AUTOMATIQUESystmes linaires, non linaires, temps continu, temps discret,reprsentation d'tatCours et exercices corrigsYves GranjonProfesseur l'Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL)et directeur de l'ENSEM Nancy2e ditionIllustration de couverture : Simon Osbourne, Digital Vision Dunod, Paris, 2001, 2010ISBN 978-2-10-055087-6Table des matiresAVANT-PROPOS XVPREMIRE PARTIEMODLISATION DES SIGNAUX ET DES SYSTMES LINAIRES CONTINUSCHAPITRE 1 MODLISATION DES SYSTMES LINAIRES. NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT 31.1 Introduction 31.2 Notion de signal 41.2.1 Signaux temporels 41.2.2 Principe de causalit 41.2.3 Signaux non temporels 41.3 Le cas des systmes linaires 51.4 La transformation de Laplace 51.4.1 Dnition 51.4.2 Proprits fondamentales de la transformation de Laplace 51.4.3 Transforme de Laplace inverse 81.5 Transformes de Laplace de quelques signaux usuels 91.5.1 chelon unit 91.5.2 Rampe ou chelon de vitesse 91.5.3 Impulsion unitaire 101.5.4 Signal sinusodal 101.5.5 Signaux quelconques 111.6 Fonction de transfert dun systme 111.6.1 Dnition 111.6.2 Mise en cascade de deux systmes 121.6.3 Original dune fonction de transfert 121.7 Rsolution dun problme laide de la fonction de transfert 121.7.1 Principe 121.7.2 Exemples 13EXERCICES 15SOLUTIONS 17VI Table des matiresCHAPITRE 2 MODLISATION FRQUENTIELLE DES SIGNAUX TEMPORELS. NOTION DE SPECTRE 232.1 Description des signaux 232.1.1 Lexemple du signal sinusodal 232.1.2 Reprsentation dun signal compos 242.1.3 Notion de spectre 242.2 Cas des signaux priodiques 252.2.1 Dcomposition en srie de Fourier 252.2.2 Exemple de calcul dun spectre : signal en dents de scie 262.2.3 Dcomposition en srie de Fourier laide de Mathematica 272.3 Cas des signaux non priodiques nergie nie 282.3.1 Dnition 282.3.2 Transforme de Fourier et spectre des signaux non priodiques nergie nie 282.3.3 Exemple de calcul du spectre dun signal non priodique nergie nie 292.3.4 Relation entre la transforme de Fourier et la transforme de Laplace 292.3.5 galit de Parseval 302.3.6 Calcul dune transforme de Fourier laide de Mathematica 31EXERCICES 31SOLUTIONS 34CHAPITRE 3 MODLISATION FRQUENTIELLE DES SYSTMES LINAIRES CONTINUS 413.1 Dnitions 413.2 Diagrammes de Bode 423.2.1 Dnition 423.2.2 Exemple : diagramme de Bode dun systme du premier ordre 423.3 Approche mthodique du trac des Diagrammes de Bode 443.3.1 Objectif 443.3.2 Construction dun diagrame de gain asymptotique 443.3.3 Mthode rapide 463.3.4 Cas particuliers 473.4 Diagramme de Nyquist 503.4.1 Dnition 503.4.2 Mthode de trac rapide 50EXERCICES 51SOLUTIONS 53CHAPITRE 4 TUDE SYSTMATIQUE DES SYSTMES DU PREMIER ET DU SECOND ORDRE 644.1 Mthodes dtude et dnitions 644.2 tude des systmes du premier ordre 644.2.1 Mise en quation 644.2.2 Rponse une impulsion de Dirac 654.2.3 Rponse indicielle 654.2.4 Rponse une entre en rampe 664.2.5 tude frquentielle dun systme dordre 1 67Table des matires VII4.3 tude des systmes du second ordre 704.3.1 Mise en quation 704.3.2 Rponse indicielle 704.3.3 Diagramme de Bode 724.3.4 Diagramme de Nyquist 79EXERCICES 80SOLUTIONS 81DEUXIME PARTIEAUTOMATIQUE DES SYSTMES LINAIRESCHAPITRE 5 PROBLMATIQUE GNRALE DE LAUTOMATIQUE.MISE EN QUATION DES ASSERVISSEMENTS LINAIRES895.1 Introduction 895.2 Inconvnients de la commande en boucle ouverte 895.3 Principe de la commande en boucle ferme 905.4 Modlisation dune boucle de rgulation 925.5 Le problme de la stabilit 935.6 Les performances dun systme rgul 93EXERCICES 94SOLUTIONS 98CHAPITRE 6 STABILIT DES SYSTMES LINAIRES ASSERVIS 1046.1 Critre mathmatique de stabilit 1046.1.1 nonc du critre de stabilit 1046.1.2 Inconvnients du critre mathmatique 1066.2 Critre algbrique de Routh 1066.2.1 Principe 1066.2.2 Exemple 1076.3 Critre de Nyquist 1086.4 Critre du revers 1136.5 Marges de stabilit 1136.5.1 Concept de marge de stabilit 1136.5.2 Marge de gain 1146.5.3 Marge de phase 1166.6 Inuence du gain sur la stabilit 118EXERCICES 119SOLUTIONS 121VIII Table des matiresCHAPITRE 7 PERFORMANCES DES SYSTMES LINAIRES ASSERVIS 1277.1 Problmatique gnrale 1277.2 Prcision dun systme asservi 1287.2.1 Erreur statique ou erreur de position 1287.2.2 Erreur de vitesse ou erreur de tranage 1307.3 Rapidit des systmes rguls 1317.3.1 Dnitions 1317.3.2 Temps de monte dun systme du second ordre 1337.3.3 Gnralisation 1357.4 Limitation du dpassement 1357.4.1 Dpassement pour un systme du second ordre 1357.4.2 Relation entre la marge de phase et le dpassement en boucle ferme pour un systmedu second ordre 1367.4.3 Gnralisation 1377.5 Inuence du gain statique en boucle ouverte sur les performancesen boucle ferme 1377.6 tude de cas 1387.6.1 nonc du problme. Cahier des charges 1387.6.2 tude de la stabilit 1397.6.3 Rglage du gain 1397.6.4 Prdiction du temps de monte en boucle ferme 1407.6.5 Conclusion 140EXERCICES 141SOLUTIONS 142CHAPITRE 8 CORRECTION DES SYSTMES LINAIRES ASSERVIS 1478.1 Cahier des charges dun asservissement 1478.2 Principe gnral de la correction dun systme 1488.3 Actions correctives lmentaires 1488.3.1 Correcteur proportionnel 1488.3.2 Correcteur intgral 1498.3.3 Correcteur action drive 1508.4 Inconvnient fondamental des actions correctives lmentaires 1528.5 Action proportionnelle intgrale. Correcteur retard de phase 1538.6 Action proportionnelle drive. Correcteur avance de phase 156EXERCICES 159SOLUTIONS 161Table des matires IXTROISIME PARTIEAUTOMATIQUE DES SYSTMES CONTINUS NON LINAIRESCHAPITRE 9 ANALYSE DES ASSERVISSEMENTS CONTINUS NON LINAIRES 1739.1 Introduction 1739.1.1 Gnralits 1739.1.2 Diffrents types de non-linarits 1739.2 tude du domaine de linarit dun systme 1749.2.1 Le phnomne de saturation 1749.2.2 Dtermination du domaine de linarit dun systme asservi 1759.3 Caractristiques de certains organes non linaires 1779.3.1 Systmes tout ou rien 1779.3.2 Systmes hystrsis 1789.3.3 Caractristiques complexes 1789.4 Asservissements non linaires sparables 1799.5 tude dun systme sparable par la mthodedu premier harmonique 1819.5.1 Principe 1819.5.2 Gain complexe quivalent 1819.5.3 Notion de lieu critique 1829.5.4 Exemple 1829.5.5 Justication de la mthode du premier harmonique 1839.5.6 Mthode de calcul approch du gain complexe quivalent 183EXERCICES 183SOLUTIONS 185CHAPITRE 10 MTHODES DTUDE DES ASSERVISSEMENTS CONTINUS NON LINAIRES 18910.1 Stabilit des systmes non linaires 18910.1.1 Fonction de transfert gnralise 18910.1.2 Principe de ltude 19010.1.3 Exemple 19010.2 Mthode dtude par le lieu de Cypkin 19210.2.1 Principe 19210.2.2 Exemple 19310.3 Mthode du plan de phase 19510.3.1 Principe 19510.3.2 Trac des trajectoires 19510.3.3 Analyse des trajectoires et diagnostic du systme 197EXERCICES 198SOLUTIONS 199X Table des matiresQUATRIME PARTIEAUTOMATIQUE DES SYSTMES CHANTILLONNSCHAPITRE 11 MODLISATION DES SIGNAUX ET DES SYSTMES CHANTILLONNS 20511.1 Introduction 20511.2 Principes fondamentaux de lchantillonnage des signaux 20611.2.1 Dnition 20611.2.2 Spectre dun signal chantillonn 20711.2.3 Thorme de Shannon 20811.3 Exemples de signaux chantillonns simples 20811.3.1 Impulsion unit 20811.3.2 chelon unit 20911.4 Transforme en z des signaux chantillonns 21011.4.1 Dnition 21011.4.2 Intrt de la transforme en z 21111.4.3 Proprits de la transforme en z 21111.4.4 Transforme en z de signaux usuels 21211.4.5 Calculs de transformes en z laide de Mathematica 21311.5 Fonction de transfert en z 21311.5.1 Relations entre chantillons de sortie et chantillons dentre 21311.5.2 Dnition de la fonction de transfert en z 21511.5.3 Exemples de fonctions de transfert en z 21611.6 Transforme de Fourier temps discret 21711.6.1 Dnition 21711.6.2 Exemple 21711.7 Comportement frquentiel des systmes echantillonns 21911.7.1 Principes gnraux 21911.7.2 Exemple 21911.8 Relations entre les modles temps continu et temps discret 22011.8.1 Problmatique 22011.8.2 quivalence la drivation 22111.8.3 quivalence lintgration 22311.8.4 quivalence la rponse impulsionnelle. quivalence modale 22311.8.5 quivalence dune association de plusieurs systmes 224EXERCICES 225SOLUTIONS 228CHAPITRE 12 STABILIT ET PERFORMANCES DES SYSTMES CHANTILLONNS ASSERVIS 23912.1 Mise en quation des asservissements chantillonns 23912.1.1 Fonction de transfert en boucle ferme 23912.1.2 Relation temps continu temps discret en boucle ferme 240Table des matires XI12.2 Stabilit des asservissements chantillonns 24112.2.1 Critre mathmatique de stabilit 24112.2.2 Critre algbrique de Jury 24312.2.3 Utilisation du critre de Routh 24512.2.4 Inuence de la frquence dchantillonnage sur la stabilit 24512.3 Asservissements continus commands ou corrigs en temps discret 24712.3.1 Dnition 24712.3.2 Interfaage entre un systme discret et un systme continu 24712.3.3 Premire mthode dtude simple : recherche dun systme temps continu quivalent 24812.3.4 Deuxime mthode dtude simple : recherche dun systme temps discret quivalent 24912.4 Prcision des asservissements chantillonns 24912.4.1 Erreurs de position et de vitesse 24912.4.2 Prcision dun systme chantillonn du premier ordre 25012.5 Performances dynamiques dun systme chantillonn 25212.5.1 Fonction de transfert chantillonne quivalente un systme du second ordre 25212.5.2 Prvision des performances dynamiques 253EXERCICES 256SOLUTIONS 258CHAPITRE 13 CORRECTION DES SYSTMES CHANTILLONNS ASSERVIS 27413.1 Principes gnraux 27413.1.1 Rappel du cahier des charges dun asservissement 27413.1.2 Rle du correcteur 27413.1.3 Correction numrique dun systme temps continu 27513.1.4 Problmes spciques lis aux correcteurs numriques 27513.2 Tentatives dactions correctives simples 27613.2.1 Amlioration de la prcision 27613.2.2 Compensation de la perte de stabilit par placement des ples 27913.2.3 Action drive 28013.3 Synthse dun correcteur numrique par discrtisation dun correcteur continu 28313.3.1 Principe 28313.3.2 Exemple 28413.4 Synthse dun correcteur numrique par mthode polynomiale 28713.4.1 Principe 28713.4.2 Exemple 288EXERCICES 289SOLUTIONS 290XII Table des matiresCINQUIME PARTIEREPRSENTATION DTAT DES SYSTMESCHAPITRE 14 REPRSENTATION DTAT DES SYSTMES TEMPS CONTINU 29714.1 Dnitions 29714.1.1 tat dun systme et variables dtat 29714.1.2 Modlisation du fonctionnement du systme 29814.1.3 Cas gnral 29914.2 Rsolution des quations dtat 30014.2.1 tude pralable 30014.2.2 Gnralisation au systme vectoriel 30014.2.3 Calcul de la matrice de transition 30014.2.4 Calcul de ltat dun systme en fonction dun signal de commande 30614.3 Commandabilit dun systme 30714.3.1 Dnitions 30714.3.2 Critre de Kalman 30814.3.3 Exemple 30814.3.4 Calcul de la commande dun systme 30914.3.5 Cas des systmes non commandables 31114.4 Observabilit de ltat dun systme 31114.4.1 Dnition 31214.4.2 Critre dobservabilit 31214.4.3 Cas des systmes non observables 31214.5 Relation entre la reprsentation dtat et la fonction de transfert dun systme 31314.5.1 Reprsentation dtat partir de la fonction de transfert 31314.5.2 Calcul de la fonction de transfert partir de la reprsentation dtat 319EXERCICES 320SOLUTIONS 322CHAPITRE 15 REPRSENTATION DTAT DES SYSTMES TEMPS DISCRET 33215.1 Principe gnral 33215.1.1 Variables dtat en temps discret 33215.1.2 Modlisation du fonctionnement du systme 33315.2 Rsolution des quations dtat 33415.2.1 Prdiction de ltat du systme un instant quelconque 33415.2.2 Exemple 33415.3 