republique du senegal ecole … · programmes d'o~ùir.qteuront été conçus tels le ansys,...
TRANSCRIPT
•.. . REPUBLIQUE DU SENEGAL
ECOLE POLYTECHNIQUE DE THIES
DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL
f PROJET DE FIN D'ETUDESEn vue de l'obtention du diplôme d'ingénieur de conception
o
ETUDE DYNAMIQUE DES STRUCTURES CADRES HYBRI~ES MULTI-ETAGEES
Par
Kossi Mawulé LENGO
Dirigé par
Ioan Petru RADULESCU
Rapport final
JUIN 1990
•
A ma familleA mes amisA mes professeurs ...
REMERCIEMENTS
En ces quelques mots, je voudrais remercier très sincèrement tous
ceux qui ont de près ou de loin contribué à la réalisation de ce
projet de fin d'ét~des. En particulier je cite Monsieur Ioan Petru
R~.=0LESCU, mon proê~sseur de structure à l'école polytechnique et
directeur du projet, qui a su de tout temps guider mes pas en vrai
ami.
Qu'ils trouvent tous ici l'expression de ma profonde gratitude.
Kossi LENGO
i
•
SOMMAIRE
La détermination des contraintes et déformations dans les
structures de bâtiment sous l'influence d'un séisme, est-de plus
en plus demandé~ par les bureaux d'études. Pour cela, plusieurs
programmes d'o~ùir.Qteur ont été conçus tels le ANSYS, MSC/NASTRAN,
ADINA, STARDINE, COSMOS, IMAGES3D, etc ...
Nous montrons dans ce projet l'application de l'un d'eux, dans
le calcul antisü ..mique des bâtiments de grande hauteur, IMAGES3D
qui fait une analyze statique, modale et dynamique en utilisant un
modèle mathématique à éléments finis pour prédire le comportement
linéaire élasti~ue des structures à d'éventuels tremblements de
terre~··
ii
•
TABLE DEE MATIERES
Pages
REMERC l EMENTS i
SOMMAIRE i i
Table des matières -. .. iii
Liste des figures v
Liste des tableaux viii
INTRODUCTION 1
Chap 1: GENERALITES SUR LA DYNAMIQUE DES STRUCTURES 4
1. Matrice de inasae et matrice d'amortissement ..........• 6
II. Système à un degré de liberté 8
II.1. Oscillation non amortie du système 8
II.2. Oscillation amortie du système 10
III. Système à plusieurs degrés de liberté 12
111.1. Analyse modale ou recherche des fréquences
naturelles 13
111.2. orthogonalité des modes de vibration
naturelle 13
:111.3. Coordonnées normales ...................•...... 15
IV.~éponsed3s structures aux séismes ~ 17
Chap2: PRESENTATION DU MODELE D'ETUDE 19
1. Description du modèle 19
II. Modélisation des éléments structuraux ~ 21
Chap 3: ANALYSE I·I0DALE...................................... 33
Chap 4: ANALYSE DYNAMIQUE 67
1. Elément~ théoriques et éléments de Images3D 68
iii
•
II. Définition des charges sismiques
III. Analyse spectrale
72
75
IV. Analyse time history 77
CONCLUSION 110
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES •••••••••••••••••••••••••••••.•• 113
ANNEXES:
Annexe A: Spectres de réponse, spectres d'accélération
normalisée 116
Annexe B: Quelqu~s résultats de l'étude modale du modèle 1
en X aouLement;
Iv
120
•
LISTE DES FIGURES
2.1 Vue d'ensemble de la structure de l'étude
2.2 Géométrie du modèle 1:
Pages
23
b- Les éléments poutres .
Géométrie du modèle 2:
b- Les él€fuents poutres .
c- Les éléments quadrilatéraux .
Géométrie dl modèle 3:
2.3
2.4
a- les Jlo~uis
a- Les no~uds
......................................
.......................................
24
25
26
27
28
3.1
a - Les noeuds
b- Les é Le-merrts poutres .
c- Les éléments quadrilatéraux
Déformations modales du modèle 1:
29
30
31
d- mode 23 •••...•....•......•...............
Déformatiuns modales du ~odèle 2:
a - mode 1 . . . . • . . •........•..................
d - mode 3') ••••••••••••••••••••
Déformation~ modales du modèle 3:
3.2
3.3
a- mode 1
b- mode 2
c- mod..; 3
b- mode 2
c- mode: 3:3
· .
D •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
..............................................................
55
56
57
58
59
60
61
62
a- mode 1
b- mode 2
c- mod..:! 23
· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................................
v
63
64
65
•
d- mode 24 66
4.1a- Exemple è'~ccélérogramme généré par SIMQKE 80
4.1b- Spectre de vitesse de l'accélérogramme 4.1a ......•.. 81
4.2 Accélérogr~Jme de El Centro 82
4.3 Spectre tri logarithmique utilisé pour l'analyse
spectrale 83
4.4 Spectre d'a~célération Sa de El Centro (€=4%) 84
4.5 Modèle 1: C0urbe de variation des amplitudes modales
a- mode 1
b- mode 2
·c- mode 3
85
86
87
d- mode 23 .............•........................... 88
4.6 Modèle 1: Courbe de variation des déplacements nodaux
a- translation X du noeud 45
b- tran~l~tion Z du noeud 45
89
90
. c- rotàtion eydu noeud 45 ......•.................. .91
d- tran~l~tion X du noeud 105
,e- translation Z du noeud 105
92
93
f- rotation e y du noeud 105 94
g- translation X du noeud 190
h- translation Z du noeud 190
95
96
i- rotation ey du noeud 190 97
4.7 Modèle:: courbe de variation des vitesses V x
a - noeud 45 98
b- noeud 105
c- noeud 190
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
100
4.8
4.9
•
Modèle 1: courbe de variation des accélérations a x
a- noeud 45
b- noeud 105
c- noeud 190
Modèle 1: courbe de variation des forces locales des
101
102
103
f- poutre 117, Mz .
'Un exeIr.:~le de, spectre normal isé
Spectre de réponse de El centro
b- colonne 17, Fz
c- colonne 17, My
éléments poutres
a- colonne 17,
d- poutre 117,
e- poutre 117,
A.1
:"•• 2
Fx
Fx
Fz
...............................-...104
105
106
107
108
109
118
119
•
43
45
47c- modèle 3
LISTE DES TABLEAUX Pages
Valeurs propres, fréquences propres et périodes naturelles
a- modèle 1· _.. . . . . . . . . . . . . . . . . 37
b- modèle 2' .•...................................... _. 39
c- modèle 3 41
Masses généralisées
a- modèlo 1 .
b- modè Le 2 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
3.2
3.1
49
51
53
74
c- moùèle 3
·b- modèle 2
Facteurs de participation de modes normaux
a- modèle 1 .
choix du taux dl amortissement .
Tableau des résultats du modèle 1 en X seulement
a- Valeurs propres, fréquences propres et périodes
naturelles 122
3.3
4.1
B.1
b- Facteurs de participation des modes normaux, masses
générël;l isées 124
c- Masses modales effectives, pourcentage à la réponse
totale du système 125
INTRODUCTION
•
Le sujet traité dans ce projet, porte sur la dynamique des struc-
tures. Un domaine devenu de nos j ours très important en génie
civil. Elle étudie la réponse des structures sous des sollicita-
tions qui sont fonction du temps. Les souffles d'explosion dans les
centrales nucléaires, le trafic lourd intensif sur les ponts de
grande portée, Les séismes, etc '.' sont des sollicitations qui se
classent bien daros cette catégorie. Pour éviter toute équivoque,
nous avons dar.s le titre choisi, étude dynamique des structures
cadres hybrides multi-étagées, inclus dans structures hybrides qui
signifient en fait les associations de murs de cisaillement et de
poutres colonnes, les portiques ordinaires.
Le choix du sujet est guidé par l'importance actuelle du domaine
et l'acquisition par l'école du logiciel de calcul en dynamique,
lMAGES3D.
Le problème nous a particulièrement intéressé d'abord parce qu'il
s'inscrit dans la pratique de l'analyse structurale et qu'ensuite," ,.,
il nous permet une initiation. dans le domaine de la dynamique ..::.:~"~" :
NoUs faisons p3.rtiè~iièrement dans ce projet l'illustration du.' < .'... ,
~ . '," ':.. .,!.~: -.. ~ ... '. . .
comportement' d l .'un bâtf.memt de::grande hauteur (shear building) aux.", .', .. :' '~'.'" ":: .: :~..,~~ ,~·}~t\t~<>::··;:' ".
séismes. samodlHlsation, aboutit à trois types de structures• ~ ". • '.' j ; .: ",
hybrides dont les ~6~'~Ies mathématiques sont étudiés par lMAGES3D.
Le but de c:c rapport est de se servir de ces modèles pour
éclaircir les concepts de base utilisés lors des études dynamiques
par les mét.hodes analytiques et de formuler des r-eoommanda t Lons
quant aux constructions antisismiques. Les trois étapes suivies
lors du présent travail sont:
2
•
1. une étude des méthodes dynamiques en générale et un appren-
tissage de lMAGF.S:lD,
2. un choix de la structure à étudier et la. détermination de ses
fréquences propres,
3. une analyse"dynamique en deux parties:
- une étude spectrale. pour la détermination des réponses
maximales,
une 0 eude pas à pas ou "time history" montrant la
variation deS contraintes et déplacements en fonction du temps.
Les deux an~lyses se feront avec un accélérogramme et spectre
d'accélération compatibles.
De ces trois étapes, la deuxième est de loin la plus importante
car elle préscnt.a le moins d ' incertitude dans les méthodes de
calcul et perrr.8t de prédire la réponse future à n'importe quelles
sollicitations dynamiques. Dans le rapport qui suit, nous dévelop-
perons riéanmoLne chacune de ces étapes afin de mieux pouvoir
quantifier de la façon la plus précise possible, les paramètres de
calcul néce.ssc.i r e à l'évaluation de la sécurité sismique des
ouvrages.
. ~ 1 .
. ".'3
CHAPITRE 1
GENERALITES SUR LA DYNAMIQUE DES STRUCTURES
": _0 :' _'
•
-J'Sous l'action d'une sollicitation, une structure peut avoir des
." ":
comportements différents, un comportement statique ou un comporte-
ment dynamique. QUë(~j ·la sollicitation a une fréquence moindre que"l!
les trois premières fréquences naturelles les plus basses de la
structure, celle-ci adopte un comportement statique. L'équation
[K]{D}={R} est assez précise pour décrire le mouvement bien que {R}
(la sollicitation) soit une fonction du temps. La matrice [K]
représente la matrice de rigidité du système. Une sollicitation
plus rapide, met en jeu des forces d'inertie. Le problème devient
alors dynamique. L'inertie est prise en compte par une matrice de
masse notée [M]. Une autre matrice notée [C] est introduite dans
l'équation du mouvement pour prendre en compte les phénomènes
d'amortissement, ~e friction, et de frottement. L'équilibre des
forces donne l'équation:
{Fi} + {Fc} +{ Fe} = {R}
qui décrit le mouv~ment.
( 1.1)
{Fi} = [M]{D"} r~présente les forces d'inertie.
{Fc} [C]{D'} représente les forces d'amortissement.
{Fe} - [K] {D} représente les forces élastiques.
{D} est le vect~ur de déplacement élastique généralisé.
{D' }
{D"}
6Dvecteur vitesse généralisée.
vecteur accélération généralisée.
