recettes et dépenses des entreprises

L'INSEE / GENESADRES

Recettes et dépenses des entreprisesAuthor(s): Georges BernardSource: Cahiers du Séminaire d'Économétrie, No. 6 (1962), pp. 41-90Published by: L'INSEE / GENES on behalf of ADRESStable URL: http://www.jstor.org/stable/20075383 .

Accessed: 13/06/2014 01:02

Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms & Conditions of Use, available at .http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp

.JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range ofcontent in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new formsof scholarship. For more information about JSTOR, please contact [email protected].

.

L'INSEE / GENES and ADRES are collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extend access to Cahiersdu Séminaire d'Économétrie.

http://www.jstor.org

This content downloaded from 188.72.127.68 on Fri, 13 Jun 2014 01:03:00 AMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions

http://www.jstor.org/action/showPublisher?publisherCode=linsgen

http://www.jstor.org/action/showPublisher?publisherCode=adres

http://www.jstor.org/stable/20075383?origin=JSTOR-pdf

http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp


RECETTES ET DEPENSES DES ENTREPRISES par

M. Georges BERNARD

Le m?moire de M. Georges BERNARD est fond? sur une remarque fort judicieuse : l'ajustement des lois de demande ou d'offre par des formules ? ?lasticit?s constantes ne traduit que tr?s imparfai tement les propri?t?s de ces fonctions et ne saurait convenir pour l'?tablissement de pr?visions portant sur les recettes et les d?penses des entreprises.

L'auteur ne s'en tient d'ailleurs pas ? cette attitude critique ; il sugg?re des formules mieux appro

pri?es ? l'?tat pr?sent de nos besoins et de nos connaissances. L'application des formules relatives

aux lois de la demande permet de confronter les r?sultats ainsi obtenus ? ceux d'analyses effectu?es

auparavent par M. STONE et conduit ? une estimation raisonnable des prix et d?bits limites d'articles

de consommation courante comme le sucre.

Pour ce qui regarde l'ajustement des fonctions de d?penses et le calcul des co?ts, nous retenons

en particulier : ?

la d?finition de la capacit? d'une entreprise comme limite sup?rieure de son d?bit ; ?

l'?tablissement d'une formule rationnelle de la d?pense en fonction du d?bit rapport? ? la

capacit? ; ?

l'allure d?croissante des co?ts de d?veloppement pour les industries de transformation ; ?

le caract?re anachronique des analyses s'inspirant trop ?troitement des lois de rendement

d?croissant h?rit?es du si?cle dernier ; ?

les cons?quences du rendement croissant des industries de transformation dans le cas des

investissements lourds.

Ces r?flexions pourront ?tre utilement rapproch?es de celles qui ont ?t? d?velopp?es dans le Cahier

pr?c?dent par MM. LAVAILL et LESOURNE ; elles m?ritent sans aucun doute la plus grande attention.

Servi par une longue exp?rience des besoins et de la vie des entreprises, M. Georges BERNARD

apporte une contribution particuli?rement pr?cieuse pour tous ceux qui, assumant des responsabilit?s dans le monde des affaires, s'efforcent de les prendre avec le maximum de garantie.

R. R.

INTRODUCTION

Dans l'expos? pr?sent? les 1er et 7 f?vrier 1960 au S?minaire d'Econom?trie de M. Ren? ROY, j'ai utilis? ? titre d'outils de raisonnements un mod?le de demande (recettes) et un mod?le de d?penses

qui, d'apr?s les opinions exprim?es dans la discussion, peuvent pr?senter quelque utilit? (*) et clarifier

certaines donn?es. Ils m'ont permis, en particulier, de proposer, dans une partie du travail qui n'est

pas rapport?e ici, une analyse de crit?res d'action, donc ? proprement parler de l'offre des entreprises.

(l) L'une des applications utiles est l'am?lioration des donn?es sur les march?s et les entreprises utilis?es par les ? Business

Games ?.

4



42

I. - FONCTION DE LA DEMANDE OU DES RECETTES

1.1. - Pour une entreprise, la demande de ses produits peut ?tre de deux sortes . Dans une premi?re situation, 0) le d?bit de production de l'entreprise est n?gligeable par rapport au march? sur lequel r?gne un prix, ind?pendant des d?cisions de gestion de cette entreprise, et b) bien que ce d?bit ne soit nullement n?gligeable paf rapport au march?, les dirigeants de l'entreprise sont oblig?s de consi d?rer le prix comme une variable exog?ne pure, ind?pendante de toutes leurs d?cisions, y compris de celles relatives au d?bit de la production. C'est en particulier le cas de la structure des prix admi nistr?s ou planifi?s.

Ces deux cas d'une premi?re situation de l'entreprise sont repr?sent?s par une fonction de recettes

(ou de la demande) dite atomistique ou ? de concurrence parfaite ?. Cette fonction est une droite issue de l'origine de pente ?gale au prix. L'?lasticit? de la demande est celle qui r?gnerait dans une ?conomie de concurrence pure ? l'?tat parfait. Elle est ?gale ?

? *>. La demande est parfaitement ?lastique pour l'entreprise.

Il est ?vident que cette situation ne peut se pr?senter que pour une entreprise.

1.2. - Pour l'?conomie d'une ressource suppos?e d?finie et distincte (d'un bien ou d'un service) l'hypoth?se de l'?lasticit? de la demande infinie, de l'ind?pendance des quantit?s produites et consom

m?es (ou investies) et des prix semble absurde. Cette hypoth?se n'est pas admissible, quel que soit le syst?me ?conomique. M?me les planificateurs les plus arbitraires des ?conomies les plus autoritaires ou totalement distributives auront tendance ? disposer plus facilement, plus largement, des ressources abondantes, donc de prix r?el plus bas, que des ressources rares.

L'?tude de la situation d?finie par une fonction de la demande d'?lasticit? finie par rapport au prix, cas que l'on appelle fr?quemment

? de concurrence imparfaite ?, serait donc tr?s utile pour l'?cono m?tre, si on pouvait la mener ? bien.

L'?tude de cette deuxi?me situation est d'autant plus n?cessaire qu'elle se produit en effet dans une ?conomie de ? libre entreprise ? ou de propri?t? priv?e de moyens de production et de libert? des prix et des choix, lorsque la taille de l'entreprise est telle que son d?bit de production cesse d'?tre n?gli geable par rapport au march?. L'?nonc? m?me de ce cas de ? concurrence imparfaite

? montre que c'est en fait le seul cas r?el. Th?oriquement, le cas de concurrence dite parfaite ne peut constituer qu'une situation limite ; formellement le d?bit de production d'une entreprise, aussi faible soit-il par rapport au march?, joue sur lui et influe sur les prix.

1.3. - Si l'?tude ?conom?trique ? ? prix constants ? peut donner dans certaines situations des r?sultats suffisamment rapproch?s de la r?alit?, elle est insuffisante dans le cas d'un monopole quasi-parfait, puisqu'il s'agit dans ce cas, en fait, d'?tudier le march? global d'une ressource. Il en est de m?me dans beaucoup d'autres cas qualifi?s g?n?ralement d'oligopoles.

L'objet de ce travail est de proposer une m?thode d'analyse de ces situations.

1.4. - La grande majorit? des travaux jusqu'ici publi?s tourne les difficult?s d'une telle ?tude ou les ?vite en se bornant ? ?tudier le voisinage imm?diat du point figuratif du march? consid?r? (pour l'entreprise ou pour la ressource dans son ensemble). On recherche dans ce voisinage les relations qui relient les flux physiques de production et les flux mon?taires correspondants (? quantit?s

? et ?

prix ? ou ? co?ts ?) ainsi que les variations relatives de ces grandeurs, appel?es ?lasticit?s par rapport au revenu, au prix propre, aux autres prix, etc.

Les valeurs de ces ?lasticit?s sont suppos?es exister et ?tre uniques. Les m?thodes de r?gression statistique utilis?es sont destin?es ? les d?finir avec le maximum de vraisemblance. Ces m?thodes



43

se r?duisent au fond aux r?gressions lin?aires en coordonn?es logarithmiques. La pente de la droite

obtenue par la m?thode des moindres carr?s d?finit l'?lasticit?.

Cette exploration de la petite portion de l'espace ?conomique voisine d'un point, bien que la plus simple, soul?ve de multiples difficult?s conceptuelles et d'application. Elle suppose d'abord l'existence et la parfaite differentiation d'un nombre fini de d?bits de ressources et de leurs prix. C'est une premi?re sch?matisation de la r?alit?.

La deuxi?me approximation consiste ? admettre un espace ?conomique compl?tement ordonn?. Dans la th?orie de la consommation, cette hypoth?se est traduite par celle de la convexit? des surfaces

d'indiff?rence, leur ? parall?lisme

? et la d?finition de l'ordre par les prix et la d?pense totale. Analyti quement, ces propri?t?s sont celles d'une certaine famille de fonctions d'utilit?.

Houthakker [1] en donne un expos? r?cent. La maximation d'une fonction d'utilit? directe en

prix et revenu donn?s ou la minimation d'une fonction d'utilit? indirecte ? quantit?s (d?bits de

consommation ou de production) donn?es correspondent en fait ? la description des relations entre

les prix et revenus d'une part et les quantit?s d'autre part.

1.5. - Nous exprimerons les m?mes hypoth?ses simplificatrices sur un plan plus ?l?mentaire, qui va

?tre le n?tre, par l'existence de relations fonctionnelles d?rivables deux fois entre les d?bits physiques et les prix. Mais nous tenterons d'?largir leur domaine d'application au del? du voisinage imm?diat

d'un point de l'espace ?conomique. Houthakker entreprend une telle tentative, dont l'int?r?t est

?vident, dans le cadre de la th?orie des choix.

Il introduit pour cela l'hypoth?se suppl?mentaire de l'addivit? des fonctions d'utilit?. Il construit

alors une fonction de la demande de la forme d'une relation lin?aire entre les logarithmes des quantit?s

(log Xi) et du rapport [i/pi (Equation (30) de [1]) o? fx est le revenu ou la d?pense totale des consom

mateurs, pi le prix de la ressource i et xi sa quantit?. Houthakker tente dans son travail une v?rification

statistique de ces relations ? addilog ?.

Nous utiliserons, par pure co?ncidence, les m?mes s?ries statistiques que lui [5].

Nous suivrons une voie diff?rente. Pour obtenir une forme plausible de la fonction de demande dans toute l'?tendue de l'espace ?conomique pour toutes les ressources et quelle que soit la structure

des march?s, nous nous affranchissons de la th?orie des choix. Il nous faut donc abandonner certaines

richesses qu'elle procure. C'est ainsi que nous engloberons tout ce qui concerne la dynamique ?cono

mique (voir ? ce sujet [2]), le revenu, la d?pense, les ?lasticit?s crois?es, c'est-?-dire les ph?nom?nes de substitution et de compl?mentarit?, dans la forme, encore inconnue, de la relation fonctionnelle entre le d?bit physique d'une ressource et son prix.

1.6. - A quelle r?alit? ?conomique peuvent correspondre de telles relations fonctionnelles ? Cette

question appelle deux r?ponses distinctes.

A. ? March? global d'une ressource.

Il existe une fonction de la demande globale, mais qui n'est certainement pas celle que l'on obtient

par l'ajustement des s?ries statistiques connues.

En effet la fonction de demande cherch?e est une r?ponse multiple ? une question pr?c?d?e d'un ? si ?. On peut la formuler ainsi : ? Si, ? une ?poque donn?e, c'est-?-dire dans un ?tat ?conomique donn? (en particulier un ?quilibre ?conomique et un revenu donn?s), le prix d'une ressource ?tait p,

quelle serait la demande de ce produit ? ?



44

Les s?ries statistiques connues sont des chroniques. Ce sont des ? mesures ? de couples de valeurs p, q ? diff?rentes ?poques et dans diff?rentes circonstances ?conomiques et aussi psychologiques (de pro pensions et d'anticipations) du march?. Elles repr?sentent des ? sentiers ?, suivant l'expression de

M. R. ROY, sur la surface F (?poque, prix, quantit?s, revenus, propensions, anticipations, etc.) = 0.

Il ne semble pas possible de d?duire de la connaissance de ces sentiers la forme de la fonction F et a fortiori celle des sections de cette surface par l'hyperplan / = Cte. Les fonctions de la demande sont donc inconnues et on ne voit pas la m?thode par laquelle cette ignorance puisse ?tre lev?e. La seule chose que l'on puisse pr?sumer, pour beaucoup de raisons, est que les ?lasticit?s des fonctions de la demande globale sont plus ?lev?es que celles des sentiers des s?ries statistiques connues. Ce n'est donc que faute de mieux que les ?conom?tres raisonnent sur les sentiers des s?ries statistiques et sur les ?lasticit?s que ces s?ries permettent de d?finir. Et c'est pour am?liorer ce faute de mieux que nous proposons une m?thode nouvelle d'ajustement des fonctions de demande aux s?ries statistiques.

B. ?

March? d'une entreprise.

L'allure de la fonction de demande pour une entreprise est encore plus difficile ? d?finir, car, sauf pour des monopoles, les statistiques manquent.

