resumé probabilité part1

8/17/2019 Resumé Probabilité Part1

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Résumé Des ProbabilitésS3

Mohamed BARRADI

25/11/2013


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1 Théorie des Ensembles : 1

1 Théorie des Ensembles :

1.1 Intérprétation :

– A [ B En probabilité : Soit A se réalise , soit B ,soit les deux. Donc aumoins un des événements se réalise.

– A\B En probabilité : A et B doivent se réalisé. Donc les deux événementsdoivent se réalisé si un manque alors A \B n’est pas réalisé .

– A En Probabilité : L’evenement A ne se réalise pas.

1.2 Relations Générales :

– A [B = A \B et A \B = A [B :– A [ (B \C ) = (A [ B) \ (A [C )

– A \ (B [C ) = (A \ B) [ (A \C )– A \ (B \C ) = (A \ B) \ (A \C ) = A \B \C:

2 Dénombrement :

Le dénombrement se base sur la notion de calculer le Card d’un evenementquelquonque, et en 1er temps celui de (Univers de tout les cas possibles).

2.1 Principe fondamental du dénombrement :

Ce principe est la base du dénombrement, ça veut dire q’uon peut l’utilisé

dans n’importe quel evenement, il faut juste bien intérprété l’evenement etle comprendre correctement.

Voilà ce qu’il dit ce principe :

Pour calculer le cardinal d’une experience constituer de p événements suc-cessifs, il su¢t de savoir le cardinal de chaque événement et faire le produitdes cardinals.

D’autre thermes : Si on a E 1; E 2;::::;E p des evénements successifs tel quecard (E 1) = n1; card (E 2) = n2; ::::; card (E p) = n p

Alors

= E 1 E 2 :::: E p

card() = n1 n2 :::: n p


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2 Dénombrement : 2

Exemple 1 On lance un dé bien équilibré (6 faces) 3 fois, alors on a 3 lancés (L1; L2 et L3) successifs et chaque lancé peut avoir 6 valeurs (1,2,..,6)

Alors = L1 L2 L3 = (1; 2;::; 6) (1; 2;::; 6) (1; 2;::; 6) = (1; 2;::; 6)3

et card() = 6 6 6 = 63 = 216

Remarque 2.1 Faire attention : Il y a une di¤érence entre et le card():

2.2 Relations Générales :

– Card(AB) = Card(A) Card(B):– Card(A) = Card() Card(A):– Card(A [B) = Card(A) + Card(B) Card(A \B):– Card() = 1 et Card(?) = 0

2.3 Régles de Dénombrement :

Pour calculer le cardinal de ou d’un événement A qui est inclu dans (A ); Alors on doit procéder par la méthode suivante :

1. Bien Lire l’énoncé : ça veut dire noter chaque information dans ceténoncé.

2. Comprendre l’éxpérience :

(a) Savoir est ce que l’expérience est simultanée ou successive ça

concerne l’importance d’ordre (Simultanée : Une seule fois/ Ordren’est pas important) (Successive : Plusieurs fois/Ordre impor-tant).

(b) Faire un description des événements et traduire chaque mots cor-rectement.

(c) Calculer le Cardinal.

– Dans une experience successive, on parle de l’ordre, c’est quoi l’ordredonc?!L’ordre tout simplement c’est les pérmutation possible.

Exemple 2 On lance un dé bien équilibré (6 faces) 3 fois, combient de cas possible existe telque la somme des 3 lancés égale à 6 ?


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2 Dénombrement : 3

On va suivre les étapes quand à décrit :

1)- Dé de 6 faces ; Lancé 3 fois (plusieurs fois = Successif , Ordre imprtant) ;

L1 + L2 + L3 = 6:

2)- Soit L1 donne i et L2 donne j et L3 donne k ) S = i + j + k = 6:

3)- Pour obtenir S on a : (2; 2; 2) ou (1; 2; 3) ou (1; 1; 4) mais l’ordre estimportant donc on va chercher toutes pérmutations de ces triplets

Combien de fois on (2; 2; 2) ou (1; 2; 3) ou (1; 1; 4)?

