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LHEEA - HydrOcean

Rapport de TFE

Etude des effets visqueux dans le cas du mouvement d’un convertisseur d’énergie de la houle à plusieurs degrés de liberté

Emile Dupin

04/09/2014

1

Résumé Lors de la modélisation du comportement global d’un convertisseur d’énergie de la houle, les

effets visqueux sont généralement pris en compte par le biais de coefficients de trainée

intervenant via une formule empirique de type Morison. Les méthodes et les données

existantes sont soit basées sur des calculs CFD mais nécessitent autant de modélisations

que de mouvements, soit ne prennent pas en compte la complexité du mouvement en le

réduisant à une expression simplifiée sur un seul degré de liberté.

L’objectif de ce travail est l’étude d’une méthode permettant de prendre en compte la

complexité des mouvements lors de l’étude d’un convertisseur d’énergie de la houle à

plusieurs degrés de liberté, et ce à partir d’un nombre de calculs CFD réduit. L’approche

proposée est la suivante :

Décomposition du mouvement suivant les degrés de liberté qui le composent

Calcul des coefficients de trainée pour ces mouvements à un seul degré de liberté à

l’aide d’un code CFD

Calculs des CD du mouvement complexe par combinaison des CD obtenus pour les

mouvements à un seul degré de liberté

Il n’a pas été trouvé d’essai de cette méthode (essais ou calculs) dans la littérature, ce travail

vise donc à mener des premiers essais, et à effectuer une première évaluation de la validité

de la méthode.

Ce travail est composé d’une partie de méthodologie qui vise à formaliser la méthode, puis

de deux études sur deux géométries 2D différentes. A l’issue des tests sur ces deux

problèmes 2D, les résultats obtenus par l’approche proposée de décomposition du

mouvement sont comparés à ceux calculés directement à l’aide d’un code CFD.

Il ressort finalement que la méthode envisagée est cohérente et permet une prise en compte

des effets visqueux tout à fait satisfaisante sur les cas étudiés. Ce travail permet donc de

valider, en première approche, la technique de décomposition du mouvement. Il serait donc

intéressant d’effectuer une étude plus approfondie.

2

Table des matières Résumé ................................................................................................................................. 1

Table des figures ................................................................................................................... 4

Bibliographie ......................................................................................................................... 6

1 Introduction .................................................................................................................... 7

1.1 Contexte ........................................................................................................... 7

1.2 Objectif ............................................................................................................. 7

1.3 Mise en œuvre de la méthode .......................................................................... 7

2 Simulation numérique et méthodologie ........................................................................... 9

2.1 Simulation numérique ....................................................................................... 9

2.1.1 Paramètres numériques ................................................................................... 9

2.1.2 Moyens de calcul ............................................................................................. 9

2.2 Méthodologie pour le calcul des Cd .................................................................10

2.2.1 Méthode générale ...........................................................................................10

2.2.2 Ecriture détaillée des équations pour les cas étudiés ......................................11

2.3 Méthodologie pour l’évaluation des résultats ...................................................14

2.3.1 Erreur RMS .....................................................................................................14

2.3.2 Comparaison des approches par décomposition et par simulation directe ......14

3 Evaluation de la méthodologie sur un carré 2D .............................................................16

3.1 Description du problème .................................................................................16

3.1.1 Système étudié et objectif ...............................................................................16

3.1.2 Méthode ..........................................................................................................17

3.1.3 Maillage ...........................................................................................................17

3.1.4 Paramétrage des mouvements .......................................................................18

3.2 Mouvement a un seul degré de liberté : translation rectiligne ..........................19

3.2.1 Calculs réalisés ...............................................................................................19

3.2.2 Champs de vitesses ........................................................................................19

3.2.3 Résultats .........................................................................................................21

3.3 Mouvement à deux degrés de liberté : arc de cercle .......................................22



3.3.3 Résultats .........................................................................................................27

3.4 Calcul des Cd du mouvement deux DDL par décomposition ...........................29

3.4.1 Décomposition du mouvement à 2DDL ...........................................................29

3.4.2 Calculs des Cd décomposés ...........................................................................31

3.4.3 Comparaison des approches directe et décomposée ......................................33

4 Evaluation de la méthodologie sur une géométrie de type Aquamarine/Oyster .............37

4.1 Description du problème .................................................................................37

4.1.1 Système étudié et objectif ...............................................................................37

4.1.2 Méthode ..........................................................................................................38

3

4.1.3 Maillage ...........................................................................................................39

4.1.4 Paramétrage des mouvements .......................................................................41

4.2 Mouvements à un seul DDL ............................................................................42

4.2.1 Translation ......................................................................................................42

4.2.2 Rotation centrée ..............................................................................................45

4.3 Rotation avec axe en bas ................................................................................48



4.3.3 Résultats .........................................................................................................50

4.4 Calcul des Cd du mouvement complexe par décomposition ............................51

4.4.1 Décomposition du mouvement ........................................................................51

4.4.2 Calculs des Cd décomposés ...........................................................................52

4.4.3 Comparaisons des approches directe et décomposée ....................................53

5 Bilan ...................................................................................... Erreur ! Signet non défini.

6 Annexes ........................................................................................................................57

6.1 Equations de Navier-Stokes ............................................................................57

6.1.1 Hypothèses .....................................................................................................57

6.1.2 Equations aux dérivées partielles ....................................................................57

6.1.3 Equations de Navier-Stokes moyennées au sens de Reynolds .......................59

6.1.4 Modélisation de la turbulence ..........................................................................61

6.2 Simulations réalisées pour le mouvement à 2 DDL du carré 2D ......................67

6.3 Cd obtenus par simulation pour le mouvement à 2DDL du carré 2D ...............68

6.4 Comparaison des Cd obtenus par décomposition et par simulation directe .....71

4

Table des figures Figure 1: Décomposition de la trainée pour le calcul du moment ..........................................13

Figure 2 : Géométrie de Bearmann ......................................................................................16

Figure 3 : Mouvements complexe étudié ..............................................................................16

Figure 4 : Décomposition du mouvement en arc de cercle ...................................................17

Figure 5 : Maillage utilisé ......................................................................................................18

Figure 6 Calculs en translation réalisés ................................................................................19

Figure 7 : Champ de vitesses, carré 2D en translation rectiligne ..........................................20

Figure 8 : CD, carré 2D en translation rectiligne ....................................................................21

Figure 9 : Courbe Cd=f(Kc), carré 2D en translation rectiligne ..............................................21

Figure 10 : Exemple de trajectoires pour des mouvements imposés à Kc constant ..............22

Figure 11 : Couples (R,θ) étudiés pour un Kc de 4.13 ..........................................................23

Figure 12 : Champ de vitesses pour Kc=4.13 et θ proche de 0° ...........................................24

Figure 13 : Champ de vitesses pour Kc=4.13 et θ=90° .........................................................25

Figure 14 : Champ de vitesses pour Kc=4.13 et θ=30° .........................................................26

Figure 15: Cd, carré 2D mouvement 2 DDL, Kc=4.13 ...........................................................27

Figure 16 : Courbe Cd=f(θ), Kc=3.11 ....................................................................................28

Figure 17 : Décomposition du mouvement à deux DDL ........................................................29

Figure 18 : Evolution de Kcx et Kcy avec l'angle pour un Kc total de 3.11 ............................30

Figure 19 : Exemple du calculs des Cdx et Cdy pour un Kc=3.11 et θ=30° ..........................31

Figure 20 : Courbes Cd=f(θ) pour les approches directe et décomposée, Kc=2.2 ................32

Figure 21 : Courbes Cd=f(θ) pour les approches directe et décomposée, Kc=3.11 ..............32

Figure 22 : Courbes Cd=f(θ) pour les approches directe et décomposée, Kc=4.13 ..............33

Figure 23 : Erreur RMS normalisée pour Fx .........................................................................34

Figure 24 : Erreur RMS normalisée pour Fy .........................................................................34

Figure 25 : Evolution de l’écart d'erreur maximal entre les deux méthodes ..........................35

Figure 26 : Géométrie Aquamarine/Oyster ...........................................................................37

Figure 27 : Mouvement complexe imposé à la géométrie Oyster .........................................38

Figure 28 : Décomposition du mouvement de rotation avec l'axe en bas ..............................38

Figure 29 : Convergence en maillage, Kc=4.13 ....................................................................39

Figure 30 : Cd extrémaux obtenus pour les maillages à 100 000 et 125 000 mailles ............40

Figure 31 : Maillage de la géométrie Oyster .........................................................................41

Figure 32 : Calculs en translation réalisés ............................................................................42

Figure 33 : Champs de vitesses Oyster en translation, Kc=4.13 ...........................................43

Figure 34 : Résultats translation ...........................................................................................44

Figure 35 : Courbe Cd=f(Kc), Oyster translation rectiligne ....................................................44

Figure 36 : Calculs en rotation avec axe au barycentre réalisés ...........................................45

Figure 37 : Champ de vitesses rotation avec axe au barycentre, Kc=3.55 ............................46

Figure 38 : Résultats rotation axe au barycentre ..................................................................47

Figure 39 : Courbe Cd=f(Kc), Oyster rotation avec axe au barycentre ..................................47

Figure 40 : Calculs en rotation avec axe en bas réalisés ......................................................48

Figure 41 : Champ de vitesses rotation avec axe en bas, Kc=3.55 .......................................49

Figure 42 : Résultats Rotation avec axe en bas....................................................................50

Figure 43 : Courbe Cd=f(Kc), Oyster rotation avec axe en bas .............................................50

Figure 44 : Décomposition du mouvement ...........................................................................51

Figure 45 : Force et couple s'exerçants sur les mouvements simples...................................52

Figure 46 : Comparaison des résultats .................................................................................53

5

Figure 47 : Comparaison des erreurs RMS ..........................................................................54

6

Bibliographie 1. Bearman, P.W. Forces on cylinders in viscous oscillatory flow at low Keulegan-Carpenter

numbers. 1985.

