présenté par bensid yazid - univ-oran1.dz · bensid yazid 24 mai 2011. 2 introduction qu’est ce...

Université d’ORANFaculté des Sciences

Département de Mathématiques

Mémoire de MAGISTERen Mathématiques

Option: Asymptotique des équations différentielles et calcul formel

Présenté par

BENSID YAZID

Thème :

Soutenu devant la commission d’éxamination :

M. M.BELKHELFA Professeur Univ. De Mascara Président

Mlle F. BOUDAOUD M.C.A Université d’Oran rapporteur

M. K BELGHABA M.C.A Université d’Oran Examinateur

M. A.HAKEM M.C.A Université De SBA Examinateur

M.A. BOUHASSOUN M.C.A Université d’Oran Examinateur

Etude des courbes de Bézier et des B-splines

dédicace

A ceux qui m'ont tout appris...

A mes parents

A mon frère

je dédie ce travail.

Remerciements

Que tous mes professeurs trouvent ici

l’expression de toute ma gratitude,

particulièrement ma directrice de thèse

F.BOUDAOUD pour ses conseils précieux et

tout l’intérêt qu’elle a porté à cette étude.

Je tiens à remercier Mr. BELKHALFA pour

avoir présidé le jury.

Mes remerciements vont aussi à Messieurs

BOUHASSOUN, BELGHABA et HAKEM

pour avoir bien voulu faire partie du jury.

courbes de Bezier et B-splines

Bensid Yazid

24 mai 2011

2

IntroductionQu’est ce que la modelisation geometrique ?

Le terme ”modelisation geometrique” est apparu pour la premiere fois du-rant la fin des annees soixantes et au debut des annees soixantes-dix, untemps ou les graphismes par ordinateur, le dessin assiste par ordinateur etles technologies industrielles connaissaient un devellopement rapide.

La discipline de modelisation geometrique est une collection de methodesmathematiques qu’on utilise pour decrire la forme d’un objet ou pourexprimer un quelconque processus physique en terme de metaphore geometriqueappropriee.

Ces methodes comprennent le dessin geometrique assiste par ordinateur(ou CAGD pour : Computer Aided Geometric Design), la modelisation dessolides, la geometrie algebrique et la geometrie calculatoire.

Le dessin geometrique assiste par ordinateur (CAGD) applique lesmathematiques des courbes et surfaces a la modelisation, essentiellement enutilisant les equations parametriques de la geometrie differentielle. c’est la ouse trouve les racines de la modelisation geometrique contemporaine.

La modelisation des solides (souvent appellee ”geometrie de constructiondes solides” ou CSG) nous permet de combiner des formes simples pour creerdes modeles de solides complexes. Le CSG puise ses fondements mathema-tiques dans la topologie, la geometrie algebrique et l’algebre booleenne.

La geometrie algebrique est l’extension contemporaine de la geometrieanalytique classique, elle comprend aussi la geometrie differentielle.

La geometrie calculatoire s’occupe de creer et analyser des algorithmesgeometriques, elle a des liens forts avec les methodes numeriques, la theoriecalculatoire et l’analyse complexe.

Le dessin geometrique assiste par ordinateur et la geometrie des solidessont des branches de la modelisation geometrique alors que les geometriesalgebrique et calculatoire touchent aussi a d’autres champs mathematiques.

Quand on construit un modele d’un objet, on cree un substitut, unerepresentation. L’objet peut deja exister ou alors etre le dessin d’un objetfutur qui n’existe pas encore. L’objet peut etre aussi un phenomene physiquequ’on aimerai etudier.

Un modele efficace doit etre plus facile a tester et a analyser que l’objetmodelise. Il doit aussi reagir (de maniere limitee) de la meme facon que l’objetetudie.

Modeliser quelquechose, veut dire, alors, lui donner une forme.En modelisation geometrique, on definit une forme par un ensemble d’enonces

3

mathematiques ainsi que par des relations logiques satisfaisants un certainnombre d’axiomes. Ces axiomes sont poses tels que les proprietes generalesdu modele etudie soient representatives de l’objet modelise. La modelisationgeometrique est le processus de creation de ces enonces et relations.

Traditionnellement, les modeles etaient faits en argile ou en bois, ou alorsdessines en forme de plan.

Pour les objets tres grands, les modeles etaient bien plus petits et plusfaciles a evaluer avant de passer a la construction de l’objet lui-meme.

De nos jours, on utilise la modelisation geometrique pour creer une des-cription mathematique precise de la forme d’un objet hypothetique ou reel,ou pour simuler un phenomene physique. Le modele obtenu est analytiqueet abstrait, contrastant avec les modeles physiques utilises dans le passe quietaient eux bien concrets.

Pourquoi modeliser un objet ?

On cree un modele physique ou abstrait, pour disposer d’un substitut econo-mique et maniable a l’objet etudie et parce qu’il est plus facile et plus pratiqued’analyser un modele que de tester, mesurer ou d’experimenter avec l’objetou le phenomene reel. Cela peut etre du a la taille (l’objet etant trop grandou trop petit), a la complexite (le modele est plus simple relativement auxcaracteristiques interessantes), ou au temps (le phenomene est trop rapide,trop lent ou incontrolable).

Au dela des avantages d’analyse, le modele mathematique est un impor-tant moyen pour transmettre les informations, c’est le cas dans l’industrie, oudes robots peuvent construire des pieces mecaniques complexes en disposantde leur modele geometrique abstrait.

La modelisation geometrique est devenue reellement incontournable dansbeaucoup de secteurs d’activites. La modelisation geometrique, usant de lageometrie analytique et differentielle, des vecteurs et matrices, des tenseurs,de la topologie, de la theorie des ensembles et tout un arsenal de methodesnumeriques pour saisir la description potentiellement complexe d’un objet,requiert la puissance d’un ordinateur. Il s’agit d’un processus assiste parordinateur ou le modele est stocke et analyse dans la machine.

L’utilisation de l’ordinateur est, en effet, centrale dans le processus demodelisation. Sans machine de calcul, il serait impossible de construire etd’analyser des modeles assez sophistiques et complexes et qui soient d’uneimportance pratique.

Champs d’application de la modelisation geometrique :

4

On peut distinguer trois champs d’application :

1) la representation d’un objet existant.

2) un dessin initial, ou on doit creer un objet nouveau pour satisfaire cer-tains buts esthetiques ou fonctionnels en definissant et en revisant uneforme d’un objet hypothetique en lui appliquant differentes transforma-tions jusqu’a obtenir la forme voulue au depart. Ceci peut etre illustre parle processus de creation d’une nouvelle voiture ou d’une nouvelle piecemecanique par exemple.

3) le rendu : ou on doit generer une image du modele pour l’interpretervisuellement

Les graphismes, le dessin assiste par ordinateur ainsi que la fabrication assistepar ordinateur ont ete ,et continuent d’etre, a l’origine du devellopement dela modelisation geometrique.

Aujourd’hui, la robotique, la realite virtuelle, la visualisation scienti-fique et l’intelligence artificielle font de nouvelles demandes a la modelisationgeometrique.

Les graphismes d’ordinateurs peuvent maintenant produire des rendustres realistes des objets tridimensionnels, y compris l’apparence des textures,des ombres ainsi que la luminosite des objets. L’art, l’animation et la realitevirtuelle sont toutes en train de faire progresser cette science tous les jourset l’avenir et prometteur : de nombreux challenges l’attendent de l’art al’industrie.

Courbes de Bezier et modelisation geometrique :

En modelisation geometrique, il s’agit de creer des modeles c’est a diredes formes, mais pas n’importe quelle forme. Celles-ci doivent avoir un sensmathematique, il faut donc qu’elles soient definies par certaines equations.Il faut aussi qu’elles soient maleables et faciles a transformer et a manipu-ler. Seules certaines courbes satisfont a ces conditions dont celles qui ferontl’objet de notre etude : Les courbes de Bezier et leurs generalisation, lesB-splines.

Table des matieres

1 Les Polynomes de Bernstein 91.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Proprietes des polynomes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Recurrence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Partition de l’unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Positivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Derivation des polynomes de Bernstein : . . . . . . . . . . . . 12

2 Les Courbes de Bezier 152.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Parametrisation d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Equations explicites et implicites d’une courbe . . . . . 152.2.2 Representation parametrique . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Construction geometrique des courbes de Bezier . . . . . . . . 19

2.4.1 Algorithme de De Casteljau . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.2 Demonstration de l’algorithme de De Casteljau : . . . . 22

2.5 Derivation des courbes de Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Derivation d’une courbe de Bezier et algorithme de De Casteljau 27

2.6.1 Premiere methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6.2 Seconde methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7 Proprietes des courbes de Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7.1 Interpolation des extremites . . . . . . . . . . . . . . . 292.7.2 Tangeantes aux extremites . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7.3 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7.4 Envellope convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7.5 Invariance sous les transformations affines . . . . . . . 31

2.8 Subdivision d’une courbe de Bezier . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Courbes de Bezier par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.9.1 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5

6 TABLE DES MATIERES

3 Courbe de Bezier Rationnelle 393.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Coordonnees homogenes et espace projectif : . . . . . . . . . . 403.4 Interpretation geometrique des courbes de Bezier rationnelles . 423.5 Proprietes des courbes de Bezier rationnelles . . . . . . . . . . 43

3.5.1 Propriete de l’envellope convexe . . . . . . . . . . . . . 443.5.2 Interpolation des extremites . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.3 Tangeante a l’extremite . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.4 Invariance sous les transformations affines . . . . . . . 443.5.5 Invariance sous les transformations projectives . . . . . 45

3.6 Algorithme de De Casteljau pour les courbes de Bezier rationelles 453.7 Derivation des courbes de Bezier rationnelles . . . . . . . . . . 47

4 Les Fonctions de Base des B-splines 514.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Derivation des B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Proprietes des fonctions de base des B-splines . . . . . . . . . 57

4.3.1 Support local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3.2 Nonnegativite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.3 Polynomes par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.4 Partition de l’unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.5 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Courbes B-splines 635.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Relation entre le degre de la courbe ”d”, le nombre de noeuds

”m+1” et le nombre de points de controle ”n+1” . . . . . . . 645.3 Relation entre les courbes B-splines et celles de Bezier . . . . . 655.4 Proprietes des courbes B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4.1 Controle local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4.2 Modification locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4.3 Enveloppe convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4.4 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4.5 Invariance par transformation affine . . . . . . . . . . . 685.4.6 Interpolation des extremites . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5 L’algorithme de De Boor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.5.1 Presentation de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . 695.5.2 Preuve de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.6 Derivation des courbes B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.7 Insertion de noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

TABLE DES MATIERES 7

6 B-spline Rationnelles Non Uniformes 796.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Proprietes des courbes NURBS . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2.1 Controle local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.2 Propriete de l’enveloppe convexe . . . . . . . . . . . . 816.2.3 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.4 Invariance par transformation affine . . . . . . . . . . . 816.2.5 Invariance par transformation projective . . . . . . . . 81

6.3 Algorithme de De Boor pour le cas rationnel . . . . . . . . . . 826.3.1 Description de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.4 Derivation d’une courbe NURBS . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8 TABLE DES MATIERES

Chapitre 1

Les Polynomes de Bernstein

Dans ce chapitre nous allons presenter les polynomes de Bernstein, nommesainsi en l’honneur du mathematicien ukrainien Sergeı Natanovich Bernstein(1880-1968). Ces polynomes vont nous servir par la suite a definir les courbesde Bezier.

1.1 Definition

Les polynomes de Bernstein de degre n sont definis sur [0, 1] par[3] :

Bi,n(t) =

(

n

i

)

ti(1− t)n−i si 0 ≤ i ≤ n

0 ailleurs(1.1)

avec :

(

n

i

)

=n!

i!(n− i)!

exemple 1.1Dans le cas cubique (n = 3) les polynomes de Bernstein sont donnees par :

B0,3(t) = (1− t)3

B1,3(t) = 3t(1− t)2

B2,3(t) = 3t2(1− t)

B3,3(t) = t3

On voit, entre autre qu’ils sont tous positifs pour t ∈ [0, 1] et que leur sommeest egale a 1.

9

10 CHAPITRE 1. LES POLYNOMES DE BERNSTEIN

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

Figure 1.1 – Polynomes de Bernstein de degre 3

1.2 Proprietes des polynomes de Bernstein

Comme nous le verrons dans le chapitre suivant, les proprietes des courbesde Bezier decoulent de celles des polynomes de Bernstein que nous allonsetudier maintenant [1],[3],[5] :

1.2.1 Recurrence :

Bi,n(t) = (1− t)Bi,n−1(t) + tBi−1,n−1(t)

avec B0,0(t) = 1 et Bj,n(t) = 0 ∀j /∈ {0, ..., n}

Preuve :

(

n

i

)

=n!

i!(n− i)!

=(n− i+ i)(n− 1)!

i!(n− i)!

=(n− i)(n− 1)! + i(n− 1)!

i!(n− i)!

1.2. PROPRIETES DES POLYNOMES DE BERNSTEIN 11

=(n− i)(n− 1)!

i!(n− i)!+

i(n− 1)!

i!(n− i)!

=(n− 1)!

i!(n− i− 1)!+

(n− 1)!

(i− 1)!(n− i)!

Pour i ∈ [0, n]

Bi,n(t) =

(

n

i

)

ti(1− t)n−i

=(n− 1)!

i!(n− i− 1)!ti(1− t)n−i +

(n− 1)!

(i− 1)!(n− i)!ti(1− t)n−i

= (1− t)(n− 1)!

i!(n− i− 1)!ti(1− t)n−i−1 + t

(n− 1)!

(i− 1)!(n− i)!ti−1(1− t)n−i

= (1− t)Bi,n−1(t) + tBi−1,n−1(t)

1.2.2 Partition de l’unite

n∑

j=0

Bj,n(t) = 1

Preuve :

1 = [(1− t) + t]n

=n∑

j=0

(

n

j

)

tj(1− t)n−j

=n∑

j=0

Bj,n(t)

1.2.3 Positivite

Les polynomes de Bernstein sont non negatifs sur [0, 1] :

∀t ∈ [0, 1], Bi,n(t) ≥ 0

Preuve :

Bi,n(t) =

(

n

i

)

ti(1− t)n−i si 0 ≤ i ≤ n

0 ailleurs


(

n

i

)

> 0 et pour t ∈ [0, 1], t ≥ 0 et 1− t ≥ 0 ⇒ ti ≥ 0 et (1− t)n−i ≥ 0Donc ∀t ∈ [0, 1], Bi,n(t) ≥ 0

1.2.4 Symmetrie

Si 0 ≤ i ≤ n Alors Bi,n(1− t) = Bn−i,n(t)

Preuve :

∀i ∈ {0, ..., n}, Bi,n(u) =

(

n

i

)

ui(1− u)n−i

⇒ Bi,n(1− t) =

(

n

i

)

(1− t)i[1− (1− t)]n−i

=

(

n

i

)

tn−i(1− t)i

Or(

n

i

)

=n!

i!(n− i)!