Commandabilit dun systme temps discret 33515.3.1 Accessibilit 33515.3.2 Critre de commandabilit 33515.4 Observabilit de ltat dun systme 33615.4.1 Dnition 33615.4.2 Critre dobservabilit 33615.4.3 Exemple 336Table des matires XIII15.5 Relation entre la reprsentation dtat et la fonction de transfert dun systme 33715.5.1 Reprsentation dtat partir de la fonction de transfert 33715.5.2 Calcul de la fonction de transfert partir de la reprsentation dtat 34015.6 Commande chantillonne dun systme temps continu 34115.6.1 Comportement du systme 34115.6.2 Inuence de la priode dchantillonnage sur lobservabilit et la commandabilit 342EXERCICES 342SOLUTIONS 344CHAPITRE 16 COMMANDE PAR RETOUR DTAT. ESTIMATEURS, OBSERVATEURS ET PRDICTEURS 34716.1 Principe gnral de la commande par retour dtat 34716.1.1 Vecteur de gain 34716.1.2 Fonction de transfert en boucle ferme 34816.1.3 Dtermination du vecteur dtat 34916.2 Commandabilit en modes en temps continu 34916.2.1 Dnition 34916.2.2 Critre de commandabilit en modes 34916.2.3 Cas des systmes non commandables 35016.2.4 Exemple de placement des ples pour un systme commandable 35016.2.5 Exemple pour un systme non commandable 35116.3 Commandabilit en temps discret : rponse pile 35216.3.1 Problmatique 35216.3.2 Rsolution du problme 35316.4 Observateurs et estimateurs dtat 35416.4.1 Observateur asymptotique en temps continu 35416.4.2 Prdicteur en temps discret 356EXERCICES 357SOLUTIONS 359CHAPITRE 17 SYSTMES VNEMENTS DISCRETS, LE MODLE GRAFCET 36617.1 Dnition 36617.1.1 Les systmes vnements discrets 36617.1.2 Le modle GRAFCET 36617.1.3 Analyse du systme 36717.1.4 Notions dentres et de sorties 36717.2 Principes de reprsentation 36817.2.1 Notion dtape et de liaison 36817.2.2 Notion de transition 36817.2.3 Exemple 36917.2.4 Rgles de construction dun GRAFCET 36917.3 Diffrents types daction 37117.3.1 Actions continues 37117.3.2 Actions mmorises 37117.3.3 Actions conditionnelles 371XIV Table des matires17.3.4 Actions temporises 37117.4 volution dun GRAFCET 37117.4.1 tat initial dun systme 37117.4.2 Rgles de franchissement des transitions 37117.4.3 Notion dvolution fugace 37317.5 tude de cas 374EXERCICES 376SOLUTIONS 378ANNEXE A TABLE DES TRANSFORMES DE LAPLACE 382ANNEXE B ABAQUE DES RPONSES INDICIELLES DUN SYSTME DU SECOND ORDRE 383ANNEXE C TABLE DES TRANSFORMES EN z 384ANNEXE D QUIVALENCE ENTRE FONCTIONS DE TRANSFERT EN TEMPS CONTINUET EN TEMPS DISCRET386ANNEXE E FORMULAIRE 388ANNEXE F MEMENTO DE CALCUL MATRICIEL 391INDEX 395Avant-proposLautomatique est la discipline qui, dune manire gnrale, traite de la commande des systmes. Elle revtdonc un caractre trs important dans le domaine industriel auquel elle apporte la fois des solutions, desmthodes dtude ainsi que des dmarches systmatiques danalyse.Cet ouvrage couvre ltendue de ces mthodes et correspond globalement aux programmes en vigueurdans la plupart des licences et matrises EEA et des coles dingnieurs. Le lecteur y trouvera donc, sparsen plusieurs parties, tous les aspects de lautomatique : systmes linaires ou non linaires, systmes tempscontinu et temps discret, reprsentation dtat. Par une approche pdagogique progressive, il intresseragalement tous les tudiants qui abordent lautomatique en premier cycle : DEUG, IUT, etc.La prsentation de cet ouvrage respecte lordre chronologique dans lequel la discipline est en gnralaborde et se compose de six parties correspondant aux thmes essentiels couverts par lautomatique.La premire partie est consacre aux mthodes de base de la modlisation des systmes linaires conti-nus. Elle contient lensemble des notions essentielles ltude gnrale de lautomatique, concepts quirestent valables dans toute la suite de ltude, y compris pour les systmes non linaires ou temps discret.Il est conseill au lecteur de naborder la suite de ltude quune fois ces notions matrises : transformationde Laplace, spectre, comportement frquentiel, etc.Ltude de lautomatique proprement dite, savoir les systmes boucls, dbute vritablement avec ladeuxime partie ; toutes les notions essentielles (mises en quation, stabilit, performances et correction)y sont abordes propos des systmes linaires temps continu. Ces principes restant valables pour lessystmes non linaires ou temps discret, il est recommand au lecteur de sassurer que ces bases sont bienacquises avant daborder les autres parties de ce livre.La troisime partie concerne ltude des systmes non linaires. Deux chapitres sont consacrs cettepartie de lautomatique qui apparat souvent comme lune des plus dlicates, compte tenu de labsence demthodologie gnrale applicable lensemble des systmes non linaires. Pour cette raison, les systmesnon linaires sont abords diffremment des systmes linaires : les mthodes les plus couramment utilisessont prsentes et dtailles en explicitant les cas pour lesquels elles sappliquent. Cette prsentation napas lambition dtre exhaustive mais a pour vocation de sensibiliser le lecteur aux difcults lies la miseen uvre de tels systmes.La quatrime partie est consacre une branche essentielle de lautomatique : les systmes tempsdiscret. Toutes les notions prsentes (modlisation, stabilit, performances et correction) permettront ltudiant dacqurir la matrise dune discipline qui joue un rle croissant dans le dveloppement industrielde lautomatique.La cinquime partie aborde la reprsentation dtat des systmes, partie beaucoup plus moderne delautomatique qui permet, grce des modlisations diffrentes de celles abordes jusqualors, dappr-hender des systmes plus complexes et de fournir des mthodes dtudes et des rponses scientiques ettechnologiques plus prcises aux problmes gnraux lis lautomatique des systmes rels.Pour nir, une sixime partie, compose dun seul chapitre, traite du modle GRAFCET, qui constituelun des fondements de ltude des systmes vnements discrets.Dans lensemble de louvrage, nous avons volontairement choisi de dtailler tous les dveloppementsthoriques permettant au lecteur daccder rapidement une meilleure comprhension de la discipline.En revanche, certaines parties calculatoires ont t rduites, prfrant renvoyer le lecteur lutilisation delogiciels de calcul formel dont lusage est aujourdhui courant en automatique.XVI Avant-proposCe livre, qui est un ouvrage de rfrence dans le domaine de lautomatique, a t conu avec le soucide la pdagogie. Je formule donc le souhait que tout tudiant en ayant fait lacquisition puisse y trouver lescls de sa russite. propos de MathematicaNous avons fait le choix, dans cette dition, dillustrer un certain nombre dlments thoriques avec unlogiciel de calcul formel : Mathematica. linstar dautres produits comme Matlab ou Maple, ce logicielpeut tre dune grande utilit puisquil permet de saffranchir dun certain nombre de calculs fastidieux. Ilpeut aussi fournir une aide prcieuse pour la vrication des rsultats obtenus. Nanmoins, cet ouvrage neconstitue en aucune manire un ouvrage de rfrence sur Mathematica. Notre propos se limite, cet gard, montrer comment certains rsultats peuvent tre obtenus facilement et rapidement. Nous nutiliserons pasce logiciel systmatiquement et le lecteur qui ne disposerait pas de cet outil ne sera pas pnalis.Il nous parat important de mettre en garde le lecteur qui voudrait utiliser frquemment Mathematicacontre un certain nombre derreurs souvent commises ; les quelques conseils qui suivent devraient lui treutiles : ne pas chercher utiliser systmatiquement un logiciel de calcul lorsquune approche simple est pos-sible ; les logiciels comme Mathematica offrent en gnral des possibilits phnomnales et il nest pas tou-jours ais de sy retrouver facilement : ne pas hsiter utiliser laide en ligne du logiciel qui regorgedexemples simples ; Mathematica est un logiciel trs exigeant en termes de syntaxe. Certaines erreurs sont dtectes par lelogiciel, dautres pas. Cela signie quen cas derreur de saisie, loutil peut trs bien calculer malgrtout un rsultatqui sera pourtant erron. Il convientpar consquentde restervigilantet de ne pashsiter tester les commandes sur des cas simples pour lesquels on peut facilement vrier le rsultatmanuellement.Y. G.PREMIRE PARTIEModlisation des signauxet des systmes linaires continusChapitre 1Modlisation des systmes linairesNotion de fonction de transfert1.1 INTRODUCTIONLa plupart des systmes physiques peuvent tre dcrits comme tant des oprateurs faisant correspondre desrponses R des sollicitations S (gure 1.1). Ainsi, un systme lectrique pourra tre tudi et caractrisen exprimant une tension de sortie (rponse) en fonction dune tension dentre (sollicitation). Ou encore,la position dun amortisseur de vhicule (rponse) pourra tre tudie en fonction de lexcitation produitepar les irrgularits de la route. Un faisceau de lumire (sollicitation) dirig vers une face dun matriau etqui ressort au travers dune autre face (rponse) peut par exemple renseigner sur ltat du dit matriau.Figure 1.1Modle gnral dun systme.Les exemples peuvent tre multiplis linni, car nalement, cette modlisation peut sappliquer laquasi totalit des objets physiques, et ce, que ce soit en lectricit, en mcanique, en chimie, en optique,etc. Tout systme peut donc sapparenter au modle propos sur le schma de la gure 1.1.Dans la ralit, les systmes peuvent possder une ou plusieurs entres, une ou plusieurs sorties, cer-taines sorties pouvant mme ventuellement tre considres comme de nouvelles entres (cas des systmesboucls que nous tudierons dans la partie 2 de cet ouvrage).Nous tudierons dans ce cours, la manire dont le fonctionnement de tels systmes peut tre dcrit, partir de modles mathmatiques plus ou moins sophistiqus (en tout cas adapts la complexit duproblme). Ceci nous permettra de rpondre diffrents types de question, par exemple : Quelle sera la rponse dun systme quelconque telle ou telle sollicitation ? (Aspect prdictif.) De quoi se compose un systme qui fournit telle rponse telle sollicitation ? (Aspect caractrisation,identication, mais aussi diagnostic et dtection de dfauts.) Comment adapter ou rgler un systme pour quil fournisse une rponse donne une certaine sollici-tation ?Dautres questions se poseront tout au long de cet ouvrage. Il est dores et dj vident quune meilleureconnaissance de ces systmes conditionne non seulement leur utilisation, mais galement tous les conceptsphysiques qui y sont associs.4 1 Modlisation des systmes linaires. Notion de fonction de transfert1.2 NOTION DE SIGNALNous pouvons donc avoir une premire approche des systmes en considrant le couple (sollicitation -rponse).Imaginons un systme optique rchissant vers lequel on dirige un faisceau de lumire. Le faisceaurchi constitue en quelque sorte une information, au sens o il est porteur dune certaine signication.Nous le qualierons de signal, tout comme le faisceau incident, puisquon ne saurait admettre que la rponsedun systme soit porteuse dinformation si la sollicitation ne ltait pas.Dune manire gnrale, toute sollicitation ou rponse dun systme sera considre comme un signal.Les sollicitations ou excitations sont des signaux dentre et les rponses sont des signaux de sortie.Pour le moment, nous ne considrerons que des systmes mono-entre, mono-sortie. Par convention,lentre sera note e et la sortie sera note s.1.2.1 Signaux temporelsLe moyen qui a priori semble le plus naturel pour