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HERSANT Julien Stage Recherche de Master 2 SDS

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MASTER Ingénierie des Systèmes Industriels et des Projets

SPÉCIALITÉ : SYSTÈMES DYNAMIQUES ET SIGNAUX

Année 2008 / 2009

Thèse de Master SDS

Présentée et soutenue par :

Julien HERSANT

le jeudi 2 juillet 2009

Au sein de l'Institut des Sciences et Techniques de l'Ingénieurs d'Angers

TITRE

Comparaison de plusieurs méthodes de calcul de fiabilité associées à la prédiction de l’usure

dans les contacts roulants

JURY

Président : Laurent HARDOUIN Professeur des universités Examinateurs Sylvain CLOUPET

Fabrice GUERIN Maitre de conférences Professeur des universités

Directeur(s) de thèse : Fabrice GUERIN, Sylvain CLOUPET Laboratoire : LASQUO

62, avenue Notre Dame du Lac 49000 Angers


2

Sommaire

Table des figures ...................................................................................................................................... 4

Introduction ............................................................................................................................................. 5

1 Objectifs de l’étude ......................................................................................................................... 6

2 Présentation de l’existant................................................................................................................ 9

2.1 Reproduction du phénomène de dégradation ........................................................................ 9

2.2 Démarche de simulation de l’usure ........................................................................................ 9

2.3 Approche 1 : modèle déterministe couplé à une approche de Monte Carlo ....................... 10

3 Approche 2 : étude des phénomènes de dégradation par les processus stochastiques .............. 12

3.1 Différentes approches de modélisation ................................................................................ 12

3.2 Approche Fiabiliste : Les modèles de dégradation................................................................ 12

3.2.1 Principe de modèles de dégradation ............................................................................. 12

3.2.2 Modèles de dégradation étudiés .................................................................................. 13

4 Modélisation des processus de dégradation ................................................................................. 16

4.1 Structure des programmes .................................................................................................... 16

4.1.1 Mise en place des paramètres ...................................................................................... 17

4.1.2 Création du vecteur temps ............................................................................................ 17

4.1.3 Génération des trajectoires suivant le processus désiré .............................................. 17

4.1.4 Détermination des instants de franchissement ............................................................ 19

4.1.5 Détermination des densités de répartition ................................................................... 19

4.1.6 Détermination des fonctions de répartition ................................................................. 21

4.2 Objectif .................................................................................................................................. 22

5 Analyse des données d’essais........................................................................................................ 23

5.1 Mise en place de la base de travail ....................................................................................... 23

5.1.1 Etude des données ........................................................................................................ 23

5.1.2 Transformation des données ........................................................................................ 24

5.2 Détermination des paramètres de modélisation .................................................................. 27

5.2.1 Droite de Henry ............................................................................................................. 27

5.2.2 Test de Kolmogorov-Smirnov ........................................................................................ 29

5.2.3 Paramètres du processus de dégradation ..................................................................... 32

6 Simulation des trajectoires ............................................................................................................ 33

6.1 Simulation des trajectoires dans la base Log-Log ................................................................. 33

6.2 Transposition des trajectoires dans la base standard ........................................................... 34

6.3 Analyse des temps de défaillance ......................................................................................... 34

7 Analyse comparative des différentes méthodes ........................................................................... 36


3

7.1 Résultats par la méthode semi-hertzienne ........................................................................... 36

7.2 Comparaison des résultats .................................................................................................... 38

8 Conclusion et perspectives ............................................................................................................ 39

9 Bibliographie .................................................................................................................................. 40

Annexe 1 : Programmation du processus de Wiener ............................................................................ 42

Annexe 2 : simulation par le processus de Wiener ............................................................................... 47


4

Table des figures Figure 1 : Evolution du niveau de dégradation en fonction du temps .................................... 6

Figure 2 : Répartition des instants de défaillance ....................................................................... 7

Figure 3 : Algorithme de résolution du problème d’usure [CHE 07] ....................................... 9

Figure 4 : Résultat de simulation de l’évolution de l’usure en fonction du nombre de

cycles : modèle déterministe. .......................................................................................................... 10

Figure 5 : résultat de l’approche probabiliste paramétrique ................................................... 10

Figure 6 : Approche des Modèles de Défaillance par les Processus ....................................... 12

Figure 7 : : Trajectoires selon un processus de Wiener de paramètres ................................. 14

Figure 8 : Trajectoires selon un processus Gamma de paramètres ....................................... 15

Figure 9 : Algorithme de chaque programme ............................................................................. 16

Figure 10 : Tracé de 2100 trajectoires selon un processus de Wiener ................................... 18

Figure 11 : Tracé de 2100 trajectoires selon un processus Gamma ....................................... 18

Figure 12 : Détermination des instants de franchissement .................................................... 19

Figure 13 : Densités de répartition selon un processus de Wiener ........................................ 20

Figure 14 : Densités de répartition selon un processus Gamma ............................................ 20

Figure 15 : Fonction de répartition selon un processus de Wiener ........................................ 21

Figure 16 : Fonction de répartition selon un processus Gamma ............................................ 22

Figure 17 : Données d’essais ........................................................................................................... 23

Figure 18 : Tracé des essais ............................................................................................................ 23

Figure 19 : Mise en place d’une loi puissance sur les données d’essais ................................ 24

Figure 20 : Coefficients de corrélation des modèles puissance ............................................... 25

Figure 21 : Transposition des données d’essais dans la base Log-Log .................................. 25

Figure 22 : Passage des données en base Log-Log ..................................................................... 26

Figure 23 : Calcul de la droite de Henry ...................................................................................... 28

Figure 24 : Représentation graphique de la droite de Henry .................................................. 28

Figure 25 : Raccordement d’une distribution d’une loi normale pas le test de Kolmogorov-

Smirnov et pour un risque de 5% .................................................................................................. 29

Figure 26 : Application du test de Kolmogorov Smirnov à nos données d’essais................ 31

Figure 27 : Simulation de 2100 trajectoires selon un processus ............................................ 33

Figure 28 : Simulation des trajectoires selon un processus ..................................................... 34

Figure 29 : Répartition des temps de franchissement pour un seuil de dégradation de �0 = 20 ��. ......................................................................................................................................... 35

Figure 30 : 2100 simulations selon la méthode semi-hertzienne ........................................... 36

Figure 31 : Répartition des temps de franchissements pour un seuil de dégradation de �0 = 20 �� .......................................................................................................................................... 36

Figure 32 : Comparaison des deux distributions ....................................................................... 38


5

Introduction

La notion de contacts roulants est très répandue dans de nombreux domaines tels

que l’automobile, le ferroviaire ou l’ingénierie de production pour la

transformation de mouvement. C’est le cas des systèmes came/galet.

Dans cette étude, nous nous intéresserons aux deux derniers domaines cités où

les contacts entre solides sont de type acier sur acier. Cependant, comme seuls

des essais galet/came sont à notre disposition, nous nous focaliserons sur le

procédé de mise en forme des bouteilles plastiques.

Les systèmes à came sont généralement utilisés de manière industrielle pour la

commande de cinématiques particulières. Dans le procédé de mise en forme des

bouteilles plastiques, les passages successifs du galet sur la came génèrent de

l’usure superficielle : la piste de roulement se creuse faisant évoluer les

paramètres géométriques de la came.

En plus de l’enjeu économique, la problématique réside dans le fait, qu’il faut

maîtriser et limiter l’usure qui conduit à des déphasages cinématiques et des

disfonctionnements.

Cette usure est en général la conséquence du glissement relatif entre les deux

solides en contact. Dans ce processus, interviennent la lubrification, la vitesse

relative, le chargement mécanique et les conditions de frottement à l’interface.

Ces quantités présentent des incertitudes importantes liées à la technologie

utilisée, à des disfonctionnements dans le cas de la lubrification (de la graisse

coule de façon irrégulière sur la piste) et à des variations liées aux phases

dynamiques et vibratoires. Ces incertitudes conditionnement la prédiction de la

profondeur d’usure en fonction du nombre de passages de galet. Ces aléas doivent

être pris en compte afin d’estimer la durée de vie et ainsi garantir la fiabilité

associée à cette prédiction.

La première partie permet de poser la problématique de l’étude et de définir les

objectifs. Dans la seconde partie, nous exposons une méthode de prédiction du

niveau d’usure existante, reposant sur la description d’un modèle mécanique

ainsi qu’une prise en compte des incertitudes par tirages de Monte-Carlo sur les

paramètres de ce modèle. Dans la troisième partie, nous détaillons la méthode de

prédiction par les processus stochastiques. Dans la quatrième partie, nous

modélisons les processus de dégradation sous le logiciel MATLAB. Dans la

cinquième partie, nous analysons les données d’essais et déterminons les

paramètres nécessaires à la simulation de trajectoires. Dans la sixième partie,

nous effectuons la simulation de trajectoires de dégradation par le processus de

Wiener. Dans la Septième partie, nous nous effectuons une analyse critique des

résultats obtenus.