=n!

(n− i)![n− (n− i)]!

=

(

n

n− i

)

D’ou

Bi,n(1− t) =

(

n

n− i

)

tn−i(1− t)i

= Bn−i,n(t)

1.3 Derivation des polynomes de Bernstein :

Theoreme 1.1Soient Bi,n(t)les polynomes de Bernstein de degre n.

Alors, on a les resultats suivants :

1.

B′i,n(t) =

i− nt

t(1− t)Bi,n(t) (1.2)

1.3. DERIVATION DES POLYNOMES DE BERNSTEIN : 13

2.

B(2)i,n (t) =

i(i− 1)− 2i(n− 1)t+ n(n− 1)t2

t2(1− t)2Bi,n(t) (1.3)

3.B′

i,n(t) = n[Bi−1,n−1(t)−Bi,n−1(t)] (1.4)

Preuve :On commence par demontrer la relation (1.2)

Bi,n(t) =

(

n

i

)

ti(1− t)n−i

⇒ B′i,n(t) =

(

n

i

)

[

iti−1(1− t)n−i − ti(n− i)(1− t)n−i−1]

=

(

n

i

)

ti(1− t)n−i

(

i

t−

n− i

1− t

)

=

(

i

t−

n− i

1− t

)(

n

i

)

ti(1− t)n−i

=(1− t)i− t(n− i)

t(1− t)Bi,n(t)

=i− nt

t(1− t)Bi,n(t)

On demontre la relation (1.3) :

B2i,n(t) = [B′

i,n(t)]′

=

[

i− nt

t(1− t)Bi,n(t)

]′

=−nt(1− t)− (i− nt)(1− 2t)

t2(1− t)2Bi,n(t) +

i− nt

t(1− t)B′

i,n(t)

=−nt(1− t)− (i− nt)(1− 2t)

t2(1− t)2Bi,n(t) +

(i− nt)2

t2(1− t)2Bi,n(t)

=−nt(1− t)− (i− nt)(1− 2t) + (i− nt)2

t2(1− t)2Bi,n(t)

=−nt+ nt2 + 2it− i− 2nt2 + nt+ i2 − 2int+ n2t2

t2(1− t)2Bi,n(t)

=(i2 − i) + (2it− 2int) + (n2t2 − nt2)

t2(1− t)2Bi,n(t)

=i(i− 1)− 2i(n− 1)t+ n(n− 1)t2

t2(1− t)2Bi,n(t)


Enfin, on demontre la relation (1.4) :

d

dtBi,n(t) =

d

dt

(

n!

i!(n− i)!ti(1− t)n−i

)

=in!

i!(n− i)!ti−1(1− t)n−i −

(n− i)n!

i!(n− i)!ti(1− t)n−i−1

=n!

(i− 1)!(n− i)!ti−1(1− t)n−i −

n!

i!(n− i− 1)!ti(1− t)n−i−1

= n

[

(n− 1)!

(i− 1)!(n− i)!ti−1(1− t)n−i −

(n− 1)!

i!(n− i− 1)!ti(1− t)n−i−1

]

= n [Bi−1,n−1(t)− Bi,n−1(t)]

Chapitre 2

Les Courbes de Bezier

2.1 Introduction

Les courbes de Bezier sont des courbes polynomiales parametriques decritespour la premiere fois en 1962 par l’ingenieur francais Pierre Bezier (1910-1999) qui les utilisa chez Renault pour concevoir des pieces d’automobile al’aide d’ordinateurs.

Dans ce chapitre, nous allons definir ce que sont les courbes de Bezier[2],[1],[5],[8], decrire leurs principales proprietes et presenter un algorithmetres efficace pour tracer simplement ces courbes.

2.2 Parametrisation d’une courbe

Il existe trois manieres differentes pour decrire une courbe :

1) representation explicite.

2) representation implicite.

3) representation parametrique.

2.2.1 Equations explicites et implicites d’une courbe

Dans le plan, l’equation explicite d’une courbe prend la forme generale :

y = f(x)

Sous cette forme, il y a une seule valeur y pour chaque valeur x.En consequence, cette equation ne peut pas representer une courbe fermee

ou a plusieurs valeurs.

15

16 CHAPITRE 2. LES COURBES DE BEZIER

le probleme peut etre contourne grace a l’utilisation de l’equation impli-cite dont la forme generale est donnee par :f(x, y) = 0

Comme les deux formes explicites et implicites sont dependantes des axes,le systeme de coordonnees choisi affecte l’allure de la courbe. C’est la raisonpour laquelle elles sont peu utilisees en modelisation.

En depit de ces limitations, ces deux formes peuvent etre tres utiles pourla determination de l’intersection de deux courbes, ou pour savoir si un pointappartient a une courbe donnee.

2.2.2 Representation parametrique

Les fonctions explicites a une seule variable ne peuvent representer la plu-part des formes voulues en modelisation geometrique. Cela est du a plusieursraisons :

1) Les formes de la majorite des objets sont intrinsequement independantesde n’importe quel systeme de coordonnees. En effet, en modelisation, lechoix d’un systeme de coordonnees ne doit pas affecter la forme de l’objet.

2) les courbes et surfaces etudiees sont assez complexes et difficilementrepresentables par des fonctions non parametriques ordinaires.

Pour ces raisons et bien d’autres, la forme preferee en modelisation geometriqueest celle des equations parametriques.

Supposons qu’on ait une courbe a deux dimensions.On pourrait la definirnon pas par une seule fonction y = f(x) mais par un systeme de deux fonc-tions :

{

x = x(u)y = y(u)

(2.1)

La variable u est alors appelee ”parametre” et le systeme 2.1 ”parametrisationde la courbe”.

De la meme maniere, une courbe a trois dimensions est definie par lesysteme :

x = x(u)y = y(u)z = z(u)

Ces courbes ont une representation vectorielle naturelle :

p(u) = [ x(u) y(u) z(u) ]

Remarque 1Evidemment, il n’est pas possible de tracer la courbe pour toutes les valeursde u ∈ (−∞,+∞) mais on doit choisir un certain intervalle qui presente uninteret comme par exemple celui de faciliter les calculs.

2.3. DEFINITION 17

Il est tres courant d’utiliser l’intervalle [0, 1] comme par exemple pourparametriser un segment [a, b] dans R2

l’equation parametrique est donnee par :

p(u) = [(1− t)xa + txb, (1− t)ya + tyb]

avec :

a =

(

xa

ya

)

; b =

(

xb

yb

)

La representation parametrique presente beaucoup d’avantages :

1. Elle permet une separation des variables et un calcul direct des coor-donnees d’un point.

2. Elle permet une plus grande liberte pour le controle de l’allure d’unecourbe.

3. les transformations peuvent etre faites directement au niveau des equationsparametriques.

4. Les courbes parametrisees sont naturellement bornees quand le pa-rametre est dans un intervalle ferme.

2.3 Definition

Les courbes de Bezier de degre n sont definies pour t ∈ [0, 1] par :

bn(t) =n∑

i=0

biBi,n(t)

ou les bi sont des points de Rp appeles points de controle et Bi,n(t) les

polynomes de Bernstein.

Remarque 2Si p = 2, alors bn(t) est dite courbe de Bezier plane.

Elle est dite spatiale dans le cas ou p = 3. On se contentera d’etudier lescourbes de Bezier planes.


representation matricielle :

bn(t) =n∑

i=0

biBi,n(t)

= [bo, ..., bn]

Bo,n(t)...

Bn,n(t)

= [bo, ..., bn]

m0,0 · · · m0,n...

...mn,0 · · · mn,n

1tt2

...tn

= PMT

Avec :

mi,j = (−1)j−i

(

n

j

)(

j

i

)

exemple 2.11. pour n = 1

b1(t) = (1− t)b0 + tb1 c’est l’equation parametrique du segment [b0, b1]

2. pour n = 2 (on parle de courbes quadratiques) on aura trois points decontrole : b0, b1, b2

B0,2(t) = (1− t)2

B1,2(t) = 2t(1− t)

B2,2(t) = t2

⇒ b2(t) = (1− t)2b0 + 2t(1− t)b1 + t2b2

3. pour n = 3 les courbes de Bezier sont dites cubiques. Ce sont les plusutilisees en modelisation.

B0,3(t) = (1− t)3

B1,3(t) = 3t(1− t)2

B2,3(t) = 3t2(1− t)

B3,3(t) = t3

⇒ b3(t) = (1− t)3b0 + 3t(1− t)2b1 + 3t2(1− t)b2 + t3b3

2.4. CONSTRUCTION GEOMETRIQUE DES COURBES DE BEZIER19

-2

-1

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

Figure 2.1 – Courbe de Bezier quadratique

On peut aussi retrouver la forme matricielle :

b3(t) = [bo, b1, b2, b3]

1 −3 3 10 3 −6 30 0 3 −30 0 0 1

1tt2

t3

2.4 Construction geometrique des courbes de

Bezier

L’algorithme de De Casteljau est un algorithme recursif trouve par Paulde Casteljau qui permet de construire geometriquement des courbes de Bezier.

Historiquement, c’est avec cet algorithme que les travaux de M. De Cas-teljau commencaient en 1959 chez Citroen. Ils etaient publies comme desrapports techniques, tenus tres au secret par Citroen.

Ces travaux resterent inconnus jusqu’en 1975 quand W. Bohm en a prisconnaissance et les a rendu public. Cet algorithme a ete tres utile pour l’in-formatique qui utilise les courbes de bezier dans de nombreux cas (logiciels dedessin, de modelisation, ...), et sans lequel le developpement de l’utilisationdes courbes de Pierre Bezier n’aurait pas pu se faire.


-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.2 – Courbe de Bezier cubique

2.4.1 Algorithme de De Casteljau

Entree : b0, b1, · · · , bn ∈ E2, t ∈ R

Procedure :

bri (t) = (1− t)br−1i (t) + tbr−1

i+1 avec :

{

1 ≤ r ≤ n0 ≤ i ≤ n− r

Notons que : b0i (t) = bi

Sortie : bn0 (t) le point a parametre t dans la courbe de Bezier bn.

Remarque 3L’algorithme de De Casteljau peut etre visualise comme un triangle, parexemple pour le cas cubique :

b0 b1 b2 b3

b10 b11 b12

b20 b21

b30

2.4. CONSTRUCTION GEOMETRIQUE DES COURBES DE BEZIER21

Pour la demonstration de l’algorithme de De Casteljau, on aura besoin dulemme suivant :

lemme 2.1∀0 ≤ r ≤ n et ∀0 ≤ i ≤ n− r on a :

bri (t) =i+r∑

j=i

bjBj−i,r(t)

Preuve :On demontre le resultat par recurrence.

Pour r = 0,

i∑

j=i

bjBj−i,0(t) = biB0,0(t)

= bi

= b0i (t)

On suppose que le resultat est vrai jusqu’au rang r − 1 :

br−1i (t) =

i+r−1∑

j=i

bjBj−i,r−1(t)

avec : 0 ≤ r ≤ n et 0 ≤ i ≤ n− r

Ce qui implique :

br−1i+1 (t) =

i+r∑

j=i+1

bjBj−i−1,r−1(t)

l’algorithme de De Casteljau nous donne :

bri (t) = (1− t)br−1i (t) + tbr−1

i+1

= (1− t)i+r−1∑

j=i

bjBj−i,r−1(t) + ti+r∑

j=i+1



Comme : Br,r−1(t) = B−1,r−1(t) = 0 alors :

bri (t) = (1− t)i+r∑

j=i

bjBj−i,r−1(t) + t

i+r∑

j=i


=i+r∑

j=i

bj [(1− t)Bj−i,r−1(t) + tBj−i−1,r−1(t)]

=i+r∑

j=i

bjBj−i,r(t)

2.4.2 Demonstration de l’algorithme de De Casteljau :

On sait d’apres le lemme 2.1 que :

bri (t) =i+r∑

j=i

bjBj−i,r(t), ∀0 ≤ r ≤ n et : ∀0 ≤ i ≤ n− r

En particulier pour r = n et i = 0 :

bn0 (t) =n∑

j=0

bjBj,n(t)

= bn(t)

exemple 2.2Soit b3(t) une courbe de Bezier cubique definie par ses points de controleb0 = (1,−2), b1 = (2, 1), b2 = (3, 1) et b3 = (4,−1) On cherche a connaitre lavaleur de b3(0.5) representant le point de la courbe de bezier pour t = 0.5 enutilisant l’algorithme de De Casteljau.

(1,−2) (2, 1) (3, 1) (4,−1)(1.5,−0.5) (2.5, 1) (3.5, 0)(2, 0.25) (3, 0.5)

(2.5, 0.375)

le point de la courbe de Bezier correspondant au parametre t = 0.5 est donc(2.5, 0.375) autrement dit b3(0.5) = (2.5, 0.375)

2.5. DERIVATION DES COURBES DE BEZIER 23

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.3 – Construction d’un point a l’aide de l’algorithme de De Castel-jau

2.5 Derivation des courbes de Bezier

Definition 2.1Soit {bi}i=0,··· ,n un ensemble de (n + 1) points. L’operateur des differencesfinies note ∆ est defini par :

∆bi = bi+1 − bi pour : i = 0, · · · , n

L’operateur des differences finies generalise note ∆r est definie par larecurrence :

{

∆rbj = ∆rbj+1 −∆r−1bj pour r = 1∆0bj = bj

Pour les calculs, il est preferable d’utiliser le resultat suivant :

∆rbi =r∑

j=0

(

r

j

)

(−1)r−jbi+j

Preuve :La preuve se fait par recurrence sur r

Le resultat est evident pour r = 0Supposons le resultat vrai jusqu’a l’ordre r et montrons le pour r + 1 :


∆r+1bi = ∆rbi+1 −∆rbi

=r∑

j=0

(

r

j

)

(−1)r−jbi+j+1 −

r∑

j=0

(

r

j

)

(−1)r−jbi+j

=r−1∑

j=0

(

r

j

)

(−1)r−jbi+j+1 + br+i+1 −r∑

j=1

(

r

j

)

(−1)r−jbi+j − (−1)rbi

=r∑

j=1

(

r

j − 1

)

(−1)r−j+1bi+j + br+i+1 −r∑

j=1

(

r

j

)

(−1)r−jbi+j − (−1)rbi

=r∑

j=1

[(

r

j − 1

)

(−1)r−j+1 −

(

r

j

)

(−1)r−j

]

bi+j + br+i+1 − (−1)rbi

=r∑

j=1

[(

r

j − 1

)

(−1)r−j+1 +

(

r

j

)

(−1)r−j+1

]

bi+j + br+i+1 + (−1)r+1bi

=r∑

j=1

(−1)r−j+1

[(

r

j − 1

)

+

(

r

j

)]

bi+j + br+i+1 + (−1)r+1bi

Comme

(

r

j − 1

)

+

(

r

j

)

=

(

r + 1

j

)

alors :

∆r+1bi =r∑

j=1

(−1)r−j+1

(

r + 1

j

)

bi+j + br+i+1 + (−1)r+1bi

=r+1∑

j=0

(−1)r−j+1

(

r + 1

j

)

bi+j

Theoreme 2.1La derivee premiere d’une courbe de Bezier de degre n est donnee par :

[bn(t)]′ =n−1∑

i=0

∆bi n Bi,n−1(t)

ou ∆ : operateur des differences finies.

