projet de semestre voûtes nubiennes au burkina faso

Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) Faculté de l’Environnement Naturel, Architectural et Construit (ENAC) Section de Génie Civil (SGC) Laboratoire d’informatique et de mécanique appliquées à la construction (IMAC)

Projet de semestre

Voûtes nubiennes

Au Burkina Faso

Raphaël Dauphin, Christelle Cocco, Karim Ganour Semestre d’hiver 2006-2007

Christelle Cocco Raphaël Dauphin Karim Ganour

Tables des matières Tables des matières .................................................................................................................... 1 1 Introduction ........................................................................................................................ 3 2 Objectifs du travail ............................................................................................................. 3 3 Diagnostic de l’état existant ............................................................................................... 4

3.1 Matériaux utilisés ....................................................................................................... 4 3.2 Technique de construction ......................................................................................... 4 3.3 Formes utilisées.......................................................................................................... 7 3.4 Règles & limitations constructives............................................................................. 7

4 Etudes des matériaux.......................................................................................................... 9 4.1 Terre crue ................................................................................................................... 9

4.1.1 Définition : ......................................................................................................... 9 4.1.2 Composition : ..................................................................................................... 9 4.1.3 Caractéristiques physiques : ............................................................................... 9 4.1.4 Avantages : ......................................................................................................... 9

4.2 Adobe ....................................................................................................................... 10 4.2.1 Définition ......................................................................................................... 10 4.2.2 Fabrication........................................................................................................ 10 4.2.3 Constitution de la terre adaptée à la fabrication d’adobes : ............................. 10 4.2.4 Préparation de la terre : .................................................................................... 10 4.2.5 Stabilisation :.................................................................................................... 10 4.2.6 Avantages ......................................................................................................... 11 4.2.7 Inconvénients : ................................................................................................. 11

4.3 Mortier...................................................................................................................... 11 4.4 Latérite ..................................................................................................................... 11

4.4.1 Définition ......................................................................................................... 11 4.4.2 Composition ..................................................................................................... 11 4.4.3 Propriétés :........................................................................................................ 11

5 Analyse statique pendant la construction ......................................................................... 12 5.1 Hypothèses d’une modélisation simplifiée : ............................................................ 12 5.2 Principe de calcul : ................................................................................................... 12

5.2.1 Analytiquement : .............................................................................................. 13 5.2.2 Modélisation avec Excel : ................................................................................ 14 5.2.3 Conclusions ...................................................................................................... 15

5.3 Prise en compte de l’inclinaison des rangs de briques ............................................. 15 6 Analyse statique à l’état final ........................................................................................... 18

6.1 Définition de la forme idéale.................................................................................... 18 6.2 Statique fondamentale de la chaînette ...................................................................... 19

6.2.1 Approche mathématique .................................................................................. 19 6.2.2 Approche physique........................................................................................... 20 6.2.3 Approche graphique ......................................................................................... 21

6.3 Tracé appliqué en pratique ....................................................................................... 21 6.4 Modélisation numérique........................................................................................... 25

6.4.1 Hypothèses ....................................................................................................... 26 6.4.2 Cas de charge du poids propre ......................................................................... 27 6.4.3 Cas de charge d’une surcharge latérale : dimensions traditionnelles............... 30 6.4.4 Cas de charge d’une surcharge latérale : dimensions différentes..................... 34

Projet de semestre 1 EPFL - IMAC Hiver 2007


6.5 Vérification d'une section......................................................................................... 35 6.5.1 Marche à suivre ................................................................................................ 35 6.5.2 Exemple numérique.......................................................................................... 37

6.6 Vérification du mur .................................................................................................. 38 7 Possibilités d’essais .......................................................................................................... 40

7.1 Réalisation d’un modèle à l’échelle 1:1 ................................................................... 40 7.2 Réalisation de la maquette........................................................................................ 41

8 Conclusions : comment poursuivre le projet ? ................................................................. 42 9 Annexes............................................................................................................................ 44

9.1 Définition de la géologie du Burkina Faso............................................................... 44 9.2 Calcul de stabilité durant la construction ................................................................. 46 9.3 Analyse statique à l’état final ................................................................................... 47

9.3.1 Tableaux des principaux résultats .................................................................... 47 9.3.2 Graphiques des résultats principaux................................................................. 49

9.4 Exemple de calcul d’une section.............................................................................. 50 10 Références .................................................................................................................... 51



1 Introduction « La voûte nubienne » est une association qui a pour but de développer un mode de

construction, au Burkina Faso et dans les zones alentours, adapté aux besoins des populations et aux moyens dont ils disposent, puis de le faire connaître aux maçons et aux populations.

Le nom de cette association vient des voûtes nubiennes qui furent construites en 1300 av. J.-C., uniquement avec de la terre. Cette technique a ensuite été reprise par l’architecte Egyptien, Hassan Fathy, qui a ainsi réutilisé (et revalorisé) les matériaux du Nil, c’est-à-dire de la terre crue comme matériau de construction.

Dans la même idée, qui est d’utiliser les matériaux locaux, l’association « la voûte nubienne » a développé des voûtes de forme « légèrement » différente que celles d’Egypte, s’approchant de la chaînette, qui permettent de faire toute la construction uniquement en terre crue ou en moellons de latérite. Ainsi, la population s’évite l’utilisation du bois, qui devient de plus en plus rare dans la zone sub-saharienne, car il n’est utilisé dans aucune des phases de construction d’un habitat coiffé de ces voûtes. Cela est donc un avantage pour l’environnement.

Un autre avantage de cette technique est qu’elle évite la tendance qui est de remplacer les anciens toits de bois mélangés à de la terre par des tôles ondulées (moins sûres et moins confortables) qui sont des produits importés. Il en résulte que l’argent ne sort plus de l’économie locale.

De plus, la technique est élaborée pour que la population, surtout les habitants/cultivateurs des zones rurales, puisse apprendre le mode de construction, permettant ainsi la formation de maçons. La main-d’œuvre est aussi valorisée par la part du coût d’une construction qui lui est attribuée.

En fait, mis à part l’étanchéité en plastique qu’il faut acheter, le matériau, les outils et les maçons sont sur place. Le programme est donc intégré à l’économie et à la société locale et il participe à l’autonomie des populations.

Ce travail est réalisé en collaboration avec Urs Wyss, ingénieur diplômé de l'EPFL. Il est actuellement sur place au Burkina Faso et il est à la base de ce projet de semestre puisqu'il en a fait lui-même la proposition.

2 Objectifs du travail L'absence de connaissances dans la conception et le dimensionnement des voûtes est

actuellement un frein à leur essor. Ce projet a donc pour but de combler quelques lacunes techniques. Notamment, un des objectifs majeurs de ce travail est de fournir des règles de dimensionnement pour de nouvelles constructions et des règles de vérification pour des constructions existantes.

Plus particulièrement, les buts fixés par Urs Wyss sont l'établissement d'un manuel de calcul écrit et de règles de calcul, l'établissement d'abaques simples d'utilisation ainsi que la réalisation d'un logiciel de calcul simple et fiable.



3 Diagnostic de l’état existant 3.1

3.2

Matériaux utilisés Le concept de construction des voûtes nubiennes est exclusivement basé sur

l’utilisation de terre crue, disponible au Sahel en quantité suffisante. Le but principal est de ne pas utiliser de bois, ni pour le coffrage, ni pour l’étayage, car il en manque de plus en plus. La construction de toit en terre permet entre autre d’éviter l’utilisation de produits d’importation tels que des tôles pour les toits, et ainsi de maintenir cet argent dans le circuit local. Le fait de n’utiliser que de la terre, que ce soit pour la fabrication des murs ou celle du toit, s’inscrit donc bien dans un contexte écologique et économique.

L'étanchéité est assurée par une bâche en plastique qu’il est nécessaire d’acheter dans les marchés. Selon les moyens des clients, d’autres matériaux peuvent être utilisés, tel que enduits et chapes en mortier de ciment.

