Recherche sur la corrélation en traitement de signal

Master spécialisé Systèmes d’Informations Distribués

Date : 06/01/2014

Matière : Traitement de signal

Par : BAKRI AnouarBELHAOUS SafaEL YAMAMI Abir

Année universitaire : 2013-2014

Table des matières

Introduction 3

La corrélation 41.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 En statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 En traitement de signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Applications de la corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

La corrélation en traitement de signal 81.4 Corrélation des signaux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Signal à énergie finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 signal à puissance moyenne finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.3 Corrélation croisée des signaux continus . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.4 L’autocorrélation des signaux continus . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Corrélation des signaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1 Corrélation croisée des signaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2 L’autocorrélation des signaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.3 Propriètés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Coefficient de Corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Simulation sur Matlab 151.7 Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

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Introduction

Le signal est le support de l’information émise par une source et destinée à un récep-teur ; c’est le véhicule de l’intelligence dans les systèmes. Il transporte les ordres dans leséquipements de contrôle et de télécommande, il achemine sur les réseaux l’information,la parole ou l’image. Il est particulièrement fragile et doit être manipulé avec beaucoupde soins. Le traitement qu’il subit a pour but d’extraire des informations, de modifier lemessage qu’il transporte ou de l’adapter aux moyens de transmission ; c’est là qu’inter-viennent les techniques numériques. En effet, si l’on imagine de substituer au signal unensemble de nombres qui représentent sa gran- deur ou amplitude à des instants conve-nablement choisis, le traitement, même dans sa forme la plus élaborée, se ramène à uneséquence d’opérations logiques et arith- métiques sur cet ensemble de nombres, associéesà des mises en mémoire.

La modélisation des systèmes est l’un des grands domaines du traitement du signal.Par ailleurs, la modélisation des signaux constitue une autre approche pour leur analyse,avec des propriétés qui diffèrent de celles de la transformée de Fourier et des filtres définisdans le domaine des fréquences. La prédiction linéaire, en parti- culier, est un outil simpleet efficace pour caractériser certains type de signaux et procéder à leur compression.Les traitements sont spécifiés dans le domaine tem- porel, en utilisant les paramètresstatistiques et principalement la corrélation.

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La corrélation

Figure 1.1 – Source : http://lesveritesscientifiques.com/tag/socio-economie/

Le Concept de base de la corrélation est illustré dans la Figure 1.2 qui représenteun exemple de la reconnaissance de caractère. Dans cette Figure 1.2, les pixels noirsprennent une valeur de 1 et les pixels blancs une valeur de 0. supposant que nous voulonslocaliser toutes les occurrences de l’image de référence(S dans cet exemple) dans l’imagede test. La façon pour faire cela est d’appliquer la corrélation(inter-corrélation commenous allons le voir après) entre l’image de référence et l’image de test. L’image deréférence est placée en dessus de l’image de test en haut à gauche et une multiplicationpixel par pixel est faite sur les deux matrices des deux images ; toutes les valeurs de lamultiplication sont sommées pour donner une seul valeur de corrélation. Ce processus est

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1.1. HISTORIQUE

répété en déplaçant l’image de référence à droite et en bas de l’image de test. Finalementune matrice est construite a partir de ces valeurs où les valeurs maximales représentes lesendroits de ressemblance entre les deux images et des valeurs zéros représentants la nonressemblance.

Figure 1.2 – Schéma de la corrélation d’image

1.1 HistoriqueC’était tard en 19ème siècle que les scientifiques ont commencé à travailler sur la

problématique de comment quantifié l’existence d’une relation ou pas entre deux variablesaléatoires. Le biologiste Français Galton dans son article publié en 1888 Co-relations andtheir Measurement, Chiefly from An-thropometric Data. Proceedings of the Royal Societyof London 45 : 135-145. a définie le mot co-relation de manière quantitative, aujourd’huiconnu comme corrélation. Dans cet article il a présenté pour la première fois une méthodede calcule de la corrélation. Il a pu faire la corrélation entre la hauteur (taille) de 348adultes masculins et la longueur de leurs avant-bras la partie qui se trouve entre le poignetet le coude. Ces données sont représenté dans la Figure 1.3 . Galton a conclu que ladiagonale de ce tableau contient les cas où il y a une grande corrélation entre la longueurde l’avant-bras (C) et la hauteur de l’adulte (S).

