rdm : le potentiel interne et ses applications

Chapitre 3

LE POTENTIEL INTERNE ET SES APPLICATIONS

3.1 INTRODUCTION

Dans ce chapitre seront examines les relations qui existent entre les sollicita-tions agissant sur un systme et les dplacements qu'elles produisent.

Les systmes considrs sont gnralement plans (gomtrie et chargement) mais les dveloppements thoriques s'appliquent tous les systmes, sauf prci-sion contraire.

Pour garder la thorie toute sa gnralit, tout en simplifiant autant que pos-sible les notations, nous dsignerons une sollicitation par F (sollicitation gnra-lise), que ce soit une force P, un couple C ou une sollicitation globale F (F1, F2, , Fn) et un dplacement par (dplacement gnralis), que ce soit une transla-tion (dplacement linaire) ou une rotation (dplacement angulaire).

3.2 TRAVAIL DES FORCES EXTERIEURES ET ENERGIE DE

DEFORMATION

3.2.1 Notions de travail et de travail complmentaire

Pour fixer les ides, nous considrons le cas d'une barre prismatique soumise une traction axiale F1 qui produit un allongement 1 (Figure 3.1a).

Nous supposons que la force F1 est applique graduellement, d'une manire lente, de faon ne produire aucune force d'inertie. Dans ces conditions, on dit que le chargement (force F1 ici) est appliqu statiquement et le dplacement engendr (ici un allongement) est reli la force applique par une relation re-prsente par le diagramme "F-" de la figure 3.1b.

Soit F une valeur intermdiaire et l'allongement correspondant. A un ac-croissement dF de la charge correspond un allongement supplmentaire d. Le travail lmentaire produit par F au cours de l'accroissement d est dfini par :

de = Fd (3.1)

4 0 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Il est reprsent par l'aire hachure (hachures inclines) du diagramme F-d (Fi-gure 3.1b).

Remarque : Fd reprsente plus exactement le rectangle "abcd". Autrement dit, le travail effectu par dF au cours du dplacement d, qui est un infiniment petit d'ordre suprieur 1, est nglig.

Le travail total effectu par la force F1 au cours du dplacement 1 est obtenu par sommation des travaux lmentaires, c'est--dire :

e Fd= 01

(3.2)

Il est reprsent par l'aire dlimite par la courbe F- et l'axe des jusqu' 1. De mme, on appelle travail complmentaire lmentaire du dplacement

au cours de l'accroissement de charge dF la quantit :

d dFe * = (3.3) Le travail complmentaire total effectu par F1, applique graduellement de 0

F1, au cours du dplacement 1 est donn par :

eF

dF* = 01

(3.4)

C'est l'aire gauche de la courbe F-.

3.2.2 nergie et nergie complmentaire de dformation

Considrons un corps soumis des sollicitations extrieures. Sous l'action des charges extrieures, le corps se dforme et les efforts internes (contraintes) effectuent un travail qui s'oppose au travail des sollicitations extrieures.

Ce travail interne, chang de signe, est dsign par nergie potentielle de d-formation (W) (-i = W).

d e*

F

F1

F

F1 A

B 0

F1

dF dF

F F

de

a

b c

d

d 1 d

l

1

(a) (b) (c)

Figure 3.1

1

L e po ten t ie l in te rne e t ses app l ica t i ons 41

Isolons un lment dv = dxdydz du corps considr. L'nergie lmentaire emmagasine dans dv se calcule comme le travail effectu par les forces agissant sur les faces de l'lment dv. Ainsi, le travail effectu par la force lmentaire x.dydz au cours de la variation dx de la dformation x, qui produit le dplace-ment dx = dx.dx, vaut :

dW dydz d dx d dvx x x x= = . . (3.5)

En considrant toutes les composantes des contraintes et en utilisant la nota-tion indicielle, on obtient pour l'lment dv :

dW d dvij ij= (3.6)

L'nergie emmagasine dans tout la volume du corps (v) vaut :

W d dvij ijv

= (3.7)

Considrons un diagramme contrainte-dformation unidirectionnel (unidi-mensionnel) (Figure 3.2b).

On a :

dW d0 = (3.8)

Cette quantit a l'unit d'une nergie par unit de volume. L'intgrale :

W d00

1

=

(3.9)

est appele densit de l'nergie de dformation et est reprsente par l'aire com-prise entre la courbe - et l'axe des . Remarquons qu'on a :

W dW dvv

= 0 (3.10)

De mme, l'nergie complmentaire lmentaire produite par un accroise-ment dij des contraintes au cours des dplacements produits par les dforma-tions ij correspondantes vaut :

dvddW ijij* = (3.11)

dW0*

dx

dz

dy x

dx(1+dx)

1

d

d

dW0

(a) (b) Figure 3.2

1


Et pour la totalit du volume du corps :

= v ijij* dvdW (3.12)

On a aussi :

dW d0*

= et W d00

1*=

(3.13)

3.3 TRAVAIL ET ENERGIE DANS LE DOMAINE ELASTIQUE

LINEAIRE

a) Travail d'une force

Revenons au cas de la traction d'une barre prismatique du paragraphe 3.2.1. Si la relation entre F et est linaire, domaine d'application de la loi de Hooke (et petits dplacements), c'est--dire quand on a tout moment du chargement la relation (Figure 3.1c) :

F = k (k = constante) le travail total devient :

e k d k= =1

212

0

1

et comme : F1 = k1 , il vient : e F=

1

21 1 (3.14)

Le travail total est reprsent par l'aire du triangle OAB (Figure 3.1c).

Remarquons que dans le cas de l'lasticit linaire, on a : e e=* .

b) Gnralisation

Si un systme en quilibre est soumis une sollicitation globale F (F1, F2, Fi,,Fn) et que les points d'application de ces forces subissent des dplacements, dont les projections sur les directions de ces mmes sollicitations valent 1, 2,, n, le travail effectu au cours du chargement du systme (passage de l'tat d'quilibre initial l'tat d'quilibre final), vaut :

e i ii

n

F=

=

1

21

(3.15)

Il faut rappeler qu'on suppose que : - le chargement est statique (les mises en charge sont lentes), - le matriau a un comportement lastique linaire (loi de Hooke vrifie), - les dplacements n'affectent pas l'action des charges (hypothse des petits

dplacements, pas d'effets du second ordre).


c) Travail des ractions

Si les appuis sont indformables, le travail fourni par les ractions au cours de la dformation du systme est nul puisque le dplacement d'un appui double ou d'un encastrement dans le sens de la raction est nul et que le dplacement d'un appui simple est perpendiculaire la raction.

Dans le cas d'appuis lastiques, les relations (3.14) et (3.15) restent valables pour les ractions.

d) nergie potentielle de dformation

Dans le domaine lastique linaire, la relation contrainte-dformation (ij-ij) est linaire et comme dans le travail, le facteur 1/2 apparat dans l'expression de l'nergie (Figure 3.3).

