de Denavit-Hartenberg


16

Matrice JacobienneAlgorithme de calcul (3) - Exemple

On peut recommencer le calcul de la Jacobienne du robot planaire à l’aide de cet algorithme:


17



18



19



20

Dynamique (1)Rappel des notions de base

La dynamique d’un robot manipulateur peut être développé à partir de la méthode d’Euler-Lagrange:


21


Soit une particule de masse m qui peut seulement se déplacer verticalement:

Son énergie cinétique est:

Son énergie potentielle est :

Le Lagrangien est:

La dynamique de ce système, obtenue par Euler-Lagrange:


21

2T my

U mgy

21

2L T U my mgy

d L Lf

dt y y

my f mg

22


Soit un moteur couplé à une tige de masse M:

Son énergie cinétique est:

Son énergie potentielle est :

Le Lagrangien est:

La dynamique de ce système, obtenue par Euler-Lagrange:


2 2 21 1 1

2 2 2m m l l m l lT J J J J

1 cos lU mgl

211 cos avec:

2 l l m lL T U J Mgl J J J

d L L

dt y y

sinl l lJ Mgl

23

Dynamique (4)

Soit un robot RR à deux degrés de liberté:


24

Dynamique (5)


25

Dynamique (6)


26

Dynamique (7)



27

On peut alors obtenir la dynamique par la méthode d’Euler-Lagrange pour chacun des liens:

Dynamique (8)


28

Sous forme matricielle:

Dynamique (9)


29

Sous forme matricielle (autre forme):

Dynamique (10)


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Nous savons désormais que la dynamique d’un robot manipulateur peut être obtenue à l’aide de la méthode d’Euler-Lagrange. Celle-ci peut s’exprimer sous la forme matricielle:

Quel genre de loi de commande pouvons-nous utiliser afin de régler le couple τ à appliquer à chacune des articulations?

Il y a plusieurs stratégies possibles, dépendament du contexte, dans le cadre du cours, nous verrons en particulier: PID axe par axe (joint par joint) PD avec compensation de la gravité Couple pré-calculé

On pourra discuter aussi des stratégies suivante, bien que ce ne soit pas matière à l’examen: Contrôle hybride force position et commande en impédance Commande adaptative

Commande des robots manipulateurs (1)


31

Commande des robots manipulateurs (2)PID axe par axe


32

Commande des robots manipulateurs (3)PID axe par axe


33

Commande des robots manipulateurs (4)PD avec compensation de gravité


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Commande des robots manipulateurs (5)Commande par couple pré-calculé (precomputed torque)

,D q q h q q g q

Loi de commande

Dynamique du robot

Commande non-linéaire d’un robot industriel à 6 DDL œuvrant sur une surface flexible

-Motivations

-Objectifs

-Étapes préliminaires (non présentées) et hypothèses simplificatrices

-Définition de la problématique

-Une étude basée sur la simulation...

École Polytechnique de MontréalELE6204 – Commande des systèmes non-linéairesJean-Philippe Roberge3 décembre 2009

1ère solution: Commande en impédance active [Anderson & Spong]

- Principe: Commander la relation entre la position de l’effecteur et l’effort transmis.

c dc c dc c dcW M B K

Où:dc d c

-Simulation de la commande par MATLAB / Simulink:

Simulation

2e solution: Commande hybride force-position [Khalil W.]- Principe: Asservir simultanément l’effort et la position.

- Note: Nb DDL robot nb DDL suivi traj. + nb DDL force désiré

1

2

( , ) Suivi de trajectoire

( , ) ( ) ( ) Suivi de traj. forceT

M F SW

M F J h I S W

- S est la matrice des axes contraints. Chaque joint qi travaille pour le suivi de trajectoire et le suivi de force.

Commande basée sur Lyapunov [Bolandi et al.]