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1.2. DÉFINITION

Figure 1.3 – Les données de Galton : (S) hauteur et (C) longueur de l’avant-bras

Toutefois pour Galton, la notion de corrélation n’est pas définie précisément et il l’as-simile dans un premier temps à la droite de régression(diagonale du talbeau précédent).C’est après que Karl Pearson propose en 1896 une formule mathématique pour la no-tion de corrélation. La corrélation est introduite en économie avec l’ouvrage de BowleyElements of Statistics en 1923 et l’intervention de George Udny Yule en 1909. La dated’introduction de la corrélation dans le traitement de signal n’est pas connu ! ! ! !.

1.2 DéfinitionDifférents domains d’études définissent la notion de corrélation différemment, ces dé-

finition ne sont pas toutes équivalentes. dans certain domaines la corrélation est utiliséinterchangeablement avec la covariance.

1.2.1 En statistiqueEn statistiques, étudier la corrélation entre deux ou plusieurs variables aléatoires ou

statistiques numériques, c’est étudier l’intensité de la liaison qui peut exister entre cesvariables. mathématiquement la corrélation entre deux variables aléatoires X et Y définiesdans le temps (Série temporelle) est :

ρX,Y (m) = corr(X, Y ) = E[(Xn−µX)(Y n+m−µY )]σXσY

avec µX et µY l’espérance mathématique de X et Y et σX , σY l’écart type. la quantitéE[(X − µX)(Y − µY )] représente la covariance entre X et Y. Donc, la formule précédentepeut être écrite autrement :

ρX,Y (m) = corr(X, Y ) = cov(Xn,Yn+m)σXσY

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1.3. APPLICATIONS DE LA CORRÉLATION

1.2.2 En traitement de signalEn traitement de signal, la définition précédente en statistique est utilisé sans norma-

lisation. ça veut dire, sans division par l’écart type σX , σY et soustraction de l’espérancemathématique µX et µY . Soit x(t) et y(t) deux signaux de type quelconque

Rxy(τ ) = corr(x(t), y(t− τ )) = E[x(t)y(t− τ )]où E [x] désigne l’espérance de x.

1.3 Applications de la corrélationLa corrélation est une notion appliquer dans Différents domaines d’études :

— L’une des applications de la corrélation est la mesure du spectre optical et lesimpulsions lumière a très courte durée produites par les lasers en utilisant l’auto-corrélateur optical.

— La corrélation est utilisé pour analyser les données de diffusion dynamique de lalumière.

— l’intensité de diffusion des rayons X aux petits angles des systèmes non structurésest la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation spatial de la densitéd’un électron.

— Dans l’optique, l’autocorrélation normalisée et la corrélation croisé donne le degréde cohérence d’un champ électromagnétique.

— Dans l’analyse de données de la méthode de Monte-Carlo par chaînes de Markov,l’autocorrélation doit être prise en considération pour une correcte détection deserreurs.

— En traitement de signal, l’autocorrélation donne des informations sur les évène-ments qui se répètes comme les solfèges de musique ou la fréquence d’un pulsar.

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La corrélation en traitement de signal

La corrélation est une opération importante dans le traitement de signal comme l’opé-ration de convolution, elle est largement utilisé particulièrement dans le domaine de trans-mission de données et le génie biomédical. Comme on a vu avant la corrélation est utilisédans les applications, où il est néccessaire de trouver la similarité entre deux séquencesde données. En transmission de données elle est utilisé pour comparer un signal reçu avecun ensemble de signaux standards. Dans le traitement de signal biomédical, les signauxmédicaux peuvent être comparés par la corrélation. La corrélation est utilisée dans desapplications biomédical, applications de la reconnaissance vocale, radars, transmissionde données, biologieet astrophysique. Cette partie, présente la corrélationn des signauxcontinus et les signaux discrets dans le temps.