6

1 Objectifs de l’étude Une approche déterministe de ce problème d’usure a déjà été abordée par

Chevalier et al. dans [CHE 06a, 07]. Il est donc nécessaire d’être capable

d’évaluer le niveau d’usure maximale en fonction du temps (ou du nombre de

cycles) et cela en prenant en compte les différentes incertitudes ou aléas décrits

précédemment. Un exemple de processus de dégradation est présenté figure 1 :

Figure 1 : Evolution du niveau de dégradation en fonction du temps

Une fois les instants de défaillance déterminés pour de nombreuses trajectoires,

nous obtenons un jeu de données correspondant, sur lequel il va falloir venir

porter une loi de distribution afin de déterminer une fiabilité associée. Cette

fiabilité est la date (ou le nombre de cycles) pour laquelle X% de nos systèmes ne

seront pas défaillants.

Ces travaux de recherche se trouvent à la frontière de plusieurs domaines qui

sont :

o la tribologie pour l’étude des conditions d’interface dans les contacts

roulants,

o la mécanique du solide pour le calcul des quantités mécaniques

transmises d’un solide à l’autre,

o les sciences expérimentales pour la mesure et l’identification de modèle,

Dégradation Maximale Admissible

Evolution du Niveau de Dégradation

Instant de Défaillance


7

o les probabilités pour prendre en compte les incertitudes existantes dans

les essais d’usure.

L’apport de ce travail de recherche est d’être capable d’estimer la fiabilité

associée à la prédiction de ces instants de défaillance comme présenté sur la

figure 2 :

Figure 2 : Répartition des instants de défaillance

Ces instants de défaillance sont déterminés en calculant l’instant ou le niveau

d’usure dépasse pour la première fois le niveau d’usure maximale autorisé comme

défini dans [NIK 07]. Pour ce faire, il est nécessaire de réaliser cela pour un

grand nombre de trajets comme celui de la figure 1 pour estimer la fiabilité de

systèmes soumis à des dégradations par usure. Pour répondre à cette

problématique, nous allons comparer deux approches :

o L’approche 1 est basée sur la méthode Résistance/Contrainte. L’estimation

de la fiabilité est obtenue en utilisant une technique de propagation

d’incertitudes (Monte Carlo (direct, conditionnel…), FORM/SORM, algèbre

des variables aléatoires…) appliquée à un modèle mécanique déterministe.

Cette approche a été très peu étudiée dans le cas de l’endommagement par

usure, elle est néanmoins abordée dans [CHE 05] dans le cadre de la thèse

de doctorat de sylvain CLOUPET [CLO 06].

o L’approche 2 consiste à considérer le phénomène d’usure comme un

processus stochastique. De nombreux processus peuvent être utilisés pour

modéliser la dégradation par usure : Gamma, Gaussien, Wiener,

Markovien, comme dans [NIK 07], [COU 05] et [GUE 09]… Néanmoins,

peu d’études approfondies sur l’application de cette approche à l’usure

existent.


8

Le premier objectif de cette étude est de déterminer les pseudo-instants de

défaillance de notre système, c’est-à-dire les temps pour lesquels le niveau de

dégradation est atteint ou dépassé, et plus particulièrement dans notre cas le

niveau d’usure, atteint le niveau de dégradation maximal admissible.

Le second objectif de ce stage est de réaliser l’étude par les processus de

dégradation afin de pouvoir la comparer avec l’étude réalisée avec un modèle

mécanique et prise en compte des incertitudes par tirages de Monte-Carlo sur les

paramètres.


9

2 Présentation de l’existant

2.1 Reproduction du phénomène de dégradation Pour reproduire cette dégradation, des essais ont été mis en place et réalisés

[CLO 06]. Le principe de cet essai est de faire rouler un galet chargé d’un effort

sur une piste de roulement. Cette piste est un cylindre. Les deux matériaux sont

en acier.

2.2 Démarche de simulation de l’usure L’objectif est de simuler l’évolution des profils d’usure en fonction du nombre de

passages du galet. La démarche suivie pour résoudre le problème d’usure [CHE

06b] et [CHE 07] est résumée sur la Figure 3.

Figure 3 : Algorithme de résolution du problème d’usure [CHE 07]

La résolution du problème se fait donc comme suit :

1. Définition des profils initiaux de la came et du galet avant usure.

2. Choix du nombre de cycles que l’on souhaite réaliser (nombre de passages

du galet). Permet de définir une vitesse d’avance de l’usure.

3. Calcul du champ de pression, du champ de contraintes ainsi que de la

vitesse de glissement au niveau du contact. Du fait du nombre de

simulations importantes, des méthodes de calcul rapides ont été mis en

place. Elles dérivent essentiellement des travaux qui ont été réalisés ces 30

dernières années : [KAL 82], [KAL 87], [KIK 96] et [AYA 02, 06].

4. Calcul de la puissance dissipée au niveau du contact [CHE 06a] et de

l’usure avec actualisation des profils usés après dégradation. Le modèle d’usure utilisé est la réécriture locale du modèle empirique d’Archard [ARC 53].

5. On réitère les étapes 3 et 4 jusqu’à atteindre notre critère d’arrêt : l’usure générée.


10

La Figure 4 est le résultat de cette simulation.

Figure 4 : Résultat de simulation de l’évolution de l’usure en fonction du nombre

de cycles : modèle déterministe.

On peut suivre sur cette figure le niveau d’usure maximal en fonction du temps

ainsi que les profils usés en fin de trajet : 6.106 cycles.

2.3 Approche 1 : modèle déterministe couplé à une approche de Monte Carlo

Cette approche consiste à réaliser des simulations en fonction de différents jeux

de paramètres. Les paramètres peuvent être stochastiques ou déterministes. La

dispersion de chaque paramètre stochastique est représentée par une densité de

probabilité connue. Un tirage de Monté Carlo est réalisé pour chaque paramètre

et un jeu de paramètres est créé. Une simulation à partir du modèle déterministe

est alors réalisée avec ce jeu de paramètres. Des résultats de cette approche

probabiliste sont présentés sur la Figure 5.

Figure 5 : résultat de l’approche probabiliste paramétrique


11

Cette approche est introduite dans [CHE 05] et appliquée dans [CLO 06]. On

peut constater sur les deux figures, les trajets suivis en fonction du jeu de

paramètres (1100 réalisations) et la distribution en usure au bout de 1,3.106

cycles. A partir de ces résultats, il est possible de déduire l’estimation de fiabilité.

On souhaite comparer cette approche à l’approche 2.

HERSANT Julien

3 Approche 2 : étude des phénomènes de dégradation par les processus stochastiques

3.1 Différentes approches de modélisationOn trouve dans la littérature toutes sortes d’approches des modèldéfaillances par les processus stochastiques. Ils sont répartit en deux grandes familles de problèmes, une du point de vue global (au niveau systémique) et une du point de vue local (au niveau composant). On peut les répartir ainsi, comme décrit dans [SIN 95] :

Figure 6 : Approche des Modèles de Défaillance par les Processus

Dans notre cas, nous nous chargeons de modéliser l’évolution du niveau d’usure

au niveau d’un contact Came/Galet à partir de données d’essais tout en prenant

en compte les phénomènes aléatoires. Donc, nous allons nous intéresser plus

particulièrement aux deux cas encadrés

Wiener.

3.2 Approche Fiabiliste

3.2.1 Principe de modèles de dégradationPour étudier l’évolution de notre usure au cours du temps, on commence par

discrétiser notre axe des temps en

Stage Recherche de Master 2 SDS

12

: étude des phénomènes de dégradation par les processus stochastiques

Différentes approches de modélisation On trouve dans la littérature toutes sortes d’approches des modèldéfaillances par les processus stochastiques. Ils sont répartit en deux grandes familles de problèmes, une du point de vue global (au niveau systémique) et une du point de vue local (au niveau composant). On peut les répartir ainsi, comme

Approche des Modèles de Défaillance par les Processus

Stochastiques [SIN 95]




eux cas encadrés : le processus Gamma et

Approche Fiabiliste : Les modèles de dégradation

Principe de modèles de dégradation Pour étudier l’évolution de notre usure au cours du temps, on commence par

discrétiser notre axe des temps en � intervalles de longueur h. Ainsi notre

Stage Recherche de Master 2 SDS

: étude des phénomènes de dégradation

On trouve dans la littérature toutes sortes d’approches des modèles de défaillances par les processus stochastiques. Ils sont répartit en deux grandes familles de problèmes, une du point de vue global (au niveau systémique) et une du point de vue local (au niveau composant). On peut les répartir ainsi, comme

Approche des Modèles de Défaillance par les Processus




amma et le processus de

: Les modèles de dégradation

Pour étudier l’évolution de notre usure au cours du temps, on commence par

intervalles de longueur h. Ainsi notre


13

incrément d’usure sera visualisé tous les h pas de temps. C'est-à-dire en 0, ℎ, 2ℎ, 3ℎ, … et ainsi de suite jusqu’à � × ℎ.