2.5. DERIVATION DES COURBES DE BEZIER 25

Preuve :

[bn(t)]′ =

[

n∑

i=0

biBi,n(t)

]′

=n∑

i=0

biB′i,n(t)

=n∑

i=0

bin(Bi−1,n−1(t)− Bi,n−1(t)) (d’apres 1.4 p.15)

=n∑

i=0

nbiBi−1,n−1(t)−n∑

i=0

nbiBi,n−1(t)

Comme B−1,n−1(t) = Bn,n−1(t) = 0 alors :

[bn(t)]′ =n∑

i=1

nbiBi−1,n−1(t)−n−1∑

i=0

nbiBi,n−1(t)

=n−1∑

i=0

nbi+1Bi,n−1(t)−n−1∑

i=0

nbiBi,n−1(t)

=n−1∑

i=0

n(bi+1 − bi)Bi,n−1(t)

=n−1∑

i=0

n∆biBi,n−1(t)

Corollaire 2.1La derivee r-ieme d’une courbe de Bezier est donnee par :

dr

dtrbn(t) =

n!

(n− r)!

n−r∑

i=0

∆rbiBi,n−r(t) (2.2)

avec ∆r : operateur des differences finies generalise.

Preuve :La preuve se fait par recurrence sur r


Pour r = 1 :

d

dtbn(t) =

n!

(n− 1)!

n−1∑

i=0

∆bi Bi,n−1(t)

= nn−1∑

i=0

∆bi Bi,n−1(t)

Ce qui est exactement le resultat du theoreme precedant.

On suppose le resultat vrai jusqu’a l’ordre r et on le demontre pour r + 1

dr+1

dtr+1bn(t) =

d

dt

[

dr

dtrbn(t)

]

=d

dt

[

n!

(n− r)!

n−r∑

i=0

∆rbiBi,n−r(t)

]

=n!

(n− r)!

n−r∑

i=0

∆rbid

dtBi,n−r(t)

Or ddtBi,n−r(t) = (n− r) (Bi−1,n−r−1(t)−Bi,n−r−1(t))

Ceci implique que

dr+1

dtr+1bn(t) =

n!

(n− r)!

n−r∑

i=0

∆rbi(n− r) (Bi−1,n−r−1(t)− Bi,n−r−1(t))

Comme B−1,n−r−1(t) = Bn−r,n−r−1(t) = 0 alors

dr+1

dtr+1bn(t) =

n!

(n− r − 1)!

(

n−r∑

i=1

∆rbiBi−1,n−r−1(t)−n−r−1∑

i=0

∆rbiBi,n−r−1(t)

)

En reindexant, on obtient :

dr+1

dtr+1bn(t) =

n!

(n− r − 1)!

(

n−r−1∑

i=0

∆rbi+1Bi,n−r−1(t)−n−r−1∑

i=0

∆rbiBi,n−r−1(t)

)

=n!

[n− (r + 1)]!

n−(r+1)∑

i=0

(∆rbi+1 −∆rbi)Bi,n−(r+1)(t)

=n!

[n− (r + 1)]!

n−(r+1)∑

i=0

∆r+1biBi,n−(r+1)(t)

Donc, le resultat est vrai pour (r + 1)

2.6. DERIVATION D’UNE COURBE DE BEZIER ET ALGORITHMEDE DE CASTELJAU27

Corollaire 2.2La derivee r-ieme d’une courbe de Bezier peut etre exprimee en fonction despoints intermediaires generes par l’algorithme de De Casteljau comme suit :

dr

dtrbn(t) =

n!

(n− r)!∆rbn−r

0 (t) (2.3)

En effet, d’apres le corollaire, on a :

dr

dtrbn(t) =

n!

(n− r)!

n−r∑

i=0

∆rbiBi,n−r(t)

Comme la sommation et l’operateur ∆r sont intervertibles, on aura :

dr

dtrbn(t) =

n!

(n− r)!∆r

n−r∑

i=0

biBi,n−r(t)

=n!

(n− r)!∆rbn−r

0 (t)

2.6 Derivation d’une courbe de Bezier et al-

gorithme de De Casteljau

Les deux derniers resultats nous permettent de proposer deux methodesdifferentes pour calculer la derivee r-ieme d’une courbe de Bezier pour uncertain t a l’aide de l’algorithme de De Casteljau :

2.6.1 Premiere methode

On commence par calculer les differences finies generalisees ∆rbi, on lesinterprete comme etant les points de controle d’une nouvelle courbe de Bezierde degre n − r puis on leur applique l’algorithme de De Casteljau afin deretrouver le resultat souhaite.

2.6.2 Seconde methode

On applique l’algorithme de De Casteljau directement sur les points decontrole bi pour avoir les points bn−r

i (t), ensuite il ne nous reste plus qu’acalculer leur differences finies ∆rbn−r

i (t) et de multiplier le resultat par n!(n−r)!

exemple 2.3Soit b3(t) une courbe de Bezier cubique definie par ses points de controle :b0 = (1, 1), b1 = (3, 5), b2 = (7, 9) et b3 = (11, 1) Supposons qu’on ait besoin


de calculer la derivee seconde d2

dt2bn(0.5)

Pour ce faire, on utilisera les deux methodes :

Premiere methode : On commence par calculer les differences finies ∆2b1i :

(1, 1) (3, 5) (7, 9) (11, 1)(2, 4) (4, 4) (4,−8)(2, 0) (0,−12)

On applique l’algorithme de De Casteljau aux points (2, 0), (0,−12) considerescomme etant les points de controle d’une nouvelle courbe de Bezier de degre1

(2, 0) (0,−12)(1,−6)

En multipliant par 3!, on aura :

d2

dt2bn(0.5) = (6,−36)

Seconde methode :

A l’aide de l’algorithme de De Casteljau, on calcule les points intermediairesb1i :

(1, 1) (3, 5) (7, 9) (11, 1)(2, 3) (5, 7) (9, 5)

On calcule ensuite les differences finies ∆2b1i :

(2, 3) (5, 7) (9, 5)(3, 4) (4,−2)(1,−6)

Il ne nous reste plus qu’a multiplier le resultat par 3! et on aura :

d2

dt2bn(0.5) = (6,−36)

2.7 Proprietes des courbes de Bezier

Les courbes de Bezier possedent les proprietes suivantes [2],[1],[5],[8] :

2.7. PROPRIETES DES COURBES DE BEZIER 29

2.7.1 Interpolation des extremites

bn(0) = b0 et bn(1) = bn

Preuve :

bn(0) =n∑

i=0

biBi,n(0)

=n∑

i=0

bi

(

n

i

)

0i1n−i

= b0 · 1 (car : 00 = 1 par convention)

= b0

De la meme maniere, on a :

bn(1) =n∑

i=0

biBi,n(1)

=n∑

i=0

bi

(

n

i

)

1i0n−i

= bn · 1 (car : 00 = 1 par convention)

= bn

2.7.2 Tangeantes aux extremites

[bn]′(0) = n(b1 − b0) (2.4)

[bn]′(1) = n(bn − bn−1) (2.5)

Preuve :

[bn]′(0) =n−1∑

i=0

n∆biBi,n−1(0)

Comme : Bi,n−1(0) =

{

0 i 6= 01 i = 0

alors :

[bn]′(0) = n∆b0

= n(b1 − b0)


De la meme maniere :

[bn]′(1) =n−1∑

i=0

n∆biBi,n−1(1)

Comme : Bi,n−1(1) =

{

0 i 6= n− 11 i = n− 1

alors :

[bn]′(1) = n∆bn−1

= n(bn − bn−1)

2.7.3 Symmetrie

La courbe de Bezier ne varie pas en fonction de l’ordre des points decontrole,qu’ils soient dans l’ordre b0, b1, · · · , bn ou dans l’ordre inverse bn, bn−1, · · · , b0.Ceci est vrai grace a la formule suivante :

n∑

i=0

biBi,n(t) =n∑

i=0

bn−iBi,n(1− t)

Preuve :On sait d’apres la propriete de symmetrie des polynomes de Bernstein que :

Bi,n(t) = Bn−i,n(1− t)

D’ou :∑n

i=0 biBi,n(t) =∑n

i=0 biBn−i,n(1− t)En reindexant, on aura :

n∑

i=0

biBi,n(t) =n∑

i=0

bn−iBi,n(1− t)

2.7.4 Envellope convexe

Definition 2.2Soit X = {x0, x1, · · · , xn} un ensemble de points. L’envellope convexe de Xnotee CH{X} est definie par :

CH{X} =

{

a0x0 + · · ·+ anxn/n∑

i=0

ai = 1, ai ≥ 0

}

2.7. PROPRIETES DES COURBES DE BEZIER 31

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.4 – Propriete de l’envellope convexe

Theoreme 2.2Tout les points de la courbe de Bezier se trouvent a l’interieur de l’envellopeconvexe de l’ensemble des points de controle {b0, · · · , bn} cad :

∀t ∈ [0, 1], bn(t) ∈ CH{b0, · · · , bn}

Remarque 4CH{b0, · · · , bn} est souvent appelee envellope convexe de la courbe de Bezier.

Preuve :Soit t ∈ [0, 1]

bn(t) =n∑

i=0

Bi,n(t)bi

Comme les polynomes de Bernstein verifient les proprietes de positivite etde partition de l’unite, alors d’apres la definition de l’envellope convexe :

bn(t) ∈ CH{b0, · · · , bn}

2.7.5 Invariance sous les transformations affines

Soit T une transformation affine (rotation, reflexion, translation). Alors :

T

(

n∑

i=0

biBi,n(t)

)

=n∑

i=0

T (bi)Bi,n(t)


Preuve :Une transformation affine T a toujours la forme : T (r) = Ar + v ou : A estune matrice et v un vecteur. On pose r =

∑n

i=0 biBi,n(t) et on aura :

T

(

n∑

i=0

biBi,n(t)

)

= A

(

n∑

i=0

biBi,n(t)

)

+ v

=n∑

i=0

A(bi)Bi,n(t) +n∑

i=0

vBi,n(t) car :n∑

i=0

Bi,n(t) = 1

=n∑

i=0

[A(bi) + v]Bi,n(t)

=n∑

i=0

T (bi)Bi,n(t)

2.8 Subdivision d’une courbe de Bezier

Une courbe de Bezier est generalement definie sur [0, 1] et donnee parbn(t) =

∑n

i=0 biBi,n(t). Quelquefois, seule une partie de la courbe nous inter-esse.Supposons par exemple, qu’une courbe de Bezier est coupee a hauteur det = α pour donner deux segments de courbe notes bg(t) et bd(t) definis res-pectivement sur [0, α] et [α, 1].Comme bg et bd sont des courbes polynomiales, ellent peuvent etre representeesdans la forme de Bezier sur [0, 1]On doit pour cela trouver les points de controle pour bg et bd. Ce qui resultedu theoreme suivant :

Theoreme 2.3Soit bn(t) =

∑n

i=0 biBi,n(t) une courbe de Bezier de degre n.Les points de controle des deux segments de courbe obtenus par subdivisionde bn(t) a hauteur de t = α avec α ∈ [0, 1] sont :

bg : b00, b10, b

20, · · · , b

n−10 , bn0 (2.6)

bd : bn0 , bn−11 , bn−2

2 , · · · , b1n−1, b0n (2.7)

Ou : bji sont les points calcules par l’algorithme de De Casteljau pour t = α.

