résumé de cours. int. dép. d'1 parmètre
DESCRIPTION
brrrTRANSCRIPT
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Rsum de cours sur les intgrales dpendant dun paramtre
On va considrer une fonction deux variables ' puis on tudiera lexistence,la continuit, drivabilit,...de la fonction F dnie par
x! F (x) =bZa
' (x; t) dt
F est une intgrale dpendant dun parmtre, en premier lieu elle sera de Rie-mann, et en second lieu elle sera gnralise.
I. Intgrales dnies dpendant dun paramtre.
Dnition 1 On considre un ouvert de R2 et ' une fonction relle de deuxvariables relles
' : ! R(x; t) ! ' (x; t)
Pour tout intervalle I R et tout a < b dans R; tel que D = I[a; b] :Sous des hypothses dintgrabilit; on dnit une nouvelle fonction relledune seule variable relle
F (x) : I ! R
x ! F (x) =bZa
' (x; t) dt
La fonction F est ainsi dnie par une intgrale o la variable x 2 Iapparait comme un paramtre do lappellation dintgrale dpendant dunparamtre.Autrement dit le le domaine de dnition de F est
DF = fx 2 R=' soit intgrable sur [a; b] selon la variable tg
Remarque 1 En gnral, dans la pratique on cherche les valeurs des (x; t) pourles quelles la fonction ' est continue. Cest direDF = fx 2 R=' soit continue sur D g
Thorme 1 (Continuit sous le signe "bRa
" ).
Si ' est continue sur D en tant que fonction de deux variables alors F estbien dnie et elle est continue sur I:Autrement dit
8x0 2 I : limx!x0
F (x) = F (x0), limx!x0
bZa
' (x; t) dt =
bZa
limx!x0
' (x; t)
dt =
bZa
' (x0; t) dt
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Thorme 2 (Gnralisation du thorme 1). Si ' est continue sur D entant que fonction de deux variables et si u (x) et v (x) sont deux applica-tions continues de I vers [a; b].
Alors la fonction F : x! F (x) =v(x)Ru(x)
' (x; t) dt est continue sur I:
Thorme 3 (Conservation de la drivabilit sous le signe "bRa
" ). Si '
et@'
@xsont continues sur D ( ' 2 C1 (D)).
Alors F dnie sur I par : x ! F (x) =bRa
' (x; t) dt est de classe C1 sur
V I; V est un ouvert de R et on a:
8x 2 I; F 0 (x) =0@ bZa
' (x; t) dt
1A0 = bZa
@'
@x(x; t) dt:
Corollaire 1 Si ' 2 Ck (D) ; k 2 N [ f+1g :Alors F dnie sur I par : x ! F (x) =
bRa
' (x; t) dt est de classe Ck sur
V I; V est un ouvert de R et on a:
8x 2 I; F (m) (x) =0@ bZa
' (x; t) dt
1A(m) = bZa
@m'
@xm(x; t) dt; 8m 2 f0; 1; :::; kg
On gnralise le thorme 3 en variant les bornes.
thorme 4 ' 2 C1 (D) et si u (x) et v (x) sont deux applications drivablesde I vers [a; b].
Alors la fonction F : x ! F (x) =v(x)Ru(x)
' (x; t) dt est drivable sur I et sa
drive est donne par
F 0 (x) =
v(x)Zu(x)
@'
@x(x; t) dt+ v0 (x)' (x; v (x)) u0 (x)' (x; u (x)) :
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II. Intgrales indnies dpendant dun paramtre. On se donne danstoute la suite, I un intervalle ouvert de R; un ouvert R2et une fonction' : ! R; (x; t)! ' (x; t) telle que ' soit localement intgrable sur [a; b[selon la variable t et D = I [a; b[ :O [a; b[ est lintervalle semi ouvert avec b = +1 ou b est un point desingularit pour la fonction conside. Les autres cas se dduisent de ce cas.