La terre crue est utilisée sous forme de briques (adobes) qui sont liées ensemble par du mortier, également composé de terre crue. Cela implique qu’il faut de l’eau, autant pour la fabrication des adobes, que pour la préparation du mortier. Les années de sécheresse en font un composant à disponibilité aléatoire, impliquant la coordination des constructions avec les apports en eau dans les régions où l’apport se fait par périodes bien distinctes.

D’autres briques peuvent aussi être utilisées : • Les blocs de terre comprimés (BTC), si des unités semi-mécanisées existent. Mais

elles sont en général évitées, car sans aucune mécanisation, elles deviennent un produit aux caractéristiques aléatoires.

• Les blocs latéritiques qui sont directement découpés dans le sol en forme de briques.

Technique de construction

Clé de voûte

Pied de voûte (point de naissance)

Surcharge latérale

Voûte

Murs porteurs

Figure 1 : schéma d'une voûte avec une toiture-terrasse Il existe à ce jour une centaine de voûtes nubiennes construites, ce qui démontre la

fiabilité et la durabilité de la technique utilisée, bien que toutes les dimensions maximales fixées soient entièrement empiriques.



Les voûtes nubiennes reposent sur des fondations qui sont réalisées en pierres sauvages soigneusement empilées et liées par un mortier traditionnel. Elles dépassent de 20cm le pied du mur externe, afin de garantir que la résultante des forces à laquelle sont soumis les pieds droits reste dans le tiers central de l’ouvrage. La profondeur est adaptée à la nature du sol avec un minimum de 50cm. En outre, s’il existe un danger d’écoulement d’eau de ruissellement le long de la fondation, elle est élevée au dessus du terrain naturel.

Les murs porteurs ont une largeur de 60cm. Il n’est pas fait de différence entre mur porteur externe et interne. Ces derniers pourraient être d’épaisseur réduite étant donné qu’ils supportent deux voûtes accolées dont les poussées au vide se compensent. Mais cela n’est pas fait dans le but de réduire le nombre de règles au minimum et en même temps de les appliquer de façon générale.

Les murs sont composés, dans leur largeur, par une brique en panneresse et d’une en boutisse (Figure 2) liées au mortier de terre. Le croisement des briques est alterné sur toute la hauteur du mur. Les murs porteurs sont érigés jusqu'à la hauteur du point de naissance de la voûte et atteignent pour 8 à 11 rangs de briques une hauteur de 1,5m à 2,3m. Une limite de 11 rangs de briques est conseillée afin de garantir la stabilité de la structure.

Boutisse

Panneresse

Figure 2 : définition d'une disposition en panneresse et en boutisse

Les murs pignons, d’une largeur de 40cm, sont légèrement inclinés vers l’intérieur à

raison de 1 à 2%. Ils sont montés avec des briques posées en boutisse. Les murs pignons servent aussi d’appuis lors de la réalisation de la voûte.

Les ouvertures et alcôves nécessitent la réalisation de linteaux en forme d’arcs. Afin de simplifier au maximum la technique, les arcs ont une forme circulaire et sont effectués avec des briques de voûtes sur un coffrage en briques maçonnées à sec ou sur une barrique en acier.

La voûte est construite sans coffrage, mais à l’aide d’un guide mobile. Elle suit, dans la partie inférieure, le tracé d’un demi-cercle, puis se termine légèrement en ogive au sommet. Le tracé est obtenu à l’aide d’un câble conducteur situé sur l’axe du plein cintre à la hauteur du point de naissance de la voûte (Figure 3). Le câble est tendu sur toute la longueur de l’ouvrage d’un mur pignon à son opposé. Sur ce câble glisse un anneau d’acier sur lequel une cordelette est attachée, dont la longueur correspond à une demi-portée de voûte. Le mouvement de la corde tendue autour du câble décrit alors un cercle générateur de la forme de la voûte à sa base.



Figure 3 : Guide mobile : câble, anneaux et ficelles, Petit Balé ; Wyss 2005

La transformation en ogive pour la partie supérieure de la voûte permet de se

rapprocher de la forme de la chaînette inversée. Dans le but, à nouveau, de simplifier sa construction, la règle simple de décaler d’un doigt chaque brique a été introduite. A partir de 70°, chaque brique de voûte sera posée avec un doigt de plus que la précédente. De cette manière, la brique à 70° se positionne à une distance égale au rayon plus un doigt du centre de la voûte. Nous verrons plus loin que plusieurs règles similaires existent selon les régions. Celles que nous utiliserons dans le dimensionnement sont équivalentes.

Il a été remarqué que certains maçons expérimentés se rapprochent de très près de la forme de la chaînette inversée et se tiennent de moins en moins au guide mobile en quittant le plein cintre à partir de 25°. Les angles sont mesurés depuis l’horizontale.

Les briques de voûte sont confectionnées par le maçon, elles sont composées d’une terre de très bonne qualité et parfois armées avec de la paille. Leur format le plus standard est de 24x12x4 cm.

Figure 4 : à gauche, Datomo, Réalisation VN; à droite Ouagadougou, Briquetiers VN.

Photos : Sillou et Wyss ’05 La voûte est construite par pose des briques sur un mortier de terre, similaire à celui

employé pour les briques. Les rangs de briques sont inclinés d’environ 50° par rapport à l’horizontale, reposent sur les murs porteurs et s’appuient sur les murs pignons.



< 70°

Figure 5 : construction d'une voûte avec inclinaison des rangs de briques [5] Cette inclinaison, qui est plus faible que celle utilisée par d’autres constructeurs

(normalement 70°), permet de diminuer le risque de glissement des couches. La pose des briques est alternée entre la partie supérieure, dont le dévers impose un temps d’attente dû au séchage du mortier entre les briques, et le flanc de la construction. La voûte se ferme successivement par des rangs inclinés et avance d’un mur pignon à l’autre.

Une fois la construction de la voûte achevée, elle est mise en charge en remontant les murs porteurs de 8 à 10 rangs de grosses briques et par remplissage du rein de la voûte par des adobes maçonnés ou de la terre très compactée. Cette charge sera appelée dans la suite de ce rapport la surcharge latérale.

3.3

3.4

Formes utilisées La forme s’approche de la chaînette inversée qui est la forme mathématique parfaite

pour que la structure soit soumise à la compression sans aucun effort de traction (incompatible avec la terre). L’avantage de cette forme et de ce type de construction est son caractère modulaire et esthétique.

La forme adoptée par l’association de la voûte nubienne est un plein cintre légèrement ogival en son sommet. L’emprise au sol de la voûte est rectangulaire avec généralement une portée maximale de 3,20m (description du tracé de la voûte au paragraphe 6.3).

Règles & limitations constructives L’association française Craterre a identifié les principes de conception limitatifs

suivants : d’une part la résistance des briques et d’autre part, dans une plus grande mesure, la reprise des efforts horizontaux. Il n’est pas encore identifié à ce stade s’il existe des limites à l’état constructif, liées à la méthode de construction sans cintres.

Les dimensions typiques attribuées aux voûtes par l’association voûtes nubiennes sont basées sur l’expérience acquise au Niger par le CSB (construction sans bois).

Technique E [cm] P [m] HPN [m] H [m] Sécurité [-]

VN 60 3,20 2,30 3,90 HCSB / HVN

CSB 60 4,25 2,30 4,40 1,13 CSB 60 3,20 2,90 4,50 1,15

Tableau 1 : marges de sécurité de la technique VN par rapport à la CSB (Principes de structure et règles de base, PCSB, Niger 2002 (Source: AVN, Development Workshop (DW))



P [m] 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0

E [cm] HPN [m] 40 2.00 1,65 1,40 1,20 1,10 1,00 0,85 0,60 Non 60 3,50 3,25 3,00 2,75 2,40 2,20 2,00 1,70 Non 80 5,00 4,80 4,50 4,00 3,65 3,45 3,10 2,80 2,40

Tableau 2 : interaction entre l'épaisseur E, la portée P, et la hauteur HPN (Principes de structure et règles de base, PCSB, Niger 2002 (Source DW))

A la vue de ces tableaux, on voit qu’il serait possible de construire des voûtes

beaucoup plus grandes et ainsi de réduire les limitations qui sont faites au Burkina Faso.