Ainsi, le travail fait par la force xdydz au cours de la dformation x qui pro-voque une variation de longueur dx = xdx est :

dW dydz dx dvx x x x= =1

2

1

2 (3.16)

Pour toutes les contraintes agissant sur dv en aura (en notation indicielle)

dW dvij ij=1

2 . (3.17)

et

W dvij ijv

= 1

2 (3.18)

Remarque : Dans le cadre de l'lasticit linaire on a : W = W*.

x

dx

x dy

dx(1+x)

(a) (b) Figure 3.3


3.4 PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L'ENERGIE

De manire gnrale, quand un corps est soumis des charges extrieures, ces charges effectuent un travail extrieur qui se transforme en nergie poten-tielle interne (qui dforme le corps), en nergie cintique et en chaleur qui se dissipe lors des frottements.

Supposons maintenant que : a) les charges extrieures sont appliques statiquement (pas d'nergie cintique), b) les frottements dans le corps sont nuls (pas de dissipation d'nergie sous forme de chaleur) c'est--dire que le corps considr est parfaitement lastique, c) les frottements dans les appuis sont nuls (pas de dissipation d'nergie),

alors tout le travail extrieur se transforme en nergie potentielle de dformation, c'est--dire qu'on a :

e W= (3.19a)

Dans ce cas, on dit que le systme (corps + appuis + charges) est conservatif et le travail, ou l'nergie de dformation, puisque e = W, ne dpend pas de l'or-dre dans lequel les forces sont appliques mais uniquement de leur intensit finale. Dans le cas contraire, c'est--dire si le travail dpendait de l'ordre d'appli-cation des forces, on pourrait le charger d'une certaine manire et le dcharger d'une autre manire de faon raliser un gain. Aprs plusieurs cycles, l'nergie ainsi gagne ferait exploser le corps, ce qui est absurde.

Si les charges cessent d'agir, l'nergie emmagasine dans le corps lors du chargement sera restitue sous forme de travail qui va ramener le corps son tat initial.

En plus des hypothses a), b) et c) ci-dessus nous admettrons dans ce qui suit que : d) le matriau vrifie la loi de Hooke (matriau lastique linaire), e) les dplacements sont suffisamment petits et n'affectent pas l'action des char-ges (pas d'effets du second ordre).

Il arrive quelquefois que le systme, dans son tat initial, c'est--dire avant toute application de charges, soit dj assujetti des efforts internes et des d-formations lastiques. C'est le cas notamment des systmes hyperstatiques dont les appuis subissent des dplacements (appuis non concordants), des systmes hyperstatiques soumis des effets thermiques, au phnomne de retrait dans les structures en bton, des effets des dfauts de montage, etc.

Dans un cas pareil, le systme possde dj l'tat initial une nergie lasti-que (Wi) emprisonne dans le corps et qui ne peut se librer que dans des condi-tions particulires. Les efforts et les dformations qui seront produits par les forces extrieures vont s'ajouter aux efforts et aux dformations existants. Dans ce cas, l'nergie de dformation est gale au travail des forces extrieures qui se transforme en nergie lastique interne plus l'nergie lastique initiale, d'o :

e iW W+ = (3.19b)

Les rsultats (3.19) sont parfois dsigns par thorme de Clapeyron.


3.5 TRAVAIL DE DEFORMATION DES SOLLICITATIONS SIMPLES

DANS LE CAS DES POUTRES

Nous allons calculer sparment le travail de dformation (nergie de dfor-mation) en fonction des efforts N, M, T et Mt dans une poutre (droite ou courbe) de longueur l. Considrons un tronon de poutre dx (ds) suffisamment petit pour pouvoir admettre que les efforts ne varient pas sur dx.

a) Effort normal

Sous l'effet des contraintes d'effort normal, le tronon dx subit une variation de longueur dx dfinie par :

dxdx

dx dxE

dxx xx

= = =

Comme dans le cas de l'effort normal on a x = N/A, il vient :

dx = (N/EA)dx L'nergie emmagasine dans le couche dA.dx se calcule comme le travail ef-

fectu par la force x.dA au cours du dplacement dx, d'o :

d W dA dxN

AdA

N

EAdx

N

EAdAdxx

22

2

1

2

1

2

1

2= = =( ) ( )

Remarque : La notation d2W est utilise pour dsigner une quantit plus petite que l'nergie lmentaire.

L'nergie lmentaire emmagasine dans le tronon dx s'obtient par intgra-tion sur l'aire A de la section :

dWdx N

EAdA

N dx

EAdA

N

EAdx

A A= = = 2

1

2 2

2

2

2

2

2

Et pour la totalit de la poutre :

WN

EAdx

l= 1

2

2

(3.20)

xN

A=

N N

dx

dx+dx

dx

z

y (a) (b)

dA

Figure 3.4


b) Moment flchissant

Considrons la couche dAdx. Sous l'effet des contraintes de flexion, la couche subit une variation de longueur : dx = xdx = (x/E)dx. Compte tenu de la rela-tion de Navier, il vient :

xz

z

z

z

M y

Idx

M y

EIdx= =

L'nergie emmagasine dans la couche dAdx vaut :

dAdxEI

yMdx

EI

yMdA

I

yMdxdAWd

z

z

z

z

z

z

x 2

222

2

1)(

2

1)(

2

1===

En intgrant sur la surface on obtient l'nergie emmagasine dans le tronon dx :

dWdx M y

EIdA

M dx

EIy dA

M

EIdxz

zA

z

z

z

zA= = = 2

1

2 2

2 2

2

2

2

22

D'o l'nergie de dformation de la poutre, qui se calcule par intgration sur l :

WM

EIdxz

zl= 1

2

2

(3.21a)

Dans le cas d'une flexion gauche, on a une relation similaire (3.21a) pour chaque moment flchissant et pour les deux moments on aura :

WM

EI

M

EIdxz

z

y

yl= +1

2

2 2

( ) (3.21b)

c) Effort tranchant

D'aprs la relation (2.12) du chapitre 2, l'nergie emmagasine dans un tron-on dx soumis un effort tranchant Ty vaut :

xM z y

I z

=

R

M

d

y

dx+dx (a)

y (b)

z

dA

dx

Figure 3.5

M


dWT

GAdx

y y=

2

2

Et pour toute la poutre :

WT

GAdx

y y

l= 1

2

2

Si la poutre est soumise Ty et Tz on aura :

WT

GA

T

GAdx

y y z z

l= +1

2

2 2

( )

d) Moment de torsion

L'angle dont tourne l'une par rapport l'autre les sections extr-mes du tronon dx soumis un moment de torsion Mt est donn par (Figure 3.6) :

dqM

GIdxt

t

P

=

o : - q est une constante dpendant de la forme et des dimensions de la section, ap-pele coefficient de torsion (q 40Ip

2/A

4). Ce facteur vaut 1 pour la section circu-laire et est suprieur 1 pour les autres cas. - la quantit C = GIp/q est dsigne par rigidit la torsion (ou rigidit torsion-nelle).

