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Introduction à l’automatisation

-ELE3202-

Cours #6: Contrôleurs PD & à avance de phase, contrôleurs PI & à retard de phase

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Cours # 7

Conception de contrôleurs:

Contrôleurs PD (retour plus exhaustif sur la matière du dernier

cours)

Contrôleurs à avance de phase

Contrôleurs PI

Contrôleurs à retard de phase

Contrôleurs PID

Exercices restant des examens de pratique

2 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Cours #7

Rappel - Contrôleur de type P (I)


Il existe plusieurs outils de conception de contrôleurs ; nous utiliserons comme outil principal de design le lieu des racines.

Pour illustrer cette méthode, commençons par considérer le système ci-dessous: C(s) G(s)

Contrôleur Procédé

Avec:

(Contrôleur de type proportionnel)

1P

0.2 1

pC s K

ss s

Rappel - Contrôleur de type P (II)


Le contrôleur le plus simple est un contrôleur proportionnel, qui n’a qu’une seule constante K comme fonction de transfert. En particulier, il ne permet pas de modifier de façon indépendante

les valeurs de ζ et de ωn.

Ce dernier fait sera illustré par notre exemple.

Le polynôme caractéristique du système en boucle fermée est:

20.2 1

0.20.2 1

10.2 1

p

pc p

p p

K

Ks sT s P s s s K

K s s Ks s

Rappel - Contrôleur de type P (III)


Utilisons les règles d’Evans pour tracer le lieu des racines: Le point de départ des deux branches du lieu des racines

débute aux positions des pôles du système en boucle ouverte, donc en s1 = 0 et s2 = -5

Le centre de gravité des asymptotes sera:

Angles des asymptotes:

Points d’intersection:

1 1 5

2

n m

i ii i

p zs

n m

180=90 , 270 où h=1,3

h

n m

' 0 ' ' 0 0.4 1 0

12.5

0.4

N sdG s N s D s D s N s s

ds D s

s

Rappel - Contrôleur de type P (IV)


Angles de départ:

Pôle #1:

Pôle #2:

Angle de départ d'un pôle = 180

- Angles des vecteurs entre les pôles et le pôle en question

Angles des vecteurs entre les zéros et le pôle en question

L'angle d'arrivée à un zéro 180

Angles des vec

teurs entre les zéros et le zéro en question

Angles des vecteurs entre les pôles et le zéro en question

1 180 0 180A

2 180 180 0A

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-3

-2

-1

0

1

2

3Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Rappel - Contrôleur de type P (V)


Rappel – temps de réponse à 2%:

Dans l’exemple que nous venons d’étudier, à toute paire de pôles complexes qui se trouvent sur chacune des branches, il ne correspond qu’une même valeur de ζωn :

Si on augmente K de façon à s’éloigner de l’origine et ainsi augmenter la valeur de ωn, alors il faut forcément diminuer ζ par le même facteur.

2%

4s

n

T

Par conséquent, on se trouve dans l’impossibilité d’augmenter le temps de réponse du système!

Pour pouvoir mieux répondre aux diverses spécifications, il faut considérer des contrôleurs de formes plus générales (PI, PD ou PID).

Retour plus exhaustif sur la matière (I)

Contrôleurs PD et avance de phase


La fonction de transfert d’un contrôleur de type PD s’écrit comme suit:

Le terme Kp donne lieu à un composant de la commande qui est directement proportionnel à l’erreur.

Le terme Kds procure un composant qui est proportionnel à la dérivée de l’erreur.

Ce contrôleur PD ajoute à la fonction de transfert en boucle fermée un zéro à s = −1/τPD. Le lieu des racines correspondant à la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)P(s) = Kd(s + 11)P(s) est présenté à la figure suivante.

1 Où: D

p d d PDPD p

KC s K K s K s

K

Retour plus exhaustif sur la matière (II)



-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Retour plus exhaustif sur la matière (III)



Pour bien comprendre comment l’ajout du zéro modifie la forme du lieu, effectuons un bref rappel:

i) La relation d’amplitude:

ii) La relation d’angle:

Ce système de deux équations étant équivalent à l’équation originale, un point s se trouve sur le lieu des racines si et seulement s’il répond à ces deux équations.