On défini, ∀��0, ��, ��, la valeur de la dégradation en � = � × ℎ. Ainsi, si la

dégradation vaut �� en � × ℎ et �� + 1� en �� + 1� × ℎ, le modèle proposé par

A.J. Lemoine et M.L. Wenocur [LEM 85] nous permet de définir l’incrément de

dégradation comme étant fonction des paramètres du processus par :

�� + 1� − �� = �� × �� + �� × ℎ (1)

où �� est un ensemble de variables indépendantes et identiquement distribuées, �� !� �� sont deux paramètres du processus. Cet ensemble décrit le

processus suivi.

Par passage à la limite, on déduit l’expression continue (2) à partir de

l’expression discrète (1) quelque soit la taille de l’intervalle :

"�� = �� × "#�� + �� × "� (2)

où l’ensemble �#�� peut-être un processus Gamma si �� est un ensemble de

variables indépendantes et identiquement distribuées selon une loi Gamma, ou

un processus de Wiener si �� est un ensemble de variables indépendantes et

identiquement distribuées selon une loi Gaussienne. Ces deux distributions sont

étudiées dans [LEM 85] et [WEN 89].

En intégrant la relation (2) et en supposant que �� !� �� sont constants ∀�, on obtient l’expression qui permet de décrire l’évolution de la dégradation en

fonction du temps suivant le processus #�� choisit :

�� = � × #�� + � × � (3)

Pour s’assurer que �� reste croissant au cours du temps, ce qui est nécessaire

dans certains domaines, il faut que �, � !� � soient tous positifs.

3.2.2 Modèles de dégradation étudiés

3.2.2.1 Processus de Wiener Pour un processus de Wiener, #�� est un mouvement Brownien. C'est-à-dire, que ∀ℎ > 0, ∀�, �#�� + ℎ� − #�� suit une loi Normale de moyenne 0 et d’écart-type h.

D’après (3), on peut donc écrire :

�� + ℎ� − �� = � × %�0, ℎ� + � × ℎ (4)

Avec dans ce cas, � = & l’écart–type du processus et � = � la moyenne du

processus.


14

En résumé, un processus stochastique ��, � > 0 est un processus de Wiener de

paramètres ��, &� si :

'()(* ��0� = 0��, � > 0 + "!, é.è�!�!��, ,�+�01��+02!, !� 0�"é3!"+��,∀ ℎ > 0 !� ∀ �, �� + ℎ� − �� !,� �12�+4!�!�� "0,�2056é +.!7 6�! �18!��! � × ℎ !� 6�! .+20+�7! &9 × ℎ

:

Il permet de décrire des trajectoires de dégradations croissantes en moyenne.

Cela peut entraîner une diminution de la dégradation entre deux instants

successifs. On peut visualiser sur la figure 7 trois trajectoires suivant un

processus de Wiener de moyenne � = 0.8 et de variance &9 = 0.5.

Figure 7 : : Trajectoires selon un processus de Wiener de paramètres � = 0.8 !� &9 = 0.5

3.2.2.2 Processus Gamma Dans le cas d’un processus Gamma, on a que ∀ℎ > 0, ∀�, �#�� + ℎ� − #�� suit

une loi Gamma Γ de paramètre de forme 0 et de paramètre d’échelle 1.

D’après (3), on peut donc écrire :

�� + ℎ� − �� = � × Γ�0,1� + � × ℎ (5)

Avec dans ce cas, � = ? le paramètre d’échelle et � = @ le paramètre de forme du

processus.

En résumé, un processus stochastique ��, � > 0 est un processus Gamma de

paramètres A@, 1 ?B C si :


15

'()(* ��0� = 0�#��, � > 0 + "!, é.è�!�!��, ,�+�01��+02!, !� 0�"é3!"+��,∀ ℎ > 0 !� ∀ �, �� + ℎ� − �� ,60� 6�! 410 D+��+ "! 3+2+�è�2!, �@ × ℎ, 1 ?B �

:

Il permet de modéliser une dégradation croissante dans le temps d’un composant

soumis au vieillissement. Malgré cela, les processus Gamma admettent entre

deux points successifs des sauts ce qui peut-être gênant. On peut visualiser sur la

figure 8 trois trajectoires suivant un processus Gamma de paramètre de forme @ = 1.5 et de paramètres d’échelle ? = 1 5.2B .

Figure 8 : Trajectoires selon un processus Gamma de paramètres @ = 1.5 !� 1 ?B = 5.2


16

4 Modélisation des processus de dégradation Nous allons développer dans cette partie la démarche suivie pour modéliser les

processus de dégradation.

La structure de programmation étant la même quelque soit le processus utilisé, je

m’attacherai à décrire la démarche des deux processus de Wiener et Gamma en

parallèle pour une meilleure lisibilité de la comparaison.

L’ensemble des développements est réalisé avec le logiciel Matlab.

4.1 Structure des programmes La structure de chaque programme est découpée en 6 parties comme décrites

figure 9 distinctes dont je vais expliquer brièvement les principes :

Mise en place des paramètres

Création du vecteur temps

Génération des trajets suivant le processus désiré

Détermination des instants de franchissement

Détermination des densités de répartition

Détermination des fonctions de répartition

Figure 9 : Algorithme de chaque programme


17

4.1.1 Mise en place des paramètres Il s’agit de décider ici des paramètres de notre simulation :

o Nombre de trajectoires

o Nombre de points par trajectoire : ce nombre est défini en fonction de la

précision souhaitée

o Temps de la simulation

o Paramètres du processus

o Valeur initiale de la dégradation

o Dégradation maximale admissible

4.1.2 Création du vecteur temps On s’intéresse à la prédiction de la durée de vie, il est donc nécessaire de définir

une échelle des temps.

Un vecteur temps est déterminé en fonction de la durée de modélisation et du

nombre de points que l’on souhaite avoir sur chacune de nos trajectoires. Le pas

de temps est choisit constant.

Plus le pas de temps sera défini faible et plus la détermination de l’instant de

franchissement sera précis.

4.1.3 Génération des trajectoires suivant le processus désiré Dans cette partie, on génère à la fois les trajectoires de référence, qui sont la

trajectoire moyenne et la dégradation maximale admissible, ainsi que les

trajectoires aléatoires qui suivent le processus de dégradation choisi.

Pour tracer ces trajectoires aléatoires, nous partons de la dégradation initiale,

qui peut-être nulle, en t=0, puis nous ajoutons entre deux points successifs une

loi de distribution caractéristique de notre processus, comme décrit dans le

paragraphe 3.2.2.

Les figures 9 et 10 présentent les trajectoires de dégradation aléatoires en

fonction du processus choisit :


18

Figure 10 : Tracé de 2100 trajectoires selon un processus de Wiener

de paramètres � = 0.8 !� &9 = 0.5

Figure 11 : Tracé de 2100 trajectoires selon un processus Gamma

de paramètres @ = 1.5 !� 1 ?B = 5.2

Nous pouvons constater que le processus de Wiener autorise des incréments de

dégradation négatifs, ce qui n’est pas le cas du processus Gamma. C’est un point

important à noter et que nous aborderons dans la suite de ce mémoire.


19

4.1.4 Détermination des instants de franchissement Notre objectif est de déterminer la répartition de nos instants de défaillance.

C’est-à-dire déterminer le moment où notre dégradation simulée dépasse le seuil

de dégradation admissible.

Tout d’abord, on détermine le premier point pour lequel le niveau de dégradation

est supérieur à celui de la dégradation maximale.

Ensuite, pour une meilleure précision et étant donné le fait que l’on ne connaisse

notre niveau de dégradation que sur une échelle discrète, on fait l’hypothèse

d’une évolution linéaire du niveau de dégradation entre deux points successifs.