5
•
Le calcul dynamique se fait sur deux points de vue importants.
Premièrement, la recherche des fréquences propres de vibration de
la structure et les modes de vibration correspondants. Deuxième-
ment, l'étude de la réponse de la structure sous une sollicitation,
sous une impulsion, ou sous l'accélération du sol.
I. MATRICE DE MASSE ET MATRICE D'AMORTISSEMENT
Pour faciliter la mise en équation des problèmes dynamiques, deux
types de matrices 4e masse sont introduits; une matrice de masse
concentrée ou'. ':~umped:,mass matrix" et une matrice de masse
masseLa matrice de, ,
mass matrix".,!.. '
cqn .... ::.stantel,' .
concentrée résutte de:l~:;:m<?délisationdes structures cadres. multi-
étagés. Pour cesmodèl~s',toute la masse est supposée concentrée
au niveau des planchers. qui ne possèdent qu'un seul degré· de
liberté généralisé, la translation horizontale (le logiciel génère
automatiquement cette matrice en la supposant concentrée aux noeuds
et qu'il n 'y a pas d'interactions entre les degrés de liberté
généralisés). Suient Di le déplacement au niveau de chaque plancher
et mi sa masse, la force d'inertie s'écrit
toute la structure:
( Q)= [ M] ( D" )
où
[M] [
m,mz
=
6
",; "." .,
•
La matrice de ;..ass.e consistante fait intervenir dans sa détermi-
nation des fonctions de forme notées Li (x, y, z ) qui décrivent le
déplacement f de tout point de coordonnées D(x,y,z) de la $truc-
ture:
L'élément mi j de la matrice de masse consistante est défini comme
la force d'inert~s s'exerçant sur l'élément i quand une accéléra-
tion unitaire s'applique sur l'élément j. Il est noté:
où r = r(x,y,z) est la fonction de masse volumique et dv le volume
élémentaire.
Notons que la matrice de masse consistante est symétrique car:
., ':. '
mij.)::: mll.,\:;;~',::~> ", '.
...:M0r,", "' ..
.:~. .; 1 .. s.,
:-. ::, ;l'''~':-:''' ',"0
, .~, ,.::;:~.~/\~::~;:>: "1 ,: • '-.; .~:".... •
Ce même' concepc: clJ~:Z'i"()r:1<::tion<de ' forme, peut être util isé pour- -:;.'. "", .. .: -',~.~~';...",,'.'.:-:;,./:.I~:::,;~y~V::>.~.r,.'
déterminer la matricdcl ',amortissement et:
où c =. c (x, y, z ) est la fonction de distribution des propriétés
d'amortissement.
7
•
En réalité le mécanisme d'amortissement des structures est mal
connu. C'est pourquoi ~n pratique la matrice [C] est approximée par
une combinaison linéaire des matrices [ K] et [M] soit
[C]=a[K]+B[M]. Les constantes a et B sont appelées facteurs
d'amortissement dq Rayleigh. Cette matrice[C] est appelée matrice
d'amortissement. proportionnelle --. ou matrice d'amortissement or-. , . " ~., ,
. . ",' -:, ':' .
'~:!ôgonale car elle perm~t.de découpler les' modes de vibration et, ,." '-..
d'avoir ·des val~.~rs .-- p~opres . réelles dans l'analyse modale.- 1
L'amortissement peut être décrit par un taux constant d'~mortisse-
ment noté €.
II. SYSTEME A UN OFGRE DE LIBERTE
II.1. Oscill~ti0n non amortie du système
L'équation du mouv 'emerrt; du système est:
m D" + k D = P
* si P =0
(1. 2)
L'équation (1.2) devient:
m DU + k D = 0
qui est l'équati0il ds l'oscillation libre du système~ Sa solution
est cherchée sous la forme de:
D = C, sin wt. -1 Cz cos wt;
C, et Cz sont deu constantes déterminées par les conditions
initiales.
w =~- k/m ese la pulsation naturelle du système.
8
r -
•
Pour des conditions initiales D'o et Do la solution devient:
D = (---
avec a - \. 1 D z- \.J 0
w
D' osin wt + Do cos wt a sin (wt + ex )
(D' o/w) z tan- 1 Dow+ et ex = (
D'0
est la période naturelle de vibration du système.w
21TT
* si p.= Po sin nt une fonction harmonique.
l'équation (1.2) devient:
sin ntm
La solution est tr0uvée sous la forme
D =·C1 sin wt + Cz.p<:')s: wt +k
1
.,' .;"," ;
* si P est une fonction,:·quelconque du temps, la solution est sous
la forme de:. i t
.' ,~
D =C1 cos wt + Cz'sin wt +1
w m JO
Tp sin W(T - t) dt
La fonction1
w m JO
Tp sin W(T - t) dt est appelée intégral de
superposition de DUHAMEL qui peut être évaluée par des méthodes
numériques o.Las s Lques ,
9
11.2
•
Oscillation amortie du système
L'équation du mouv<o:....antest:
m 0" + C D' + k 0 =p
où encore
p0" + 2B D' + wl 0 =
m
où
(1. 3)
cB =
2w
w=~ représente la fréquence angulaire naturelle du
système.
* si p = 0 (ow~illation libre amortie )
L'équation du mouveThent est:
0" + 2B D' + "Il 0 = 0 (1. 4)
l'équation caractéristique associée est:
v l + 2B v + wl = 0 (1.5)
sa solution est v 1 = -'B + \j Bl - wl et v 2 = -B - ~Bl - wl
la solution générale de l'équation (1.4) devient:
D = C e vl t + C e v2t,12
Quand Bl = wl 1 ~ amortissement est dit critique et cr = 2mw.
L'équation car-act.érLs t fque (1. 5) admet une solution double et la~:; .,t'
aoLut.Lonjde l' éq-.1.l~~oI1 générale du mouvement est:"
.,.: '
'.. :.' .... ;
10
•
aux conditions 1· n i t; La Les D - D et D' -0-- - (t=O) - a (t=O) -
c, = Do et C2 = w Do' on trouve:
d'où
D = Do e- wt (l+wt) (1. 6)
Dans la pratique fi« w ou C« cr = 2wm
posons € =c
cr
c
2mw=
fi
wle ratio d'amortissement et
Les solutions de l'équation caractéristique deviennent:
avec i =FLa solution génér_~e est sous la forme:
D = e-Bt( C1 sin \vdt + C2 cos wdt ).
Aux conditions iL~tiales de déplacement Do et de vitesse D'a, on
trouve:
D'a + BDo
sa période naturellu est Td =wd
Le rapport du dép~~~ement à l'instant t et l'instant t + 6t est
constant et égal à:
et le logarithme n .... turel de ce rapport est appelé décrément
logarithmique, noté:
Il
•
qui s'obstient expérimentalement. Dans les constructions € est
comprise entre 0.003 et 0.15, 6 entre 0.19 et 0.95.
* si P = Po sin nt une fonction harmonique.
L'équation (1.3) devient:
D + 2B D + w2 D =m
sin nt
La solution générale est obtenue en ajoutant une solution
particulière à la sùlution de l'équation homogène. Une solution
particulière est donnée sous la forme de:
k
* Si P est une fO:1ction quelconque de t la solution est
e- BT BD' 0
D = [ (Do f- --) sin WdT + Do cos WdT ]W·d
1 J:+ P e-B(T - t) sin Wd(T-t) dtwd m
III. SYSTEME A PLUSIEURS DEGRES DE LIBERTE
L'équation générale du mouvement d'un système à n degrés de
liberté est:
12
•
[ M] { D"} + [ C] { D' ,} + [ K] { D } = {P } (1.9) .
','
i111.1 Analyse modale ou recherche des fréquences naturelles
i1
Posons dans l'équation (1.9):,
CC] = 0 et {Pl = 0
L'équation devient:
[M] {D"} + [K] {D} = {O} (1. 10)
Cherchons les solutions sous la forme:
i = 1,2, ••• ,n
{D} = {a} sin (wt + a)
le vecteur {a} est le vecteur des amplitudes modales.
Nous avons aussi:
{D"} = -wl {D}
Alors l'équatio~ (1.10) devient:
w2 [M] {D} - [K] {D}= 0 (1. Il),
multiplions chaquejmembxe de l'équation (1.11) par [M]"''", !.' ".,.,. ,i
-"'~"'~1" ". ....wl [M] [M] {D} .r [M]:,[~] {D} =0
. .-,' " .:: :"'<:'\~'/'/ . .'.[M] [K] {D} = ',w.~,\ CDF;,:';(f1. 12)
,,;-, .," . ~ :'~' .: ,;. ",:>,":">!"';', ,': .
La résolution' .d~';: l}équation' (1~ 12)
recherche de vale~~s'<)'~:{<~e v~c~eursdevient un pr?blème 'de
propres •. Les n valeurs
caractéristiques dé la relation représentent les valeurs des
fréquences angulaires naturelles wil
• La plus petite de ces valeurs
donne le premier mode de vibration.
111.2 Orthogonalité des modes de vibration naturelle
La résolution de l'équation du mouvement d'une oscillation non
13
•
amortie d 'un syst~:I1e à n degrés de liberté est un problème de
valeurs propres. Mon:rons qu'il existe des relations d'orthogonali-
té entre les vec~_~rw propres modales.
Soient deux vecteurs propres du système {Di} et {oj} associés aux
fréquences propre~ \/ i et w1•
Nous avons conformément à la relation (1.11)
[K] {D'} =
[K] {Dl} =
W 2,W 2
1
(1. 13)
(1. 14)
M"".l. c.iplions ch.... -i..:.e membre de la relation (1.13) par {oj} T. Elle
devient:
La transposée des 2 membres donne:
(1. 15)
or,
[M]T = [M] et· [K']T = [K] (Par symétrie des matrices [M] e"t [K])
d'où:
(1.16)
Multiplions chaque membre de la relation (1.14) par {Oi}T. Elle
devient:
(1.17)
En comparons les relations (1.16) et (1.17) nous aurons alors:
(w 2, - W2.) {Oi}T[M]{Oj} = 01 J
or wi =/=-wj pour i=J=j
{ 0 i } T [M] { oj} = 0
d'où:
pour i =1= j (1. 18)
Nous pouvons démortrer de la même manière que:
pour i =1= j
14
(1. 19)
•
Les relations (1.18) et (1.19) représentent les conditions
d'orthogonalité dë~ :~:des de vibration par rapport aux matrices [M]
et [K].
111.3. Coordonnées normales
Les matrices de rigidité [K] et de masse [M] en analyse struc
turale ne sont généralement pas des matrices diagonales; or les
équations du mouvement dynamique ne sont découplées que si les deux
matrices [M] et [K] sont diagonales. La transformation des
coordonnées du mouv(~ent dans un autre système de coordonnées {fi}
de même dimension rdsoud ce problème.
Posons:
{D} = [4>] {fi}
ou [4>] n x n est ~.a matrice de transformation dans le nouveau
repère. [4>] est la matrice formée par les vecteurs propres. Dans
ce nouveau repère, les matrices [M] et [K] sont transformées
respectivement en [M*] et [K*] qui sont diagonales. Les coordonnées
du système {fi} sont appelées coordonnées normales.