2. Thilleul, Olivia. Projet MONACOREV: Tache 1.3 MODELES ET COEFFICIENTS POUR

LA PRISE EN COMPTE DES PHENOMENES DE DISSIPATION VISQUEUSE. 2014.

3. Boussinesq, J. Essai sur la théorie des eaux courantes. 1877. pp. 1-680. Vol. 1.

4. Berhault, C. Flat Buoy concept hydrodynamic behaviour study. 2009.

5. KIM, A. W. Troesch et S. K. Hydrodynamic forces acting on cylinders at small amplitudes.

1990.

6. Sarpkaya, Turgut. In-line and transverse forces on cylinders in oscillatory flow at high

Reynolds numbers. 1976.

7. Vugts, Ir. J. H. The hydrodynamic coefficients for swaying, heaving and rolling cylinders in

a free surface.

Abréviations

CFD : Computational Fluid Dynamic

RANS : Reynolds Averaged Navier Stokes

DDL: Degré de liberté

CD : Coefficient de trainée

CM : Coefficient d’inertie

Kc : Nombre de Keulegan-Carpenter

7

1 Introduction

1.1 Contexte

La plupart des systèmes de récupération d’énergie de la houle prennent la forme de

structures immergées ou semi-immergée, qui vont osciller avec le mouvement des vagues et

absorber leur énergie. Pour les concevoir, il est nécessaire de connaitre leur comportement

hydrodynamique, afin d’évaluer la puissance électrique qu’ils peuvent dégager. La trainée

engendrée par l’écoulement de l’eau autour du corps fait partie des phénomènes qu’il faut

étudier. Cette force génère un amortissement du mouvement, elle est donc importante dans

la compréhension du comportement global de la structure et dans le calcul de son

rendement. Cependant, les méthodes de calcul des effets visqueux qui agissent sur un corps

sont pour le moment soit empiriques, soit très couteuses en temps de calculs car basées sur

les équations RANS. De plus, les formules empiriques existantes ne prennent en compte

que des mouvements à un seul degré de liberté.

1.2 Objectif

L’objectif de cette étude est d’essayer de mettre en place une méthodologie composite qui

permettrait d’allier la simplicité des formules empiriques connues à la précision des calculs

CFD sans toutefois atteindre des temps de calculs rédhibitoires ; et ce afin de calculer les

effets visqueux sur un corps animé d’un mouvement complexe à plusieurs degrés de

libertés.

La méthode qui a été imaginée est la suivante :

Décomposition du mouvement à plusieurs DDL en mouvements simples à un seul

DDL.

Calcul numérique de la trainée pour les mouvements simples.

Couplage des efforts obtenus dans les cas à un DDL pour obtenir les effets visqueux

présents dans le cas du mouvement complexe.

Cette méthode permettrait le calcul des coefficients de trainée d’un système animé d’un

mouvement complexe, en se basant uniquement sur le calcul numérique direct de quelques

cas simples. Le temps de calcul s’en trouverait fortement réduit sans compromettre la

précision des résultats.

L’objectif de cette étude est d’effectuer une première validation de cette méthode pour

quelques géométries simples.

1.3 Mise en œuvre de la méthode

L’étude de validation est menée sur deux géométries et un mouvement complexe pour

chacune d’elles. La méthode appliquée pour ces deux cas est la suivante :

Décomposition du mouvement complexe en mouvements simples.

Simulation des mouvements simples à l’aide d’un code CFD, puis calcul des CD par

une analyse aux moindres carrés via la formule de Morison des efforts calculés

numériquement.

8

Simulation du mouvement complexe à l’aide d’un code CFD, puis calcul des CD par


numériquement.

Recomposition des CD obtenus pour les mouvements à un DDL afin d’obtenir le CD

du mouvement complexe.

Comparaison des CD du mouvement complexe obtenus par simulation numérique

directe et par décomposition du mouvement, afin d’évaluer la pertinence de la

méthode proposée.

L’application de cette séquence à deux géométries permettra d’évaluer les limites et la

précision de cette méthode de calcul des Cd par décomposition du mouvement. Cette

évaluation sera basée sur la comparaison aux résultats obtenus par simulation numérique

directe. Il sera ainsi possible, si ce n’est de valider complétement cette approche, d’en

estimer la pertinence.

9

2 Simulation numérique et méthodologie

2.1 Simulation numérique

2.1.1 Paramètres numériques

Le logiciel utilisé pour cette étude est STAR-CCM+, développé par CD-adapco. Il s’agit d’un

programme basé sur un code CFD permettant la modélisation complète de problèmes de

mécanique des fluides, le calcul des écoulements, et l’obtention des grandeurs physiques

nécessaires à l’analyse du comportement du système étudié.

Pour chacune des simulations numériques étudiées, ce logiciel est utilisé pour :

Créer les géométries étudiées.

Générer des maillages.

Dans le cadre de ce travail, les formes étudiées sont simples (carré, rectangle), les

maillages utilisés sont donc structurés avec un raffinement de plus en plus fin en

s’approchant du corps. Le maillage de la couche limite se fait séparément, ce qui

permet d’obtenir une taille de première maille et un raffinement dans la zone très

proche du corps adaptés au problème

Effectuer le calcul des écoulements avec les paramètres suivants :

o Fluide newtonien, visqueux, incompressible, homogène et isotrope

o Utilisation des équations RANS (Annexe)

o Modèle de turbulence k-ω SST sans loi de paroi (Annexe)

o Discrétisation des équations par volumes finis

o Discrétisation implicite des dérivées temporelles

(Le pas de temps est pris dans ce travail comme valant 1/500eme de la période

des oscillations, ce qui permet d’avoir des calculs convergés)

Obtenir les efforts hydrodynamiques exercés sur les géométries.

Les efforts obtenus à l’issue des simulations numériques sont ensuite analysés afin d’en

extraire la trainée et le coefficient CD.

2.1.2 Moyens de calcul

Les moyens de calculs utilisés lors de ce travail sont :

Un ordinateur, mis à disposition par le LHEEA, possédant 8 cœurs et 8 Go de RAM

Le calculateur ANTARES du CRIHAN, sur lequel l’Ecole Centrale de Nantes possède

624 cœurs.

10

2.2 Méthodologie pour le calcul des Cd

Le logiciel STAR-CCM+ permet d’obtenir les efforts qui s’exercent sur les géométries

étudiées. Ces résultats doivent par la suite être analysés afin d’obtenir des coefficients

d’amortissement visqueux.

2.2.1 Méthode générale

Les efforts hydrodynamiques s’exerçant sur le corps peuvent se décomposer de la manière

suivante :

Tous les problèmes étudiés portent sur des corps complétement immergés auquel on

impose un mouvement dans un milieu au repos. Cette expression peut donc être simplifiée.

Les forces hydrostatiques sont nulles ainsi que les forces de Froude-Krilov et la diffraction.

On a donc :

D’autre part, l’objet étant complétement immergé, aucun champ de vague n’est généré. Il n’y

a donc pas d’amortissement radiatif, et on a :

où A est la matrice de masse ajoutée.

On obtient donc :

Les efforts ont été modélisés par la formule de Morison généralisée, on a donc :

( ( ) )

( )| |

où ρ est la masse volumique du fluide, S la surface de référence qui s’oppose au

mouvement du fluide, et V le volume du corps. X est le déplacement du fluide et ϕ celui du

corps. Cette formule associe aux forces de trainée et d’inertie des coefficients

adimensionnels CD et CM.

Dans les cas étudiés, on a : d’où :

( )

| |

Les efforts hydrodynamiques calculés à l’aide de STAR-CCM+ ont donc été décomposés

suivant cette formule afin d’obtenir les coefficients de trainée CD.

La décomposition des efforts en la somme d’une inertie et d’une trainée a été réalisée à

l’aide d’Excel par une méthode des moindres carrés. Ce logiciel dispose d’une fonction

SOLVER qui permet de résoudre un problème d’optimisation. Elle a été utilisée pour

minimiser la somme des écarts entre les efforts obtenus numériquement et ceux calculés par

11

la formule de Morison. La minimisation de cette somme permet d’obtenir les coefficients CD

et CM optimaux qui correspondent à la formulation de Morison, qui approche le mieux les

résultats numériques au sens des moindres carrés.

2.2.2 Ecriture détaillée des équations pour les cas étudiés

2.2.2.1 Translation 1DDL

Dans le cas d’une translation rectiligne, on a :

(

)

On a alors :

( )

| |

En 2D les efforts seront exprimés par unité de longueur, on a donc :

( )

| |

où S est la surface de la géométrie 2D et D la dimension caractéristique qui s’oppose à

l’écoulement.

Les translations imposées le seront suivant l’axe x. On a alors :

( )

| |

Avec

2.2.2.2 Translation 2DDL

Dans le cas d’un mouvement de translation suivant deux degrés de liberté, on a :

(

)

Les coefficients d’inertie et de trainée ne sont donc plus scalaires mais matriciels :

(

)

(

)

Les corps étudiés présentant trois plans de symétrie, on a :

(

)

On a donc :

12

( (

))(

)

(

)(

) |(

)|

(

( )

√

√

( )

√

√

)

Nous verrons par la suite qu’en réalité CDxy et CDyx sont négligeables. La formule utilisée sera

donc :

(

( )

√

( )

√

)

En 2D, les efforts seront exprimés par unité de longueur, on a donc :

(

( )

√

( )

√

)

Avec

2.2.2.3 Rotation centrée

Pour la rotation, ϕ ne correspond pas à un déplacement mais à un angle. De même les

efforts hydrodynamiques en présence sont des moments. Il faut donc construire une

formulation de type Morison adaptée.