Cette démarche est illustrée figure 11 :

: Discrétisation

des trajectoires

tf : temps de

franchissment

t(i) : temps au

point i

Z0 : Dégradation

admissible

Figure 12 : Détermination des instants de franchissement

On effectue ce calcul pour chacune des trajectoires et on répertorie ces instants

de défaillance dans un vecteur.

4.1.5 Détermination des densités de répartition Dans cette section, les objectifs sont de déterminer et de comparer pour un seuil

de dégradation donné :

o la densité de répartition des instants de défaillance à partir des temps de

franchissements : on trace un histogramme de répartition des instants de

défaillances regroupés dans un nombre de classes fonction du nombre de

trajectoires.

o la densité de répartition à partir des incréments d’usure : On détermine les

paramètres du processus à partir de la répartition statistique des

incréments d’usure.

o la densité de répartition théorique du processus : on peut directement

avoir analytiquement la densité de répartition théorique à partir des

paramètres du processus.

t(i) t(i+1) tf

Z0

Unité de

Temps

Niveau de la dégradation


20

Ces courbes sont tracées figures 12 et 13 :

Figure 13 : Densités de répartition selon un processus de Wiener

de paramètres � = 0.8 !� &9 = 0.5

Figure 14 : Densités de répartition selon un processus Gamma

de paramètres @ = 1.5 !� 1 ?B = 5.2


21

On remarque que la densité de répartition calculée à partir des incréments

d’usure se superpose presque parfaitement avec la densité de répartition

théorique. Ce résultat permet de valider les programmes réalisés. En effet, nous

retrouvons bien la répartition théorique à partir des simulations.

4.1.6 Détermination des fonctions de répartition De la même manière que dans le paragraphe précédent, le but est de déterminer

la fonction de répartition selon les trois mêmes méthodes afin de comparer leurs

résultats.

Figure 15 : Fonction de répartition selon un processus de Wiener

de paramètres � = 0.8 !� &9 = 0.5

Ainsi, à une unité de temps de 12, 50% des trajectoires ont franchi le seuil de

dégradation.


22

Figure 16 : Fonction de répartition selon un processus Gamma

de paramètres @ = 1.5 !� 1 ?B = 5.2

Dans le cas de ce processus Gamma, 50% de nos trajectoires ont franchi le seuil

de dégradation au bout de 13 unités de temps.

4.2 Objectif Dans la suite de ce mémoire, l’objectif va être d’appliquer la méthode des

processus de dégradation décrite ci-dessus à des données d’essais. Ces essais sont

issus des travaux de [CLO 06] et concernent des résultats de mesure d’usure sur

un banc d’essais reproduisant le contact roulant galet/came des machines de

production.

Nous allons présenter ces résultats d’essais dans ce qui suit.


23

5 Analyse des données d’essais

5.1 Mise en place de la base de travail

5.1.1 Etude des données Pour cette étude, nous disposons de données d’essais d’usure de trois systèmes.

Ces données sont présentées dans le tableau ci-dessous :

Essai 1 Essai 2 Essai 3

t1 (min) Z1 (µm) t2 (min) Z2 (µm) t3 (min) Z3 (µm)

0 0 0 0 0 0 18 5 77 23,4 25 5 27 9,7 122 45,9 80 18,9 99 10,9 277 52,55 107 23

256 24 317 45,9 324 54,8 362 21,9 372 45,9 381 61,6 397 31 432 51,3 438 73

477 62,5 533 69,4

704 73,2

822 87,2

859 100,5

959 100,9

1017 109,35

Figure 17 : Données d’essais

Voici leurs représentations graphiques :

Figure 18 : Tracé des essais


24

A partir de la figure 16, on peut faire deux principaux constats :

o Entre deux points successifs, on peut avoir des incréments d’usure

négatifs. Physiquement, cela correspondrait à un niveau d’usure qui

diminuerait au cours du temps, ce qui n’est pas logique. Donc, cela

s’explique par le fait qu’il existe des erreurs de mesure et il faut donc

prendre en compte cela dans la modélisation. Dans les processus de

dégradation décrits ci-dessus, seul le processus de Wiener permet de

prendre en compte ces incertitudes de mesure. En effet, le processus

Gamma n’admet pas d’incrément négatif. Son utilisation pour simuler ces

données d’essais est donc impossible.

o Une chose importante lorsque l’on utilise les processus de dégradation est

que cette méthode ne fonctionne que sur des modèles de dégradation

linéaire. Or en analysant ces données, nous nous apercevons de la non-

linéarité de l’évolution de la dégradation pour des valeurs de temps faibles.

Par contre, passé une phase de rodage, la dégradation évolue linéairement.

Une première étape consiste donc à trouver une base de travail dans

laquelle ces données d’essais suivent une tendance linéaire.

5.1.2 Transformation des données Pour ce faire, on fait l’hypothèse que ces essais suivent une loi puissance du type : �� = E × �� Un modèle de régression au sens des moindres carrés est placé sur chaque essai

et présenté figure 11.

Figure 19 : Mise en place d’une loi puissance sur les données d’essais


25

Pour ces trois modèles de régression, on trouve les coefficients de corrélations

suivants :

K n R²

Essai 1 1.3152 0.5067 0.9695

Essai 2 7.3447 0.3291 0.9459

Essai 3 1.05 0.6656 0.9763

Figure 20 : Coefficients de corrélation des modèles puissance

Le coefficient étant de niveau élevé pour les trois essais, l’hypothèse de

l’évolution en loi puissance est donc acceptée.

Le modèle de dégradation étant du type �� = E × ��, la base de travail dans

laquelle ce modèle est linéaire est donc la base Log-Log. C'est-à-dire :

ln��ln �� = � × ln�� + ln�E�

donc du type :

8�� = + × � + 5

On effectue la transformation des données issues de la figure 15 dans la base

Log-Log et on vérifie que le modèle est bien linéaire :

ln t1 ln u1 ln t2 ln u2 ln t3 ln u3

0 0,23854435 0 2,0179517 0 0,32526683 2,89037176 1,60943791 4,34380542 3,15273602 3,21887582 1,60943791 3,29583687 2,27212589 4,80402104 3,82646512 4,38202663 2,93916192 4,59511985 2,38876279 5,62401751 3,9617651 4,67282883 3,13549422 5,54517744 3,17805383 5,75890177 3,82646512 5,78074352 4,00369019 5,89164421 3,08648664 5,91889385 3,82646512 5,94279938 4,12066187 5,98393628 3,4339872 6,06842559 3,93769075 6,08221891 4,29045944

6,16751649 4,13516656 6,27852142 4,23988687

6,55677836 4,29319542

6,7117404 4,46820433

6,75576892 4,61015773

6,86589107 4,61412993

6,9246124 4,69455375

Figure 21 : Transposition des données d’essais dans la base Log-Log

Pour éviter les singularités dues aux propriétés mathématiques de la fonction

logarithme, on introduit sur chaque courbe un nouveau point. En effet, au point

origine des essais (0,0), la fonction logarithmique tend vers −∞. Cependant,

l’information qu’il apporte conditionne la tendance de la courbe en loi puissance.

Ce point a plusieurs propriétés :

1. Il est définit proche de l’origine dans la base standard afin de ne pas

perdre d’information sur la tendance de la loi puissance.


26

2. Il introduit une erreur nulle dans le modèle puissance créé par régression

avec minimisation par les moindres carrés pour ne pas perturber

l’équation du modèle de régression.

Figure 22 : Passage des données en base Log-Log

Dans la suite de ce mémoire, nous nous intéresseront donc à simuler ces essais

par le processus de Wiener.


27

5.2 Détermination des paramètres de modélisation Pour pouvoir utiliser le processus de Wiener comme processus de dégradation, il

nous faut vérifier que la répartition de nos incréments d’usure dans la base Log-

Log suit bien une loi normale dont il nous faudra déterminer ensuite les

paramètres. Pour ce faire, nous proposons deux méthodes :

o Une méthode graphique : Le tracé de la droite de Henry

o Une méthode analytique : Le test de Kolmogorov-Smirnov

Ces deux études ont été effectuées sous le logiciel Excel.

5.2.1 Droite de Henry Le test par la droite de Henry a pour objectif de vérifier si une population est

distribuée suivant une loi Gaussienne ou non. C’est une méthode graphique qui

se réalise sur un papier Gausso-arithmétique.

On porte en abscisse les valeurs observées qui sont ici les incréments d’usure et

on porte en ordonnées le fractile pour la loi de Gauss à partir des fréquences

cumulées. Le fractile d’ordre p est la valeur u telle que la probabilité cumulée

jusqu’à u est égale à p.

