Résolution des équations différentielles en physique

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Notation: On utilisera u pour les exemples ci-dessous mais on peut l'appliquer aux autres unités

(distance avec x(t) par ex.). On notera que a et A ou B et b ne désignent pas les mêmes choses.

Aussi: et

Equa diff du 1er

degré:

Elles ont pour forme: où τ peut être composé de plusieurs éléments (exemple: R.C)

La solution est du type: .

Info: dans le cas particulier où b=0, la solution devient . /

On détermine A et B:

B est le plus simple:

On le trouve en évaluant u(t) en +oo (en trouvant ce qu'il vaut). Soit !"

A se trouve en t=0+, soit: # . $/ . 1 & '

Connaissant déjà B, on peut alors trouver A.

Ainsi: ∞ . /

Quand u(0)=0, alors on a: ∞ ) ∞. ∞1 )

Equa diff du 2nd

degré:

Type: * + , 0

Forme canonique: ././ +* · .. ,* · 0

On introduit 2λ et ω0: ././ 22. .. 3$/. 0

Où 2λ = 4 et 5#6 78 donc 5# 978

On peut aussi introduire le facteur de qualité Q avec 6: ;#< 4

Démonstration de la solution:

La solution générale est du type:

U(t) =. >

On calcul les dérivées:

=. ?. > ?. @

=. ?/. > ?/. @

On remplace dans l'équation: ?/. 22. ?. 3$/. 0

On simplifie par u: ?/ 22. ? 3$/ 0

On résout alors cette équation comme un polynôme du 2nd

degré

Calcul du discriminant (rappel: Δ=b²-4.a.c ): ∆ 22/ ) 4.1. 3C/ 422/ ) 3C/

3 solutions possibles:

Si ∆D 0 => Régime pseudo-périodique

Si ∆ 0 => Régime critique

Si ∆E 0 => Régime Apériodique

On le calcul en remplaçant 2λ et ω0 par leur équivalent (contenant a, b ou c ici)

On sait que 6F 5#G H8 on peut donc exprimer G 5#6F

De là:

Si I D J/ => Régime pseudo périodique

Si I J/ => Régime critique

Si I E J/ => Régime apériodique

Une fois qu'on connait le régime, il est possible de trouver la solution u(t) qui convient.

1/Régime Pseudo-périodique:

On est dans le cas mathématique où le Δ indique qu'il y a 2 solutions complexes conjuguées.

On détermine ces solutions (rappel: J KL√∆/N ; en physique i=j ):

OP )22 ) Q√)∆2 )22 ) QR)42/ ) 3$/2 )22 ) 2QR3$/ ) 2/2 ): ) SR;#6 ) :6

O6 )22 Q√)∆2 )22 2QR3$/ ) 2/2 ): SR;#6 ) :6

Note: Il est préférable de ne pas oublier le j …

La solution s'exprime alors de 3 façons possibles:

La compliquée: . >T. . >. U.. V. WRXYU. . !WRXYU.Z

L'usuelle: U.. V. cos ^R3$/ ) 2/. _ . sin R3$/ ) 2/. Z

La compacte (il faut déterminer ϕ, ce qui ne sera pas aborder dans ce document): . cos 3$. b

Il faut désormais déterminer A et B, on utilise pour cela les conditions initiales:

On doit nous donner u(o) et cdce pour pouvoir trouver A et B, on pose aussi: f R;#6 ) :6

On utilise la solution usuelle (par exemple), et on la détermine en 0 tel que:

# U.$. V. cos ^R3$/ ) 2/. 0_ . sin ^R3$/ ) 2/. 0_Z 1. g. cosh . sin0i &

De là, on peut facilement dire que A=u0 car on a: A=u(o)=u0 (valeur initiale)

Pour trouver B, il faut dériver cette solution u(t), on arrive à ce résultat (rappel: f R;#6 ) :6: .. g. j ) Aλ. cosj. t ) A. j B. λ. sinj. ti. ep.q

On nous donne 0 r0 (Ne pas utiliser cette notation, on remplace par les valeurs numériques), on

procède comme précédemment: # g. Ω ) Aλ. cosΩ. 0 ) A. Ω B. λ. sinΩ. 0i. ep.$ '. j ) tF

Soit: ' r0 u.Uv r0 Y.Uv r# #.;#6.<.f r0 Y.XY/.w.RXYU

Infos: On a souvent u'(0)=0, ce qui simplifie la chose. De plus, vous êtes libre d'utiliser l'une des

expressions ci-dessus, tout dépend du niveau de développement souhaité.

Il reste finalement à remplacer A et B par leurs valeurs, on va éviter ici afin de ne pas avoir une

expression super lourde qui se simplifierait si on avait des valeurs numériques.

Le régime pseudo-périodique offre un panel d'études assez vaste, voir plus bas pour la détermination

d'autres éléments tels que le décrément log., les manières de déterminer Q, To, T, ω0 et ω.