Par analogie, la partie inertielle du moment peut s’exprimer de la façon suivante :

( )

Où Iz est le moment d’inertie du corps.

Pour l’expression de la partie visqueuse du moment, le mouvement de rotation avec axe au

barycentre suivant a été considéré :

13

Figure 1: Décomposition de la trainée pour le calcul du moment

La trainée associée à cette rotation peut se décomposer en deux efforts agissant chacun sur

les extrémités du corps. D’après la formule de Morison, ces forces peuvent s’exprimer

comme suit :

| | | |

| |

où V est la vitesse au bout du corps :

Donc

| |

Le moment total de ces forces calculé au barycentre du corps vaut donc :

| |

Avec

On obtient donc

| |

Et le moment total vaut :

( )

| |

Comme pour les translations, CM et CD seront obtenus par une analyse aux moindres carrés

des efforts calculés numériquement.

x

y

FVR

FV -R

ω

D=2R

14

2.3 Méthodologie pour l’évaluation des résultats

2.3.1 Erreur RMS

La méthode décrite précédemment permet d’analyser les efforts calculés numériquement et

d’en extraire les coefficients de trainée correspondants. Cependant, le calcul des CD repose

sur une hypothèse forte, qui est la modélisation de Morison. Il donc nécessaire de posséder

un outil qui permettra d’évaluer la précision de l’analyse des efforts aux moindres carrés via

ce modèle.

L’outil d’évaluation retenu est le calcul de l’erreur RMS normalisée. Celle-ci se construit de la

façon suivante :

Soit (Fnum i)i=1..N la série temporelle des efforts calculés numériquement.

Soit (FMorison i)i=1..N la série temporelle des efforts calculés par la formule de Morison.

L’erreur RMS a alors pour expression :

√∑

De plus, pour pouvoir comparer tous les résultats, cette erreur sera normalisée par la valeur

maximale de l’effort calculé numériquement. On a donc

√∑

| |

L’erreur RMS normalisée correspond à l’écart moyen entre les efforts numériques et ceux

calculés par la formule de Morison, exprimé en pourcent de l’effort maximal.

Ce critère permet donc d’évaluer la correspondance entre les forces temporelles calculées

par le code CFD et celles modélisées par la formule de Morison pour un CD donné.

Ici le CD utilisé est celui calculé à l’issue de l’analyse des efforts obtenus par simulation

directe. L’erreur RMS évalue donc la proximité entre les forces calculées numériquement et

celles données par l’analyse directe aux moindres carrés via une formulation de type

Morison.

2.3.2 Comparaison des approches par décomposition et par simulation directe

Les coefficients de trainée calculés par la méthode proposée de décomposition du

mouvement seront comparés à ceux obtenus par simulation numérique directe du

mouvement complexe, afin d’évaluer la pertinence de la méthode. Cependant, des CD

différents ne donnent pas forcement des efforts très éloignés lorsqu’ils sont injectés dans la

formule de Morison. L’évaluation de la méthode est donc basée, non pas sur la comparaison

directe de l’écart entre les CD, mais sur la comparaison des forces associées via le modèle

de Morison.

15

Pour ce faire, une fois les CD calculés par décomposition, ils seront injectés dans la formule

de Morison. Comme pour ceux calculés directement aux moindres carrés, l’erreur RMS entre

les résultats numériques et ceux obtenus par la formulation de Morison sera calculée.

C’est cette erreur RMS, calculée à la fois pour l’approche directe et par décomposition, qui

sera comparée. Elle permettra d’évaluer si les efforts calculés par décomposition du

mouvement concordent bien avec les résultats numériques, et l’écart au calcul direct.

16

3 Evaluation de la méthodologie sur un carré 2D

3.1 Description du problème

3.1.1 Système étudié et objectif

Figure 2 : Géométrie de Bearmann

Le premier système étudié est un carré 2D complétement immergé de coté 2.667cm. Cette

géométrie correspond à une expérience qui a été menée par Bearman (1), et à une des

études du projet Monacorev (2) portant sur le calcul numérique des coefficients de trainée.

Des données expérimentales et numériques sont donc disponibles pour cette géométrie, ce

qui permettra de valider les premiers calculs.

Figure 3 : Mouvements complexe étudié

Le mouvement complexe imposé à ce carré est une oscillation en translation circulaire

suivant un arc de cercle. Il fait intervenir deux DDL : une translation en x et une en y.

D=2.667 cm

Ө0

y

x

R

17

L’objectif pour ce système est de calculer les CD du corps pour le mouvement à deux DDL

par simulation directe et décomposition afin d’évaluer la méthode par décomposition sur

cette première géométrie simple.

Figure 4 : Décomposition du mouvement en arc de cercle

Le mouvement à deux DDL sera décomposé suivant deux translations, l’une horizontale, et

l’autre verticale.

3.1.2 Méthode

Les étapes mises en place pour atteindre l’objectif sont :

La simulation séparée sous STAR-CCM+ des deux translations rectilignes pour

plusieurs Kc

Obtention des CD par analyse des résultats aux moindres carrés et tracé de la courbe

CD=f(Kc) correspondant au mouvement de translation rectiligne

La simulation sous STAR-CCM+ du mouvement à deux DDL pour plusieurs Kc

Obtention des CD par analyse des résultats aux moindres carrés et tracé des courbes

CD=f(θ) correspondant au mouvement en arc de cercle à Kc fixé

La décomposition du mouvement complexe en la combinaison de deux translations

rectilignes verticale et horizontale.

Le calcul des CD correspondant à cette décomposition grâce aux calculs effectués

dans le cas des simulations du mouvement à un seul DDL

La comparaison des CD obtenus par décomposition à ceux obtenus par simulation

directe via un code CFD.

3.1.3 Maillage

Nombre de mailles

Raffinement maximal (% de D)

Y+ Nombre de mailles dans la couche limite

Loi de paroi

50 000 4% 1 14 k-ω SST

Ө

y

x

R

y

x

y

x

18

Disposant de résultats numériques convergés sur la même géométrie, l’étude de

convergence en maillage s’est restreinte à la vérification de la correspondance entre les

résultats obtenus et ceux du rapport MONACOREV.

Figure 5 : Maillage utilisé

3.1.4 Paramétrage des mouvements

Les mouvements sont paramétrés sous STAR-CCM+ via leur vitesse. Les équations

correspondantes sont ici :

Translation :

( ) ( ) avec

et

Mouvement à deux DDL :

( ) ( ) avec ( ) ( )

( ) ( )

R est le rayon de l’arc et θ0 son amplitude angulaire.

Ce qui donne la vitesse suivante :

( ) ( ( )

( ) )

avec et

19

Ces équations du mouvement font intervenir les paramètres :

T période des oscillations, fixée à 3.34s

D la dimension caractéristique de l’objet, ici 2.667cm

V l’amplitude de la vitesse

KC le nombre de Keulegan-Carpenter

Ils sont reliés par la formule :

T et D étant fixés, le mouvement est complétement défini soit par V, soit par Kc. Kc étant

adimensionnel, il sera retenu pour paramétrer le mouvement.

Le nombre de Keulegan-Carpenter est pris dans une plage de 1 à 8, ce qui correspond à ce

que l’on peut typiquement rencontrer sur des récupérateurs d’énergie de la houle.

3.2 Mouvement a un seul degré de liberté : translation rectiligne

3.2.1 Calculs réalisés

Pour obtenir la courbe Cd=f(Kc) dans le cas d’une translation rectiligne, des simulations

effectuées ont des Kc variant entre 1 et 8.

Kc V (m/s) Re

0,4 0,0032 85

0,6 0,0048 128

0,8 0,0064 171

0,98 0,0078 209

1,12 0,0090 239

1,3 0,0104 277

1,65 0,0132 352

2,2 0,0176 470

3,11 0,0249 664

4,13 0,0330 882

8,29 0,0663 1769

Figure 6 Calculs en translation réalisés

3.2.2 Champs de vitesses

Les champs de vitesses obtenus sur une période sont présentés dans les figures qui suivent.

20

Figure 7 : Champ de vitesses, carré 2D en translation rectiligne

Le mouvement engendre la création de vortex sur les coins du carré. La géométrie

présentant des angles vifs, les points de décollement sont bien localisés. Le carré crée des

cellules tourbillonnaires dans lesquelles il repasse périodiquement.

3.2.3 Résultats

L’analyse aux moindres carrés des efforts hydrodynamiques obtenus numériquement donne

les CD correspondants à la formulation de Morison suivants :

Kc Cd calculés

0,4 7,596

0,6 5,617

0,8 4,696

0,98 4,223

1,12 3,981

1,30 3,880

1,65 3,733

2,20 3,735

3,11 3,220

4,13 2,462

7,05 1,778

8,29 1,711

Translation

Figure 8 : CD, carré 2D en translation rectiligne

Ce qui donne la courbe Cd=f(Kc) suivante :

Figure 9 : Courbe Cd=f(Kc), carré 2D en translation rectiligne

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0 2 4 6 8 10

Cd

Kc

Cd calculés

Cd MONACOREV

Cd Bearman

22

Les résultats obtenus concordent bien avec ceux du rapport MONACOREV (2). Le maillage

utilisé est donc assez fin, et les paramètres du calcul numérique sont corrects.

On peut toutefois observer un écart entre les résultats numériques et expérimentaux aux

faibles Kc. Cette constatation avait aussi été faite dans le rapport MONACOREV, mais sans

pouvoir y apporter d’explication.