4 Etudes des matériaux Les matériaux utilisés dans la construction de voûtes, à savoir principalement la terre

crue, vont dépendre des sols burkinabés. On trouvera en annexe de ce rapport une brève définition de la géologie du Burkina Faso.

4.1 Terre crue

4.1.1 Définition : Terre utilisée avec le moins de transformations possibles en tant que matériau de construction.

4.1.2 Composition : Matériau minéral granulaire : composé de matière solide, liquide et gazeuse.

• Fraction solide : cailloux, graviers, sables, silts, argiles et oxydes métalliques • Fraction liquide : eau et corps organiques et minéraux dissous dans cette eau • Fraction gazeuse : azote, oxygène, gaz carbonique…

Matériau composite : dont l’ossature est composée des grains (fraction solide) et la matrice constituée de la pâte formée par les argiles et l’eau.

4.1.3 Caractéristiques physiques :

4.1.3.1 Masse volumique • Liée à la quantité de matière gazeuse présente dans la terre. • Pour une terre foisonnée : 1200 kg/m3 à 1600 kg/m3 • Pour une terre mise en œuvre par compaction : 2000 kg/m3

4.1.3.2 Résistance mécanique • Fonctionne uniquement en compression. • Pour une terre mise en œuvre monolithique : 20 kg/cm2 (2MPa) • Pour les éléments de maçonnerie (adobe) : 5 kg/cm2 à 50 kg/cm2 (0,5 à 5 MPa) • Module de Young : 7000 à 70'000 kg/cm2 (7 à 70 MPa) • Résistance à la traction considérée nulle.

4.1.3.3 Aspects thermiques La terre n’est pas un matériau isolant, mais possède une excellente inertie thermique, qui est la capacité de régulation des différences de températures intérieures. Pour une terre à 1500 kg/m3 :

• Conductivité : 0,75 W/m*°C • Chaleur spécifique : 900 J/kg*°C • Capacité thermique : 1350 kJ/m3*°C

4.1.4 Avantages : • Prix avantageux • Matériau récupérable qui n’engendre pas de déchets • Sites d’extraction disponibles presque partout • Permet l’autonomie à tous



4.2 Adobe

4.2.1 Définition Brique de terre crue, séchée au soleil, et utilisée comme matériau de construction.

Mélange d’une terre argileuse et sableuse, d’eau et éventuellement d’un liant en petite quantité.

4.2.2 Fabrication Les briques sont coulées dans un cadre ouvert (en bois au Burkina Faso) : un rectangle

dont les dimensions standards au Burkina Faso sont 10 × 20 × 40 cm pour les murs et 4 × 12 × 24 cm pour les voûtes, mais toutes les tailles sont possibles. Après que le mélange ait été versé dans le moule, on peut le compacter légèrement à la main, puis on le retire. Après quelques heures, les briques sont tournées sur leur tranche pour finir le séchage. La durée totale dure 2 à 3 semaines (ou selon les conditions climatiques) pour éviter le retrait pendant la construction. Il est conseillé de placer les briques à l’ombre lors du séchage et dans une atmosphère assez sèche pour éviter les fissures. (Éventuellement introduction de morceaux de bois pour renforcer les briques ou améliorer l’isolation du bâtiment.)

4.2.3 Constitution de la terre adaptée à la fabrication d’adobes : Les sols propices à la fabrication de briques sont constitués de :

• Sable : 55 à 75 % • Limon : 10 à 28 % • Argile : 15 à 18% • Matières organiques inférieures à 3%

Conséquences du non-respect des proportions :

• Trop d’argile : fissuration dans les briques lors du séchage et donc pertes de résistance à l’érosion.

• Trop de sable : manque de cohésion de l’ensemble et donc désagrégation des briques.

• Trop de matières organiques : mauvaise durabilité en présence d’eau et instabilité du matériau dans le temps.

4.2.4 Préparation de la terre : • Tamisage • Hydratation préalable (appelée aussi pourrissage) : cette action sature d’eau les

particules argileuses et permet de détruire les morceaux compacts de terre. • Laisser reposer le sol détrempé pendant 24h • Formation de tas avec cratère que l’on remplit avec 1/3 de volume d’eau • Malaxage afin d’obtenir un mélange plastique et homogène • Stabilisation éventuelle avec fibres végétales (paille, morceaux de bois...) ou avec

du ciment, de la chaux, du bitume. • Vérification de la consistance. • Moulage et compactage des briques

4.2.5 Stabilisation : Plusieurs méthodes sont proposées pour stabiliser les briques. Comme il n’est pas

question d’utiliser des adjuvants dans le cadre des constructions à travers l’association des



voûtes nubiennes, nous ne les présenterons pas ici. Les deux catégories principales sont la stabilisation avec ou sans apport.

4.2.5.1 Stabilisation sans apports : Le but est de réduire la porosité par compactage. La compacité de la terre dépend de la

granularité, ainsi que de la nature du compactage. Il existe deux formes de compactage : le compactage dynamique et le compactage statique.

L’énergie de compactage et la teneur en eau du matériau sont également des facteurs déterminants. Il est possible d’atteindre un optimum de compacité.

4.2.6 Avantages • Possibilité de réaliser des voûtes • Rapidité d’exécution des murs et des crépissages • Habitabilité dès la fin de la construction • Réalisation d’ouvertures

4.2.7 Inconvénients : • Il faut une bonne réalisation de l’enduit de finition, car les briques craignent

l’érosion • Nécessité d’une grande surface pour faire sécher les briques • Nécessité d’un climat sec pour la préparation des briques • Briques un peu fragiles à manipuler avec des risques de cassures

4.3

4.4

Mortier Il est généralement fait avec la même composition que les adobes, mais il ne doit

contenir ni gravier, ni paille. On essaie d’utiliser une faible quantité de mortier afin de limiter au maximum le retrait.

Latérite

4.4.1 Définition La latérite est une roche que l’on trouve sous les climats tropicaux chauds et humides

enrichie en fer et en aluminium, suite à une longue phase de désagrégation chimique de la roche mère1.

4.4.2 Composition Il n'existe pas de composition unique. Une latérite peut se former à partir de n’importe

quelle roche, mais seulement si le climat est aride sur une période prolongée.

4.4.3 Propriétés : Dans les pays africains désertiques, le sol est très desséché par le soleil et il se forme

une croûte relativement dure qui peut directement être découpée dans le sol.

1 Wikipédia



5 Analyse statique pendant la construction 5.1 Hypothèses d’une modélisation simplifiée : Pour un premier calcul, on fait l’hypothèse que les rangs de briques de la voûte ne sont

pas inclinés. On ne s’intéresse ici qu’à la partie inférieure de la voûte qui est en forme d’arc de cercle. On modélise donc la voûte comme un demi-cylindre non incliné dans le sens longitudinal. On fait aussi l’hypothèse que l’on a un matériau homogène et continu, car même s’il est constitué de briques et de mortier, tous deux sont composés de terre crue.

Pour vérifier la stabilité, on prend comme critère que la résultante des forces, c’est-à-dire le poids propre de la voûte déjà construite dans ce cas, doit rester dans l’épaisseur de la voûte. Normalement, il serait préférable qu’elle reste dans le tiers central, mais comme l’on s’occupe de la stabilité pendant la construction, on admet que la résultante peut aller jusqu’à la limite de l’intrados.

