Recherche Operationnelle et Aide a la Decision (RCP101) Fiche N o9

EXERCICE 1

Soit une le d'attente (illimitee) avec un serveur unique; le systeme d'attente se trouve dans un

organisme public ouvert de 9h a 17h, sans interruption. Il accueille en moyenne 64 personnes

par jour; le temps moyen passe au guichet par une personne est de 2 minutes et demie.

Un statisticien a observe que la loi de probabilite de la duree des services est exponentielle,

et que les arrivees des clients forment un processus de Poisson.

1. Donner le nombre moyen de personnes presentes dans l'organisme, le temps moyen passe

a attendre son tour, le temps moyen passe dans l'organisme.

2. Quelles sont les probabilites pour qu'il n'arrive aucun client entre 15h et 16h, pour que

six clients arrivent entre 16h et 17h ?

3. Quelle est, en moyenne, par heure, la duree pendant laquelle l'employe du guichet n'est

pas occupe avec les usagers ?

4. Quelle est la probabilite d'avoir 4 personnes dans la le d'attente, derriere l'usager qui est

occupe avec l'employe du guichet ?

EXERCICE 2

Un centre d'information comporte trois bureaux travaillant independamment en parallele.

Des usagers de ce centre se presentent aleatoirement pour obtenir des informations, selon

une loi de Poisson de taux : lorsqu'un bureau est libre, ils sont immediatement recus, sinon

ils passent dans la salle d'attente qui (on le suppose pour simplier les calculs) ne peut contenir

que deux personnes.

Lorsqu'un client se presente et que cette salle d'attente est complete, il remet a plus tard sa

visite : on suppose que ceci ne perturbe pas le caractere poissonnien de la loi des arrivees des

usagers.

La duree aleatoire passee par un usager dans un bureau d'information suit une loi exponen-

tielle de taux .

1. (a) Quel est le nombre maximal N d'usagers pouvant se trouver simultanement dans le

centre ?

(b) Modeliser le systeme a l'aide d'un processus de Markov particulier, a reconna^tre.

Decrire chacun des N + 1 etats possibles du systeme. Tracer et valuer le graphe des transitions entre t et t+ dt Donner la notation de KENDALL de cette le d'attente.

2. Ce processus est-il fortement ergodique ?

3. Sachant que = 2

(a) Calculer numeriquement les probabilites de chaque etat en regime permanent.

(b) Sachant que = 10 arrivees/heure, evaluer le nombre moyen de clients qui arrivent

et renoncent a attendre pour une tranche d'une heure.