L'équation du mouvement, non amorti s' écrit:
[M] [4>] {fi"} + [K] [4>]{fi} = {Pl (1. 20}
En multipliant par [4>]T l'équation (1.20) devient:
[4>]T[M] [<t»]{fi"} + [<t»]T[K][<t»]{n} = [<t»]T{p}
[M*]{fi"} + [K*]{ll} = {i:} .(1.21}
où:
[M*] = [4>]T[M] [4>]
[K*] = [4>]T[K] [4>]
matrice de masse généralisée.
matrice de rigidité généralisée.
15
•
vecteur force généralisée.
En utilisant les propriétés d'orthogonalité des vecteurs propres
pùr rapport aux matrices [M] et [K] on a bien [M*] et [K*]
diagonales:
i =t= j
i 7'= j
i = j
i = j
La relation (1.21) est l'équation du mouvement de l'oscillation
non amortie d'un ~Y3tème à n degrés de liberté et est formée d'un
système différenti~l d'équations découplées.
(ct> i) est la i ième colonne de [cp}.
La relation (1.11) permet d'écrire:
[K] {cpi} . = w2 [M] {cpi} (1.23)
en multipliant les deux membres de l'équation (1.23) par {ct>i}T, nous
aurons:
L'équation d'une oscillation forcée non amortie dans le système
de coordonnées normales devient
où
[M*] {fi"} + [n] [.'1* ] {fi} = {f} (1. 24)
[n] ~ [ w,' W 22
16
•
La i ième équation découplée s ' écrit alors:
=--
où
La forme découplée des équations du mouvement dynamique est très
utilisée. Elle permet de calculer les déplacements modaux {fi} pour
chaque mode et de les superposer pour trouver le déplacement total.
I-ùur un système amort.L 1 posons:
[C] = a[M] + B[K]
L'équation généraJe du mouvement en coordonnées normales est:
[M*]{fi"} + (a[M*] + B[O] [M*]){fi') + [O][M*]{fi} = {f}
la iième équation siécrit
(1.25)
où1 a
€j = (-- + Bwj )
2 wi
(1.26)
Dans la pratique, le calcul de toute la matrice [~] est très
dispendieux. Seul qu~lques modes sont requis pour avoir une bonne
précision des ré~~n~es de plusieurs structures. Donc [~] n'est pas
généralement d'ordre n x n mais d'ordre n x m avec m « n.
IV. REPONSE DES S'l'RUCTURES AUX SEISMES
Dans l'analyse sismique nous déterminons la réponse des struc-
tures sous l'accélération de la base. Le mouvement du support est
17
•
décrit par un accélérogramme ou un spectre d'excitation.
soit u(t) le déplac~ment relatif de la base, il est noté:
u(t) = O(t) + us(t)
L'équation du mouvement pour un système à un degré de liberté
est:
or,
m üs(t) + c O(t)' + k O(t) o (1.27)
u (t ) = 0 ( t ) + Us ( t) .
En remplaçant u(t) par sa valeur dans l'équation (1.27), la
relation (1.27) devient:
0" (t) + 213 0' (t) + w2 0 (t) = -us (t) (1.28) .
L'effet de l'accélération est similaire à celui d'une force
(-usm) sur la structure. La résolution du problème rejoint le cas
général.
18
•
CHAPITRE 2
PRESE~~ATION DES MODELES D'ETUDE
La stratégie de des~gn ou d'analyse des réponses des structures
cadres multi étagl-':'" e u.. séismes est similaire à celle utilisée pour
l'analyse de la résistance de ces mêmes structures aux forces
latérales ou aux effets du vent. Ces forces développent de grandes
contraintes au niv.aau des bâtiments et peuvent produire un
mouvement de baLanconcnt; ou d'oscillation de ce dernier. Il importe
donc de bien choisir les éléments structuraux afin d'éviter cet
inconfort.
Dans le design ant.Ls Lsmi que , les balancements ou oscillations
sont inévitables. Les structures sont donc conçues pour résister
aux séismes de faible amplitude sans grand dommage et aux séismes
de grandes amplitudes sans s'écrouler. Pour les bâtiments de grande
hauteur, il apparaît donc important d'assurer un contreventement
adéquat de leur struc~ure, insérer des éléments structuraux pour
les renforcer. Les Nurs de cisaillement (ou shear walls) en béton
possèdent cette grande rigidité et, bien placés dans les structures
forment un ensemble rigide capable de bons comportements lors de
certains tremble..;~llc~ de terre, dans des conditions de terrains
adéquates.
1. DESCRIPTION nu MODELE
Le building étudia est présenté à la figure (2.1) et est tiré du
livre de A. GHALI et A.M. NEVILLE, "structural analysis".
Le bâtiment est formé d'une structure régulière de 20 niveaux.
Chaque niveau a une hauteur de 4 m et des dimensions de 76.8 m de
long sur 25.8 m de large. Il est designer pour ne reprendre que des
20
forces latérales èan:3 la direction de ox , L'emplacement symétrique
des murs de cisaillement a un grand avantage, celui d'empêcher
toute rotation des .:"lanchers sous l'action des forces s~smiques
souvent syrnétriqu~s et d'éviter leur fléchissement dans le plan
horizontal. L' absenue de toute rotation des planchers permet de
faire l'étude de la structure dans un seul plan (oxz dans notre
cas). Ce pr-ob l èrac de 3 dimensions devient un problème de 2
dimensions. L'étude de ce bâtiment se résumera alors à l'analyse
des cadres qui le composent.
II. MODELISATION DES ELEMENTS STRUCTURAUX
Le building étu~ié est formé de 10 cadres plans parallèles notés
A, B, ..• ,J reg_oupés en modèles mathématiques notés modèle 1,2,3.
Modèle 1 regroupe les cadres A, C, D, G, H, J.
Modèle 2 regroupe les cadres B, I.
Modèle 3 regroupe les cadres E, F.
* PROPRIETES DES ~A':"::RIAUX.
E = 2.100EIO N/m 2 (module de Young) .
= 2480 kg/nl3 (densité) 0
= 0.2 (coefficient de poisson) .
* PROPRIETES D' 's SECTIONS~ .Etage 1 à 10 10 à 20
A en m2 r en m4 A en m2 r en m4
Poteau 0.20 3.997E-3 0.15 1.431E-3Poutre 0.23 4.701E-3 0.19 2.862E-3Mur 2.19 8.949 2.03 7.338
21
•
* MODELE 1 (découpage en éléments poutres).
204 noeuds (degré~; de liberté libres x,z,8y )
180 éléments de type poutre
* MODELE 2 (découpa-je en éléments plats quadrilatéraux et poutres)
206 noeuds (degrés de liberté libres X,z,8y )
160 éléments de type poutre
60 éléments de type quad (élément plat de 4 côtés)
* MODELE 3 (déco~)age en éléments plats quadrilatéraux et poutres)
208 noeuds (degrés de liberté libres X,z,8y )
68 éléments de t}~e poutre
120 éléments de type quad (élément plat de 4 côtés).
22
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Fig 2.1: VUE D'ENSEMBLE DE LA STRUCTURE D'ETUDE
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CHAPITRE 3
ANALYSE MODALE
•
Cette analyse permet la détermination des fréquences propres des
structures et les modes propres de vibration correspondants.
L'équation de base est la relation (1.10):
[M]{D"} + [K]{D} = 0
qui devient:
(1. 10)
1( [K] -
go (3.1)
{Di} est le vecb~ur propre associé à w jZ
•
Le nombre de modes normaux de la structure est égal au nombre de
degrés de liberté généralisés. La matrice de masse utilisée a deux
composantes. Une pêrtie générée automatiquement par IMAGES-3D, la\
masse structurale ~n se basant sur les propriétés de volume et de
densité. Une autre partie introduite pour tenir compte des charges
vives d'exploitation. Ainsi des masses de 43673.3 kg ont été
ajoutées à chaque noeud des planchers et 21836.8 kg aux noeuds du
toit dans la direction oz (immeuble à usage d'habitation).
DISCUSSION
Lp~ résultats de l'analyse sont présentés aux tableaux 4. Seuls
les 60 premiers modes de vibration sont considérés pour des raisons
de temps de calcul et autres (limite du logiciel, 90 modes). La
pondération totale c'est à dire la part de la participation de ces
modes à la répons~ totale est au moins de 88%. Ce qui est une
bonne approximatioll. Remarquons que le nombre de modes pourra être
augmenté, augmentalt ainsi le coût des calculs sans une améliora-
33
•
~ion substantielle èe l'approximation.
Dans les tableaux 4.1, les 'fréquences augmentent avec la rigidité
des structures, ce qui est normal car mathématiquement pour un
modèle simple à ~n seul degré de liberté w ~~k/m . Le modèle 3
étant plus rigid~ que les deux autres, oscillera beaucoup plus
vite avec des amplitudes plus faibles. Le modèle 2 aura le même
comportement par rapport au modèle 1. Une des philosophies de
design sismique est de choisir les propriétés des structures pour
que les modes Lmpo ct.arrt.s ne tombent pas en résonance avec les
sollicitations dynamiques.
Les masses généralisées sont présentées dans les tableaux 4.2.
Elles ne représent~ent que des notions fictives de masse et
interviennent dans la résolution des équations en coordonnées
normales et dans le calcul des masses modales effectives.
Les masses modales effectives présentées dans le tableau 4.4
permettent la détermination des forces de cisaillement à la base
de la structure. Elles sont liées aux masses généralisées par la
relation:
GWE j = GWN. * pz ..*1 1J
où:
(3.2)
GWE j masse effective modale du mode i
GWN f masse gén.~ralisée du mode i
Pij* facteur d~ participation du mode i dans la direction du
degré de liberté généralisé j
La masse effecti\e modale détermine la pondération du mode dans
la réponse totale et rejoint la notion de facteur de participation
34
•
modale.
La force totale m.rxi.maLe modale à la base FTMMB est donnée par
la relation:
FTMMB. = 1F. (t) 1 = (L mk Pk·* M.*) SA. = GEW. SA.1 1 folill\ 1 l , 1 1( 3 . 3 )
Les facteurs de participation sont montrés au tableau 4.3 et
correspondent ici aux facteurs de distribution de l'accélération.
Dans les résultats obtenus, il y a lieu de remarquer:
- l'importance de certains modes essentiellement latéraux comme
d'autres essentiellement verticaux,
- aussi des modes propres, parasites, locaux en fonction des
facteurs de partici?ation.
En général, pour les structures multi-étagées en cadres flexi
bles, les trois premiers modes latéraux sont très significatifs.
Par contre pour les structures hybrides, il y a des modes locaux,
parasites justifié::; par le comportement local différent des
éléments constr~ctifs.
Unp deuxième Gr.alyse faite sur le modèle 1 illustrera ce
phénomène d' Lmpozt.ance directionnelle des modes (confère annexe B) .
Dans l'analyse sénérale des modèles, c'est à dire en simiiant les
degrés de liberté libres proche de la réalité, remarquons que:
- pour le modèle l, tous les trois degrés de liberté libres
permis, X Z 8 y l 1 importance des modes 1, 2, 3 et 23. La valeur de
des trois premiers modes est bien montrée au tableau des facteurs
de participation. Les modes l et 2 correspondent aux déplacements
latéraux, ce qu'on remarque à vue d'oeil sur les déformations
35
•
modales des figures 3.1. Le regroupement des ces modes s'explique
par l'homogénéité d~ comportement des éléments structuraux. Ces
deux modes représentent 88% de la réponse totale du système en X.
T,<=>,s u,ùdes 3 et 23 correspondent eux aux déplacements verticals. Le
nombre élevé des modüs parasites se montre très clairement. Ces
modes n'ont que pour effet d'augmenter le coût de calcul sans avoir
une contribution réelle à la réponse du système.