Figure 6 : Limite de stabilité par rapport à la résultante verticale (source : http://www.earth-

auroville.com/)

5.2 Principe de calcul : La résultante du poids propre est une force verticale qui passe par le centre de gravité

de la partie de voûte construite. Il nous suffit donc de déterminer la position du centre de gravité pour chaque pas d’avancement de la voûte en hauteur et de vérifier que la verticale qui passe par ce point reste entre l’intrados et l’extrados.


https://imapwww.epfl.ch/web/util/go.php?url=http%3A%2F%2Fwww.earth-auroville.com%2F&Horde=dcd8353fcd8ce8543ceca4a6fb60ea39

https://imapwww.epfl.ch/web/util/go.php?url=http%3A%2F%2Fwww.earth-auroville.com%2F&Horde=dcd8353fcd8ce8543ceca4a6fb60ea39


5.2.1 Analytiquement :

Figure 7 : portion d'arc de cercle, avec intrados et extrados

Vu que l’on analyse un arc de cercle, on sait, par symétrie, que le centre de gravité se

trouve sur la bissectrice de l’angle de l’arc (α). On prend donc comme position angulaire du centre de gravité :

2αβ =

Pour trouver la position radiale du centre de gravité, on cherche à égaliser A1 et A2. Avec

( ) ( )21

21

1 22rr

rrA −⋅=

−⋅⋅=

απ

πα et

( ) ( )22

22

2 22rr

rrA −⋅=

−⋅⋅=

απ

πα,

on trouve alors :

221 rrr +

=

En transformant cela en équations cartésiennes, et avec l’équation du cercle, on a : Pour l’intrados de l’arc de cercle : ( )αcos1 ⋅= rx et ( )αsin1 ⋅= ry Pour l’extrados de l’arc de cercle : ( )αcos2 ⋅= rx et ( )αsin2 ⋅= ry Pour l’arc de position du centre de gravité : ( )βcos⋅= rx et ( )βsin⋅= ry Avec : l : la largeur d’une brique r : le rayon de l’arc à égale distance de l’intrados et de l’extrados

21 lrr −= 22 lrr +=



Pour trouver l’angle limite, il suffit maintenant de trouver l’angle pour lequel la cordonnée x de la position du centre de gravité soit égal r1, c’est-à-dire que le support de la résultante soit sur la limite de l’intrados. C’est le cas pour :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

rr1arccosβ

Si l’on considère un cas de voûte de 3 m de portée et de taille de briques de 4 × 12 × 24 cm, on obtient les valeurs suivantes : r = 1,5 m l = 12 cm On trouve ainsi que β = 16,3 ° et α = 35,5 °.

Pour la même taille de brique, mais avec une portée de 3,2 m, qui est la portée

maximale utilisée au Burkina Faso, on a donc r = 1,6m et on trouve que β = 15,7 ° et α = 31,5 °.

5.2.2 Modélisation avec Excel :

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

cercle en coordonnéespolaires

position du centre de gravité

intrados

extrados

support de la résultante pourun angle de construction de70°support de la résultante pourun angle de construction de28,6°

Figure 8 : limite au-deçà de laquelle la voûte est stable

On considère à nouveau une voûte de 3 m de portée, et une largeur de brique de 12

cm. En modélisant élément par élément, selon l’angle, et en utilisant les mêmes équations qu’analytiquement, on trouve que la résultante du poids propre passe par la limite de l’intrados de la voûte pour un angle β compris entre 0,25 et 0,3 rad, soit entre 14,3° et 17,2° et donc α est compris entre 0,5 et 0,6 rad, soit entre 28,6 ° et 34,4 °. Avec une portée de 3,2 m, on trouve la même fourchette d’angles β entre 14,3° et 17,2° et donc α entre 28,6 ° et 24,4 °. Les résultats sont en annexe Erreur ! Source du renvoi introuvable..



Comme l’on a utilisé les mêmes formules, on trouve logiquement la même fourchette de résultats que dans la démarche analytique. En fait, la modélisation Excel est surtout utile pour avoir une représentation graphique du problème.

On peut aussi remarquer, en augmentant la portée de la voûte par étape, que la fourchette d’angles varie lentement. Ce n’est qu’à partir de 3,9 m que la résultante sort de l’épaisseur de la voûte pour un angle β de 14,3°, soit α de 28,6°.

5.2.3 Conclusions On voit que la voûte devrait s’écrouler pour un angle de construction supérieur à

31,5°, qui est inférieur à ce qui est pratiqué au Burkina Faso. Cette modélisation est insuffisante, car elle ne considère pas l’inclinaison longitudinale des rangs de briques, qui est un facteur augmentant fortement la stabilité.

Ici, nous n’avons pas non plus considéré les forces de cohésion de l’argile agissant dans la terre crue, ni les propriétés mécaniques de la terre; nous n’avons considéré que la stabilité d’ensemble. Il faut aussi remarquer que nous avons utilisé une théorie, au sujet de la position de la résultante par rapport à l’intrados pour que l’équilibre soit garanti en phase de construction, qui est référée à un empilement de briques différent que celui étudié ici.

On remarque aussi que, sous ces hypothèses, l’angle garantissant l’équilibre varie avec la portée, c'est-à-dire que plus la portée est grande, plus l’angle à partir duquel l’équilibre n’est plus assuré est faible. On peut donc penser que, même si cette variation n’est pas rapide et que les hypothèses ne sont pas idéales, la phase de construction est certainement un élément limitant la portée, étant donné que l'on utilise ni cintres ni étayages.

5.3 Prise en compte de l’inclinaison des rangs de briques Pour commencer, nous avons essayé de faire une modélisation brique par brique ou

élément par élément, ce qui ne fait pas de différence si l’on garde l’hypothèse d’un matériau homogène et continu. En analysant physiquement le problème, ceci nous amène à un système avec plus d’inconnues que d’équations.

Si l’on prend un petit élément, ou une brique, cela nous donne :

Figure 9 : forces agissant sur un élément, dans un système local de coordonnées

Figure 10 : à gauche, profil en long d'une voûte ; à droite, profil en travers

fN1

N2

y

x

G z

α β



Vu la forme semi elliptique (de l’arrête de la voûte) de cette phase de construction, il faut prendre en compte deux angles : α et β. Si l’on reporte toutes les forces le long de l’abscisse curviligne de la voûte, on trouve qu’il faut, pour avoir l’équilibre (Figure 11), que :

∑ =++′′−= 02 fNGFy

N1

N2

x

y

f

G

Figure 11 : projection de l'élément dans le plan xy

Avec G’, la composante du poids reportée sur l’axe de l’arc, donc αcosGG =′ , et G’’, la composante du poids reportée sur la pente de l’inclinaison des briques, on a donc :

βαβ sincossin GGG =′=′′

Et comme nous ne connaissons que la valeur du vecteur du poids propre, il ne nous est

pas possible de continuer le calcul. Il serait possible d’estimer la valeur du frottement f selon la cohésion et les propriétés de la terre, mais il y aurait à nouveau un grand nombre d’hypothèses qui nous éloignent de la réalité. De plus, cette méthode de calcul ne nous permet pas de prendre en compte les instabilités globales, ni les divers modes de rupture possibles. L’avantage de cette technique serait de trouver la stabilité selon les deux angles α et β

Ensuite, nous avons essayé une modélisation par éléments finis. Pour ce faire, nous avons d’abord pensé utiliser le logiciel ESA PT. Ainsi, on a commencé par dessiner une étape de construction de la voûte sur AutoCAD pour pouvoir ensuite l’insérer dans le programme ESA PT.

Il s’agit ici de l’étape de construction où une partie de la voûte est fermée et l’extrémité est inclinée longitudinalement de 50° par rapport à l’horizontale. Cependant, nous nous sommes rendu compte que ce logiciel n’est pas le plus adapté pour ce type de problèmes, car la version disponible ne permet pas la modélisation de structures en coque.