En dehors des cas o? la situation de concurrence parfaite s'applique, ce qui l?ve toutes les difficult?s, l'?lasticit? de la demande pour une entreprise est finie. On peut estimer la fonction de la demande correspondante de plusieurs mani?res qui toutes exigent la consid?ration de la structure du march? et aussi, ce qui est souvent n?glig?, des co?ts de production. Nous ne pouvons pas aborder ici un examen d?taill? de ce probl?me. On peut peut-?tre dire que l'?lasticit?/prix pour une entreprise est

toujours sup?rieure en valeur absolue ? celle du march? global, elle-m?me sup?rieure ? celle qui peut ?tre estim?e ? partir des s?ries statistiques connues. Comme l'?lasticit?/prix pour l'entreprise est infinie pour la concurrence parfaite, c'est-?-dire pour une entreprise de production tr?s petite par rapport au march?, la diff?rence entre les ?lasticit?s/prix pour l'entreprise et pour le march? est infinie dans ce cas. Cette diff?rence diminue au fur et ? mesure que le nombre de concurrents sur le

march? diminue. La diff?rence d'?lasticit?s pour le march? et pour l'une des entreprises qui le compo sent s'annule ?videmment pour la situation He monopole parfait. On pourrait donc mesurer le degr? de ?

l'imperfection de la concurrence ? non pas par l'?cart relatif entre le prix et le co?t marginal, indicateur (de Lerner [7]) classique du ?

degr? de monopolisation ?, d?j? implicite dans les travaux de Cournot, mais par la diff?rence des ?lasticit?s du march? et des entreprises qui le composent.

1.7. - Toutes ces r?serves faites et hypoth?ses explicit?es, la formulation de notre ? faute de mieux ? est ?l?mentaire :

Le prix p d'une ressource est le d?bit mon?taire correspondant ? une unit? du d?bit physique q de la ressource. Le flux mon?taire par unit? de temps, ou la d?pense des acheteurs de la ressource par unit? de temps est ?gale ? la recette des vendeurs (producteurs) et ?gale ?

E-=p.?[ (1.1)

p est donc, par d?finition, le prix moyen de la quantit? (d?bit) q de la ressource, p et q sont des grandeurs essentiellement positives.

p et q peuvent ?tre des vecteurs de n ressources. E est alors leur produit scalaire.

Nous ?tudions la relation fonctionnelle p =

f(q).

On d?finit la recette marginale par

Pr = f (1.2) dq



45

On d?finit l'?lasticit? de la demande par rapport au prix par

On a ?videmment

*-5-&7 (B)

P ?E ?p , car pr=?

= p+q? (1.4)

pr?p ?flf ?g

On d?finit l'?lasticit? de la demande par rapport ? la d?pense (ou la recette) par :

V-A-*.5-? (1.5) dh dh (/ pr E

d'o? : X' X p X

x=T^r;X=TTT:^=^ =

i>TTT (L6)

Puisque ?

est, ? quelques rares exceptions pr?s, non-positif, on a n?cessairement pr < p (voir (1.4)). ?(/

Donc X<0et |X'|> 1 (1.7)

Il est facile de d?duire de ces expressions des r?sultats connus : par exemple, la concurrence parfaite

correspond ? p =

pr, puisque le prix est donn?, donc ?gal ? la recette marginale. Donc X = ? ?> et

X' = 1 dans ce cas.

Nous admettons que pour les ressources que nous ?tudions il n'y a pas de minimum vital : pour un prix suffisamment ?lev?, la demande s'annule. Nous admettons aussi qu'on peut concevoir la sati?t? absolue de la ressource : le prix nul de la ressource, sa gratuit?, correspond ? une demande finie.

Nous admettons donc dans toutes leurs cons?quences aussi bien l'axiome de substitution que l'axiome

d'intensit? dont parle J. S. Chipman dans [9], page 194. Toute ressource est substituable et la fonction

d'utilit? poss?de le m?me ordre que l'ensemble des nombres r?els (l'espace d'utilit? est applicable sur l'ensemble Rw). On trouve une discussion remarquable de cette question dans [4].

II est facile de voir que pour le point de prix maximum pm ou de demande nulle, X = ? . La

demande ? ? son origine ? est parfaitement ?lastique et le prix de la demande nulle est ?gal ? la recette

marginale ? l'origine. La fonction de la demande pour une entreprise en situation de concurrence

parfaite correspond au point limite de la demande nulle ou de raret? absolue de la fonction de la

demande globale. Ce r?sultat est assez plausible et s?duisant. Au point de sati?t? totale ou de demande

maximum (d'abondance parfaite) q =

qm on a X = X' = 0. La demande d'abondance totale est tota

lement in?lastique.

U. - En dehors de toute consid?ration de la th?orie des choix, nous proposons d'admettre pour la

repr?sentation de la fonction de la demande entre ces deux points extr?mes une hyperbole ?quilat?rale

d'asymptotes p =

pm et q =

qm en coordonn?es logarithmiques. Nous proposons donc d'admettre

que l'?lasticit?/prix d?cro?t constamment en valeur absolue avec les quantit?s, donc avec l'abondance

de la ressource. Une telle hypoth?se est implicite dans beaucoup de travaux ant?rieurs. Sans vouloir

affirmer qu'elle repr?sente bien la r?alit? en toutes circonstances, on doit constater que cette hypoth?se



46

constitue une am?lioration par rapport ? ce qui existe pour les ?tudes de crit?res d'action ? moyen et long terme. Toutes les donn?es statistiques montrent en effet que les ressources abondantes et

d'usage commun ont des ?lasticit?s plus faibles que les ressources nouvellement cr??es ou plus rares.

En d'autres termes, la croissance ?conomique et l'?l?vation du niveau de vie doivent conduire ?

l'abaissement progressif des ?lasticit?s, avec la diminution des prix r?els et l'?largissement des march?s

correspondants.

Les ?tudes ? moyen et long terme sont donc fauss?es par l'utilisation encore tr?s r?pandue de pr?visions ? ?lasticit?s constantes, d?finies par l'?tude du pass? et du pr?sent, au voisinage du

point actuel de l'espace ?conomique. La tentative d'am?liorer cette situation par l'utilisation des

?lasticit?s/revenu, des courbes d'Engel, ne permet par d?finition que des ?tudes du march?

global et non pas de celui des entreprises autres que de monopoles parfaits.

1.9. - Pour v?rifier la possibilit? d'utilisation de la fonction propos?e, il a fallu cr?er une m?thode

d'ajustement statistique.

Elle utilise la r?gression par les moindres aires au lieu de la m?thode classique des moindres carr?s. L'annexe A justifie et expose cette m?thode.

Soit un ?chantillon de n observations (q, p). Posons :

x = log. q ; x? =

log. qm log. E = x + y y

= log. p ; y0

= log. pm

X=x? ?

x; Y=tf>-y

La forme ? ajuster est

A = XY (1.7) d'o?: X?Y + Y?X = 0

X = ?=? = _-= *

dy dY Y pr-p

La m?thode de r?gression doit livrer les trois inconnues A, x?t |/?.

Le calcul, d?velopp? dans l'annexe B, donne :

y n Sx? ? Sx , SA

SA . ? X2Y

s? =

A7T SXY

S_L 8A_A XY?

XY



47

d'o?

A=_n_= / SY \% ( sx \y2 i? s_L

- U-L < ?) XY \ X2Y/ \ XY2/

Ce syst?me de relations permet de d?duire d'un ?chantillon de n observations les valeurs de jc?, y?, A, donc pm et qm et la fonction de la demande.

1.10. - Nous avons fait une application de notre m?thode aux donn?es du march? du sucre et des cakes au Royaume-Uni, donn?es publi?es par Richard Stone dans [5]. On a pris pour les q les indices de consommation par habitant adulte ?quivalent et pour les p les indices de prix, corrig?s par l'indice

global du co?t de la vie, pour se rapprocher des prix constants. Tous les indices des ann?es entre 1920 et 1938 ont ?t? rapport?s ? 100 pour 1938.

On a obtenu pour le sucre

pm = 668,3 et qm = 243 avec A = 0.321158

et pour le cake

Pm = 209 et qm = 350.8 avec A = 0.159027

Les figures 1 et 2 pour le sucre et 3 et 4 pour le cake repr?sentent graphiquement les r?sultats, les

figures de num?ro impair en coordonn?es logarithmiques, et de num?ro pair en coordonn?es arithm?

tiques. Sur toutes les figures on a port? les courbes des prix, des recettes marginales, des recettes totales (E

= pq) et des ?lasticit?s X et X'. Le calcul (*), bien qu'assez fastidieux ? la machine ? calculer

de bureau, a pr?sent? peu de difficult?s. Ce n'est pas une simple it?ration, car les relations (1.8) conduisent ? des suites divergentes, mais un cheminement un peu particulier. On n'arrive ? la machine ? calculer de bureau qu'? une pr?cision moyenne, d'ailleurs largement suffisante compte tenu de la valeur des statistiques de d?part. La programmation sur un petit ordinateur ne doit pas pr?senter de difficult?s et permettra une vitesse et une pr?cision bien sup?rieures. Un essai sera tent? dans ce sens

dans quelques mois (2).

Graphiquement, l'ajustement est tr?s satisfaisant. Les figures montrent de mani?re parlante la

large extrapolation que la m?thode livre ? partir de l'?chantillon utilis?. Il aurait ?t? int?ressant, pour le sucre, de raccorder les s?ries de Stone ? celles, ant?rieures, de Schultz pour les Etats-Unis. Les difficult?s d'une telle tentative sont certaines ; elle demande du temps, donc des moyens dont nous ne

disposions pas.

Nous constatons que la d?pense par adulte ?quivalent pour le sucre au Royaume-Uni entre les deux guerres a diminu? de 20 % en monnaie constante. Stone, en ajustant lin?airement les premi?res diff?rences logarithmiques par la m?thode des moindres carr?s, a estim? la valeur d'?lasticit?/prix du sucre ?

? 0.44 (tableau 106, p. 322 de [5]). Nous trouvons que cet indicateur ?conomique a r?gu

li?rement d?cru en valeur absolue de ?

1 en 1920 ? ?

0,46 en 1938.

Dans cet intervalle de temps, la d?pense marginale par adulte ?quivalent ?tait franchement n?gative. On se trouvait dans une zone d'abondance et de large diffusion du produit. Du point de vue de leur int?r?t particulier, qui ?tait de maximer la part du produit social qui leur ?ch?ait, les fournisseurs de

(1) Il a ?t? effectu? par Mlle C. Giraldon. Sa collaboration a ?t? tr?s pr?cieuse pour Fauteur. L'annexe D indique les

d?tails de la marche du calcul.

(2) Il a ?t? ?tudi? en principe par la Compagnie I.B.M. France. La programmation revient ? environ 1 300 NF et un calcul

d'ajustement ? 300 NF.



48

-i

CKOO K O "cScS ? o*

CN

5 ? O 00 *o <o II E| a

CN E o

tu



49

Fonction de demande du sucre

Royaume - Uni

1920-1938

Indices corrig?sl938S100

10 20 30 40 50 60

100 J

200 J

X

X.X

1-3

>Q^ 80 90 100 110

~?-z**"9*

S* S

.'' q=243

VC.

A? / . /

Fig. 2



50

"O ? "O C O E 0) "O



p,pr,Espq 300

Fonction de demande du cake

Royaume Uni

1920-1938

Indices corriges 1938=100

51

200

100

-100

Fig. 4



52

sucre en Grande-Bretagne avaient int?r?t ? augmenter les prix et diminuer la production, la loi de

King jouant. Cette conclusion demanderait ? ?tre v?rifi?e. Nous rappelons ? ce sujet nos remarques ant?rieures, en particulier le fait que les ?lasticit?s d?duites des chroniques telles que celles de Stone doivent ?tre trop petites en valeur absolue.

Il nous semble ?

mais les avis peuvent diff?rer ? ce sujet ?

que les valeurs de pm et de qm que notre m?thode permet de d?finir, sont des indicateurs ?conomiques utiles. Le march? du sucre en Grande

Bretagne entre les deux guerres peut, nous semble-t-il, ?tre d?crit d'une mani?re concise, simple et

parlante au moyen de ces deux affirmations :

Si le prix r?el du sucre ?tait de 6,7 fois celui de 1938, les Britanniques cesseraient d'en consommer.

Si on leur distribuait du sucre gratuitement, la consommation de cet aliment serait 2.43 fois celle de 1938 par adulte ?quivalent.

Les r?sultats pour le cake, produit moins commun que le sucre, sont coh?rents. Le prix de consom mation nulle est plus voisin du prix de 1938 : 2,1 fois celui de 1938. La consommation de gratuit? est plus ?loign?e de la consommation de 1938 : 3,51 fois celle de 1938. Les valeurs d'?lasticit?s estim?es

par la m?thode d'ajustement hyperbolique diff?rent dans ce cas largement de celles estim?es par l'ajus tement lin?aire des premi?res diff?rences, utilis?es par R. Stone. Il a obtenu une valeur de

? 0,74,

tandis que notre m?thode livre ?

1,9 en 1938 et ? 3,8 en 1920. L'?lasticit?/prix du cake a d?cru en

valeur absolue, d'apr?s notre m?thode, de moiti? pendant les vingt ann?es sous revue.