dcrire un signal consiste invoquer son volution aucours du temps. Ainsi les formes e(t) et s(t) sont-elles des reprsentations temporelles des signaux e et s.Nous verrons un peu plus tard que ce mode de reprsentation nest pas toujours le plus intressant.Toutefois, dans limmdiat, nous nous limiterons cette description temporelle de linformation.Ainsi, on peut dire quun systme quelconque est capable de prendre un signal e(t) et de la transformeren un signal s(t).Figure 1.2Modle gnral dun systme.1.2.2 Principe de causalitLes signaux temporels possdent une proprit essentielle sur laquelle nous aurons loccasion de revenir maintes reprises : un effet ne pouvant survenir quaprs la cause qui lui a donn naissance, la rponsetemporelle dun systme ne peut en aucun cas prcder la sollicitation qui en est la cause. Il sagit duprincipe de causalit qui nest pas quune vrit de Lapalisse comme nous aurons loccasion de nous enrendre compte.1.2.3 Signaux non temporelsLa thorie des signaux ne traite pas que des signaux temporels. Si par exemple on considre une imageen noir et blanc, statique sur un cran, le signal que constitue cette image peut tre considr comme uneluminosit dpendant de deux variables spatiales (x, y). Dans ce cas, la variable temps na rien voir avecle problme. Dautres cas pourraient tre cits en exemple. Dans ces cas ot nintervient pas, on peutsattendre ce que le principe de causalit ne soit pas respect.Il nest pas questionici dbaucherune classicationdes diffrents types de signaux. Celle-ci seraaborde plus tard. Nous utiliserons dans la suite de ce chapitre, lexemple de signaux temporels appliqus des systmes simples : les systmes linaires.1.3Le cas des systmes linaires 51.3 LE CAS DES SYSTMES LINAIRESConsidrons un systme et un signal dentre e(t) qui est une combinaison linaire de n signaux :e(t) = l1e1(t) + l2e2(t) ++ lnen(t)On dnira comme systme linaire tout systme qui conserve au niveau de sa sortie la combinaison linairedentre, chaque si(t) tant la sortie correspondant ei(t).s(t) = l1s1(t) + l2s2(t) ++ lnsn(t)La plupart du temps, ces systmes sont rgis par des quations diffrentielles coefcients constants.Soit e(t) le signal dentre, s(t) le signal de sortie. Lquation gnrale dun systme linaire scrit dela manire suivante :andnsdtn + an1dn1sdtn1 ++ a1dsdt+ a0s(t) = bmdmedtm+ bm1dm1edtm1++ b1dedt+ be(t)Ces systmes conservent toutes les oprations linaires (drivation, intgration, ...). Le plus grand des deuxindices n et m est appel ordre du systme.Lorsque le systmeest effectivementexcit par un signal e(t), cettequationdiffrentiellepossdeeffectivement un second membre. Si le systme est libre et isol, le second membre est nul.Remarque : Nous ne nous intresserons, dans les parties 1 et 2 de ce livre, quaux systmes linaireset aux signaux temporels continus ; les notions qui suivent ne sappliquent donc qu de tels systmes,dits linaires temps continu.1.4 LA TRANSFORMATION DE LAPLACE1.4.1 DnitionConsidrant une fonction relle dune variable relles(t) telle ques(t) =0 pourt 0 ; cesfonctions sont nulles pour t 0 et que toutes les fonctions que nous utilisons sont nulles pour t < 0. Il fautnoter que le logiciel Mathematica ne mentionne pas la prsence de u(t).b) tude de la rponse dun circuit RC une entre en rampeConsidrons le circuit RC prsent sur la gure 1.8. Le signal dentre inject este(t) =3t et la sortiecorrespond s(t) dont on cherche lexpression.Figure 1.8Circuit RC.Considrons le courant i(t) qui circule la fois dans R et dans le condensateur C.Exercices 15Les quations lectriques du systme sont :e(t) s(t) = Ri(t)i(t) = CdsdtEn combinant ces deux quations, on obtient :RCdsdt+ s(t) = e(t)Nous sommes donc en prsence dun systme du premier ordre dont la fonction de transfert sobtient im-mdiatement :G( p) =1RCp + 1Par ailleurs, e(t) = 3t E( p) =3p2do : S( p) =3p2(RCp + 1)Daprs la table de transformes de Laplace, on a :S( p) =1p2(1 + tp) s(t) = t_e tt + tt 1_u(t)do on tire immdiatement :S( p) =3p2(1 + RCp) s(t) = 3RC_etRC +tRC 1_u(t)EXERCICES1.1Calcul direct de la transforme de Laplace dun signal sinusodalOn considre la fonction s(t) dnie par :s(t) = 0pour t < 0,s(t) = sin vt pour t0.Dterminer lexpression de S( p) en utilisant directement la dnition de la transformation de Laplace.1.2Calcul de la transforme de Laplace dune impulsion relleOn considre une impulsion s(t) de largeur T et de hauteur A (gure 1.9).s(t) = 0pour t < 0et pour t > T,s(t) = Apour 0 < t < T.Calculer lexpression S( p) de la transforme de Laplace de ce signal.16 1 Modlisation des systmes linaires. Notion de fonction de transfertFigure 1.9Impulsion relle.1.3Calcul de la transforme de Laplace dune rampe satureCalculer la transforme de Laplace de la fonction s(t) dnie par :s(t) = 0pour t < 0,s(t) = At/Tpour 0 < t < T,s(t) = Apour t > T.1.4Calcul de la transforme de Laplace dun signal quelconqueCalculer la transforme de Laplace de la fonction dnie par : f (t) = cos2vt pour t > 0 et f (t) = 0 partoutailleurs.1.5Calcul dune transforme de Laplace inverseCalculer la transforme de Laplace inverse de lexpression F( p) =3p3+ 5 p2+ 6p.1.6Calcul dune fonction de transfert simpleOn considre un systme rgi par lquation diffrentielle :d3sdt3 + 3d2sdt2 + 3dsdt+ s(t) = 2dedt+ e(t)Calculer la fonction de transfert de ce systme et calculer ses ples et ses zros.1.7tude de la rponse dun systme du premier ordre un chelonOn considre un systme rgi par lquation diffrentielle :Tdsdt+ s(t) = Ke(t)Calculer la fonction de transfert de ce systme. En dduire S(p) si le signal dentre est un chelon unit.Dterminer la valeur nale de s(t) en utilisant le thorme de la valeur nale.Calculer lexpression de s(t) et retrouver le rsultat prcdent.Pour quelle valeur t0 de t, s(t) atteint-il 95 % de sa valeur nale ?Solutions des exercices 171.8Calcul de la rponse dun systme du second ordre une rampeOn considre un systme rgi par lquation diffrentielle :d2sdt2 + 3dsdt+ 2s(t) = e(t)Calculer la rponse de ce systme une entre en rampe e(t) = t.1.9Mise en quation dun systme lectrique du second ordreOn considre le montage lectrique reprsent sur la gure 1.10. On injecte dans ce systme un signaldentre e(t) correspondant un chelon de tension de 0 5 V.Dterminer lquation diffrentielle qui lie e(t) la tension de sortie s(t).En dduire la fonction de transfert du systme.Figure 1.10Circuit lectrique du second ordre.SOLUTIONS1.1 Dcomposons la fonction sinus en une combinaison dexponentielles complexes :s(t) = sin vt =ejvtejvt2jAppliquons la dnition de la transforme de Laplace :S( p) =_+0s(t) eptdt =_+0sin vt eptdt =_+0ejvtejvt2jeptdtS( p) =12j_+0ejvteptdt 12j_+0ejvteptdtS( p) =12j_+0e( pjv)tdt 12j_+0e( p+ jv)tdtS( p) =12j_e( pjv)t( p jv)_+012j_e( p+ jv)t( p + jv)_+018 1 Modlisation des systmes linaires. Notion de fonction de transfertSi la partie relle de p est positive (ce qui corrobore lexistence dun seuil de convergence), on a :S( p) =12j_0 1( p jv)_12j_0 1( p + jv)_S( p) =12j_1( p jv) 1( p + jv)_S( p) =12j_( p + jv) ( p jv)( p jv)( p + jv)_S( p) =12j_2jvp2+ v2_=vp2+ v2Ce qui correspond bien au rsultat recherch.1.2 Nous pouvons remarquer (gure 1.11) que ce signal est la diffrence de deux signaux : s(t) = s1(t) s2(t),avec s1(t) : chelon de hauteur A dbutant linstant 0,et s2(t) : chelon de hauteur A dbutant linstant T.Nous aurons donc (linarit de la transforme de Laplace) : S( p) = S1( p) S2( p)avec : S1( p) =Apet : S2( p) =Ap epT(thorme du retard)do : S( p) =Ap_1 epT_Figure 1.11Dcomposition du signal.1.3 Traons, pour commencer, le signal s(t) (gure 1.12). Nous pouvons remarquer que ce signal est lintgrale dunsignal x(t) que lon peut reprsenter sur la gure 1.13.Solutions des exercices 19Or, nous connaissons lexpression de la transforme de Laplace de ce signal x(t) ceci prs quil sagit ici duneimpulsion de hauteur A/T (exercice 1.2) :X( p) =ATp_1 epT_Comme s(t) est une primitive de x(t), on a :S( p) =X( p)p=AT p2_1 epT_Figure 1.12Reprsentation du signal tudi.Figure 1.13Signal driv.1.4 Linarisons lexpression de la fonctionf (t) = cos2vt an de pouvoir lexprimer sous la forme dune combinaisonde fonctions simples que nous pourrons aisment reprer dans la table :f (t) = cos2vt =12 (cos 2vt + 1) pour t > 0.La fonctionf (t) se dcompose donc en une somme de deux signaux :f (t) = f1(t) + f2(t)avecf1(t) =cos 2vt2pour t > 0,et f2(t) =12 pour t > 0, autrement dit : f2(t) =u(t)2, u(t) tant lchelon unitaire.On a donc : F( p) = F1( p) + F2( p)On a de toute vidence : F2( p) =12p20 1 Modlisation des systmes linaires. Notion de fonction de transfertPar ailleurs, la lecture de la table, la fonction temporelle cos vt possde pour transforme de Laplacepp2+ v2.On a donc : F2( p) =p2( p2+ 4v2)En conclusion : F( p) = F1( p) + F2( p) =12p +p2( p2+ 4v2)1.5 Factorisons tout dabord le dnominateur de lexpression de F( p) :F( p) =3p3+ 5 p2+ 6p=3p( p + 3)( p + 2)La dcomposition de cette fraction rationnelle nous donne :F( p) =3p( p + 3)( p + 2)=Ap+Bp + 3 +Cp + 2=A( p2+ 5p + 6) + B( p2+ 2p) + C( p2+ 3p)p( p + 3)( p + 2)Soit : F( p) =3p( p + 3)( p + 2)=(A + B + C) p2+ (5A + 2B + 3C)p + 6Ap( p + 3)( p + 2)En identiant, on tire immdiatement :A + B + C = 05A + 2B + 3C = 0A =12A =12B = 1C = 32do : F( p) =12p +1p + 3 32( p + 2)Il suft prsent de rechercher dans la table des transformes de Laplace les fonctions temporelles originales des troistermes simples qui constituent cette combinaison et dcrire f (t) comme tant la mme combinaison des trois fonctionstemporelles originales :f (t) =_12 + e3t32 e2t_u(t)Rsolution avec MathematicaLa commande : InverseLaplaceTransform_3/(p(p + 3)(p + 2)), p, t_nous donne immdiatement :12 + e3t 3e2t21.6 Appliquons la transforme de Laplace aux deux membres de lquation :p3S( p) + 3 p2S( p) + 3pS( p) + S( p) = 2pE( p) + E( p)Do: S( p)_p3+ 3 p2+ 3p + 1_= [2p + 1] E( p)Soit : G( p) =S( p)E( p)=2p + 1p3+ 3 p2+ 3p + 1Nous remarquons que le dnominateur se factorise (identit remarquable).Do: G( p) =S( p)E( p)=2p + 1( p + 1)3La fonction de transfert possde donc un seul zro_12_et un ple triple (1).Solutions des exercices 211.7 La fonction de transfert du systme se dtermine aisment en appliquant la transformation de Laplace aux deuxmembres de lquation :TpS( p) + S( p) = KE( p)G( p) =S( p)E( p)=KTp + 1Nous en dduisons immdiatement lexpression de S( p) :E( p) =1p S( p) =KTp + 1 1p=Kp(Tp + 1)Le thorme de la valeur nale prvoit que :limt+s(t) = limp0pS( p) = limp0pKp(Tp + 1)= KCalculons lexpression de s(t) an de retrouver le rsultat prcdent. Daprs la table :S( p) =Kp(Tp + 1) s(t) = K_1 etT_On a bien limt+s(t) = K.Lexpression du signal de sortie nous conduit alors la valeur t0 de t, pour laquelle s(t) atteint 95 % de sa valeur nale.On a : K_1 et0T_= 0, 95KSoit : 1 et0T= 0, 95t0T= ln 0, 05 3T1.8 La fonction de transfert du systme se dtermine en appliquant la transformation de Laplace aux deux membresde lquation :G( p) =S( p)E( p)=1p2+ 3p + 2=1( p + 1)( p + 2)Par ailleurs, lentre de ce systme est une rampe e(t) = t. Do : E( p) =1p2On tire donc immdiatement :S( p) = G( p)E( p) =1p2( p + 1)( p + 2)Rsolution avec MathematicaLa plupart des logiciels de calcul formel disposent de la fonctionnalit de transformation inverse de Laplace.La commande : InverseLaplaceTransform_1/(p2(p + 1)(p + 2)), p, t_nous donne immdiatement :s(t) =_34 +t2 + ete2t4_u(t)22 1 