L'nergie emmagasine dans le tronon dx se calcule comme le travail effec-tu par Mt lors du dplacement dt :

dW M dqM

GIdxt t

t

P

= =

1

2 2

2

Et pour l'ensemble de la poutre :

WqM

GIdxt

Pl= 1

2

2

(3.23)

3.6 EXPRESSION GENERALE DE L'ENERGIE POTENTIELLE DE

DEFORMATION

Isolons l'intrieur d'un corps lastique un lment dv = dxdydz suffisam-ment petit pour pouvoir admettre que les contraintes ne varient pas sur les facet-tes de l'lment.

Calculons l'nergie emmagasine dans l'lment dv lorsqu'il est soumis l'en-semble des contraintes (Figure 3.7a).

Mt Mt

dx

dt

Figure 3.6


Le travail de dformation de la force xdydz au cours du dplacement dx = xdx (Figure 3.7b) vaut :

dW dydz dx dxdydzx x x x= =1

2

1

2( )

Pour l'ensemble des trois contraintes normales, on applique le rsultat (3.15), d'o :

dW dxdydzx x y y z z= + +1

2( )

o x, y et z sont les dformations longitudinales et peuvent tre exprimes en fonction des contraintes normales partir de la loi de Hooke gnralise.

Les dformations provoques par les contraintes normales et tangentielles tant indpendantes, si outre les contraintes normales il y a des contraintes tan-gentielles, il suffit d'ajouter leur effet.

Le travail de la force xydydz lors du dplacement xydx (Figure 3.7c) vaut :

dW dydz dx dxdydzxy xy xy xy= =1

2

1

2( )

En prsence de toutes les contraintes, il vient :

dW dxdydzx x y y z z xy xy yz yz zx zx= + + + + +1

2( ) (3.24)

L'nergie potentielle de dformation de tout le corps s'obtient par sommation sur le volume entier :

W dvx x y y z z xy xy yz yz zx zxv

= + + + + +1

2( ) (3.25)

L'expression de W peut tre exprime en fonction des contraintes seulement ou des dformations uniquement en utilisant les expressions des contraintes en fonction des dformations donnes par la loi de Hooke gnralise.

Dans le cas d'une poutre soumise aux sollicitations N, M, T et Mt, l'expression de W s'obtient en ajoutant les expressions (3.20), (3.21), (3.22) et (3.23) :

(a) (b)

(c)

dx

dx+dx

x x

y

z

x dy

yx

yz

xz

xy

zx zy

yx

xy

xydx

Figure 3.7

xy


WM

EIdx

N

EAdx

T

GAdx

qM

GIdxt

Pllll= + + + 1

2

1

2

1

2

1

2

2 2 2 2 (3.26)

Notons que cette dernire expression ne dcoule pas de l'application du prin-cipe de superposition, qui n'est pas applicable puisque l'nergie n'est pas relie linairement aux sollicitations. La relation (3.26) s'obtient par sommation des contributions de chaque sollicitation du fait que le dplacement provoqu par une des sollicitations ne provoque pas de travail de la part des autres sollicitations (dplacements indpendants).

Remarque : Si le systme comporte "n" barres, la relation (3.26) s'applique chacune d'elles.

3.7 TRAVAIL VIRTUEL

Considrons une particule m soumise une force F (Figure 3.8). Donnons m un dplacement suivant la direction .

Au cours du dplacement de la particule m, la force F effectue un travail gal, en valeur absolue, au produit de la composante de F agissant dans la direction par le dplacement .

v F= cos . (3.27a) Ce travail, d'o le 1/2 a naturellement disparu car la force F avait dj atteint

sa valeur finale au moment de l'application du dplacement , est appel travail virtuel de F dans le dplacement virtuel . Si les sens du dplacement et de la composante de F suivant la direction de sont concordants, le signe du travail est positif, dans le cas contraire il est ngatif.

Considrons maintenant le systme lastique simple de la figure 3.8b et im-posons lui une dformation reprsente par la courbe c. Au cours de la dforma-tion, la force P, dont le point d'application se dplace de , effectue un travail virtuel de la forme (3.27), avec = 0 dans le cas prsent.

v P= . (3.27b) Prcisons qu'on entend par dplacement virtuel tout petit dplacement possi-

ble. Petit par rapport aux dimensions du systme, donc comparable aux dplace-ments rels. Possible, c'est--dire compatible avec les liaisons extrieures (ap-puis) et intrieures du corps. Peu importe la manire utilise pour produire le dplacement virtuel.

F

P

c

(b) (a)

() m

Figure 3.8


De manire plus gnrale, si un systme supportant la sollicitation F (F1, F2,, Fn), subit un dplacement virtuel qui impose chaque force (Fi) un dpla-cement (i) suivant sa direction, le travail virtuel total effectu au cours du d-placement virtuel s'crit :

v i ii

n

F=

=

1

(3.27c)

3.8 THEOREME DE CASTIGLIANO

3.8.1 Premire forme du thorme

Considrons un systme lastique soumis une sollicitation F (F1, F2,, Fn). Au cours de la mise en charge, le systme se dforme et les points d'application des forces subissent les dplacements 1, 2,, n (i mesur suivant la direction de Fi).

L'nergie W emmagasine dans le systme au cours du chargement peut s'ex-primer en fonction des forces ou des dplacements de leur point d'application ( 3.5).

W W F F Wn n= =( , ,.. . , ) ( , ,... , )1 2 1 2 F (a) Donnons la force Fi un accroisement dFi. Il s'ensuit une variation de l'ner-

gie dfinie par la quantit (W/Fi)dFi et l'nergie totale, sous F (F1, F2, , Fn) et dFi, s'crit :

WW

FdF

ii+

(b)

Etant donn que le travail des forces ne dpend pas de l'ordre dans lequel el-les sont appliques ( 3.4), appliquons d'abord dFi ensuite la sollicitation globale F (F1, F2, , Fn).

La force infinitsimale dFi produit un dplacement di infinitsimal aussi, si bien que le travail accompli peut tre considr comme un infiniment petit d'or-dre 2 qu'il est lgitime de ngliger : (1/2) dFidi 0.

Appliquons maintenant la sollicitation globale F (F1, F2, , Fn). Le travail e accompli est gal W ( 3.4) : e = W. En outre, la force dFi, dont le point d'ap-plication a subi un dplacement i, produit un travail qui vaut dFii.