Le fait que nos r?sultats pour le cake sont tr?s diff?rents de ceux de Stone, tandis que pour le sucre les diff?rences sont peu sensibles, est peut-?tre d?, ou li?, ? l'importante diff?rence de la position du maximum des d?penses E dans les deux exemples. Nous avons observ? que pour le sucre la d?crois sance de son prix r?el conduisait ? une diminution de la recette totale de ses producteurs, ? une d?croissance de la d?pense totale pour satisfaire ce besoin. Il n'en est pas de m?me pour le cake. Si son prix ?tait abaiss? de 20 % environ, la d?pense totale de satisfaction du besoin augmenterait de 17 %, les quantit?s consomm?es augmentant de 40 % environ (valeurs tr?s approximatives, donnant

seulement l'ordre de grandeur).

Si l'abaissement du prix du sucre fait intervenir la loi de King, il n'en est pas de m?me dans l'exemple du cake, pour lequel la ? concurrence des prix

? est favorable aussi bien aux int?r?ts des consommateurs que des producteurs.

Il est ?vident, et nous croyons devoir insister encore, que l'on ne doive pas attacher ? ces r?sultats la m?me valeur qu'un physicien attache ? un ensemble de ses mesures. Il n'en reste pas moins qu'une

pr?vision ? long terme, dans l'hypoth?se de variation exog?ne ou endog?ne des prix, semble devoir ?tre ? meilleure ?

lorsqu'elle utilise la fonction hyperbolique que nous proposons qu'? ?lasticit?s constantes. Notre m?thode amorce aussi une explication coh?rente du fait connu que la concurrence des prix peut jouer en ?conomie des r?les tr?s variables dans leurs effets.

II. - CAPACIT?S ET COUTS

n.l. - L'intention premi?re de l'auteur a ?t?, rappelons-le, d'?tudier les crit?res d'action au sein des

entreprises. Ne se trouvant pas satisfait des donn?es publi?es et connues de lui sur les fonctions de demande, donc des recettes des entreprises, il a ?t? conduit ? proposer les fonctions hyperboliques ? ?lasticit? d?croissante.

La litt?rature sur les probl?mes des d?penses des entreprises et des co?ts a provoqu? chez lui, peut ?tre ? tort, la m?me r?action. A son avis les questions relatives aux d?penses fixes, ind?pendantes des taux d'activit?, celles de la d?finition des capacit?s, sont trait?es d'une mani?re insuffisante, comme le

montre par exemple Klein dans [6].



53

Apr?s avoir rappel? que Chamberlin [7] consid?re que la ? concurrence imparfaite ?

(c'est-?-dire

l'application du crit?re de l'int?r?t particulier dans une structure du march? telle que les firmes peuvent avoir une politique des prix, influer sur les prix), conduit ? un sous-emploi des capacit?s (*), Klein propose avec Chamberlin de d?finir la capacit? par le taux d'activit? correspondant au co?t

moyen minimum. La justification donn?e consiste ? rappeler que ce taux correspond ? l'?quilibre et

? l'optimum ?conomique g?n?ral en concurrence parfaite. On a alors, comme Klein le rappelle lui

m?me, un ?tat de b?n?fice nul et d'?galit? des co?ts marginaux et moyens avec les prix et les recettes

marginales. Tout ?cart de cette position optimale conduit ? une perte.

On se sent d?sempar? devant un tel ?nonc?, par un amoncellement aussi grand de contradictions et d'?carts par rapport ? la r?alit?.

Puisque la concurrence est imparfaite, comment justifier l'appel aux caract?res de la concurrence

parfaite ? Comment peut-on admettre de m?ler au probl?me de la capacit? les probl?mes relatifs ?

la demande et ? la structure du march? qui sont seuls ? faire intervenir les prix et les recettes margi nales ? Que vient faire le concept d'?quilibre et d'optimum ?conomique dans le probl?me des d?penses de production et de la d?finition de la capacit? ?

Poser ces questions suffit pour voir de quoi il s'agit. La contradiction fondamentale des auteurs

consiste ? admettre une ?conomie de choix d?centralis?e dans laquelle ces questions sont bien perti nentes, et raisonner en m?me temps dans l'hypoth?se de la recherche consciente d'un ?quilibre et

d'un optimum ?conomique g?n?ral, recherche voulant tenir compte de toutes les ?conomies externes, et impliquant au fond un syst?me centralis? des choix. Le probl?me n'existe plus alors, puisque les

quantit?s et les prix sont aussi fix?s.

D'autres confusions s'ajoutent si l'on utilise la pr?sentation classique, du moins dans la th?orie de la firme. On en trouve dans [8] un d?veloppement plus large que dans l'article de Klein.

On sait que dans le cas de concurrence parfaite c'est-?-dire des prix donn?s, l'application des deux crit?res, d'int?r?t particulier et d'int?r?t g?n?ral, conduit ? la r?gle unique de l'?galit? des prix et des co?ts marginaux.

Il est facile de voir que l'application de cette r?gle conduit pour une firme r?elle ? adopter des taux d'activit? plus intenses que la ? capacit?

? d?finie par le minimum du co?t moyen. Toutes les entre

prises travailleraient donc en permanence au-dessus de leur ? capacit? ?. Cette incoh?rence de s?man

tique est un premier argument en faveur d'un examen critique des conventions usuelles.

Une confusion encore plus regrettable appara?t entre les fonctions de d?penses ? capacit? donn?e fixe (que l'on appelle souvent ? co?ts ? court terme ?) et les variations de ces d?penses lorsque la capacit? (non encore d?finie correctement) varie (? co?ts ? long terme ?). On constate et on explique intuiti vement que les courbes des co?ts unitaires d?duites des fonctions des d?penses ? capacit? variable ne sont pas n?cessairement les courbes en U classiques, et on g?n?ralise ind?ment cette propri?t? ? ? couit terme ?.

II.2. - Il faudra commencer par d?finir le sens des mots utilis?s.

Nous appellerons ?

d?pense ? le flux mon?taire total correspondant au d?bit des facteurs de produc

tion (de l'input physique).

Rapportant ce flux au d?bit des ressources produites (output physique), on appellera ? co?t ?, en

omettant le mot ? unitaire ? la d?pense correspondant ? l'unit? de ce d?bit de production.

(I) Nous montrerons l'inexactitude de cette opinion.



54

C'est un point essentiel. La consid?ration des co?ts escamote la matrice technologique de production, en rapportant les flux mon?taires (output mon?taire) extrants ? l'extrant (output) physique des res sources.

Nous appelons capacit? l'intensit? d'activit? d'une installation productive donn?e (d'un ? black

box ? donn?) telle que la d?pense soit infiniment grande.

Les taux d'activit? r?els seront donc toujours inf?rieurs ? la capacit?. Le probl?me de la ? capacit?

exc?dentaire ? due ? la concurrence imparfaite ou aux monopoles cesse du m?me coup d'avoir un sens. Il ne reste qu'une question de degr?, d'un rapport entre les intensit?s d'input de facteurs fixes de

production et de facteurs courants. Il est parfaitement absurde dans cette optique de qualifier de

sous-emploi de ressources une activit? ? haute capitalisation.

n.3. - Une formulation plus exacte de ce qui pr?c?de est ?l?mentaire et imm?diate.

Soit S la d?pense correspondant au d?bit q du produit. On a :

S = cg (II.1) o? c est par d?finition le co?t moyen du produit (ressource) q. S est ?gal au produit scalaire du vecteur Ci des prix des facteurs et du vecteur Q* de d?bits des facteurs (? signifiant

? input

? et non

pas une composante de vecteurs), comme aussi le produit scalaire du vecteur Ce des co?ts des pro duits dont le vecteur des d?bits est Qe.

S = GQ? = GQe (II.2)

Lorsqu'on utilise des co?ts, c'est-?-dire le membre le plus ? droite de (II.2), on multiplie en fait le vecteur des prix des facteurs par la matrice technologique de production, sans faire d'ailleurs aucune

hypoth?se sur la lin?arit? (la constance des coefficients de cette matrice).

11,4. - On a imm?diatement :

?S de ? = c+qT

= cr (113) dq dq

o? cr est le co?t marginal de la production.

L'?lasticit? de la production par rapport au co?t moyen c est le pendant de l'?lasticit? X de la demande par rapport au prix. D?signons cette ?lasticit? par p'. On a :

' dq c q c c P

= -r

- =- - =- (H.4)

de q Cr ?

c q Cr ?

c

De m?me, l'?lasticit? de la production par rapport ? la d?pense est le pendant de l'?lasticit? de la demande X' par rapport ? la recette. D?signons-l? par p. On a :

dq S c p' P

= -~ . - = - = 7-7?' (IL5) dh q cr 1 + p

et

?' = ir- (116) i ?p

Les ?conomistes appellent parfois l'?lasticit? p ? rendement ?conomique ?.



55

Cette appellation est impropre. On peut seulement dire que l'efficacit? (ou, si l'on veut, le rendement) ?conomique d?cro?t si l'?lasticit? p est inf?rieure ? l'unit? et cro?t dans le cas contraire.

En effet : la d?pense et le co?t moyen sont positifs par d?finition. La d?pense cro?t avec l'intensit? de production. Donc le co?t marginal cr est positif.

Si le co?t marginal Cr est sup?rieur au co?t moyen c, p' > 0 et dcjdq > 0, d'apr?s (II.4) le co?t

moyen est croissant avec q. A cet ?tat correspond p < 1, de (II.5). On appelle cet ?tat de production ?

in?lastique ? ou ? ? rendement d?croissant ?.

Si cr < c, p' < 0, dc\dq < 0. Le co?t moyen c est d?croissant, p > 1. Cet ?tat de production est

dit ? ?lastique ? ou ? ? rendement croissant ?.

On peut en effet affirmer, pour justifier cette nomenclature, que le co?t moyen d?croissant indique une am?lioration de l'utilisation des facteurs de production et que ce co?t croissant indique une

d?t?rioration de cette utilisation, pour une technique donn?e.

Si le co?t marginal est ?gal au co?t moyen, p' ?

? ??, dc\dq =0, p = 1. L'?galit? des co?ts

moyen et marginal correspond au minimum du co?t moyen, donc ? l'optimum de l'utilisation des facteurs de production. L'?lasticit? de la production par rapport ? la d?pense est ?gale ? l'unit?. Le rendement est constant.

La th?orie ?conomique indique, moyennant l'hypoth?se de concurrence parfaite (X = ?

<?) que cet optimum de l'utilisation des facteurs correspond ? l'optimum ?conomique g?n?ral, d?fini par l'?ga lit? des co?ts moyen et marginal avec le prix et la recette marginale.Mais cela n'a rien ? voir avec la

capacit?. Nous n'avons d'ailleurs m?me pas prononc? ce mot et tous les raisonnements qui pr?c?dent sont totalement ind?pendants des notions de court ou long terme. On voit que la loi des rende

ments d?croissants, fondation de l'?conomie politique classique et aussi de beaucoup de raisonnements

plus r?cents, n'est valable que pour des intensit?s d'activit? sup?rieures ? celles correspondant au

co?t moyen minimum, que l'on a voulu assimiler ? la capacit?. Il y a donc dans ces raisonnements,

r?p?tons-le, une confusion et une incoh?rence certaines de langage.

n.5. - La notion de capacit? est, ? notre sens, ?troitement li?e ? ce que l'on appelle couramment les d?penses fixes. Elles sont surtout compos?es par l'amortissement. L'amortissement exprime la

part de la r?mun?ration du travail pass? dans les d?penses courantes actuelles de production. Cette

r?mun?ration, contrairement ? celle d? travail actuel, ne d?pend pas, pour une part du moins,

du taux d'activit?. Les d?penses fixes se composent aussi de transferts : int?r?ts, imp?ts directs, remboursement des dettes, et de r?mun?ration du travail de direction, de recherche et d'organisation de la production.

Nous avons essay? de clarifier ces questions, en ce qui concerne l'amortissement dans [10] (*).

On doit admettre que la d?pense totale pour un taux d'activit? nul est une fonction monotone

croissante de la capacit?, qui s'annule pour une capacit? nulle, expression formelle de la non-existence de l'entreprise.

n.6. - Nous sommes ainsi conduits ? une distinction nette entre la consid?ration des fonctions de

d?pense mon?taire due ? l'activit? d'une entreprise de capacit? donn?e, pour des taux d'activit?

variables, et la consid?ration des fonctions de d?penses des entreprises dont la capacit? varie.

(1) Le principal reproche fait par l'auteur aux applications imprudentes des th?ories marginalistes et d'actualisation des

d?penses est de masquer l'importance du ph?nom?ne des d?penses fixes.



56

On peut, et on le fait g?n?ralement [8], consid?rer les enveloppes des fonctions de d?penses ?

capacit? donn?e et appeler ces enveloppes fonctions de d?pense ? long terme. Klein [6] semble en

particulier adopter cette convention usuelle (voir p. 277), bien que le texte ne soit pas tout ? fait clair.