2.8. SUBDIVISION D’UNE COURBE DE BEZIER 33

Preuve :Commencons par demontrer le resultat 2.6 : Soit bg une courbe de Bezierdefinie par les points de controle : b00, b

10, b

20, · · · , b

n−10 , bn0 (obtenus en appli-

quant l’algorithme de DeCasteljau pour t = α) On doit montrer que bg estbien la portion de la courbe bn obtenue quand le parametre t varie dansl’intervalle [0, α] :

bg(t) =n∑

j=0

bj0(α)Bj,n(t)sur l’intervalle [0, 1]

=n∑

j=0

(

j∑

i=0

biBi,j(α)

)

Bj,n(t)(d’apres lemme 2.1)

=n∑

j=0

(

j∑

i=0

bi

(

j

i

)

αi(1− α)j−i

)

(

n

j

)

tj(1− t)n−j

En devellopant la somme, on obtient

bg(t) =

(

n

0

)

t0(1− t)n(

00

)

α0(1− α)0+

(

n

1

)

t1(1− t)n−1(

10

)

α0(1− α)1+

(

n

2

)

t2(1− t)n−2(

20

)

α0(1− α)2 + · · ·+

(

n

n

)

tn(1− t)n−n(

n

0

)

α0(1− α)n

b0 +

(

n

1

)

t1(1− t)n−1(

11

)

α1(1− α)0+

(

n

2

)

t2(1− t)n−2(

21

)

α1(1− α)1+

(

n

3

)

t3(1− t)n−3(

31

)

α1(1− α)2 + · · ·+

(

n

n

)

tn(1− t)n−n(

n

1

)

α1(1− α)n−1

b1 +

(

n

2

)

t2(1− t)n−2(

22

)

α2(1− α)0+

(

n

3

)

t3(1− t)n−3(

32

)

α2(1− α)1 + · · ·+

(

n

n

)

tn(1− t)n−n(

n

2

)

α2(1− α)n−n

b2 +

· · ·+

(

n

n

)

tn(1− t)n−n

(

n

n

)

αn(1− α)n−nbn


et on obtient

bg(t) =n∑

k=0

(

n

k

)(

k

0

)

tkα0(1− t)n−k(1− α)kb0 +

n∑

k=1

(

n

k

)(

k

1

)

tkα1(1− t)n−k(1− α)k−1b1 +

n∑

k=0

(

n

k

)(

k

2

)

tkα2(1− t)n−k(1− α)k−2b2 +

· · ·+n∑

k=0

(

n

k

)(

k

n

)

tkαk(1− t)n−k(1− α)k−nbn

=n∑

i=0

[

n∑

k=i

(

n

k

)(

k

i

)

tkαi(1− t)n−k(1− α)k−i

]

bi

En reindexant, on aura :

bg(t) =n∑

i=0

[

n−i∑

k=0

(

n

i+ k

)(

i+ k

i

)

ti+kαi(1− t)n−i−k(1− α)k

]

bi (2.8)

D’un autre cote, on remarque que :

ti+kαi(1− t)n−i−k(1− α)k = (αt)i[

(t− αt)k(1− t)n−i−k]

(

n

i+ k

)(

i+ k

i

)

=

(

n

i

)(

n− i

k

)

L’equation 2.8 devient :

bg(t) =n∑

i=0

(

n

i

)

(αt)i

[

n−i∑

k=0

(

n− i

k

)

(t− αt)k(1− t)n−i−k

]

bi

=n∑

i=0

(

n

i

)

(αt)i(1− αt)n−ibi

=n∑

i=0

Bi,n(αt)bi

=n∑

i=0

Bi,n(t)bi pour t ∈ [0, α]

Donc, bg est bien defini par les points de controle bj0 avec : 0 ≤ j ≤ n

Demontrons le resultat 2.7 :

2.9. COURBES DE BEZIER PAR MORCEAUX 35

Considerons cn(t) la courbe de Bezier definie par les points de controle :

ci = bn−i avec : i = 0, · · · , n

Soit cg(t) la partie de la courbe cn(t) comprise entre c0 = bn et cn(1− α)La propriete de symmetrie (sous-section2.7.3) nous permet d’affirmer que

bd (la partie de la courbe bn comprise entre bn(α) et bn) possede les memespoints de controle que cg(t) pris dans l’ordre inverse.

D’apes le resultat precedant, les points de controle de cg(t) sont : cj0(1−α)

D’un autre cote :

cj0(1− α) =

j∑

i=0

ciBi,j(1− α) d’apres lemme 2.1

=

j∑

i=0

bn−iBj−i,j(α) (propriete de symmetrie des polynomes de Bernstein)

=n∑

i=n−j

biBi−n+j,j(α)

= bjn−j(α) (2.9)

Donc, le segment bd est bien defini par les points de controle :

bn−jj (α) pour : j = 0, · · · , n

2.9 Courbes de Bezier par morceaux

Une courbe de Bezier de degre n a n+ 1 points de controle.Les courbes de degre eleve sont rarement utilisees des lors qu’il existe une rela-tion tres faible entre la forme de la courbe et la forme du polygone de controle.De plus, ces courbes requierent un grand nombre d’operations arithmetiques,d’ou le risque important d’erreurs de calcul.

D’un autre cote, les courbes de degre bas ont peu de points de controleet donc ne peuvent representer que tres peu de formes.Pour elargir le nombres de formes pouvant etre representees sans augmenterle degre de la courbe, on peut joindre plusieurs courbes de Bezier bout about pour former une seule courbe continue appelee : courbe de Bezier par

morceaux.

Definition 2.3Une courbe de Bezier a intervalle arbitraire bn(t) de degre n avec les points


de controle b0, · · · , bn definie sur un intervalle [α, β] est donnee par :

bn(t) =n∑

i=0

biBi,n

(

t− α

β − α

)

Ou les Bi,n sont les polynomes de Bernstein de degre n.

Remarque 5Soit bn(t) Une courbe de Bezier a intervalle arbitraire definie sur [α, β].

Alors,∑n

i=0 biBi,n(t) definie sur [0, 1] notee bn(t) est dite normalisation debn(t).

Definition 2.4 (courbe de Bezier par morceaux)Soit I = [α, β]P (t) est dite courbe de Bezier par morceaux si :∃t0 < t1 < · · · < tr−1 < tr tels que : α = t0 et β = tr et les courbes de Beziera intervalle arbitraire Bj(t) definies sur [tj, tj+1] avec 0 ≤ j ≤ r − 1 tel que :

i) P (t) = Bj(t) pour t ∈]tj, tj+1[

ii) P (tj) = Bj−1(tj) ou P (tj) = Bj(tj) avec :1 ≤ j ≤ r − 1

iii) P (t0) = B0(t0) et P (tr) = Br−1(tr)

Remarque 61. Les valeurs tj sont dites points de cassure.

2. Si le plus grand degre des courbes Bj(t) est n alors la courbe de Bezierpar morceaux est dite de degre n.

2.9.1 Continuite

Soit P (t) une courbe de Bezier par morceaux definie sur I = [α, β]composee des courbes de Bezier Bj(t) definies sur Ij = [tj, tj+1] avec :0 ≤ j ≤ r − 1

Comme les fonctions coordonnees de P (t) sont des fonctions polynomialespar morceaux, alors P (t) est C∞ pour tout parametre t sauf aux points decassure tj.

Suppososns que Bj(t) est de degre nj et ses points de controle sont :

b(j)0 , · · · , b

(j)nj .

P (t) est continue en tj si et seulement si :

limt→t+j

P (t) = limt→t−j

P (t)

= P (tj)

2.9. COURBES DE BEZIER PAR MORCEAUX 37

Or

limt→t−j

P (t) = limt→t−j

Bj−1(t)

= b(j−1)nj−1

et

limt→t+j

P (t) = limt→t+j

Bj(t)

= bj0

D’ou P (t) est continue en t = tj seulement si : P (tj) = bj0 = b(j−1)nj−1

Geometriquement, cela veut dire que pour que P(t) soit continue il faut quele dernier point de controle de Bj−1(t) soit le premier point de controle deBj(t)

Theoreme 2.4Soit P (t) une courbe de Bezier par morceaux definie sur I = [α, β] composeedes courbes de Bezier Bj(t) definies sur Ij = [tj, tj+1] avec : 0 ≤ j ≤ r − 1alors :

P est Ck ⇔ B(r)j (tj) = B

(r)j−1(tj)

Preuve :Soit P (r)(t) la derivee r-ieme de P (t)P est Ck veut dire que ∀ 0 ≤ r ≤ k P (r) est continue pour tout tP (r) est continue en t = tj si et seulement si :

limt→t+j

P (r)(t) = limt→t−j

P (r)(t)

D’un autre cote :

limt→t+j

P (r)(t) = limt→t+j

B(r)j (t)

limt→t

−

j

P (r)(t) = limt→t

−

j

B(r)j−1(t)

D’ou :

P est Ck ⇔ B(r)j (tj) = B

(r)j−1(tj)


-4

-2

0

2

4

0 2 4 6 8 10

Figure 2.5 – Courbe de Bezier par morceaux

exemple 2.4Considerons trois courbes de Bezier cubiques a intervalle arbitraireB0(t), B1(t), B2(t)definies respectivement sur les intervalles [−5,−1], [−1, 2], [2, 5] et munies despoints de controle :

B0(t) : a0(0, 0), a1(2,−1), a2(3, 1), a3(4, 0)

B1(t) : b0(4, 0), b1(5,−2), b2(6, 0), b3(7, 2)

B2(t) : c0(7, 2), c1(8, 5), c2(9, 3), c3(10,−5)

Ces trois courbes se joignent bout a bout pour former une courbe de Bezierpar morceaux P (t) definie sur [−5, 5] par :

P (t) =

B0(t) t ∈ [−5,−1]B1(t) t ∈ [−1, 2]B2(t) t ∈ [2, 5]

Comme l’illustre la figure 2.5

Remarque 7Les courbes que nous avons etudie dans ce chapitre seront appeles courbes

de bezier integrales pour les distinguer de celles rationnelles qu’on etudieraau chapitre suivant.

Chapitre 3

Courbe de Bezier Rationnelle

3.1 Introduction

Les courbes de Bezier classiques, etant des courbes polynomiales, presententle desavantage de ne pas pouvoir representer toutes les formes voulues.

A titre d’exemple, les hyperboles ou encore les arcs de cercle ne peuventpas etre parametrises par des polynomes.En effet, le cercle de rayon 1 centre a l’origine verifie l’equation implicite :

x2 + y2 = 1

Une parametrisation du cercle par des polynomes donnerait :

{

x(t) = P (t)y(t) = Q(t)

Or ceci aurait comme consequence que : P 2(t) +Q2(t) = 1Ceci implique que P,Q devraient etre des plolynomes constants.On en conclut qu’il est impossible d’avoir une parametrisation polynomiale

du cercle.En revanche, il est possible de parametriser de telles formes a l’aide nonpas de polynomes mais de fractions de deux polynomes appeles fonctionsrationnelles et ayant la forme :

(

P (t)

R(t),Q(t)

R(t)

)

avec P,R,Q des polynomes reels

A titre d’exemple, le cercle de rayon 1 centre a l’origine peut etre pa-rametrise par :

(

1− t2

1 + t2,

2t

1 + t2

)

39

40 CHAPITRE 3. COURBE DE BEZIER RATIONNELLE

Ainsi, pour elargir le champ des formes pouvant etre modelisees, on definitles courbes de Bezier rationnelles dont les fonctions de base ne sont plus despolynomes(polynomes de Bernstein) mais des fonctions rationnelles qu’ondefinira.

3.2 Definition

Une courbe de Bezier rationnelle de degre n munie des points de controleb0, · · · , bn est definie par [2],[1],[7] :

B(t) =

∑n

i=0 wibiBi,n(t)∑n

i=0 wiBi,n(t)

avec : t ∈ [0, 1] et wi ∈ R.Les wi sont appeles ”poids”.On pose que si wi = 0 alors wibi est remplace par bi et on suppose que

les wi ne sont pas tous nuls.

Remarque 81. Si les wi sont egaux, alors on retrouve les courbes de Bezier integrales.

2. Une courbe de Bezier rationnelle peut aussi s’ecrire sous la forme :

B(t) =n∑

i=0

biRi,n(t)

Ou

Ri,n(t) =

wiBi,n(t)∑ni=0

wiBi,n(t)si wi 6= 0

Bi,n(t)∑ni=0

wiBi,n(t)si wi = 0

3.3 Coordonnees homogenes et espace pro-

jectif :

Chaque point V = (x, y) ∈ R2 est represente dans R

3 par le vecteur(x, y, 1) ou par un multiple (rx, ry, r)/r 6= 0 appele coordonnees homogenes

ou projectives.QuandW 6= 0, les coordonnees homogenes (X, Y,W ) representent le point

(x, y) = (XW, YW)

3.3. COORDONNEES HOMOGENES ET ESPACE PROJECTIF : 41

Figure 3.1 – projection d’un point sur l’hyperplan w=1

Un point de la forme (X, Y, 0) ne represente pas un point cartesien maisun point a l’infini dans la direction du vecteur (X, Y ).

L’ensemble de toutes les coordonnees homogenes (X, Y,W ) est appeleespace projectif de degre 2 et note P

2.

exemple 3.1Les coordonnees homogenes

121

;

242

;

−3−6−3

representent le meme

point cartesien

(

12

)

.

Remarque 9Soit (X, Y,W ) un point de l’espace projectif P2 representant le point cartesien(x, y) = (X/W, Y/W ).

Geometriquement, le point cartesien (x, y) = (X/W, Y/W ) est la projec-tion du point (X, Y,W ) sur le plan W = 1 par rapport a l’origine et ceci enconfondant le plan W = 1 avec l’espace R

2, comme le montre la figure 3.1

Definition 3.1Une transformation projective est une application L : P2 → P

2 definie par :

L(x, y, w) = (x, y, w).M/M = (mi,j)1≤i,j≤3


La matrice 3× 3 M est appelee matrice de transformation homogene

de L

Si M est une matrice non singuliere, alors L est dite transformation non

singuliere.Si m12 = m22 = 0 et m33 6= 0 L est appelee transformation affine.

3.4 Interpretation geometrique des courbes

de Bezier rationnelles

Geometriquement, une courbe de Bezier rationnelle B(t) de degre n munides points de controle b0, · · · , bn definie sur R2 peut etre vue comme la pro-jection d’une courbe de bezier integrale bn de degre n definie sur R

3 sur leplan w = 1 par rapport a l’origine et ceci en confondant le plan W = 1 avecl’espace R

2.En effet, soit bn(t) une courbe de Bezier integrale munie des points de

controle [pi, wi]T definie sur R3 avec pi ∈ R

2, wi ∈ R

et soit B(t) sa projection sur le plan w = 1.B(t) est de la forme B(t) = [α(t), β(t), 1]T

On identifie le plan w = 1 avec R2 , B(t) devient :

B(t) = [α(t), β(t)]T

D’un autre cote, bn(t) est definie par :

bn(t) = [w(t)α(t), w(t)β(t), w(t)]T (3.1)

w(t) doıt etre elle aussi de degre n, elle s’ecrit dans la base de Bernstein :

w(t) =n∑

i=0

wiBi,n(t)

L’equation (3.1) devient :

bn(t) =

α(t)∑n

i=0 wiBi,n(t)

β(t)∑n

i=0 wiBi,n(t)

∑n

i=0 wiBi,n(t)

Or, bn(t) s’ecrit dans la base de Bernstein :

bn(t) =n∑

i=0

[

piwi

]

Bi,n(t) d’ou :

3.5. PROPRIETES DES COURBES DE BEZIER RATIONNELLES 43

n∑

i=0

[

piwi

]

Bi,n(t) =

α(t)β(t)1

n∑

i=0

wiBi,n(t)

Par identification, on aura :

n∑

i=0

piBi,n(t) =

[

α(t)β(t)

] n∑

i=0

wiBi,n(t)

Ceci implique que :

[

α(t)β(t)

]

=

∑n

i=0 piBi,n(t)∑n

i=0 wiBi,n(t)

On pose pi = wibi et on aura :

B(t) =

[

α(t)β(t)

]

=

∑n

i=0 wibiBi,n(t)∑n

i=0 wiBi,n(t)

Les courbes de Bezier rationnelles peuvent representer un arc de cerclecomme le montre l’exemple suivant :

exemple 3.2Soit B(t) une courbe de Bezier quadratique rationnelle munie des points decontrole b0(1, 0), b1(1, 1), b2(0, 1) et des poids w0 = 1, w1 = 1 et w2 = 2 alors :

(1− t)2w0b0 + 2t(1− t)w1b1 + t2w2b2 = (1− t)2(1, 0) + 2t(1− t)(1, 1) + 2t2(0, 1)

= (1− t2, 2t) ,

(1− t)2w0 + 2t(1− t)w1 + t2w2 = (1− t)2 + 2t(1− t) + 2t2

= 1 + t2

Alors, B(t) =(

1−t2

1+t2, 2t1+t2

)

represente un quart de cercle unitaire comme le

montre la figure 3.2

3.5 Proprietes des courbes de Bezier ration-

nelles

Les courbes de Bezier rationnelles possedent toutes les proprietes de cellesintegrales [2],[1],[7] :


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 3.2 – Courbe de Bezier rationnelle

3.5.1 Propriete de l’envellope convexe

Supposons wi > 0 pour tout 0 ≤ i ≤ n.