Lors de la phase de construction que nous avons dessinée sur AutoCAD (Figure 12), un des modes de rupture à étudier serait un glissement, comme ceux que l’on rencontre dans les terrains, mais il faudrait connaître la surface de rupture la plus probable, ou qui représente au mieux le phénomène. Même en connaissant la forme de la surface de rupture, il faudrait encore trouver l’endroit où elle se formerait.



Figure 12 : à gauche, surface de rupture circulaire ; à droite, surface de rupture quelconque D’autres types de ruptures ou d’instabilités peuvent se produire lors d’autres phases de

construction. Par exemple, il peut y avoir une instabilité lorsque l’arc n’est pas fermé (phase qui correspondrait à celle étudiée plus haut sans l’hypothèse des rangs de briques inclinés, Figure 13).

Figure 13 : effondrement dû à la résultante sortant de l'épaisseur de la voûte

Il faudrait donc étudier tous ces divers cas d’instabilités et de ruptures pendant les

différentes phases de construction, car on ne sait pas a priori à quelle phase de construction et selon quel mode intervient l’instabilité. Instinctivement, on peut penser que la phase de construction la moins stable est celle où l’arc n’est pas encore fermé, mais la meilleure façon pour pouvoir déterminer la phase la plus critique, ainsi que le mode de rupture, serait de s’enquérir des expériences malheureuses faites lors des constructions au Burkina Faso (ou tout autre pays constructeurs de voûtes) ou alors de faire des essais.

Si on assimile ces modes de ruptures à ceux se produisant dans un sol, il pourrait alors être intéressant d’utiliser un logiciel tel que Z-Soil. Pour pouvoir prendre en compte le fait qu’il s’agisse d’une structure et non d’un sol, ainsi que le matériau est homogène et continu, le logiciel Ansys serait certainement un bon programme, car il permet le calcul par éléments finis de coques.



6 Analyse statique à l’état final 6.1 Définition de la forme idéale La forme idéale d’une structure dépend bien évidemment du chargement que l’on y

applique. En fait, une forme n'est idéale au sens strict que pour un seul cas de charge donné. Cependant, tout autre cas de charge ne doit pas signifier la ruine. Une bonne structure est une structure qui résiste à tous les cas de charges imaginés.

Dans le cas d’une voûte, il faut distinguer plusieurs types de cas de charges. En tant que toiture, une voûte ne sera soumise généralement qu’à son poids propre. En tant qu’ouverture de porte, la voûte doit transmettre les charges issues des éléments supérieurs (Figure 14).

Figure 14: Bâtiment mixte

Une chaînette est une courbe qui, sous son seul poids propre, assure en tout point la seule et unique présence de l’effort normal. Ni effort tranchant, ni effort de flexion ne sont engendrés. C’est d’ailleurs pour cette raison que l’on appelle cette courbe « chaînette ». Sous son poids propre, une chaînette ne peut transmettre ses efforts que par ses maillons qui n’ont la capacité de transmettre ni effort tranchant, ni flexion. C’est-à-dire qu’ils transmettent l’effort par traction uniquement. Le but de la voûte est semblable puisqu’on cherche à transmettre les efforts uniquement par compression. Ainsi la forme de la courbe est la même, au signe près. On appellera cette forme idéale une chaînette inversée.

La parabole est une courbe dont les propriétés sont similaires à la chaînette, à la différence près que le cas de charges est un cas de charge uniformément réparti. Mais comme la chaînette, elle assure en tout point la seule et unique présence de l’effort normal.

Si le tracé diffère de la forme idéale, des efforts de flexion et de l’effort tranchant vont apparaître. Le matériau va alors être mobilisé en plus par du cisaillement et de la flexion. Celle-ci va engendrer de la traction dans le matériau, ce qui n’est pas souhaitable, puisque nous avons vu que la résistance à la traction des matériaux utilisés est négligeable. Pour se prémunir de cela, il faut que la résultante des forces passe par le tiers central (Figure 15). Si tel n'est pas le cas, la part en traction ne pourra plus contribuer à la reprise des efforts, ce qui va augmenter le taux de compression dans la partie comprimée. La section va se fissurer jusqu'à ce que finalement la résultante passe par le tiers central. La section comprimée peut être réduite considérablement. Il faut alors vérifier que la compression soit inférieure au taux de contrainte admissible du matériau. En résumé, il faut, dans la mesure du possible, essayer de maintenir la résultante au plus proche du centre de gravité de la voûte.



Figure 15 : illustration du tiers central

Lors du diagnostic de l’état existant, nous avons vu que les possibilités de formes de

voûtes étaient assez limitées. Des conditions très restrictives ont été établies, notamment sur la portée. Le but de ce chapitre est d’amener des éléments de réponse permettant aux constructeurs un choix élargi quant aux dimensions des voûtes. Pour ce faire, l’analyse se déroule en plusieurs étapes.

1) Dans un premier temps, nous avons analysé l’équation de la chaînette afin de déterminer les paramètres dont elle dépend, dans le but de maîtriser rapidement l’élaboration de formes de voûtes de dimensions et de caractéristiques quelconques à l’aide d’outils informatiques.

2) Dans un deuxième temps, nous avons comparé nos formes idéales de voûtes avec la forme de voûtes construites au Burkina Faso afin d’établir s’il existe une corrélation entre la théorie et la pratique et voir si les règles déjà maîtrisées peuvent être appliquées pour des voûtes de dimensions supérieures

6.2 Statique fondamentale de la chaînette

6.2.1 Approche mathématique Les mathématiques nous fournissent l’équation suivante de la chaînette :

)cosh()(axaxy ⋅=

Avec « a » comme unique paramètre de la courbe.



0

1

2

3

4

5

6

7

8

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Figure 16 : chaînette avec comme paramètre a=2

On remarque que la pente est d’autant plus forte quand on monte sur l’axe des

ordonnées. Ceci est physiquement explicable puisqu’un maillon a toujours davantage de poids à supporter que son maillon inférieur, et toujours moins que son maillon supérieur, d’où une pente plus raide. Etant donnée que « a » est l’unique paramètre, c’est de lui que va dépendre la forme de la courbe. Il doit donc contenir certainement les caractéristiques physiques de la voûte. Mais à priori, le lien entre le paramètre mathématique qu’est « a » et les paramètres physiques que sont, par exemple, les matériaux utilisés ou leur résistance n’est pas évident. C’est pourquoi, comme dans tout problème structurel, il faut repartir avec les équilibres de base que l’on connaît.

6.2.2 Approche physique Prenons un élément infinitésimal d’épaisseur constante. Afin de répondre à l’exigence

de compression unique, on ne pose que des efforts normaux (Figure 17). ds N

N+dN

t

γ

Figure 17 : équilibre des forces sur un élément infinitésimal

Par équilibre selon les deux axes, on voit que : Axe horizontal : csteHdHHdHH =⇒=⇒=+ 0 Axe vertical : tdsdVtdsVdVV ⋅⋅=⇒⋅⋅+=+ γγ La résolution complète de l’équation ne va pas être développée ici car seul compte le résultat dans le cadre de ce projet. On ne donc :

xH

ttHxy ⋅

⋅⋅

⋅=

γγ

cosh)(



Cette équation est en fait celle de la chaînette, similaire à celle fournie par les mathématiques.

La constante « a » devient alorsγ⋅t

H . Il vient donc que cette équation est valable pour une

voûte d’épaisseur constante ! Cette restriction limite le champ d’application de cette équation. L’effort normal de compression peut se calculer en tout point comme ceci :

∑+= 22 )( iVHN

où est le poids de la demi voûte entre son sommet et le point considéré. Pour avoir l’effort normal maximal, se trouvant en pied de voûte, l’équation devient :

∑ iV

22max TotVHN +=

6.2.3 Approche graphique Il est utile de représenter graphiquement le comportement statique d’une voûte afin de

comprendre exactement la façon dont les efforts sont transmis. Prenons une demi voûte que l’on discrétise semblablement à une voûte en briques traditionnelle (Figure 18).