Quoi qu'il en soit, la fonction probit ou de distribution log-normale qu'il propose pour les fonctions

de d?penses et des co?ts (on ne voit pas qu'il fasse une distinction claire entre les deux) ne rend pas

compte des d?penses fixes et doit pour cette raison ?tre rejet?e pour la repr?sentation ? capacit? donn?e.

n.7. - Avant d'avoir pris connaissance du travail, par ailleurs remarquable, de Klein nous avons

donc commenc? par ?tablir une distinction claire entre les d?penses, flux mon?taire correspondant au d?bit physique des produits, et les co?ts, flux correspondant ? l'unit? du flux physique des produits, et nous avons ?tudi? la fonction suivante de d?penses :

S=a+b^ + h-^- (II.7) L C ?

q

C'est une forme arbitraire, ?tablie ? la suite de quelques raisonnements simples :

On peut, et on le fait g?n?ralement, ?crire

S = ? + /(</) (II.8)

o? a, d?penses fixes, est une fonction de la capacit?.

On a souvent admis

M=bq (119) o? b est une autre fonction de la capacit?, appel?e commun?ment coefficient de frais proportionnels.

Comme le dit Klein, on ajuste tr?s fr?quemment dans la pratique la fonction lin?aire :

S = a+bq (11.10) aux donn?es statistiques.

Comme pour la fonction de la demande, trait?e dans la premi?re partie de cette ?tude, l'auteur a

trouv? que l'approximation lin?aire est insuffisante pour beaucoup d'applications de l'?conom?trie aux probl?mes concrets. On sait en effet que pour des taux d'activit? croissants, la d?pense cro?t

plus que proportionnellement. On ne peut pas admettre qu'il en soit autrement, puisqu'un taux d'activit? croissant ? capacit? donn?e cr?e n?cessairement,? un moment donn?,des goulots d'?tran

glement, des stocks interm?diaires croissants, des retards de plus en plus nombreux et importants, donc des d?penses de plus en plus ?lev?es pour une production limit?e.

Le troisi?me terme de la fonction que nous proposons exprime ainsi ce que l'on peut appeler ? l'effet d'encombrement ?, les goulots d'?tranglement, les d?fauts d'organisation, les retards et les attentes.

n.8. - Dans l'?tat actuel de l'information de l'auteur, il n'a pas pu pousser l'?tude statistique de

d?penses de production. A l'exception des travaux am?ricains sur les co?ts de production de cellules d'avions [12], [13], [18], il ne conna?t pas de donn?es publi?es dans ce domaine. On en examinera les conclusions dans le paragraphe suivant et dans l'Annexe C.

Nous nous bornerons donc ? pr?senter quelques faits connus globalement et les r?sultats formels

qu'il est possible d'en tirer.

S, a, b, h sont des grandeurs de la dimension du d?bit mon?taire. Le taux d'activit? q et la capacit? C ont pour dimension le d?bit physique des ressources.



57

a est, comme il a ?t? dit, une fonction de l'investissement, ou de la capacit? C. Cette d?pense fixe est sensiblement proportionnelle, pour un ?ge donn? de l'installation, donc ? une ?poque donn?e de sa vie, ? son co?t global, au capital investi.

Ph?nom?ne essentiel, le co?t d'une installation cro?t de plus en plus lentement lorsque la capacit? cro?t.

Si l'on ?crit a=k-C* (11.11)

l'exposant a est sensiblement plus petit que 1. On trouve dans la litt?rature [11] de nombreux r?sultats

empiriques, a est tr?s souvent compris entre 0,5 et ^~~.

L'effet d'?chelle, qui s'exprime par la valeur de a, est donc ? rendement croissant. Ce fait techno

logique a de tr?s grandes cons?quences ?conomiques, assez n?glig?es g?n?ralement.

?, coefficient de frais proportionnels, est une fonction de capacit? bien moins connue. Il semble

qu'elle d?cro?t avec la capacit? croissante. L'?tude de la fonction b est ?troitement li?e ? celle des

cons?quences ?conomiques de l'automatisation de la production. Il est ?vident que pour une production purement manuelle (ou artistique), sans outillage, b est tr?s ?lev?, a tr?s petit. On peut concevoir

que b puisse ?tre diminu? par des am?liorations d'organisation, sans investissements mat?riels suppl? mentaires. C'est exact, mais une am?lioration d'organisation est en soi un investissement, une d?pense d'?quipement comme une autre, et une augmentation de la capacit?.

La question de savoir si les frais proportionnels b peuvent devenir croissants pour des grandes capacit?s n'est pas simple. Les donn?es sont rares. L'auteur pense que dans beaucoup de cas on peut admettre que b est une fonction monotone d?croissante avec la capacit?. Elle exprime l'am?lioration continue de l'utilisation technologique des facteurs de production courants, des coefficients de la

matrice input-output, aussi bien par une ?conomie des facteurs physiques (rendements ?nerg?tiques, r?cup?ration des sous-produits, diminution des gaspillages, etc.), que de la force de travail.

Les am?liorations d'organisation, de suppression des ?-coups,etc., sont, dans son esprit, repr?sent?es par la variation de l'argument h. On sait peu de choses sur cette fonction. On peut admettre que l'alour dissement administratif et bureaucratique avec la taille croissante des entreprises, qui implique une

centralisation des choix, peut conduire ? pr?voir l'existence d'un minimum pour h. Il est souvent

peut-?tre suffisant, dans des limites normales de variation de capacit?, d'admettre la constance de h.

n.9. - La gestion des entreprises ? long terme, ce qu'on appelle la politique des investissements, en fait celle de modification des capacit?s, se r?percute donc sur la fonction des d?penses de plusieurs

mani?res. Les fonctions a, b, h ne sont d?finies que pour des ? sentiers ? ?troits de cette politique :

l'installation d'une nouvelle machine d'une technique donn?e, le remplacement d'une m?thode de

comptabilit? par une autre, le changement de politique de s?lection du personnel sont des sentiers diff?rents de ces politiques...

En prenant pour argument la capacit?, donc le r?sultat des d?cisions de gestion, on rend la t?che de l'analyste plus difficile. Par exemple, l'accroissement de la capacit? de production d'un atelier de

presses peut ?tre obtenu par :

a) l'achat de quelques presses suppl?mentaires ;

b) un investissement plus important consistant ? vendre des presses en service ? la ferraille et ? les remplacer par des machines neuves, plus perfectionn?es, peut-?tre en nombre moindre ;

c) une r?organisation du planning de la charge de machines et des m?thodes de travail ;

d) l'achat de quelques outillages accessoires.

5



58

Les valeurs de a, de b, de h seront-elles diff?rentes dans ces alternatives, pour une m?me augmen tation de capacit? ? Certainement, en ce qui concerne a. On peut, par contre, peut-?tre admettre, quel que soit le ? sentier ?

d'augmentation de capacit?, que b variera de la m?me mani?re et h restera constant.

Cette discussion heuristique, faute de pouvoir faire mieux, ferait donc admettre que :

a = a(C, o)

o? o est un facteur ? organisation ? de la production

b=b(C)

?(C) ?tant une fonction d?croissante avec C croissant et

h=h(C) A(C) admettant un minimum, mais par ailleurs variant peu.

n.10. - Introduisons dans la forme (H.7) le facteur de charge ou d'utilisation de la capacit?

? = ?

(11.12)

et son d?riv? :

?=^_=_?_ (IU3) I ?u C ? q

que l'on peut appeler ? facteur de saturation ?.

uetv sont par d?finition positifs, u varie de 0 ? 1, v de 0 ? + oo.

On a imm?diatement :

et

(II.7) s'?crit

u=? (11.14)

?=uC==TT^C; *-Cd-c(TT^ (II15)

S = a + bu + h j^? = a+b r-f- + hv = a + bu + hv (HT, ', "')

1 ?U I + V

Le co?t moyen c de la production s'?crit

c

et le co?t marginal

q q L L ? q L\u I?u) uC

c'=^ =

c^ =

cT+(T^> (IU7)

d'apr?s (117).

Or :

v2 (I + vy



59

d'o?

>(?+? "L+?? Posons

on a :

C \ u2 / uC \ u

B=hv2-a (11.18)

L 2

S + B = bu + hv + hv2 = bu + hv (1 + v) = bu + ? (d'apr?s (11.7") 11

Donc le co?t marginal s'?crit :

Cr=^^ (11.19) q Si l'exploitation suit la r?gle de vente au co?t marginal, sa recette est

E = pq

= Crq

= S + B

Donc B est, dans ces conditions, le b?n?fice net. Puisque B = hv2 ?

a, a ?tant les d?penses fixes, B' = Au2 repr?sente le b?n?fice brut total.

Les ?lasticit?s p et p' s'?crivent imm?diatement :

et

(11.21) Cr -c B

Si l'on admet la croissance lin?aire des d?penses (co?t marginal constant h = 0) on a B = ? a et

S S s P

= ?-=7- et p

=

o ? a bu a

Nous voyons que la forme propos?e de la fonction de d?penses permet d'?crire des expressions simples des principaux indicateurs ?conomiques.

11.11. - Essayons de repr?senter graphiquement les r?sultats obtenus.

La figure 5 donne cette repr?sentation pour les valeurs suivantes, en unit?s arbitraires :

C = 15 (par exemple 150000 t par an) a = 2.9 (par exemple millions de NF par an) b = 2.34

-- -

h =0.181 - -

Les traits pointill?s correspondent ? la valeur h = 0.

On trouve alors, par exemple, que pour u = 0.85, S = 5.92 millions de nouveaux francs par an.

Le co?t moyen par tonne c? 47 NF/t ; le co?t marginal cr = 65 NF/t ; p = 0.9 ; p'

= 3.5. Ces chiffres correspondent ? une production annuelle de 127 500 t.



60

n.12. - On constate, ? l'examen de la figure 5 que dans de larges limites l'?lasticit? p, dans cette

repr?sentation plausible mais qui peut s'av?rer ne pas correspondre ? la r?alit?, est sensiblement lin?aire d?croissante et telle que pour u = 1 (q

= C), p

= 0.

On peut donc concevoir une fonction de d?penses ? court terme telle que

p =

?(C ?

q)= m ? fa

= m(l

? u)= m ? avec m =

?C (11.22)

(11.22) s'?crit (de II.5) :

S dq un \ dq LdS 9=-qds=k{C~q)

ou &=rrks

Cette ?quation s'int?gre facilement et livre une forme commode de la fonction de d?penses : C\ ro x

(11.23) C ? q \?u \S?

La forme (11.23) est repr?sent?e par une droite en coordonn?es log-log. C'est une g?n?ralisation et un perfectionnement des ? progress-curves ? [12], [13], [18] (x) et aussi des fonctions du type Cobb

Douglas.

Cette forme (11.23) a les propri?t?s suivantes :

a) pour le co?t moyen minimum, p? =

1, donc m = --= k?

1 ?u?

On peut donc ?crire cette fonction de d?penses sous la forme

> = T^ (II-24)

b) pour u ?

0,5, v ? 1, donc S = S0.

La fonction de d?penses de ce type est donc d?termin?e par deux points :

d?pense pour le facteur de charge ?gal ? 50 %, facteur de charge pour le co?t moyen minimum.

Puisque m = ?C =--, on peut aussi ?crire :

I ?i/?

S=SV!-??> (11.25)

Sous l'une ou l'autre des formes (11.24 ou 11.25) cette fonction se pr?te ? une analyse statistique.

On peut appliquer la r?gression lin?aire en coordonn?es logarithmiques, en utilisant la forme :

log S = log S? + (1

- tf) log v (11.25')

ou bien, en coordonn?es arithm?tiques, la forme initiale :

p = m-fo=m(l-?) (H.22)

Dans ce dernier cas, il suffit de conna?tre les productions q et les valeurs correspondantes des rapports des co?ts moyen et marginal pour d?finir m et ?, donc la capacit? C. La d?pense S pour une seule valeur du facteur de charge d?finit alors toutes les courbes.

(1) L'annexe C pr?sente une courte ?tude des analogies entre la forme (11.23) et les travaux am?ricains sur les progress curves. Signalons que [18] est une ?tude fran?aise, datant de 1945, sur ce probl?me.



s, c.cr

61

15 ̂ 1.5 Fonction de production

S d?pense A

cm co?t moyen

cr " marginal

J ?lasticit?/d?pense

9/ "

/co?t moyen

9J% ? S -a+bu + h ?JL

^ ?.2. c

[? -_S?a+bu (h=o)

c = 15

a= 2,9

b = 2,34

h = 0.181

Fig. 5



62

En pratique, c'est assez simple, et l'exemple suivant le montre

Supposons que pou our augmenter la pr<

Cela veut dire que

Supposons que pour un si?ge de mine produisant 2 millions de tonnes par an, on ait trouv? que

pour augmenter la production de 5 %, il faille d?penser 8 % de plus.

Pl = 5/8 = 0,625

Pour ce m?me si?ge produisant 1 million de tonnes par an, il suffit d'un surcro?t de d?penses de 3 % pour augmenter la production de 5 %.

Donc

p2 =

5/3 = 1.67

Les deux valeurs satisfont aux ?galit?s :

9i = k(C ?

Qi) P2 =

?(C ?

q2) d'o?

Q = -= 2.6 millions de tonnes Pl? ?2

La capacit? du si?ge est 2.6 millions de tonnes par an.