Alors, chaque point de la courbe est contenu dans l’envellope convexe dupolygone de controle.


B(0) = b0, B(1) = bn

3.5.3 Tangeante a l’extremite

B′(0) = nw1

w2

(b1 − b0) et B′(1) = n

wn−1

wn

(bn − bn−1)

3.5.4 Invariance sous les transformations affines

Soit T une transformation affine, alors :

T

(∑n

i=0 wibiBi,n(t)∑n

i=0 wiBi,n(t)

)

=

∑n

i=0 wiT (bi)Bi,n(t)∑n

i=0 wiBi,n(t)

3.6. ALGORITHMEDE DE CASTELJAU POUR LES COURBES DE BEZIER RATIONELLES45

3.5.5 Invariance sous les transformations projectives

Les courbes de Bezier rationelles sont invariantes par transformation pro-jective.

Cela veut dire que pour appliquer une telle transformation a une courbe deBezier rationelle, il nous faut l’exprimer en coordonnees homogenes, appliquerla transformation aux points de controle homogenes avant de projeter lacourbe transformee sur l’hyperplan w = 1.

La courbe ainsi obtenue apres projection sera aussi une courbe de Bezierrationnelle.

En effet : Soit M une matrice 4 × 4 de transformation projective. Encoordonnees homogenes, B(t) est donnee par : B(t) =

∑n

i=0 biBi,n(t)

Ou : bi = (xiwi, yiwi, ziwi, wi) sont dits points de controle homogenes.

Appliquons la transformation projective a B(t) :

B(t)M =

(

n∑

i=0

biBi,n(t)

)

·M

=n∑

i=0

(biM)Bi,n(t)

=n∑

i=0

ciBi,n(t) ,avec ci = biM

3.6 Algorithme de De Casteljau pour les courbes

de Bezier rationelles

L’algorithme de De Casteljau pour les courbes integrales peut etre etenduau cas rationnel. L’algorithme peut etre applique de deux manieres :

1. On applique l’algorithme sur les points de controle homogenes bi enconsiderant wi comme une coordonnee supplementaire. Une fois l’algo-rithme fini, on convertit les points obtenus en coordonnees cartesiennes.

2. La 1ere methode quoique directe et tres simple n’est pas numeriquementstable particulierement dans le cas ou les wi sont tres grands. On pour-rait convertir les points homogenes bi non pas a la fin du processus maisa la fin de chaque iteration comme le montre la procedure :


bri (t) = (1− t)wr−1

i

wri

br−1i + t

wr−1i+1

wri

br−1i+1

wri (t) = (1− t)wr−1

i (t) + twr−1i+1 (t)

Remarque 10Comme dans le cas integral, l’algorithme de De Casteljau peut etre utilisepour subdiviser la courbe. Les points de controle des deux segments de courbeBg et Bd obtenues apres avoir coupe la courbe B(t) a hauteur de t = α sontdonnees par les memes relations que dans le cas integral :

{

Big = bio(t)

wig = wi

o

et :

{

Bid = bin−1(t)

wid = wi

n−1

exemple 3.3On reprend l’exemple precedant d’une courbe de Bezier quadratique ration-nelle B(t) munie des points de controle b0(1, 0), b1(1, 1), b2(0, 1) et des poidsw0 = 1, w1 = 1 et w2 = 2

Supposons qu’on veuille calculer a l’aide de l’algorithme de De casteljaula valeur B(0.5) On commence par calculer les poids :

1 1 21 1.5

1.25

ensuite les points de controle :

(1, 0) (1, 1) (0, 1)(1, 0.5) (0.333, 1)(0.6, 0.8)

le point de la courbe correspondant au parametre t = 0.5 est donc :

B(0.5) = (0.6, 0.8)

3.7. DERIVATION DES COURBES DE BEZIER RATIONNELLES 47

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Figure 3.3 – Calcul d’un point a l’aide de l’algorithme de De Casteljau pourle cas rationnel

3.7 Derivation des courbes de Bezier ration-

nelles

Theoreme 3.1 (Regle de Liebnitz)Soient f, g, h trois fonctions telles que h(t) = f(t) · g(t)

Alors, la derivee r-ieme de h est donnee par :

h(r)(t) =r∑

j=0

(

r

j

)

f (j)(t)g(r−j)(t) ou :

(

r

j

)

=r!

j!(r − j)!

Preuve :

On demontre la regle de Liebnitz par recurrence sur r

h′(t) =

(

1

0

)

f (0)(t)g(1)(t) +

(

1

1

)

f (1)(t)g(0)(t)

= f(t)g′(t) + f ′(t)g(t)

La regle est verifiee pour r = 1

Supposons la regle vraie jusqu’a l’ordre r.


h(r+1)(t) =[

h(r)(t)]′

=

[

r∑

j=0

(

r

j

)

f (j)(t)g(r−j)(t)

]′

=r∑

j=0

(

r

j

)

f (j+1)(t)g(r−j)(t) +r∑

j=0

(

r

j

)

f (j)(t)g(r−j+1)(t)

= f (r+1)g +r−1∑

j=0

(

r

j

)

f (j+1)g(r−j) + fg(r+1) +r∑

j=1

(

r

j

)

f (j)g(r−j+1)

= f (r+1)g + fg(r+1) +r∑

j=1

(

r

j − 1

)

f (j)g(r−j+1) +r∑

j=1

(

r

j

)

f (j)g(r−j+1)

= f (r+1)g + fg(r+1) +r∑

j=1

[(

r

j − 1

)

+

(

r

j

)]

f (j)g(r−j+1)

Or :

(

r

j − 1

)

+

(

r

j

)

=

(

r + 1

j

)

d’ou :

h(r+1)(t) = f (r+1)g + fg(r+1) +r∑

j=1

(

r + 1

j

)

f (j)g(r−j+1)

=r+1∑

j=0

(

r + 1

j

)

f (j)g(r−j+1)

Theoreme 3.2La derivee r-ieme d’une courbe de Bezier rationnelle est donnee par :

B(r)(t) =p(r)(t)−

∑r

j=1

(

r

j

)

wj(t)B(r−j)(t)

w(t)

avec p(t) =∑n

i=0 wibiBi,n(t)et w(t) =

∑n

i=0 wiBi,n(t)

3.7. DERIVATION DES COURBES DE BEZIER RATIONNELLES 49

Preuve :Soit B(t) la courbe de Bezier rationnelle definie par :

B(t) =

∑n

i=0 wibiBi,n(t)∑n

i=0 wiBi,n(t)

On pose : p(t) =∑n

i=0 wibiBi,n(t)et w(t) =

∑n

i=0 wiBi,n(t)

Il en resulte que : p(t) = B(t) · w(t)

La regle de Liebnitz nous donne :

p(r)(t) =r∑

j=0

(

r

j

)

w(j)(t)B(r−j)(t)

= w(t)B(r)(t) +r∑

j=1

(

r

j

)

w(j)(t)B(r−j)(t)

Finallement, on aura :

B(r)(t) =p(r)(t)−

∑r

j=1

(

r

j

)

wj(t)B(r−j)(t)

w(t)


Figure 3.4 – La lettre B representee par des courbes de Bezier

Chapitre 4

Les Fonctions de Base desB-splines

On a vu dans les chapitres precedants que pour augmenter le controled’une courbe de Bezier, on ne pouvait qu’augmenter le nombre de points decontrole de celle-ci.

Une telle operation s’averant particulierement couteuse en termes de cal-culs, on a introduit les courbes de Bezier par morceaux.

On a vu par la suite que pour que ces courbes soient Ck, il nous fallaitposer des conditions assez restrictives sur les points de controle des segmentsde courbes.

Dans cette partie, nous allons presenter une nouvelle classe de courbespolynomiales par morceaux, appelee ”‘B-splines” ayant toutes les proprietesdes courbes de Bezier mais se distinguant par le fait que ses points de controlesoient independants de son degre.

Ainsi, on pourra choisir librement le nombre de points de controle, sanscondition aucune, et sans se soucier du degre de la courbe, qui lui, resteinchange.

4.1 Definition

Soient U = t0, t1, · · · , tm une suite de (m + 1) nombres reels tels que :ti ≤ ti+1 pour : 0 ≤ i ≤ m− 1

Les ti sont appeles noeuds et U est dit vecteur nodal.

Soit d ∈ N tel que : 0 ≤ d ≤ m

les points t0, t1, · · · , td et tm−d, tm−d+1, · · · , tm sont dits noeuds extremes

les points td+1, · · · , tm−d−1 sont appeles noeuds interieurs.

51

52 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS DE BASE DES B-SPLINES

Definition 4.1Les fonctions de base de B-spline de degre d definies par le vecteur no-dal (t0, t1, · · · , tm) et notees Ni,d(t) sont definies par recurrence comme suit[3],[1],[6] :

Ni,0(t) =

{

1 t ∈ [ti, ti+1)0 ailleurs

Ni,d(t) =t− ti

ti+d − tiNi,d−1(t) +

ti+d+1 − t

ti+d+1 − ti+1

Ni+1,d−1(t)

pour : d ≥ 1

exemple 4.1On considere le vecteur nodal U = (1, 2, 4, 5, 7, 9, 11)

Les fonctions de base sont donnees par :pour d = 0

N0,0 =

{

1 t ∈ [1, 2)0 ailleurs

N1,0 =

{


N2,0 =

{


N3,0 =

{


N4,0 =

{


N5,0 =

{

1 t ∈ [9, 11)0 ailleurs

pour d = 1

N0,1 =

t− 1 t ∈ [1, 2)(4− t)/2 t ∈ [2, 4)0 ailleurs

N1,1 =

(t− 2)/2 t ∈ [2, 4)5− t t ∈ [4, 5)0 ailleurs

4.1. DEFINITION 53

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-2 0 2 4 6 8 10 12 14

N0,1 N1,1 N3,1 N2,1 N4,1

Figure 4.1 – Fonctions de base de degre 1


N2,1 =

t− 4 t ∈ [4, 5)(7− t)/2 t ∈ [5, 7)0 ailleurs

N3,1 =

(t− 5)/2 t ∈ [5, 7)(9− t)/2 t ∈ [7, 9)0 ailleurs

N4,1 =

(t− 7)/2 t ∈ [7, 9)(11− t)/2 t ∈ [9, 11)0 ailleurs

pour d = 2

N0,2 =

(t− 1)2/3 t ∈ [1, 2)(4− t)(t− 1)/6 + (t− 2)(5− t)/6 t ∈ [2, 4)(5− t)2/3 t ∈ [4, 5)0 ailleurs

N1,2 =


N2,2 =


N3,2 =


4.2 Derivation des B-splines

lemme 4.1La derivee premiere d’une fonction de base de B-spline est donnee par larelation de recurrence :

N ′i,d(t) =

d

ti+d − tiNi,d−1(t)−

d

ti+d+1 − ti+1

Ni+1,d−1(t)

4.2. DERIVATION DES B-SPLINES 55

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2 0 2 4 6 8 10 12 14

N0,2

N1,2

N3,2 N2,2

Figure 4.2 – Fonctions de base de degre 2


Preuve :La preuve se fait par recurrence sur d

Pour d = 1, Ni,1(t) =t− ti

ti+1 − tiNi,0(t) +

ti+2 − t

ti+2 − ti+1

Ni+1,0(t)

D’ou : N ′i,1(t) =

1

ti+1 − tiNi,0(t)−

1

ti+2 − ti+1

Ni+1,0(t)

Maintenant, supposons le resultat vrai jusqu’a l’ordre dOn a par definition :

Ni,d+1(t) =t− ti

ti+d+1 − tiNi,d(t) +

ti+d+2 − t

ti+d+2 − ti+1

Ni+1,d(t)

⇒ N ′i,d+1(t) =

1


t− titi+d+1 − ti

N ′i,d(t)

−1

ti+d+2 − ti+1

Ni+1,d(t) +ti+d+2 − t

ti+d+2 − ti+1

N ′i+1,d(t)

On applique l’hypothese de recurrence sur N ′i,d(t) et N

′i,d+1(t), on aura :

N ′i,d+1(t) =

1


t− titi+d+1 − ti

[

d


d

ti+d+1 − ti+1

Ni+1,d−1(t)

]

−1

ti+d+2 − ti+1

Ni+1,d(t) +ti+d+2 − t

ti+d+2 − ti+1[

d

ti+d+1 − ti+1

Ni+1,d−1(t)−d

ti+d+2 − ti+2

Ni+2,d−1(t)

]

=1

ti+d+1 − tiNi,d(t)−

1

ti+d+2 − ti+1

Ni+1,d(t)

+d(t− ti)

(ti+d+1 − ti)(ti+d − ti)Ni,d−1(t)

+d

[

ti+d+2 − t

(ti+d+2 − ti+1)(ti+d+1 − ti+1)−

t− ti(ti+d+1 − ti)(ti+d+1 − ti+1)

]

Ni+1,d−1(t)− dti+d+2 − t

(ti+d+2 − ti+1)(ti+d+2 − ti+2)Ni+2,d−1(t)

D’un autre cote :

4.3. PROPRIETES DES FONCTIONS DE BASE DES B-SPLINES 57

ti+d+2 − t

ti+d+2 − ti+1

−t− ti

ti+d+1 − ti=

ti+d+1 − t

ti+d+1 − ti−

t− ti+1

ti+d+2 − ti+1

D’ou :