Démarche pour tracer la droite de Henry :

o Détermination des incréments d’usure : ∆�ln��JK�� ∆�ln��JK��L

o Détermination des fréquences cumulées : M% = !OO!7�0O 76�64é !OO!7�0O �1�+4⁄

o Détermination du fractile pour la loi de Gauss : Q = 410 �12�+4! ,�+�"+2" 0�.!2,! �M%�

RS�T� RS�U� ∆�RS�UVW�� ∆�RS�TVW�� ∆�ln��0X��∆�ln��0X�� Y% Z

0 0,23854435 2,89037176 1,60943791 1,37089356 2,89037176 0,47429662 1,01229508 #NOMBRE! 3,29583687 2,27212589 0,66268797 0,40546511 1,63438964 0,72540984 0,59898884

4,59511985 2,38876279 0,1166369 1,29928298 0,08977021 0,35655738 -0,36767611 5,54517744 3,17805383 0,78929104 0,95005759 0,83078231 0,80737705 0,86827117 5,89164421 3,08648664 -0,09156719 0,34646677 -0,26428853 0,06967213 -1,47823734 5,98393628 3,4339872 0,34750057 0,09229207 3,76522676 0,68442623 0,4801123

0 2,0179517 4,34380542 3,15273602 1,13478432 4,34380542 0,26124198 0,88934426 1,22304824 4,80402104 3,82646512 0,67372909 0,46021562 1,46394225 0,76639344 0,72702096 5,62401751 3,9617651 0,13529998 0,81999646 0,16500069 0,43852459 -0,15471097 5,75890177 3,82646512 -0,13529998 0,13488427 -1,00308199 0,02868852 -1,90042744


28

5,91889385 3,82646512 0 0,15999208 0 0,15163934 -1,02942781 6,06842559 3,93769075 0,11122564 0,14953173 0,74382629 0,31557377 -0,4801123 6,16751649 4,13516656 0,1974758 0,0990909 1,99287522 0,64344262 0,36767611

0 0,32526683 3,21887582 1,60943791 1,28417108 3,21887582 0,39895018 0,93032787 1,47823734 4,38202663 2,93916192 1,32972401 1,16315081 1,1432086 0,97131148 1,90042744 4,67282883 3,13549422 0,19633229 0,2908022 0,67514033 0,60245902 0,25971714 5,78074352 4,00369019 0,86819598 1,10791468 0,78363072 0,84836066 1,02942781 5,94279938 4,12066187 0,11697168 0,16205586 0,7217985 0,39754098 -0,25971714 6,08221891 4,29045944 0,16979757 0,13941954 1,21788937 0,5204918 0,05138794 6,27852142 4,23988687 -0,05057257 0,19630251 -0,25762571 0,11065574 -1,22304824 6,55677836 4,29319542 0,05330855 0,27825693 0,19158032 0,23360656 -0,72702096 6,7117404 4,46820433 0,17500891 0,15496204 1,12936634 0,56147541 0,15471097 6,75576892 4,61015773 0,1419534 0,04402853 3,22412323 0,4795082 -0,05138794 6,86589107 4,61412993 0,0039722 0,11012215 0,03607085 0,19262295 -0,86827117

6,9246124 4,69455375 0,08042382 0,05872132 1,36958464 0,27459016 -0,59898884

Figure 23 : Calcul de la droite de Henry

Et enfin, on trace la droite de Henry correspondante :

Figure 24 : Représentation graphique de la droite de Henry

Dans le cas d’une distribution normale, la droite de Henry doit suivre un modèle

linéaire. Ici, la droite n’est pas flagrante, mais ceci peut-très bien s’expliquer par

le fait du faible nombre de mesures à disposition. Le test de la droite de Henry ne

permet donc pas de conclure sur la distribution des données d’essais.

Pour s’assurer ou non de la répartition normale des incréments d’usure, on va

donc procéder à un test de Kolmogorov-Smirnov.


29

5.2.2 Test de Kolmogorov-Smirnov Le test de Kolmogorov-Smirnov est une extension de la méthode de la droite de

Henry. En effet, ce test représente graphiquement une enveloppe autour de cette

droite, comme représenté figure 20 :

Figure 25 : Raccordement d’une distribution d’une loi normale pas le test de

Kolmogorov-Smirnov et pour un risque de 5%

La largeur de cette enveloppe dépend du nombre d’échantillons et du risque que

l’on prend.

Le test d'ajustement de Kolmogorov-Smirnov est un test non paramétrique qui

permet de tester l'hypothèse [\ selon laquelle les données observées sont

engendrées par une loi de probabilité théorique considérée comme étant un

modèle convenable. Mais contrairement au test de Khi-deux, la loi théorique doit ici être continue et entièrement spécifiée, sans paramètre inconnu. Dans ce test, les calculs sur les lois de probabilité se font sur les fonctions de répartition : on mesure l'écart entre la fonction de répartition théorique et la fonction de répartition observée. On considère ainsi une variable aléatoire X de fonction de répartition F, que l'on veut comparer à une fonction de répartition théorique M\ continue.


30

On souhaite tester : o l'hypothèse [\ ∶ M = M\

contre : o l'hypothèse [^ ∶ M ≠ M\

Dans ce cas, on a : [\ est notre échantillon suit une distribution normale.

L’idée globale de ce test est de comparer la répartition de nos données avec une

répartition théorique. Ensuite on vient vérifier si l’écart entre ces deux

distributions n’est pas trop élevé.

Pour ce faire, on mesure en chaque point l’écart correspondant et on vérifie que

l’écart maximal sur toutes les données ne dépasse pas une valeur seuil

déterminée en fonction du nombre de données disponibles ainsi que d’un risque

admissible.

Dans notre cas, nous disposons de 25 incréments et nous admettons un risque de

5%.

Voici le détail de la démarche :

o On rassemble par ordre croissant nos échantillons : `V

o On calcule l’écart au carré de chaque valeur avec la moyenne des

échantillons : �`V − ab�c

o On calcule la fréquence cumulée théorique pour chaque valeur :

Yde�V� = �dffdgTVf ghehié− j. k��dffdgTVf TlTmi + j. n�

o On norme et on centre chaque valeur pour obtenir une distribution

normale de moyenne nulle et d’écart-type unitaire : �`V − ab�o

o On calcule la probabilité de chacune de ses variables centrées réduites

suivant une loi normale : pV�Yde�

o On détermine ensuite les distances entre la probabilité suivant les données

et la probabilité théorique :

q Vr − pV; pV − �V − t�r u


31

i Valeurs `V �`V − ab�c YTv�V� �`V − ab�o pV�Yde� Vr − pV pV − �V − t�r

1 -1,00308 3,36572 0,02756 -1,74537 0,04046 0,00046 0,04046 2 -0,26429 1,20077 0,06693 -1,04250 0,14859 0,06859 0,10859 3 -0,25763 1,18621 0,10630 -1,03616 0,15006 0,03006 0,07006 4 0,00000 0,69141 0,14567 -0,79107 0,21445 0,05445 0,09445 5 0,03607 0,63272 0,18504 -0,75675 0,22460 0,02460 0,06460 6 0,08977 0,55017 0,22441 -0,70566 0,24020 0,00020 0,04020 7 0,16500 0,44423 0,26378 -0,63409 0,26301 0,01699 0,02301 8 0,19158 0,40951 0,30315 -0,60881 0,27133 0,04867 0,00867 9 0,26124 0,32520 0,34252 -0,54253 0,29373 0,06627 0,02627

10 0,39895 0,18711 0,38189 -0,41152 0,34035 0,05965 0,01965 11 0,47430 0,12760 0,42126 -0,33984 0,36699 0,07301 0,03301 12 0,67514 0,02445 0,46063 -0,14876 0,44087 0,03913 0,00087 13 0,72180 0,01204 0,50000 -0,10437 0,45844 0,06156 0,02156 14 0,74383 0,00769 0,53937 -0,08342 0,46676 0,09324 0,05324 15 0,78363 0,00229 0,57874 -0,04555 0,48183 0,11817 0,07817 16 0,83078 0,00000 0,61811 -0,00069 0,49972 0,14028 0,10028 17 1,12937 0,08872 0,65748 0,28337 0,61155 0,06845 0,02845 18 1,14321 0,09716 0,69685 0,29654 0,61659 0,10341 0,06341 19 1,21789 0,14929 0,73622 0,36759 0,64341 0,11659 0,07659 20 1,36958 0,28953 0,77559 0,51191 0,69564 0,10436 0,06436 21 1,46394 0,39997 0,81496 0,60168 0,72631 0,11369 0,07369 22 1,63439 0,64462 0,85433 0,76383 0,77752 0,10248 0,06248 23 1,99288 1,34877 0,89370 1,10489 0,86540 0,05460 0,01460 24 3,22412 5,72461 0,93307 2,27625 0,98858 0,02858 0,06858 25 3,76523 8,60671 0,97244 2,79104 0,99737 0,00263 0,03737

Figure 26 : Application du test de Kolmogorov Smirnov à nos données d’essais

Moyenne et Ecart-type sur les données d’incréments (valeurs `V� :

Moyenne des valeurs : �b = 0,831507953

Ecart-type : & = 1,051120305

On remarque que la valeur de l’écart-type est grande. Il y aura donc une

dispersion importante dans les simulations.

o Calcul de l’écart maximal entre la probabilité théorique et la probabilité

sur les données :

yz = em` { Vr − pV| y} = em` ~pV − �V}t�r � 0,14027541 0,10858918


32

y = em`�yz, y}� 0,140275411

o Détermination du critère de nos données :

��y� = y × �√� − j. jt + j. ��√� � 0,723821123

Or pour un seuil de confiance de 95%, on a une valuer référence de �� = 0.895.