Cette m?thode de calcul de la capacit? peut ?tre consid?r?e comme une d?finition de la capacit? :

c'est la valeur de C dans la relation lin?aire entre l'?lasticit? p de la production par rapport ? la d?pense et le taux d'activit? q.

Malheureusement l'auteur n'a pas eu le temps de rechercher les donn?es qui lui auraient permis d'effectuer un calcul num?rique sur un cas r?el. Il s'est donc content? ? et il s'en excuse ?

de pr? senter des courbes qui lui ont sembl? ?tre plausibles dans les figures 6 (coordonn?es logarithmiques) et 7 (coordonn?es arithm?tiques).

Il appara?t que ces courbes correspondent d'assez pr?s aux id?es des ?conomistes classiques sur les allures des fonctions de d?penses et des co?ts. Nous ne sommes pas d'accord avec eux sur l'existence d'un minimum des co?ts marginaux aux faibles taux d'activit? et sur la forme en ?

probit ? de la

fonction des d?penses. Mais c'est l?, en attendant la v?rification statistique, correspondant ? une

exp?rience dans les sciences physiques, une discussion scholastique.

11.13. - L'analyse du probl?me des investissements, de la gestion ? long terme, exige la connaissance

des fonctions de d?pense ? capacit? variable. En supposant que pour chaque capacit? on adopte le taux d'activit? le ? meilleur ?, on peut admettre que ces fonctions sont des enveloppes des fonctions ?

capacit? donn?e, dont nous avons propos? une forme dans les paragraphes pr?c?dents. C'est d'ailleurs un raisonnement attaquable, car le taux d'activit? ? le meilleur ? n'est nullement a priori celui qui correspond au point de tangence des courbes ? court terme avec leur enveloppe.

Cette enveloppe est donn?e par :

On obtient l'?quation suivante :

A(S -

2b)2 =(S-b)(S-a + h-b)2 (11.26) assez peu maniable.



63

o => *

~-1^-1 g

B- \ J o \ x?

-v ? K / ?1

" Eh S- I" \ \ X & ? ulu O ? \\ X CM > N M X 1 \ X

o *- fc \ \ X \ ? 2 2 \ \ X I

Dl.3 o o l/\ ̂ 1 ?

x ? ^s. A \ i 3

D " ^>c \ 1

- 2 X \ \ SH 4 "?*l / \\ \ ,* .2ct|ud|j2 a o^/ \J \ N] w 5 n -o ? / 11 \ al

/ A \ H

CO 1_ \_\ 5I o o- -3-

~

o ?



64

Fig. 7



65

Compte tenu du caract?re approch? des ?tudes ?conom?triques, on peut, croyons-nous, remplacer cette enveloppe par une autre courbe voisine, plus facile ? utiliser, et plus usuelle.

Le co?t moyen minimum est donn? par son ?galit? avec le co?t marginal. Il est donc d?fini par l'?galit? :

^ = S?B (n 2?) q q

B = 0 c'est-?-dire htfi2 = a (11.28)

ou

ou encore

avec, rappelons-le

ifi=\/a7h

u?=v?l\ + tf> et t/>=u?/l? u?

Le lieu des co?ts moyens minimum des fonctions de d?pense ? court terme est donc d?fini, ? capacit? variable, par

S=a+?lio+A?/> (11.29) La forme exponentielle approch?e de la fonction de d?pense ? court terme (11.25) permet d'?crire

l'?quation de ce lieu encore plus simplement :

S = SV*1 - u?>

(11.30)

o? S0 est donn? par u = 0.5, v =

1, donc S0 = a + 77 + h

et, en d?finitive, l'?quation de la fonction de d?penses ? ? long terme ? :

/ b \ / aV] "u?)l2

11.14. - En l'absence de donn?es statistiques, nous ne pouvons pas poursuivre. Nous continuerons notre analyse par des raisonnements plausibles.

La fonction S se pr?sente sous deux formes fondamentales : en ? logistique

? et en ? parabole ?. Certaines de ces formes doivent pouvoir ?tre mises en ?quation assez simplement. Par exemple, si l'on peut admettre que le facteur de charge est constant, la transformation de (11.29) est imm?diate.

Si, par exemple, u? = 0.8, 1^ =

4, on a a = 16A et l'?quation (11.29) s'?crit :

S=20n + 0.86

L'approximation que nous avons admise en m?langeant les deux formes de la fonction ? court terme (II.7 et 11.25) est visible. Si nous appliquons en effet la forme (11.31) ? cet exemple, on obtient :

S - (17? + 0.56) 16? -1 = 22.4A + 0.666

DL15. - Nous nous bornons ? pr?senter 6 graphiques. Les trois premiers ont ?t? ?tablis dans

l'hypoth?se que la fonction S ? long terme est une logistique, par exemple la fonction log-normale de Klein (fig. 8, 9, 10). Nous interpr?tons ce cas en disant que la production est possible sans

outillage et qu'? partir d'une certaine taille de l'installation, le rendement d?cro?t. C'est une analyse



66

un peu plus pouss?e des affirmations des ?conomistes du XIXe si?cle sur la loi des rendements

d?croissants, d?duite des conditions de production de l'agriculture manuelle, sans utilisation de

l'?nergie m?canique. Il existe alors, ? capacit? nulle, c'est-?-dire sans outillage, une d?pense pro portionnelle que l'on pourrait calculer par exemple pour le travail d'un paysan hindou ou chinois d'il y a

cinquante ans.

Pour cette production manuelle sans d?penses fixes, le co?t marginal est constant et ?gal au co?t

moyen.

D?s qu'on utilise les outillages, il existe une d?pense fixe ? a ?, repr?sentant au moins la charge de

capital, dans la p?riode, de l'investissement correspondant. L'enveloppe des co?ts moyens ? court terme, le co?t moyen ? long terme, est d?croissant, passe par un minimum, puis cro?t. Ce minimum est d?fini par la tangente de l'origine ? la courbe en logistique des d?penses ? long terme.

Il en est de m?me du co?t marginal ? long terme. Son minimum est d?fini par la tangente de pente minimum ? la logistique des d?penses ? long terme, c'est-?-dire au point d'inflexion de la logistique.

Par contre, les co?ts marginaux ? court terme (? capacit? donn?e) sont toujours croissants.

On rappelle que d?s que les d?penses fixes existent, ce qui est pratiquement toujours le cas ? la

d?pense fixe primitive ?tait celle de la surveillance des esclaves, le salaire des gardes-chiourme de

gal?riens ?

il existe ? court terme une zone de rendements croissants, dans laquelle on utilise de mieux en mieux le facteur de production ? surveillance ? ou ?

outillage ?, c'est-?-dire le travail pass? cristallis?.

Si l'intensit? de production cro?t, le rendement devient d?croissant, l'utilisation des facteurs de

production devient moins bonne. Dans le cas de la logistique, ? long terme, la taille des installations cro?t d'abord dans une zone de rendements croissants. Celui-ci passe par un maximum et d?cro?t ensuite, pour des installations ayant d?pass? une certaine capacit?. L'image ?conomique est donc semblable, dans ce cas, ? court et ? moyen terme.

Nous ne croyons pas inutile de nous ?tendre encore plus longuement sur ce cas, car les confusions rencontr?es dans la litt?rature sont innombrables.

n.16. - A capacit? nulle, c'est-?-dire dans le cas limite de travail purement manuel sans d?penses fixes, C ==

0, la fonction de d?penses ? court terme s'exprime par

S-6?(7

o? 6? est le co?t proportionnel (le seul) de la production ? artisanale ?

(ou artistique) manuelle.

6? est le co?t moyen, ?gal au co?t marginal, ? court terme.

A long terme, le co?t marginal ?

d?cro?t ? partir de la valeur 6? pour C = 0, passe par un minimum oC

pour une capacit? C?. Cette capacit? d?finit la taille optimum de l'installation du point de vue du co?t

marginal dans les conditions techniques du moment. Il exprime l'efficacit? marginale du capital ?

l'optimum de son utilisation pour l'investissement ?tudi?.

Au del? de la capacit? C?, le co?t marginal ? long terme cro?t.

A long terme, le co?t moyen, enveloppe des co?ts moyens ? court terme, est ?gal ? 6? pour la capacit? nulle C = 0. Lorsqu'on installe des ?quipements de capacit? croissante, le co?t moyen ? long terme commence par d?cro?tre.

Pour une certaine capacit? C0*?, le co?t moyen ? long terme est minimum. C'est la taille optimum de l'installation du point de vue du co?t moyen d'une unit? de la ressource produite. Elle correspond



67

t/> lO



68

60 ?Z



69

o (M

I f *

\ ?I

E '?*-*^L ^V \ -

u ^^^^^ ^ o ?

g U ^^/ \J I o

O / ^V Y iZ

,_Y A oil J I

O p.* _- ^ ^ d* co cT cf cT cf c5 o* o w

o



70

? l'efficacit? maximum de la technologie utilis?e, ? la meilleure utilisation possible des facteurs de

production, ou encore ? la productivit? globale maximum dans la technique donn?e, qui est utilis?e.

Remarquons que ces minima des co?ts ne repr?sentent, ni l'un, ni l'autre, ni l'optimum suivant le crit?re de l'int?r?t particulier (maximum de b?n?fice) ni celui suivant le crit?re g?n?ral (d'un optimum ?conomique g?n?ral).

Ces raisonnements permettent seulement de constater que le rendement d'utilisation des facteurs de production (la productivit? des facteurs) peut ?tre mesur? de deux mani?res : en co?t moyen et en co?t marginal.

En r?capitulant, dans le cas de la logistique (fig. 8, 9, 10).

a) ? court terme, ? capacit? donn?e, le rendement, mesur? en co?t marginal, est toujours d?croissant, car le co?t marginal est toujours croissant. C'est cela l'?nonc? correct de la loi g?n?rale des rendements d?croissants.

b) ? court terme, ? capacit? donn?e, ce rendement, mesur? en co?t moyen, est toujours croissant pour les faibles taux d'activit? lorsque ceux-ci croissent. Cette zone correspond ? une utilisation de plus en plus intensive du travail pass?, de l'investissement, repr?sent? par la d?pense fixe a. C'est la disparition progressive

des ? capacit?s en ch?mage ?. Le co?t moyen ? court terme passe toujours par un minimum, au del? duquel il se met ? cro?tre, comme le co?t marginal ? court terme. C'est la zone des rendements d?croissants en co?t moyen aussi bien qu'en co?t marginal.

Le minimum de co?t moyen correspond ? la meilleure utilisation de la capacit? donn?e dans l'?tat technique du moment. Il ne repr?sente nullement, en g?n?ral, un optimum ?conomique, ni du point de vue

de l'int?r?t particulier, ni de celui de l'int?r?t g?n?ral.

c) Si nous admettons que l'investissement est divisible et que la capacit? est adapt?e ? chaque intensit? d'activit? de mani?re que ses co?ts moyens ? court terme soient minima (donc ?gaux au co?t marginal ? court terme), le rendement ? long terme mesur? en co?ts marginaux commence par ?tre croissant, passe par un maximum et d?cro?t. Il en est de m?me du rendement mesur? en co?t moyen. Les deux maxima de rendement correspondent ? des capacit?s diff?rentes. Celle du rendement maximum mesur? en co?t marginal est plus faible que la capacit? optimale mesur?e en co?t moyen.

n.17. - Cette repr?sentation (car ce n'est rien d'autre dans l'?tat actuel de nos connaissances ?cono m?triques) de la r?alit? des r?sultats des technologies de la production n'est pas toujours correcte, L'industrie moderne de transformation s'?carte compl?tement de cette image. Lorsqu'on ?tudie par exemple le raffinage du p?trole ou la production de l'?nergie ?lectrique, on constate des faits nouveaux.

S'il existe une taille d'installation pour laquelle le co?t moyen ? long terme serait minimum, cette taille est encore loin au del? des possibilit?s techniques actuelles.

La fonction S des d?penses de production est, ? long terme, ? parabolique ?. Les trois figures 11,

12, 13 repr?sentent ce cas.

Il est impossible de concevoir ce type d'activit? productrice sans ?quipement. Ce fait est traduit formellement en ?crivant que les co?ts moyen et marginal ? capacit? nulle sont infinis.

Lorsque les capacit?s augmentent, le co?t moyen ? long terme est constamment d?croissant, de m?me que le co?t marginal, qui reste, de par sa d?finition m?me, constamment inf?rieur au co?t moyen.

Le rendement ? long terme est constamment croissant, qu'il soit mesur? en co?t moyen ou en co?t



71

?o

O ,

II u

o. II

u

u

s a jo

? ? O o. E

c o

O II

?o* II

O

O

00

?o o ?o o CN <N ? ?



72

"O

s

lio

o o

u

?o cr



73

e c o o c 1 e o E Q.

E ? c S X 0 ?;

t I u 0

00 Lu

< 9 O



74

marginal. (Mais rappelons qu'? court terme les descriptions du paragraphe pr?c?dent continuent ?

s'appliquer). On con?oit donc que les ?tudes sur les choix des investissements, effectu?es dans l'hypo th?se des prix donn?s, ne livrent dans ce cas aucun argument de d?cision autre que celui imm?diatement d?duit de la limitation des capitaux disponibles : la plus grande installation possible est la meilleure.