2/Régime critique:

C'est le régime le plus simple, la solution a pour forme:

U.. .

On procède de la même façon pour déterminer A et B, soit:

B=u0

La dérivée est: .. U. . )2. ' U. . )2. d#

Donc: r# U.$. )2. 0 $ ):. # &

Là encore, on remplacera A et B par les valeurs trouvées.

3/Régime apériodique:

Il se résout de la même manière que le régime pseudo-périodique.

La nuance se situe sur le discriminant car il indique 2 solutions réelles et non plus complexe.

On a donc les 2 solutions:

?J )22 ) √∆2 )22 ) R42/ ) 3$/2 )22 ) 2R2/ ) 3$/2 )2 ) R2/ ) 3$/

?/ )22 Q√)∆2 )22 2R2/ ) 3$/2 )2 R2/ ) 3$/

La solution s'exprime alors: . >T. . >. U.. V. RUXY. . !RUXY.Z

On remarque la similarité avec le régime pseudo-périodique, sauf que cette fois c'est l'unique

solution.

Il faut là aussi déterminer A et B: # U.$. V. RUXY.$ . !RUXY.$Z & '

On calcul la dérivée: r )2. U. . V. RUXY. . !RUXY.Z (Le marron met en valeur ce qui résulte de la dérivation) U. . V). R2/ ) 3$/. RUXY. . R2/ ) 3$/. !RUXY.Z

Après factorisation (ouf!) en posant f R:6 ) ;#6:

r U.x&y)v.2 z 'yv.)2 z| Et on résout u'(0): r# )2.0 V ^))z.02 z_ ^z.0)2 z_Z )&: f '): f

On résout alors un système à l'aide de u(0) et u'(0) pour déterminer A et B.

On notera que r qu'on peut trouver par exemple avec: ,. .~, L

Eléments supplémentaires pour le régime pseudo-périodique:

Détermination de ω et ω0:

Pour ω (pseudo-pulsation):

On peut en réalité directement lire ω car il s'agit de la partie imaginaire des solutions r1 et r2:

3 R3$/ ) 2/ 3$/ ) 3$/4. I/ 3$1 ) 14. I/

Ceci car 2 XY/.w

Pour ω0 (pulsation propre):

On a 2 manières simples à condition de connaître les valeurs de a, b, c ou Q (cf. équation plus haut):

;# 94 22 3$I +* .~, ;# 4 . <

Si on connait T0: ;# 6#

Dans ce cas, il faudra déterminer T0

Détermination de T0 et T:

Le plus simple si on connait déjà ω0 et/ou ω: # 6;# et 6;

Si on ne les connait pas, on les trouve à l'aide de la relation qui lie T et T0, démonstration:

3 3$1 ) 14. I/ 2.

2. $ 1 ) 14. I/ 2. .~, #9P ) P<6

On utilise alors cette relation pour déterminer l'un des 2 à partir de l'autre.

Une question peut vous tracasser l'esprit: Quelle est la différence entre T et T0 ainsi que ω et ω0?

En fait, cette distinction est due au régime pseudo-périodique, et surtout au pseudo…

En effet, ce régime est proche d'un régime périodique pure (une sinusoïde), mais pas identique!

Il y a une petite différence entre la pulsation propre caractérisant un régime périodique et la

pseudo-pulsation (même chose pour la période) qui est due à l'atténuation.

C'est d'ailleurs pour cela que quand Q>>1 on peut dire que ω≈ω0 (de même avec T et T0)

Détermination du décrément logarithmique:

2. ln

On remarquera que cos(S.t)=cos(S.(t+T)) car cos est périodique:

ln U. . V. cos^R3$/ ) 2/. _ . sin^R3$/ ) 2/. _ZU.!. V. cos ^R3$/ ) 2/. _ . sin R3$/ ) 2/. Z ln U.!U.!

ln XY/w.!XY/w.! 3$2I ) ;#. 6<

2. R4. I/ ) 1

Cette dernière écriture se justifie par 3$ /Y et que $ . 91 ) Jw

Détermination de Q:

Il est parfois demander de déterminer Q, car il n'est pas nécessaire de le connaître pour trouver le

régime et donc engager une résolution.

Là encore, on dispose de plusieurs méthodes.

La plus simple (rappel: 3$ 9N ):

22 3$I +* . à ~ *: < ;#. 4 √,. *+ 2. *$. +

Attention toutefois car T0 contient aussi Q si vous cherchez à le déterminer, donc il vaut mieux éviter

de tourner en rond ^^.

A l'aide du décrément logarithmique: 2. R4. I/ ) 1

R4. I/ ) 1 2

I/ 14 . 2 / 1

I 12 . 4. // 1

Dans ce cas, il faut déterminer le décrément graphiquement.