1

1

11

m

iin

ii

s zKG s G s

Ks p

1 1

180 360 où =1,2,3,...m n

i ii i

G s s z s p k k

Retour plus exhaustif sur la matière (IV)



L’angle de G(s) étant donné par:

Soit la partie imaginaire de s positive, alors la contribution d’un terme (s− s0) est illustrée ci-dessous:

1 1

180 360 où =1,2,3,...m n

i ii i

G s s z s p k k

Étant donnée la forme de notre expression pour l’angle de G(s), on voit que les zéros apportent une contribution positive à l’angle pour un s à partie imaginaire positive, alors que les pôles y apportent une contribution négative. L’effet de l’ajout du contrôleur PD est donc d’apporter une contribution positive à l’angle de la fonction de transfert G(s):

Pour que la relation d’angle soit toujours remplie, la contribution des pôles doit devenir plus négative. On peut vérifier que ceci veut dire que le lieu se déplace vers la gauche et vers la partie négative de l’axe des réels. L’ajout d’un contrôleur PD permet donc d’obtenir des pôles en boucle fermée avec des rapports d’amortissement ζ augmentés pour une pulsation naturelle ωn donnée.

Retour plus exhaustif sur la matière (V)



1 1

180 360 où =1,2,3,...m n

i ii i

G s s z s p k k

Vérifions ce fait avec un petit exemple MATLAB...

Retour plus exhaustif sur la matière (VI)



Autre remarque: nous avons vu lors des derniers cours qu’il était possible, à l’aide du système normalisé de deuxième ordre;

de connaître très précisément les caractéristiques (dépassement, temps de réponse, etc…) de la réponse temporelle en fonction des paramètres ζ, ωn .

Or il se trouve qu’en ajoutant un contrôleur de type PD, nous ne pouvons plus vraiment nous fier aux formules que nous avions développées, puisqu’il est désormais impossible de mettre le système de deuxième ordre sous forme normalisée (dû au zéro du contrôleur).

2

2 22n

n

n

G ss

Retour plus exhaustif sur la matière (VII)



Par exemple, de l’exemple tirée des notes de cours:

Retour plus exhaustif sur la matière (VIII)



Retour plus exhaustif sur la matière (IX)



Retour plus exhaustif sur la matière (X)

Contrôleurs PD et avance de phase - Exemple


Considérons le système suivant:

En fermant la boucle:

On pourrait alors être tenté d’utiliser les relations du système normalisé de deuxième ordre, e.g.:

C(s) G(s)Contrôleur Procédé

2

Avec:

1 1 et = 1 (Contrôleur de type PD, K =K =1)2 3 d p D

PDG s C s K s s

s s

2

. . 2 2 2

1 311 , 2,4 43 4 2n

B F nn n

s KG s s K

s s s

2 2

0.75

1 1 0.75100% 100% 2.8375%P e e


19

Cela serait erroné, on ne peut négliger l’effet du zéro! Nous ne pouvons mettre un tel système sous forme normalisé du deuxième ordre:

Retour plus exhaustif sur la matière (XI)Contrôleurs PD et avance de phase - Exemple

2 2

111 2

3 4 3 4

ssys sys

s s s s

Retour plus exhaustif sur la matière (XII)

Contrôleurs PD et avance de phase - Exemple


En fait il faudrait plutôt se rapporter à la charte suivante:

2

2

2 2

1 4 143 4

1

2

32 , 2,3 4

Dépassement 35%

nn

n n

n

sT s

s s

sK

a

s s

a

Retour plus exhaustif sur la matière (XIII)



Retour plus exhaustif sur la matière (XIV)



Un contrôleur PD ne devrait pas être implanté sous la forme idéale K + Kds = Kd(s + 1/τPD). En effet, le module de la réponse fréquentielle de ce contrôleur est:

qui s’accroît sans borne en fonction de la fréquence ω. Un contrôleur avec cette fonction de transfert serait impossible à réaliser, et

amplifierait de façon excessive le bruit de mesure. Par conséquent, un contrôleur réel a souvent la forme d’un contrôleur avance de phase :

Noter que le module de la réponse fréquentielle d’un tel système tend vers αKA lorsque ω tend vers 0, et vers KA lorsque ω tend vers l’infini.

22

1p d d

PD

K K j K

11 1 où typiquement 20 31

AA

A

sK

s

Remarques:

Le pôle de ce contrôleur peut, tout comme le zéro, changer l’allure de la réponse temporelle du système, et rendre non valables les relations obtenues pour le système normalisé du deuxième ordre.

Pour que ces relations soient respectées, on essaie typiquement de faire en sorte que le zéro soit annulé, ou presque, par un pôle du système en boucle fermée, et que la partie réelle des pôles ayant les valeurs désirées de ζ et de ωn soit plusieurs fois plus petites (en valeur absolue, donc plus près de l’axe imaginaire) que celles de tout autre pôle du système en boucle fermée qui n’est pas annulé (ou presque) par un zéro.