III. - CONCLUSIONS

1. - Nous voyons que la consid?ration s?par?e soit des fonctions de recettes (de la demande), soit de d?penses, ne peut pas donner une r?ponse aux deux questions essentielles de la th?orie ?conomique :

? Comment r?aliser l'?quilibre, c'est-?-dire un ajustement de l'offre ? la demande.

? Quels sont les crit?res ? utiliser, dans l'hypoth?se d'une d?centralisation des d?cisions au niveau des entreprises, pour rendre cet ?tat d'?quilibre optimum, c'est-?-dire r?aliser le rendement social maximum.

Nous n'apportons aucune r?ponse ? aucune de ces deux questions. Tout ce qu'on pourrait affirmer est que notre analyse procure un outil de base plus perfectionn? que le ? rendement constant ?, les ? constant returns to scale ?, fondation des raisonnements classiques de Welfare Economies.

On pourrait objecter ? cette opinion que, si le crit?re de d?cisions, d?centralis?es ou non, est le minimum du co?t moyen, on est conduit ? produire dans une zone de rendement sensiblement constant.

A notre avis, parler de ? constant returns to scale ? n'a gu?re de sens dans ce cas, puisque tous les

param?tres sont alors fix?s (q et C donn?s). Cette hypoth?se reste valable pour des faibles ?carts, au

voisinage du minimum du co?t moyen et ? condition que la technique physique et ?conomique (de m?thodes de gestion) ait atteint la zone des tailles d'installations correspondant au minimum du co?t moyen ? long terme. C'est cela l'?nonc? correct des hypoth?ses qui justifient l'emploi des m?thodes de programmation lin?aire dans les analyses de l'optimation des co?ts. En fait, d'ailleurs, cette zone est toujours atteinte lorsqu'il s'agit de l'?tude d'un investissement compos? d'un grand nombre d'unit?s

identiques ou analogues : ensemble d'un r?seau de production d'?lectricit?, des charbonnages d'un pays, etc., c'est-?-dire des investissements techniquement divisibles : les diff?rences de rendement

technique, de productivit? des installations d'?ges diff?rents donnent pour l'ensemble une image ? logistique ?.

2* - Je crois utile de revenir encore bri?vement sur le probl?me de la d?termination de la capacit? C

et des fonctions a, b, h.

Les valeurs de ces variables d?pendent des techniques de production utilis?es.

Le ph?nom?ne essentiel de notre temps, le progr?s technique, est repr?sent? par la modification des formes de la relation entre a, b, h et la capacit? C. Le progr?s technique et le progr?s de m?thodes de gestion, ?quivalents au point de vue ?conomique, jouent essentiellement sur la fonction des d?penses.

C'est ainsi qu'une am?lioration d'un rendement technique (d'un moteur, d'une chaudi?re, d'un alternateur, d'une r?action chimique...) est exprim?e par la d?croissance de la valeur de 6 ? capacit? donn?e. L'am?lioration de l'organisation du travail, suivant qu'elle porte sur celui du personnel dit ?

productif ? ou ? improductif

? (organisation des ateliers ou des bureaux, en gros) agit sur les

param?tres 6 ou a. Les heures suppl?mentaires, le travail continu ou l'am?lioration des conditions de l'exploitation du mat?riel (acc?l?ration de la rotation des locomotives, des navires, des camions, des avions) agissent sur le param?tre a et aussi sur le param?tre h, en supprimant des facteurs de saturation...



75

Les calculs technologiques de a, 6, A, comprennent d?j? une optimation. C'est une optimation technique de choix de facteurs de production de m?me nature, de mani?re ? r?aliser, pour un taux d'activit? q, une d?pense partielle minimum. Point essentiel de nos raisonnements, ces choix techniques se font s?par?ment sur chacun des param?tres a, b et h (h traduisant, rappelons-le, le facteur de service au sens de la th?orie des files d'attente).

Par contre, le choix entre le ? capital

? et le ? travail ?, qui est exprim? par la relation entre les para m?tres a et h d'une part, et 6 d'autre part, le degr? de la capitalisation de la production, d?coule en

partie seulement de la technologie de la production. L'essentiel de ce choix est effectu? au moyen de crit?res ?conomiques (au moyen de ce qu'on appelle le ? calcul ?conomique

? ou la ? rentabilit? des investissements ?) et aussi sociaux et politiques. Ce choix est condens? d'une part dans la d?termination

de la capacit? C et d'autre part, ? court terme, dans le choix du taux d'activit? q. Le ph?nom?ne essentiel est la croissance continue des d?penses avec C et q croissants.

Beaucoup des th?ories ?conomiques utilisent des raisonnements dans lesquels les facteurs de

production a (? capital ?) et 6 (? travail ?) sont trait?s simultan?ment, sur le m?me plan.

On tente ensuite d'?tablir des crit?res d'optimation globaux des mod?les ainsi construits.

Nous croyons qu'une telle repr?sentation s'?carte trop de la r?alit?. Elle n?glige la diff?rence essen tielle entre les d?penses fixes et variables. Pour les premi?res, les co?ts partiels sont strictement inver sement proportionnels aux activit?s, pour les secondes sensiblement ind?pendants de l'activit?. L'hypo th?se de ? constant returns to scale ? et les autres hypoth?ses qui ont permis de b?tir les mod?les

globaux, tels que ceux de Walras, Cassel ou de von Neuman s'?cartent donc tr?s loin de la r?alit?.

On peut r?torquer, avec l'aide du m?me argument que plus haut, et pour d?fendre ces th?ories, que ces mod?les consid?rent toujours des activit?s ? capacit? adapt?e, les fonctions enveloppes ?

long terme. Ces fonctions ne comportent ni d?penses fixes, ni composantes hyperboliques de saturation.

L'utilisation des crit?res de choix d?centralis?s n?glige n?anmoins, dans ces conditions, un point essentiel : la d?cision est toujours double : ? court terme, choix de q ? C donn?, et ? long terme, choix de la capacit? C, dont d?coulera dans l'avenir un ensemble des choix des taux d'activit? qf.

La consid?ration des enveloppes seules est donc fondamentalement insuffisante. Elle provoque un grand d?sarroi lorsque les rendements sont croissants ? long terme, ce qui arrive souvent dans la

technique de notre temps. Les ensembles math?matiques qui repr?sentent l'espace des ressources cessent alors d'?tre convexes et les d?monstrations formelles des th?ories globales tombent.

Un exemple de ce d?sarroi est la th?orie des surplus pour les ? grands ? investissements.



76

ANNEXE A

R?gression par la m?thode des moindres aires.

A.l. - La m?thode des moindres carr?s utilis?e g?n?ralement est fond?e sur le raisonnement classique suivant que nous croyons utile de rappeler [14] :

Soit N observations P(jt?, yi) dont la repr?sentation graphique est un nuage de points dans le plan Oxy. On consid?re que ces N observations sont un ?chantillon tir? au hasard d'une population, tr?s

nombreuse, d'observations possibles.

Soit E(y) l'esp?rance math?matique, pour la population, de y pour un x donn?.

La fonction inconnue

E(y) = /W est la r?gression de y en x.

De m?me E(x) =

y (y) est la r?gression de x en y. Ce sont les deux r?gressions suivant les directions des axes de coordonn?es. On peut utiliser des r?gressions suivant une direction quelconque. Elles sont

?quivalentes, mais plus compliqu?es ? utiliser.

Si v(x) est la variance de la distribution de y pour un x donn?, la relation

y(x) = F(x)

est l'?quation sc?datique de la population. Si v est ind?pendant de x, on dit que cette relation est homosc?datique, dans le cas contraire, elle

est dite h?t?rosc?datique. Un cas particulier de relation homosc?datique est celui o? v est infini quel que soit x. On dit que la corr?lation entre y et x est nulle, la relation E(y)

= f(x) n'est pas d?finie,

y et x sont stochastiquement ind?pendants.

La m?thode de moindres carr?s consiste ? rechercher le minimum de la moyenne des estimations des variances v de l'?chantillon (*) On d?montre, et cela est pratiquement ?vident de par la nature m?me d'une variance de distribution de probabilit?s, que la relation E(t/)

= f(x) ainsi obtenue est

l'estimation la plus vraisemblable de la relation r?elle pour la population et que la corr?lation que cette m?thode permet de calculer est la corr?lation la plus vraisemblable. En effet, plus la variance est petite, plus la corr?lation est grande et la nature fonctionnelle de la relation entre y et x

vraisemblable. Si la variance r?elle est nulle, l'incertitude sur la relation entre x et y cesse.

Nous voyons que cette m?thode comporte une

donn?e arbitraire, qui est la direction suivant

laquelle on attaque le nuage de points x%, yi Cet arbitraire peut ?tre souvent lev?, mais par des consid?rations contingentes, exog?nes au

probl?me.

Il en est ainsi par exemple lorsqu'une des variables est le temps. C'est la raison principale de l'emploi si fr?quent de la m?thode des moindres

(1) Cela consiste ? rechercher le minimum de la somme des carr?s des ?carts ?ntreles valeurs ? exp?rimentales ?de x?

et les valeurs x d?duites d'une forme fonctionnelle admise a priori (souvent lin?aire), pour chaque yi.



77

carr?s en ?conom?trie, qui utilise surtout des chroniques. Si cela est impossible, comme il arrive

souvent encore, la relation entre les meilleures estimations de x et de y n'est pas biunivoque. Dans

les cas de r?gressions lin?aires, ? un x donn? correspond alors avec le maximum de vraisemblance une valeur y sur la droite de r?gression de y en x, ? cette valeur y correspond avec le maximum de

vraisemblance une valeur x, sur la droite de r?gression de x en y, ? cet x' correspond dans les m?mes

conditions une valeur y', etc.

On obtient un escalier d'estimations (fig. 1). Ce n'est pas tr?s satisfaisant pour l'esprit, mais au

fond parfaitement explicable. On peut n?anmoins se poser la question de la relation biunivoque la plus vraisemblable entre les deux vari?tes x et y. Les difficult?s th?oriques d'une r?ponse ? cette

question sont grandes (voir [8], p. 161). Une r?ponse, peut-?tre moins rigoureuse, mais beaucoup

plus simple que la r?gression pond?r?e de Koopmans, est propos?e ci-apr?s.

Une m?thode de r?gression lin?aire.

A.2. - Consid?rons une population de N observations et d?finissons la surface des fr?quences des

couples d'observations P(jc, y). On adoptera un espace centr? sur l'esp?rance math?matique de

P(jc, y), d?finie par :

s* - Si/O)

X=F;Y =

N Donc

X = jc-X; Y = y ?Y

Une droite de r?gression R dans le plan XOY, droite passant par

l'origine et de pente p =

tgoc sera

associ?e avec le plan P vertical

(/OR), qui la contient et qui d?finit par son intersection avec la surface de

fr?quences F(/, X, Y) = Oune distri

bution D de fr?quences, de variance v2 et de moyenne nulle (fig. I ).

On prendra comme crit?re de

vraisemblance de la droite de r?gres sion R non pas la variance de la somme des carr?s des ?carts des

points P ? la droite R, ?carts mesur?s suivant une direction fix?e par

hypoth?se, mais la variance de la distribution D, qui sera ? maximer et non pas ? minimer, comme dans le premier cas.

En effet, si la corr?lation est parfaite, cette variance est infinie (les points P sur R sont ?quiprobables) pour une certaine valeur de p, pour laquelle R repr?sente la relation fonctionnelle /(X, Y)

= 0.

Si la corr?lation est nulle, la variance v2 est ind?pendante de p, ce qui doit se traduire par une

ind?termination de l'expression de v2 en fonction de p. (La surface F est de r?volution par rapport

?0/).

Fig. A.2

(I) Plus exactement l'esp?rance math?matique de P(x,y) estX = ??rr- ; Y = ?j^j-

o? p est la probabilit? inconnue deP(x, y).

Utiliser l?galit? ci-dessus ?quivaut ? admettre une distribution non biais?e.



78

Si la corr?lation est imparfaite (cas g?n?ral pour tout ?chantillon de N) la forme de la fonction tf2 =

s(p) doit renseigner sur la valeur de la corr?lation et son maximum donner la droite de r?gression par sa pente p* telle que

Vmax = g(p*)

On a adopt?, pour crit?re de la corr?lation, la valeur de la d?riv?e seconde de v2 au maximum, mais rien n'emp?che, sinon la commodit? des calculs, d'en prendre un autre.

Aucune hypoth?se restrictive (*) n'a ?t? jusqu'ici introduite sur la nature des distributions ou des observations. La fonction g peut ?tre de forme quelconque, d?pendant de la forme de la surface F. Elle peut en principe admettre plusieurs extr?mes, ce qui r?soudrait le probl?me d'identification, si difficile dans la th?orie classique.

La variance v2 ne peut pas en g?n?ral ?tre nulle, puisqu'une telle valeur impliquerait que pour une certaine droite R le ph?nom?ne observ? serait d?fini par une valeur unique de l'observation, valeur n?cessairement confondue avec l'origine 0, donc

x=X, y=Y

A.3. - Calcul de la r?gression.