Modlisation des systmes linaires. Notion de fonction de transfert1.9 Appelons A le point commun aux deux rsistances et vA(t) la tension en ce point. Nommons les courants dans lesdiffrentes branches du circuit (gure 1.14) et appliquons la loi des nuds au point A :e vAR= CdvAdt+vAsRPar ailleurs, le courant i1(t) circulant dans le second condensateur, on peut crire :Cdsdt=vAsRTirons de cette quation lexpression de la tension vA(t) et remplaons celle-ci dans la premire quation :vA= RCdsdt+ s(t)e RCdsdt s(t) = R2C2d2sdt2+ 2RCdsdtOn obtient ainsi lquation diffrentielle qui lie s(t) e(t) :R2C2d2sdt2+ 3RCdsdt+ s(t) = e(t)Figure 1.14tude du circuit lectrique.La fonction de transfert est donc :G( p) =S( p)E( p)=1R2C2p2+ 3RCp + 1Chapitre 2Modlisation frquentielledes signaux temporelsNotion de spectre2.1 DESCRIPTION DES SIGNAUXModliser un phnomne physique, cest disposer doutils permettant de le reprsenter et de le dcrire.Dune manire gnrale, les signaux, tout comme les grandeurs physiques quils reprsentent sont dcritspar des lois temporelles. Quoi de plus naturel, en effet, de dcrire lvolution dune temprature, dunetension, dune position ou dune vitesse en fonction du temps.Nous allons aborder, au cours de ce chapitre, un autre mode de description des signaux (donc des gran-deurs quils reprsentent), qui ne fait pas appel sa reprsentation temporelle, mais qui propose un autremode de perception des phnomnes : il sagit de leur reprsentation frquentielle.2.1.1 Lexemple du signal sinusodalEn crivants(t) =Acos vt, on dtermine entirement, pour tout instant, la valeur du signals(t). Un telsignal, dont on peut a priori prvoir la valeur tout instant est dit dterministe (par opposition aux signauxalatoires ou stochastiques). Toutefois, il existe un autre moyen de dcrire compltement (ou presque) cesignal : en disant quil sagit dune sinusode damplitude A et de frquence v/2p. dire vrai, il manquelinformation sur lorigine des temps car tous les signaux du type s(t) = Acos(vt + w) sont des sinusodesdamplitudeA et de frquencev/2p et sont pourtant diffrents dans leur expression temporelle ; en faitseule lorigine des temps y est diffrente. Si on considre que la dnition dune origine des temps estarbitraire et donc, sans relle importance, on peut considrer quil y a autant dinformation dans lcrituredune loi temporelle dun signal sinusodal que dans lcriture de ce signal sous la forme dun coupleamplitude-frquence.Par consquent, nous pouvons conclure, pour les signaux sinusodaux, une dualit de reprsentationtemporelle-frquentielle :s(t) = Acos vt _A,v2p_reprsentation temporelle reprsentation frquentielleLes intrts dune telle reprsentation sont multiples. Imaginons par exemple la reprsentation graphiquedune sinusode : nous la connaissons bien dans sa reprsentation temporelle : gure 2.1. Dans sa reprsen-tation frquentielle, autrement dit, si lon dcide de porter sur un axe dabscisses, non plus la variable tempsmais la frquence du signal, nous obtenons un graphe des plus simples puisquil se rsume un seul point,qui suft dire que nous avons faire une sinusode damplitude A et de frquence v/2p (gure 2.1).24 2 Modlisation frquentielle des signaux temporels. Notion de spectreFigure 2.1Reprsentation temporelle et reprsentation frquentielle dun signal sinusodal.Remarque : Pour des raisons de commodit, nous tracerons une raie joignant le point correspondantau couple amplitude - frquence laxe des frquences an de mieux matrialiser la reprsentation.2.1.2 Reprsentation dun signal composFigure 2.2 Reprsentationfrquentielle dun signal compos.Considrons prsent le signal s(t) = A1 cos v1t + A2 cos v2tcompos de la somme de deux sinusodes. Dans sa reprsen-tation frquentielle, nous choisissons de reprsenter ce signalen portant uniquement, dans le graphe amplitude - frquence,les deux points (ou plutt les deux raies) de chacune des deuxsinusodes (gure 2.2). Par convention, le signal reprsentest compos de la somme des deux signaux lmentaires ainsitracs.Remarque : Il est clair quici, nous perdons lventuelle information de dphasage lorigine entreles deux sinusodes. Toutefois, les applications pour lesquelles nous avons besoin dintroduire cettenouvelle reprsentation frquentielle sont telles quelles ne ncessiteront pas obligatoirement cetteinformation. Par consquent, sa perte ne doit pas susciter dinquitude.2.1.3 Notion de spectreFigure 2.3 Spectre dun signalsinusodal.Par analogie avec les spectres lumineux composs de raies delumire, les mathmaticiens et physiciens qui ont introduit lanotion de reprsentation frquentielle ont dcid de la nom-mer spectre du signal.Le spectre dun signal nest donc rien dautre que sa re-prsentation frquentielle, autrement dit la description de lamanire dont il se dcompose en signaux lmentaires (ici dessinusodes).En rgle gnrale, on prfre utiliser une dcompositionen signaux lmentaires du type ejvt= ej2pft. La notion usuelle de spectre de signaux renvoie une telledcomposition. On dit parfois que le spectre est une dcomposition du signal selon une base de fonctionslmentaires ejvt= ej2pft.Ainsi, le spectre du signal sinusodals(t) =Acos vt correspond au graphe de la gure 2.3, puisques(t) = Acos vt = Aejvt+ejvt2.2.2Cas des signaux priodiques 25Remarque : Pourquoi avoir choisi une telle base de dcomposition ? Pour une raison trs simple : lemathmaticien franais Joseph Fourier a dmontr que presque tous les signaux pouvaient se dcom-poser en une somme de signaux de ce type. partir de maintenant, nous nenvisagerons plus aucun spectre sans quil ne corresponde une d-composition selon une base de fonctions lmentaires ejvt= ej2pft.2.2 CAS DES SIGNAUX PRIODIQUES2.2.1 Dcomposition en srie de FourierJoseph Fourier a dmontr que tout signal priodique de priode T (donc de frquence f0=1T, ou encorede pulsation v0= 2pf0=2pT) possdait une dcomposition en une somme nie ou innie de sinusodesdont les frquences sont des multiples de la frquence f0 (dite fondamentale) du signal.On dmontre en effet que si s(t) est priodique :s(t) = C0 ++

n=1Cn cos nv0t ++

n=1Sn sin nv0tCet nonc de la dcomposition en srie de Fourier se traduit galement dans la base de fonctions lmen-taires ejvt= ej2pftqui nous sert prsent de rfrence :s(t) =+

n=An ejnv0tavec : An =1T_T0s(t) ejnv0tdt.On trace alors le spectre dun signal priodique quelconque en reportant, dans le graphe amplitude - fr-quence, les modules des coefcientsAn qui sont, en gnral, complexes, en fonction des frquencesnf0(gure 2.4). Les deux raies correspondant n = 1 ou n = 1 sont appeles composantes ou raies fonda-mentales du signal. Les autres sont ses harmoniques.Figure 2.4Spectre dun signal priodique.Dune manire gnrale, on a [An[ = [An[ ce qui se traduit par la symtrie du spectre par rapport laxe des ordonnes.26 2 Modlisation frquentielle des signaux temporels. Notion de spectreRemarque:Si lesignal priodiquepossdeunecomposantecontinue, autrement dit unevaleurmoyenne non nulle, il sagit videmment de :A0 =1T_T0s(t) dtque lon trace, sur le spectre, la frquence nulle (voir gure 2.4).2.2.2 Exemple de calcul dun spectre : signal en dents de scieOn considre un signal s(t) en dents de scie, de priode T (gure 2.5).Soit v0 = 2pf0 = 2pT.Notre objectif est de tracer son spectre. Il nous faut donc calculer sa dcomposition en srie de Fourier,cest--dire calculer la suite des An, puis tracer les [An[ en fonction de la frquence.Figure 2.5Reprsentation temporelle dun signal en dents de scie.On a : s(t) =+

n=An ejnv0tavec An =1T_T0s(t) ejnv0tdtSoit : An =1T_T0AtTejnv0tdtIntgrons cette expression par parties :An =AT2_T0t ejnv0tdt =AT2_T0u dv=AT2 [uv]T0 AT2_T0v duavec u = t, donc du = dtet dv= ejnv0tdt donc v=ejnv0tjnv0.Attention : n ,= 0.An =AT2_t ejnv0tjnv0_T0AT2_T0ejnv0tjnv0dtAn =AT2_T ejnv0Tjnv00_AT2_ejnv0tn2v20_T0An =AT2_T ejnv0Tjnv0_AT2_ejnv0Tn2v201n2v20_2.2Cas des signaux priodiques 27Or v0T = 2p, do :An =AT2_T ejn2pjnv0_AT2_ejn2pn2v201n2v20_et ejn2p= 1, donc :An =AT2_Tjnv0_AT2_1n2v201n2v20_=AT2_Tjnv0_An =Ajnv0T= jA2pnOn a donc : An = jA2pn [An[ =A2pn pour n ,= 0.La valeur moyenne se calcule ou se remarque de manire vidente sur le graphe de la gure 2.5 :A0=A2et il suft de porter lensemble des informations sur le graphe de la gure 2.6 pour disposer duspectre recherch.Figure 2.6Spectre du signal en dents de scie.2.2.3 Dcomposition en srie de Fourier laide de MathematicaLes outils de calcul formel disposent de fonctions spciquement adaptes au calcul des sries de Fourier. titre dexemple, nous retiendrons trois fonctions de Mathematica particulirement intressantes.La fonction f (t) tant dnie sur une priode de dure 2p, on accde lexpression des coefcients Cnet Sn par les commandes FourierCosCoefcient[f(t),t,n ] et FourierSinCoefcient[f(t),t,n ], respectivement.Ainsi, la dcomposition en srie de Fourier dun signal en dents de scie dni par f (t) =t sur lintervalle[p;p] est obtenue immdiatement en crivant :FourierCosCoefcient [t,t,n]Rsultat : 2_1 + (1)n_n2pFourierSinCoefcient [t,t,n]Rsultat : 2 (1)nnPar ailleurs, la commande FourierSeries[f(t),t,n ] fournit lexpression complte de la srie de Fourier, expri-me sous forme exponentielle lordre n.28 2 Modlisation frquentielle des signaux temporels. Notion de spectre titre dexemple, la ligne suivante calcule la dcomposition lordre 5 de la fonction priodique dniepar f (t) = t sur lintervalle [p;p]FourierSeries [t,t,n]Rsultat :12ieit 12ieit 14ie2it+ 12ie2it+ 16ie3it 16ie3it 18ie4it+ 18ie4it+110ie5it110ie5it2.3 CAS DES SIGNAUX NON PRIODIQUES NERGIE FINIE2.3.1 DnitionUn signal non priodique nergie nie est un signal non priodique quelconque tel que lintgrale gnra-lise_+s2(t) dt converge vers une valeur nie. Les rsultats qui suivent ne sappliquent qu ce type designaux. Dans la pratique, il sagit de signaux transitoires, possdant un dbut et une n, ou tout du moinsdcroissant sufsamment rapidement pour faire converger lintgrale_+s2(t) dt.2.3.2 Transforme de Fourier et spectre des signaux non priodiques nergie nieOn dnit la transforme de Fourier dun signal non priodique nergie nie par :S( f ) =_+s(t) ej2pftdtIl sagit dune fonction complexe de la variable rellef. Pour des raisons de rapidit dcriture, on noteparfois :S( f ) =_+s(t) ejvtdt avec v = 2pfLa transforme de Fourier inverse a pour expression :s(t) =_+S( f ) ejvtdtJoseph Fourier a tudi les proprits de cette transformation mathmatique et a dmontr quelle corres-pondait la reprsentation frquentielle dun signal quelconque, non priodique, du moment quil est nergie nie. Le spectre dun tel signal est donn par la fonction [S( f )[ et est continu, ce qui revient dire(et cela rapproche cette notion du spectre discontinu pour les signaux priodiques) quun signal quelconque nergie nie se dcompose en une somme de sinusodes de toutes frquences.Lune des proprits essentielles de la transforme de Fourier est : S(f ) = S( f ) (S correspondant auconjugu de S). Il en dcoule que [S( f )[ = [S(f )[ et que le spectre dun signal quelconque est symtriquepar rapport laxe des ordonnes.Remarque : Pour un signal possdant un dbut t1 et une n t2, la transforme de Fourier se calculevidemment en intgrant entre les deux instants, de dbut et de n, du signal :S( f ) =_t2t1s(t) ejvtdt2.3Cas des signaux non priodiques nergie nie 292.3.3 Exemple de calcul du spectre dun signal non priodique nergie