N ′i,d+1(t) =

1


1

ti+d+2 − ti+1

Ni+1,d(t) +d

ti+d+1 − ti[

t− titi+d − ti

Ni,d−1(t) +ti+d+1 − t

ti+d+1 − ti+1

Ni+1,d−1(t)

]

−d

ti+d+2 − ti+1[

t− ti+1

ti+d+1 − ti+1

Ni+1,d−1(t) +ti+d+2 − t

ti+d+2 − ti+2

Ni+2,d−1(t)

]

Ni+2,d−1(t)

=1


1

ti+d+2 − ti+1

Ni+1,d(t) +d

ti+d+1 − tiNi,d(t)

−d

ti+d+2 − ti+1

Ni+1,d(t)

=d+ 1


d+ 1

ti+d+2 − ti+1

Ni+1,d(t)

Donc, on a bien :

N ′i,d(t) =

d


d

ti+d+1 − ti+1

Ni+1,d−1(t)

4.3 Proprietes des fonctions de base des B-

splines

Les fonctions de base des B-spline Ni,k(t) satisfont aux proprietes sui-vantes [3],[1],[6] :

4.3.1 Support local

Ni,k(t) = 0 , t /∈ [ti, ti+k+1)

Preuve :

pour k = 0, Ni,k(t) = 0, t /∈ [ti, ti+1)


On suppose le resultat vrai jusqu’au rang k :

Ni,k(t) = 0, t /∈ [ti, ti+k+1)

Et aussi :Ni+1,k(t) = 0, t /∈ [ti+1, ti+k+2)

Ni,k+1(t) est donnee par la relation :

Ni,k+1(t) =t− ti

ti+k+1 − tiNi,k(t) +

ti+k+2 − t

ti+k+2 − ti+1

Ni+1,k(t)

On montre que la propriete est vraie pour k + 1 :

Ni,k+1(t) = 0, t /∈ [ti, ti+k+2)

Si t /∈ [ti, ti+k+2) alors : t /∈ [ti, ti+k+1) et t /∈ [ti+1, ti+k+2)

Ceci implique que Ni,k(t) = Ni+1,k(t) = 0, t /∈ [ti, ti+k+2)

Finallement, Ni,k+1(t) = 0, t /∈ [ti, ti+k+2)

4.3.2 Nonnegativite

∀t ∈ R, Ni,k(t) ≥ 0

Preuve :La preuve se fait par induction sur k

pour k = 0 la propriete est vraie par definition.On suppose le resultat vrai jusqu’au rang k :

Ni,k(t) ≥ 0 et : Ni+1,k(t) ≥ 0

On montre que la propriete est vraie pour k + 1 :

Ni,k+1(t) =t− ti

ti+k+1 − tiNi,k(t) +

ti+k+2 − t

ti+k+2 − ti+1

Ni+1,k(t)


On sait d’apres la propriete de support local que :

Ni,k+1(t) = 0 , t /∈ [ti, ti+k+2)

D’un autre cote, si t ∈ [ti, ti+k+2) alors :

t− titi+k+1 − ti

,ti+k+2 − t

ti+k+2 − ti+1

≥ 0

Comme Ni,k et Ni+1,k sont supposees toutes deux non negatives alors Ni,k+1

est elle aussi non negative pour n’importe quel t

4.3.3 Polynomes par morceaux

Ni,k(t) sont des fonctions polynomiales par morceaux de degre k.

Preuve :On demontre par recurrence que les Ni,k(t) sont des fonctions polynomialespar morceaux. En effet, les Ni,0(t) etant des fonctions polynomiales par mor-ceaux par definition, si on suppose Ni,k(t) et Ni+1,k(t) par morceaux, alors ladefinition de recurrence nous donne que Ni,k+1(t) est aussi par morceaux caretant construit avec deux fonctions polynomiales par morceaux.

4.3.4 Partition de l’unite

∀0 ≤ r ≤ mr∑

j=r−k

Nj,k(t) = 1 pour t ∈ [tr, tr+1[

Preuve :La preuve se fait par recurrence sur k

Pour k = 0, Nr,0(t) = 1 si t ∈ [tr, tr+1[

On suppose que : ∀t ∈ [tr, tr+1[,∑r

j=r−k−1Nj,k−1(t) = 1

D’un autre cote :


∑r

j=r−k Nj,k(t) = Nr−k,k(t) + · · ·+Nr−1,k(t) +Nr,k(t)

=[

t−tr−k

tr−tr−kNr−k,k−1(t) +

tr+1−t

tr+1−tr−k+1Nr−k+1,k−1(t)

]

+ · · ·+[

t−tr−1

tr+k−1−tr−1Nr−1,k−1(t) +

tr+k−t

tr+k−trNr,k−1(t)

]

+[

t−trtr+k−tr

Nr,k−1(t) +tr+k+1−t

tr+k+1−tr+1Nr+1,k−1(t)

]

= t−tr−k

tr−tr−kNr−k,k−1(t) +

[

tr+1−t

tr+1−tr−k+1+ t−tr−k+1

tr+1−tr−k+1

]

Nr−k+1,k−1(t) + · · ·+[

tr+k−t

tr+k−tr+ t−tr

tr+k−tr

]

Nr,k−1(t)

+ tr+k+1−t


= t−tr−k

tr−tr−kNr−k,k−1(t) +Nr−k+1,k−1(t) + · · ·+Nr,k−1(t)+

tr+k+1−t


Comme Nr−k,k−1(t) = 0 pour t /∈ [tr−k, tr) et :Nr+1,k−1(t) = 0 pour t /∈ [tr+1, tr+k+1)

Il s’ensuit que :

r∑

j=r−k

Nj,k(t) = Nr−k+1,k−1(t) + · · ·+Nr,k−1(t)

=r∑

j=r−k+1

Nj,k−1(t)

= 1

Donc, ∀t ∈ [tr, tr+1[,∑r

j=r−k Nj,k(t) = 1

4.3.5 Continuite

Si le noeud ti est de multiplicite pi alors Ni,k(t) est Ck−pi en t = ti et C

∞

ailleurs. Donc, on augmente la continuite en augmentant le degre k et on ladiminue en augmentant la multiplicite pi

Preuve :Comme les fonctions de base Ni,k(t) sont des polynomes par morceaux dedegre k, ils sont C∞ sauf aux noeuds ou se joignent les segments de courbesqui les composent.

Supposons que le noeud ti est de multiplicite pi avec 1 ≤ pi ≤ k


Pour k = 1, pi = 1 et :

Ni,1(t) =t− ti

ti+1 − tiNi,0(t) +

ti+2 − t

ti+2 − ti+1

Ni+1,0(t)

=

t−titi+1−ti

, t ∈ [ti, ti+1[

ti+2−t

ti+2−ti+1, t ∈ [ti+1, ti+2[

0 ailleurs

Si t 6= ti, Ni,1(t) est C∞ .Et comme :

limt→t+iNi,1(t) = limt→t−i

Ni,1(t) = Ni,1(ti) = 0

limt→t+i+1Ni,1(t) = limt→t−i+1

Ni,1(t) = Ni,1(ti+1) = 1

limt→t+

i+2Ni,1(t) = limt→t

−

i+2Ni,1(t) = Ni,1(ti+2) = 0

Donc, Ni,1(t) est C0 en t = ti

On en conclut que la propriete est vraie pour k = 1.L’hypothese de recurrence est que tous les Ni,k−1(t) sont C

k−1−pi en t = tiD’autre part, on a :

N ′i,k(t) =

k

ti+k − tiNi,k−1(t)−

k

ti+k+1 − ti+1

Ni+1,k−1(t)

N ′i,k(t) est C

k−1−pi en t = ti car elle s’ecrit comme combinaison de deux

fonctions Ck−1−pi

De plus, comme Ni,k(t) est continue en t = ti, on en deduit que Ni,k(t)est Ck−pi en t = ti

Chapitre 5

Courbes B-splines

Dans ce chapitre, nous allons introduire les courbes B-splines, presenterleurs proprietes et proposer un algorithme de calcul pour ces courbes.

5.1 Definition

La Courbe B-spline de degre d munie des points de controle b0, · · · , bn estdefinie sur l’intervalle [a, b] par [3],[7],[6] :

B(t) =n∑

i=0

biNi,d(t)

Ou les Ni,d(t) sont les fonctions de base des B-splines de degre d definiespar le vecteur nodal (t0, · · · , td = a, · · · , tm−d = b, · · · , tm)

Remarque 11Pour les distinguer de celles rationnelles, les courbes B-splines definies plushaut sont dites integrales ou non rationnelles.

Remarque 12Alors qu’une courbe de Bezier de degre d a exactement (d + 1) points decontrole, une B-spline de degre d peut avoir n’importe quel nombre de pointsde controle pourvu qu’on dispose d’assez de noeuds.

Ainsi pour modeliser des formes assez complexes, les B-splines sont bienplus efficaces que les courbes de Bezier car on peut augmenter le nombre depoints de controle sans augmenter le degre de la courbe.

63

64 CHAPITRE 5. COURBES B-SPLINES

5.2 Relation entre le degre de la courbe ”d”,

le nombre de noeuds ”m+1” et le nombre

de points de controle ”n+1”

Soit B(t) =∑n

i=0 biNi,d(t) une courbe B-spline de degre d avec (n + 1)points de controle b0, · · · , bn.

Chaque fonction de baseNi,d(t) est definie par (d+2) noeuds : ti, · · · , ti+d+1.Donc pour i variant dans l’intervalle [0, n], on aura besoin des noeuds

t0, t1, · · · , tn+d+1 soit exactement (n+ d+ 2) noeuds, d’ou la relation :

m+ 1 = n+ d+ 2 ⇒ m = n+ d+ 1

exemple 5.1SoitB(t) une courbe de B-spline definie sur [4, 7] munie des points de controle :b0 = (−4,−1), b1 = (−2, 1), b2 = (1, 3) et b3 = (3, 1) et du vecteur nodalU = (1, 2, 4, 5, 7, 9, 11).

Les fonctions de base de degre 2 sont donnees dans l’exemple 4.1 par :

N0,2 =


N1,2 =


N2,2 =


N3,2 =


B(t) = (−4,−1)N0,2 + (−2, 1)N1,2 + (1, 3)N2,2 + (3, 1)N3,2

B(t) s’ecrit :

5.3. RELATION ENTRE LES COURBES B-SPLINES ET CELLES DE BEZIER65

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-2 -1 0 1 2 3

Figure 5.1 – Courbe de B-spline calculee dans l’exemple 5.1

B(t) =

(−4,−1)5−t2

3+ (−2, 1)

(

(5−t)(t−2)3

+ (t−4)(7−t)3

)

+ (1, 3) (t−4)2

3t ∈ [4, 5)

(−2, 1) (7−t)2

6+ (1, 3)

(

(7−t)(t−4)6

+ (t−5)(9−t)8

)

+ (3, 1) (t−5)2

8t ∈ [5, 7]

5.3 Relation entre les courbes B-splines et

celles de Bezier

Les courbes de Bezier peuvent etre vues comme un cas particulier descourbes B-splines.

Il suffit pour cela de considerer le vecteur nodal

U = (0, · · · , 0, 1, · · · , 1)

avec 0 et 1 repetes chacun (n+1) fois. Ceci est illustre par l’exemple suivant :

exemple 5.2Soit b0, b1, b2 des points de controle definissant une courbe B-spline muniedu vecteur nodal (0, 0, 0, 1, 1, 1) Le calcul des fonctions de base Ni,n(t) nousdonne :

N0,0 = N1,0 = N3,0 = N4,0 = 0


N0,2 =

{

(1− t)2 t ∈ [0, 1]0 ailleurs

N1,2 =

{

2t(1− t) t ∈ [0, 1]0 ailleurs

N2,2 =

{

t2 t ∈ [0, 1]0 ailleurs

On aura : B(t) =

{

b0(1− t)2 + b12t(1− t) + b2t2 t ∈ [0, 1]

0 ailleursCe qui revient a representer exactement une courbe de Bezier quadratique

sur [0, 1]

5.4 Proprietes des courbes B-splines

Une courbe B-spline B(t) =∑n

i=0 biNi,d(t) de degre d satisfait aux pro-prietes suivantes [3],[7],[6] :

5.4.1 Controle local

soit r ∈ N tel que r varie dans l’intervalle [d,m− d− 1]Si t ∈ [tr, tr+1[ alors B(t) =

∑r

i=r−d biNi,d(t)B(t) etant definie sur [td, tm−d], chaque segment de courbe sera definie

sur [tr, tr+1[La propriete de controle local consiste a ce que chaque segment de courbe

soit definie par exactement (d + 1) points de controle et ainsi, pour evaluerB(t), il suffit d’evaluer Nr−d,d(t), · · · , Nr,d(t)

Preuve :

B(t) =n∑

i=0

biNi,d(t)

=r−d−1∑

i=0

biNi,d(t) +r∑

i=r−d

biNi,d(t) +n∑

i=r+1

biNi,d(t)

On suppose que t ∈ (tr, tr+1)

∀i ∈ [r + 1, n], Ni,d(t) = 0 car t /∈ (ti, ti+d+1)

5.4. PROPRIETES DES COURBES B-SPLINES 67

D’ou :∑n

i=r+1 biNi,d(t) = 0

De la meme maniere,

∀i ∈ [0, r − d− 1], Ni,d(t) = 0 ⇒

r−d−1∑

i=0

biNi,d(t) = 0


B(t) =r∑

i=r−d

biNi,d(t) pour t ∈ [tr, tr+1[

5.4.2 Modification locale

Pour une courbe de Bezier, modifier un point aurait pour consequence deschangements dans toute la courbe. Un des avantages des courbes B-splineest la propriete de modification locale. Comme Np,d(t) est nulle sauf dans[tp, tp+d+1), changer le point de controle bp n’entrainera de modification pourla courbe B-spline que sur l’intervalle [tp, tp+d+1) et non pas sur la courbetoute entiere comme c’est le cas pour les courbes de Bezier.