3.3 Mouvement à deux degrés de liberté : arc de cercle


Pour le mouvement à deux degrés de liberté, la méthode appliquée était un peu différente.

Le mouvement imposé était une oscillation en arc de cercle. Ces arcs ont pour paramètres

leur rayon et l’amplitude angulaire que le carré va décrire, qui sont reliés par le Kc :

L’approche décidée consiste à se placer à Kc constant, ce qui revient à prendre une

longueur d’arc fixe, et à effectuer des calculs pour des arcs de plus en plus incurvés. Pour un

Kc donné cela revient à faire augmenter θ0 et, inversement, diminuer R.

Figure 10 : Exemple de trajectoires pour des mouvements imposés à Kc constant

Sept Kc sont étudiés, et pour chacun d’eux onze amplitudes angulaires sont simulées. Pour

chaque Kc une gamme d’angles allant de 0° (ce qui correspond à une translation rectiligne

(arc plat)) à 90° (ce qui correspond à un demi-cercle) est ainsi balayée.

y

x

R

Θ

23

R (m) Ө0 (deg)

1,5 0,7

0,2011 5,0

0,1006 10,0

0,0503 20,0

0,0335 30,0

0,0251 40,0

0,0201 50,0

0,0168 60,0

0,0144 70,0

0,0126 80,0

0,0112 90,0

Kc = 4.13

Figure 11 : Couples (R,θ) étudiés pour un Kc de 4.13

L’ensemble des couples (R,θ) étudiés pour les sept Kc sont situés en annexe.


Les champs de vitesses obtenus sur une période sont présentés dans les figures qui suivent.

On peut y voir que l’écoulement obtenu pour un arc plat (figure 12) est similaire à celui

obtenu dans le cas d’une translation rectiligne. Ceci est rassurant, et sera confirmé par le

calcul des Cd.

Pour les arcs plus incurvés, des cellules tourbillonnaires se décrochent et partent vers le

haut (figure 13). Dans la gamme d’angles intermédiaires (figure 14), le carré repasse dans

ces cellules à chaque période. Pour des angles plus élevés, ces cellules se décrochent

complétement, le corps ne repasse pas dedans. Cette différence de comportement est à

l’origine de certains phénomènes qui sont observés sur les courbes Cd=f(θ) (section 3.3.3.).

24

Figure 12 : Champ de vitesses pour Kc=4.13 et θ proche de 0°

25

Figure 13 : Champ de vitesses pour Kc=4.13 et θ=90°

26

Figure 14 : Champ de vitesses pour Kc=4.13 et θ=30°

3.3.3 Résultats


les CD correspondants à la formulation de Morison suivants :

Figure 15: Cd, carré 2D mouvement 2 DDL, Kc=4.13

L’ensemble des résultats est regroupé en annexe.

Contrairement au mouvement de translation rectiligne, les courbes tracées ne sont pas du

type Cd=f(Kc) mais Cd=f(θ). Les résultats représentent, pour chaque Kc, l’évolution des Cd

lorsque l’arc est incurvé.

La figure suivante présente les résultats pour un Kc de 3.11. L’intégralité des résultats se

trouve en annexe.

R (m) Ө0 (deg) Cdx Cdy

1,5 0,7 2,48 -

0,2011 5,0 2,52 -

0,1006 10,0 2,79 -

0,0503 20,0 3,49 1,41

0,0335 30,0 3,82 2,09

0,0251 40,0 4,24 2,13

0,0201 50,0 4,33 2,77

0,0168 60,0 3,55 3,78

0,0144 70,0 3,31 3,96

0,0126 80,0 3,30 4,01

0,0112 90,0 3,31 3,99

Kc = 4.13

28

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0

Cd

Angle (deg)

Cdx simulationdirecte rotation

Cdy simulationdirecte rotation

Cdx 1ddltranslation

Figure 16 : Courbe Cd=f(θ), Kc=3.11

Cet exemple permet d’illustrer plusieurs phénomènes qui se retrouvent pour tous les autres

Kc :

Lorsque l’angle tend à être nul, le Cdx tend vers le Cd calculé précédemment pour

une translation rectiligne. Ceci est rassurant car lorsque θ tend vers 0 (et R vers

l’infini), le mouvement imposé tend à être rectiligne.

Seul Cdx et Cdy ont été tracés. La raison est que CdXY et CdYX sont nuls, il n’y a pas

de termes couplés. La matrice Cd est diagonale, ce qui simplifie la modélisation.

Cdx augmente dans une gamme d’angles intermédiaires avant de diminuer pour des

angles plus importants. Ceci peut être expliqué par la différence observée

précédemment dans les champs de vitesses. Pour des angles compris entre 30° et

60°, le carré repasse dans les cellules qu’il crée. Il se « heurte » à celles-ci, ce qui a

pour effet d’augmenter la trainée. Au contraire, pour des angles supérieurs, les

cellules se décrochent complétement, le corps est donc moins influencé par leur

présence.

Cdy diminue dans une gamme d’angles intermédiaires avant d’augmenter pour des

angles plus importants. Ceci s’explique par le même phénomène qu’en x, à la

différence que les cellules montent. Lorsque le carré repasse dedans, il va dans le

même sens qu’elles, la trainée est donc diminuée.

Pour de petits angles, Cdy et assez élevé. Ceci est dû au fait que pour de petits

angles, le mouvement vertical de l’objet et très petit. Toutefois, il faut bien avoir à

l’esprit que pour ces petits mouvements, l’inertie est prédominante. Ces calculs sont

peu précis mais moins importants que pour des Kc supérieurs à 1.

29

3.4 Calcul des Cd du mouvement deux DDL par décomposition

Suite aux calculs des Cd par simulation numérique et analyse aux moindres carrés, l’objectif

était de relier les Cd obtenus pour le mouvement à deux DDL à ceux du mouvement en

translation rectiligne.

3.4.1 Décomposition du mouvement à 2DDL

Comme expliqué précédemment, l’approche qui a été choisie est la décomposition du

mouvement en arc de cercle comme la combinaison de deux translations, l’une verticale et

l’autre horizontale.

Figure 17 : Décomposition du mouvement à deux DDL

Le mouvement en arc de cercle a ainsi été décomposé en deux mouvements rectilignes

horizontaux et verticaux d’amplitude respectives Dx et Dy. Ces distances s’expriment en

fonction des paramètres de l’arc de la façon suivante :

( )

Un Kc propre est associé à chacun de ces deux mouvements, ils sont notés KCx et KCy, et ont

pour expression :

avec

et

D’où :

Ө0

y

x

Dx

Dy

30

( )

Et en remplaçant R grâce à la formule

, ou KC est ici le KC global du mouvement

en arc de cercle :

( )

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0

Kc

Angle (°)

Kcx

Kcy

Figure 18 : Evolution de Kcx et Kcy avec l'angle pour un Kc total de 3.11

On peut bien voir que ces formules sont cohérentes, car elles donnent un Kcx qui est égal au

Kc total pour un angle de 0°, puis qui diminue. A l’inverse, Kcy est nul à 0° et augmente

ensuite.

Après avoir calculé ces Kc relatifs aux mouvements en x et en y, les Cd correspondants pour

des mouvements de translation rectiligne ont été obtenus en se reportant à la courbe

Cd=f(Kc) qui a été tracée dans la première partie de l’étude.

31

KCx=

3.04

KCy=

1.11

CDy=3.99

1

CDx=3.2

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

Cd

Kc

Cd=f(Kc) Translation rectiligne

Calcul Cdx

Calcul Cdy

Figure 19 : Exemple du calculs des Cdx et Cdy pour un Kc=3.11 et θ=30°

Cette méthode permet d’obtenir des coefficients de trainée pour les mouvements

décomposés en x et en y.

3.4.2 Calculs des Cd décomposés

Cette approche a été appliquée pour tous les couples (Kc, θ) simulés précédemment. Des

graphiques représentants à la fois l’évolution des Cd calculés par une approche directe au

moindres carrés et ceux obtenus par une approche par décomposition du mouvement ont

été tracés.

32

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0

Cd

Angle (deg)

Cdx approchedirecteCdy approchedirecte directeCdx décomposition

Cdy décomposition

Figure 20 : Courbes Cd=f(θ) pour les approches directe et décomposée, Kc=2.2

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0

Cd

Angle (deg)

Cdx approche directe

Cdy approche directe

Cdx décomposition

Cdy décomposition


33

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0

Cd

Angle (deg)

Cdx approche directe

Cdy approche directe

Cdx décomposition

Cdy décomposition


Plusieurs informations peuvent être extraites de ces graphiques :

- Les résultats donnés par les deux méthodes sont plus proches pour les faibles Kc

- Les Cd obtenus par l’approche décomposée du mouvement sont assez éloignés de

ceux obtenus par simulation directe dans la plage d’angles 30°-60°.

- Les Cd obtenus par l’approche décomposée du mouvement sont proches de ceux

obtenus par simulation directe pour des angles inférieurs à 20° et supérieurs à 70°.

Toutefois, la simple comparaison visuelle des courbes n’est pas une méthode assez

rigoureuse pour évaluer la pertinence des résultats obtenus avec l’approche décomposée.

Une méthode de comparaison des résultats a donc été mise en place.

3.4.3 Comparaison des approches directe et décomposée

Pour pouvoir comparer tous les résultats entre eux, la méthode qui a été retenue est le calcul

de l’erreur RMS entre les efforts calculés numériquement et ceux obtenus par la formulation

de Morison. (Pour plus de détail sur la méthode voir paragraphe 2.3.1)

L’erreur RMS normalisée a été calculée pour tous les Cd obtenus par la modélisation directe

aux moindres carrés. Puis les Cd obtenus par la méthode décomposée ont été injectés dans

la formulation de Morison et l’erreur faite avec ces Cd a été calculée. Les résultats donnés

par les deux approches ont donc pu être comparés par le biais de l’erreur RMS qu’ils

permettent d’obtenir.