nieSoit s(t) un signal nul pour t < 0 et dni par s(t) = etpour t0 (gure 2.7).Figure 2.7Reprsentation temporelle dun signal.Nous pouvons sans peine vrier que le signal est nergie nie :_+s2(t) dt =_+0e2tdt =_e2t2_+0=12La dnition de la transforme de Fourier sapplique donc :S( f ) =_+s(t) ejvtdt =_+0etejvtdt =_+0e( jv+1)tdtS( f ) =_e( jv+1)t( jv + 1)_+0=11 + jv=11 + j2pfDo : [S( f )[ =11 + j2pf=1_1 + 4p2f2La gure 2.8 prsente ce spectre.1Figure 2.8Spectre du signal.2.3.4 Relation entre la transforme de Fourier et la transformede LaplacePour un signal non priodique nergie nie et nul pour t < 0, on a :S( f ) =_+0s(t) ejvtdt30 2 Modlisation frquentielle des signaux temporels. Notion de spectreUn tel signal possde aussi une transforme de Laplace :S( p) =_+0s(t) eptdtIl apparat que la transforme de Laplace et celle de Fourier possde un rapport vident : la transforme deFourier peut tre perue comme le cas particulier p = jv de la transforme de Laplace. (NDLA : cest unpeu rducteur, historiquement faux et simpli, mais cest plus parlant.)Il rsulte de cette constatation, quil est ais de calculer la transforme de Fourier dun signal nergienie en remplaant tout simplement p par jv dans sa transforme de Laplace. Pour le calcul de la transfor-me de Fourier de s(t)= et(pour t0), un rapide coup dil sur la table de transformes de Laplacenous aurait montr que S( p) =1p + 1.Lexpression S( f ) =1jv + 1=1j2pf + 1 est donc imdiatement trouve.Remarque : Pour cette raison, on note souvent la transforme de Fourier dun signal, indiffremmentS( f ) ou S( jv).Attention : On ne peut faire p=jv et trouver la transforme de Fourier dun signal partir de satransforme de Laplace que si le signal est nergie nie.Un certain nombre de proprits de la transforme de Fourier se dduisent donc de celles de la transfor-me de Laplace. La transformation de Fourier est donc une opration linaire et la transforme de Fourierde la drive ou dune primitive dun signal se calculent de la manire suivante :s(t) S( jv) dsdt jvS( jv) et_s(t) dt S( jv)jv2.3.5 galit de ParsevalLnergie totale dun signal s(t) nergie nie est dnie par :E =_+s2(t) dt =_+s(t)s(t) dtRemplaons dans cette intgrale un terme s(t) par son expression en fonction de sa transforme de Fourier :E =_+_s(t) _+S( f ) ejvtdf_dtLes deux intgrations tant indpendantes, on peut permuter leur ordre :E =_+_S( f ) _+s(t) ejvtdt_dfExercices 31On reconnat alors, dans lintgrale situe entre les crochets, lexpression de la tranforme de Fourier des(t), au signe prs dans lexponentiel. Cette intgrale nest donc rien dautre que S(f ) :E =_+[S( f )S(f )] dfdo : E =_+[S( f )[2dfOn a donc : E =_+s2(t) dt =_+[S( f )[2dfCe rsultat, connu sous le nom dgalit de Parseval, nous montre la dualit entre la reprsentation tem-porelle et la reprsentation spectrale. Lnergie totale dun signal peut se dterminer quelle que soit lareprsentation choisie, avec la mme expression : on intgre soit le carr de lexpression temporelle dusignal, soit le carr de son spectre.2.3.6 Calcul dune transforme de Fourier laide de MathematicaLe logiciel Mathematica peut calculer immdiatement la transforme de Fourier dun signal quelconque.La commandeutiliseest : FourierTransform[f(t),t, v]. Toutefois, Mathematicapeut utiliserdiffrentesdnitions de la transforme de Fourier et cet effet, doit tre paramtr. Sans rentrer dans les dtails,nous utiliserons une forme paramtre de la commande FourierTransform qui correspond exactement ladnition mathmatique que nous utilisons. En reprenant lexemple du paragraphe 2.3.3, on crira :FourierTransform_UnitStep[t] e t,t, v,FourierParameters 1, 1Le rsultat obtenu est : jj + v.EXERCICES2.1Dcomposition en srie de Fourier dun signal symtries paire et impaireSoit un signal priodique s(t) (priode T) et sa dcomposition en srie de Fourier :s(t) =+

n=An ejnvtavec v = 2pTMontrer que si s(t) est pair, on a : An =2T_T/20s(t) cos nvt dtMontrer que si, de surcrot, s(t) possde un centre de symtrie pour t =T4 + kT2, on a alors : An = 0 pour npair et An =4T_T/40s(t) cos nvt dt pour n impair.32 2 Modlisation frquentielle des signaux temporels. Notion de spectre2.2Dcomposition en srie de Fourier dun signal carrEn appliquant les rsultats de lexercice 2.1, calculer la dcomposition dun signal carr damplitude A etde priode T (gure 2.9) et tracer son spectre.Figure 2.9Reprsentation temporelle dun signal carr.2.3Dcomposition en srie de Fourier dun signal complexeEn appliquant les rsultats de lexercice 2.1, calculer la dcomposition en srie de Fourier du signal repr-sent sur la gure 2.10 et dterminer la valeur de t1 pour laquelle ce signal ne possde pas dharmonique 3.Conclure.Figure 2.10Reprsentation temporelle dun signal complexe.2.4Spectre dune impulsionOn considre le signal non priodique s(t) reprsent sur la gure 2.11. Calculer et tracer son spectre.Figure 2.11Impulsion de largeur 2a.Exercices 332.5Transforme de Fourier dun signal trapzodalFigure 2.12Signal trapzodal.On considre le signal non priodique s(t) reprsent surla gure 2.12. Soit x(t) le signal dni par :x(t) = dsdtCalculer la transforme de Fourier X( f ) du signal x(t) eten dduire la transforme de Fourier S( f ) de s(t).Retrouver, laide de lexpression de la transforme deFourier de s(t), celle de limpulsion de largeur 2a tudie lexercice 2.4.2.6Transforme de Fourier dun signal triangulaire partir des rsultats de lexercice 2.5, calculer la transforme de Fourier du signal non priodiques(t)reprsent sur la gure 2.13.Figure 2.13Signal triangulaire.2.7Spectre dune alternance sinusodaleOn considre la fonction s(t) dnie par :s(t) = sin at pour 0t 2pa,s(t) = 0 partout ailleurs.Calculer la transforme de Fourier de ce signal et tracer son spectreFigure 2.14Alternance sinusodale.34 2 Modlisation frquentielle des signaux temporels. Notion de spectre2.8Vrication de lgalit de ParsevalOn considre la fonction s(t) reprsent sur la gure 2.15 et dni par :s(t) = 0pour t < 0,s(t) = eatpour t0 avec a > 0.Figure 2.15Reprsentation temporelle du signal.Calculer lnergie totale de ce signal partir de son expression temporelle et vrier lgalit de Parsevalen calculant cette mme nergie partir de lexpression de sa transforme de Fourier.SOLUTIONS2.1 Si le signal priodique est pair, on a : s(t) = s(t).An=1T_T/2T/2s(t) ejnvtdt =1T_0T/2s(t) ejnvtdt +1T_T/20s(t) ejnvtdtEffectuons, dans la premire intgrale, le changement de variable t t :An=1T_0T/2s(t) ejnvtd(t) +1T_T/20s(t) ejnvtdtdo : An=1T_T/20s(t) ejnvtdt +1T_T/20s(t) ejnvtdtSoit : An=1T_T/20s(t)_ejnvt+ejnvt_dt =2T_T/20s(t) cos nvt dtSupposons que le signal possde de surcrot une symtrie par rapport un point correspondant au quart de priode(gure 2.16).Figure 2.16Signal symtrie par rapport au quart de priode.Solutions des exercices 35On a prsent : s_T2 t_= s(t)Cette proprit nous pousse dcomposer lexpression de An prcdemment trouve et y procder au changement devariable :t T2 tSoit : An=2T_T/40s(t) cos nvt dt +2T_T/2T/4s(t) cos nvt dtAn=2T_T/40s(t) cos nvt dt +2T_0T/4s_T2 t_cos nv_T2 t_d_T2 t_An=2T_T/40s(t) cos nvt dt 2T_T/40s(t) cos nv_T2 t_dtAn=2T_T/40s(t) cos nvt dt 2T_T/40s(t) cos_nvT2nvt_dtOr : cos_nvT2nvt_= cos (np nvt)Si n est pair, on a : cos (np nvt) = cos nvtet si n est impair, on a : cos (np nvt) = cos nvtPar consquent, si n est pair, on a :An=2T_T/40s(t) cos nvt dt 2T_T/40s(t) cos nvt dt = 0et pour n impair, on a :An=2T_T/40s(t) cos nvt dt +2T_T/40s(t) cos nvt dt =4T_T/40s(t) cos nvt dt2.2 Le signal carr possde les proprits de symtrie tudies dans lexercice 2.1. Par consquent, nous pouvonscrire :pour n pair, An= 0et pour n impair, An=4T_T/40s(t) cos nvt dt =4T_T/40Acos nvt dtCalculons cette expression dans le cas n impair :An=4AT_T/40cos nvt dt =4AT_sin nvtnv_T/40=4AT_sin_nvT/4_nv0_Soit : An=4AnTv sin_np/2_=2Apn (1)n12Calculons les premiers termes de cette srie et reprsentons le spectre (gure 2.17).36 2 Modlisation frquentielle des signaux temporels. Notion de spectreOn a : [A1[ = [A1[ =2Ap 0,64A[A3[ = [A3[ =2A3p 0,21A[A5[ = [A5[ =2A5p 0,13A[A7[ = [A7[ =2A7p 0,09ATous les harmoniques pairs sont, bien videmment, nuls, ce qui caractrise une proprit fondamentale du signal carr :il ne possde que des harmoniques impairs. La valeur moyenne du signal, par ailleurs, est nulle.Figure 2.17Spectre du signal carr.2.3 Le signal possde les proprits de symtrie tudies dans lexercice 2.1. Par consquent, nous pouvons crire :pour n pair, An= 0et pour n impair, An=4T_T/40s(t) cos nvt dtCalculons cette expression dans le cas n impair :An=4AT_t10cos nvt dt 4AT_T/4t1cos nvt dtSoit : An=4AT_sin nvtnv_t10 4AT_sin nvtnv_T/4t1An=2Anp sin nvt1 2Anp_sin np/2 sin nvt1_do : An=4Anp sin nvt1 2Anp (1)n12La valeur de t1 qui annule lharmonique 3 est telle que :A3=4A3p sin 3vt1 + 2A3p= 0Par consquent : 2 sin 3vt1 + 1 = 0 sin 3vt1= 12do : 3vt1=7p6 t1=7p18v=736TOn peut vrier quil sagit bien l de la seule solution telle que : 0t1 T4.Solutions des exercices 37En conclusion, il est possible, partir dun signal priodique compos dune srie dimpulsion (ce qui se ralise trsfacilement par des montages lectroniques en commutation), dobtenir un signal pour lequel les harmoniques 2, 3 et4 sont nuls. Le premier harmonique non nul, A5, ainsi que les suivants, possdant de faibles amplitudes, nous avonsaffaire un signal que lon peut facilement transformer en une sinusode parfaite en ltrant ses harmoniques, ce qui estdautant plus facile que le premier harmonique non nul se trouve trs loign de la fondamentale. Il sagit l dune desmthodes utilises pour gnrer des signaux sinusodaux sans avoir recours des systmes oscillants.2.4 Le signal considr est bien nergie nie car il possde un dbut et une n clairement identies. Lintgralednissant lnergie ne peut qutre nie.Le signal s(t) peut tre considr comme la diffrence entre un chelon retard dun temps a, soit s1(t) = u (t + a) etun chelon retard dun temps a, soit s2(t) = u (t a).Soit : s(t) = s1(t) s2(t) = A[u (t + a) u (t a)].En ayant pris soin de dnir a et A comme des paramtres, la commande Mathematica suivante nous donne immdia-tement le rsultat :FourierTransform_A UnitStep[t + a] A UnitStep[t a], t, v, FourierParameters |1, 1_Rsultat : 2Asin [av]vOn fait apparatre une fonction sinus cardinal dnie par sinc x =sin xx.Soit : S( f ) = 2Aa sinc va = 2Aa sinc 2pfaFigure 2.18Spectre du signal.Nous pouvons alors tracer aisment le spectre du signal (gure 2.18), autrement dit [S( f )[ pour f variant de +.Ce trac est facilit en remarquant que :sinc x 1 pour x 0 [S( f )[ 2aA pour f 0Par ailleurs : [S( f )[ = 0 pour 2pfa = kp f =k2a2.5 Le signalx(t) dni comme la drive du signals(t) sobtient graphiquement en considrant les pentes de songraphe (gure 2.19).38 2 Modlisation frquentielle des signaux temporels. Notion de spectreFigure 2.19Signal driv.x(t) peut tre dcompos en quatre signaux : x(t) = x1(t) x2(t) x3(t) + x4(t) o x1, x2, x3 et x4 sont des chelons dehauteur1b a respectivement retards, par rapport lorigine des temps, de b, a, a et b.On a donc : x(t) =1b a [u (t + b) u (t + a) u (t a) + u (t b)].On peut donc crire, avec Mathematica :FourierTransform_1/(b a) (UnitStep[t + b] UnitStep[t + a] UnitStep[t a]+UnitStep[t b]) ,t, v,FourierParameters |1, 1_Ce qui donne comme rsultat : X(jv) =2jv(b a) [cos vb cos va]On en dduit alors la transforme de Fourier du signal s(t) qui est aussi un signal nergie