- Les deux autres modèles se caractérisent par une dispersion des
modes importants à cause du comportement local différent des
éléments poutres et des éléments plats. Les modes importants du
modèle 2 sont le 1 et le 33 dans la direction X et les modes 2, 39
dans la direction Z. Pour le modèle 3 les modes 1, 23 en X et 2,
24 en Z.
Les formes modales présentées dans les figures 3 montrent qu'une
attention particuli~re doit être accordée aux noeuds des jonctions
éléments plats-éléments poutres car il y a risque de formation de
rotules plastiques. Dans tous les cas les modes x cisaillent les
colonnes et les modes z les poutres.
36
•
TABLEAU 3.1 a- .. Valeurs propres, fréquences propres et pé:t:iodes
naturellès, modèle 1
Number of frequenciesAcceleration of gravity
609.81
", «Ô,
Mode
123456789
101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051
Eigenvalue
. 594263E+02
. 392376E+03
.575729E+03
.761801E+03
.118442E+04
. 123755E+04
. 164455E+04
. 170627E+04
. 180283E+04. 191559E+04. 193533E+04204068E+04214447E+04
. 224736E+04
.225126E+04
.227617E+04
.230392E+04
. 232852E+04
. 239819E+04
. 248437E+04
. 259985E+04
. 260076E+04
. 269641E+04
. 271606E+04
. 272382E+04
. 284340E+04
. 312728E+04
. 324899E+04
. 334340E+04
. 337779E+04
.344146E+04
. 345166E+04
. 347160E+04
. 347908E+04
.:353251E+04
.356701E+04
. :3f11579E+04
. 361879E+04
. 363922E+04
. 380003E+04
. 384896E+04
. .385435E+04
. 393601E+04
.404724E+04
.413043E+04
.421448E+04
.421496E+04
. 433072E+04
.434471E+04
. 438250E+04
. 450947E+04
Frequency
. 122690E+01
.315262E+01
.381882E+01
.439280E+01
.547738E+01
.559889E+01
.645423E+01
.657422E+01
.675767E+01
. 696580E+01
.700160E+01
.718965E+01
.737021E+01
. 754495E+01
.755150E+01
.759315E+01
.763931E+01
.767998E+01
.779402E+01
. 793284E+01
.811510E+01
.811653E+01
. 826444E+01
. 829449E+01
. 830634E+01
. 848670E+01: . 890028E+0 1
.907181E+01.. 920268E+01.924989E+01.933666E+01. 935048E+01.937745E+01.938755E+01.945937E+Ol.950545E+01.957022E+Ol.957419E+Ol.960 118E+0 1.981100E+01.987397E+01.988088E+01.998501E+Ol.101251E+02.102286El02.lü3322E+02.103328E+02.104737E+02.104906E+02.105361E+·02.106877E+02
Period
.815062E+OO
.317197E+00
.261861E+00
. 227645E+00
. 182569E+00
. 178607E+00
.154937E+OO
. 152109E+00
. 147980E+00
. 143559E+00
. 142824E+00
. 139089E+00
. 135681E+00
. 132539E+00
. 132424E+00
. 131698E+00
. 130902E+00
. 130209E+00
. 128303E+00
. 126058E+00,123227E+00.123205E+00. 121000E+00. 120562E+00. 120390E+00. 117831E+00. 112356E+00. 110232E+00.108664E+00.108109E+00.107105E+00.106946E+00.106639E+00.106524E+00.105715E+OO.105203E+OO.104491E+OO.104448E+OO.104154E+OO.101926E+00.101276E+OO.101206E+OO.100150E+OO.98764:m-Ol.977648E-Ol. 9678~)OE-Ol.967795E-Ol.954773E-Ol.953234E-Ol.9491lf,E-Ol.935658E-Ol
TABLEAU 4.1 a- ~uite
•
Mode Eigenvalue Frequency Period-------- ... _-- ------------ ------------
52 .467084E+04 .108772E+02 .919353E-Ol53 .468593E+04 .108948E+02 .917871E-Ol54 .47'7642E+04 .109995E+02 .909135E-Ol55 .487077E+04 .111076E+02 .900287E-Ol56 .49414·iE+04 .111879E+02 .893826E-Ol57 .502757E+04 . 112849E+02 .886137E-Ol58 . 534655E+04 . 116374E+02 .859297E-Ol59 . 5770 ~'OE+04 . 120898E+02 .827143E-Ol60 .5785','8E+04 . 121060E+02 .826036E-Ol
•
TABLEAU 3.1 b- vaceurs propres, fréquences propres et périodes.
naturelles, modèle 2,-- "----._-----
Number of frequencies 60Acceleration of gravity 9.81
. Mode Eigenvalue Frequency Period------------ ------------ ------------
1 .151914E+03 .196164E+01 .509778E+002 .587588E+03 .385795E+01 .259205E+003 . 112423E+04 . 533639E+01 . 187393E+004 . 139514E+04 . 594469E+01 . 168217E+OO5 .142716E+04 .601251E+01 .166320E+OO6 .147493E+04 .611231E+Ol . 163604E+OO7 .152371E+04 .621256E+01 . 160964E+008 . 157578E+04 .631783E+01 . 158282E+009 . 160017E+04 .636654E+Ol . 157071E+00
10 . 163131E+04 .642818E+01 . 155565E+0011 .lG4098E+04 .644722E+01 . 155106E+0012 .214656E+04 .737381E+01 .135615E+0013 .237332E+04 .775351E+01 . 128974E+0014 .247871E+04 .792379E+01 . 126202E+0015 . 253025E+04 .800575E+01 . 124910E+0016 . 259339E+04 .810502E+01 . 123380E+0017 . 260266E+04 .811949E+01 . 123160E+0018 . 264634E+04 .818735E+01 . 122140E+0019 . 266809E+04 .822091E+01 . 121641E+0020 .267194E+04 .822686E+01 .121553E+0021 . 273032E+04 .831624E+01 . 120247E+0022 . 274263E+04 .833497E+01 .119976E+0023 . 278524E+04 . 839946E+01 . 119055E+0024 . 280379E+04 .842738E+01 .118661E+0025 . 282756E+04 . 846304E+01 . 118161E+0026 . 284886E+04 . 849485E+01 .117718E+0027 . 286284E+04 .851567E+01 .117431E+0028 . 288'201E+04 .854412E+01 . 117039E+0029 . 290727E+04 .858150E+01 . 116530E+00
.'~ ". 30 . 291497E+04 .859285E+01 . 116376E+0031 .309574E+04 . 885528E+01 . 112927E+0032 . 357734E+04 .951920E+01 .105051E+0033 . 368790E+04 .966518E+01 .103464E+0034 .443175E+04 .105952E+02 .943827E-0135 . 447978E+04 .106524E+02 .938753E-0136 . 457598E+04 .107662E+02 .928833E-0137 . 466546E+04 .108710E+02 .919883E-0138 .477500E+04 .109978E+02 .909270E-0139 ;481923E+04 . 110486E+02 .905088E-0140 . 489025E+04 .111298E+02 .898492E-0141 .496157E+04 .112106E+02 .892011E-0142 . ~)05373E+04 .113143E+02 .883841E-0143 . 512354E+04 .113921E+02 .877798E-0144 .516106E+04 .114338Et·02 .87 4602E--O l45 .~51041E+04 . 146823E+02 .681090E-0146 .104191E+05 .1624E,6F.i02 .615553E-Ol47 . 141603E+05 . 189390EI-02 .528011E-Ol48 .144355E+05 .191221EI02 .522955E-0149 .145565E+05 .192021E+02 .520777E-0150 . 147064E+05 .193007E+02 .518116E-0151 . 149194E+05 . 194400F:+02 .514404E-Ol
39
TABLEAU 3.1 b- suite
•
Mode Eigemvalue Frequency Period- - - - - - - -~ - - -- ------------ ------------
52 . 150721E+05 . 195392E+02 .511192E-Ol53 .152ë21E+05 .196620E+02 .508596E-Ol54 . 152713E+05 . 196619E+02 .50844~E-Ol
55 . 16E:223E+05 .205195E+02 .481342E-Ol56 .169131E+05 .206982E+02 .483134E-Ol51 .184592E+05 . 216235E+02 .462459E-Ol58 . 18ô682E+05 .211456E+02 .459863E-Ol59 . 186990E+05 .211635E+02 .459485E-Ol60 .187G6CE+05 .218028E+02 .458656E-Ol
•
TABLEAU 4.1 c- valeurs propres, fréquences propres et périodes
naturelles, modèle 3.. -.-."- -_.._~--- .... '-- ..-._.-_ ..._-
Number of frequencies 60Acceleration of gravity 9.81
Mode Eigenvalue Frequency Period------------ ------------ ------------
1 . 177737E+03 .212182E+01 . 471293E+002 . 850258E+03 , 464083E+01 . 215479E+003 .J97073E+03 .476688E+01 .209781E+004 . 911022E+03 , 480380E+01 .208169E+OO5 . 923034E+03 .483536E+01 .206810E+006 .d32686E+03 .486058E+Ol .205737E+OO7 .',J40960E+03 .488209E+Ol .204830E+OO8 . 947393E+03 .489875E+Ol .204134E+OO9 .952144E+03 .491102E+01 .203624E+OO
