résumés de cours révision rapide et efficace exercices ... · ils seront utiles pour une...

Conc

eptio

n gra

phiqu

e : P

rimo&

Prim

o

David DELAUNAY, ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan, est professeur agrégéde mathématiques en classes préparatoires au lycée Dupuy de Lôme de Lorient.

Collection dirigée par Olivier RODOT

Cet ouvrage propose 336 exercices d’analyse regroupés par chapitre et accompagnés de résumés de cours. Il est destiné aux élèves de CPGE scientifiques de première année en filière MPSI. Il pourra aussi inté-

resser les étudiants préparant le CAPES de mathématiques.Les résumés de cours présentent de façon synthétique les définitions et les théorèmes conformément au programme de la filière. Ils seront utiles pour une révision rapide et efficace et pourront servir de formulaire.

Les exercices proposés sont de niveaux variés et regroupés en trois catégories :• les exercices d’apprentissage permettent l’acquisition des fondamentaux du cours ;• les exercices d’entraînement conduisent à la maîtrise des concepts du chapitre ;• les exercices d’approfondissement invitent les étudiants à une recherche plus

fouillée par la mise en résonance de notions présentées dans différents chapitres.

Les corrections des exercices sont détaillées pas à pas et accompagnées de méthodes mettant en lumière les démarches suivies et les idées récurrentes.

• des résumés de cours• des méthodes• 336 exercices de niveaux variés• des corrigés très détaillés• strictement conforme au programme offi ciel

www.deboecksuperieur.com

Exer

cice

s d’

anal

yse

David Delaunay

Exercices d’analyse

MPSI

résumés de coursméthodes3 niveaux d’exercices :

• apprentissage• entraînement• approfondissement

corrigés détaillés pas à pas

k

k

k

k

LES +

MPSI

I S B N : 9 7 8 - 2 - 8 0 7 3 - 0 6 2 3 - 3 Dav

id

Del

auna

y

© De Boeck Supérieur s.a., 2017 1ère édition, 2017 Rue du Bosquet, 7 B-1348 Louvain-la-Neuve 1er tirage, 2017

Tous droits réservés pour tous pays.Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par pho-tocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.

Imprimé aux Pays-Bas.

Dépôt légal : Dépôt légal France : juin 2017 Dépôt légal Belgique : 2017/13647/089 ISBN : 978-2-8073-0623-3

Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboecksuperieur.com

La pratique d’exercices est essentielle à l’apprentissage du cours de mathématiques : iln’est pas de meilleure façon de mémoriser et de comprendre un théorème que d’en faireusage !

Cet ouvrage regroupe sur 11 chapitres 336 exercices portant sur le programme d’analyseen classe de MPSI. Il respecte strictement le programme en cours et vient compléterl’ouvrage d’algèbre et probabilités que l’on retrouvera dans la même collection.

Chaque chapitre commence par un rappel des principales définitions et des résultatsessentiels du cours. Il se poursuit avec des exercices aux corrigés détaillés regroupés surtrois niveaux :

— Les exercices d’apprentissage servent à l’acquisition des concepts fondamentaux ducours. Ce sont souvent des sujets faciles où j’ai choisi volontairement de ne fairefigurer que peu de technicité.

— Les exercices d’entraînement permettent de poursuivre l’acquisition du cours, troisniveaux d’étoiles servent à anticiper leur difficulté. Ces sujets ont été choisis pourleur intérêt, leur classicisme ou ont été inspirés par des questions rencontrées auxécrits et aux oraux des différents concours.

— Les exercices d’approfondissement sont les plus ambitieux, ils nécessitent souvent depasser par une phase de recherche ou entrent en résonance avec d’autres chapitresdu programme. Ces sujets sont inspirés de questions rencontrées aux concours lesplus ambitieux.

Les corrections des exercices sont accompagnées de méthodes. Celles-ci servent à soulignerles idées récurrentes ou bien à mettre en exergue la démarche qui va être suivie pourrésoudre la question posée. Le lecteur pourra prendre appui sur celles-ci pour amorcerune résolution ou pour reprendre la main lors de sa lecture d’une correction. Afin d’aiderle lecteur dans son étude, il est fait référence aux théorèmes utilisés lors de leurs premiersusages. Les notes de bas de pages complètent les résolutions en présentant des démarchesalternatives ou font le lien avec d’autres sujets présents dans l’ouvrage.