Dnition 1. ( Domaine de dnition de la fonction F ). Si lintgralebRa
' (x; t) dt
converge sur I, on dnie la fonction F par
F : I ! R
x ! F (x) =bZa
' (x; t) dt
En dautres termes, le domaine de dnition DF de F sera donn par
DF =
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Thorme 1 (Critre de Cauchy pour la convergence simple). Les as-sertions suivantes sont quivalentes.
1) Lintgrale gnralisebZa
' (x; t) dt
est simplement convergente
2) Pour tout x 2 I x et tout " > 0; il existe un voisinage Vb de b tel que8u; u0 2 Vb; avec u0 > u, on ait
u0Zu
' (x; t) dt
"On crit la limite simple en x 2 I
limu;u0!b
0@ u0Zu
' (x; t) dt
1A = 03) Pour toute suite (tn)n qui croit vers b; la suite des intgrales dnies dpen-
dant du paramtre x 2 I dnit une suite (Fn)n de fonctions donnespar
Fn : I ! R
x ! Fn (x) =tnZa
' (x; t) dt
qui est simplement de Cauchy.
Remarque 1. La convergence absolue ) La convergence simpleDnition 4. (Convergence uniforme) Lintgrale gnralise
bZa
' (x; t) dt
est dite uniformment convergente si lintgrale gnralise
bZa
' (x; t) dt
est convergente indpendamment de x 2 I:
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Remarque 2. La convergence uniforme ) La convergence simple.Thorme 2.( Critre de Cauchy pour la convergence uniforme) Les as-
sertions suivantes sont quivalentes.
1) Lintgrale gnralisebZa
' (x; t) dt
est uniformment convergente
2) Pour tout " > 0; il existe un voisinage Vb de b tel que 8u; u0 2 Vb; avecu0 > u, on ait
u0Zu
' (x; t) dt
"3) Pour toute suite (tn)n qui croit vers b; la suite des intgrales dnies dpen-
dant du paramtre x 2 I dnit une suite (Fn)n de fonctions donnes par
Fn : I ! R
x ! Fn (x) =tnZa
' (x; t) dt
qui est uniformment de Cauchy.
Dnition 5. (Convergence normale). lintgrale gnralise
bZa
' (x; t) dt
est dite normalement convergente sil existe une fonction
g : [a; b[! R+t ! g (t)
vriantj' (x; t)j jg (t)j ;8 (x; t) 2 D
dont lintgrale gnralisebZa
g (t) dt
est convegente.
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Remarque 3. Toute intgrale gnralise dpendant du parmtre x 2 I quiconverge normalement, converge uniformment, absolument et simple-ment.
Thorme 3. (Conservation de la continuit) Si
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1. ' et@'
@xsont continues sur D = I [a; b[ :
2. LintgralebRa
@'
@xdt CVU sur I:
3. Sil existe x0 2 I tel quebRa
' (x0; t) dt 2 R converge, alors lintgrale gnral-ise
bZa
' (x; t) dt
converge uniformment sur I et dnie une fonction
F : x! F (x) =bZa
' (x; t) dt, 8x 2 R
drivable et de drive continue sur I (autrement dit F 2 C1(I)) dont ladrive est
F 0 (x) =
bZa
@'
@x(x; t) dt;8x 2 I
Exemple 2. Etudier la drivabilit de la fonction F donne dans lexemple 1.
Rponse On a pour tout t 2 [1;+1[@'
@x(x; t) =
t sin (xt)t (1 + t2)
= sin (xt)(1 + t2)
Or sin (xt)(1 + t2) 11 + t2 1t2
et puisque lintgrale+1R1
1
t2dt est une intgrale gnralise convergente,
lintgrale+1R1
@'
@x(x; t) dt est normalement convergente et donc uniform-
ment convergente sur R: En appliquant le thorme de conservation de ladrive:
a. ' est continue sur D (daprs le (1:a) de lexemple (1))
b.@'
@xest continue sur D = R [1;+1[ comme tant le rapport de deux
fonctions continues dont le dnominateur est dirent de zro.
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c. Lintgrale+1R1
@'
@x(x; t) dt CVU sur R:
Alors F est drivable sur R et F 0 (x) =+1R1
sin (xt)(1 + t2)
dt:
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