Cette valeur est déterminée à partir d’une table, en fonction du nombre

d’échantillons et du risque @.

Donc on vérifie bien que �� < �� ; H0 est donc acceptée et les données

d’incréments d’usure suivent bien une loi normale.

On peut donc déterminer les paramètres de la loi normale du processus et

simuler nos trajectoires.

5.2.3 Paramètres du processus de dégradation Les incréments d’usure suivent une loi normale, de moyenne et d’écart-type :

o �b = 0,831507953

o & = 1,051120305


33

6 Simulation des trajectoires La loi statistique utilisée n’est valable que dans la base Log-Log, il convient donc

de modéliser les trajectoires dans cette base.

Un premier problème se pose : dans la base standard dégradation-temps, le point

initial et qui est d’ailleurs le seul point commun à toutes les trajectoires, est

l’origine (0,0). Or dans la base Log-Log, ce point n’est pas défini.

Pour remédier à ce problème, il faut se définir un point de référence. Ce point

doit être proche de l’origine dans la base standard afin de travailler sur la

globalité du modèle et ne pas introduire une erreur trop grande dans la

modélisation.

Ensuite on modélise toutes les trajectoires dans la base Log-Log, puis on calcule

les différents points de ces trajectoires dans la base standard afin de déterminer

les instants de défaillance.

6.1 Simulation des trajectoires dans la base Log-Log Les trajectoires sont simulées dans la base Log-Log selon un processus de Wiener

avec les paramètres suivants :

� �\� = 0� = 0.832& = 1.05 : On simule ainsi 2100 trajectoires avec pour chacune 1001 points :

Figure 27 : Simulation de 2100 trajectoires selon un processus

de Wiener dans la base Log-Log


34

On peut visualiser figure 27 les trajectoires simulées ainsi que les données

d’essais auxquelles on a retiré le premier point pour éviter les problèmes de

définition. On remarque que la dispersion autour des données d’essais est très

importante dans cette base.

6.2 Transposition des trajectoires dans la base standard Pour ce faire, on utilise chaque point de chaque trajectoire et on prend

l’exponentiel de son abscisse et l’exponentiel de l’ordonnée afin de retrouver notre

base d’origine.

Voici ce que l’on obtient :

Figure 28 : Simulation des trajectoires selon un processus

de Wiener dans la base standard

On remarque que le niveau de dégradation maximal n’est pas du même ordre de

grandeur que celui des essais, il est 10� fois trop important, ce qui semble

aberrant. On va tout de même poursuivre l’étude et déterminer la répartition des

instants de défaillance.

6.3 Analyse des temps de défaillance L’objectif de ce travail de recherche est de comparer la répartition des instants de

défaillance suivant deux approches distinctes. On a donc déterminé les instants

de défaillance selon le processus de Wiener pour un seuil de dégradation de �0 = 20 ��.


35

Voici le résultat obtenu :

Figure 29 : Répartition des temps de franchissement pour un seuil de

dégradation de �0 = 20 ��.

On remarque que la répartition est très concentrée vers les temps très faibles ce

qui s’explique par le fait que le niveau de dégradation obtenu n’est pas du même

ordre de grandeur que les essais.

Les instants de défaillance pour les trois essais étaient compris entre 0 et 200

min. Or ici, les temps de franchissement sont regroupés en dessous de 50 min.


36

7 Analyse comparative des différentes méthodes Afin de comparer les deux méthodes de prévision des instants de défaillances, il

convient de recenser dans les deux cas la répartition des instants de défaillance

pour un seuil de dégradation de �0 = 20 ��.

7.1 Résultats par la méthode semi-hertzienne La simulation est effectuée selon la méthode 1, pour un nombre de 2100

trajectoires. Les figures 29 et 30 montrent l’ensemble des trajectoires ainsi que la

répartition des instants de défaillance pour un seuil de dégradation de �0 =20 ��.

Figure 30 : 2100 simulations selon la méthode semi-hertzienne

Figure 31 : Répartition des temps de franchissements pour un seuil de

dégradation de �0 = 20 ��


37

On remarque comme pour les essais que les temps de franchissements sont

regroupés entre 0 et 200 min ce qui est tout à fait plausible.

Pour la densité de répartition de ces instants de franchissement, on fait

l’hypothèse d’une loi log-normale donc voici les paramètres :

�� = 4.5929

& = 0.6066

On fait ensuite l’hypothèse de la même répartition pour les données d’essais et on

obtient :

�� = 4.2234

& = 1.2157

Et enfin, on compare les fonctions de fiabilité à la fonction de fiabilité théorique

pour une loi log-normale :

Figure 32 : Comparaison des deux distributions

On remarque que la fonction de fiabilité issue de l’approche 1 est très proche de

la fonction de fiabilité théorique que qui valide l’hypothèse faite. La fonction de

fiabilité issue des essais est trop pauvre en données pour pouvoir donner une

bonne approximation.


38

7.2 Comparaison des résultats Pour comparer les deux résultats, on superpose les deux distributions obtenues

sur le même graphique. La figure 31 montre cette superposition des temps de

franchissements pour un seuil de dégradation de �0 = 20 �� selon les deux

approches :

Figure 33 : Comparaison des deux distributions

On peut faire plusieurs remarques :

o La méthode par les processus de dégradation a des trajectoires dont les

niveaux de dégradation sont très élevés. De ce fait les instants de défaillance

arrivent plus tôt.

o En comparant les deux méthodes, il y a donc une grande disparité sur les

deux résultats.

La comparaison entre les deux méthodes n’est pas satisfaisante et ne permet pas

de conclure sur la justesse de l’une ou l’autre des approches.


39

8 Conclusion et perspectives Dans ce mémoire, nous avons présenté deux processus de dégradation

permettant de modéliser l’évolution de l’usure dans les contacts roulants acier

sur acier. Ce sont les modèles de l’approche 2. L’objectif définit de ce travail est la

comparaison de l’approche 2 avec l’approche 1 : modèle mécanique où les

incertitudes sont prises en compte par tirage de Monte-Carlo sur les paramètres.

Tout d’abord, nous avons écarté le processus Gamma pour simuler l’évolution de

la dégradation observée sur les essais d’usure. En effet, les données font

apparaitre des incréments négatifs dus à des erreurs de mesure qui doivent être

intégrées dans la modélisation. C’est pourquoi la comparaison de l’approche 2 par

l’approche 1 c’est faite à partir du processus de dégradation de Wiener.

Ensuite, la comparaison des deux approches passe par l’identification du modèle

sur les essais d’usure. Il fallait s’assurer que la distribution de ces résultats

expérimentaux suivait bien une loi normale. Un test de Kolmogorov-Smirnov

permet la validation de cette hypothèse.

De plus, la linéarité du processus de dégradation n’étant pas compatible avec la

non-linéarité des résultats d’essais, nous avons décrit l’évolution de la

dégradation dans une base log-log.

Enfin l’identification à partir des données fait apparaitre une dispersion très

importante sur les paramètres du modèle. Cela conduit à des niveaux de

dégradation très importants. De ce fait, la comparaison n’est pas satisfaisante

avec l’approche 1.

En perspective, il faudrait réaliser de nouveaux essais qui nous permettraient

d’obtenir assez d’informations en nombre, en ayant une erreur de mesure plus

faible mais tout en permettant d’observer de la dispersion. Pour mener à bien

cette étude, il faudrait mettre en place un plan d’essais.


40

9 Bibliographie

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21, Numéro 4, Pages 899 - 918, 1989.