La variance de la distribution D est, puisque D est centr?e :

Zp2

o? p est le rayon vecteur d'un point P(X, Y) situ? sur la droite R, dans les coordonn?es polaires p, a.

Lorsque N ? ?? , la surface F tend vers une surface de densit?s de probabilit?s et v2 vers la variance vraie or2 de la distribution D. Cette variance inconnue est fonction de a.

Le probl?me consiste ? d?terminer une valeur al?atoire s2, ? partir d'un ?chantillon tir? au hasard de n observations P. s2 admet pour esp?rance math?matique o2 et sa distribution est normale pour une infinit? de tirages d'?chantillons.

Les points P(X, Y) d'un ?chantillon ne se trouvent pas sur la droite R de r?gression inconnue. On est oblig? de prendre pour s2 la valeur approch?e

.-^ (2) n o? X' est l'abscisse de l'observation P dans les axes transform?s par la rotation a inconnue. On a :

X' = X cos a + Y sin a (3)

, S(Xcos a+Ysina)* SX2 EY2 . 2 *XY . s' = - = -eos ?a H-sinz a + L-sin a cos a (4)

n n n n

a" est donn? par les conditions

ds* (J*.* r =0 et f - ? ?a v ?a2 '^) <0 (5)

On obtient, en posant

A=EX2; B = 2Y2; C = 2XY (6)

(1) A l'exception de celle du renvoi (I) de la page 77.



79

tg 2a, =

tg? = ~ ?V

Ja2

2C

A-B

2(A-B)

(7)

(8) a? n cos 2a?

On peut appeler ? angle de corr?lation. Il est nul pour la corr?lation nulle.

On a alors A = B et comme ?r doit ?tre ind?termin?, C = 0. Si la corr?lation est parfaite (mesure sans erreurs, d'une relation fonctionnelle lin?aire), on a (p

= tg a)

B2=p2A2; C=pA2; a=a? (9) 2A2 .. ? _ 22P2

tg ? = ? 0 + P2) = 2S2 = (10)

n n

tg ? cro?t ind?finiment avec n ; ? tend vers 90? pour n tr?s grand.

Cette d?finition de la corr?lation est bien plus coh?rente que la d?finition classique ; en effet tant

que n est fini la corr?lation n'est pas, en toute rigueur, parfaite. Si l'on tient ? l'?chelle usuelle des

corr?lations, il suffit d'utiliser sin ? au lieu de ? ou de tg ?. On peut toujours, par une modification des ?chelles de X et de Y, obtenir A = B. Cela ?quivaut ?

utiliser les coordonn?es normales X* et Y*. L'?quation de la droite de r?gression devient alors

7^ a* =

et il est facile de voir que

tg?=

4

4SX*Y*

X* = Y*

42X*

(M)

(12) n n

ce qui, pour la corr?lation parfaite, revient ? (10).

Nous retrouvons l'expression de la droite de r?gression obtenue par la m?thode des moindres aires, ce qui justifie cette m?thode, parfois plus simple ? utiliser.

A.4. - R?gression lin?aire par la m?thode des moindres aires (R?gression

? mutuelle ?).

Soit P(jc, y) une observation, x et y les abscisse et ordonn?e de m?me ordonn?e et abscisse

que celles du point P, sur la droite recherch?e y_ il ( y'

= cl + bx y

= a+ bx i* i / *

\y = a + bx

L'aire du triangle Px'y' est

A=j(y-y)(x-x)=??~ Pour un ?chantillon de n observations tir?es au

hasard :

E(?,-a-?*)2 2A = 2b

On ?crit les ?quations normales, conditions du minimum de la somme des ? aires des ?carts ? :

8ZA Sa S(j/

? a ? bx)

= 0 Fig. A.4



80

d'o? na =

%y ?

?S* JVA -TT- = 0 ?quivaut ? ?(y

? a ? bx)2 + %2bx(y

? a ? bx)

? 0 ob

qui s'?crit :

X(y ?

a+bx)(y ? a ?

bx)=0

ou, puisque

2(y ? a ?

bx) = 0

Z(y+bx)(y-bx-a) =

Z(y2-b2x2)-aX(y+bx) = 0

et enfin, compte tenu de (1)

nZ(y2 -

b2x2) = (2y -

bXx) (Sy + bl>x) = (S*/)2

- b2(Xx)2

On a donc :

V /2y^2 L2 n \ n / lsy\2 i i sv i* ' 2

2*2 /2^\2 n n

o? :

r2 est le coefficient de corr?lation classique,

Sx est l'?cart type de la distribution de l'?chantillon n des x,

sy est l'?cart type de la distribution de l'?chantillon n des y.

Si l'on transforme en variables normales :

X*=?=X; V?*=Y; x=-; Y=^ Sx Sy n n

il est facile de voir que cette valeur de b conduit ? d?finir la droite de r?gression par 1

X* = ? Y*

Le coefficient de corr?lation est, suivant la formule classique :

r = cov (X*, Y*) nsxSy



81

ANNEXE B

Methode de r?gression par moindres aires appliqu?e ? une hyperbole ?quilat?re

Soient :

y =

yo ?

asymptote horizontale,

et x = Xo = asymptote verticale de l'hyperbole ?quilat?re que l'on cherche ? ajuster ? l'ensemble

x

(0

de n observations n points de coordonn?es \ f y

Cette hyperbole a pour ?quation :

A = (xo

? x) (yo

? y)= Cte

d'o? :

dy _ _yo

? y

dx xo ?

x

car : ?

dx(y0 ?

y) ?

dy(x0 ?

x) = 0

Soient x et y les coordonn?es d'une mesure P, et x' et y' les points de m?me ordonn?e ou abscisse sur la courbe d'ajustement.

On d?termine ainsi les points :

X i X et C / qui forment avec le point y ( y

P un triangle curviligne dont l'aire, aux [y

termes du second ordre pr?s, est ?gale ? :

a=\(y-y')(x-x') (2)

On ?crit alors que les points B et C sont sur

la courbe d'?quation (1) :

A = (xo?x) {yo?y)= (xo?x) (yo?y) (3)

A = (xo

? x + x ? x) (yo

? y)

= (x0

? x)

(yo ?

y + y ?

y) =

(y ?

y) (xo ?

x) + (yo ?

y) (xo ?

x) =

(x ?

x) (y0 ?

y) + (yo ?

y) (x0 ?

x)

donc :

(y ?

y)(xo ?

x)=(x ?x)(yo ?

y)= A ?

(xo ?

x) (y0 ?

y) (y

? y) (x

? x) (xo

? x ) (y0 ?

y) =

[A ?

(xo ?

x) (y0 ?

y)]2

D'apr?s l'?quation (2), on peut ?crire :

ou :

2a = (y

? y) (x

? x)

A2 2a

=

(xo ?

x) (y0 ?

y)

_lA-(xo-x)(yo-y)]2

(xo ?

x) (y0 ?

y)

? 2A + (xo

? x) (y0

? y)



82

L'ajustement optimal (le plus vraisemblable) de l'hyperbole est obtenu, ? partir d'un ?chantillon de n observations, en ?crivant que la somme des aires a est minimum. Il suffit donc d'annuler les d?riv?es partielles de l'?quation suivante :

22a = A2S--1- 2nA + Z-(xox)(y0-y) (4) (xo

? x)(y0

? y)

Les trois inconnues ou variables d'ajustement sont A, x0 et y0. On peut les d?terminer par les trois

?galit?s qui s'annulent simultan?ment :

822a ^ = 0 8S2a _ Q

8A 8*0 8y0 Posons :

X = Xo

? x et Y =

y0 ?

y

l'?quation (4) devient :

2 la = A22 J- -2nA + 2XY n AI

tandis que les conditions du minimum peuvent s'?crire :

8E2a SS2a 8E2a

SA SX 8Y = 0

La d?riv?e partielle par rapport ? A est ?gale ?

x-^-* lou :

A =

et

YX

Les d?riv?es partielles par rapport ? X et Y sont ?gales ? :

8S2a 1 ?= = ? A2 2 ?

+2Y=0 SX X2Y^

SS2a 1 = ?A?S?- + ZX = 0 2

d'o? l'on tire

donc :

SY \V,.

(5)

2-1 (6)

SY XY

SX = A2 S? (7)

SY = A2 2 ? X2Y



et en rempla?ant A par sa valeur trouv?e en (6), le syst?me d'?quation (7) devient :

1 n2 2X = 2

XY2 /v 1 V 2XY

SY = S J= x2y /v i y SXY

Les trois ?galit?s

A= n

*?

riL]'/!= r sx T

L^x^yJ L^xyU

2X = n* XY

XY/

Z.? Y2Y "

"FAT permettent de calculer les trois param?tres A, xo et i/o.

Remarquons que de (4) et (6) on tire

d', ou

S 2a= nA-2nA + SXY = SXY-nA = SXY--p

S ?

XY

8S2a w SA . SA _ 2Y

?T-2Y~n SX"0 8X~T de m?me

8A = SX

8Y~ n

83



84

ANNEXEC

Analogies et Diff?rences entre les ? Progress Curves ?

et notre fonction de d?penses

La th?orie des ? progress curves ? a ?t? ?labor?e aux Etats-Unis ? partir de raisonnements sur le

probl?me suivant :

Supposons qu'on produise des quantit?s croissantes d'un produit identique ? lui-m?me. (La prin

cipale application a ?t? faite ? l'industrie des cellules d'avions.) Comment ?voluera le co?t d'une cellule ?

Il s'agit, dans l'?nonc? du probl?me et dans la question pos?e, non pas de d?bits croissants (de productions croissantes par unit? de temps) de produits, mais du nombre total fabriqu? de ces produits.

Il semble donc qu'il existe une diff?rence fondamentale entre notre ?tude et la th?orie des ? progress curves ?. Nous raisonnons sur les d?bits physiques de production q et les d?bits mon?taires correspon dants S, desquels nous d?duisons, ? chaque ?poque, les co?ts et les ?lasticit?s de production.

La th?orie des ? progress curves ? para?t se lib?rer au contraire de l'influence du param?tre temps

ou p?riode. On consid?re la d?pense totale S, la quantit? de monnaie qu'un produit repr?sente. Il

peut sembler aussi que ce type de raisonnement s'affranchit aussi de la consid?ration de la notion de

capacit?, ?troitement li?e ? celle d'un d?bit de production. On peut tr?s bien concevoir de produire N unit?s en un temps soit tr?s long, ? l'aide d'une tr?s petite capacit? de production, soit beaucoup plus court, au moyen d'une tr?s grande capacit?. La variable T, temps de production, n'est pas a priori li?e ? la variable C, capacit?, et pour chaque valeur de T et de C les fonctions de d?penses seront

diff?rentes. On peut donc dire que la d?pense totale S est fonction du nombre de produits N, du temps de production T et, soit d'une capacit? C maintenue constante pendant la p?riode T, soit du ? sentier ?

de l'?volution de cette capacit?, C, pendant la p?riode T.

Nous arrivons ainsi ? la conclusion que l'?tude des ? progress curves ? ne diff?re de la n?tre que parce qu'elle explicite d'autres variables, rendant implicites par contre celles que nous mettons en lumi?re.

Nos fonctions de d?penses explicitent la capacit?, distinguent soigneusement les fonctions ? court terme ? capacit? donn?e et les fonctions ? long terme, ? capacit? variable. Elles utilisent explicitement la variable temps par la consid?ration des d?bits et non des quantit?s, d'o? l'existence du ph?nom?ne essentiel de saturation.

Les ? progress curves ? explicitent le ph?nom?ne essentiel ?

d'apprentissage ?

(leurs auteurs les

appelaient d'ailleurs ? learning curves ? avant d'adopter le nom actuel).

On constate en effet dans tous les domaines que l'on apprend ? travailler mieux, plus, et plus vite, en le faisant. La capacit? augmente, ? partir de sa naissance, sans une augmentation de la consommation des facteurs. Dans la r?alit?, ce ph?nom?ne est ?troitement li? ? celui des augmentations physiques des capacit?s, intervenues ? la suite de l'entretien et des modifications mineures des instal lations.

En fait on peut affirmer que les ?tudes chiffr?es des Am?ricains ont port? sur des capacit?s plus ou moins bien adapt?es. Les constructeurs d'avions n'ont pas toujours bien pr?vu les s?ries qu'ils ont ensuite livr?es mais ont toujours, au moins dans une certaine mesure, construit les outillages les plus ?conomiques. Les ? progress curves ? sont donc des fonctions de d?penses interm?diaires entre les fonctions ? court et long terme.



85

C.2. - Les Am?ricains utilisent deux types de ? progress curves ?.

A. Une premi?re famille est d?finie par une relation lin?aire entre le co?t moyen de la produc tion de N unit?s de produits et ce nombre N, en coordonn?es log-log :

c = aNb (Cl) a est positif et repr?sente le co?t de la premi?re unit? produite ;

b est n?gatif et inf?rieur ? l'unit?, ne serait-ce que gr?ce au ph?nom?ne d'apprentissage et d?finit la ? pente ? de la droite en coordonn?es logarithmiques, ce que nous appelons le d?cr?ment.