nie :S( jv) =X( jv)jv= 2v2(b a) [cos vb cos va]ou encore : S( jv) =X( jv)jv=4v2(b a)_sin v(b + a)2sin v(b a)2_Si on choisit de faire tendre b vers a, on retrouve le rsultat de lexercice 2.4 dans le cas particulier A = 1.En effet, on a : S( jv) =2v sin v(b + a)2sinc v(b a)2Soit, pour b = a : S( jv) =2v sin va = 2a sinc va2.6 Le signal s(t) est un signal trapzodal pour lequel a = 0. On a donc :S( jv) =X( jv)jv=2 [1 cos vb]v2b2.7 Le signal s(t) peut se dcomposer sous la forme dune diffrence de deux signaux :s(t) = s1(t) s2(t)Solutions des exercices 39avec : s1(t) = sin at pour t0et : s2(t) = sin at pour t 2paDans ces conditions : S( p) = S1( p) S2( p) =aa2+p2_1 e2ppa_Le signal s(t) tant nergie nie, on en dduit lexpression de la transforme de Fourier :S( jv) =aa2v2_1 ej2pva_ou encore : S( jv) =aa2v2_1 cos 2pva+ j sin 2pva_Ainsi, le spectre du signal a pour expression :[S( jv)[ =aa2v21 cos 2pva+ j sin 2pvaSoit : [S( jv)[ =a__1 cos 2pva_2+ sin2 2pva[a2v2[=a_2 2 cos 2pva[a2v2[do : [S( jv)[ =2asin pva[a2v2[Le trac de ce spectre nest pas immdiat. On peut procder, soit une tude complte de la fonction, soit (et cest plusfacile) un trac point par point. Le rsultat obtenu est prsent sur la gure 2.20. Il est noter que le spectre nest pasdni pour v = a. Par ailleurs, le spectre est nul pour les frquences telles que :sin pva= 0 soit pour v = ka ou encore f =ka2pDe plus : [S(0)[ = 0Figure 2.20Spectre du signal.40 2 Modlisation frquentielle des signaux temporels. Notion de spectre2.8 Lnergie totale du signal, daprs son expression temporelle est :E =_+0s2(t) dt =_+0e2atdt =_e2at2a_+0=12aPar ailleurs, la transforme de Fourier du signal sobtient aisment (puisquil sagit dun signal nergie nie), partirde sa transforme de Laplace :S( p) =1p + a S( jv) =1jv + aOn a donc : [S( jv)[ = [S( f )[ =1v2+ a2=1_4p2f2+ a2Daprs lgalit de Parseval, on doit avoir :E =_+[S( f )[2dfCalculons cette intgrale :E =14p2_+dff2+_a2p_2=14p2_2paarctan 4pfa_+E =12pa_p2+p2_+=12aCe qui permet, effectivement, de vrier lgalit de Parseval.Chapitre 3Modlisation frquentielledes systmes linaires continus3.1 DFINITIONSFigure 3.1Modle gnral dun systme linaire.Considrons le traditionnel schma de fonctionnement dun systme, traduit dans la reprsentation Lapla-cienne :S( p) = G( p)E( p)En posant p = jv, on obtient :S( jv) = G( jv)E( jv)Dans le cas de signaux nergie nie, S( jv) et E( jv) reprsentent les transformes de Fourier des deuxsignaux, de sortie et dentre. Plus prcisment, la relation ci-dessus, rduite lgalit des modules, prendun sens tout particulier si lon constate que [S( jv)[ et [E( jv)[ ne sont rien dautre que les spectres dessignaux :[S( jv)[ = [G( jv)[ [E( jv)[La fonction [G( jv)[, que lon note en gnral G(v) reprsente donc le rapport entre le spectre du signalde sortie et celui du signal dentre. Autrement dit [G( jv)[ reprsente le rapport des amplitudes des sinu-sodes de sortie et dentre, pour une pulsation v donne. Cest donc le gain frquentiel du systme cettepulsation, que lon appelle galement le gain rel.Par ailleurs, lquation S( jv) = G( jv)E( jv) nous conduit galement lgalit des arguments :arg S( jv) = arg G( jv) + arg E( jv)Soit : w(v) = arg G( jv) = arg S( jv) arg E( jv)42 3 Modlisation frquentielle des systmes linaires continusCette fonction correspond au dphasage, la pulsationv donne, entre la sinusode de sortie et celledentre.Au nal, la fonction G( jv), que lon appelle fonction de transfert en frquence (ou gain complexe dusystme), nous fournit le gain rel [G( jv)[ et le dphasage w(v) = arg G( jv) induit par le systme vis--visdes composantes sinusodales. Elle traduit donc le comportement frquentiel du systme.3.2 DIAGRAMMES DE BODE3.2.1 DnitionLes diagrammes de Bode consistent tracer deux graphes correspondant respectivement au gain rel et audphasage. Pour la courbe de gain, on ne trace pas directement G(v) mais GdB = 20 log G(v) dni commele gain en dcibels et, de surcrot, avec une chelle logarithmique en abscisse (gure 3.2).Outre les raisons historiques qui ont prsid ce choix, il existe deux intrts essentiels au choix dutrac logarithmique du gain, intrts que nous mettrons en vidence dans les pages qui suivent.Laxe des ordonnes est bien videmment gradu en dcibels. Un gain rel G(v) suprieur 1 corres-pond un gain en dcibels positif tandis quun gain rel infrieur 1 correspond un gain en dcibelsngatif. On a bien sr 20 log G(v) = 0 dB pour G(v) = 1.En rgle gnrale, on porte directement les valeurs de v sur laxe des abscisses en respectant lchellelogarithmique et en plaant la pulsation v = 1 lorigine de cet axe (puisquelle correspond log v = 0.On notera galement que la pulsation v = 0 ne peut apparatre sur laxe quen moins linni .Figure 3.2chelle logarithmique du diagramme de Bode.3.2.2 Exemple : diagramme de Bode dun systmedu premier ordreConsidrons un systme de fonction de transfert G( p) =K1 + Tp.K et T sont deux constantes positives. K est le gain statique du systme, T sa constante de temps. Nousjustierons plus loin ces dnominations.On a : G( jv) =K1 + jTvdo :G(v) =K1 + T2v2w(v) = arctan TvContentons-nous dune tude sommaire de ces fonctions.3.2Diagrammes de Bode 43Pour v 0, on a : G(v) K 20 log G(v) 20 log KCeci correspond une asymptote horizontale.Pour v +, on a :G(v) KTv 20 log G(v) 20 log K 20 log T 20 log vCet quivalent de la fonction G(v) pour v +correspond une droite puisque lchelle des abscisses estlogarithmique. Cette droite coupe lautre asymptote au point dabscisse v =1T, coupe laxe des abscissesau point v =KTet possde une pente de - 20 dB/dcade, ce qui signie que le gain chute de 20 dB lorsquela pulsation est multiplie par 10. Nous allons vite nous rendre compte que dans un diagramme de Bode, lesasymptotes ne peuvent prendre pour pente que les valeurs multiples de 20 dB/dcade. Ce 20 dB/dcade est donc en quelque sorte lunit lmentaire de pente. Nous appellerons pente dordre n, une pente gale 20n dB/dcade.Compte tenu de leffet lissant du logarithme, la courbe relle reste longtemps proche de ses asymp-totes (qui par consquent constituent une approximation sufsante du graphe). Pour sen convaincre, il suftde calculer la vraie valeur du gain pour la pulsation v =1T:G_1T_=K1 + 1=K2 20 log G_1T_= 20 log K 3 dBLe point en question se trouve donc 3 dB en dessous du gain statique (voir gure 3.3). La pulsation v =1Test appele pulsation de coupure.En ce qui concerne la courbe de dphasage, remarquons quil sagit dune fonction arctangente et que : pour v 0, on a : w(v) 0 pour v +, on a : w(v) p2On a, par ailleurs : w_1T_= p4Il nest bien sr pas question ici dassimiler les asymptotes (en trait plein) la courbe (en trait pointill).On notera que la valeur asymptotique du dphasage vaut 0 sur lintervalle de pulsations o la directionasymptotique du gain correspond une pente dordre 0, tandis quelle vaut p/2 lorsque la directionasymptotique du gain correspond une pente dordre 1. Il sagit l dune rgle gnrale :La direction asymptotique de phase se dduit immdiatement du diagramme de gain en multipliantlordre de la pente par p/2.Remarque : Les deux intrts fondamentaux du choix du trac logarithmique apparaissent clairementau travers de cet exemple : grce ce type de trac, la courbe possde des droites asymptotes qui nap-paratraient pas dans un trac cartsien classique. Par ailleurs, leffet lissant de la fonction logarithmepermet de considrer que la courbe relle se trouve longtemps trs proche de ses asymptotes. Parconsquent, nous pourrons trs souvent nous contenter dun trac asymptotique du diagramme de Bodede gain, la plupart du temps sufsant pour obtenir une ide assez ne du comportement frquentiel dusystme tudi.44 3 Modlisation frquentielle des systmes linaires continusFigure 3.3Diagramme de Bode dun systme du premier ordre.3.3 APPROCHE MTHODIQUE DU TRAC DES DIAGRAMMES DE BODE3.3.1 ObjectifNous allons tenter de tirer prot des deux intrts fondamentaux que nous venons de mettre en vidence.Lobjectif consiste acqurir une bonne matrise du trac rapide de nimporte quel diagramme de Bode(gain et phase). Les lignes qui suivent prsentent, partir dun exemple simple, la mthode utiliser.3.3.2 Construction dun diagrame de gain asymptotiqueConsidrons, pour lexemple, un systme de fonction de transfert :G( p) =( p + 1)( p + 100)p + 10La fonction de transfert en frquence de ce systme a pour expression :G( jv) = ( jv + 1)( jv + 100)jv + 10do : G(v) = [G( jv)[ =v2+ 1v2+ 1002v2+ 102Considrons les quivalents des trois expressionsv2+ 1,v2+ 102etv2+ 1002:v 1 1 + v2 1, v 1 1 + v2 vv 10 102+ v2 10, v 10 102+ v2 vv 100 1002+ v2 100, v 100 1002+ v2 vLide consiste dterminer un quivalent asymptotique (approch) de G(v) pour chaque intervalle comprisentre deux pulsations de coupure.Rassemblons les rsultats prcdents dans le tableau 3.1.3.3Approche mthodique du trac des Diagrammes de Bode 45Tableau 3.1CALCUL DES QUIVALENTS ASYMPTOTIQUES DU GAIN.On ralise alors un diagramme de Bode asymptotique en approximant la courbe entre deux pulsationsde coupures, par ses segments asymptotiques calculs dans le tableau (gure 3.4).Figure 3.4Diagramme de Bode de gain du systme.La direction asymptotique de phase se dduit immdiatement du diagramme de gain en multipliant lapente n de ce dernier par p/2 (gure 3.5).Figure 3.5Diagramme de Bode de phase du systme.Il suft alors dun peu dintuition pour imaginer lallure de la courbe relle (en pointill sur la gure 3.5),ce qui dispense de ltude complte de la fonctionw(v). On peut encore afner le trac en calculant lesextrema relatifs de la fonction. On veillera, lors dun trac intuitif, ne pas tracer la courbe relle jusquauxdirections asymptotiques calcules, compte tenu que ces valeurs sont... asymptotiques !46 3 Modlisation frquentielle des systmes linaires continus3.3.3 Mthode rapideOn peut tracer un diagramme de Bode sans faire ni calcul, ni tableau : dans la fonction de transfert G( p), re-prons les pulsations de coupure 1,10 et 100 et portons les en abscisse sur le diagramme de gain (gure 3.6).Figure 3.6Placement des pulsations de coupure.Calculons lquivalent asymptotique quand p tend vers 0 : G( p) 10. Ceci implique, bien videmmentG(v) 10, soit un gain de 20 dB. Cette expression est valable pour v < 1(jusqu la premire coupure),ce qui nous permet de tracer le premier segment (gure 3.7).Figure 3.7Trac du premier segment.Figure 3.8Trac du deuxime segment.Au del de la pulsation 1, le terme (p+1) va introduire un changement dquivalent : un terme en v ap-parat au numrateur de la fonction de transfert approche, la pente du segment asymptotique correspondantaugmente dune unit (de 20 dB par dcade). Voir gure 3.8.3.3Approche mthodique du trac des Diagrammes de Bode 47Et ce, jusqu la cassure suivante qui a lieu la pulsation 10. Le terme (p+10) tant au dnominateur, lapente diminue dune unit, et ce jusqu la pulsation 100 o elle sincrmente nouveau (gure 3.9).Figure 3.9Diagramme de Bode de gain du systme.3.3.4 Cas particuliersa) Prsence dun terme en p au numrateur ou au dnominateurOn cherche toujours lquivalent quandp tend vers 0, mais en prenant soin de laisser lep tel quel. Lediagramme asymptotique dbute alors par une pente non nulle ; on dtermine le segment par deux pointsparticuliers.Considrons par exemple le systme de fonction de transfert :G( p) =( p + 1)p( p + 10)Les deux pulsations