42

Annexe 1 : Programmation du processus de Wiener

clear all

%--------------------------------------------------------------------------

% Initialisation des paramètres

a = 2; % Nombre de trajectoires de référence

b = 1000; % Nombre de trajectoires

n = a+b; % Nombre total de trajectoires tracées

m = 1001; % Nombre de points par trajectoire

p = 1001; % Nombre de points pour les courbes théoriques

c = m-1; % nombre de colonnes de la matrice contenant les accroissements de dégradation

l = b; % nombre de lignes de la matrice contenant les accroissements de dégradation

Tmax = 30; % Temps de la simulation

deltaT = Tmax/(m-1); % Intervalle de temps entre deux points

mu = 0.8; % Moyenne

sigma = 0.5^0.5; % Ecart-type

X0 = 0; % Valeur initiale de la dégradation

Z0 = 10; % Dégradation maximale acceptable

nclass = floor(1+(10/3)*log(b)); % Nombre de classes pour la répartition des défaillances

%--------------------------------------------------------------------------

% Matrices de temps

temps = zeros(m,1);

for i = 1:m % Calcul de la position temporelle de chaque point

temps(i) = (i-1)*deltaT;

end

temps_th = zeros(p,1);

for i = 1:p % Calcul de la position temporelle de chaque point

temps_th(i) = (i-1)*Tmax/(p-1);

end

%--------------------------------------------------------------------------

% Génération des tragectoires

y = zeros(n,m);

for i = 1:m

y(1,i) = mu*temps(i); % Calcul de la dégradation moyenne

y(2,i) = Z0; % Calcul de la dégradation maximale autorisée

end


43

for j = 3:n % Pour chaque autre trajectoire, la valeur initiale de la dégradation vaut X0

y(j,1) = X0;

end

for j = 3:n % On génère chaque trajectoire suivant un processus de Wiener

for i = 2:m

y(j,i) = y(j,i-1) + normrnd(deltaT*mu,(deltaT^0.5)*sigma);

end

end

%--------------------------------------------------------------------------

% Tracé de l'ensemble des trajectoires

figure(1);clf % On trace toutes les trajectoires sur un même graphique

set(gca,'box','on','linewidth',2,'fontname','arial','fontsize',16);

hold on

plot(temps,y)

title('Ensemble des Trajectoires')

ylabel('Niveau de la Dégradation')

xlabel('Temps')

grid on

print -djpeg100 Ensembles_des_Trajctoires_selon_un_processus_de_Wiener.jpg

%--------------------------------------------------------------------------

% Détermination des temps de franchissement (ne fonctionne que si tous les systèmes sont défaillants)

delta = zeros(n-2,m); % On crée la matrice des écarts entre la dégradation et Z0 en chaque point

for j = 3:n

for i = 1:m

delta(j-2,i) = y(j,i) - Z0;

end

end

signe = zeros(n-2,m-1); % On crée la matrice de dépassement de Z0

for j = 3:n % On détermine les intervalles dans lesquels la dégradation dépasse Z0

for i = 2:m

signe(j-2,i-1) = sign(delta(j-2,i)) - sign(delta(j-2,i-1));

end

end

temps_f = zeros(n-2,1); % On crée le vecteur des temps de franchissement

temps_f_j = zeros(n-2,m-1);

for j = 3:n % On initialise les instants de franchissement à Tmax

temps_f(j-2,1) = Tmax;

end

for j = 3:n % On détermine pour chaque trajectoire le temps de franchissement

for i = 2:m

if signe(j-2,i-1) == 2

temps_f_j(j-2,i-1) = ( Z0 - y(j,i-1) ) * deltaT / (y(j,i) - y(j,i-1) ) + temps(i-1);

if temps_f_j(j-2,i-1) <= temps_f(j-2)


44

temps_f(j-2) = temps_f_j(j-2,i-1);

end

end

end

end

%--------------------------------------------------------------------------

% Détermination de la densité de répartition à partir des incréments d'usure

M_increment = zeros(n-2,m-1); % Création de la matrice des incréments d'usure

for j=3:n

for i=1:m-1

M_increment(j-2,i) = y(j,i+1)-y(j,i);

end

end

V = zeros(1,c*l); % Création du vecteur incrément d'usure

ind = 0:c:l*c; % Création du vecteur indice

for k = 1:l;

V(ind(k)+1:ind(k+1)) = M_increment(k,:);

end

[Muh,SigmaCh] = normfit(V); % Détermination des paramètres de la loi Normale à partir des simulations

mu_s = Muh/deltaT;

sigma_s = SigmaCh/sqrt(deltaT);

dr_s = zeros(p,1);

dr_s(1) = 0;

for i=2:p

dr_s(i)=Z0/(sqrt(2*pi)*sigma_s)*1/(sqrt(temps_th(i))^3)*exp(-(Z0-

mu_s*temps_th(i))^2/(2*sigma_s^2*temps_th(i)));

end

%--------------------------------------------------------------------------

% Détermination de la densité de répartition théorique du processus

dr_th = zeros(p,1);

dr_th(1) = 0;

for i=2:p

dr_th(i)=Z0/(sqrt(2*pi)*sigma)*1/(sqrt(temps_th(i))^3)*exp(-(Z0-

mu*temps_th(i))^2/(2*sigma^2*temps_th(i)));

end

%--------------------------------------------------------------------------

% Construction de l'histogramme

[nout,xout] = hist(temps_f,nclass);


45

%--------------------------------------------------------------------------

% Tracé de la répartition des temps de défaillance



hold on

bar(xout,(nout*(nclass-1))/(b*(xout(nclass)-xout(1))),'b')

%hist(temps_f,nclass)

plot(temps_th,dr_s,'-k','linewidth',2) % En noir, on visualise la répartition simulée

plot(temps_th,dr_th,'-r','linewidth',2) % En rouge, on visualise la répartition théorique

title('Répartition des Instants de Défaillance')

ylabel('Densité de Répartition')

xlabel('Instants de Défaillance')

legend('Observé','Numéquique','Analytique');

grid on

print -djpeg100 Répartition_des_Instants_de_Défaillance_selon_un_processus_de_Wiener.jpg

%--------------------------------------------------------------------------

% Construction de la fonction de répartition à partir des instants de

% défaillance

temps_f_r = sort(temps_f);

for j = 3:n

Fempirique(j-2) = (j-2-0.3) / (n-2+0.4);

end

for j = 3:n

TW_Fempirique(2*(j-2)-1) = Fempirique(j-2);

end

for j = 3:(n-1)

TW_Fempirique(2*(j-2)) = Fempirique(j-2);

end

for j = 3:n

TW_temps_f_r(2*(j-2)-1) = temps_f_r(j-2);

end

for j = 3:(n-1)

TW_temps_f_r(2*(j-2)) = temps_f_r(j-1);

end

%--------------------------------------------------------------------------

% Construction de la fonction de répartition à partir des incréments d'usure

fr_s = zeros(p,1);

fr_s(1) = dr_s(1) * Tmax / (p-1);

for i=2:p

fr_s(i) = dr_s(i) * Tmax / (p-1) + fr_s(i-1);

end


46

%fr_s = cumtrapz(dr_s).*deltaT;

%--------------------------------------------------------------------------

% Construction de la fonction de répartition théorique

fr_th = zeros(p,1);

fr_th(1) = dr_th(1) * Tmax / (p-1);

for i = 2:p

fr_th(i) = dr_th(i) * Tmax / (p-1) + fr_th(i-1);

end

%--------------------------------------------------------------------------

% Tracé des fonctions de répartition

figure(3);clf


hold on

plot(TW_temps_f_r,TW_Fempirique,'-b','linewidth',2) % En bleu, on visualise la fonction de répartition à partir

des instants de défaillance

plot(temps_th,fr_th,'-r','linewidth',2) % En rouge, on visualise la fonction de répartition théorique

plot(temps_th,fr_s,'-k','linewidth',2) % En rouge, on visualise la fonction de répartition simulée

title('Fonction de Répartion des Instants de Défaillance')

ylabel('Probabilité')

xlabel('Temps')

legend('A partir des instants de défaillance','A partir des Incréments','Théorique',4);

grid on

print -djpeg100 Fonction_de_Répartition_selon_un_processus_de_Wiener.jpg

%--------------------------------------------------------------------------

% Paramètres du processus

mu

sigma

mu_s

sigma_s

erreur_sur_sigma = abs( sigma - sigma_s ) / sigma * 100

erreur_sur_mu = abs( mu - mu_s ) / mu * 100

%--------------------------------------------------------------------------


47

Annexe 2 : simulation par le processus de Wiener clear all;