Figure 18 : illsutration d'un arc funiculaire à poussées compensées

Sur une coupe en clé de voûte, on impose un effort horizontal unique. La symétrie

interdit la présence d’effort tranchant (à cause de la condition d’action-réaction). L’unique cas de charge étant le poids propre de la voûte, le vecteur force va être dévié par le vecteur gravité du premier élément, au droit du centre de gravité de celui-ci. Le nouveau vecteur force va lui-même être dévié davantage au droit du deuxième élément, et ainsi de suite, jusqu’au pied de la voûte. La trajectoire de la force suit le tracé ayant comme propriété d’être soumis uniquement au poids propre et travaillant uniquement en compression. Si on tend les éléments vers des éléments infinitésimaux, on retrouve la courbe de la chaînette. Cette méthode graphique porte le nom d’arc funiculaire à poussée compensée. Elle comporte l’avantage d’être utilisable pour tout cas de charge, en modifiant simplement la valeur de l’intensité des vecteurs forces verticaux. Certes, le tracé ne portera plus le nom de chaînette, mais conservera la propriété de ne travailler qu’en compression.

6.3 Tracé appliqué en pratique Avant de vouloir optimiser la forme des voûtes ou de vouloir en connaître les limites

statiques, il est nécessaire de connaître la forme qui est utilisée effectivement en pratique. Il



est cependant important de prendre conscience du fait qu’il n’existe pas une seule forme utilisée en pratique. Celle-ci diffère selon les régions, selon les cultures, selon les héritages ancestraux ou encore selon l’expérience de chacun des maçons. Dans tous les cas, la forme doit rester simple et le procédé de construction doit être facilement compréhensible pour tout maçon. Rappelons qu’ils ne possèdent pas d’instruments suffisamment précis pour disposer d’une courbe parfaite. Le but et de s’en approcher le plus possible à l’aide de procédés simples.

Dans ce rapport, nous allons nous baser sur une forme que l’on a trouvée dans plusieurs publications. C’est également la forme utilisée par Urs Wyss au cours de ses projets. Le procédé est le suivant :

• Tracer un demi-cercle de diamètre 3.2 m • Ajouter à la clé entre 5 et 10 cm. • Relier ce nouvel point de clé au demi-cercle par une parabole. Le point

d'intersection se trouve entre 60° et 75° à partir de l'horizontale de base.

La construction du demi-cercle est simple. En ce qui concerne la construction de la parabole de raccordement, d’équation il est nécessaire de disposer de trois conditions aux limites pour déterminer les trois constantes a, b et c. Ce sont les suivantes :

cbxaxxy ++= 2)(

• En : 0=x dry +=)0(

où d et le « supplément de hauteur à la clé »

• En : 0=x 0)0(' =y

• En : intxx = )()( intint xyxy cercle=où est l’abscisse du point où la parabole rejoint le cercle. Celui-ci se situe à l’endroit où le cercle possède une pente entre 60° et 75°

intx

Avec ces conditions, nous obtenons schématiquement le type de courbe suivant, où

l’on remarque que la pente au point d’intersection n’est pas continue. Pour ajouter cette condition, il faudrait une quatrième condition, ce qui conduirait à une courbe du troisième degré.

Figure 19 : schéma de la marche à suivre d'une construction de tracé



Le calcul exact fournit les courbes représentées à la Figure 20. Afin de comparer ce

tracé avec un tracé existant, nous avons mesuré à la règle, sur un plan qui nous était fournit (mosquée en voûte nubienne), ses coordonnées.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.5 1 1.5 2

demi-portée [m]

haut

eur

[m]

intersection à 60°intersection à 75°tracé réel

Figure 20 : tracés construits selon marche à suivre et tracé réel (supplément en clé de 0.12m)

Afin de comparer deux tracés avec les mêmes caractéristiques, on a adopté pour le calcul une demi-portée de 1.62m, une hauteur de 1.74m, ce qui correspond à un supplément de clé de 0.12m, et qui diffère quelque peu des valeurs entre 0.05m et 0.1m généralement appliquée. Cette différence provient certainement de la précision des mesures sur le plan. Elle est cependant suffisamment faible pour que l’on puisse admettre ce tracé comme étant représentatif de ce qui se fait dans la réalité.

On remarque que le changement de pente se situe entre les deux limites que l’on a fixées via les valeurs de 60° et 75°. Il est davantage marqué pour un point d’intersection plus haut. Cette transition parait également plus « douce » dans le cas réel. Ce lissage doit sans doute se faire au moment de la réalisation de la voûte.

Malgré la différence au niveau de la transition des courbes, le calcul du tracé tel que celui utilisé pour construire ces courbes parait suffisamment proche de la réalité pour pouvoir l’adopter en tant que « tracé appliqué en pratique » dans la suite des calculs.

On peut encore se pencher sur l’influence du supplément de hauteur en clé de voûte sur le point de transition du tracé. Nous avons construit les mêmes courbes avec une hauteur supplémentaire minimale de 0.05m. Le résultat est le suivant (Figure 21) :



0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2

demi-portée [m]

haut

eur

[m]

intersection à 60°intersection à 75°

Figure 21 : tracé calculé avec un supplément de 0.05m en clé

On constate que la transition est nettement moins brusque, d’autant plus si elle se situe à une pente plus forte par rapport à l’horizontale. Une rapide analyse permet de calculer l’écart de pente au point d’intersection en fonction de l’angle auquel ce point se situe (angle pris par rapport à l’horizontale) et en fonction du supplément de clé. Les résultats sont représentés à la Figure 22 :

écart de pente

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

supplément de clé [m]

Diff

éren

ce d

e pe

nte

au p

oint

d'in

ters

ectio

n [ra

d]

Intersection à 60°Intersection à 75°

Figure 22 : écart de pente entre le cercle et la parabole au point d'intersection



On peut constater que la différence de pente entre les deux courbes augmente avec le supplément de clé, quelque soit l’angle auquel ce raccord est effectué. Cette différence sera d’autant plus marquée si l’angle augmente. A ce stade de l’étude, on peut donc dire qu’il est avantageux de prévoir le changement de courbe le plus bas possible, avec un supplément de clé minimal. Cependant, il n’est pas dit que ce type de tracé soit celui qui corresponde au mieux au tracé optimal, c’est-à-dire le tracé qui correspond au cheminement des forces. En effet, les règles citées ci-dessus aboutissent à une courbe davantage proche du cercle. Or l’expérience a montré qu’il faut s’en écarter pour épouser au mieux la chaînette inversée. On aboutit donc à ce paradoxe : les règles de construction d’un tracé qui se rapproche au mieux de la chaînette inversée conduit à une différence de pente importante au niveau du point d’intersection.

On peut encore comparer ces tracés avec celui de la chaînette inversée :

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2

demi-portée [m]

haut

eur [

m]

intersection à 60°intersection à 75°chainette inversée

Figure 23 : comparaison avec la chaînette inversée

La différence de tracé résulte du fait que la chaînette inversée est la courbe idéale sous le cas de charge de son poids propre uniquement, au contraire des courbes réelles qui tiennent compte d’une surcharge latérale, résultant souvent de la conception d’une toiture-terrasse. On peut néanmoins noter la similitude des deux tracés au sommet de la voûte, là où les surcharges latérales n’ont encore que peu d’influence.

6.4 Modélisation numérique L’étude de tracé de voûtes exige une modélisation informatique si l’on veut être

capable de faire varier les paramètres à volonté. Une étude à l’aide du logiciel Excel nous a semblé adéquate dans un premier temps, mais son utilisation devient vite limitée. C’est pourquoi nous avons par la suite modélisé la voûte en plusieurs éléments poutres dans le logiciel Cubus.