Je remercie vivement Olivier Rodot d’avoir initié ce projet, François Pantigny pourson expertise TeXnique et Pierrick Soleillant pour sa relecture attentive ainsi que lescorrections apportées.

Je dédicace cet ouvrage à mon fils Noé.

David Delaunay

CHAPITRE 1

Nombres et fonctions réelles

1.1 Les nombres réels

1.1.1 Les ensembles de nombres remarquablesLes nombres naturels 0, 1, 2 . . . forment l’ensemble N.Les nombres entiers (relatifs) 0, 1,−1, 2,−2, . . . forment l’ensemble Z.Les nombres rationnels (p/q avec p ∈ Z et q ∈ N∗) forment l’ensemble Q.Parmi les nombres rationnels, figurent les nombres décimaux (p/10k avec p ∈ Z et k ∈ N)constituant l’ensemble D.Ces nombres ne suffisent pas aux mathématiques modernes car il émerge naturellementdes nombres irrationnels tels

√2 ou π. Cela motive l’introduction des nombres réels.

1.1.2 Le corps des réelsL’ensemble R des nombres réels est muni d’une opération d’addition « + » vérifiant pourtous les réels a, b, c :

a+ b = b+ a commutativité(a+ b) + c = a+ (b+ c) associativité0 + a = a 0 est élément neutre

De plus, pour tout réel a, il existe 1 un réel a′ unique tel que a + a′ = 0. Ce réel a′ estnoté −a et cela permet de définir l’opération de soustraction « − ».

1. On dit que tout réel admet un opposé.

4 Chapitre 1. Nombres et fonctions réelles

L’ensemble R est aussi muni d’une opération de multiplication « × » vérifiant pour tousles réels a, b, c :

ab = ba commutativité(ab)c = a(bc) associativité1× a = a 1 est élément neutrea(b+ c) = ab+ ac distributivité sur +

De plus, pour tout réel a non nul, il existe 1 un réel a′ unique tel que aa′ = 1. Ce réel estnoté 1/a et cela permet de définir l’opération de division « / ».Ces différentes propriétés calculatoires font de R un corps 2 de neutres 0 et 1.

1.1.3 La droite réelleL’ensemble R est muni d’une relation d’ordre total 6 qui permet d’apparenter cet en-semble à une droite.

R∙0

∙1

∙√2

∙𝜋

∙e

La relation d’ordre 6 est compatible avec les opérations d’addition et de multiplicationdans le sens où, pour tous les réels a, b, c,

a 6 b =⇒ a+ c 6 b+ c

a > 0 et b > 0 =⇒ ab > 0

Ces propriétés « minimalistes » suffisent à retrouver les propriétés calculatoires classiquescomme par exemple

a 6 b =⇒ −b 6 −aa 6 b et c > 0 =⇒ ac 6 bc.

1.1.4 Partie minorée, partie majoréeDéfinition

Une partie A de R est dite minorée (resp. majorée) s’il existe un réel M pour lequela > M pour tout a de A (resp. a 6 M). On dit alors que M est un minorant de lapartie A (resp. un majorant).

Une partie de R à la fois minorée et majorée est dite bornée.Définition

Un majorant d’une partie A qui appartient à celle-ci s’appelle un maximum (ou unplus grand élément) de la partie A. Lorsqu’il existe, un tel élément est unique, on lenote max(A).

1. On dit que tout réel non nul est inversible. Cette propriété ne valant que pour les réels non nuls,on prend toujours garde à ne pas diviser par 0 !

2. Ce concept est présenté dans la section 4.3 du chapitre 4 de l’ouvrage Exercices d’algèbre et deprobabilités MPSI dans la même collection.

1.1 Les nombres réels 5

Mutatis mutandis 1, un minorant d’une partie A qui appartient à celle-ci se nomme unminimum (ou un plus petit élément). Lorsqu’il existe, un tel élément est unique et se notemin(A).