Figure 1.4 – Francis Galton : le parrain de la corrélation

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1.4. CORRÉLATION DES SIGNAUX CONTINUS

1.4 Corrélation des signaux continus

1.4.1 Signal à énergie finieSoit s(t) un signal continus dans le temps. On dit que s(t) est un signal à énergie finie

si la valeur de son énergie est finie :

E = 〈x(t), x(t)〉 =∫ ∞−∞ |x(t)|2dt = valeur finie

Dans ce cas la puissance moyenne de ce signal P est nulle par définition. Généralementc’est le cas des signaux représentant une grandeur physique, Signaux transitoires a sup-port borné.

1.4.2 signal à puissance moyenne finieOn dit que le signal s(t) est un signal à puissance moyenne finie si la valeur de la

puissance moyenne est finie :

P = limT→∞

1T

∫ +T2−T2x(t)2 dt = valeur finie

Les signaux a énergie infinie ont une puissance moyenne non nulle. En plus, si cettepuissance est finie en parle de signaux périodique.

1.4.3 Corrélation croisée des signaux continus1.4.3.1 Cas des signaux à énergie finie

Soit x(t) et y(t) deux signaux continus à énergie finie. la corrélation croisée entre cesdeux signaux notéé RXY (τ) est par définiton :

Rxy(τ ) =∫ +∞−∞ x(t)y(t− τ )dt

la valeur τ représente le décalage dans le temps entre x(t) et y(t).

La figure 1.5 montre deux signaux différents x(t), y(t) et le resultat de leurs multipli-cation. Dans le premier cas (a), x(t) est fixé dans le temps alors que y(t) est décalé avec θ.la corrélation croisée est la surface coloré en gris. Dans le deuxième cas (b), on considèrey(t), x(t-θ) et leurs corrélation croisée y(t)x(t-θ).

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1.4. CORRÉLATION DES SIGNAUX CONTINUS

Figure 1.5 – Corrélation croisée entre x(t) y(t) décalé par τ

un coup d’oeil rapide nous permet de conclure que les deux integrales sont différentes :

∫ +∞−∞ x(t)y(t− τ )dt 6=

∫ +∞−∞ y(t)x(t− τ )dt

Mais si on ajoute θ dans x(t) et y(t-θ) on va avoir la relation suivante :∫ +∞−∞ x(t)y(t− τ )dt =

∫ +∞−∞ y(t)x(t + τ )dt

1.4.3.2 Cas des signaux périodiques(puissance finie)

La même chose pour les signaux périodiques, on définie la corrélation croisée :

RXY (τ ) = limT→∞

12T

∫ T−T x(t)y(t−τ ) = lim

T→∞

12T

∫ T−T x(t+τ )y(t) dt

1.4.3.3 Propriètés de la corrélation croisée

> La transformée de fourier de la corrélation croisée est appellée densité spectrale estdéfinie par :— Pour les sginaux à puissance finie

Sxy(iω) = =[Rxy(τ )] =∫ ∞−∞ Rxy(τ ) e−iωτ dτ

— Pour les signaux à énergie finie

Gxy(iω) = =[Rxy(τ )] =∫ ∞−∞ Rxy(τ ) e−iωτ dτ

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1.5. CORRÉLATION DES SIGNAUX DISCRETS

> On remarquera que le produit de convolution est équivalant à la corrélation croiséede x(t) et y(-t).

(x ∗ y)(τ ) =∫ +∞−∞ x(t) · y(τ − t)dt

> une propriété fondamentale de l’autocorrélation est la symétrie. Ce qui se démontreà partir de la définition. Dans un cas continu, l’autocorrélation est même unefonction paire.