5.4.3 Enveloppe convexe

Soit d ≤ r ≤ m− d− 1

Alors : B(t) ⊂ CH{br−d, · · · , br} pour : t ∈ [tr, tr+1[

Preuve :D’apres la definition de l’enveloppe convexe :

CH{x0, x1, · · · , xn} =

{

a0x0 + a1x1 + · · · , anxn/ai ≥ 0 etn∑

i=0

ai = 1

}

Or,∑r

i=r−d Ni,d(t) = 1 et Ni,d(t) ≥ 0 pour t ∈ [tr, tr+1[

On sait que :

B(t) =r∑

i=r−d

biNi,d(t), t ∈ [tr, tr+1[

Donc, en posant ai = Ni,d(t), i = r − d, · · · , r, on aura :

B(t) ⊂ CH{br−d, · · · , br}


5.4.4 Continuite

Si pi est la multiplicite du noeud ti, alors B(t) est au moins Cd−pi en ti etC∞ ailleurs.

Preuve :Comme B(t) est une fonction polynomiale par morceaux elle est C∞ partoutsauf aux points ti

On sait deja que pour un noeud ti de multiplicite pi,Ni,d(t) est C

d−pi en ti et C∞ ailleurs.

Donc, en ti, B(t) est une somme de fonctions Cd−pi ou C∞, ceci impliqueque B(t) est au moins Cd−pi en ti

5.4.5 Invariance par transformation affine

Soit T une transformation affine, alors :

T

(

r∑

i=r−d

biNi,d(t)

)

=r∑

i=r−d

T(bi)Ni,d(t) avec : t ∈ [tr, tr+1[


Pour que cette propriete soit verifiee, on choisit le vecteur nodal tel que :t0 = t1 = · · · = td et tm−d = tm−d+1 = · · · = tm

On parle alors de courbe B-spline ”ouverte” et on aura :

B(td) = b0 et B(tm) = bn

5.5 L’algorithme de De Boor

L’algorithme de De Boor [3] est aux courbes B-splines ce que l’algorithmede De Casteljau est aux courbes de Bezier.

De Casteljau se base sur la relation de recurrence des polynomes de Bern-stein, alors que De Boor se base sur la recurrence des fonctions de base desB-splines.

5.5. L’ALGORITHME DE DE BOOR 69

5.5.1 Presentation de l’algorithme

Entree : b0, b1, · · · , bn ∈ R2, t ∈ R

Procedure :

bji (t) = (1− αji (t))b

j−1i−1 (t) + αj

i (t)bj−1i (t)

αji (t) = t−ti

ti+d−j+1−ti

pour : j = 1, · · · , d ;i = r − d+ j, · · · , r

et ou : b0i (t) = bi et b−1 = bm−d+1 =

(

00

)

Sortie : bdr(t) le point a parametre t dans la courbe B-spline B(t)

Remarque 13B(t) etant une courbe par morceaux, l’algorithme nous indique les points dela courbe B-spline pour chaque segment de courbe defini sur [tr, tr+1[ avecr ∈ [d,m− d− 1]

Remarque 14Comme pour celui de De Casteljau, l’algorithme de De Boor peut etre visua-lise sous forme d’un triangle :

b0r−d b0r−d+1 · · · · · · · · · b0rb1r−d+1 b1r

· · · · · ·bd−1r−1 bd−1

r

bdr

Pour la preuve de cet algorithme, nous avons besoin du lemme suivant :

lemme 5.1Pour t ∈ [tr, tr+1[, B(t) est donnee par :

B(t) =r∑

i=r−d+j

bjiNi,d−j(t) avec

j = 1, · · · , d et i = r − d+ j, · · · , r

Preuve :La demonstration se fait par recurrence sur j


B(t) =r∑

i=r−d

biNi,d(t), t ∈ [tr, tr+1[

Or, Ni,d(t) =t− ti


ti+d+1 − t

ti+d+1 − ti+1

Ni+1,d−1(t)

D’ou :B(t) =r∑

i=r−d

bit− ti


r∑

i=r−d

biti+d+1 − t

ti+d+1 − ti+1

Ni+1,d−1(t)

En reindexant la deuxieme somme, on obtient :

B(t) =r∑

i=r−d

bit− ti


r+1∑

i=r−d+1

bi−1ti+d − t

ti+d − tiNi,d−1(t)

Et comme Nr+1,d−1(t) = Nr−d,d−1(t) = 0 alors

B(t) =r∑

i=r−d+1

(

bit− ti

ti+d − ti+ bi−1

ti+d − t

ti+d − ti

)

Ni,d−1(t)

=r∑

i=r−d+1

b1iNi,d−1(t)

Donc, la propriete est vraie pour j = 1On suppose le resultat vrai jusqu’a l’ordre j − 1 :

B(t) =r∑

i=r−d+j−1

bj−1i Ni,d−j+1(t)

Or Ni,d−j+1(t) =t− ti

ti+d−j+1 − tiNi,d−j(t) +

ti+d−j+2 − t

ti+d−j+2 − ti+1

Ni+1,d−j(t)

D’ouB(t) =r∑

i=r−d+j−1

bj−1i

t− titi+d−j+1 − ti

Ni,d−j(t)

+r∑

i=r−d+j−1

bj−1i

ti+d−j+2 − t

ti+d−j+2 − ti+1

Ni+1,d−j(t)

5.5. L’ALGORITHME DE DE BOOR 71

En reindexant la deuxieme somme, on obtient :

B(t) =r∑

i=r−d+j−1

bj−1i


Ni,d−j(t)+r+1∑

i=r−d+j

bj−1i−1

ti+d−j+1 − t

ti+d−j+1 − tiNi,d−j(t)

Et comme Nr+1,d−j(t) = Nr−d+j−1,d−j(t) = 0 alors :

B(t) =r∑

i=r−d+j

(

bj−1i


+ bj−1i−1

ti+d−j+1 − t

ti+d−j+1 − ti

)

Ni,d−j(t)

=r∑

i=r−d+j

bjiNi,d−j(t)

5.5.2 Preuve de l’algorithme

Soit t ∈ [tr, tr+1)D’apres le lemme 5.1 :

B(t) =r∑

i=r−d+j

bjiNi,d−j(t) avec :

j = 1, · · · , d et i = r − d+ j, · · · , r

En particulier pour j = d

B(t) =r∑

i=r

bdiNi,0(t)

= bdrNr,0(t)

Comme Nr,0(t) = 1 sur [tr, tr+1[ alors :

B(t) = bdr(t)

exemple 5.3On reprend l’exemple 5.1

Supposons qu’on veuille calculer B(4.25)

4.25 ∈ [4, 5) = [t2, t3) ⇒ r = 2


α11 = t−t1

t3−t1= 4.25−2

5−2= 0.75

α12 = t−t2

t4−t2= 4.25−4

7−4= 0.083

α22 = t−t2

t3−t2= 4.25−4

5−4= 0.25

b11 = (1− α11)b

00 + α1

1b01

= (1− 0.75)(−4,−1) + 0.75(−2, 1)

= (−2.5, 0.5)

b12 = (1− α12)b

01 + α1

2b02

= (1− 0.083)(−2, 1) + 0.083(1, 3)

= (−1.751, 0.667)

b22 = (1− α22)b

11 + α2

2b12

= (1− 0.25)(−2.5, 0.5) + 0.25(−1.751, 0.667)

= (−2.313, 0.542)

5.6 Derivation des courbes B-splines

La derivee de B(t) =∑n

i=0 biNi,d(t) est donnee par :

B′(t) =n−1∑

i=0

b(1)i Ni+1,d−1(t) avec : b

(1)i = d

bi+1 − biti+d+1 − ti+1

Preuve :Soit B(t) =

∑n

i=0 biNi,d(t), t ∈ [td, tm− d] Alors :

B′(t) =

(

n∑

i=0

biNi,d(t)

)′

=n∑

i=0

biN′i,d(t)

=n∑

i=0

bid


n∑

i=0

bid

ti+d+1 − ti+1

Ni+1,d−1(t)

Et comme N0,d−1(t) = Nn+1,d−1(t) = 0 pour t ∈ [td, tm− d] il s’ensuitque :

B′(t) =n∑

i=1

d

ti+d − ti(bi − bi−1)Ni,d−1(t)

5.6. DERIVATION DES COURBES B-SPLINES 73

En reindexant, on aura :

B′(t) =n−1∑

i=0

d

ti+d+1 − ti+1

(bi+1 − bi)Ni+1,d−1(t)

=n−1∑

i=0

b(1)i Ni+1,d−1(t)

En continuant a deriver en utilisant la relation de recurrence pour laderivee de Ni,k(t), on aura la derivee r-ieme de B(t) donnee par la relation :

Corollaire 5.1La derivee r-ieme de B(t), notee B(r)(t) est donnee par :

B(r)(t) =n−r∑

i=0

b(r)i Ni+r,d−r(t) ou b

(r)i =

d− r + 1

ti+d+1 − ti+r

(

br−1i+1 − br−1

i

)

Preuve :La preuve se fait par induction sur r

B′(t) =n−1∑

i=0

b(1)i Ni+1,d−1(t)

L’hypothese est donc vraie pour r = 1

Supposons la proposition vraie jusqu’a l’ordre r

B(r+1)(t) =[

B(r)(t)]′

=n−r∑

i=0

b(r)i N ′

i+r,d−r(t)

=n−r∑

i=0

b(r)i

d− r

ti+d − ti+r

Ni+r,d−r−1(t)

−n−r∑

i=0

b(r)i

d− r

ti+d+1 − ti+r+1

Ni+r+1,d−r−1(t)

En reindexant la deuxieme somme, on aura :


B(r+1)(t) =n−r∑

i=0

b(r)i

d− r

ti+d − ti+r

Ni+r,d−r−1(t)

−n−r+1∑

i=1

b(r)i−1

d− r

ti+d − ti+r

Ni+r,d−r−1(t)

Comme : Nr,d−r−1(t) = Nn+1,d−r−1(t) = 0, t ∈ [td, tm−d], Alors

B(r+1)(t) =n−r∑

i=1

d− r

ti+d − ti+r

(

b(r)i − b

(r)i−1

)

Ni+r,d−r−1(t)


B(r+1)(t) =n−r−1∑

i=0

d− r

ti+d+1 − ti+r+1

(

b(r)i+1 − b

(r)i

)

Ni+r+1,d−r−1(t)

On vient de montrer par recurrrence que :

B(r)(t) =n−r∑

i=0

b(r)i Ni+r,d−r(t)

5.7 Insertion de noeuds

L’insertion de noeuds permet d’obtenir une nouvelle representation d’unecourbe B-spline en introduisant de nouvelles valeurs de noeuds au vecteurnodal.

La nouvelle courbe aura en plus des points de controle originaux de nou-veaux points de controle correspondant aux nouveaux noeuds.

Augmenter ainsi le nombre de points de controle permet d’accroitre lecontrole sur la forme de l’objet.

lemme 5.2Soit Ni,d(t) les fonctions de base des B-splines de degre d definies sur levecteur nodal (t0, · · · , tm)

Supposons t ∈ [ts, ts+1[ et soient Ni,d(t) les fonctions de base definies sur(t0, · · · , t, · · · , tm+1) avec :

t0 = t0, · · · , ts = ts, ts+1 = t, ts+2 = ts+1, · · · , tm+1 = tm Alors

5.7. INSERTION DE NOEUDS 75

Ni,d(t) =

Ni,d(t) pour : i = 0, · · · , s− d− 1

t−titi+d+1−ti

Ni,d(t) +ti+d+2−t

ti+d+2−ti+1Ni+1,d(t) pour : i = s− d, · · · , s

Ni+1,d(t) pour : i > s+ 1

Theoreme 5.1 (Algorithme de Boehm)Soit B(t) =

∑n

i=0 biNi,d(t) une courbe B-spline avec les noeuds t0, · · · , tm et

soit t ∈ [ts, ts+1[

Alors, la representation de B(t) avec le vecteur nodalt0, · · · , ts, t, ts+1, · · · , tm−1, tm est :

B(t) =n+1∑

i=0

biNi,d(t) avec

bi =

bi ; 0 ≤ i ≤ s− d(1− αi)bi−1 + αibi ; s− d+ 1 ≤ i ≤ sbi−1 ; s+ 1 ≤ i ≤ n+ 1

αi =t− ti

ti+d − ti=

t− ti

ti+d+1 − ti

Preuve :

B(t) =n∑

i=0

biNi,d(t)

=s−d−1∑

i=0

biNi,d(t) +s∑

i=s−d

biNi,d(t) +n∑

i=s+1

biNi,d(t)


En utilisant le lemme 5.2, on aura :

B(t) =s−d−1∑

i=0

biNi,d(t) +s∑

i=s−d

bit− ti


+s∑

i=s−d

biti+d+2 − t

ti+d+2 − ti+1

Ni+1,d(t) +n∑

i=s+1

biNi+1,d(t)

=s−d−1∑

i=0

biNi,d(t) + bs−d

t− ts−d

ts+1 − ts−d

Ns−d,d(t)

+s∑

i=s−d+1

bit− ti

ti+d+1 − tiNi,d(t) + bs

ts+d+2 − t

ts+d+2 − ts+1

Ns+1,d(t)

+s−1∑

i=s−d

biti+d+2 − t

ti+d+2 − ti+1

Ni+1,d(t) +n∑

i=s+1

biNi+1,d(t)


B(t) =s−d−1∑

i=0

biNi,d(t) + bs−d

t− ts−d

ts+1 − ts−d

Ns−d,d(t) +s∑

i=s−d+1

bit− ti


+bsts+d+2 − t

ts+d+2 − ts+1

Ns+1,d(t) +s∑

i=s−d+1

bi−1ti+d+1 − t


n∑

i=s+1

biNi+1,d(t)

=s−d−1∑

i=0

biNi,d(t) + bs−d

t− ts−d

ts+1 − ts−d

Ns−d,d(t)

+s∑

i=s−d+1

(

bit− ti

ti+d+1 − ti+ bi−1

ti+d+1 − t

ti+d+1 − ti

)

Ni,d(t)

+bsts+d+2 − t

ts+d+2 − ts+1

Ns+1,d(t) +n∑

i=s+1

biNi+1,d(t)

5.7. INSERTION DE NOEUDS 77

=s−d−1∑

i=0

biNi,d(t) + bs−dNs−d,d(t) + bsNs+1,d(t)

+s∑

i=s−d+1

(

bit− ti


ti+d+1 − t

ti+d+1 − ti

)

Ni,d(t) +n∑

i=s+1

biNi+1,d(t)

(car : t = ts+1)

=s−d∑

i=0

biNi,d(t) +s∑

i=s−d+1

(

bit− ti


ti+d+1 − t

ti+d+1 − ti

)

Ni,d(t)

+n∑

i=s

biNi+1,d(t)

=s−d∑

i=0

biNi,d(t) +s∑

i=s−d+1

(

bit− ti


ti+d+1 − t

ti+d+1 − ti

)

Ni,d(t)

+n+1∑

i=s+1

bi−1Ni,d(t)

Donc, B(t) =n+1∑

i=0

biNi,d(t) avec

bi =

bi ; 0 ≤ i ≤ s− d(1− αi)bi−1 + αibi ; s− d+ 1 ≤ i ≤ sbi−1 ; s+ 1 ≤ i ≤ n+ 1

αi =t− ti

ti+d − ti=

t− ti

ti+d+1 − ti

exemple 5.4Considerons B(t) une B-spline definie sur le vecteur nodal(t0 = 0, t1 = 0, t2 = 0, t3 = 1, t4 = 3, t5 = 3, t6 = 3 munie des points decontrole b0(0, 0), b1(6, 12), b2(12, 12), b3(16, 4).