1.1.5 La propriété de la borne supérieureDéfinition

On appelle borne supérieure 2 d’une partie A de R, lorsqu’elle existe, le plus petit desmajorants de A. Celle-ci est notée sup(A).

Si une partie admet un plus grand élément, autrement dit un maximum, celui-ci est bornesupérieure de la partie. En revanche, une partie peut admettre une borne supérieure sansque celle-ci en soit élément 3.La droite réelle se distingue de l’ensemble Q des nombres rationnels par la propriété ditede la borne supérieure :

Théorème 1Toute partie de R non vide et majorée admet une borne supérieure.

Aussi, et sous réserve d’existence, on définit la borne inférieure 4 inf(A) d’une partie Ade R comme étant le plus grand des minorants de A. Il suffit qu’une partie de R soit nonvide et minorée pour admettre une borne inférieure. Cette dernière n’est élément de lapartie que s’il s’agit d’un minimum.

1.1.6 La valeur absolueDéfinition

On définit la partie positive x+ et la partie négative x− d’un réel x par

x+ =

{x si x > 0

0 sinonet x− =

{0 si x > 0

−x sinon.

DéfinitionOn définit la valeur absolue d’un réel x par

|x| = x+ + x− =

{x si x > 0

−x sinon.On vérifie que la valeur absolue d’un réel est nulle si, et seulement si, ce réel est nul etque la valeur absolue d’un produit est le produit des valeurs absolues. Aussi :

1. Locution latine signifiant « En modifiant ce qui doit être changé ».2. On parle aussi de supremum.3. Une borne supérieure est un majorant qui « touche » la partie. Elle ne lui appartient que s’il s’agit

d’un maximum.4. ou infimum.


Théorème 2 (Inégalité triangulaire)Pour tous x et y réels, on a |x+ y| 6 |x|+ |y| avec égalité si, et seulement si, x et yont le même signe.

La valeur absolue permet de mesurer la distance d’un réel à 0.

R∙0

∙𝑥

|𝑥|

∙𝑦

|𝑦|

Plus généralement, |y − x| définit la distance séparant deux réels x et y.

R∙0

∙𝑥

|𝑦 − 𝑥|

∙𝑦

1.1.7 La fonction partie entièreDéfinition

On appelle partie entière d’un réel x le plus grand entier inférieur ou égal à x. Celui-ciest noté ⌊x⌋.

La partie entière d’un réel x apparaît comme l’unique n ∈ Z vérifiant l’encadrement 1

n 6 x < n+ 1.

La fonction partie entière est croissante : pour x, y ∈ R

x 6 y =⇒ ⌊x⌋ 6 ⌊y⌋ .

1.1.8 Congruence réelleSoit α un réel strictement positif.Définition

On dit qu’un réel x est congru à un réel y modulo α s’il existe un entier k dans Z telque x = y + kα. On note alors x ≡ y [α].

La congruence modulo un réel strictement positif α définit une relation d’équivalence 2

sur R compatible avec les opérations additives :

Théorème 3Si x, x′, y et y′ sont des réels tels que x ≡ y [α] et x′ ≡ y′ [α] alors x+x′ ≡ y+y′ [α]et −x ≡ −y [α].

1. L’encadrement x− 1 < n 6 x est équivalent.2. C’est-à-dire une relation réflexive, symétrique et transitive voir : la section 1.4 du chapitre 1 de

l’ouvrage Exercices d’algèbre et de probabilités MPSI.

1.1 Les nombres réels 7

La multiplication par un réel nécessite la multiplication du module de congruence :

x ≡ y [α] =⇒ ∀λ ∈ R∗+, λx ≡ λy [λα] .

Tout réel est congru modulo α à un unique réel de [0 ;α[ en vertu du résultat suivant :

Théorème 4 (Division euclidienne réelle)Pour tout x ∈ R, il existe un unique couple (q, r) ∈ Z× [0 ;α[ tel que x = qα+ r.