Rxy(τ ) = Rxy(−τ )

1.4.4 L’autocorrélation des signaux continusL’autocorrélation est souvent utilisé en traitement du signal. C’est la corrélation croisée

d’un signal par lui-même. L’autocorrélation permet de détecter des régularités, des profilsrépétés dans un signal comme un signal périodique perturbé par beaucoup de bruit.

1.4.4.1 Cas des signaux à énergie finie

Soit x(t) un signal continu à énergie finie. l’autocorrélation notéé Rxx(τ) est par défi-niton :

Rxx(τ ) =∫ +∞−∞ x(t)x(t− τ )dt

la valeur τ représente le décalage dans le temps.

1.4.4.2 Cas des signaux périodiques(puissance finie)

La même chose pour les signaux périodiques, on définie la corrélation croisée :

Rxx(τ ) = limT→∞

12T

∫ T−T x(t)x(t−τ ) = lim

T→∞

12T

∫ T−T x(t+τ )x(t) dt

1.5 Corrélation des signaux discrets

1.5.1 Corrélation croisée des signaux discretsLa corrélation croisée notée rxy(k) est utilisée pour mesurer la similarité entre deux

sequences x(n) et y(n). Elle est définie par :

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1.5. CORRÉLATION DES SIGNAUX DISCRETS

rxy(k) = +∞∑n=−∞

x(k)y(n− k)

où, par équivalance

rxy(k) = +∞∑n=−∞

x(n + k)y(n)

1.5.2 L’autocorrélation des signaux discretsDans le cas spéciale, où y(n)=x(n), on à la corrélation du signal x(n) avec lui même ap-

pellée autocorrélation. Elle est utilisée pour comparer la similarité entre deux échantillond’un même signal. L’autocorrélation rxx(k) est définie par :

rxx(k) = +∞∑n=−∞

x(n + k)x(n)

1.5.3 Propriètés1. rxy(k) = ryx(−k)2. rxy(n) = x(n) ∗ y(−n)(convolutionlinière)

1.5.4 ExempleSoit la séquence x(n) = {2, 1, 2, 4} et y(n)={2, 1, 2, 4}. La corrélation croisée est calculé

par la formule précédente :

rxy(k) = +∞∑n=−∞

x(k)y(n− k)

la longueur de rxy(n) = la longueur de x(n) + la longueur de y(n) - 1.= 4 + 4− 1 = 7

la limite minimale de rxy(n) = limite minimale de x(n) + limite minimale de y(-n)= 0 + (−3)

la limite maximale de rxy(n) = limite maximale de x(n) + limite maximale de y(-n)= 3 + 0 = 3

Donc, n varie de -3 à 3.

Pour n = - 3 rxy(−3) =3∑

k=0x(k)y(k + 3)

= x(0)y(3) + x(1)y(4) + x(2)y(5) + x(3)y(6)= 2.4 + 1.0 + 2.0 + 4.0 = 8

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1.5. CORRÉLATION DES SIGNAUX DISCRETS

Pour n = - 2 rxy(−2) =3∑

k=0x(k)y(k + 2)

= x(0)y(2) + x(1)y(3) + x(2)y(4) + x(3)y(5)= 2.2 + 1.4 + 2.0 + 4.0 = 8

Pour n = - 1 rxy(−1) =3∑

k=0x(k)y(k + 1)

= x(0)y(1) + x(1)y(2) + x(2)y(3) + x(3)y(4)= 2.1 + 1.2 + 2.4 + 4.0 = 12

Pour n = 0 rxy(0) =3∑

k=0x(k)y(k)

= x(0)y(0) + x(1)y(1) + x(2)y(2) + x(3)y(3)= 2.2 + 1.1 + 2.2 + 4.4 = 25

Pour n = 1 rxy(1) =3∑

k=0x(k)y(k − 1)