D'o le travail total :

e i i i idF W dF+ = + (c) En vertu du rsultat (3.19), les expressions (b) et (c) sont gales, d'o :

W

Fii= (3.28)

C'est la premire forme du thorme de Castigliano, qui s'nonce comme suit :


Thorme : Dans un systme lastique appuis indformables (1), la drive de l'nergie de dformation par rapport l'une des forces agissant sur le sys-

tme est gale la projection sur la direction de cette force du dplacement

lastique de son point d'application.

(1) Pour tablir le rsultat (3.28), nous avons appliqu dFi et on a admis que cet accrois-sent n'influenait aucunement les autres forces. En d'autres termes, nous avons suppos que les forces F1, F2, , Fn taient indpendantes. Les ractions des appuis indformables (appuis fixes) ayant un travail nul, mme si elles taient influences par dFi cela ne chan-gerait rien. Par contre, il en va diffremment avec des appuis lastiques dont les ractions dpendent des forces appliques (donc de dFi) et effectuent un travail. Pour que le rsultat (3.28) reste applicable dans ce cas, il suffit de considrer les appuis lastiques comme faisant partie du systme et de tenir compte de leur travail.

Notons aussi que le rsultat (3.28) reste valable si le corps possde une ner-gie initiale ; elle apparat dans (b) et (c) et se simplifie.

Exemples d'application

Exemple 1

Considrons une poutre bi-articule de section constante charge en son milieu par une force concentre P.

La flche mi-porte (f) s'obtient par application directe du rsultat (3.28) :

f = W/P Avec :

WM

EIdx

T

GAdxz

zl

y

l= + 1

2

1

2

2 2

+

++=2/1

0

l

2/1

2/1

0

l

2/1

2222

z

]dx)2

P(dx)

2

P([

GA2]dx))xl(

2

P(dx)x

2

P([

EI2

1W

WP l

EI

P l

GAz= +

2 3 2

96 8

D'o :

fPl

EI

Pl

GAz= +

3

48 4

rsultat dj trouv par une autre mthode (voir exemple d'application n1 du 2.6).

P

l/2 l/2

Figure 3.9


Exemple 2

Soit calculer le dplacement du point d'application de la charge P (on sup-pose que la rigidit flexionnelle est constante).

Wl

EIPx dx

GAP dx

P l

EI

P l

GAz z

ll

= + = +2 2 6 22 2

2 3 2

00( ) ( )

D'o :

fPl

EI

Pl

GAz= +

3

3

Exemple 3

On veut calculer la rotation de l'extrmit B de la poutre ci-contre.

+=

+=l

0

l

0

2

z

222

z GAl2

C

EI6

lCdx)

l

C(

GA2dx)x

l

C(

EI2

1W

D'o :

B

W

C

Cl

EI

C

GAlz= = +

3

3.8.2 Deuxime forme du thorme

Considrons nouveau un corps lastique soumis une sollicitation globale F (F1, F2,, Fn), et dsignons toujours par 1, 2,, n les dplacements corres-pondants des forces (suivant leurs directions respectives).

Comme dj signal, l'nergie de dformation peut s'exprimer en fonction des dplacements des points d'application des forces. Supposons qu'aprs avoir ap-pliqu le sollicitation F (F1, F2,, Fn), on impose un incrment di au dplace-ment i du point d'application de la force Fi. L'nergie totale s'exprime par :

WW

di

i+ (d)

P

f l

Figure 3.10

A B

B C

Figure 3.11


Considrons maintenant le travail total accompli lors du chargement F1, F2,, Fn et suite l'application du dplacement di au point d'application de Fi. Il s'crit :

e i i i iF d W F d+ = +. . (e) En galant les expressions (d) et (e) on tire :

W

Fi

i= (3.29)

C'est la 2me forme du thorme de Castigliano, qu'on appelle parfois 1er thorme de Castigliano ou thorme inverse de Castigliano.

Remarque : Contrairement la 1re forme, la 2me forme reste valable mme si les dplacements ne sont pas fonctions linaires homognes des forces.

Thorme : La drive de l'nergie de dformation, exprime en fonction des dplacements des points sur lesquels agissent des forces extrieures, par rapport

un de ces dplacements, est gale la force correspondante, calcule suivant

la direction du dplacement.

Exemple d'application

Le systme hyperstatique ci-contre est constitu de trois barres articules et est soumis une force verticale P.

On veut dterminer l'effort N dans la barre verticale AC en appli-quant le 2me thorme de Castiglia-no. Les barres sont du mme mat-riau (E) et de mme section A.

Le thorme s'crit : W

P= (a)

o est le dplacement vertical du point d'applica-tion de la force P et reprsente l'allongement de la barre verticale AC. Les barres tant articules, on a :

WN l

EA

N l

EA

N l

EA

AB AB AC AC AD AD= + +1

2

1

2

1

2

2 2 2

(b)

Par raison de symtrie on a : NAB = NAD = N1. Posons aussi NAC = N.(de mme que 1=2).

De plus, lAC = l et lAB= lAD = l/cos.

La relation entre les allongements des barres verticale et inclines (Figure 3.12b) s'crit : 1=cos

1 2

A

Figure 3.12b

P

D B

l

C

A

Figure 3.12a


En vertu de la loi de Hooke on a :

= E = N/A N = EA

comme = /l, il vient : N = EA/l (c) Et par particularisation : N1 = 1EA/l1 avec : 1 = cos et l1 = l/cos , d'o : N1 = (EA cos2)/l En remplaant dans l'quation (b) N1 et N par leur expression, on obtient :

)cos21(2

32

+=l

EAW (d)

Puis, d'aprs l'quation (a), il vient :

EA(1+2 cos3/l)=P et en vertu de (c), on obtient : N(1+2 cos3)=P

D'o :

NP

=

+1 2 3cos

L'effort N connu, le systme devient isostatique et pour calculer N1 il suffit d'crire une quation d'quilibre de translation (Fx = 0 ou Fy = 0 ) .

3.9 SIMPLIFICATION DE L'EXPRESSION DE L'ENERGIE

POTENTIELLE

L'expression (3.26) est rarement utilise telle quelle et ce, mme lorsque les quatre efforts existent simultanment. On peut presque toujours ngliger l'in-fluence de certains termes.

On peut se limiter, avec une bonne approximation, aux termes donns par les sollicitations prpondrantes, c'est--dire : - M pour les structures planes formes de poutres, - N pour les poutres en treillis articuls, - M et N pour les arcs plans, - M et Mt pour les structures spatiales constitues de poutres.


3.10 UTILISATION D'UNE SOLLICITATION AUXILIAIRE

Le thorme de Castigliano permet de calculer le dplacement du point de la structure confondu avec le point d'application d'une force concentre (P ou C). Pour calculer le dplacement d'un point quelconque du systme projet sur une direction quelconque, on applique au point considr, dans la direction consid-re, une force auxiliaire (fictive) qu'on annule la fin des calculs.