1.1.9 Les intervallesDéfinition

En plus de R et ∅, on appelle intervalle de R les ensembles qui suivent (décrits àpartir de a et b deux réels vérifiant a 6 b) :

— les intervalles fermés : [a ; b] ={x ∈ R

∣∣ a 6 x 6 b}

[a ; +∞[ ={x ∈ R

∣∣ a 6 x}

et ]−∞ ; a] ={x ∈ R

∣∣ x 6 a}

— les intervalles ouverts : ]a ; b[ ={x ∈ R

∣∣ a < x < b}

]a ; +∞[ ={x ∈ R

∣∣ a < x}

et ]−∞ ; a[ ={x ∈ R

∣∣ x < a}

— les intervalles semi-ouverts : [a ; b[ ={x ∈ R

∣∣ a 6 x < b}

et ]a ; b] ={x ∈ R

∣∣ a < x 6 b}

En particulier, les intervalles [a ; b] sont aussi appelés segments de R.

Théorème 5Une partie I de R est un intervalle si, et seulement si, elle satisfait la propriété :

∀(a, b) ∈ I2, a < b =⇒ [a ; b] ⊂ I.

Les intervalles de R correspondent aux parties « sans trous ». En particulier, R∗ n’estpas un intervalle de R.

Théorème 6Tout intervalle ouvert non vide de R contient des nombres rationnels et des nombresirrationnels.

1.1.10 La droite numérique achevéeOn forme un nouvel ensemble noté R en adjoignant à la droite réelle deux nouveauxéléments notés +∞ et −∞.


DéfinitionL’ensemble R est appelée droite numérique achevée.

On prolonge partiellement l’addition à R en posant pour tout x réel

x+ (+∞) = +∞ x+ (−∞) = −∞(+∞) + (+∞) = +∞ (−∞) + (−∞) = −∞

On prolonge partiellement la multiplication à R en posant pour tout x réel

x× (+∞) =

{+∞ si x > 0

−∞ si x < 0x× (−∞) =

{−∞ si x > 0

+∞ si x < 0

(+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞ (−∞)× (+∞) = (+∞)× (−∞) = −∞

Certaines opérations ne sont pas définies, ce sont les formes indéterminées :

« (+∞) + (−∞) »,« 0× (+∞)», . . .

Enfin, on prolonge la relation d’ordre 6 à R en posant pour tout réel x

−∞ 6 x, x 6 +∞ et −∞ 6 +∞.

1.2 Fonctions réelles

1.2.1 DéfinitionSoit X une partie de R (généralement un intervalle).Définition

Une fonction réelle f définie X est une application au départ de X et à valeursdans R :

f : X ⊂ R→ R.Les fonctions réelles sont fréquemment présentées en décrivant comment est calculée lavaleur f(x) à partir de la variable x. Ceci se fait en écrivant

f(x) = . . . ou f : x 7→ . . .

Dans la description d’une fonction, la variable joue un rôle muet : il arrive qu’on lafigure seulement par un point. Ainsi, | · | désigne la fonction valeur absolue tandis que√. désigne la fonction racine carrée.

DéfinitionOn dit qu’une fonction définie sur X est constante s’il existe λ ∈ R vérifiant f(x) = λpour tout x de X. Cette fonction est alors dite constante égale à λ et est souventsimplement notée λ.

Par exemple, la fonction nulle est la fonction constante égale à 0.

1.6 Exercices d’approfondissement 37

Poursuivons par l’extension de l’identité f(x) = ax aux nombres rationnels. Soit x ∈ Q.On peut écrire x = p/q avec p ∈ Z et q ∈ N∗. Comme lors de la récurrence ci-dessus, onpeut montrer f(nx) = nf(x) pour tout naturel n. En particulier, pour n = q, il vient

f(p) = f(qx) = qf(x).

Or on a aussi f(p) = ap et donc f(x) = ap/q = ax.méthode

On exploite la croissance de f pour étendre l’identité f(x) = ax des rationnelsaux réels.

Soit x un réel. On peut encadrer x par des rationnels voisins grâce à la fonction partieentière. Pour tout naturel n non nul

⌊nx⌋n

6 x <⌊nx⌋+ 1

n.

Par la croissance de la fonction f , on a

a⌊nx⌋n

= f

(⌊nx⌋n

)6 f(x) 6 f

(⌊nx⌋+ 1

n

)= a⌊nx⌋+ 1

n.