= x(0)y(−1) + x(1)y(0) + x(2)y(1) + x(3)y(2)= 2.0 + 1.2 + 2.1 + 4.2 = 12

Pour n = 2 rxy(2) =3∑

k=0x(k)y(k − 2)

= x(0)y(−2) + x(1)y(−1) + x(2)y(0) + x(3)y(1)= 2.0 + 1.0 + 2.2 + 4.1 = 12

Pour n = 3 rxy(−1) =3∑

k=0x(k)y(k − 3)

= x(0)y(−3) + x(1)y(−2) + x(2)y(−1) + x(3)y(0)= 2.0 + 1.0 + 2.0 + 4.2 = 8

Donc, rxy(n) = {8, 8, 12, 25, 12, 8, 8}

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1.6. COEFFICIENT DE CORRÉLATION

1.6 Coefficient de CorrélationLa corrélation référe à la relation quantitative entre deux variables. La force de la

corrélation est indiquée par le coefficient de corrélation. Le coefficient de corrélation, notér, est la mesure de la force de la relation entre deux variables. Il prend des valeurs entre -1et +1. Une valeur positive implique une association positive entre les variables(une valeurpositive d’une variable associée avec une valeur positive de l’autre), alors qu’une valeurnégative implique une association négative entre les variables. Un coefficient à valeur -1montre que les variables sont parfaitement corrélées négativemant ; alors que +1 montrequ’une parfaite corrélation positive existe, finalement un coefficient 0 montre que les deuxvariable ne sont pas corrélées.

Soit x(n) et y(n) deux signaux discrets avec N pairs de données (x1,y1),(x2,y2)...(xN ,yN).La formule mathématique du coefficient de corrélation croisée s’écrite :

rxy =

N∑k=1

(x(k)− x) · (y(k)− y)√√√√ N∑k=1

(x(k)− x)2 ·

√√√√ N∑i=k

(y(k)− y)2

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Simulation sur Matlab

Dans cette simulation on va faire une application des connaissances théoriques pré-sentées dans ce rapport. Le concept de corrélation est appliquer aux images en utilisantla notion de corrélation normalisée qui utilise elle aussi la notion de Coefficient de corré-lation.Dans cette simulation on va utilisé matlab pour détecter une image ’image2’ appelléeimage modèle dans une autre image ’image1’ qui contient l’image2 plus un bruit.

(a) Image de test(b) Image modèle

1.7 Script

image1 = imread(’image_correlation\image1.jpg’);image2 = imread(’image_correlation\image2.jpg’);imshow(image1)figureimshow(image2)rect_image1 = [222 33 900 1100];rect_image2 = [10 20 400 320];sub_image1 = imcrop(image1,rect_image1);sub_image2 = imcrop(image2,rect_image2);correlation = normxcorr2(sub_image2(:,:,1),sub_image1(:,:,1));figuresurf(correlation), shading flat

[max_c, imax] = max(abs(correlation(:)));[ypeak, xpeak] = ind2sub(size(correlation),imax(1));corr_offset = [(xpeak-size(sub_image2,2))

(ypeak-size(sub_image2,1))];

rect_offset = [(rect_image1(1)-rect_image2(1))(rect_image1(2)-rect_image2(2))];

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1.8. RÉSULTAT

offset = corr_offset + rect_offset;xoffset = offset(1);yoffset = offset(2);

x1 = xoffset+1;x2 = xoffset+ size(image2,2);y1 = yoffset+1;y2 = yoffset+size(image2,1);

[m,n,p] = size(image1);mask = ones(m,n);i = find(temp_image1(:,:,1)==0);mask(i) = .2;

figure, imshow(image1(:,:,1))hold onh = imshow(temp_image1);set(h,’AlphaData’,mask)

1.8 Résultat

Figure 1.6 – Corrélation normalisée calculé avec normxcorr2()

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1.8. RÉSULTAT

Figure 1.7 – Emplacement de l’image modèle dans l’image de test

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