de coupure sont facilement identies : 1 et 10. Par ailleurs, nous obtenons aismentun quivalent de la fonction de transfert lorsque p tend vers 0 :G( p) 110p lorsque p 0soit : G(v) 110v lorsque v 0Lquation du segment de droite correspondant dans le diagramme de Bode de gain est donc :GdB 20 log_110v_= 20 log v 20 dBIl nous suft alors de deux points (ou dun seul, par exemple GdB(1) = 20 log 1 20 dB= 20 dB, enconsidrant que la pente est connue, soit 20 dB/dcade) pour tracer ce segment de droite qui constituelquivalent asymptotique considr comme valable entre les pulsations 0 et 1 (v=1 tant la premirecoupure dtecte dans la fonction de transfert).Le trac des autres segments est immdiat (gure 3.10) : le terme en (p + 1) se trouvant au numrateur,la pente du segment sincrmente dune unit au passage de la pulsation 1. Le segment ainsi dtermin estvalable jusqu la coupure suivante v = 10, pulsation laquelle la pente de la courbe se dcrmente duneunit compte tenu que le terme en (p + 10) se trouve au dnominateur.48 3 Modlisation frquentielle des systmes linaires continusFigure 3.10Diagramme de Bode de gain du systme.Figure 3.11Diagramme de Bode de phase du systme.Compte tenu du choix des valeurs des pulsations de coupure, il est facile de positionner les pentes dessegments avec prcision, la pente dordre 1 correspondant une chute de 20 dB par dcade.Lediagrammedephasesedduit despentesdessegmentsdudiagrammedegain: chaquepentedordre 1 correpond une direction asymptotique de phase gale p/2 ; la pente dordre 0 nous donneune direction asymptotique de phase gale 0. On peut, intuitivement, esquisser la courbe relle (en poin-till sur la gure 3.11). La connaissance prcise de la valeur maximale du dphasage ne peut se faire, bienentendu, que par le calcul.b) Prsence dun terme au carrLorsquon passe la pulsation de coupure correspondante, on incrmente ou on dcrmente la pente de deuxunits (selon que terme est au numrateur ou au dnominateur).Considrons par exemple le systme de fonction de transfert :G( p) = 1000( p + 1)( p + 10)2Les deux pulsations de coupure sont facilement identies : 1 et 10. Par ailleurs, nous obtenons aismentun quivalent de la fonction de transfert lorsque p tend vers 0 :G( p) 10 lorsque p 0soit : G(v) 10 lorsque v 03.3Approche mthodique du trac des Diagrammes de Bode 49Lquation du segment de droite correspondant dans le diagramme de Bode de gain est donc :GdB 20 dBNous pouvons dj tracer ce segment de droite horizontal qui constitue lquivalent asymptotique considrcomme valable entre les pulsations 0 et 1 (v= 1 tant la premire coupure dtecte dans la fonction detransfert).Le trac du segment suivant est immdiat (gure 3.12) : le terme en (p + 1) se trouvant au numrateur,la pente du segment sincrmente dune unit au passage de la pulsation 1. Le segment ainsi dtermin estvalable jusqu la coupure suivantev=10, pulsation laquelle la pente de la courbe se dcrmente dedeux units tant donn que le terme en (p + 10) est au dnominateur et se trouve lev au carrCompte tenu du choix des valeurs des pulsations de coupure, il est facile de positionner les pentes dessegments avec prcision, la pente dordre 1 correspondant une croissance de 20 dB par dcade, celledordre 1 correspondant une chute de 20 dB par dcade.Figure 3.12Diagramme de Bode de gain du systme.Figure 3.13Diagramme de Bode de phase du systme.Le diagramme de phase se dduit des pentes des segments dans le diagramme de gain : la pente dordre 0nous donne une direction asymptotique de phase gale 0, celle dordre 1 correspond une directionasymptotique dep/2 et la pente dordre 1 correpond une direction asymptotique de phase gale p/2 . On peut, intuitivement, esquisser la courbe relle (en pointill sur la gure 3.13). Le trac rel nepeut bien videmment se faire de manire prcise quen calculant des points particuliers (par exemple lavaleur maximale wmax).50 3 Modlisation frquentielle des systmes linaires continus3.4 DIAGRAMME DE NYQUISTLe diagramme de Bode constitue un moyen trs efcace et facile daccs pour reprsenter graphiquementle comportement frquentiel dun systme. Toutefois, il est ncessaire de toujours effectuer deux graphes :gain et dphasage.Le diagramme de Nyquist permet dobtenir une reprsentation graphique de ce comportement sur ungraphe unique. Plus dlicat tracer, il revt nanmoins un intrt primordial en automatique, comme nousle verrons au chapitre 6 propos de ltude la stabilit des systmes asservis.3.4.1 DnitionLe diagramme de Nyquist, ou lieu de Nyquist dun systme est le lieu, en coordonnes polaires, des pointsM de coordonnes G(v) et w(v) lorsque v varie de 0 +(gure 3.14).ImImReReFigure 3.14Dnition du diagramme de Nyquist.Cest aussi le lieu, dans le plan complexe, des points dafxe G( jv), donc de coordonnes Re [G( jv)],Im[G( jv)] dans ce plan.Il est dusage dorienter le graphe dans le sens des v croissants et parfois, de graduer la courbe en v.3.4.2 Mthode de trac rapideOn peut certes, pour tracer le diagramme de Nyquist dun systme, raliser ltude complte en coordonnespolaires du lieu des points M de coordonnes G(v) et w(v) lorsque v varie de 0 +, voire mme fairecette tude en coordonnes cartsiennes paramtres Re [G( jv)], Im[G( jv)].On peut nanmoins raliser un trac sommaire dun lieu de Nyquist quelconque partir du diagrammede Bode en reportant dans le plan complexe, du mieux possible et en balayant les axes des pulsations de 0 +, chaque couple de points G(v) et w(v) relevs respectivement sur le diagramme de Bode de gain etsur celui de phase.Reprenons lexemple trait prcdemment avec :G( p) = 1000( p + 1)( p + 10)2Les gures 3.12 et 3.13 prsentent les fonctions G(v) et w(v) lorsque v varie de 0 +. Nous pouvonsdj placer dans le plan complexe le point de dpart du lieu de Nyquist, en relevant, dans les diagrammesde Bode, les valeurs du gain et du dphasage pour v = 0.On a : G(0) = 10 et w(0) = 0Soit A ce point de dpart.Exercices 51Remarque : Il nest plus question de gain en dcibels dans le diagramme de Nyquist ; cest bien lavaleur du gain rel qui y est reprsente.ImReFigure 3.15Diagramme de Nyquist du systme.Lorsque v commence crotre, le gain augmente tandis que langle w(v) crot jusqu une valeur wmax(gures 3.12 et 3.13). Cette volution nous permet deffectuer (intuitivement quant la forme) le trac dela portion AB de la courbe de Nyquist (gure 3.15).On remarquera, sur les diagrammes de Bode, que ce maximum de phase ne correspond pas au maximumde gain : le gain continue de crotre jusqu sa valeur maximale, tandis que w(v) se remet dcrotre. Lavaleur maximale Gmax du gain est atteinte pour une valeur dew(v) visiblement voisine de 0, ce qui nousamne au point C.Enn, tandis que le gain dcrot de cette valeur maximale jusqu 0 ( en dcibels), le dphasagecontinue sa dcroissance jusqu p/2. La dernire portion de courbe nous conduit donc au point O tan-gentiellement laxe des imaginaires puisque w(v) tend vers p/2.Remarque : Hormis les diagrammes de Bode et de Nyquist, il existe dautres modes de reprsentationdu comportement frquentiel dun systme linaire. Nous nous limiterons toutefois ces deux typesde graphe qui constituent les outils qui nous serons ncessaires lorsque nous aborderons ltude dessystme asservis.EXERCICES3.1Diagramme de Bode dun systme du second ordreTracer le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) dun systme de fonction de transfertG( p)dni par :G( p) =1000(p + 1) (p + 100)52 3 Modlisation frquentielle des systmes linaires continus3.2Diagramme de Bode dun systme du deuxime ordre un ple nulTracer le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) dun systme de fonction de transfertG( p)dni par :G( p) = 1000 (p + 1)p (p + 10)3.3Diagramme de Bode dun systme du second ordre un zro nulTracer le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) dun systme de fonction de transfertG( p)dni par :G( p) =10p(p + 1) (p + 100)3.4Diagramme de Bode dun systme du second ordre un ple doubleTracer le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) dun systme de fonction de transfertG( p)dni par :G( p) = (p + 1) (p + 100)(p + 10)2Montrer que le diagramme de Bode asymptotique de gain possde une symtrie par rapport la droitedquationv= 10 et en dduire la valeur maximale prcise Gmax du gain. Dterminer, pour la pulsationvmax correspondant ce maximum, la valeur du dphasage.3.5Rglage du gain statique dun systmeOn considre le systme de fonction de transfert G( p) dnie par :G( p) =K(p + 1) (p + 100)Dterminer la valeur de K pour laquelle la pulsation de coupure 0 dB, dnie par G(vc0) = 1 ou encorepar GdB (vc0) = 20 log G(vc0) = 0 est gale 5 rad/s.3.6Diagramme de Nyquist dun systme du troisime ordreOn considre le systme de fonction de transfert G( p) dnie par :G( p) =104p (p + 10) (p + 100)Tracer le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) de ce systme et en dduire son diagrammede Nyquist. On sattachera, notamment, dmontrer lexistence dune asymptote la courbe de Nyquistlorsque v 0.Solutions des exercices 533.7Diagramme de Nyquist dun systme du quatrime ordreOn considre le systme de fonction de transfert G( p) dnie par :G( p) =1000p (p + 1)2(p + 10)Tracer le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) de ce systme et en dduire son diagrammede Nyquist. On sattachera, notamment, dmontrer lexistence dune asymptote la courbe de Nyquistlorsque v 0.3.8Spectre du signal de sortie dun systmeOn considre le systme de fonction de transfert G( p) dnie par :G( p) =10(p + 1)On injecte dans ce systme un signal dentre e(t) = et.Calculer et tracer le spectre du signal de sortie s(t).3.9Amplitude du signal de sortie sinusodal dun systmeOn considre le systme de fonction de transfert G( p) dnie par :G( p) = 10 (p + 10)(p + 1)On injecte dans ce systme un signal dentre e(t) = Acos vt.Calculer lexpression du signal de sortie s(t) dans les deux cas suivants :A = 10v = 1 rad/setA = 100v = 1000 rad/sSOLUTIONS3.1 Dterminons tout dabord un quivalent du gain lorsque p tend vers 0 (cest--dire lorsque v tend vers 0).On a : G( p) 1000100= 10 G(v) 10soit : GdB= 20 log G(v) 20 dBNous pouvons donc tracer le premier segment asymptotique du diagramme de gain, valable entre 0 et la premirepulsation de coupure, cest--dire v = 1 rad/s (gure 3.16).54 3 Modlisation frquentielle des systmes linaires continusAu del de cette pulsation de coupure, nous changeons de direction asymptotique ; comme le terme ( p +1) se trouve audnominateur, la pente se dcrmente dune unit. Nous obtenons donc un segment de droite de pente [1], autrementdit 20 dB/dcade. Ce segment formant un graphe continu avec le segment prcdent, il suft de veiller respecter lavaleur de la pente. Comme cet quivalent reste valable jusqu la coupure suivante (v= 100 rad/s), nous traons unsegment qui dcrot de 40 dB sur lintervalle [1, 100] qui correspond 2 dcades. partir de v = 100 rad/s, nous aurons une direction asymptotique de pente [2] puisque le terme ( p + 100) se trouveau dnominateur. Veillons respecter la valeur de la pente : entre 100 et 1000 rad/s, le gain chute de 40 dB (pente40 dB/dcade).Le diagramme asymptotique de phase se dduit immdiatement du diagramme de gain en associant chaque segmentde pente [n] une direction asymptotique de phase gale np/2.Figure 3.16Diagramme de Bode de gain du systme.Figure 3.17Diagramme de Bode de phase du