Lorsque n tend vers l’infini, les deux membres de cet encadrement tendent vers ax et donc,par passage à la limite des inégalités larges (Th. 4 p. 231), on obtient ax 6 f(x) 6 ax.On conclut f(x) = ax.

Exercice 30 *** (Approximation de Dirichlet)Soit x un nombre irrationnel.Montrer qu’il existe une infinité de couples (p, q) ∈ Z× N∗ vérifiant∣∣∣∣x− p

q

∣∣∣∣ 6 1

q2.

Solutionméthode

Pour tout N ∈ N∗, on montre qu’il existe p ∈ Z et q ∈ J1 ;NK tels que∣∣∣∣x− p

q

∣∣∣∣ 6 1

qN.

Soit N ∈ N∗. Considérons la fonction

f :

{ J0 ;NK→ [0 ; 1[k 7→ kx− ⌊kx⌋.

Celle-ci est définie sur un ensemble possédant N + 1 éléments et prend N + 1 valeursdistinctes car le réel x est irrationnel 1.

1. En effet, s’il existe k et ℓ distincts dans J0 ;NK tels que f(k) = f(ℓ), on peut affirmer x = p/q avecp = ⌊ℓx⌋ − ⌊kx⌋ et q = k − ℓ.


L’intervalle [0 ; 1[ peut être découpé en N intervalles disjoints de longueur 1/N :

[0 ; 1/N [, [1/N ; 2/N [, . . . , [(N − 1)/N ; 1[.

Au moins deux des valeurs prises par f appartiennent à un même 1 intervalle parmiceux listés ci-dessus. Notons k < ℓ deux valeurs de J0 ;NK pour lesquelles f(k) et f(ℓ)figurent dans le même intervalle. On a∣∣f(ℓ)− f(k)∣∣ 6 1

N.

En posant q = ℓ− k ∈ J1 ;NK et p = ⌊ℓx⌋ − ⌊kx⌋ ∈ Z, on obtient∣∣∣∣x− p

q

∣∣∣∣ 6 1

Nq6 1

q2.

Ceci détermine un premier couple (p, q) solution mais permet aussi d’en construire uneinfinité ! En effet, si (p1, q1), . . . , (pn, qn) sont des premiers couples solutions, on peut endéterminer un nouveau en choisissant N tel que

1

N< min

{∣∣∣∣x− p1q1

∣∣∣∣︸︷︷︸>0

, . . . ,

∣∣∣∣x− pnqn

∣∣∣∣︸︷︷︸>0

}car x /∈ Q.

1. Cette idée se nomme le principe des tiroirs : si n + 1 chaussettes sont réparties dans n tiroirs, ilexiste au moins un tiroir contenant deux chaussettes !

Table des matières

1 Nombres et fonctions réelles 31.1 Les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Bornes supérieures, bornes inférieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Bornes supérieures, bornes inférieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6 Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Fonctions usuelles 392.1 Fonction bijective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Puissances et logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Puissances, exponentielle et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

426 Table des matières

Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.7 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Puissances, exponentielle et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


3 Les nombres complexes 833.1 Généralités sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3 Fonctions complexes d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.4 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Module, argument, conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.5 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Inégalités dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112


4 Calcul de primitives et d’intégrales 1214.1 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.2 Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.3 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Calculs d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.4 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Calculs d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146


5 Équations différentielles linéaires 1555.1 Équations linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.2 Équations du second ordre à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . 1575.3 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Équations linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Équations linéaires du second ordre à coefficients constants . . . . . . . . 162

5.4 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Table des matières 427

Équations linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Équations linéaires du second ordre à coefficients constants . . . . . . . . 173Problèmes liés à la résolution d’une équation différentielle . . . . . . . . . 180


6 Suites numériques 1876.1 Les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.2 Limite d’une suite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.3 Comportement des suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.4 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.5 Traductions séquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.6 Extension aux suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.7 Suites remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.8 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Convergence et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Limites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.9 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Définitions quantifiées des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Limites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Études de limites par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Études des suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216