34

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

0,000 10,000 20,000 30,000 40,000 50,000 60,000 70,000 80,000 90,000 100,000

Erre

ur

RM

S N

orm

alis

ée

(%

)

Angle (°)

Approche directe, Kc=1.3

Décomposition, Kc=1.3









Approche directe, Kc=7,05

Décomposition, Kc=7,05



Figure 23 : Erreur RMS normalisée pour Fx

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

0,000 10,000 20,000 30,000 40,000 50,000 60,000 70,000 80,000 90,000 100,000

Erre

ur

RM

S N

orm

alis

ée

(%

)

Angle (°)















Figure 24 : Erreur RMS normalisée pour Fy

35

Tous les résultats ont été regroupés sur deux graphiques, l’un pour les forces suivant x et

l’autre pour celles suivant y. Ces représentations permettent d’évaluer la pertinence de

l’approche par décomposition du mouvement.

Tout d’abord, il est possible de noter que les résultats donnés par l’approche directe sont

meilleurs aux faible Kc (jusqu’à 3.55). L’erreur RMS sur les efforts suivant x reste inférieure à

10% quelle que soit l’amplitude angulaire. Ceci s’explique par le fait que les forces d’inertie

sont prépondérantes pour de petits mouvements. Pour des Kc supérieurs, l’erreur augmente

progressivement mais reste raisonnable, elle est en effet de 13% au maximum pour un Kc

égal à 7.05. Pour les efforts en y, l’erreur est faible aux grands angles et assez élevée aux

petit angles. Ceci s’explique par le fait que pour de petits angles, le mouvement en y est

négligeable. Les efforts obtenus par la simulation numérique étaient donc parasités.

Le calcul direct aux moindres carrés des Cd donne donc de bons résultats.

La seconde méthode, décomposition du mouvement, donne de très bons résultats aux petits

Kc. Jusqu’à Kc=3.55, l’écart entre les deux approches reste inférieur à 3%. Puis, lorsque le

Kc augmente, dans la gamme d’angle 20°-70°, les résultats obtenus s’éloignent de ceux

donnés par le calcul aux moindres carrés.

-5,00%

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Erre

ur

RM

S n

orm

ali

sée

Kc

ΔRMSNmax

Figure 25 : Evolution de l’écart d'erreur maximal entre les deux méthodes

36

L’erreur augmente fortement pour des Kc supérieurs à 4, dans la plage d’angles

intermédiaires. Ceci s’explique par le phénomène qui a été décrit dans le paragraphe 3.3.3.

Pour des angles moyens, les cellules qui se détachent des angles du carré rencontrent le

corps à chaque période. Elles n’ont pas le temps de vraiment se détacher, et l’écoulement

est fortement perturbé, modifié. Au contraire, pour de grands angles, ces cellules se

détachent complétement et remontent. Elles ne « heurtent » pas le corps, et l’écoulement est

moins perturbé. La méthode de décomposition du mouvement ne permet pas de prendre en

compte ce phénomène. Les résultats donnés sont donc moins pertinents.

Toutefois, l’écart maximal entre les deux méthodes reste bon pour des Kc inférieurs à 5

puisqu’il est sous les 20%.

Ces résultats étant encourageants, la méthode a été appliquée à une autre géométrie : un

batteur de type aquamarine/oyster.

37

4 Evaluation de la méthodologie sur une géométrie de type

Aquamarine/Oyster

4.1 Description du problème

4.1.1 Système étudié et objectif

Figure 26 : Géométrie Aquamarine/Oyster

Suite aux simulations faites sur la géométrie correspondant à l’expérience de Bearman, le

système étudié est un batteur de type Aquamarine/Oyster. Il s’agit d’un rectangle 2D

complétement immergé de dimension 2mX10m.

x

y

Dx=2 m

Dy=

10

m

38

Figure 27 : Mouvement complexe imposé à la géométrie Oyster

Le mouvement complexe imposé à ce rectangle est une oscillation en rotation avec l’axe en

bas.

L’objectif est de décomposer ce mouvement suivant deux DDL simples qui sont :

Une translation rectiligne horizontale

Une rotation avec l’axe au barycentre du rectangle

Figure 28 : Décomposition du mouvement de rotation avec l'axe en bas

Puis de calculer les CD relatifs au mouvement complexe à la fois par simulation directe et par

décomposition afin d’évaluer la pertinence de la méthode décomposée.

4.1.2 Méthode

Les étapes mise en place pour atteindre l’objectif sont :

La simulation séparée sous STAR-CCM+ des deux mouvements simples pour

plusieurs Kc

Obtention des CD par analyse des résultats aux moindres carrés et tracé de la courbe

CD=f(Kc) correspondant aux mouvements simples

x

y

x

y

x

y

x

y

39

La simulation sous STAR-CCM+ du mouvement complexe pour plusieurs Kc

Obtention des CD par analyse des résultats aux moindres carrés et tracé des courbes

CD=f(Kc) correspondant au mouvement complexe

La décomposition du mouvement complexe en la combinaison de la translation

rectiligne et de la rotation centrée

Le calcul des CD correspondant à cette décomposition grâce aux calculs effectués

dans le cas des simulations des mouvements simples

La comparaison des CD obtenus par décomposition à ceux obtenus par simulation

directe via un code CFD.

4.1.3 Maillage

La couche limite est maillée de manière à avoir un y+ de 1, le modèle utilisé étant sans loi de

paroi.

Sept maillages de plus en plus raffinés sont étudiés, l’objectif étant d’obtenir un maillage

pour lequel le calcul des Cd est convergé.

Pour chacun de ces sept maillages comportant entre 50 000 et 270 000 cellules, une

simulation en translation pour un Kc de 4.13 est réalisée. Ce Kc a été retenu car il est au

milieu de la plage 1-8 qui est étudiée. Pour chaque simulation, les efforts sont extraits et les

Cd calculés par analyse aux moindres carrés. La courbe de convergence en maillage

suivante est obtenue à l’issue de cette première étude.

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000

Cd

Nombre de mailles

Cd

Figure 29 : Convergence en maillage, Kc=4.13

40

Suite à ces simulations, le maillage qui parait pertinent est celui à 100 000 mailles. Le Cd

semble en effet avoir convergé et le nombre de cellules reste raisonnable pour le temps de

calcul. On peut toutefois se demander si le maillage à 125 000 mailles ne serait pas meilleur,

mieux convergé et ce pour tous les Kc. Des simulations pour les Kc maximum et minimum

ont donc été réalisées afin de comparer les maillages à 100 000 et 125 000 mailles.

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Cd

Kc

Maillage 100 000 mailles

Maillage 125 000 mailles

Figure 30 : Cd extrémaux obtenus pour les maillages à 100 000 et 125 000 mailles

Le calcul des Cd pour les mouvements d’amplitudes maximale et minimale pour ces deux

maillages donne des résultats quasi identiques. Le maillage retenu est donc celui à 100 000

mailles car il est moins couteux en temps de calcul.

Les caractéristiques du maillage utilisé sont donc les suivantes :

Nombre de mailles

Raffinement maximal (% de D)

Y+ Nombre de mailles dans la couche limite

Loi de paroi

103 440 1% 1 14 k-ω SST

41

Figure 31 : Maillage de la géométrie Oyster

4.1.4 Paramétrage des mouvements

Les mouvements sont paramétrés sous STAR-CCM+ via leur vitesse. Les équations

correspondantes sont ici :

Translation :

( ) (

) avec

Rotation centrée :

( ) (

) avec

,

et

Rotation avec axe en bas :

( ) (

) avec

et

Ces équations du mouvement font intervenir les paramètres :

T période des oscillations, fixée à 3.34s

Dx et Dy les dimensions caractéristiques de l’objet, Dx=2m et Dy =10m

V l’amplitude de la vitesse, ou la vitesse maximale au bout du batteur

KC le nombre de Keulegan-Carpenter

Ils sont reliés par la formule :

42

T et Dx étant fixés, le mouvement est complétement défini soit par V, soit par Kc. Kc étant

adimensionnel, il sera retenu pour paramétrer le mouvement.

Le nombre de Keulegan-Carpenter est pris dans une plage de 1 à 8, ce qui correspond à ce

que l’on peut typiquement rencontrer sur des récupérateurs d’énergie de la houle.

4.2 Mouvements à un seul DDL

4.2.1 Translation

4.2.1.1 Calculs réalisés

Pour obtenir la courbe Cd=f(Kc) dans le cas d’une translation rectiligne, des simulations ont

été effectuées pour des Kc variant entre 1 et 8.

