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Rencontres GDR AMC2 décembre 2010

COMPORTEMENT DE DISPERSIONS COLLOÏDALES HÉTÉROGÈNES EN TAILLE

- INVERSION DES DONNÉES SAXS-

Robert BotetMartine Meireles, Marie-Laure Rami, Bernard Cabane


LES SPHÈRES POLYDISPERSES…

structure aléatoire la plus compacte possible avecune distribution log-normale des rayons des grains

On voudrait analyser les courbes SAXS d’un empilement compact de sphères très polydisperses

mais c’est difficile…



bien qu’on sache calculer numériquement le I(q)… donc fit, etc…

On voudrait analyser les courbes SAXS d’un empilement compact de sphères très polydisperses

mais c’est difficile…



système dilué de sphères avecune distribution log-normale des rayons des grains

Alors, on commence par un système très diluéde sphères très polydisperses

c’est plus facile…


INTENSITÉ SAXS PAR DES SPHÈRES POLYDISPERSES…

Si dilué que le facteur de structure = 1, et donc…

0

26 )(cossin)( drrfqrqrqrqIq

avec f(r) = distribution des rayons


INVERSION DE L’INTENSITÉ SAXS PAR DES SPHÈRES POLYDISPERSES…

0


et… un miracle mathématique!…



0


et… un miracle mathématique! il existe une formule d’inversion exacte

0

42 )()()( dqqrBqIqrfr

avec: )(lim 4 qIqq

uuuuuu

uB 2sin)21(2cos)2(2

)( 223

(Titchmarsh, 1924)



0


et… un miracle mathématique! il existe une formule d’inversion exacte

0


…mais elle n’est malheureusement pas utilisée…

(Titchmarsh, 1924)


POURQUOI LA FORMULE BATEMAN-TITCHMARSH-FOX N’EST PAS UTILISÉE…

0


Connaître les valeurs exactes de f(r) demande une quantité infinie d’information

…et les données expérimentales n’en fournissent qu’une quantité finie… q=1.0552 10-2 nm-1

q=1.0966 10-2 nm-1

q=1.1380 10-2 nm-1

q=1.1794 10-2 nm-1

q=1.2208 10-2 nm-1

q=1.2622 10-2 nm-1

q=1.3036 10-2 nm-1

q=1.3450 10-2 nm-1

q=1.3864 10-2 nm-1

q=1.4278 10-2 nm-1

…


UNE AUTRE FAÇON D’UTILISER LA FORMULE BATEMAN-TITCHMARSH-FOX…

0


0

4 )()()( dqqrqIqrf r

… où <f(r)> est la valeur moyenne de la distributionsur un petit intervalle Dr centré en certaines valeurs de r

n’essayez pas de calculer exactement f(r): une bonne valeur moyenne suffit…

r r+Dr/2r-Dr/2

<f(r)>f(r)


UNE AUTRE FAÇON D’UTILISER LA FORMULE BATEMAN-TITCHMARSH-FOX…

0

4 )()()( dqqrqIqrf

r

<f(r)>

théorie de l’information →# optimum de valeurs de r et écart minimum entre ces valeurs, cohérents avec la quantité d’information contenue dans les données de SAXS

…r1 rmax

…(Taupin et Luzzati, 1982)


EXEMPLE: L’ÉCHANTILLON 17C

connaissant qmin=1.10-2 et qmax=4.10-4,la théorie de l’information donne:

rmax=300nmDr=2.7nm

et la <distribution des rayons>:



théorie de l’information:

rmax=300nmDr=2.7nm

et la <distribution des rayons>:




rmax=300nmDr=2.7nm

donc pas d’information pourr < 2.7nm et r > 300nm

…

si on en veut, il faut utiliserd’autres expériences

par exemple: Surface spécifique : 15.6m2/gPression osmotique: 1 kPa pour =10f %

compatibles avec le loi trouvée et extrapolée entrer0=1.5nm et r1=50nm

3/4

43

2

r

r

Tkr

rB

3/4 3

0




rmax=300nmDr=2.7nm

… et si on veut une précision plus grande que Dr ?... Dr=1nm




rmax=300nmDr=2.7nm

… et si on veut une précision plus grande que Dr ?...

…et si on rajoute un bruit à I(q)?...

Dr=1nm

<(DI)2>=0.05I(q)


CONCLUSION…

Il semble que la formule de Bateman-Titchmarsh-Fox donne de bons résultatspour l’inversion de l’intensité SAXS par des systèmes très dilués de billes polydisperses,si l’on veut bien se limiter à la précision déduite de la théorie de l’information

on a alors accès à une valeur moyenne de la distribution en taille en des valeurs imposées des rayons (dépendantes du domaine des valeurs expérimentales de q utilisées)

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