Exemple 1

Soit calculer le dplace-ment angulaire de l'extrmit libre d'une poutre console de section constante soumise une charge rpartie uniforme (Figure 3.13). L'influence de T tant ngligeable, on ne tient compte que de M.

Pour calculer la rotation demande, on applique un couple auxiliaire C en A afin de pouvoir utiliser le thorme de Castigliano.

A CW

C=

=0

WEI

M dxEI

Cqx

dxEI

C lCql q lll

= = +

= + +

1

2

1

2 2

1

2 3 20

22

00

2

23 2 5

( ) ( )

W

C EICl

ql= +

1

22

3

3

d'o : A CW

C

ql

EI= =

=0

3

6

Exemple 2

On dsire connatre la rotation de l'extrmit A dune poutre bi-articule soumise une force concentre P (Figure 3.14).

WEI

R x C dxEI

R x C P( x a dxA Aa

la

= + 1

2

1

2

2 2

0( ) ( ))

avec : RA = (Pb+C)/l, alors : )b2a(EIl6

Pab

C

W0CA +=

=

=

Le signe "-" indique que la section tourne dans le sens contraire du couple auxiliaire C.

q

A

x C

l

Figure 3.13

a b

l

P

B A C

Figure 3.14


3.11 SUPERPOSITION DES EFFETS

Lorsque les conditions a, b, c, d et e du 3.4 sont satisfaites, l'effet total (d-placement final), sous la sollicitation complte, est gal la somme des effets de chacune des composantes de la sollicitation totale.

3.11.1 Coefficients d'influence des dplacements

Soit ij le dplacement de la section i suivant la direction i sous l'action de la sollicitation Fj, agissant en j suivant la direction j. Appelons iju le dplacement de la section i (suivant la direction i) sous l'effet d'une sollicitation unitaire ap-plique en j (suivant la direction j).

En vertu de la proportionnalit entre les causes et les effets, on peut crire :

ij iju jF= . (3.30)

Sous l'action de la sollicitation complte F (F1, F2, Fj,, Fn), le dplace-ment total de la section i (dans la direction i) not iF sera gal :

iF i i ij in= + + + + +1 2 ... . ..

et en vertu de (3.30) il vient :

iF iu iu iju j inu nF F F F= + + + + +1 1 2 2 . . . . . . (3.31a)

ou encore : iF iju jj

n

F=

=

.1

(3.31b)

Les coefficients iju sont appels coefficients d'influence des dplacements.

3.11.2 Coefficients d'influence des sollicitations

Si nous particularisons la relation (3.31a) chaque section correspondant un point d'application d'une force, nous obtenons un systme de n quations :

1 11 1 12 2 1 1

1 1 2 2

1

Fu u

ju

j nu

n

iF iu

iu

iju

j inu

n

nF nu

F F F F

F F F F

F

= + + + + +

= + + + + +

=

... ...

. ..... .... .... ..... .... ..... .... .... ..... .... .... .

.. . .. .

. ..... .... .... ..... .... ..... .... .... ..... .... .... .

1 2 2+ + + + + nu nju j nnu nF F F... . ..

(3.32)

Si on considre F1, F2, , Fn comme les inconnues on peut les dduire en r-solvant le systme ci-dessus, et on obtient :

F F F F F

F F F F F

F F F

j j n n

i i i ij j in n

n n n

1 11 1 12 2 1 1

1 1 2 2

1 1 2 2

= + + + + +

= + + + + +

= + + +

... . ..

. .... ..... .... .... .... ..... .... .... .... ..... .... .... ...

. .... ..... .... .... .... ..... .... .... .... ..... .... .. .. F Fnj j nn n + +. ..

(3.33)


Les i de ce dernier systme sont en fait les iF du systme (3.32). Les coefficients Fij s'appellent coefficients d'influence des forces. Le coeffi-

cient Fij reprsente la sollicitation (par unit de dplacement) qu'on doit appli-quer en i pour avoir un "dplacement unit" en j.

3.12 METHODE DE MOHR POUR LE CALCUL DES DEPLACEMENTS

3.12.1 Cas gnral

Soient MiF, NiF, TiF et M iFt les efforts produits dans la section courante i par

la sollicitation globale F (F1, F2, , Fn).

Dsignons par mij, nij, tij et mijt les efforts apparaissant dans la section i sous

l'action d'une sollicitation unitaire applique en j, suivant la direction j. Introdui-sons en j, suivant j, une sollicitation fictive j.

Sous l'action de F et j, on a par superposition des effets : M M f m

N N n

T T t

M M m

i iF j ij

i iF j ij

i iF j ij

it

iFt

j ijt

= += +

= + = +

.

.

.

.

L'nergie potentielle s'exprime alors par (cas d'une pice longue) :

WM m

EIdx

N n

EAdx

T t

GAdx q

M m

GIdx

iF j ij iF j ijll

iF j ijl

iFt

j ijt

P

l

=

+ +

+ +

++

++

1

2

1

2

1

2

1

2

2 2

00

2

0

2

0

( ) ( )

( ) ( )

(3.34)

Pour obtenir le dplacement en j (suivant la direction j), on drive W par rap-port fj puis on pose fj = 0 (puisqu'il s'agit d'une sollicitation auxiliaire), on ob-tient :

jF iF ij iF ij iF ij iFt

ijt

P

llll M m

EIdx

N n

EAdx

T t

GAdx q

M m

GIdx= + + + 0000 (3.35)



Exemple 1

Calculons la flche au milieu C de la poutre reprsente la figure 3.15 (EI constante).

c

l

l

c

Mm

EIdx

EIMmdx

EIPx dx Px

lx dx

EIPx

lx dx

Soit

Pl

EI

= =

= +

=

=

1

10

21

2

5

48

00

20

2

2

3

.

[ ( )( ) ( )( ) ]

. ( )

:

/

/

/

l l

l l

l

Exemple 2

On cherche la rotation de l'extrmi-t A de la poutre ci-contre (EI cons-tante).