Dans ce qui suit, nous avons analysé la courbe de la chaînette sous différents cas de charge et essayé de voir la limite jusqu’à laquelle l’effort normal peut déroger à la trajectoire



parfaite. Nous avons ensuite effectué la même démarche pour une courbe traditionnelle de ce qui se construit généralement au Burkina Faso.

6.4.1 Hypothèses Rotule ou encastrement ?

La question se pose de savoir s’il faut admettre une rotule ou un encastrement en pied de voûte. Comme souvent en pratique, une réponse simple n’existe pas. Cela dépend de la façon dont le pied de voûte est construit. Certaines illustrations (Figure 24 et Figure 25) laissent supposer qu’une rotation est possible mais d’autres photos laissent plutôt penser qu’il s’agit d’un encastrement. Les Figure 24 et Figure 25 permettent de constater cette difficulté. La Figure 24 laisserait supposer qu’on se rapproche d’un encastrement de par l’aspect massif du pied de voûte, tandis que la Figure 25 laisserait plutôt penser qu’il s’agit d’une rotule de par la finesse de la voûte et de la présence des colonnes.

Figure 24 : schéma d'un type de voûte

Figure 25 : photographie d'une voûte

Quoiqu’il en soit, la vraie réponse se situera toujours entre les deux. Il s’agit donc de déterminer ce qu’on pourrait appeler le taux d’encastrement. Dans un premier temps, nous n’allons pas en discuter. Cependant, nous allons analyser les voûtes selon les deux hypothèses afin d’analyser l’influence d’un encastrement ou d’une rotule.

Pour déterminer le taux d'encastrement nous pourrions mesurer sur le terrain les déformations de la voûte après applications de différents cas de charge (notamment le



remblayage). Il faudrait ensuite comparer les résultats avec ceux fournit par la modélisation numérique faite selon les deux types d'appuis.

Figure 26 : à gauche, voûte avec rotules ; à droite, voûte avec encastrements

Matériau : L’incertitude liée à la terre crue rend difficile le choix des propriétés mécaniques. En

se basant cependant sur les recherches effectuées au point 4.1.3, nous avons adopté les valeurs suivantes :

• Module d’élasticité : E = 2000 MPa • Masse volumique : γ = 2000 kg/m3

La masse volumique est valable tant pour la voûte en elle-même que pour la surcharge

latérale. Le matériau est pour l'instant considéré comme isotrope et élastique. Géométrie :

Pour tous les cas, nous avons commencé par rentrer les dimensions d’une voûte classique, à savoir :

• Portée : l=3.2 m • Hauteur : h=1.6 m • Epaisseur : e = 15 cm

Puis pour le tracé utilisé dans la pratique, pour commencer nous avons adopté les

caractéristiques suivantes : • Changement de courbe : 60° par rapport à l'horizontale • Supplément de hauteur : 5 cm

Cœfficients et facteurs de sécurité :

Comme cette étude ne se situe pas encore au niveau d'un dimensionnement, toutes les valeurs entrées dans le calcul sont des valeurs caractéristiques afin d'approcher la réalité au plus près.

6.4.2 Cas de charge du poids propre

6.4.2.1 Modélisation avec Cubus Comme nous l’avons mentionné précédemment, nous avons modélisé plusieurs tracés

différents (tracé idéal, tracé en pratique). Chaque fois nous avons discrétisé la voûte en une trentaine d’éléments de poutres, avec comme coordonnées des points calculés sur Excel.



Chaînette inversée : Dans un premier temps, nous avons analysé le tracé de la chaînette inversée, à savoir

le tracé idéal sous le cas de charge du poids propre. Les résultats graphiques se trouvent en annexe. Le tableau ci-dessous récapitule les résultats principaux :

Cas articulé Cas encastré Effort normal en pied [kN/m’] -10.00 -10.00 Effort tranchant max [kN/m’] 0.39 0.39 Moment de flexion max [kNm/m’] 0.03 0.04 Excentricité [m] 0 0 Déplacement en clé de voûte [mm] 0 0 Réaction d’appui en X [kN/m’] 3.63 3.63 Réaction d’appui en Y [kN/m’] 9.32 9.32 Réaction d’appui en θ [kNm/m’] - 0.03 Tableau 3 : résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre (portée 3.2m ; épaisseur 0.15m ;

angle de transition 60° ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m) Commentaires :

Suivant la définition de la chaînette, seul l’effort normal devrait être présent, ce qui n’est pas le cas apparemment puisque l’on note une part d’effort tranchant et de flexion. Cependant, ces valeurs sont faibles vis-à-vis de l’effort normal. Ces efforts superflus sont dus à la modélisation de la voûte avec des poutres d’une certaine longueur, induisant ainsi une imprécision conduisant à l’apparition de ces efforts. Plus la modélisation admettra des éléments poutres petits, meilleure sera la précision.

Cet exemple montre que la forme de la chaînette inversée pour supporter le poids propre est bel et bien la meilleure, que l’appui soit encastré ou articulé. Tracé en pratique : Cas articulé Cas encastré Effort normal en pied [kN/m’] -8.02 -8.12 Effort tranchant max [kN/m’] 1.39 1.90 Moment de flexion max [kNm/m’] -0.7 0.68 Excentricité en clé [m] Excentricité en pied [m]

0.17 -

0.07 0.08

Déplacement en clé de voûte [mm] -0.43 -0.23 Réaction d’appui en X [kN/m’] 2.48 3.00 Réaction d’appui en Y [kN/m’] 7.71 7.71 Réaction d’appui en θ [kNm/m’] - 0.68 Tableau 4 : résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre (portée 3.2m ; épaisseur 0.15m ;

angle de transition 60° ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m) Commentaires :

La forme n’étant plus optimale pour le cas de charge considéré, il est normal de trouver des efforts autres que celui de l’effort normal. L’effort tranchant a une importance relativement grande, notamment en pied de voûte. Cela parait logique puisque la voûte y est perpendiculaire, contrairement à la chaînette qui prend naissance avec une inclinaison. Il faut donc attacher une importance particulière en pied de voûte, que l’appui soit articulé ou encastré. On remarque également la présence d’efforts de flexion. Si cet effort est grand, il engendrera de la traction (sur la fibre intérieure dans la zone de la clé et sur la fibre extérieure sur les côtés de la voûte). Ceci est à éviter absolument, puisque nous avons vu que la terre



crue travaille uniquement en compression. On constate d’autre part que le fait d’encastrer le pied de voûte diminue l’excentricité maximum. En effet, les diagrammes montrent que l’encastrement permet de répartir cette excentricité alors que l’articulation a tendance à la localiser.

Dans notre calcul, rappelons que l'épaisseur de la voûte est de 15 cm. Pour que la force passe par le tiers central, il faut que l'excentricité soit inférieure à un sixième de l'épaisseur (distance entre le centre de gravité et la limite du tiers central), c'est-à-dire 2.5 cm. Cela n'est ni le cas dans l'exemple articulé ni dans l'exemple encastré. Dans le cas articulé, la résultante sort même largement de la matière, ce qui conduirait à une instabilité de la voûte. Dans le cas encastré, la résultante est à la limite de sortir. Comme nous l'avons mentionné plus haut, le comportement réel de l'appui se situe entre les deux cas. Il en résulte que la résultante passe en dehors de la matière. Selon nos hypothèses, cette voûte est instable. Or, ce tracé est fréquemment utilisé dans la construction et il a apparemment fait ses preuves de manière convaincante. Il y a donc un décalage entre la réalité et notre analyse. Nous avons imaginé plusieurs raisons à cela :

• Ce tracé n'est pas utilisé dans une voûte soumise uniquement à son poids propre, comme le montrent différentes illustrations ainsi que les plans de la mosquée.

• L'hypothèse d'une résistance nulle à la traction est trop pessimiste. Le matériau permet de reprendre quand même une part de traction.

• Le tracé modélisé ne correspond pas exactement au tracé construit en réalité. • Les hypothèses sur les caractéristiques du matériau sont peut-être fausses

(notamment celle du poids volumique).