Figure 32 : Calculs en translation réalisés

4.2.1.2 Champs de vitesses

Les champs de vitesses obtenus sur une période sont présentés dans les figures qui

suivent :

Kcx Vx (m/s) Re

0,98 0,59 1,17E+06

1,12 0,67 1,34E+06

1,30 0,78 1,56E+06

1,49 0,89 1,78E+06

1,65 0,99 1,98E+06

1,87 1,12 2,24E+06

2,20 1,32 2,63E+06

2,67 1,60 3,20E+06

3,11 1,86 3,72E+06

3,55 2,12 4,25E+06

4,13 2,47 4,95E+06

4,56 2,73 5,46E+06

4,84 2,90 5,80E+06

5,50 3,29 6,59E+06

7,05 4,22 8,44E+06

8,29 4,96 9,93E+06

43

Figure 33 : Champs de vitesses Oyster en translation, Kc=4.13

44

4.2.1.3 Résultats


les CD correspondant à la formulation de Morison suivants :

Figure 34 : Résultats translation


0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cd

Kc

Cdx

Figure 35 : Courbe Cd=f(Kc), Oyster translation rectiligne

Kc Cdx

0,98 9,20

1,12 9,02

1,30 8,94

1,49 8,13

1,65 7,74

1,87 7,75

2,20 6,75

2,67 6,15

3,11 5,97

3,55 5,56

4,13 4,50

4,56 4,48

4,84 4,22

5,50 4,40

7,05 3,80

8,29 4,31

Translation

45

4.2.2 Rotation centrée

4.2.2.1 Calculs réalisés



Figure 36 : Calculs en rotation avec axe au barycentre réalisés

4.2.2.2 Champs de vitesses


suivent :

Kcx Vmax (m/s) ω (rad/s) Re

1,12 0,67 0,13 1,34E+06

1,30 0,78 0,16 1,56E+06

1,49 0,89 0,18 1,78E+06

1,65 0,99 0,20 1,98E+06

1,87 1,12 0,22 2,24E+06

2,20 1,32 0,26 2,63E+06

2,67 1,60 0,32 3,20E+06

3,11 1,86 0,37 3,72E+06

3,55 2,12 0,42 4,25E+06

4,13 2,47 0,49 4,95E+06

4,56 2,73 0,55 5,46E+06

4,84 2,90 0,58 5,80E+06

5,50 3,29 0,66 6,59E+06

6,20 3,71 0,74 7,43E+06

7,05 4,22 0,84 8,44E+06

46

Figure 37 : Champ de vitesses rotation avec axe au barycentre, Kc=3.55

47

4.2.2.3 Résultats



Figure 38 : Résultats rotation axe au barycentre


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Cd

Kc

Cd

Figure 39 : Courbe Cd=f(Kc), Oyster rotation avec axe au barycentre

Kc Cd

1,12 1,47

1,30 1,51

1,49 1,54

1,65 1,55

1,87 1,53

2,20 1,45

2,67 1,27

3,11 1,22

3,55 1,15

4,13 1,08

4,56 0,97

4,84 0,93

5,50 0,86

6,20 0,81

7,05 0,83

Rotation

48

4.3 Rotation avec axe en bas




Figure 40 : Calculs en rotation avec axe en bas réalisés



suivent :

Kcx Vmax (m/s) ω (rad/s) Re

2,24 1,34 0,13 2,68E+06

2,6 1,56 0,16 3,11E+06

2,98 1,78 0,18 3,57E+06

3,3 1,98 0,20 3,95E+06

3,74 2,24 0,22 4,48E+06

4,4 2,63 0,26 5,27E+06

5,34 3,20 0,32 6,40E+06

6,22 3,72 0,37 7,45E+06

7,1 4,25 0,43 8,50E+06

8,26 4,95 0,49 9,89E+06

9,12 5,46 0,55 1,09E+07

9,68 5,80 0,58 1,16E+07

11 6,59 0,66 1,32E+07

49

Figure 41 : Champ de vitesses rotation avec axe en bas, Kc=3.55

50

4.3.3 Résultats



Figure 42 : Résultats Rotation avec axe en bas


0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

0 2 4 6 8 10 12

Cd

Kc

Cd

Figure 43 : Courbe Cd=f(Kc), Oyster rotation avec axe en bas

Kc Cd

2,24 14,68

2,60 14,15

2,98 12,48

3,30 11,34

3,74 10,73

4,40 9,74

5,34 9,43

6,22 8,14

7,10 7,58

8,26 7,71

9,12 7,42

9,68 6,84

11,00 9,63

Rotation axe en bas

51

4.4 Calcul des Cd du mouvement complexe par décomposition

Suite aux calculs des Cd par simulation numérique et analyse aux moindres carrés, l’objectif

était de relier les Cd obtenus pour le mouvement complexe à ceux du mouvement en

translation rectiligne et en rotation simple.

4.4.1 Décomposition du mouvement

La méthode qui a été mise en place est la décomposition de la rotation avec l’axe en bas en

la combinaison d’une translation rectiligne et d’une rotation avec l’axe au barycentre.

Figure 44 : Décomposition du mouvement

Un mouvement de rotation avec axe en bas a pour caractéristiques son taux de rotation ω et

sa vitesse à l’extrémité V.

Si l’on veut que la combinaison de la rotation centrée et de la translation corresponde à la

rotation avec l’axe en bas, il faut que la rotation centrée ait le même ω que celui du

mouvement complexe. On a donc :

Or

On obtient alors :

Les vitesses maximales aux extrémités pour cette rotation centrée sont alors V/2 et –V/2.

Pour compenser le déplacement du point le plus bas, pour qu’il reste immobile, la translation

doit être une oscillation en phase avec la rotation, et de vitesse maximale V/2.

En composant ces deux mouvements, on obtient le mouvement de rotation avec l’axe en

bas : la vitesse de rotation est ω, la vitesse maximale en haut est V/2, et le point bas reste

fixe.

Les vitesses maximales aux extrémités de ces deux mouvements simples valent (en absolu)

V/2, leur Kc correspond donc à la moitié de celui du mouvement complexe.

x

y

x

y

x

y

V

ω

V/2

V/2

ωC

V/2

-V/2

Translation : Kc/2 Rotation axe barycentre : Kc/2 Rotation axe en bas : Kc

52

Une rotation avec l’axe en bas de Kc donné peut ainsi se décomposer en une translation et

une rotation centrée de paramètre Kc/2.

4.4.2 Calculs des Cd décomposés

Une fois le mouvement décomposé, le Cd du mouvement complexe doit être relié à ceux des

mouvements simples. Les efforts et les moments s’exerçant pour les translations et les

rotations sont connus. Il a été considéré que, lors de la combinaison des mouvements

simples, les efforts s’exerçant sur le corps sont la somme des efforts en translation et du

moment en rotation.

Figure 45 : Force et couple s'exerçants sur les mouvements simples

Les expressions de cette force et de ce moment sont :

| | et

| |

Il faut donc calculer les moments correspondants au point d’application en bas du corps.

MR est un couple, son expression ne dépend donc pas du point d’application. Pour ce qui est

de FT, le moment MT correspondant s’exprime de la façon suivante :

| |

Or et

on a alors :

| |

Le moment total vaut donc :

( ) | |

Or, selon la formulation de Morison on a :

x

y

x

y Translation Rotation

FT MR

53

| |

Ainsi le Cd correspondant à la combinaison des deux mouvements a pour expression :

où CDT et CDR sont calculés à Kc/2.

4.4.3 Comparaisons des approches directe et décomposée

Les Cd relatifs à la décomposition du mouvement complexe sont calculés puis comparés à

ceux obtenus par simulation et modélisation directe aux moindres carrés.

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

0 2 4 6 8 10 12

Cd

Kc

Cd Approche directe

Cd - Décomposition

Figure 46 : Comparaison des résultats

Comme précédemment, la comparaison directe des Cd permet d’avoir une idée de leur

pertinence. Mais pour comparer précisément les résultats, il faut recourir à l’erreur RMS.

L’erreur RMS normalisée a été calculée pour tous les Cd obtenus par la modélisation directe

aux moindres carrés. Puis les Cd obtenus par la méthode décomposée ont été injectés dans

la formulation de Morison et l’erreur faite avec ces Cd a été calculée. Les résultats donnés

par les deux approches ont donc pu être comparés par le biais de l’erreur RMS qu’ils

permettent d’obtenir.

L’évolution de l’erreur pour les deux approches est représentée dans la courbe qui suit :

54

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0

Erre

ur

RM

S

Kc

RMS - Approche directe

RMS - Décomposition

Figure 47 : Comparaison des erreurs RMS

Dans le cas étudié, la méthode de décomposition du mouvement semble encore une fois

donner de bons résultats. L’écart entre l’erreur faite par modélisation directe au moindres

carrés et celle faite lorsque l’on décompose le mouvement est faible.

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

Erre

ur

RM

S

Kc

ΔRMS

Figure 48 : Evolution de l'écart des erreurs RMS des deux méthodes

55

Le tracé de l’écart entre l’erreur RMS des deux méthodes fait apparaitre que la différence est

au maximum de 2.43% pour de grand Kc et reste inférieur à 1.12% sur toute la plage de Kc

compris entre 2 et 10. La méthode de décomposition du mouvement permet donc d’obtenir

des efforts de trainée extrêmement proches de ceux obtenus par simulation via un code

CFD.

La méthode proposée parait tout à fait cohérente au vu des résultats obtenus sur ce

deuxième cas 2D.

5 Conclusion L’objectif de cette étude est une première validation d’une méthode de calculs des

coefficients de trainée dans le cas du mouvement d’un convertisseur d’énergie de la houle à

plusieurs degrés de liberté. L’approche proposée est une décomposition du mouvement sur

les degrés de liberté qui le composent.

L’approche proposée est la suivante :

Décomposition du mouvement suivant les degrés de liberté qui le composent

Calcul des coefficients de trainée pour ces mouvements à un seul degré de liberté à

l’aide d’un code CFD

Calculs des CD du mouvement complexe par combinaison des CD obtenus pour les

mouvements à un seul degré de liberté

Pour effectuer la première évaluation de cette méthode, un essai est effectué sur deux

géométries simples, chacune animée d’un mouvement complexe. La méthodologie mise en

place se décompose de la façon suivante :

Décomposition du mouvement complexe en mouvements simples.

Simulation des mouvements simples à l’aide d’un code CFD, puis calcul des CD par


numériquement.

Simulation du mouvement complexe à l’aide d’un code CFD, puis calcul des CD par


numériquement.

Recomposition des CD obtenus pour les mouvements à un DDL afin d’obtenir le CD

du mouvement complexe.