Al

EIMmdx

EI

Px x

ldx= = +

1 1

21

0

2

0. [ ( )

/ l

+ ]P

l xx

ldx

l

l

21

2( )( )

/

Soit :

APl

EI=

2

16

3.12.2 Particularisation de la formule de Mohr

a) Systmes me pleine : mthode de Verechtchagine

Dans ce cas, les dformations dues au moment flchissant sont gnralement prpondrantes et les dformations provoques par les autres efforts, T notam-ment, peuvent tre ngliges. On peut donc calculer avec une bonne approxima-tion les dplacements par l'intgrale :

jF iF ijl

EIM m dx=

1

0 (i)

Remarque : Lorsque la fonction MiFmij/EI n'est pas intgrable analytique-

ment, on remplace l'intgrale ( ) par une sommation de diffrences finies ().

m11

0=

P C

M

m

l/2 l/2

G2

G1

l/2

Pl

Figure 3.15

P

B A

l/2 l/2

M

1

m

Pl/4

m1=1/2

Figure 3.16


a.1 Cas des pices droites

Pour calculer l'intgrale (i) on peut utiliser une mthode grapho-analytique. La fonction m, du moment flchissant d une sollicitation uni-taire, est linaire. Cette linarit du diagramme m peut tre caractrise par la pente qu'il fait avec l'axe horizontal (Figure 3.17).

On dmontre que :

Mm

EIdx m e

M

EIm S

l

=

= 1 10 . . Surface d

o m1 est la valeur du moment flchis-sant m calcule au droit du centre de gravit de l'aire M/EI.

On a :

Mm

EIdx mds

M

EIdx aire de

M

EIS

l

= = = , , avec ds S0

mais : m = xtg, alors :

Mm

EIdx tg tg xds

SS

l

= = xds0

comme :

x

xds

ds

xds

Sxds S xG

S

S

SG

S= = =

.

donc :

Mm

EIdx S tg xG

l

= . .0 or : x tg mG = 1

alors on a bien :

Mm

EIdx m S

l

= 10 . (3.36)

a.2 Pices droites prismatiques

La section tant constante, EI peut tre sorti de sous le signe intgrale.

jF iF ijll

EIM m dx= 0 (3.37a)

M

EI

dsM

EIdx=

m

x

l

m

G

dx x

m1

Figure 3.17

xG


Si on pose = aire du diagramme du moment flchissant sous les sollicita-tions externes et m1 la valeur du diagramme "unitaire" au droit du centre de gra-vit de , alors :

jFl

EIm= . 1 (3.37b)

Remarque : Si le diagramme linaire m change de pente, on travaille par in-tervalle, puisque les rsultats (3.36) et (3.37) ont t tablis pour constant.


Exemple 1 (Figure 3.15)

On a :

CEI

mEI

mEI

m= = +1 1 1

1 1 1 2 1 . . .' "

avec :

= + = + + = +1 22 21

2 2 2

1

2 2 2 8

3

8

l Pl lPl

Pl Pl Pl( )

- Pour 02

0 =xl on a m:

- Pour l

x l on a xl l

x2

12 2

= = : ( ) m

Il vient :

18

l5

8

Pl3

EI

1m.

EI

1 2"12C == soit : C

Pl

EI=

5

48

3

Exemple 2 (Figure 3.16)

On a : = Pl2/8 et m = 1 - x/l D'o :

AEI

mEI

Pl Pl

EI= = =

1 1

8

1

2 161

2 2

.

b) Systmes en treillis articuls (chargs indirectement)

Les barres du systme tant rectilignes, chacune d'elles est soumise un ef-fort normal uniquement, de plus cet effort est constant (voir 6.5). On a donc pour chaque barre :

N n

EAdx N n

dx

EA

iF ij

iF ij

ll

= 00


Si la rigidit extentionnelle (EA) est constante, on aura :

N ndx

EA

N n l

EAiF ij

iF ijl

=0

Pour une structure comportant a barres, la formule de Mohr s'crit :

jFkF kj k

k kk

k a N n l

E A=

=

=

1

(3.38)

o :

a- jF = dplacement du nud j dans la direction j sous la sollicitation glo-bale F,

b- NkF = effort normal dans la barre k sous l'action de F, c- nkj = effort normal dans la barre k sous l'action d'une sollicitation unitaire d- applique en j suivant j, e- Ek = module d'lasticit de la barre k, f- k = aire de la section de la barre k, lk = longueur de la barre k.

P

B A

C

l 1

2

3

4

5

6

7 8

9

l l l = 3m

Figure 3.18



On cherche la flche en C de la structure reprsente la figure (3.18). On suppose que EA est identique pour toutes les barres.

Pour l'application numrique on prendra : EA = 315105 kg, l = 3 m et P = 30 t.

Barre k EkAk lk NkF nkj NkFnkjlk

1 3 2 P 2 3/ 2 2 3/ 4 2 3P /

2 3 P/3 2/3 2P/3

3 3 P/3 2/3 2P/3

4 3 2P/3 1/3 2P/3

5 3 2 P 2 3/ 2 3/ 2 2 3P /

6 3 -P/3 -2/3 2P/3

7 3 0 0 0

8 3 2 2 2 3P / 2 3/ 4 2 3P /

9 3 2P/3 1/3 2P/3

Les rsultats des calculs sont regroups dans le tableau ci-dessus. Le dpla-cement demand s'obtient en divisant la somme de la dernire colonne par la valeur de EA.

g- CFkF kj k

k kkF kj k

k

k

k

k N n l

E A EAN n l

P(

EA= = =

+

=

=

=

=

1 6 2 10

36

1

9

1

9)

mm

3.13 DEPLACEMENT PRODUIT PAR UNE SOLLICITATION

UNITAIRE

Dsignons par jku le dplacement de la section j dans la direction j produit par une sollicitation unit agissant en k suivant la direction k.

h- Par particularisation de l'expression gnrale (3.35) nous obtenons :

i- jkuik ij ik ij ik ij

lllikt

ijt

P

lm m

EIdx

n n

EAdx

t t

GAdx q

m m

GIdx= + + + 000 0

(3.39)

3.14 THEOREME DE BETTI-MAXWELL

Le thorme de Betti-Maxwell se dduit de l'expression (3.39). On remarque en effet que l'expression n'est pas modifie si on permutait les indices j et k, c'est--dire :


jku kju= (3.40)

Thorme : Le dplacement en j produit par une sollicitation unitaire agis-sant en k est gal au dplacement en k produit par la mme sollicitation unitaire

agissant en j.

Illustration du thorme

Le sens physique de cet important tho-rme, appel parfois thorme sur la rci-procit des dplacements, apparat claire-ment sur l'exemple simple suivant.

Soit donc le systme lastique ci-contre. Appliquons d'abord une force P puis une force F. Le travail total est donn par :

W P F PPP FF PF11

2

1

2= + +

Appliquons maintenant F ensuite la force P.

W F P FFF PP FP21

2

1

2= + +

Comme la valeur finale du travail effectu ne dpend pas de l'ordre dans le-quel les sollicitations ont t appliques, on a :

W W P FPF FP1 2= = (i)

De manire gnrale P et F sont des "efforts gnraliss" et PF et FP des "dplacements gnraliss". Par exemple, P une force et F un couple et par consquent PF le dplacement vertical du point d'application de P provoqu par le couple F et FP la rotation de la section d'application du couple F sous l'effet de la force P.