10 . 955004E+03 .491839E+Ol .203319E+OO11 . 140943E+04 .597504E+01 . 167363E+0012 . 145010E+04 .606065E+01 . 164999E+OO13 . 146469E+04 .609107E+01 . 164175E+0014 . 147645E+04 .611547E+01 . 163520E+OO15 · 148648E+04 .613620E+01 . 162967E+0016 .149507E+04 .615390E+01 . 162499E+0017 . 150224E+04 .616865Et01 .162110E+0018 .150796E+04 .618038E+01 . 161802E+0019 .151213E+04 .618891E+01 .161579E+0020 .151466E+04 .619410E+01 . 161444E+0021 . 174455E+04 .664756E+01 .150431E+0022 .440390E+04 .105618E+02 ,946806E-0123 · ~€4051E+04 .108418E+02 .922352E-0124 ,~92144E+04 , 111652E+02 .895641E-0125 . 127315E+05 . 179581E+02 .556853E-0126 ·.129306E+05 . 180979E+02 .552549E-0127 , 129868E+05 .181372E+02 .551352E-0128 . 130207E+05 . 181609E+02 , 550634E-Ol29 · 130462E+05 .181787E+02 .550095E-0130 .130651E+05 .181918E+02 . 549697E-Ol31 .130788E+05 . 182ü14Etü2 · ~)4 9409E-0 132 · L30869E+05 . 182070E+02 .549238E-Ol33 . 134477E+05 . 184563E+02 · ~)41821E-0134 .202956E+05 .226736E+02 .441041E-Ol35 .205807E+05 .228323E+02 .437976E-0136 .2ü8064E+05 . 229572E+02 .435593E-0137 .2ü8747E+05 .229948E+02 .434881E--0138 .209205E+05 . 230200E+02 .414404E-0139 .209504E+05 .230365E+02 · 4 340 94 E-.0 140 .209736E+05 .230492E+02 .433854E-ü141 .209909E+05 .230587E+02 .433675E-0142 .210032E+05 . 230655E+02 .433548E-0143 . 210106E+05 .230696E+02 .433471E-0144 . 245397E+05 . 249319E+02 .401093E-0145 .270955E+05 . 261980E+02 .381708E-0146 .400654E+05 .318570E+02 .313903E-Ol47 .406912E+05 .321048E+02 .311480E-0148 . 695522E+05 .419735E+02 .238245E-0149 .111190E+06 . 530705E+02 . 188429E-0150 .111522E+06 .531497E+02 . 188148E-0151 . 137092E+06 . 589285E+02 .169697E-01
(\1
rABLEAU 3.1 c- suite
•
Mode Eigenvalue Frequency Period----~_._----- ------------ ------------
52 .166515E+06 . 649452E+02 .153976E-Ol53 .211109E+06 .731262E+02 .136750E-Ol54 .212597E+06 .733836E+02 .136270E-Ol55 . 223741E+06 .752822E+02 .132833E-Ol56 .253633E+06 .801537E+02 .124760E-Ol57 .273421E+06 .832216E+02 .120161E-Ol58 .311396E+06 .888130E+02 .112596E-Ol59 .3~7095E+06 .910242E+02 .109861E-Ol60 . 339659E+06 . 927559E+02 .107810E-Ol
TABLEAU 3.2 a- Masses généralisées, modèle 1
Number of frequencies = 60
Mode Generalized Weight
123456789
101112131415161718192021222324252627213293031323334
3'1;'H'I
3940414 ').-4344454647484950t>152
.1490E+06
. 1820E+06
.2461E+07
.2473E+07
. 2288E+07
. 1424E+06
.1217E+07
. 11GOE+07
.1058E+07
.1075E+07
. 2386E+07
. 8884E+OG
.1077E+07
.6671E+OG
.9293E+OG
. 8652E+OG
.8020E+OG
. 370GE+OG
.7788E+OG
.G813E+06
.801GE+OG
.8037E+06
.9G64E+OG
.4766E+06
.6935E+06
. 3343E+06
.5186E+06
.9707E+06
.6134E+06
.1056E+07
.9738E+06
.1431E+07
.4398E+06
.6715E+OG
. 5273E+OG
.8139E+06
.5261E+06
.4621E+06
.1045E+07
.4420E+ü6
.9647E+OG
. 1365E+06
.2784E+06
.9410E+06
.5945E+06
. 6834E+OG
.1016E+07
. 5859E+06
.8645E+06
. 5960E+06
.7537E+06
. 6943E+06
~ABLEAU 3.2 a- suite
Mode Generalized Weight
5354555657585960
.1079E+07
.5020E+06
.6175E+06
.6318E+06
. 5384E+06
.4778E+06
.4646E+06
.1055E+06
TABLEAU 3.2 b- Masses généralisées, modèle 2
Number of frequencies = sa
Mode
12345S789
101112131415lS1718192021222324252S2728293031323334353S37383H4041424344454S474849505152
Generalized Weight
.1710E+OS
.lS98E+07
.1325E+ü7
. 5707E+OS
.5528E+üS
.4443E+OS
.4ü42E+OS
. 3492E+OS
.3188E+OS
.3004E+OS
.251üE+OS
.S240E+OS
.1337E+OG
.2773E+OG
.3S15E+OS
.4794E+OG
. 5250E+OG
. 3499E+OG
. 51G4E+OG
. 8328E+OG
.3515E+OG
. 3754E+OG
.7305E+ÜG
.3G54E+OG
.4S13E+OG
. 59G5E+OG
. 2578E+OS
.2218E+OS
.23G7E+OS
.3G18E+OG
. 5359E+OG
. 9382E+OG
.2708E+OS
.7013E+05
. 1837E+OS
.377SE+OS
.4232E+OS
. 3242E+OEi
.8558E~OG
.3313E+06
.3025E-H)f)
.3458E+OG
.2942E+OS
.2995E+06
.5186[+OS
. 1440E+07
. 355~iE+lIS
.GS81E+OS
.4779E+OS
.5113E+OS
.7335E+OS
.4459E+OG
TABLEAU 3.2 b- suite
Mode
53545r5E.51585860
Generalized Weight
.2511E+07
.3161E+07
.1072E+07
.7920E+06
.844üE+06
.8574E+06
. 1332E+07
. 1149E+07
•
TABLEAU 3.2 c- Masses généralisées, modèle 3
Number c.f frequencies = 60
Mode Generalized Weight·
1234567{3
9101112131415161718192021222324252627282930·31323334353S37383940414243444fl46474849505152
.2403E+06
.6378E+06
.4784E+06
. 3696E+06
. 4580E+06
.4051E+06
. 4579E+06
. 4232E+06
. 4668E+06
.4383E+06
. 5334E+06
.4255E+06
.4505E+06
. 4630E+06
.4776E+06
.4943E+06
.4970E+06
. 4799E+06
.4941E+06
.4923E+06
.4668E+05
. 2488E+07
.4655E+06
. 3870E+07
.4487E+06
.3593E+06
.4249E+06
.3809E+OS
.4433E+06
. 3968E+OS
.4619E+06
.4381E+06
.69D6E+Ofi
.4747E+Ofi
.4180E+06
. 3948E+OS
.4804E+06
.4861E+06
.4983E+06
.4688E+06
.4753E+06
.4878E+OS
.4938E+06
.6000E+ü5
.2186E+06
.3691E+ü7
. 3637E+07
.8198E+06
.3184E+0'7
.3430E+07
.9661E+ü6
. 281üE+üS
•
TABLEAU 3.2 c- suite
Mode Generalized Weight
5354555S575859SO
. 2973E+OS
. 2489E+OS
.S553E+OS
.5S11E+OS
.5374E+OS
.4821E+OS
.5088E+OS
.4443E+OS
~ABLEAU 3.3 a- FacteJrs de participation des modes normaux,
modèle 1
~~u;llbcr of Modes = 60
PARTICIPATION FACTORSMode X Y Z
---------- ---------- ----------1 . 1405E+01 .OOOOE+OO -.7967E-032 -.5765E+00 .OOOOE+OO .5421E-023 .1097E-03 .OOOOE+OO . 1646E+014 .9061E-04 .OOOOE+OO .2126E-045 .1409E-03 .OOOOE+OO .4114E+006 . 2980E+00 .OOOOE+OO -.1823E-027 .7747E-07 .OOOOE+OO -.9564E-028 -.4545E-07 .OOOOE+OO -.1133E-019 -.6576E-06 .OOOOE+OO -.2000E-01
10 -.2281E-05 .OOOOE+OO -.1974E-0111 .2197E-01 .OOOOE+OO -.6515E-0412 -.9333E-06 .OOOOE+OO -.1938E-0113 -.2461E-05 .OOOOE+OO -.3683E-0114 -.3315E-05 .OOOOE+OO ....:.6002E-0215 -.2169E-02 .OOOOE+OO . 1789E-0416 -.1830E-04 .OOOOE+OO -.7394E-0117 -.3723E-01 .OOOOE+OO .3861E-0318 -.1291E+00 .OOOOE+OO . 1438E-0219 .9253E-02 .OOOOE+OO -.1322E-0320 -.2486E-01 .OOOOE+OO .5167E-0321 -.2700E-01 .OOOOE+OO . 1269E-0222 -.2695E-01 .OOOOE+OO . 1276E-0223 .7145E-04 .OOOOE+OO -.7618E+0024 -.2504E-01 .OOOOE+OO -.5870E-0225 -.3237E-01 .OOOOE+OO -.5436E-0226 .6272E-04 .OOOOE+OO -.2761E+0027 .4039E-05 .OOOOE+OO -.9602E-0128 .1471E-05 .OOOOE+OO -.8826E-0129 .1060E-05 .OOOOE+OO .2516E+0030 -.8137E--02 .OOOOE+OO .1508E-0331 .1100E-05 .OOOOE+OO -.J471E+OO32 --.4371E-06 .OOOOE+OO -.9490EOl33 .1153E-04 .OOOOE+OO -.2667E+(lO34 -.9728E-06 .OOOOE+OO . fJ027E--O l35 -.8661E-05 .OOOOE+OO .1517E+0036 -.1467E-05 .OOOOE+OO .367 :3E-O l37 -.8266E-05 .OOOOE+OO .7162E-01.38 -.1208E-04 .OOOOE+OO .1014E+OO39 -.6374E-05 .OOOOE+OO - . 3090E--0 140 .5160E-03 .OOOOE+OO --.8954E+OO41 - .2694E--04 .OOOOE+OO -.R7ô9E-'--Ol42 .8505E-01 .OOOOE+OO . D72bE"O:~:43 .9218E-01 .OOOOE+OO .1\63nE-0~~
44 .2103E--05 .OOOOE+OO -.11'7~Œ-Ol
45 .2300E-01 .OOOOE+OO . 5635E-0346 -.9492E-02 .OOOOE+OO -.1379E-0247 .1209E-03 .OOOOE+OO -.7459E-0148 .5062E-05 .OOOOE+OO - . .3588E-0149 -.4396E-02 .OOOOE+OO -.1422E-0350 .2195E-04 .OOOOE+OO -.1684E+0051 .2623E-02 .OOOOE+OO -.7340E-0552 .9740E--04 .OOOOE+OO -.3352E-05
C\~
TABLEAU 3.3 a- suite
Mode
•
PARTICIPATION FACTORSX Y Z
5354555657585960
.3958E-06-.1437E-01-.1230E-01-.1310E-01-.1193E-01
.4938E-04-.1270E-03
.3941E-04
.OOOOE+OO
.OOOOE+OO
.OOOOE+OO
.OOOOE+OO
.OOOOE+OO
.OOOOE+OO
.OOOOE+OO
.OOOOE+OO
.3008E-01
.1752E-04
.2542E-04
. 1404E-03
.5135E-04-.6384E+00
.3020E+00-.4548E-02
•
TABLEAU 3.3 b- Facceur s de participation des modes normaux,
modèle 2
Humbe r of Modes = 60
PARTICIPATION FACTORSMode X Y Z
---------- ---------- ----------1 .1503E+01 .OOOOE+OO -.9243E-012 .5725E-02 .OOOOE+OO .1577E+013 .5672E-02 .OOOOE+OO . 1420E+004 .3313E-04 .OOOOE+OO -.2318E-025 .6195E-04 .OOOOE+OO .1638E-016 .1232E-03 .OOOOE+OO -.6967E-027 -.7245E-03 .OOOOE+OO .5810E-018 .3847E-03 .OOOOE+OO -.1402E-019 .4374E-02 .OOOOE+OO -.1968E+00