On insere un nouveau noeud t = 2.Comme 2 ∈ [t3, t4) alors s = 3On applique l’algorithme de Boehm, on aura :

α2 = t−t2t4−t2

= 2−03−0

= 23

α3 = t−t3t4−t3

= 2−13−1

= 12


les nouveaux points de controle seront donnes par :

b0 = b0 = (0, 0)

b1 = b1 = (6, 12)

b2 = (1− α2)b1 + α2b2 =1

3(6, 12) +

2

3(12, 12) = (10, 12)

b3 = (1− α3)b2 + α3b3 =1

2(12, 12) +

1

2(16, 4) = (14, 8)

b4 = b3 = (16, 4)

Chapitre 6

B-spline Rationnelles NonUniformes

Les B-splines rationnelles figurent parmi les outils les plus complets et lesplus utilises en modelisation geometrique. Ayant a la fois les avantages descourbes de Bezier rationnelles mais aussi celles des B-splines, elles peuventrepresenter un large eventail de formes. Les B-splines rationnelles sont obte-nues par la meme technique utilisee pour avoir des courbes de Bezier ration-nelles a partir de celles integrales.

Ces courbes sont generalement designees par l’abreviation (NURBS) pour :Non Uniform Rational B-Splines.

6.1 Definition

Definition 6.1Un vecteur nodal (t0, t1, · · · , tm) est dit uniforme si ti+1 = ti+h. Un vecteurnodal qui ne verifie pas cette propriete est dit : vecteur nodal non-uniforme.Une courbe NURBS possede un vecteur nodal non-uniforme.

Definition 6.2Une courbe NURBS de degre d munie des points de controle b0, · · · , bn, despoids w0, · · · , wn et du vecteur nodal (t0, · · · , tm) est la courbe definie surl’intervalle [a, b] = [td, tm−d] donnee par [3],[5],[6] :

B(t) =

∑n

i=0 wibiNi,d(t)∑n

i=0 wiNi,d(t)

ou les Ni,d(t) sont les fonctions de base des B-splines et avec wibi remplacepar bi si wi = 0

79

80 CHAPITRE 6. B-SPLINE RATIONNELLES NON UNIFORMES

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

b2 b1

b5b4

b3 b0=b6

Figure 6.1 – Une courbe NURBS representant un cercle unitaire

Remarque 15La courbe peut etre reecrite sous la forme :

B(t) =n∑

i=0

biRi,d(t) ,avec Ri,d(t) =wiNi,d(t)

∑n

j=0wjNj,d(t)

Les Ri,d(t) sont dites fonctions de base des B-splines rationnelles.

Remarque 16Soit bi = (xi, yi, zi) et bi =

{

(wixi, wiyi, wizi) si wi 6= 0(xi, yi, zi, 0) si wi = 0

ses coordonnees

homogenes.

Alors, comme dans le cas des courbes de Bezier, la courbe NURBS estexprimee en coordonnees homogenes par :

B(t) =n∑

i=0

biNi,d(t)

exemple 6.1une courbe NURBS defnie par le vecteur nodal (0, 0, 0, 1

4, 14, 12, 12, 34, 1, 1, 1) et

munie des points de controle (1, 1), (−1, 1), (−1, 0), (−1,−1), (1,−1),(1, 0), (1, 1) ainsi que des poids correspondants : 1, 1

2, 12, 1, 1

2, 12, 1 represente le

cercle unite centre a l’origine comme le montre la figure 6.1

6.2. PROPRIETES DES COURBES NURBS 81

6.2 Proprietes des courbes NURBS

Une courbe NURBS saisfait aux proprietes suivantes [3],[5],[6] :

6.2.1 Controle local

Si t ∈ [tr, tr+1[ (d ≤ r ≤ m− d− 1) alors :

B(t) =

∑r

i=r−d wibiNi,d(t)∑r

i=r−dwiNi,d(t)=

r∑

i=r−d

biRi,d(t)

6.2.2 Propriete de l’enveloppe convexe

Si ∀i, wi > 0 et si t ∈ [tr, tr+1[ alors :

B(t) ⊂ CH{br−d, · · · , br}

6.2.3 Continuite

Si pi est la multiplicite du point de cassure t = ui, alors B(t) est Cd−pi

(ou plus) en t = ui et C∞ ailleurs.

6.2.4 Invariance par transformation affine

Soit T une transformation affine. Alors :

T

(∑r

i=r−d wibiNi,d(t)∑r

i=r−d wiNi,d(t)

)

=

∑r

i=r−d wiT (bi)Ni,d(t)∑r

i=r−dwiNi,d(t)

6.2.5 Invariance par transformation projective

Soit P une transformation projective, alors :

P

(

n∑

i=0

biNi,d(t)

)

=n∑

i=0

P (bi)Ni,d(t)

Ou les bi sont les points de controle homogenes.


En effet, si M est la matrice de projection, alors :

B(t)M =

(

n∑

i=0

biNi,d(t)

)

·M

=n∑

i=0

(biM)Ni,d(t)

=n∑

i=0

ciNi,d(t)

On aura ainsi une nouvelle courbe NURBS exprimee en coordonnees ho-mogenes. Les nouveaux points de controle ci et les poids wi peuvent etreobtenues a partir des points de controle homogenes ci = biM

6.3 Algorithme de De Boor pour le cas ra-

tionnel

L’algorithme de De Boor pour le cas rationnel est obtenu a partir del’algorithme de De Boor de la meme maniere que l’algorithme de De Casteljaupour le cas rationnel.

6.3.1 Description de l’algorithme

Entree :Les points de controle bi ∈ R3 et t ∈ [tr, tr+1[

Procedure :

αji = t−ti

ti+d−j+1−ti

wji = (1− αj

i )wj−1i−1 + αj

iwj−1i

wji b

ji = (1− αj

i )wj−1i−1 b

j−1i−1 + αj

iwj−1i bj−1

i pour : j > 0

pour : i = 0, · · · , d ;j = r − d+ i, · · · , ret ou : b0i = bi et w

0i = wi

Sortie :les points de la courbe NURBS B(t) = ddr(t) pour t ∈ [tr, tr+1[

6.3. ALGORITHME DE DE BOOR POUR LE CAS RATIONNEL 83

exemple 6.2Soit B(t) une courbe NURBS de degre 3 definie sur le vecteur nodal t0 =1.2, t1 = 1.4, t2 = 1.5, t3 = 2.0, t4 = 2.4, t5 = 3.1, t6 = 5.0, t7 = 6.4, t8 = 7.3 etmunie des points de controle b0(2, 1), b1(4, 8), b2(5,−1), b3(3,−2), b4(2,−4) etdes poids correspondants :w0 = 1.0, w1 = 1.5, w2 = 2.0, w3 = 1.5, w4 = 1.0

Supposons qu’on veuille calculer B(2.7) le point de la courbe correspon-dant a t = 2.7.

Comme 2.7 ∈ [t4, t5) il s’en suit que r = 4.

α12 = t−t2

t5−t2= 2.7−1.5

3.1−1.5= 0.75

α13 = t−t3

t6−t3= 2.7−2.0

5.0−2.0= 0.23333

α14 = t−t4

t7−t4= 2.7−2.4

6.4−2.4= 0.075

w12 = (1− α1

2)w01 + α1

2w02 = (1− 0.75)1.5 + (0.75)2.0 = 1.875

w13 = (1− α1

3)w02 + α1

3w03 = (1− 0.23333)2.0 + (0.23333)1.5 = 1.8833

w14 = (1− α1

4)w03 + α1

4w04 = (1− 0.075)1.5 + (0.075)1.0 = 1.4625

b12 =(1− α1

2)w01b

01 + α1

2w02b

02

w12

=(1− 0.75)1.5(4, 8) + (0.75)2.0(5,−1)

1.875= (4.8, 0.8)

b13 =(1− α1

3)w02b

02 + α1

3w03b

03

w13

=(1− 0.23333)2.0(5,−1) + (0.23333)1.5(3,−2)

1.8833= (4.6284,−1.1858)

b14 =(1− α1

4)w03b

03 + α1

4w04b

04

w14

=(1− 0.075)1.5(3,−2) + (0.075)1.0(2,−4)

1.4625= (2.9487,−2.1026)

α23 = t−t3

t5−t3= 2.7−2.0

3.1−2.0= 0.63636

α24 = t−t4

t6−t4= 2.7−2.4

5.0−2.4= 0.11538


w23 = (1− α2

3)w12 + α2

3w13 = (1− 0.63636)1.875 + (0.63636)1.8833

= 1.8803

w24 = (1− α2

4)w13 + α2

4w14 = (1− 0.11538)1.8833 + (0.11538)1.4625

= 1.8347

b23 =(1− α2

3)w12b

12 + α2

3w13b

13

w23

=(1− 0.63636)1.875(4.8, 0.8) + (0.63636)1.8833(4.6284,−1.1558)

1.8803= (4.6906,−0.46571)

b24 =(1− α2

4)w13b

13 + α2

4w14b

14

w24

=(1− 0.11538)1.8833(4.6284,−1.1858) + (0.11538)1.4625(2.9487,−2.1026)

1.8347= (4.474,−1.2701)

α34 =

t− t4t5 − t4

=2.7− 2.4

3.1− 2.4= 0.42857

w34 = (1− α3

4)w23 + α3

4w24 = (1− 0.42857)1.8803 + (0.42857)1.8347 = 1.8608

b34 =1− α3

4)w23b

23 + α3

4w24b

24

w34

=(1− 0.42857)1.8803(4.6906,−0.46571) + (0.42857)1.8347(4.474,−1.2701)

1.8608= (4.599,−0.80562)

D’ou le resultat :

B(2.7) = (4.599,−0.80562)

6.4 Derivation d’une courbe NURBSTheoreme 6.1La derivee r-ieme d’une courbe B-spline rationnelle est donnee par :

B(r)(t) =f (r)(t)−

∑r−1j=0

(

r

j

)

Bj(t)g(r−j)(t)

g(t)

6.4. DERIVATION D’UNE COURBE NURBS 85

avec : f(t) =∑n

i=0 wibiNi,d(t)et : g(t) =

∑n

i=0 wiNi,d(t)

Preuve :Soit B(t) la courbe B-spline rationnelle definie par :

B(t) =

∑n

i=0 wibiNi,d(t)∑n

i=0 wiNi,d(t)

On pose : f(t) =∑n

i=0 wibiNi,d(t)et : g(t) =

∑n

i=0 wiNi,d(t)

Il en resulte que : f(t) = B(t) · g(t)

La regle de Liebnitz nous donne :

f (r)(t) =r∑

j=0

(

r

j

)

B(j)(t)g(r−j)(t)

= g(t)B(r)(t) +r−1∑

j=0

(

r

j

)

B(j)(t)g(r−j)(t)


B(r)(t) =f (r)(t)−

∑r−1j=0

(

r

j

)

Bj(t)g(r−j)(t)

g(t)

Conclusion

Les courbes de Bezier ont parcouru bien du chemin depuis leur creationdans les annees soixantes.Profitant des formidables avancees technologiques, particulierement dans ledomaine de l’informatique, elles interviennent aujourd’hui dans des domainesdiverses et varies.Elles constituent l’outil de base du dessin vectoriel qui repose sur la trans-cription mathematique des objets.De ce fait, on les retrouve dans presque tous les logiciels de dessin vectorielcomme Paint, JpicEdit, Inkscape...etcLes courbes de Bezier cubiques, les plus utilisees, se retrouvent en graphismeet dans de multiples systemes de synthese d’images tels que Postscript, Me-tafont et Gimp.les courbes de Bezier sont egalement utilisees dans le rendu de fontes, lesdifferentes lettres etant des definies par des courbes de Bezier.Les courbes de Bezier ainsi que leurs generalisations, les B-splines, definissentles surfaces de Bezier et les surfaces NURBS tres utiles pour modeliser desformes en 3D.Celles-ci trouvent leurs applications aussi bien dans l’industrie pour la creationde nouveaux objets que dans la realite virtuelle dans des domaines aussi variesque la medecine, les jeux videos ou encore les effets visuelles au cinema.

87


Figure 6.2 – Modelisation d’objets en 3D grace aux surfaces de Bezier etNURBS

6.4. DERIVATION D’UNE COURBE NURBS 89

Figure 6.3 – Exemples de modelisation du corps humain grace aux surfacesde Bezier et NURBS

Bibliographie

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Université d’ORANFaculté des Sciences

Département de Mathématiques

Par : BENSID YAZID

Résumé

La modélisation géométrique est une discipline mathématique qui se charge de

construire des modèles géométriques à des objets existants ou à créer.

Parmi les outils fondamentaux utilisés en modélisation géométrique figurent les

courbes de Bézier.

Il s’agit de courbes paramétriques polynômiales définies à l’aide des polynômes de

Bernstein.

Dans cette étude, nous allons décrire les courbes de Bézier, étudier leurs principales

propriétés et proposer un algorithme pour pouvoir les dessiner facilement.

Pour cela, nous allons présenter brièvement les polynômes de Bernstein et énoncer

quelques unes de leurs principales propriétés dont découlent celles des courbes de

Bézier.

Nous allons ensuite étudier des courbes paramétriques polynômiales par morceaux

appelées « B-splines » et qui peuvent être considérées comme la généralisation des

courbes de Bézier.

Nous allons, dans ce cas aussi, décrire un algorithme pour dessiner ces courbes.

Nous finirons cette étude par l’introduction des courbes NURBS qui englobent les

courbes B-splines et qui sont de loin l’outil le plus complet et donc le plus utilisé en

modélisation.

Mots clés :

Courbe – polynôme – Bézier – B-spline – Bernstein – rationnelle – NURBS –

Casteljau – modélisation - géométrie

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