Pour le savoir on utilise la notion des pérmutations suivante :

Dans une experience où on cherche à classer des éléments (pérmu-ter, ordonner) on utilise

n!

n1! n2! :::: nn!:

– Dans (2; 2; 2) on a 3 éléments avec le 2 qui se répéte 3 fois, donc on a3!

3! = 1 fois ce triplet.

– De même pour (1; 2; 3) on a 3 éléments avec le 1,2 et 3 qui se répéte une

fois pour chacun, donc on a 3!

1!1!1! = 3! = 6 fois ce triplet..

– De même pour (1; 1; 4) on a 3 éléments avec le 1 qui se répéte deux fois et

le 4 une seule fois, donc on a

3!

2!1! = 3 fois ce triplet.

Donccard(S ) = 1 + 6 + 3 = 10

Exemple 3 Cette On lance un dé bien équilibré (6 faces) une fois, combient de cas possible existe telque la somme des 3 lancés égale à 6 ?

On va suivre les étapes quand à décrit :

1)- Dé de 6 faces ; Lancé une fois (une seule fois = Simultané , Ordre n’est

pas imprtant) ; L1 + L2 + L3 = 6:

2)- Soit L1 donne i et L2 donne j et L3 donne k ) S = i + j + k = 6:


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3 Calcul de Probabilité : 4

3)- Pour obtenir S on a : (2; 2; 2) ou (1; 2; 3) ou (1; 1; 4) mais l’ordre n’est pasimprtant donc on a juste ces 3 triplet.

Donccard(S ) = 1 + 1 + 1 = 3

3 Calcul de Probabilité :

3.1 Comment calculer ?

Pour calculer la probabilité, on peut utilisé soit la notion de cadinal ou lanotion de probabilité. mais la question qui se pose : Quand on utilise le

Cardinal et quand on utilise la notion de probabilité ?

1. Pour utilisé la notion de cardinal dans le cas d’Equiprobabilité, c’està dire :

Soit un univers …ni de n éléments. On dit qu’il y a équiprobabilitéquand tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Si = fe1; e2;;:::;eng Alors P (feig) = 1

n; ici on peut utilisé la notion

du cardinal et dire que si A un événement de dans le cas d’équipro-babilité

P (A) = card(A)

card()Exemples :

Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 …lles.On considère l’expérience :on choisit au hasard une personne dans la classe.

Soit A l’événement : " la personne choisie est une …lle ".

Alors

P (A) = card(A)

card() =

18

30

2. Si on a pas l’équiprobabilité, ça veut dire la probabilité est dé…nie soitpar des valeurs ou des relations donc on oublie la notion du cardinal eton travail avec les régles générales.


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3 Calcul de Probabilité : 5

3.2 Régles Générales :

1. P () = 1 et P (?) = 0

2. Si A et B sont des événements Incompatibles/ Disjoints (A[B = ?), alors P (A [B) = P (A) + P (B).

Si A et B sont des événements de , Alors :

3. P (A) = 1 P (A)

4. 0 P (A) 1

5. P (A) = P (A \B) + P (A \B)

6. P (A [B) = P (A) + P (B) P (A \B)

7. La probabilité d’un événement A est égale à la somme des probabilitésdes événements élémentaires de A.

C’est à dire, si A = fA1; A2;::::;Ang Donc

P (A) =nX

i=1

P (Ai)

Exemple : Exercice 3/ Série1

A = f2; 4; 6; 8; 10; 12g ) P (A) = P (f2g) +P (f4g) + ::: +P (f12g) = 42

788. La somme des probabilités des événements élémentaires de égale à 1:

C’est à dire, si = fe1; e2;;:::;eng

X

P (feig) = 1

Exemple : Exercice 3/ Série1

= f1; 2; ::::; 12g ) P (f1g) + P (f2g) + ::: + P (f12g) = 1.

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