10 -.3538E-02 .OOOOE+OO .1405E+0011 .2039E-02 .OOOOE+OO -.5558E-0112 -.4162E-01 .OOOOE+OO .2580E+0013 .4862E-02 .OOOOE+OO -.1214E+0114 .1795E-01 .OOOOE+OO -.2402E+0015 -.6383E-02 .OOOOE+OO .7531E-0116 -.5738E-02 .OOOOE+OO .8205E-0117 -.8099E-02 .OOOOE+OO -.1529E+0018 -.1977E-01 .OOOOE+OO -.2993E+0019 .3411E-01 .OOOOE+OO .2169E+0020 .1630E-01 .OOOOE+OO .1713E+0021 .3228E-01 .OOOOE+OO . 1300E+0022 -.1357E-01 .OOOOE+OO .2099E+0023 .2172E-02 .OOOOE+OO -.2141E+0024 . 1140E-02 .OOOOE+OO . 1777E+0025 .6551E-02 .OOOOE+OO . 5416E+0026 -.2435E-03 .OOOOE+OO .3555E-0127 .1115E-02 ·.OOOOE+OO . 1416E+0028 -.4587E-02 .OOOOE+OO . 3360E+OO29 -.2337E-Ol .OOOOE+OO -.3024E+0030 -.3561E-02 .OOOOE+OO .2508E-Ol31 . 1127E+00 .OOOOE+OO .1158E+0132 -.9538E-01 .OOOOE+OO -.9462E-0133 -.6352E+OO .OOOOE+OO .4845E+0034 -.1017E-01 .OOOOE+OO . 1260E+OO3 E, .5920E-02 .OOOOE+OO -.2926E-Ol36 '.1272E"02 .OOOOE+OO .5120E-0237 -.2059E-02 .OOOOE+OO . 1300E+0038 -.1827E-02 .OOOOE+OO .74321':+0038 .2992E"02 .OOOOE+OO .lE'63E+Ol40 . f;871[i:-O~~ .OOOOE+OO . '7:~:3 '1 J';I 0n41 . 46 57E: - li ;~ .UOOOE+OO . :l'/~OI':"OU42 .7880E03 .OOOOE+OO -.207Hl!:+OO43 -.9703E-03 .OOOOE+OO -.1139E+OO44 .6130E-03 .OOOOE+OO .4'747E+OO45 -.1958E-01 .OOOOE+OO -. J70~IE+OO46 -.1259E-01 .OOOOE+OO -.2789E-ül47 .7839E-01 .OOOOE+OO -.9747E-Ol48 -.1274E-02 .OOOOE+OO .1975E--0249 .9378E-02 .OOOOE+OO -. 1:~:31E-0150 .2580E--02 .OOOOE+OO -. 4~J39E-0251 -.5453E-02 .OOOOE+OO .7280E-0252· .5678E-02 .OOOOE+OO -.1182E-Ol
Çl
TABLEAU 3.3 b- suite
•
PARTICIPATION FACTORSMode X Y Z
---------- ---------- ----------53 .4241E-03 .OOOOE+OO -.3936E-0254 .1250E-Ol .OOOOE+OO -.2262E-Ol" l'. .3489E-Ol .OOOOE+OO -.6725E-Ol56 .1186E-Ol .OOOOE+OO .5346E-0257 -.2440E-Ol .OOOOE+OO -.3667E-Ol58 .4921E-Ol .OOOOE+OO .1879E+OO59 .3183E-02 .OOOOE+OO .1135E-Ol60 -.2983E-Ol .OOOOE+OO -.1019E+OO
•
TABLEAU 3.3 c- Facte~rs de participation des modes normaux,
modèle 3
Number of Modes = 60
PARTICIPATION FACTORSMode X Y Z
---------- ---------- ----------1 .1482E+Ol .OOOOE+OO -.1131E-032 .3032E-05 .OOOOE+OO .1472E+013 .2552E-06 .OOOOE+OO . 1430E+004 -.3293E-06 .OOOOE+OO -.1913E+005 -.7978E-07 .OOOOE+OO -.4914E-016 -.1700E-06 .OOOOE+OO -.1060E+007 -.3630E-07 .OOOOE+OO -.2393E-018 -.8801E-07 .OOOOE+OO -.5763E-019 -.1506E-07 .OOOOE+OO -.1036E-01
10 .2724E-07 .OOOOE+OO .1831E-0111 -.1294E-05 .OOOOE+OO . 1445E+0112 -.5871E-06 .OOOOE+OO .3324E+0013 .9235E-06 .OOOOE+OO -.3026E+0014 -.7998E-06 .OOOOE+OO .1053E+0015 .8893E-06 .OOOOE+OO -.1569E+0016 -.7188E-06 .OOOOE+OO .5042E-0117 -.7208E-06 .OOOOE+OO .8564E-0118 -.5509E-06 .OOOOE+OO . 2676E-:-0119 -.4252E-06 ·.OOOOE+OO . 3908E-0120 -.2063E-06 .OOOOE+OO .8465E-0221 ~.3629E-05 .OOOOE+OO ,1255E+0122 . 1129E+00 .OOOOE+OO .2797E-0423 -.5510E+OO .. OOOOE+OO .3618E-0224 . 1998E-03 .OOOOE+OO . 1180E'+Ol25 -.6217E-01 .OOOOE+OO -.1183E-0426 -.1700E-01 .OOOOE+OO -.2790E-0527 -.8803E-02 .OOOOE+OO -.1453E-0528 -.5981E-02 .OOOOE+OO -.8497E-0629 -.4280E-02 .OOOOE+OO -.7013E-0630 -.3087E-02 .OOOOE+OO -.4117E-0631 -,1923E-02 .oonOE+OO -.3138E-0632 . 9562E- O~:l .OOOOE+OO .1?37E-0633 -.4757E-01 .OOCtOE+OO - . 3704E-OE·34 .9987E-01 .OOOOE+OO -.8442E-Of,35 .6435E-01 .OO(IOE+OO .9477E-0636 -.1324E-Ol .OOOOE+OO -- . 34 99 E- 0 ~,
37 .7943E-02 .OO(lOE+OO ". 2614E-0~,38 -.3565E-02 .OOOOE+OO -. :2035E-0539 .3401E-02 .OOUOE+OO -.1811E-(l540 .1747E-02 .OOOOE+OO .1~,~:OE-O~J
41 -.1707E;-0? .0(l(lOE+00 · 1??8E-Ot:,42 .7234E--03 .00I'IOE+OO .8J'74E-üG4~i -.5132E-03 .00(10]1;+00 · 4 ~\:i7 fi:--0ri44 -.4253E+00 .0fJUOE+00 .8581E-O'145 -.4319E+00 .OOOOE+OO .1570E--0346 -.9135E-05 .OOOOE+OO -.44011':+0047 -.1069E-02 .OOOOE+OO -.8130E-0348 . 1900E+00 .OOOOE+OO · 1511E-0449 -.8181E-05 .OOOOE+OO . 2808E+0050 .7092E-03 .OOOOE+OO .2705E-0251 . 1403E+OO .OOOOE+OO .7519E-0452 .2850E-05 .oonOE+OO . 22871ï:-() 1
r3
TABLEAU 3.3 c- suite
PARTICIPATION FACTORSMode X Y Z
---------- ---------- ----------t', 3 -.3437E-04 .OOOOE+OO .2223E+0054 -.7006E-03 .OOOOE+OO -.8942E-0355 .1158E+00 .OOOOE+OO .2128E-0356 .8870E-05 .OOOOE+OO . 8226E-Ol57 -.1884E-04 .OOOOE+OO -.2751E-Olf)8 -.1011E-04 .OOOOE+OO -.2457E-OlfIg .9901E-Ol .OOOOE+OO -.1484E-0360 .1630E-03 .OOOOE+OO .1219E+00
1 t
1' 'l : 1 J-"\- 1
1 1 1 1 1
1 1 1--'-+-"""Il
FFig 3.1 a- Déformations modales du modèle 1. mode 1: Px*=73.14 %
•
(Mode
Fig 3.1 b- Déformations modales du modèle 1, mode 2: Px*=lS.04%
- ..__._,._---_.~- -
A""'........
~--+--~
_...-.--
_ -+_-+---
.------.--~-
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"--,......~
--4-......~
-L..__ -t.._.
-+---....._-
-...._- .......-
---t__...._
-L_...__
--+--+-
--_....---
3, 3.81882D+BB Hz.)(Mode
.--+---t-_ -.
-+--1- _ ......
--+._--!~l'--+ __
,r---iFig 3.1 c- Déformations modales du modèle 1, mode 3: Pz*= 74.77%
~~"'-""··1·1 ~..
" -.1+--10\/ \1
/ (Il"'''
s ~ / \, ....--. \• "..) '1 J \
, -, l' ,1 \.,_.
,( ~ 1(".------.-.... "
~:: ~'::I<~--:'.-....- - --.........-
--"+-,.-.-
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.... ~. --..--..,.........-,,+---01"--
._~_...- --+-...--r ..
--~-..,...--~. - .....--.#"..- ..
--+------9"'"~'-_. - ......-.-..---
(Mode 23, 1.78604D-:;,2
--'--+--l'-- ..--+--<-'t~......-----+---<-.•-----..--T---
Hz. )
Fig 3. l d- Déforma-:ions modales du modèle l, mode 23: Pz *= 6.29 %
•
(Mode
Fig 3.2 a- Déforma~ions modales du modèle 2, mode 1: P= 50.71 %li
•
- .....
--+-
-....<;
....--,----....._-..-.
--.....-
-,..~...
--~--
-...--1..'__
---......................
.--...............'<,
..•.-.....
..-............-....._.......
.......-......
---....-................---.....
-.......
_r--.•r'"
_o+--t-
,
..
..
..
...
.'
.'
..'
..----
- 1--12, 3.85795D+BB Hz.)(Mode
1..-
Fig 3.2 b- Déformations modales du modèle 2, mode 1: Pz= 46.03%
•
Fig J. 2 c- Déformai.ions modales du modèle 2« mode 33: Px= 16.60%
GI
(Mode 39,
Fig 3.2 d- Déformations modales du modèle 2, mode 39: Pz =22.80%
•
(Mode
Fig 3.3 a- Déformations modales du modèle 3, mode 1: Px= 57.73%
•
. -------._--.-.
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\\", "
",1\\,
1, \
\',\
",1,...
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J
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._-1---1-- ~_."_M_
-_. •... -- -+--
--1-.-~._. _ ..... _M
--1--~: J 4. 64B83D+BB Hz.)(Mod.e
14.65%~~.3 b- Déformations modales du modèle 3, mode 2: Pz-~~~~
•
A\-~ --\\~~~\t"" \ l, "~-\_-;- ..
Il 1 ~........,...-~ l ,Ir 1:.--"-- 1 \ <; l " \_-;, , ,1 ",_, -\-......, ,~ 'r 1 _~ -~-- \. \ fi1 \ '-'--\- 1 -.... \ " 1_-.,,.---, " , ...... " .J.._-",\ '" Il 1 1 --~_.~-', 1 1
Il 1 _4-··.,.--.... "," i\ .~- 1 1 -. , ,_ .......-~,--. 1 1 ·+--1'.'--1- , 1\ \ I.~ .-', Il Il II, ~_-l.-- ,--",._ i , \_-*r- i " ' - ..._-~ ..-r..., i
1. l.~L ..-l_ ',1 -t', J+-'1 1 1 ---..j.--+ --,i : 1 !,!--ll(Mode 2:3 J 1. 3198BD--:.-:9 Hz.) ---~ ._-.....-
15.45%Fig 3.3 c- Déformations modales du modèle 3, mode 23: Px-~=~'--='-""-
•
1J1\,JIIlIll,,,'1,,1rl'1
",1i
1
1"1
i,i1,,l
",
..
...
...
.,'
"
1 l-f-''fii i
''1 1
'It---f
r 1,- -~-
'1
1,11
.~ -l- ,1
J
11
,,,,'1
,"
,1
\,"1
\'\
"\
".
-- - -
r-i .--1--(Mode 24, 1.54BB4D+45 Hz.)
57.14%Fig ].3 d- Déformations modales du modèle 3, mode 24: Pz:--~--!""'~...2.