Le thorme de Betti-Maxwell se retrouve en faisant dans l'expression (i) ci-dessus P = F = 1.

3.15 CALCUL DES DEPLACEMENTS DES SYSTEMES

HYPERSTATIQUES - THEOREME DE PASTERNAK

Dans le cas des systmes hyperstatiques, les dplacements peuvent tre obte-nus en considrant dans chaque intgrale de la formule de Mohr [(3.35) et (3.39)], pour l'un des deux lments de rduction, les efforts correspondant au systme rendu isostatique.

Dsignons par :

j- ( , , , )M N T MiF iF iF iFt les efforts dans la section courante i du systme

hyperstatique sous l'action de la sollicitation globale F.

Figure 3.19

P F

F P

PP

FF PF

PP FP

FF


k- ( , , , )m n t mij ij ij ijt les efforts dans la section i du systme hyperstati-

que l- sous l'action d'une sollicitation unitaire applique

en j.

m- ( , , , )M N T MiF iF iF iFt

les efforts dans la section i du systme rendu isostatique sous l'action de la sollicitation globale F.

n- ( , , , )m n t mij ij ij ijt

les efforts dans la section i du systme rendu

o- isostatique sous l'action d'une sollicitation uni-taire

applique en j.

Avec les notations ci-dessus, le thorme de Pasternak s'exprime sous l'une des deux formes suivantes [obtenues partir de (3.35)] :

jF iFij iF ij iF ij iF

tijt

P

llll M m

EIdx

N n

EAdx

T t

GAdx q

M m

GIdx= + + + 0000 (3.41)

ou

jFij ij ij

t

ijt

P

llll M m

EIdx

N n

EAdx

T t

GAdx q

M m

GIdx

iF iF iF iF

= + + + 0000 (3.42)

Dmonstration

Nous raisonnerons sur une poutre continue reposant sur trois appuis et sou-mise une force P concentre en k (Figure 3.20). Nous considrons par ailleurs que le moment flchissant est prpondrant. Il s'agit de calculer la flche jF de la section j.

Le systme (a) est quivalent au systme (c) donc : M M MiF iF iRB= +

Pour le systme (c), qui est isostatique, on applique la formule de Mohr pour le calcul de jF :

Figure 3.20

A P P 1

j RB

C B jK

j

a) Systme hyperstatique c) Systme rendu isostatique e) Sollicitation unitaire

b) Diagramme MiF d) Diagramme BiRiF MM + f) Diagramme ijm

k


jFiF iR ij iF ij

ll M M m

EIdx

M m

EIdxB=

+=

( )

00

On retrouve ainsi l'une des formes du thorme de Pasternak. Le thorme est particulirement indiqu quand il y a plusieurs dplacements calculer ; on cal-cule une seule fois MiF et pour chaque dplacement on calcule mij en considrant

le systme rendu isostatique, cest--dire ijm .


Soit calculer la flche mi-porte du systme reprsent ci-contre (EI constante).

Appliquons une premire fois le thorme de Castigliano pour calculer la raction R de l'appui A (Figure 3.21).

A W R= =/ 0

A

iFl

iFiF

liFM

EI

M

Rdx

l

EIM

M

Rdx= =

(

0 0

EI MM

Rdx Rx

qxxdxA iF

liF

l

= = 02

0 2( )

EIRl ql

Rql

A = = =( )3 4

3 80

3

8

Appliquons mintenant le thorme de Pasternak pour calculer la flche M en x = l/2.

M iFl

iM

l

EIM m dx= 0

avec :

Mql

xqx x

l lx pour

lx liF iM iM= = =

3

8 20 0

2 2 2

2 et m pour m,

il vient : Ml

l

EI

qlx

qx

lx dx

ql

EI= =

1 3

8 2 2 192

24

2( )( )

/

Le rsultat peut tre retrouv en utilisant une des mthodes du chapitre 2, la mthode d'intgration directe par exemple en prenant pour la raction de l'appui simple la valeur trouve ci-dessus.

3.16 THEOREME COMPLEMENTAIRE

Thorme : Dans un systme quelconque, le dplacement "relatif" d'un point B par rapport

un point A peut s'obtenir en appliquant la

sollicitation unitaire l'extrmit B du tronon

isol AB suppos encastr en A et libre en B. A

A

B

B

Figure 3.22

A

l

q

R

q

x

Figure 3.21


En effet, le dplacement relatif ne dpend que des lments de rduction agissant entre les points A et B, de sorte que les liaisons existant en dehors de ce tronon ne jouent aucun rle. Il est donc logique de considrer les liaisons les plus simples, c'est--dire l'encastrement en A et une coupure complte en B (ex-trmit libre). C'est une application particulire du thorme prcdent puisque le tronon AB (Figure 3.22) dont il est question ici peut tre assimil une poutre bi-encastre.

3.17 FORMULES DE BRESSE

Considrons deux sections quelconques A et B d'une poutre plan moyen charge dans son plan. Connaissant les composantes du dplacement de A [UA (translation selon x), VA (translation selon y), A (rotation dans le plan xy)], ainsi que les lments de rduction courants, on se propose de calculer les composan-tes du dplacement de B (Figure 3.23).

En vertu du thorme complmentaire, le problme revient calculer les composantes du dplacement de l'extrmit libre B du tronon AB dont l'extrmi-t A subit les dplacements UA, VA et A.

Dans le calcul des composantes du dplacement de B, on peut distinguer l'in-fluence des composantes UA, VA et A et l'influence des charges. a) Contribution des composantes UA, VA et A

La translation de composantes UA et VA est reproduite intgralement en tout point de AB donc :

U U U

V V VA B A

A B A

= =

'

'

La rotation A est galement reproduite sur toute la longueur AB, donc : A 'B = A De plus, la rotation d'ensemble A est accompagne d'une translation dont les

composantes sont les composantes d'un vecteur L

dfini par :

L z ABA

= avec : z AB x x yB A B A

( , , ) ( , , )0 0 1 0 et y

UA

B

A

1

i(x,y) Fy=1

Fx=1

VA

y(v)

x(u) >0

A(xA,yA)

B(xB,yB)

ds

(a) (b)

Figure 3.23


D'o :

L y y x x x yA B A A B A

= + ( ) ( )

Donc la rotation A produit aussi : U y y

V x x

B A B A

B A B A

" ( )

" ( )

=

=

En rsum on a :

U

V

U y y nt x

V x x nt y

A

A

A

A A B A

A A B A

A

+

( )

( )

suiva

suiva

b) Contribution des charges

Appliquons successivement les sollicitations unitaires C = 1, Fx = 1 et Fy = 1 (Figure 3.23b).