( , ) ( , ) ( )m f gM q q V q q q F q q F q - Rappel: dynamique du robot non contraint:

- Forme de la commande basée sur Lyapunov: ( , ) ( , ) ( )r m r f gM q q V q q q F q q F q dK s

- Où:( )r d p d d p p rq q K q q q K q et s q K q q q ��

- Donc: ( , ) 0m dM q s V q q s K s

- Considérons le candidat de Lyapunov: 1( ) ( ) 0 0

2TV s s M q s s

1 1

0; 2 ( , ) Antisymétrique

1 1, ( )

2 21

2 ,2

T T T Td

T Td

M q V q q

dVV s M q s s M q s s M q M q V q q M q K s s M q s

dt

s K s s M q V q q s

Td-s K s < 0 s 0

- En vertu du 1er théorème de Lyapunov: s→0. Comme:

p ps x K x e K e ��

- Donc, puisque s→0, alors les erreurs de position et de vitesse tendent elles aussi vers 0.

Commande adaptative basée sur Lyapunov [Spong, Slotine]- Algorithme de Slotine et Li: Jumeler une commande basée sur

Lyapunov à une loi d’adaptation des paramètres dynamiques.

- Loi de commande (basée sur Lyapunov):

ˆ, , ,

ˆ ˆ ˆ( , ) ( ) ( , )

dr r

r m r g f r

K sq q q q p

M q q V q q q F q F q q

dK q - q

- Soit l’erreur sur l’estimation des paramètres dynamiques. Alors:

ˆp p p �

, , , , , , ( , ) ( , ) ( , ) ( )r r r r f d m f gq q q q p q q q q p F q q K s M q q V q q q F q q F q �

- Note: , , , ( , ) ( )r r r m r gq q q q p M q q V q q q F q

( ) ( , ) , , ,m d r rM q s V q q s K s q q q q p �- Alors la dynamique de s:

- Stabilité:1 1

Problématique

1( ) ( ( ) ) ( ) ( )

2T T T T T

dV s s M q s p p V s s K s p s �� p

- On peut éliminer le deuxième terme en choisissant une loi d’adaptation adéquate: Tp s �

- De sorte que: ( ) 0 0Td

tV s s K s s

Principe: 1) Identification des paramètres dynamiques du robot lors de la dynamique non contrainte.2) Conserver les paramètres dynamiques constants lors d’un contact.

Applications: - Robot dont la dynamique est en alternance non-contrainte / contrainte.- Robot dont la dynamique non-contrainte est dominante et précédente.

Simulation:

Commande hybride & commande adaptative basée sur Lyapunov

Résultats de la simulation

Références (utilisées lors de la présentation)[1] H. Bolandi, and S. M. Esmaeilzadeh, "Lyapunov-Based Nonlinear

Output Feedback Control of a Flexible Link.", 2009, pp. 397-404.

[2] École de technologie supérieure, "Systèmes robotiques en contact," 2009; http://www.gpa.etsmtl.ca/cours/sys827/index.html.

[3] B. Siciliano, and L. Villani, Robot Force Control, Boston: Kluwer Academic, 1999.

[4] W. Khalil, and É. Dombre, Modélisation, identification et commande des robots, 2 ed., Paris: Hermès Science, 1999.

[5] J.-J. E. Slotine, Applied Nonlinear Control, Englewood Cliffs, New Jersey Prentice Hall, 1991.

[6] M. W. Spong, and M. Vidyasagar, Robot Dynamics and Control, New York; Toronto: Wiley and Sons, 1989.

[7] R. J. Anderson, and M. W. Spong, “Hybrid impedance control of robotic manipulators,” Robotics and Automation, IEEE Journal of, vol. 4, no. 5, pp. 549-556, 1988.

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Au prochain cours…

C’est l’examen!

Je suis disponible pour vous rencontrer en personne si vous me donnez un 24h de pré-avis (au moins)

Disponible en tout temps par courriel, particulièrement dans les dernières heures avec l’examen.


Références

[1] Absolute Beginner’s Guide to Building Robots, Gareth Branwyn, 2003

[2] http://spectrum.ieee.org/automaton/robotics/robotics-software/10_stats_you_should_know_about_robots Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

[3] http://www.geekologie.com/2008/12/thats-it-im-moving-robotic-sta.php

[4] Robot Modeling and Control, Mark W. Spong et al.,2006.

[5] Notes de cours (Manipulateurs) - ELE4203, Richard Gourdeau, juillet 2012.


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