Il appara?t imm?diatement que pour cette famille, la d?pense de production de N unit?s est

S = Ne = aN<' + h) (C.2)

et que le co?t marginal, c'est-?-dire la d?pense correspondant ? la production de la N-i?me unit? est :

Cr = -=-: = a(] + 6)N6= (1 + ?)c (C.3)

(en admettant que N est tr?s grand et peut ?tre assimil? ? une suite continue ; si cette simplification n'est pas justifi?e, il y a lieu d'apporter aux calculs une correction qui ne pr?sente pas d'int?r?t pour nos raisonnements. C'est en particulier le cas pour N = 1. Sinon, on devrait n?cessairement avoir 6=0).

Les ?lasticit?s de production sont dans ce cas :

p=?=rb (Q4)

i Cr

? C 0

B. Une deuxi?me famille des ? progress curves ? est obtenue par une relation lin?aire entre le co?t de la N-i?me unit? produite et le nombre N d'unit?s, en coordonn?es log-log.

On ?crit donc : cr = aW (C.6)

et on voit que a ? a est toujours le co?t de la premi?re unit? produite. La d?pense totale est dans ce cas, en adoptant la m?me hypoth?se simplificatrice de continuit? (qui veut dire en pratique que l'on ne consid?re que des quantit?s sup?rieures ? 100 environ)

ou S=

?NcrdN (C.7)

S=fTyN(, + n

(C8) et le co?t moyen

c= -- ?? N6 '==?^-. ?C9) C

N \ + b'N \+b" (Ly) do? ? ?

cr = (\+b')c; p

= _etp'=- (CIO, H, 12)

C.3. - La tentative am?ricaine d'ajustement des fonctions de d?penses ? une droite en coordonn?es

logarithmiques consiste donc ? admettre une ?lasticit? de production constante et sup?rieure ? l'unit?. La production se placerait donc dans la zone des rendements croissants. Notre proposition (forme 11.25) est une g?n?ralisation et un perfectionnement, car elle admet une d?croissance lin?aire de l'?lasticit?. Son ajustement ? des donn?es statistiques reste encore ? faire.



86

ANNEXED

Exemples de calcul d'ajustement hyperbolique par la m?thode des moindres aires.

Partant des donn?es du march? global des sucres (tableau I) et des cakes (tableau II) dans le Royaume Uni (sur une p?riode de n = 19 ann?es), nous avons appel? :

qi les indices de consommation par adulte ?quivalent pendant les ann?es 1920, 1921... 1938

(i=1,2... 19) (base 100 en 1938).

et pi les indices de prix corrig?s par l'indice global du co?t de la vie pendant les ann?es f (base 100 en 1938).

Ces donn?es de base sont inscrites dans les colonnes 1 et 2 des tableaux I et II. Dans les colonnes 3 et 4 se trouvent les valeurs xt et yi telles que :

xi = log qi

et

yi =

log pi (logarithmes ? 5 d?cimales)

Les valeurs Xo et y0 des asymptotes de l'hyperbole ?quilat?re ? ajuster, sont choisies a priori sur un graphique en coordonn?es double-log o? ont ?t? port?s les points qt, pi.

Nous formons alors les quantit?s Xi et Yi (colonnes 5 et 6) d?finies par

Xi = Xo

? Xi

et

Yi =

y o ?

y i

?= 19

et en calculons les sommes 2,? Xi et SY? ?= i

sommes que nous sommes amen?s ? comparer ? la fin du calcul avec les (2Xi)' et (2Y?)' calcul?s par la formule

S-1 XY2

(SXi)' = n2

-,-p-? o? n = 19

(2xy) s-1

Is xy) A la colonne 7 sont calcul?s les doubles produits X?Y?, ? la colonne 8 les rapports inverses??

1 XiYi ainsi que leur somme 2 .

X?Y?

Il reste ? former les quantit?s X?2Y? et X?Y?2, colonnes 9 et 11, ainsi que les rapports inverses 11 11

et 7-T7T7 dont nous calculons les sommes 2 ???

et 2 ?

rr-? colonnes 10 et 12. Xi'Yi X?Y?2-

~" - ~. X42Yi

" X?Y?2



87

Nous poss?dons alors tous les ?l?ments n?cessaires ? l'?laboration des quantit?s cit?es ci-dessus :

(SXi)' et (SYi)'. Pour le tableau I, les r?sultats interm?diaires obtenus pour des asymptotes choisies aux coordonn?es :

xo= 2,38550 yo= 2,82500

sont :

2X<= 8,73891 ?Y< = 13,45225

puis :

S J-V = (59,16094)* = 3 500,01682

et

2 -J? = 130,45218, S -}? = 84,74795 2 X??( *

X,Y< 84 74795

et

(SY)'=(l9)'X3J? = l3'455M

Il reste ? comparer les quantit?s :

EX ?(EX)'= ?0,00219= ?*

et

EY -(?Y)' = - 0,00289 =

8y et ? analyser les ?carts obtenus.

En toute rigueur, aux valeurs exactes xo, yo des asymptotes de l'hyperbole correspondraient deux ?carts 8Z et $y nuls. En r?alit?, les m?thodes d'approche utilis?es ainsi que le peu de pr?cision de la

machine de bureau ne nous permettent jamais d'obtenir des ?carts rigoureusement nuls.

Un rapide calcul d'erreurs a permis de juger satisfaisant tout syst?me Xo, yo d?terminant simulta n?ment des ?carts 8Z et 8y inf?rieurs ? 0,00389 (valeur logarithmique), ce qui correspond ? une erreur de 10/1 000 sur les nombres dont les logarithmes sont 8X et 8y.

Ici

8X= [0.00219] soit une erreur de 5/1 000 sur les nombres

et

Sy =

[0.00289] soit une erreur de 6,5/10000 sur les nombres

donc le syst?me

xo = 2.38550

y0 = 2.82500

constitue une solution acceptable de l'ajustement cherch?.



88

Dans le tableau II :

Pour des asymptotes choisies en

les r?sultats partiels sont :

puis :

xo= 2.54500

yo = 2.32000

SX = 12.34627 SY= 4.70986

2

et

S ? j

= (119.47641)* = 1 427.45146

1 = 186.26585 Xi'Yi

Calcul de

S-? = 488.08210 Aili'

Il faut comparer les quantit?s EX ?

(EX)' et EY ?

(EY)', ce qui donne ici :

SX -(SX)' = 8* =0.00276 SY - (EY)' = 8? = 0.00077

Les ?carts obtenus sont moins homog?nes que dans le cas du tableau I :

8X =

0.00276, soit une erreur de 6,5/1 000 sur les nombres

8y =

0.00077, soit une erreur de 2/1 000 sur les nombres

mais ils sont tous deux inf?rieurs ? 10/1 000 et permettent de juger satisfaisant le syst?me

xo = 2.54500

y0= 2.32000 choisi au d?part.



fcl Ntn-??-'n-'??-'*--"9'n,,?-'?r,,*",'?i-'*rcr<icopnm

o o o o o 0*0*0*0*0 oo ooo o o oo

p" iT?vr\?OvO>?>OvO'<OvOÔ'OrNtNNI>.NflOOOOO

>

? ooooooooooooooooooo

'5 ^.^.^.^^^.ROOOO?;? ? ? ? ?(^4 ?

rôoo^;* ?m ?r^csoprjcno ?r^.

ooooooooooooooooooo

ooooooooooooooooooo

0*0*0*0*0*0*0 o*o*o"o o o o o*o*o o*o

tNJ(vi<NjfN ? ? _ ? ? oo?-o.ooo.o.oo. rg rs? <nT rsT r? rs? <v? rv? r>? r4 rs? <^ rs? rs? r>? rsi* cn|* r^ <^

fA?riOoo<N{NiOOOmo<N??r^r^r^.sOOO

vO\oi^t^r>SaoooooooooSooS^c>oô?

JSIfNf^fSirNifSIfNI?^CNlf Vs Cv** C>^ 0s CT* 0s 0s- Cy^ CT*? C N O** O* ̂ ^ O** ^* 0s cy*

TOOINO' t>* r^.oo ?A oo aO oo 0_r>^0^ nO < "

ao" ̂* sO ir* ̂* so \d ""?" ^r \0 u-T r< oo" co r>^ u-? -*r r<

' psl <nj \0 ro m c>i^ iOQN(A\OOmTi

iôoco^tnô

o* o* o* o* o" o* o* o* o* o* o* o* o" o* o* o* o* o* o*

CO ? CMTOOfS ? f^f^^cnONfO^C^NOOO m m rsj c> ?i^ rsi irv?co ? u^Ôa?aOO<vi?o --Or^?nvOr^?>Or^fsigpQrNicDt^. ? COON aorôûîû^^^cn?riOOoo.u^ voo?n ? in OO* vO rx* OO* OO* 00* O* O* CT* o* o* o* o* ?* o* ?* ?:" c? o*

3mj~\ ̂p ̂-O ?rs ni voc^fO?riO

?m m >0 cg iri

S 8.8 8 8 O O ? 0~0 O O O O"O"O"O*O*O*O*O*O*O*O*

orÔaoîC^QQvoQOoorÔvOcou-?OO^ ONOOtAN ? SSSR^^^^^^?S^

??. ^. ??. "~. R. *. î ̂ "~. ?. "^ ***! ^L <*i ̂i ̂ ^H ̂x **:

o*o*o OOOOOOOOOOOOOOOO

OO ? iAtOOOiAM<NOM>>00>0 or^'?rc>iAg'ôapap?J;OcrvOC>?<"Sjcsic: oovOr^rsim^ro^'^'^^r'^-'?-^'vO'^rsor^p'

WO^-ift'?ifiTN-NOQ?S-N?Q Oi>tC^rr\u*\oor>.<Nuôor^'O?.o<NcoQ?A

0*0*0*0 0*0*0*0*0 0*0 0*0*0 0*0*0 0*0*

?Nr^rsifNrvirsirvjfNCNr^P^fNrmNKN?NrN??NtN

\00^?âo^cn^?n25oprsic>2;c><Nioo<NcnS ^r^"Z"~<^?*uSSc^c9oS"~',!rc! r^tôOoooooooDo?ooooSÔ^^CK&Ô^^C^C

c> c> ao ? -<r (N oo o qavCift ?^?."'' .?.ri.vD.?. a-* cm* ? cr* ?* O* ? O* oo* r>T o* oo* a* O* fN* 00* "?r* ?: O co ? es (N fN cm cm <n ? ? ? ? ? cm ? ? ? ? O

m oo oo o r?. cm r> co u-\ ?/^ -*r o o\ en es oo. \0 r-? 0_ ^'>o^,oi>?p*?r*>ir>rs>r*,?o6oooooooÔ>'CT^ô

O ? (ScA^mvONOoaQ-- cm m ?? in sO rx a CM?M^?MeMêMêMeM^?srn?nrn?orn?nc; Os o\ &\ ?\ ct^ ?*> o^ ̂ > C^> CT* G* O^ O^ 0*> 0s C7^ CJs o^ o



90

[ I ] H. S. HOUTHAKKER.

[ 2] R. STONE et D. A. ROWE.

[ 3] H. STROTZ et H. 0. A. WOLD.

[4] R. ROY.

[5] R. STONE and Ass.

[ 6] L. R. KLEIN.

[ 7] J. S. CHAMBERLIN.

[ 8] J. LESOURNE.

[ 9] J. S. CHIPMAN.

[lu] G. BERNARD.

[il] C. F. PERRY.

[12] D. M. EISENMANN.

[13] Harold ASHER.

[14] RISSER-TRAYNARD.

[15] R. CONGARD.

[16] Meb WOOLEY.

[17] A. WALD.

[18] P. GUIBERT.

BIBLIOGRAPHIE

Additive Preferences (et bibliographie indiqu?e). Econometrica, vol. 28, 2 (avril 1960).

The Durability of Consumer's Goods, id.

Triptuch in Causal Chains Systems, id.

De quelques singularit?s dans la Th?orie des Choix. Cahiers du S?minaire

d'Econom?trie du C.N.R.S., n? 2, 1953.

The Measurement of Consumer s Expenditure and Behaviour in the United

Kingdom 1920-1938, vol. I, Cambridge University Press, 1954.

Some Theoretical Issues in the Measurement of Capacity. Econometrica, vol. 28, 2 (avril I960).

The theory of Monopolistic Competition, Cambridge University.

Technique Economique et Gestion Industrielle, lre ?d. Dunod, Paris, 1959.

Foundations of Utility, Econometrica, vol. 28, 2 (avril 1960).

Fonctions canoniques d'Amortissement. Annales des Mines, janvier 1960.

Chemical Engineers Handbook* McGraw & Hill.

Progress Curves, Operations Research Quarterly. Janvier 1959.

Cost-Quantity Relationships in The Air Frame Industry. Rand Report R 291, Rand Corp. Santa Monica, Cal., 1956.

Th?orie de Probabilit?s, t. II. Gauthier-Vi liars, 1958.

La Demande et le Monopole. Th?se. SEES, 1953.

The method of minimized areas as a basis for correlation analysis. Econo m?trica, janvier 1941, p. 38.

The fitting of straight lines if both variables are subject to error. Annals

of Mathematical Statistics, vol. XI, sept. 1940.

Le plan de fabrication a?ronautique. Dunod, 1945.



recettes et dépenses des entreprises

Documents