Lorsque cette dernière condition est remplie, on dit que ces pôles ayant les valeurs désirées de ζ et ωn sont dominants, en ce sens qu’ils ont une influence dominante sur l’allure de la réponse en régime transitoire.

Retour plus exhaustif sur la matière (XV)



Observons ce phénomène à l’aide de l’applet Java de l’Université John Hopkins

Retour plus exhaustif sur la matière (XVI)

Design d’un contrôleur à avance de phase


Pour atteindre le comportement désiré en régime transitoire, on exploite l’analyse du système normalisé du deuxième ordre ainsi que la charte fournie pour le système du deuxième ordre avec zéro.

Comme nous l’avons vu auparavant, les spécifications du dépassement et du temps de réponse se traduisent en contraintes sur les paramètres ζ et ωn des pôles complexes du système en boucle fermée.

L’ajout au contrôleur du pôle s = −1/ατA a tendance à contrer l’effet du zéro, mais vu que le pôle se trouve à la gauche du zéro, sa contribution à l’angle de G(s) est plus faible en valeur absolue que celle du zéro. C’est la raison pour laquelle on nomme ce type de contrôleur à « avance de phase ».

Le contrôleur permet donc de déplacer le lieu du système dans le sens désiré et de choisir ainsi de meilleures combinaisons des paramètres ζ et ωn. Ce type de contrôleur est donc fort utile pour améliorer la réponse en régime transitoire d’un système.

Retour plus exhaustif sur la matière (XVII)



Le lieu des racines qui résulte de l’implantation d’un contrôleur avance de phase a été tracé en gardant constant le zéro −1/τA et le pôle −1/ατA et en faisant varier le gain KA:

Retour plus exhaustif sur la matière (XVIII)



Nous avons soulevé le point qu’un contrôleur à avance de phase permettait d’améliorer la réponse d’un système en régime transitoire. Cependant, il améliore aussi la réponse du système en régime permanent:

Dans tous les cas, on obtient des constantes d’erreurs directement proportionnelles à KA qui est un paramètre choisi par l’ingénieur (gain du contrôleur à avance de phase). Plus une constante d’erreur quelconque est grande, plus l’erreur en régime permanent sera petite.

0 0 0

0 0 0

1

Constante d'erreur de position: lim lim lim1

1

Constante d'erreur de vitesse: lim lim lim1

Constante d'erreur d'accélération:

Ap A As s s

A

Av A As s s

A

a

sK C s G s K G s K G s

s

sK sC s G s sK G s sK G s

s

K

2 2 2

0 0 0

1

lim lim lim1

AA As s s

A

ss C s G s s K G s s K G s

s

Retour plus exhaustif sur la matière (XIX)



Phase associée à un contrôleur à avance de phase:

Design d’un contrôleur à avance de phase (I)


Le design par le lieu des racines d’un contrôleur avance de phase se fait typiquement par une combinaison d’intuition et d’expérience. Ceci dit, les étapes suivantes devraient produire un contrôleur raisonnable dans un grand nombre de cas :

1. Trouver des valeurs de ζ et ωn qui, selon les formules développées pour le système normalisé du deuxième ordre, vérifient les spécifications de la réponse temporelle. Ceci détermine des valeurs d’une paire de pôles complexes:

Notre démarche sera basée sur l’hypothèse que ceux-ci seront les pôles dominants du système en boucle fermée — c’est-à-dire que le système de commande se comportera comme un système du deuxième ordre dont les pôles sont ceux là.

21d n ns j

Design d’un contrôleur à avance de phase (II)


2. Choisir le zéro −1/ατA du contrôleur avance de phase. Si ce zéro est à la gauche du point s

= −ωn, son effet sur la forme du lieu risque d’être trop petit, parce que l’angle (sd − (−1/ατA)),

où sd = −ζωn ± j*sqrt(1 − ζ2)ωn, sera trop petit. Par contre, s’il est trop proche de l’axe des

imaginaires, son effet sur le dépassement risque d’être trop important.

Idéalement, on éviterait l’effet indésirable du zéro sur le dépassement en plaçant

le zéro directement par dessus un pôle du procédé. Puisqu’en pratique cette annulation

ne sera pas parfaite, il est mieux de ne pas le faire en se servant d’un pôle qui est très

proche de l’origine (par rapport aux pôles désirés sd). S’il s’avère impossible de faire annuler

le zéro par un pôle du procédé, alors le zéro aura probablement un effet non négligeable sur

le dépassement (tel que nous l’avons démontré dans le cadre du dernier exemple). Dans ce

cas, il faut compenser en augmentant le rapport d’amortissement : l’abaque fourni devrait

être consulté afin de choisir une valeur appropriée pour ζ.