systme.3.2 Dterminons tout dabord un quivalent du gain lorsque p tend vers 0 (cest--dire lorsque v tend vers 0).On a : G( p) 100010p G(v) 100vsoit : GdB= 20 log G(v) 40 dB 20 log vNous pouvons donc tracer le premier segment asymptotique du diagramme de gain, valable entre 0 et la premirepulsationdecoupure, cest--direv=1 rad/s(gure 3.18). Ilsagitdunsegment depente[1]autrementdit20 dB/dcade. La connaissance dun point suft donc pour tracer de segment, par exemple :GdB(1) = 40 dBLe premier segment asymptotique, sur lintervalle [0, 1] possde donc une pente de 20 dB/dcade et sarrte au point(1, 40 dB), comme indiqu sur la gure 3.18.Solutions des exercices 55Au del de la pulsation de coupure v= 1 rad/s, nous changeons de direction asymptotique ; comme le terme ( p + 1)se trouve au numrateur, la pente sincrmente dune unit. Nous obtenons donc un segment de droite de pente [0]. Cesegment formant un graphe continu avec le segment prcdent, il est facile tracer et reste valable jusqu la coupuresuivante (v = 10 rad/s).Figure 3.18Diagramme de Bode de gain du systme.Figure 3.19Diagramme de Bode de phase du systme. partir de v = 10 rad/s, nous aurons nouveau une direction asymptotique de pente [1] puisque le terme ( p+10) setrouve au dnominateur. Veillons respecter la valeur de la pente : entre 10 et 100 rad/s, le gain chute de 20 dB (pente40 dB/dcade).Le diagramme asymptotique de phase se dduit immdiatement du diagramme de gain en associant chaque segmentde pente [n] une direction asymptotique de phase gale np/2.3.3 Dterminons tout dabord un quivalent du gain lorsque p tend vers 0 (cest--dire lorsque v tend vers 0).On a : G( p) p10 G(v) v10soit : GdB= 20 log G(v) 20 log v 20 dBNous pouvons donc tracer le premier segment asymptotique du diagramme de gain, valable entre 0 et la premire pulsa-tion de coupure, cest--dire v = 1 rad/s (gure 3.20). Il sagit dun segment de pente [+1] autrement dit 20 dB/dcade.La connaissance dun point suft donc pour tracer de segment, par exemple :GdB(1) = 20 dBLe premier segment asymptotique, sur lintervalle [0, 1] possde donc une pente de 20 dB/dcade et sarrte au point(1, 20 dB), comme indiqu sur la gure 3.20.Au del de la pulsation de coupure v = 1 rad/s, nous changeons de direction asymptotique ; comme le terme ( p + 1) setrouve au dnominateur, la pente se dcrmente dune unit. Nous obtenons donc un segment de droite de pente [0]. Ce56 3 Modlisation frquentielle des systmes linaires continusFigure 3.20Diagramme de Bode de gain du systme.Figure 3.21Diagramme de Bode de phase du systme.segment formant un graphe continu avec le segment prcdent, il est facile tracer et reste valable jusqu la coupuresuivante (v = 100 rad/s). partir de v = 100 rad/s, nous aurons une direction asymptotique de pente [1] puisque le terme ( p + 100) se trouveau dnominateur. Veillons respecter la valeur de la pente : entre 100 et 1000 rad/s, le gain chute de 20 dB (pente20 dB/dcade).Le diagramme asymptotique de phase se dduit immdiatement du diagramme de gain en associant chaque segmentde pente [n] une direction asymptotique de phase gale np/2.3.4 Dterminons tout dabord un quivalent du gain lorsque p tend vers 0 (cest--dire lorsque v tend vers 0).On a : G( p) 1 G(v) 1soit : GdB= 0 dBNous pouvons donc tracer le premier segment asymptotique du diagramme de gain, valable entre 0 et la premirepulsation de coupure, cest--dire v = 1 rad/s (gure 3.22). Il sagit dun segment horizontal.Au del de la pulsation de coupure v= 1 rad/s, nous changeons de direction asymptotique ; comme le terme ( p + 1)se trouve au numrateur, nous avons dsormais une pente [1]. Le nouveau segment reste valable jusqu la coupuresuivante (v= 10 rad/s). Le segment possdant une pente de 20 dB/dcade, il sarrte donc au point de coordonnes(10, 20 dB). partir de v = 10 rad/s, la pente se dcrmente de deux units puisque le terme ( p + 10) se trouve au dnominateur etest lev au carr. Le nouveau segment va du point (10, 20 dB) au point (100, 0 dB) puisquil possde une pente gale 20 dB/dcade. Enn, au del de la pulsation v = 100 rad/s, nous retrouvons une pente [0].Le diagramme asymptotique de phase se dduit immdiatement du diagramme de gain en associant chaque segmentde pente [n] une direction asymptotique de phase gale np/2.Solutions des exercices 57Figure 3.22Diagramme de Bode de gain du systme.Figure 3.23Diagramme de Bode de phase du systme.De toute vidence, le diagramme asymptotique de gain est symtrique par rapport la droite dquation v = 10 rad/s.Il est nanmoins ncessaire de dmontrer que le diagramme de Bode rel possde la mme symtrie.Pour ce faire considrons lexpression relle du gain :G( p) =(p + 1) (p + 100)(p + 10)2 G(v) =v2+ 1v2+ 104v2+ 100Pour dmontrer la symtrie, il nous faut montrer que le gain pour une pulsation donnev1est gal au gain pourla pulsationv2qui lui est symtrique par rapport v=10 rad/s. Mais attention, nous sommes sur une chellelogarithmique (gure 3.24).Figure 3.24Conditions de symtrie.Par consquent, la condition dquidistance (v1 10) et (10 v2) sexprime de la manire suivante :log 10 log v1= log v2log 1058 3 Modlisation frquentielle des systmes linaires continusSoit : log v2 + log v1= 2 log 10 = log 100do : v2=100v1Pour dmontrer la symtrie du diagramme de gain rel par rapport la droite dquationv=10rad/s, il faut quelexpression du gain soit inchange lorsque lon change v en 100/v.On peut galement chercher montrer que : G_100p_= G(p)G_100p_=_100p+ 1__100p+ 100__100p+ 10_2Multiplions cette fonction, au numrateur comme au dnominateur, par p2.On obtient : G_100p_=(100 + p) (100 + 100p)(100 + 10p)2=100 (100 + p) (1 + p)100 (10 + p)2= G( p)Lasymtriedudiagramme relestdoncbiendmontre. Legainmaximal estdoncobligatoirementobtenupourv = 10 rad/s.On a donc : Gmax=100 + 1 100 + 104100 + 100 5soit : Gmax 20 log 5 14 dBPar ailleurs, la valeur du dphasage, pour v = 10 rad/s est dnie par :w(vmax) = arctan 10 + arctan110 2 arctan 1 =p2 2 arctan 1 = 0La connaissance de Gmax et celle du dphasage correspondant permettent desquisser le trac rels des deux courbes(gures 3.22 et 3.23).3.5 Calculons lexpression du gain rel :On considre le systme de fonction de transfert G( p) dnie par :G( p) =K(p + 1) (p + 100) G(v) =Kv2+ 1v2+ 104Pour vc0, on a : G(vc0) =K_v2c0 + 1_v2c0 + 104= 1Solutions des exercices 59do : G(vc0) =K52+ 152+ 104= 1On en dduit : K=25 + 125 + 104= 5113.6 Dterminons tout dabord un quivalent du gain lorsque p tend vers 0 (cest--dire lorsque v tend vers 0).On a : G( p) 10p G(v) 10vsoit : GdB= 20 log G(v) 20 dB 20 log vNous pouvons donc tracer le premier segment asymptotique du diagramme de gain, valable entre 0 et la premirepulsation de coupure, cest--direv=10rad/s (gure 3.25). Il sagit dun segment de pente [1] autrement dit20 dB/dcade. La connaissance dun point suft donc pour tracer de segment, par exemple :GdB(1) = 20 dB ou encore GdB(10) = 0 dBLe premier segment asymptotique, sur lintervalle [0, 10] possde donc une pente de 20 dB/dcade et sarrte aupoint (10, 0 dB), comme indiqu sur la gure 3.25.Au del de la pulsation de coupure v = 10 rad/s, nous changeons de direction asymptotique ; comme le terme ( p + 10)se trouve au dnominateur, la pente se dcrmente dune unit. Nous obtenons donc un segment de droite de pente[2]. Ce segment formant un graphe continu avec le segment prcdent, il est facile tracer et reste valable jusqu lacoupure suivante (v = 100 rad/s).Figure 3.25 Diagramme de Bode de gaindu systme.Figure 3.26 Diagramme de Bode dephase du systme. partir de v = 100 rad/s, nous aurons une direction asymptotique de pente [3] puisque le terme ( p + 100) se trouveau dnominateur. Veillons respecter la valeur de la pente : entre 100 et 1000 rad/s, par exemple, le gain chute de 60dB (pente 60 dB/dcade).Le diagramme asymptotique de phase se dduit immdiatement du diagramme de gain en associant chaque segmentde pente [n] une direction asymptotique de phase gale np/2.60 3 Modlisation frquentielle des systmes linaires continusLa meilleure technique, pour tracer le diagramme de Nyquist partir du diagramme de Bode, consiste considrer lediagramme de phase :Le dphasagew(v) varie entre p2et 3p2. Dans le plan de Nyquist reprsent sur la gure 3.27, cela correspondaux deux secteurs griss. Lorsquev=0 (point de dpart du lieu de Nyquist), ce dphasage vaut p2et le gain estinni. Il faut, pour esquisser la courbe, imaginer une rotation autour du point O, ici entre p2et 3p2et reporter, touten tournant, la valeur du gain. La courbe recherche part du secteur gris infrieur, coupe laxe des rels (w(v) = p)pour un gain dj infrieur 1 et termine sa course au point O avec une tangente verticale. En effet, lorsque w(v) varieentre p2et 3p2, le gain ne fait que dcrotre de linni 0.Pour dmontrer lexistence dune asymptote lorsque v 0, calculons la fonction de transfert en frquence :G( jv) =104jv(jv + 10) (jv + 100)Il convient de sparer la partie relle et la partie imaginaire pour pouvoir faire une tude aux limites :G( jv) =104jv(jv + 10) (jv + 100)= 104jv(jv + 10) (jv + 100)v2_v2+ 100_ _v2+ 104_Soit : G( jv) = 104jv_1000 v2110jv_v2_v2+ 100_ _v2+ 104_do : G( jv) = 104110_v2+ 100_ _v2+ 104_ j104_1000 v2_v_v2+ 100_ _v2+ 104_On vrie bien que la partie imaginaire tend vers , lorsque v 0 et on montre que la partie relle tend vers 1,1.La droite dquation X= 1,1 est donc asymptote la courbe.ImReFigure 3.27Diagramme de Nyquist du systme.3.7 Dterminons tout dabord un quivalent du gain lorsque p tend vers 0 (cest--dire lorsque v tend vers 0).On a : G( p) 100p G(v) 100vSolutions des exercices 61soit : GdB= 20 log G(v) 40 dB 20 log vNous pouvons donc tracer le premier segment asymptotique du diagramme de gain, valable entre 0 et la premirepulsationdecoupure, cest--direv=1 rad/s(gure 3.28). Ilsagitdunsegment depente[1]autrementdit20 dB/dcade. La connaissance dun point suft donc pour tracer de segment, par exemple :GdB(1) = 40 dBLe premier segment asymptotique, sur lintervalle [0, 1] possde donc une pente de 20 dB/dcade et sarrte au point(1, 40 dB), comme indiqu sur la gure 3.28.Au del de la pulsation de coupure v= 1 rad/s, nous changeons de direction asymptotique ; comme le terme ( p + 1)se trouve au dnominateur et quil est lev au carr, la pente se dcrmente de deux units. Nous obtenons donc unsegment de droite de pente [3]. Ce segment formant un graphe continu avec le segment prcdent, il est facile traceret reste valable jusqu la coupure suivante (v = 10 rad/s).Figure 3.28Diagramme de Bode de gain du systme.Figure 3.29Diagramme de Bode de phase du systme. partir de v= 10 rad/s, nous aurons une direction asymptotique de pente [4] puisque le terme ( p + 10) se trouveau dnominateur. Veillons respecter la valeur de la pente : entre 10 et 100 rad/s, par exemple, le gain chute de 80 dB(pente 80 dB/dcade).62 3 Modlisation frquentielle des systmes linaires continusLe diagramme asymptotique de phase se dduit immdiatement du diagramme de gain en associant chaque segmentde pente [n] une direction asymptotique de phase gale np/2. ImReFigure 3.30Diagramme de Nyquist du systme.La meilleure technique, pour tracer le diagramme de Nyquist partir du diagramme de Bode, consiste considrer lediagramme de phase :Le dphasage w(v) varie entre p2et 2p. Dans le plan de Nyquist reprsent sur la gure 3.29, cela correspond auxtrois secteu