7 Limites et continuité 2297.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2337.3 Extension aux fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2357.4 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

7.5 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Théorème des bornes atteintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Équations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250


428 Table des matières

8 Dérivabilité 2578.1 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578.2 Théorème de Rolle et des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 2588.3 Classe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2608.4 Extension aux fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2618.5 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262Théorème de Rolle et des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 265Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8.6 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Calculs de dérivée n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279


9 Calcul asymptotique 2899.1 Comparaisons des suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2899.2 Comparaisons des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2929.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2959.4 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Comparaisons de suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Comparaisons de fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Calculs de développements limités et asymptotiques . . . . . . . . . . . . 307

9.5 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Études asymptotiques de suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Études asymptotiques de fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . 319


10 Intégration sur un segment 33310.1 Définition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33310.2 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33610.3 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33910.4 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344Intégration des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

10.5 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350Croissance et positivité de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353Limites d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Fonctions dont la variable définit une borne d’intégration . . . . . . . . . 363Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Table des matières 429


11 Séries numériques 38111.1 Généralités sur les séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38111.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38411.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38511.4 Exercices d’apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

Natures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386Calculs de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389Étude asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

11.5 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Calculs de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398Lien suite-série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402Comparaison série-intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407


Collection Prépas scientifiques

Dirigée par Olivier Rodot

C. ANTONINI, Algèbre MP/MP*

N. BASBOIS et P. ABBRUGIATI, Algèbre MPSI/PCSI, 2e édition

G. COSTANTINI, Analyse MPSI/PCSI, 2e édition

K. DAO DUC et D. DELAUNAY, Probabilités

D. DELAUNAY, Exercices d’analyse MP/MP*

D. DELAUNAY, Exercices d’analyse MPSI

D. DELAUNAY, Exercices d’algèbre et de probabilités MP/MP*

D. DELAUNAY, Exercices d’algèbre et de probabilités MPSI

O. RODOT, Analyse MP/MP*

Chez le même éditeur

T. RIBEYRE, Chimie PC/PC*

M.-A. SCHOTT, J. VALENTIN, G. MAGADUR, S. CLÈDE, A.-L. LEFEVRE,

A. ALTMAYER-HENZIEN, Chimie PCSI/MPSI

Conc

eptio

n gra

phiqu

e : P

rimo&

Prim

o

David DELAUNAY, ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan, est professeur agrégéde mathématiques en classes préparatoires au lycée Dupuy de Lôme de Lorient.

Collection dirigée par Olivier RODOT

Cet ouvrage propose 336 exercices d’analyse regroupés par chapitre et accompagnés de résumés de cours. Il est destiné aux élèves de CPGE scientifiques de première année en filière MPSI. Il pourra aussi inté-

resser les étudiants préparant le CAPES de mathématiques.Les résumés de cours présentent de façon synthétique les définitions et les théorèmes conformément au programme de la filière. Ils seront utiles pour une révision rapide et efficace et pourront servir de formulaire.

Les exercices proposés sont de niveaux variés et regroupés en trois catégories :• les exercices d’apprentissage permettent l’acquisition des fondamentaux du cours ;• les exercices d’entraînement conduisent à la maîtrise des concepts du chapitre ;• les exercices d’approfondissement invitent les étudiants à une recherche plus

fouillée par la mise en résonance de notions présentées dans différents chapitres.

Les corrections des exercices sont détaillées pas à pas et accompagnées de méthodes mettant en lumière les démarches suivies et les idées récurrentes.

• des résumés de cours• des méthodes• 336 exercices de niveaux variés• des corrigés très détaillés• strictement conforme au programme offi ciel

www.deboecksuperieur.com

Exer

cice

s d’

anal

yse

David Delaunay

Exercices d’analyse

MPSI

résumés de coursméthodes3 niveaux d’exercices :

• apprentissage• entraînement• approfondissement

corrigés détaillés pas à pas

k

k

k

k

LES +

MPSI

I S B N : 9 7 8 - 2 - 8 0 7 3 - 0 6 2 3 - 3 Dav

id

Del

auna

y

résumés de cours révision rapide et efficace exercices ... · ils seront utiles pour une...

Documents