Design d’un contrôleur à avance de phase (III)


Design d’un contrôleur à avance de phase (IV)


4. Répéter des étapes au besoin afin de raffiner le design.

Puisque la valeur de l’angle est limitée, il est parfois nécessaire d’utiliser deux contrôleurs avance de phase en cascade. Dans ce cas, c’est la somme de leurs angles respectifs qui figure dans la relation d’angle.

Design d’un contrôleur à avance de phase (V)

Exemple


Exemple donné dans le récapitulatif:

Récapitulatif.pdf

Contrôleurs PI et à retard de phase (I)

Contrôleurs PI


Pour augmenter le type de contrôleur (et en ce faisant améliorer la

performance du système en tant que suiveur ainsi qu’en tant que régulateur),

il faut insérer dans la boucle un intégrateur.

Pourtant, l’ajout d’un pôle a l’effet opposé de l’ajout d’un zéro : il déplace le

lieu vers la droite et vers la partie positive de l’axe des réels.

Contrôleurs PI et à retard de phase (II)

Contrôleurs PI


Lieux des racines avec et sans intégrateur:

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

1 2

1

3 4G s

s s

-8 -6 -4 -2 0 2 4-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

1 2

1

3 4G s

s s s

Contrôleurs PI et à retard de phase (III)

Contrôleurs PI


Une des façons d’enrayer ce problème est d’ajouter non seulement le

pôle de l’intégrateur mais en même temps un zéro. Vu qu’une des

branches du lieu des racines se terminera dans ce zéro, le zéro doit se

trouver sur la partie négative de l’axe des réels. On introduit un tel zéro

en utilisant un contrôleur PI, soit un contrôleur avec fonction de

transfert:

Soit un procédé dont la fonction de transfert en boucle ouverte est:

1p

ip iip i

KsKK s KK

C s K Ks s s

1

0.2 1G s

s s

Contrôleurs PI et à retard de phase (IV)

Contrôleurs PI


En utilisant un contrôleur de type I, la fonction de transfert en B.F. est:

1

0.2 1G s

s s

3 2

1

0.2 1T s

s s

-20 -15 -10 -5 0 5 10-15

-10

-5

0

5

10

15Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Contrôleurs PI et à retard de phase (V)

Contrôleurs PI


Maintenant, en utilisant plutôt un contrôleur de type PI (en ajoutant ainsi un zéro dans la fonction de transfert) on obtient une fonction de transfert en boucle fermée : Ici:

1

0.2 1G s

s s

3 2

1

0.2 1

pi

i

p i

KK sK

T ss s K s K

2i

p

Kcte

K

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-6

-4

-2

0

2

4

6Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Contrôleurs PI et à retard de phase (VI)

Contrôleur à retard de phase


S’il s’agit simplement d’augmenter la constante d’erreur sans augmenter le type du système, il suffit d’utiliser un contrôleur retard de phase, soit de la forme suivante :

On remarque que la forme est exactement la même que celle du contrôleur à avance de phase. Cependant, puisque β est plus grand que 1, le pôle sera situé à droite du zéro. Par conséquent, la phase associée à ce contrôleur sera négative, d’où son nom « retard de phase »

Notez que lorsque β→∞, ce contrôleur tend vers un contrôleur PI

Évidemment, il est impossible d’augmenter le type du système avec un contrôleur retard de phase. Cependant, ce contrôleur permet souvent d’augmenter par un facteur important la constante d’erreur du système et ce, sans détériorer la transitoire.

1

, où 11

RR

R

sC s K

s

Contrôleurs PI et à retard de phase (VII)



Angle du contrôleur à retard de phase:

Considérons le même système que dans l’exemple précédent, i.e.:

Utilisons alors un contrôleur à retard de phase pour commander ce système, en boucle fermée on obtient:

1

0.2 1G s

s s

2

1

1 10.2

RR

RR R

K sT s

s s s K s

1

1 1 où >11

R

R R

R

sC s s s

s

Contrôleurs PI et à retard de phase (VIII)



En utilisant τR = 2 et β = 5:

2

1

1 10.2

RR

RR R

K sT s

s s s K s

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis Notez la ressemblance

avec le contrôleur de type PI

Contrôleurs PI et à retard de phase (IX)



Aussi, en ce qui a trait aux constantes d’erreur, tel que précédemment:

Alors on peut augmenter les constantes d’erreur autant que nécessaire en utilisant

un contrôleur retard de phase avec une valeur suffisamment élevée de βKR. En effet,

de tels contrôleurs sont typiquement utilisés pour augmenter la constante d’erreur

d’un système sans modifier sa réponse en régime transitoire.