•
CHAPITRE 4
ANALYSE DYNAMIQUE
(Réponse dynamique par la méthode de superposition modale)
•
l. ELEMENTS THEORIQUES ET ELEMENTS DE IMAGES-3D
* MATRICE MODALE
4>" • • • •• cP,i •••.. cP'n
[cP] nxn = <Pk1 • • • •• <Pk i ••••• </J kn (4.1)
4ln, • • • •• cPni ••••• cPnn
{cP} i vecteur propre assoc ié à Wi 2
.1ASSES GENERALISEES (MODALES)
[M*] = M.*1
M*n
(4.2)
conditions d'orthogonalité.
i =1= ji = j (4.3)
Masse modale i
M.*1
m"m..
11
(4.4)
* AMORTISSEMEN'r GENERALISE (MODAL)
C,*
[C*] C.*1
C *n
(4.5)
CC] = a [M] + B [K]
[C*] [cP]T[C] [cp] = a [cP]T[M] [cP] + B [cp]T[K] [cP]
a [M*] + B [K*] = a [M*] + B [n][M*]
68
•
[M* ] -1 [C*] = Cl: [I] + B [n] [2€w] (4.6)
€i =Cl: + BW;2
taux d'amortissement modal (4.7)
* RIGIDITE GENERALISEE (MODALE)
[K*] = l~; *K*n
(4.8)
[K* ] = [n] [M*] (4.9)
* FORCES GENERALISEES
(F*(t)} = [4>]T(F(t)} (4.10 )
(4.11)
Pour séisme:
F(t) = [M]{l}Üg(t)
(4.12)
* EQUATION DU M8UVEMENT DYNAMIQUE MODAL
[I]{D"(t). + [2€w]{D'(t)} + [n]{D(t)}
l'our le mode 1:
( 4 . 14 )
(4.13)
Equation du mouvement en coordonnées normales
[M*](N"(t); + [C*](N' (t)} + [K*](N(t)} = (F*(t)}
pour le mode i:
69
(4.15)
•
* FACTEUR DE PARTICIPATION DU MODE l
(4.16)
P.*1
(4.17)
* REPONSE INSTANTANEE MODALE (Intégral de Duhamel)
pour le mode·· i :1
*(4.18 )
* REPONSE INSTi".N'l'ANEE TOTALE. DE LA STRUCTURE (méthode de superposition)
(4.19)
* REPONSE MODALE LIBRE «F*(t)} = O}
I\.l(t) * *sin wi t + i\ (0) cos wi t]
(4.20)
(4.21)
(Di(t) déplacement modale i
nj(t) amplitude modale i
(4.22)M.*
1
ni 1 (t) =M.*
1
(4.23)
Pour t 0, Di (0) = X o et Di 1 (0)
70
•
{ cf> } / [M] {xo } Lcf>" ; m" Xo1\ (0) = =
M.* Lcf>,,; 2
m"1
{cf>};T[I(] lVo } Lcf>,,; m" Voni'(O) = =
M.· Lcf>" i2
m"1
* REPONSE MODALE FORCEE
(4.24)
(4.25)
1"i,F(t) = (4.26)
* REPONSE MAXlMALR 'l'OTALE (Spectre de réponse)
Spectre de déplacement modal
Spectre de vitess~ modale
(4.27)
(4.28)
Spectre d'accélérltion modale
On a la relation suivante:
(4.29)
(4.30)
1< ~~I'I;;CTHE D'EXCITATION (Spectre de des ign)
c'est la representation de l'accélération maximale en fonction
rlps periodes ou fréquences naturelles obtenues lors du passage de
l'onde sismique.
71
* ANALYSE DE TYPE "TIME HISTORY"
C'est la détermination de la réponse instantanée des structures
à une Lncr émerrt.e.ti i.on spécifique du temps sous un accélérogramme
donné.
* ANALYSE SISMIQUE DE TYPE SPECTRAL
C'est une analyse qui détermine la réponse maximale d'une
structure lors d'un séisme sous un spectre d'accélération donné.
IMAGES3D utilise la méthode de superposition des modes en
sollicitant chaque mode par l'accélération maximale correspondante
sur le spectre.
II. DEFINITION DES CHARGES SISMIQUES
L'analyse sismique d'une structure sur un site donné, demande que
l'accélérogramme et le spectre sismique correspondant puissent être
anticipés sur celui-ci. Des études géologiques et historiques sont
requises pour la détermination avec un niveau acceptable de
certitude les caractéristiques du tremblement de.terre pou+ lequel
l'analyse doit être effectuée. Ces caractéristiques sont:
- l'intensité,
- la durée,
- les fréquences des mouvements.
A ces caractéristiques s'ajoutent des propriétés géotechniques
du site. Un tremblement de terre d'une caractéristique donnee
n'aura pas les m~mes effets à Mexico, région formée des bassins de
couches d'alluvions extrêmement tendres, qu'en Californie, site
72
•
formé de roches dures. Ainsi chaque région a un spectre donné qui
caractérise ses séismes. Pratiquement, pour un site donné où il n'y
a pas d'enregistrements sismiques, une étude préliminaire statique
sur plusieurs accélérogrammes des régions environnantes est requise
pour le prédiction ~es charges sismiques de ce dernier. Pour des
études pratiques il existe aussi des pr-oqr ammes qui génèrent
automatiquement des accélérogrammes en se basant sur les caracté
ristiques du géologiques et géotechniques du sol et sur une théorie
probabiliste fort complexe des mouvements du sols. Tel le programme
SIMQKE dont un a<:célérogramme généré ainsi que ·le spectre cor
respondant est montré à la figure 4.1. Dans ce projet, pour des
raisons de disponibilité de données, l'accelérogramme utilisé, est
celui très classi~ue de El-centro (séisme survenu à San fransisco
Californie le 18 mai 1940). Cet accélérogramme est présenté à la
figure 4.2. Ce tremblement de terre est caractérisé par une
accélération maximale a max= o. 32g et une vitesse maximale vmax= 0.33
rn/sec.
Le spectre normalisé d'accélération de calcul (figure 4.4) est
déduit à partir d'un spectre trilogarithmique moyen du calcul
antisismique recommandé par un code national du bâtiment. Les
propriétés de ce spectre ont été établies de sorte que sa forme
générale correspond aux spectres d'un grand nombre de spectres
enregistrés. Ce s?ectre tel que montré à la figure 4.3 est calculé
à partir des limites des mouvements maximaux du sol. En effet, ces
mouvements 1 imites du sol sont donnés par trois 1 ignes qui se
coupent sur le diôgramme logarithmique. Ces lignes représentent le
73
mouvement du sol p3r son accélération, sa vitesse et son déplace-
ment maxima. On constate que dans la figure 4.3 le spectre est
donné pour une valeur maximale de 19 (lg = 9.81 m/sec 2) pour
l'accélération du sol. La limite correspondante de la vitesse est
de 1 m/sec et celle du déplacement 0.8 m.
si l'accélération maximale du sol pour un système à IDDL est de
19 l'accélération spectrale Sa est telle que montrée en figure 4.3
et varie en fo~ction de la période T et de l'amortissement €. On
trouve au tableau 4.1, les valeurs de € recommandées pour les taux
d'amortissement ccrrespondants aux différents types de structures.
TABLEAU 4.1
TYPE DE STRUC~~'URE DAMPING€ !l:-0
Ossature métallique, assemblages soudés, avecmurs intérieurs et extérieurs de faible poids 3
Ossature métallique, assemblages soudés ouboulonnés avec murs extérieurs lourds, etcloisons normalesOssature en béton armée 5Ossature à pou~res et poteaux en boisBéton précontraint
Ossature en béton armée avec murs intérieurset extérieur en maçonnerie sensiblementincorporésConstruction en maçonnerie 10Ossature en bois avec panneaux en boistravaillant en cisaillement
1
Colonne 1 2
74
•
Dans une étude très précise il y a lieu de souligner des correc
tions sur les ve.Leu r s du tableau ci-dessus tenant compte des
interactions s c.L s.t.ruct.ure . Nos cadres étant en béton nous adoptons
un taux d'amortissement un peu moins de 5% soit 4%.
La figure 4.5 montre la construction du spectre d'accélération
de calcul utilisé dans l'analyse sismique de type spectrale.
Sur ce spectre nos modes principaux tombent dans une zone de
grande amplification. Ce qui s'explique par leur grande rigidité.
Notons qu'une structure plus flexible aura des périodes plus
grandes et une amplification plus faible. On gagnera alors à rendre
plus flexible nos cadres. Mais on peut aussi localiser les
premières fissur~s qui introduiront des degrés de liberté libres
dans les structures et pourrons permettre une sollicitation au delà
de la limite élastique.
Dans la suite seul l'étude du modèle 1 se~a faite. Les autres
s'en déduisent.
III. ANALYSE SPECTRALE
Cette analyse permet la détermination des valeurs de contraintes
et des déformations maximales nodales. Images utilise la méthode
de superposition modale. Dans cette analyse, chaque mode est
excité par l'accélération spectrale correspondante à sa periode sur
I(~ spectre.
Les déplacements général isés dans les structures X, Y, Z sont
combinés sous forme d'un seul déplacement généralisé pour chaque
mode Dei. La combinaison est faite soit par les valeurs absolues
75
(Absolute value ABS) ou soit par la racine de somme des carrés
(Root-sum-square RSS) selon différentes normes.
ABS
RSS
(4.31)
(4.32)
Le déplacement modal ni pour chaque mode est calculé par:
Ces déplacements modaux sont ajoutés selon le nombre de modes
considéré pour avoir le déplacement modal total n. Les contraintes
et réactions se d~duisent aisément des déplacements.
Les résultats de quelques noeuds particulier~ sont montrés dans
le tableau ci-dessous en guise d'exemple.
Excitation X + 0.3 Z
DEPLACEMENTS MAXIMAUX MODELE 1
Noeuds ABS RSS
X Z Sy X Z Sym m rd m m rd
45 0.431 0.029 0.020 0.368 0.019 0.013
105 0.921 0.057 0.028 0.791 0.387 0.020
190 1.515 0.119 0.008 1.342 0.115 0.006
Ces résultéts r 'ont pas une grande signification physique. Elles
permettent s eu Lemo nt; de déterminer les points critiques soient les
points de grandes déformations.
Une analyse pas à pas de type time history donne un schéma de
76
variation dans chaque direction beaucoup plus1
exhaustif des
contraintes et déformations.
IV. ANALYSE TIME HISTORY
Cette analyse permet la détermination à chaque instant t donné
des valeurs des contraintes et des déformations modales. Elle est
basée sur la résolution de l'équation dynamique:
[M](D"(t)} + [C](D'(t)} + [K](D(t)} P(t) (4.33)
La fonction P(t) représente l'excitation à
égale à:
la base. Elle est
P(t) = - a(t) m (4.34)
où a(t) est l'accélérogramme du séisme et m la masse.
Dans notre étude, 11 excitation est arrêtée aux 10 premières
secondes. Elle est faite dans la direction X combinée avec 0.3 fois
l'excitation de X dans la direction Z (règle de bonne pratique).
Cet intervalle de temps considéré permet d'avoir les valeurs
maximales dlaccélération.
La résolution de l'équation 4.33 dans les coordonnées normales
donne les amplitudes modales dont les variations des modes
importants sont présentées aux figures 4.6. Ces valeurs n'ont en
faite aucun support physique. Elles ne servent que mathématiquement
à la détermination des déplacements nodaux. Les valeurs des
amplitudes des modes importants sont présentées dans le tableau
c~~Llessous.