Comparaison des CD du mouvement complexe, obtenus par simulation numérique

directe et par décomposition du mouvement, afin d’évaluer la pertinence de la

méthode proposée.

A l’issue de ce travail, les résultats présentés montrent que la méthode de décomposition du

mouvement proposée donne de bons résultats sur les deux cas étudiés. Le calcul des efforts

réalisé grâce à cette approche donne, dans les deux cas, des résultats proches de ceux

obtenus par simulation numérique directe. En effet dans le cas du mouvement du batteur de

type Oyster, l’écart dans la modélisation du signal temporel est au maximum de 2.5%

d’erreur RMS. Pour le mouvement du carré l’écart et inférieur à 10% pour des Kc inférieur à

4.5.

56

Ce travail permet donc de dire que la méthode envisagée parait cohérente au vu des

résultats obtenus sur les deux cas étudiés.

Toutefois ces deux cas sont simples car ils sont en 2D, les objets sont complétement

immergés. Cette simplicité est loin de réfuter la méthode. Elle était en effet recherchée pour

une première étude, afin de mettre en place une méthodologie. Celle-ci étant concluante,

elle permet maintenant d’envisager une étape plus approfondie. Celle-ci devra s’attacher à

étudier la méthode sur des objets 3D et/ou traversant la surface libre.

57

6 Annexes

6.1 Equations de Navier-Stokes

Les équations sont formulées dans un espace cartésien

6.1.1 Hypothèses

Nous supposons les deux hypothèses suivantes :

Le fluide est considéré comme visqueux incompressible, homogène, isotrope et newtonien

L'écoulement est supposé instationnaire et tridimensionnel

6.1.2 Equations aux dérivées partielles

6.1.2.1 Equation de continuité L'équation de continuité s'obtient en appliquant le principe de la conservation de la masse en

description eulérienne. On raisonne en considérant un élément de fluide fixe . La masse

sortant de à travers la surface doit être égale au taux de décroissance de masse à

l'intérieur de ; ce qui s'exprime par :

6.1.2.1.1.1.1 ∬

∭

Le volume étant fixe, on peut appliquer la dérivée en temps à à l'intérieur de l'intégrale

de volume du terme de droite, et en faisant passer les deux termes du même côté, on obtient

:

6.1.2.1.1.1.2 ∬

∭

En appliquant le théorème d'Ostrogradski1 au premier terme, on a :

6.1.2.1.1.1.3 ∭ ( )

∭

Soit :

6.1.2.1.1.1.4 ∭ [ ( )

]

Le volume étant parfaitement arbitraire, la seule manière de vérifier l'équation 6.1.2.1.1.1.4

est que :

1 Théorème d'Ostrogradski : ∬ ∭

58

6.1.2.1.1.1.5 ( )

L'équation 6.1.2.1.1.1.5 est appelée équation de continuité.

L'écoulement étant supposé incompressible, on a :

6.1.2.1.1.1.6

L'équation de continuité devient alors dans cette hypothèse :

6.1.2.1.1.1.7 ( )

Ou encore :

6.1.2.1.1.1.8

Soit en utilisant la convention de sommation sur les indices répétés:

6.1.2.1.1.1.9

{ }

6.1.2.2 Equation de la quantité de mouvement Les équations de conservation de la quantité de mouvement s'obtiennent en écrivant que la

variation de quantité de mouvement d'un élément fluide de volume , délimité par une

surface , est égale à la somme des forces volumiques et surfaciques s'appliquant à cet

élément. En notant le tenseur des contraintes, les densités massiques des forces de

gravité et les densités massiques des efforts extérieurs s'exerçant sur le fluide, on obtient

sous forme intégrale :

6.1.2.2.1.1.1 ∭

∬

∭

∭

En appliquant le théorème d'Ostrogradski2 au premier terme de droite, on obtient :

6.1.2.2.1.1.2 ∭

∭

∭

∭

Soit :

6.1.2.2.1.1.3 ∭

∭ ( )

2 Théorème d'Ostrogradski : ∬ ∭

59

Le volume étant parfaitement arbitraire, la seule manière de vérifier l'équation 6.1.2.2.1.1.3

est que :

6.1.2.2.1.1.4

Avec l'hypothèse de fluide newtonien, le tenseur des contraintes s'écrit :

6.1.2.2.1.1.5 (

( )) (( ) ( )

)

Où représente la viscosité dynamique.

Compte tenu de l'hypothèse d'incompressibilité menant à l'équation de continuité pour un

écoulement incompressible 6.1.2.1.1.1.8 (divergence de la vitesse nulle), le tenseur des

contraintes peut se simplifier de la manière suivante :

6.1.2.2.1.1.6 (( ) ( ) )

Pour un fluide Newtonien incompressible, l'équation de quantité de mouvement s'écrit alors :

6.1.2.2.1.1.7

( ) (( ) ( )

)

Dans le cas d'un écoulement incompressible, le terme de diffusion se simplifie :

6.1.2.2.1.1.8

( ) ( )

En développant la dérivée particulaire, on obtient :

6.1.2.2.1.1.9

( )

( ) ( )

En utilisant la convention de sommation sur les indices répétés, l'équation de conservation

de la quantité de mouvement exprimée en coordonnées cartésiennes, s’écrit :

6.1.2.2.1.1.10

{ }

6.1.3 Equations de Navier-Stokes moyennées au sens de Reynolds

Les équations 6.1.2.1.1.1.9 et 6.1.2.2.1.1.10 décrites précédemment sont résolues

numériquement en décomposant les champs de vitesses et de pression en la somme d'une

partie moyenne et d'une partie fluctuante et en considérant par la suite la moyenne des ces

équations. Dans la littérature, ces équations sont appelées équations de Navier-Stokes

60

moyennées au sens de Reynolds ou bien RANSE (Reynolds Average Navier-Stokes

Equations).

En posant :

6.1.3.1.1.1.1

On obtient, pour l'équation de continuité :

6.1.3.1.1.1.2

Et pour l'équation de conservation de la quantité de mouvement :

6.1.3.1.1.1.3

{ }

On obtient alors un terme supplémentaire, appelé tenseur de Reynolds (corrélation des

vitesses fluctuantes)

qui traduit l'effet de la turbulence sur l'écoulement moyen. Pour

fermer le système d'équations ainsi obtenu, il est alors nécessaire d'utiliser un modèle de

turbulence (modèle de fermeture). Le modèle de fermeture le plus utilisé pour le tenseur de

Reynolds est fondé sur le concept de viscosité turbulente introduit par Boussinesq en 1877

(3). Cette hypothèse consiste à exprimer le tenseur des contraintes de Reynolds par

analogie avec le tenseur des contraintes visqueuses . On pose ainsi :

6.1.3.1.1.1.4 (

)

( ) { }

Où représente le symbole de Kroenecker, la viscosité turbulente et l'énergie

cinétique de turbulence. Ces deux derniers termes doivent être décrits par l'utilisation d'un

modèle de turbulence. Ce modèle de viscosité turbulente est à la base de la majorité des

modèles de turbulence utilisés dans les simulations numériques.

Le système à résoudre est donc le suivant :

6.1.3.1.1.1.5

{

(

)

{ }

On pose la pression dynamique , telle que:

61

6.1.3.1.1.1.6

Le système précédent devient alors :

6.1.3.1.1.1.7

{

(

)

(

)

{ }

Avec

Dans un référentiel lié à la carène avançant à la vitesse ce système devient :

6.1.3.1.1.1.8

{

(

)

(

)

{ }

Les inconnues ( ) de ce système sont définies par des modèles de turbulence plus ou

moins complexes.

6.1.4 Modélisation de la turbulence

La modélisation de la turbulence est un point particulièrement délicat de la mécanique des

fluides, et nécessaire pour la résolution des équations de Navier-Stokes moyennées au sens

de Reynolds. Ces modèles sont généralement classés en fonction de leur complexité, liée au

nombre d’équations permettant de les décrire.

La modèle de Spalart-Allmaras à une équation est testé dans la mise en place d’un cas de

validation mais, de manière classique, les codes de calcul Navier-Stokes actuels utilisent des

modèles de turbulence décrits par deux équations de transport, dont les plus connus et

utilisés sont les modèles et . Une description succinte de ces trois modèles de

turbulence est présentée dans ce chapitre.

6.1.4.1 Modèles à viscosité turbulente Par analogie avec le phénomène de diffusion moléculaire, les modèles s'appuyant sur le

concept de viscosité turbulente introduisent un coefficient de viscosité, caractérisé par une

échelle de vitesse fluctuante v et une échelle de longueur des structures tourbillonnaires l :

62

6.1.4.1.1.1.1

La modélisation des contraintes de Reynolds est alors assurée par l'hypothèse de

Boussinesq, qui relie le tenseur de Reynolds au tenseur des taux de déformation :

k représente l'énergie cinétique turbulente et le symbole de Kronecker. On détermine le

coefficient de viscosité turbulente en résolvant zéro, une, ou deux équations de transport,

permettant d'évaluer les échelles v et l. Les modèles à zéro équation, pour lesquels les

échelles sont données par des relations algébriques, ne seront pas utilisés à cause de leur

domaine d'application très limité.