%--------------------------------------------------------------------------

% Essai 1

Nbre_mes_1 = 7;

ESSAI1 = [ 0 0 ; 18 5 ; 27 9.7 ; 99 10.9 ; 256 24 ; 362 21.9 ; 397 31 ];

% Essai 2

Nbre_mes_2 = 8;

ESSAI2 = [ 0 0 ; 77 23.4 ; 122 45.9 ; 277 52.55 ; 317 45.9 ; 372 45.9 ; 432 51.3 ; 477 62.5 ];

% Essai 3

Nbre_mes_3 = 13;

ESSAI3 = [ 0 0 ; 25 5 ; 80 18.9 ; 107 23 ; 324 54.8 ; 381 61.6 ; 438 73 ; 533 69.4 ; 704 73.2 ; 822 87.2 ; 859 100.5 ;

959 100.9 ; 1017 109.35 ];

%--------------------------------------------------------------------------

% Paramètres

Nbre_ess = 3;

Nbre_mes = Nbre_mes_1 + Nbre_mes_2 + Nbre_mes_3;

%--------------------------------------------------------------------------

% Tracé des Essais

figure(1);clf % On trace tous les essais sur un même graphique


hold on

plot(ESSAI1(:,1),ESSAI1(:,2),'+g','linewidth',2)

plot(ESSAI2(:,1),ESSAI2(:,2),'+r','linewidth',2)

plot(ESSAI3(:,1),ESSAI3(:,2),'+b','linewidth',2)

title('Ensemble des Essais')

ylabel('Niveau de la Dégradation (en um)')

xlabel('Temps (en min)')

legend('Essai 1','Essai 2','Essai 3',4);

grid on

print -djpeg100 Ensembles_des_Essais.jpg

%--------------------------------------------------------------------------

% Passage en base Log-Log

LOG_ESSAI1 = log(ESSAI1(:,:));




48

figure(2);clf % On trace tous les essais sur un même graphique


hold on

plot(LOG_ESSAI1(:,1),LOG_ESSAI1(:,2),'-g','linewidth',2)

plot(LOG_ESSAI2(:,1),LOG_ESSAI2(:,2),'-r','linewidth',2)

plot(LOG_ESSAI3(:,1),LOG_ESSAI3(:,2),'-b','linewidth',2)

title('Ensemble des Essais')



grid on

%print -djpeg100 Ensembles_des_Essais_bas_Log_Log.jpg

%--------------------------------------------------------------------------

% Matrice des incréments d'usure

M_incr_ess = zeros(Nbre_mes - Nbre_ess , 1 );

for i = 1:Nbre_mes_1-1

M_incr_ess(i,1) = (LOG_ESSAI1(i+1,2)-LOG_ESSAI1(i,2))/(LOG_ESSAI1(i+1,1)-LOG_ESSAI1(i,1));

end


M_incr_ess(i+Nbre_mes_1-1,1) = (LOG_ESSAI2(i+1,2)-LOG_ESSAI2(i,2))/(LOG_ESSAI2(i+1,1)-LOG_ESSAI2(i,1));

end


M_incr_ess(i+Nbre_mes_1+Nbre_mes_2-2,1) = (LOG_ESSAI3(i+1,2)-LOG_ESSAI3(i,2))/(LOG_ESSAI3(i+1,1)-

LOG_ESSAI3(i,1));

end

%--------------------------------------------------------------------------

% Détermination des paramètres du processus par les essais

[Log_Mu_ess,Log_Sigma_ess] = normfit(M_incr_ess)

%--------------------------------------------------------------------------

% Initialisation des paramètres

a = 2; % Nombre de trajectoires de référence

b = 2100; % Nombre de trajectoires

n = a+b; % Nombre total de trajectoires tracées

m = 1001; % Nombre de points par trajectoire

p = 1001; % Nombre de points pour les courbes théoriques

c = m-1; % nombre de colonnes de la matrice contenant les accroissements de dégradation

l = b; % nombre de lignes de la matrice contenant les accroissements de dégradation

T0 = 1;

Tmax = 400; % Temps de la simulation

deltaT = (Tmax-T0)/(m-1); % Intervalle de temps entre deux points


49

Log_Tmax = log(Tmax);

deltalogT = (log(Tmax)-log(T0))/(m-1);

mu = 0.831507953; % Moyenne

sigma = 1.051120305; % Ecart-type

X0 = 1; % Valeur initiale de la dégradation

Z0 = 100; % Dégradation maximale acceptable

Log_Z0 = log(Z0);

nclass = floor(1+(10/3)*log(b)); % Nombre de classes pour la répartition des défaillances

%--------------------------------------------------------------------------

% Matrices de temps en T

temps = zeros(m,1);


temps(i) = T0 + (i-1)*deltaT;

end

temps_th = zeros(p,1);

for i = 1:p % Calcul de la position temporelle de chaque point

temps_th(i) = (i-1)*Tmax/(p-1);

end

%--------------------------------------------------------------------------

% Matrices de temps en log

temps_log = zeros(m,1);


temps_log(i) = log(temps(i));

end

%--------------------------------------------------------------------------

% Génération des tragectoires

y_log = zeros(n,m);

for i = 1:m

y_log(1,i) = mu*temps_log(i); % Calcul de la dégradation moyenne

y_log(2,i) = Log_Z0; % Calcul de la dégradation maximale autorisée

end

for j = 3:n % Pour chaque autre trajectoire, la valeur initiale de la dégradation vaut X0

y_log(j,1) = log(X0);

end


for i = 2:m

%y_log(j,i) = y_log(j,i-1) + normrnd(deltalogT*mu,(deltalogT^0.5)*sigma);


50

y_log(j,i) = y_log(j,i-1) + normrnd((temps_log(i)-temps_log(i-1))*mu,((temps_log(i)-temps_log(i-

1))^0.5)*sigma);

end

end

%--------------------------------------------------------------------------




hold on

plot(temps_log,y_log)

plot(LOG_ESSAI1(:,1),LOG_ESSAI1(:,2),'-g','linewidth',3)

plot(LOG_ESSAI2(1:6,1),LOG_ESSAI2(1:6,2),'-r','linewidth',3)

plot(LOG_ESSAI3(1:6,1),LOG_ESSAI3(1:6,2),'-b','linewidth',3)


ylabel('Logarithme du Niveau de la Dégradation')

xlabel('Logarithme du Temps')

grid on

print -djpeg100 Ensembles_des_Trajctoires_selon_un_processus_de_Wiener_en_base_log_log.jpg

%--------------------------------------------------------------------------

% Transformation des trajectoires

y = zeros(2,m);

for i = 1:m

y(1,i) = exp(y_log(1,i)); % Calcul de la dégradation moyenne

y(2,i) = Z0; % Calcul de la dégradation maximale autorisée

end


for i = 1:m

y(j,i) = exp(y_log(j,i));

end

end

%--------------------------------------------------------------------------




hold on

plot(temps,y)

plot(ESSAI1(:,1),ESSAI1(:,2),'-g','linewidth',3)

plot(ESSAI2(1:6,1),ESSAI2(1:6,2),'-r','linewidth',3)

plot(ESSAI3(1:6,1),ESSAI3(1:6,2),'-b','linewidth',3)




grid on

print -djpeg100 Ensembles_des_Trajctoires_selon_un_processus_de_Wiener_en_base_t_z.jpg


51

%--------------------------------------------------------------------------

figure(5);clf;


hold on

hist(y(3:n,1001),50)

title('Fonction de Répartion des Instants de Défaillance')

ylabel('Probabilité')

xlabel('Temps')

grid on

print -djpeg100 Fonction_de_Répartition_selon_un_processus_de_Wiener.jpg


52

Titre : Comparaison de plusieurs méthodes de calcul de fiabilité associées à la

prédiction de l’usure dans les contacts roulants.

Mots clés : usure, contact roulant, simulation numérique, fiabilité, processus de

dégradation.

Résumé : l’objectif de cette étude est de mettre en place une méthodologie de

prédiction de l’usure dans les contacts roulants afin de comparer cette méthode

avec une approche de résolution basée sur un modèle mécanique avec prise en

compte des incertitudes de mesure par tirage de Monte-Carlo sur les paramètres

du modèle.

Title : Comparison of several reliability methods for the prediction of wear in

rolling contact

Keywords : wear, rolling contact, computational mechanic, reliability,

degradation model.

Abstract : The goal of this study is to set up a methodology of prediction of wear

in rolling contact to compare this method with an approach of resolution based on

a mechanical model. Laboratoire : LASQUO

62, avenue Notre Dame du Lac 49000 Angers

rapport soutenance de fin de stage - hersant...

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