77
•
EXCITATION X + 0.3 ZAMPLITUDE MAXIMAI.E MODALE - MODELE 1
Modes Max - Min
A t A tm sec m sec
1 1. 277E-1 5.940 -1. 318E-1 2.932
2 9.598E-3 2.469 -7.406E-3 9.257
3 6.426E-3 3.317 -8.556E-3 2.700
23 4. 55~E-'4 2.546 -3.359E-4 4.937
Des déplacements nodaux obtenus pour quelques noeuds sont
présentés ci-dessous. De ces valeurs se déduisent celles des
contraintes. Leurs variations sont montrée dans les figures 4.7.
EXCITATION X + 0.3 Z
DEPLACEMENTS MAXIMAUX - MODELE 1
Noeuds X Y Sym m rd
45 3.442E-2 2.322E-3 1.474E-3
105 7.509E-2 4.363E-3 1. 934E-3
190 1. 329E-1 8.736E-3 5.093E-4
Les variations des forces de deux éléments particuliers joints
au noeud 45, la poutre 117 et la colonne 17 sont montrés dans les
figures ...
Il Y a lieu de remarquer sur ces courbes leur ressemblance avec
les courbes de variation des modes importants, même si les valeurs
extrêmes ne suivent pas. Par exemple la variation du déplacement
relatif du noeud 45 avec la variation de l'amplitude modale 1.
Rappelons que ce mode représente 74% de la réponse dynamique totale
du système. Les déformations modales augmentent avec les hauteurs
des niveaux. Ce qui est bien normale car plus on monte plus les
noeuds accumulent les déformations des niveaux plus bas. Cela
explique aussi le phénomène des building dont seules les parties
en hauteur s'écroulent lors des séismes. Au niveau des courbes
d'accélération ce~ même phénomènes s'observent, on conclut donc à
une augmentation ctes forces d'inertie avec le niveau de l'étage.
Tous les résultats de cette partie de l'étude dynamique seront
utilisés dans la réalisation proprement dit.
'H'W IIT<~TüPY GROUND ACCrL
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TIME SECONDS
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VlLOCj'\Y RESPSPEC.(PSV) ~ ~~ damp * eqkl *
RESPONSE SPECTRUM CSV)
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S1PECTRr~ D'ACCELERATION DE EL CENTRO.AMORTlSS EMENT lJE 4%
1.8
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Modele 1: Amplitude modale 1 TIME HISTORY; eze, X:O.32g 2:0.096g, 4 d (m)
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12.0010.004.00 6.00 8.00TIMES (SECONDS)
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0.2000
0.0000
-0.1000
-0.2000
-0.30000.00
Modele 1: Amplitude modale 2 TIME HIS TORy; eze, X:O,32g Z:O.096g, 4 d (m)
11
12.0010.004.00 6.00 8.00Ti !v1 ES (SEC 0 NDS)
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Modele 1: Amplitude modale 3 TIME HISTOR y; eze, X.-O.32g Z:O.096g, 4 d (m)
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-0.0050
Modele 1: Amplitude modale 23 TIME HISTORY; exc, X:O.32g Z:O.096g, 4 d (m)
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NOEUD 105 DEPLACEMENT X TIME HISTORY; exc, X·O.32g Z:O;096g, 4 d (m)
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NOEUD 105 DEPLACEMENT Y rIME HISrORY, exc, X:0.32g 2:0.096g, 4 d (m)
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NOEUD 105 ROTATION Y TIME HISTOR y; exc, X:O.32g Z:O.096g, 4 d (m)
•
12.0010.004.00 6.00 8.00Ti ~J1 ES (SEC 0 r~ D~ )
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0.0020
-0.0000
-0.0010
-0.0020
-0.00300.00 2.00
NOEUD 190 DEPLACEMENT X TIME HIS TORY; exc, X:O.32g Z:O.096g, 4 d (m)
•
12.0010.00.1.00 6.00 8.00TI~vIES (SECONDS)
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0.1000
0.0000
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CONCLUSION
L'étude qualitative des réponses des structures hybrides cadres
multi-étagées e~~rcprise dans ce projet nous a permis d'ou~rir ,une
fenêtre sur le vast,e domaine de la dynamique des structures. Elle
~ servi de tremplin pour éclaircir les notions et concepts
fondamentaux de la dynamique. Sans prétendre avoir fait une étude
exhaustive du problème nous avons dès le tout premier chapitre
rappeler les notiQns générales autour desquelles s'est faite
l'étude. Le choix <!u modèle (building) de l'étude s'est porté sur
un exemple de la référence 4 parce qu'il illustrait bien le concept
de structure hybride formée de portique ordinaire et de murs de
cisaillement. La modélisation des éléments structuraux a été celle
proposée par GHALLI et NERVILLE. Nous n'avons pas jugé nécessaire
·une discrétisation beaucoup plus fine, parce qu'en fait les
résultats quantitatifs des contraintes et déformations nous
intéressaient peu.
Tes résultats de l'analyse modale donnent des périodes naturelles
très faibles. Ce qui montre qu'on est en présence de structures
très rigides. Cette rigidité n'est plus tellement cherchée en
construction antisismique car elle rend très vulnérable les
structures face a~x tremblements de terre. On cherche plutôt une
ductilité qui perlLlettra une sollicitation au delà de la limite
élastique.
Deux études dynamiques ont été faite. Une étude spectrale pour
j~Lerminer les points critiques de la structure, où une attention
particulière est demandée lors du dimensionnement. Une étude time
h istory est reprise pour ces points en vue de déterminer les
sr
1'1
•
variations réelles des contraintes et déformations dans le temps.
Une étude quantitative détaillée des résultats n'est pas entreprise
dans ce rapport c~la pourra faire l'objet d'un autre projet.
Ainsi l'objec~lf d'initiation à la dynamique des structures est
pleinement atteint. Nous suggérons pour une éventuelle poursuite
de cet analyse une étude beaucoup plus quantitative en tenant
compte des interactions sol-structures et des réalités du site de
calcul.
•
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
LIVRES
1. ) Ray W. CLOUGH & Joseph PENZIEN
DYNAMICS OF STRUCTURES
McGraw-Hill, 1975 - 629p
2 . ) Robert COOK
CONCEPTS AND A?PLICATIONS OF FINITE ELEMENTS ANALYSIS
John Wiley & Sons, 2nd edition 1981 - 537p
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DYNAMICS ~F STRUCTURES AND EARTHQUAKES ENGINEERING
Bucarresti: Editura Didactica si pedagogica, 1985
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STRUCTURAL ANALYSIS
London: CHAPMAN AND HALL, 1978 - 779p
5. ) Charles N0a!US & AlI
STRUCTURAL DESIGN FOR DYNAMIC LOADS
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IMAGES3D, VERIFICATION MANUEL
Berkeley: Culestial Software, Inc
Rapports des travaux et comptes rendus de conférence
1.) El ie ABST
INTRODUCTION AU GENIE PARASISMIQUE
Annales de l.'ITBTP n° 453 mars-avril 1987
2. ) Boris ASANCllEYEV
COMPORTEMENT AUX SEISMES DES BATIMENTS CONTREVENTES PAR DESREFENDS PARALLELES
Annales de l'ITBTP n° 377 - nov 1978
3.) S. CHERRY
EARTHQUAKES AND DYNAMIC DESIGN OF STRUTURES INCLUDING NBC1970 REQUIREMENTS
Canadian structural engineering con~erence - 1970
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FRICTION DAl'1I'ERS FOR -SEISMIC CONTROL OF CONCORDIA UNIVERSITYLIBRARY BUILDING
Fifth canadian conference eathquakes engineering - 1987
5.) Thomas PAULAY
A SEISMIC DESIGN STRATEGY FOR HYBRID STRUCTURES
Fifth canadian conference earthquakes engineering -.1987
•
6.) René TINAWI & Guy VACHON
SEISMIC ANALYSIS OF ECCENTRIC BULDING AN EVALUATION OFEXISTING '!'t:CfUIQUES
Fifth can~~iùn conference earthquakes engineering - 1987
•
ANNEXE A
SPECTRES DE REPONSE. SPECTRES D'ACCELERATION
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•
EXCITATION
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v~x= 0.33 m/se~ = 12.992 in/sec = 1.083 ft/sec
0.225 m = 8.858 in ~ 0.738 ft
DAMPING
10% 5% 3% 0.5%
'1' sec a max 'r sec a~x T sec a max T sec a~x-
0.035 0.32g 0.035 0.32g 0.035 0.32g 0.035 0.32g0.04 0.38g 0.04 0.38g 0.04 0.39g 0.04 0.41g0.05 0.40g 0.05 0.4Gg 0.05 0.50g 0.05 0.59gO.OG 0.50g O.OG 0.58g O.OG 0.70g O.OG 0.80g0.08 O.GOg 0.08 0.G8g 0.08 1. OOg 0.08 1.30g0.1 0.70g 0.1 0.95g 0.1 1.40g 0.1 1.80g0.5 0.70g 0.48 0.95g 0.42 1.40g 0.4 1. 80gO.G 0.57g O.G 0.70g O.G 0.90g O.G 1.40g0.8 0.41g 0.8 0.57g 0.8 0.G5g 0.8 0.90g1.0 0.35g 1.0 0.45g 1.0 0.57g 1.8 0.72g2.0 0.17g 2.0 0.22g 2.0 0.30g 2.0 0.38g4.0 0.08g 4.0 0.10g 4.0 0.17g 4.0 0.18g
Sur la figure A. 1 nous montrons la construction d'un spectred'accélération normalisé à partir d'un spectre du canadien dubâtiment. Sur la figure A.2 sont les courbes des spectres résultants dans les coo~données X-Y.
c.. . __ 0
1004 32
1
Période, T, en s0.1
0.02
0.01
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u...J-1<:C0:::1Ul:t O.2+--",.,L-yI-~~,L4----I-<t,4+./-#-~~~
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§ 0,8
0,7~~ 0,6~
~ 0,5~~ 0,4~
~0,8
0,2
0, 1
0
0
f1r A- -2.-
•
ANNEXE B
ETUDE DU MOD;\LE DU MODELE l EN DEPLACEMENT X SEULEMENT
•
Dans cette partie nous faisons seulement une analyse modale du
~ojèle 1 en ne permettant qu'un seul degré de liberté, la transIa
t, i on en X. Une cqmparaison des périodes et fréquences avec les
L'É::.:;ul tats de l'analyse du chapitre ne sera pas judicieux. Mais
cette partie est faite pour montrer l'importance directionnelle
des différents modes. Notons dans les résultats, l'absence des
modes importants 3 et 23 que étaient comme dit précédemment
essentiellement ve~ticals. Le déplacement vertlcal étant supprimé
cette absence est r.ozmaLe , Le regroupement des modes importants est
aus~i bien illustré.
Au niveau des participations, dans le tableau des masses modales
et des pourcentages de la réponse total, seuls les 20 premiers
modes sont significatifs. Une analyse modale ou une détermination
jes 20 premiers modes seulement dure environ une heure, alors
Clil 1 n ve o les 60 modes l'analyse se termine au bout d'une journée.
Ces 20 modes rapr-és errt.errt; plus de 99% de la réponse t.o t a Le du
système. Ces remarques montrent clairement les corrélations
existantes entre le gain en coût et en temps réalisé, la précision
des résultats et nombre de modes considérés.
Dans les tableaux qui suivent sont confinées quelques résultats
de cette analyse.
~
1z..,
•
TABLEAU B.1 a- Modèle 1 en X seulement
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