6.1.4.2 Modèle de turbulence Spalart Allmaras

Le modèle de Spalart Allmaras (Spalart, Allmaras, 1992) est un modéle à une équation, qui

définit la viscosité turbulente par l'intermédiaire d'une variable de viscosité auxiliaire et

d'une fonction auxiliaire fv1 :

6.1.4.2.1.1.1

On résout l'équation de transport de la quantité :

6.1.4.2.1.1.2

( )

( )

[

( ( )

)

]

[

] [

]

Les termes au second membre représentent respectivement les termes de production, de

diffusion, de dissipation et de transition. Les coefficients et les fonctions auxiliaires

intervenant dans l'équation de transport sont déterminés à partir de modèles de base, pour

des écoulements cisaillés, de couche limite et avec transition. Les coefficients sont :

63

6.1.4.2.1.1.3

( )

( )

[

]

Les fonctions auxiliaires intervenant pour des écoulements proches paroi s'écrivent :

6.1.4.2.1.1.4

( )

√

Pour les zones à écoulement cisaillé et transitionnel, les fonctions auxiliaires sont :

6.1.4.2.1.1.5 (

[ ( ) ])

( )

{

}

représente la vorticité, la norme de l'écart de vitesse à la transition, t la taille de la

maille le long de la paroi au point de transition et d la distance à la paroi.

Le modèle de Spalart-Allmaras permet une amélioration notable des modèles algébriques,

tout en fournissant une alternative plus simple que les modèles à deux équations.

Néanmoins, son domaine d'application est encore limité, et les modèles à deux équations,

décrits dans la suite, sont à l'heure actuelle les plus utilisés en sciences de l'ingénieur.

6.1.4.3 Modèle de turbulence de Wilcox Le modèle de Wilcox (Wilcox, 1988) est un modèle à deux équations de transport, où sont

considérées l'énergie cinétique turbulente k, et la quantité , représentant une fréquence

caractéristique de la turbulence :

Viscosité cinématique de turbulence

6.1.4.3.1.1.1

Ces deux quantités vérifient les équations de transport :

64

Equation de l'énergie cinétique de turbulence

6.1.4.3.1.1.2

[( )

]

Equation du taux de dissipation

6.1.4.3.1.1.3

[( )

]

Coefficients du modèle

6.1.4.3.1.1.4

(

)

√

Les deux équations de transport 6.1.4.3.1.1.2 et 6.1.4.3.1.1.3 sont alors résolues à chaque

itération, à partir de la connaissance des champs de vitesses moyens.

Des modèles plus évolués ont récemment montré un grand intérêt pour des applications de

calculs de navire, permettant une meilleure prise en compte de la description du sillage

derrière les carènes. On peut citer notamment le modèle de turbulence SST (Shear

Stress Transport) par Menter (Menter, 1994).

6.1.4.4 Modèle de turbulence de Menter Pour le modéle BSL (BaSeLine) (Menter, 1993), Menter propose de modifier le modèle

de Wilcox, en retenant son expression à proximité de la paroi et en adoptant le

comportement d'un modéle au loin, tout en gardant une formulation avec les variables

k et . La transition est assurée par une fonction modifiant les coefficients du modèle.

Le modèle SST (Menter, 1994) (Shear Stress Transport) reprend la formulation

précédente. De plus, la viscosité turbulente utilisée fait intervenir le transport du cisaillement

turbulent :


6.1.4.4.1.1.1

( )

représente la vorticité. La fonction auxiliaire F2 est définie à partir de la distance à la paroi y :

65


6.1.4.4.1.1.2

[( )

]

{ }

Equation du taux de dissipation

6.1.4.4.1.1.3

[( )

]

( )

{ }

Coefficients du modèle SST et relations auxiliaires

6.1.4.4.1.1.4

(

)

(

)

√

(

)

( )

(

)

{{ [ (√

)

]}

}

[[ ( √

)]

]

(

)

√

√

66

6.1.4.5 Modèle de turbulence

Le modèle de turbulence est un modèle à deux équations dans lequel les équations de

transport sont résolues pour l’énergie cinétique turbulente et le taux de dissipation .

Equations de transport pour le modèle standard


6.1.4.5.1.1.1

( )

( )

[(

)

]

Equation de dissipation

6.1.4.5.1.1.2

( )

( )

[(

)

]

( )


6.1.4.5.1.1.3

Production d’énergie cinétique de turbulence

6.1.4.5.1.1.4

√

Effet de flottabilité

6.1.4.5.1.1.5

Avec le nombre de Prandtl et la composante du vecteur gravitationnel dans la direction

i. Pour le modèle de turbulence standard, la valeur par défaut du nombre de Prandtl est 0.85.

Le coefficient d’extension thermique est défini par :

6.1.4.5.1.1.6

(

)

Coefficients du modèle et relations auxiliaires

6.1.4.5.1.1.7

67

6.2 Simulations réalisées pour le mouvement à 2 DDL du carré 2D

R (m) Ө0 (deg)

1,5 0,211

0,0633 5,000

0,03165 10,001

0,01583 19,995

0,01055 30,002

0,00791 40,015

0,00633 50,003

0,00528 59,946

0,00452 70,026

0,00396 79,929

0,00352 89,920

Kc = 1,3

R (m) Ө0 (deg)

1 0,536

0,10713 5,000

0,05356 10,001

0,02678 20,002

0,01785 30,008

0,01339 40,003

0,01071 50,013

0,00893 59,983

0,00765 70,019

0,00669 80,066

0,00595 90,024

Kc = 2,2

R (m) Ө0 (deg)

1,5 0,505

1 0,757

0,37860 2,000

0,15144 5,000

0,07572 10,000

0,03786 20,000

0,02524 30,000

0,01514 50,014

0,01082 69,982

0,00841 90,036

Kc = 3,11 R (m) Ө0 (deg)

1,5 0,576

0,17287 5,000

0,08643 10,000

0,04322 19,999

0,02881 30,001

0,02161 39,997

0,01729 49,990

0,01441 59,982

0,01235 69,987

0,0108 80,031

0,0096 90,035

Kc = 3,55

68

6.3 Cd obtenus par simulation pour le mouvement à 2DDL du carré 2D

R (m) Ө0 (deg)

3 0,45

0,26782 5,00

0,13391 10,00

0,06696 20,00

0,04464 30,00

0,03348 40,00

0,02678 50,00

0,02232 60,00

0,01913 70,00

0,01674 79,99

0,01488 89,99

Kc = 5,5

R (m) Ө0 (deg)

3 0,572

0,3433 5,000

0,17165 10,000

0,08582 20,001

0,05722 29,998

0,04291 40,002

0,03433 50,000

0,02861 59,996

0,02452 70,004

0,02146 79,986

0,01907 90,010

Kc = 7,05


1,5 0,2 3,77 6,000

0,0633 5,0 3,77 6,004

0,0317 10,0 3,77 5,999

0,0158 20,0 3,78 5,97

0,0106 30,0 3,80 5,92

0,0079 40,0 3,81 5,86

0,0063 50,0 3,83 5,79

0,0053 59,9 3,84 5,73

0,0045 70,0 3,85 5,68

0,0040 79,9 3,87 5,62

0,0035 89,9 3,91 5,56

Kc = 1,3

69


1 0,5 3,64 5,543

0,1071 5,0 3,64 5,534

0,0536 10,0 3,65 5,521

0,0268 20,0 3,68 5,44

0,0179 30,0 3,71 5,26

0,0134 40,0 3,69 5,04

0,0107 50,0 3,60 4,89

0,0089 60,0 3,50 4,83

0,0077 70,0 3,43 4,77

0,0067 80,1 3,40 4,69

0,0060 90,0 3,40 4,60

Kc = 2,2


1,5 0,5 3,23 7,560

1,0000 0,8 3,23 7,564

0,3786 2,0 3,23 7,549

0,1514 5,0 3,23 7,37

0,0757 10,0 3,26 6,97

0,0379 20,0 3,40 5,53

0,0252 30,0 3,62 4,54

0,0151 50,0 3,58 4,47

0,0108 70,0 3,41 4,24

0,0084 90,0 3,29 4,02

Kc = 3,11


1,5 0,6 2,91 11,231

0,1729 5,0 2,94 9,067

0,0864 10,0 3,00 5,381

0,0432 20,0 3,51 1,54

0,0288 30,0 4,10 1,61

0,0216 40,0 3,29 4,77

0,0173 50,0 3,39 4,47

0,0144 60,0 3,43 4,29

0,0124 70,0 3,37 4,20

0,0108 80,0 3,32 4,10

0,0096 90,0 3,39 3,74

Kc = 3,55

70


3 0,4 2,12 -

0,2678 5,0 2,52 -

0,1339 10,0 2,77 1,201

0,0670 20,0 3,10 4,12

0,0446 30,0 3,46 4,57

0,0335 40,0 4,04 2,63

0,0268 50,0 4,76 2,77

0,0223 60,0 5,59 1,50

0,0191 70,0 4,93 1,44

0,0167 80,0 5,37 2,40

0,0149 90,0 4,30 3,37

Kc = 5,5


3 0,6 1,92 -

0,3433 5,0 2,07 -

0,1717 10,0 2,30 6,252

0,0858 20,0 2,76 6,15

0,0572 30,0 3,07 5,91

0,0429 40,0 3,67 3,19

0,0343 50,0 4,43 2,60

0,0286 60,0 5,64 0,38

0,0245 70,0 5,96 0,57

0,0215 80,0 5,63 0,81

0,0191 90,0 5,76 1,70

Kc = 7,05

71

6.4 Comparaison des Cd obtenus par décomposition et par simulation

directe

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0

Cd

Angle (deg)

Arc de cercle, Kc=1.3

Cdx simulation directe

Cdy simulation directe

Cdx décomposition

Cdy décomposition

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0

Cd

Angle

Arc de cercle, Kc=3.5



Cdx décomposition

Cdy décomposition

72

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0

Cd

Angle

Arc de cercle, Kc= 5,5



Cdx décomposition

Cdy décomposition

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0

Cd

Angle (deg)

Arc de cercle, Kc= 7,05

Cdx simulation

directeCdy simulation

directeCdx décomposition

Cdy décomposition

rapport de tfe - centrale...

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