0 0 0

0 0 0

1

Constante d'erreur de position: lim lim lim1

1

Constante d'erreur de vitesse: lim lim lim1

Constante d'erreur d'accélération:

Ap R Rs s s

A

Av R Rs s s

A

a

sK C s G s K G s K G s

s

sK sC s G s sK G s sK G s

s

K

2 2 2

0 0 0

1

lim lim lim1

AR Rs s s

A

ss C s G s s K G s s K G s

s

Contrôleurs PI et à retard de phase (X)

Contrôleur à retard de phase : lieu des racines


Contrôleurs PI et à retard de phase (XI)

Contrôleur à retard de phase : Effet de son zéro &

pôle


Une des branches du lieu des racines se terminera dans le zéro du contrôleur. Vu

que ce zéro se trouve relativement proche de l’origine, il y aura un pôle du

système en boucle fermée qui sera situé très près de l’origine. On s’attendrait à

ce que ceci ralentisse la réponse du système. Mais dans le cas du système

suiveur, la fonction de transfert est donnée par:

Par conséquent, le zéro du contrôleur est aussi un zéro du système suiveur. Ce

zéro a tendance à annuler l’effet indésirable du dit pôle sur la réponse du système

suiveur.

1suiveur

C s P sT s

C s P s

Contrôleurs PI et à retard de phase (XIII)

Contrôleur à retard de phase : Effet de son zéro &

pôle


Par contre, si une perturbation vient s’ajouter à la commande u, alors la fonction de

transfert du système régulateur est donnée par:

Le pôle qui se situe près de l’origine (dû au zéro du contrôleur) n’est donc pas annulé

par le zéro de C(s), car ce zéro n’est pas un zéro du système régulateur! Par

conséquent, ce pôle risque de ralentir la réponse du système régulateur, et de faire en

sorte que des perturbations puissent venir provoquer des transitoires de longue durée.

Pour cette raison, il est important de ne pas utiliser une valeur de 1/R plus petite que

nécessaire. Il s’agit donc de faire un compromis entre la détérioration de la réponse en

régime transitoire du système suiveur d’une part (détérioration due au déplacement du

lieu des racines) et du système régulateur de l’autre part.

1régulateur

P sT s

C s P s

Contrôleurs PI et à retard de phase (XII)

Conception des contrôleurs à retard de phase


Contrôleurs PI et à retard de phase (XIII)

Exemple


Contrôleurs PI et à retard de phase (XIV)

Exemple


Contrôleurs PI et à retard de phase (XV)

Exemple


-15 -10 -5 0 5 10-15

-10

-5

0

5

10

15Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Contrôleurs PI et à retard de phase (XVI)

Exemple


Contrôleurs PI et à retard de phase (XVII)

Exemple


-20 -15 -10 -5 0 5-15

-10

-5

0

5

10

15Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Contrôleurs PI et à retard de phase (XVIII)

Exemple


Contrôleurs PI et à retard de phase (XIX)

Exemple


Contrôleurs PI et à retard de phase (XX)

Exemple


Contrôleurs PI et à retard de phase (XXI)

Exemple


Contrôleurs PI et à retard de phase (XXII)

Exemple


-4 -3 -2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Contrôleurs PI et à retard de phase (XXIII)

Exemple


Les pôles pour KA * KR = 24:

Contrôleurs PI et à retard de phase (XXIV)

Exemple


Contrôleurs PI et à retard de phase (XXV)

Exemple


Time (sec)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: sysPeak amplitude: 1.29Overshoot (%): 28.8At time (sec): 2.01

Contrôleurs PI et à retard de phase (XXVI)

Exemple


Contrôleurs PI et à retard de phase (XXVII)

Exemple


Les pôles pour KA * KR = 24

Contrôleurs PI et à retard de phase (XXVIII)

Exemple


61

Contrôleurs PI et à retard de phase (XXVIX)

Exemple


Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Contrôleurs PI et à retard de phase (XXX)

Exemple


Time (sec)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


64

Contrôleurs PI et à retard de phase (XXXI)Exemple

Contrôleur PID (I)


Exercices

Exercices (I)



68

Exercices (II)

Exercices (III)


69


70

Exercices (IV)

Références

71

[1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop

[2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise

[3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

[4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh


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