Les lments de rduction dans la section courante i, sous l'action de C = 1, sont :

m = 1, n = 0 et t = 0 ; d'o :

B iFA

B M

EIds=

Action de Fx = 1 : m = - (yB - y), n = cos et t = sin ; d'o :

UM y y

EIds

N

EAds

T

GAdsB

iF B

A

BiF

A

BiF

A

B

=

+ + ( ) cos sin

Remarquons que : ds.cos = dx et ds.sin = dy ; alors :

UM y y

EIds

N

EAdx

T

GAdyB

iF B iF iF

A

B

A

B

A

B

=

+ + ( )

Action de Fy = 1 : m = (xB - x), n = cos(pi/2 - ) = sin et t = -sin(pi/2 -) = - cos ; d'o :

VM x x

EIds

N

EAds

T

GAdsB

iF B iF

A

B

A

BiF

A

B

=

+ ( ) sin cos

ou encore :

VM x x

EIds

N

EAdy

T

GAdxB

iF B iF

A

B

A

BiF

A

B

=

+ ( )

Les expressions finales de UB, VB et B s'obtiennent par superposition des deux contributions examines.

U U y yM y y

EIds

N

EAds

T

GAdsB A A B A

iF B iF

A

BiF

A

B

A

B

=

+ +

( )( ) cos sin


+

++=B

A

B

A

iFiFB

A

BiFABAAB ds

GA

cosTds

EA

sinNds

EI

)xx(M)xx(VV

B A iFA

B M

EIds= +

ou encore :

U U y yM y y

EIds

N

EAdx

T

GAdyB A A B A

iF B iF iF

A

B

A

B

A

B

=

+ + ( )( )

V V x xM x x

EIds

N

EAdy

T

GAdxB A A B A

iF B

A

BiF

A

BiF

A

B

= + +

+ ( )( )

B A iFA

B M

EIds= +

Si l'influence de N et de T est ngligeable, les expressions ci-dessus se simpli-fient :

U U y yM y y

EIdsB A A B A

iF B

A

B

=

( )( )

V V x xM x x

EIdsB A A B A

iF B

A

B

= + +

( )( )

B A iFA

B M

EIds= +


Dterminer les moments aux appuis de la poutre continue reprsente la fi-gure 3.24 sachant que l'appui (1) subit un affaissement de 5 mm.

A.N. : I = 3 000 cm4, E = 2 106 kg/cm2.

Afin d'obtenir des rsultats applicables dans le cas gnral, nous supposons que la poutre considre est charge. Nous admettrons par ailleurs que l'in-fluence de T peut tre nglige.

Particularisons l'expression de VB ci-dessus deux traves successives d'une poutre continue droite. On obtient :

Figure 3.24

(0) (1) (2) (3) (4)

l1=5m l2=4m l3=4m l4=5m

(i-1) (i) (i+1)

li li+1


V V lM l x

EIdxi i i i

iF i

i

li = +

1 1 0( )

( )

V V lM l x

EIdxi i i i

iF i

i

li

+ ++

+

= ++

1 1 110

1 ( )( )

d'o :

V V

l

M l x

l EIdxi i

ii

iF i

i i

li= +

1 1 0( )

( ) (a)

V V

l

M l x

l EIdxi i

ii

iF i

i i

li+

+

+

+ +

= ++

11

1

1 10

1 ( )( )

(b)

Puis, en faisant (a) - (b) et en remarquant que :

i i iFi

l M

EIdx

i

= 1 0 ( )

on obtient :

Vl l

V

l

V

l l

M x

EIdx

M

EIdx

l

M x

EIdxi

i i

i

i

i

i i

iF

i

iF

i i

iF

i

lll iii1 1 1 1

1

1 1

1 1 1 1000

11

+

+

= +

+

+

+ + + +

++

( ) ( ) ( ) (c)

Dcomposons le moment final en la somme du moment des charges agissant sur les traves supposes isostatiques (MF) et des moments aux appuis (Mi) (Fi-gure 3.25).

Supposons que EI est constante sur chaque trave.

= = ++

1 1 1 2

6

1 2

00l

M x

EIdx

l EIM xdx

l EIS Z

M Ml

i

iF

i i iiF

i ii i

i ii

ll ii

( ) ( ) ( )

= = ++

+ + ++

++

++

M

EIdx

EIM dx

EIS

M MliF

i iiF

ii

i ii

ll ii

( ) ( ) ( )1 1 11

11

00

1 1

2

11

1 1

1 1 1 1 00

11

l

M x

EIdx

l EIM xdx

i

iF

i i iiF

ll ii

+ + + +

= =

++

( ) ( )

( )= + +

+ ++ + +

++

1 2

61 11 1 1

11

2

l EIS l Z

M Ml

i ii i i

i ii

( )

Figure 3.25

i

Mi+1 Mi-1

i-1 i+1

Mi

i-1 i Si Si+1 i+1

MF

G1 G2

Zi Zi+1

+


o :

- Si reprsente l'aire du diagramme du moment des charges extrieures agis-sant sur la trave li suppose isostatique,

- Zi est la distance de l'appui (i-1) au centre de gravit de l'aire Si,

Z i+1 reprsente la distance de l'appui (i+1) au centre de gravit de l'aire Si+1. Avec les galits ci-dessus l'quation (c) donne :

M l

EI

M l

EI

M l

EI

M l

EI

Vl l

V

l

V

l

S Z

l EI

S Z

l EI

i i

i

i i

i

i i

i

i i

i

ii i

i

i

i

i

i i

i i

i i

i i

+

+

+ +

+

+

+

+

+ +

+ +

+ + + =

= +

+

+

1 1

1

1 1

1

1

1 1

1

1 1

1 1

6 3 3 6

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

C'est l'quation gnrale, dite des trois moments, qui permet de calculer les moments aux appuis des poutres continues ; elle s'applique pour chaque appui intermdiaire. On verra dans le chapitre consacr aux poutres continues comment tablir cette formule d'une autre manire.

Si EI est constante sur toute la longueur de la poutre, l'expression prcdente devient :

M l M l l M l

EI Vl l

V

l

V

l

S Z

l

S Z

l

i i i i i i i

ii i

i

i

i

i

i i

i

i l i

i

+ + +

+

+

+

+ +

+

+ + + =

+

+

+

1 1 1 1

1

1 1

1

1

1

2

1 16

( )

= -6

En particularisant l'quation trouve au cas qui nous intresse, pas de charges extrieures et un seul dplacement d'appui, on trouve le systme ci-aprs :

18 4 8 1

4 16 4 4 5

4 18 0

1 22

1 2 32

2 3

M M

M M M

M M

+ =

+ + =

+ =

.

.

tm

tm

On tire :

M M M1 2 3 0 40 55 0 44 0 10 0= = = = =. , . , . ( ) tm M tm M tm .

rdm : le potentiel interne et ses applications

Documents