6.4.2.2 Modélisation avec Excel Il est toujours utile de posséder un second outil de calcul pour pouvoir comparer les

résultats. Nous avons utilisé Excel pour satisfaire cet objectif. Le but est d'effectuer une descente de charge selon un arc funiculaire à poussée compensée en discrétisant la voûte en plusieurs éléments (mode d'emploi de la feuille en annexe).

L’utilisation de l’équation mathématique de la chaînette permet de dessiner rapidement les courbes, à condition de rentrer le paramètre « a ». Celui-ci dépendra d’une part de la masse volumique du matériau utilisé et de l’épaisseur de la voûte, et d’autre part de la poussée horizontale. Celle-ci n’est pas connue à priori. L’approche doit donc être effectuée dans l’autre sens. En se fixant une portée et une hauteur maximale de voûte, on parvient à déterminer le paramètre « a ». En effet, pour une portée et une hauteur maximale de voûte données, il n’existe qu’une chaînette possible, et donc un unique paramètre « a ». Cette recherche est rendue aisée grâce à l’utilisation d’Excel. Il vient finalement comme relation permettant de déterminer la poussée théorique dans la voûte :

γ⋅⋅= taH

Une fois la feuille programmée, nous avons vérifié cette méthode de discrétisation

avec une courbe dont on connaît la forme exacte : la chaînette.



Portée 3m / Hauteur 1.7m

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Portée

Hau

teur

chainette théoriqueDiscrét 16 élémDiscrét. 32 élémDiscrét. 64 élém

Figure 27 : comparaison entre courbe théorique et courbes selon discrétisation, pour une portée et une

hauteur données

Nous avons commencé par discrétisé la voûte en 16 éléments. Les résultats fournissent une courbe proche mais pas superposée. En essayant avec 32 éléments, puis 64 éléments, on remarque rapidement que la précision s’améliore. Sans augmenter la discrétisation, on peut conclure que les deux courbes sont exactement superposées si on tend le nombre d’éléments à l’infini. Dans un premier temps et pour la suite des calculs, on adoptera une discrétisation en 16 éléments. Notons qu’il serait envisageable d’établir un critère de précision au-deçà duquel on admet que les deux courbes sont identiques.

6.4.3 Cas de charge d’une surcharge latérale : dimensions traditionnelles

Figure 28 : voûte surchargée sur les côtés [3]

6.4.3.1 Modélisation avec Cubus Le principe de modélisation est le même que précédemment, seul le cas de charge

change. Il faut ajouter des charges équivalentes au matériau que l’on ajoute sur la voûte pour en faire une terrasse. Pour ce faire, on modélise une charge linéaire par élément de voûte d’intensité égale à moyh⋅γ , où est la hauteur de la colonne de remblai sur un élément de poutre formant la voûte. A titre d’illustration, voici à quoi ressemble un cas de charge :

moyh



Figure 29 : cas de charge d'une surcharge latérale. (Le facteur d'amplification de l'échelle des charges

trompe le fait que la toiture est plate en réalité.) Chaînette inversée :

Les constatations faites précédemment sont semblablement les mêmes, à savoir que l'encastrement est favorable. Cependant on constate que pour un cas de charge différent de celui du poids propre, la chaînette n'est pas appropriée. Les efforts de flexion et tranchants engendrés sont importants, ce qui conduit à une part importante de traction dans la voûte. De plus, l'excentricité est telle que la résultante sort de la matière, ce qui conduit à une instabilité.

On remarque également que le calcul donne un déplacement de la clé de voûte vers le haut, ce qui paraît contraire à l'intuition. Tracé en pratique :

La première des constatations se situe au niveau de l'excentricité de l'effort normal par rapport au centre de gravité. Elle est relativement faible (7cm au maximum) ! Hormis le cas de charge du poids propre sur la chaînette inversée, jamais un résultat n'a été aussi bon. La forme adoptée dans le cas d'un remblayage latérale de la voûte est donc bien adaptée. On le constate sur la Figure 30 que nous avons inclus ici à titre d'exemple. Il est très intéressant d’observer le cheminement des efforts au travers de la voûte. Des règles de construction aussi simple pour un résultat aussi bon n'incitent pas à changer le mode de construction pour ce type de voûte.

Figure 30 : excentricité d'une voûte encastrée soumise à son poids propre et à une surcharge latérale

(portée 3.2m ; épaisseur 0.15m ; angle de transition 60° ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m)



On constate également sur la base de la même Figure 30 que l'endroit où on retrouve

une excentricité maximum se situe aux environs du changement de courbe (passage du cercle à la parabole). Cela revient à dire que le comportement est encore meilleur si cette zone est réalisée avec soins par les constructeurs, notamment en adoucissant cette cassure. En effet, la modélisation n'adoucit pas la cassure.

On peut tout de même essayer de se prémunir d'une éventuelle instabilité en augmentant la dimension du tiers central (et donc en augmentant l'épaisseur de la voûte). Celle-ci a été prise précédemment à 15cm. Nous avons regardé l'influence d'un changement d'épaisseur. Les efforts engendrés sont tous différents, ce qui est logique puisque le poids propre de la voûte varie selon que l'épaisseur augmente ou diminue (Tableau 12 en annexe).

Épaisseur 10 cm Epaisseur 15 cm Epaisseur 20 cm Excentricité mm 70.2 75.2 79.1 Excentricité / épaiss.

0.702 0.501 0.396

Tableau 5 : comparaison des résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre et à une surcharge latérale pour des épaisseurs différentes (portée 3.2m ; angle de transition 60° ; hauteur

supplémentaire à la clé 0.05m)

Cependant, il est intéressant de constater que l'excentricité par rapport à l'épaisseur diminue quand on l'augmente. Sans pouvoir tirer de règles absolues, il faut retenir que l'épaisseur de la voûte peut être un paramètre important.

Maintenant que nous avons vu que le tracé réalisé en pratique répond de manière satisfaisante aux exigences statiques de la voûte, nous pouvons continuer l'étude sur cette base. Nous pouvons commencer par regarder l'influence de l'angle à partir duquel on change de courbe ainsi que l'influence du supplément de hauteur que l'on ajoute à la clé de voûte. Influence de la hauteur supplémentaire :

Dans un premier temps, nous avons regardé l'influence d'un supplément de hauteur. Voici les résultats pour une voûte dont le changement de courbe se situe toujours à 60°, mais dont l'augmentation de hauteur est cette fois de 10cm (Tableau 13).

On peut constater que l'augmentation de hauteur est défavorable au niveau de l'excentricité. Ce constat rejoint celui du chapitre 6.3 dans lequel nous avions constaté que la transition entre les deux courbes était davantage brusque lorsque nous augmentions la hauteur supplémentaire. L'effort reste tout de même dans la matière, mais pas dans le tiers central. Des contraintes de traction vont donc apparaître.

D'autre part, dans ce cas, la présence d'un encastrement n'est pas forcément un avantage, puisqu'on remarque qu'en clé de voûte l'excentricité y est supérieure.

Influence de l'angle de transition de courbe :

Dans un deuxième temps, nous avons observé l'influence d'un changement de courbe à 75° (Tableau 14).

Là aussi, le constat est le même qu'au chapitre 6.3, à savoir que l'augmentation de l'angle auquel se fait la transition de courbe est défavorable. Cependant, la différence avec une transition à 60° n'est pas significative.

Le problème est en faite toujours le même. Au droit de la zone critique, le tracé passe trop bas par rapport au chemin des efforts. De par son excentricité, l'effort normal va avoir tendance à comprimer fortement les fibres du bord supérieur, ce qui pourrait conduire à un "claquement" de la voûte vers l'intérieur.



Figure 31 : effet d'une trop grande excentricité sur la voûte

En conclusion, dans ce cas de charge, les premiers résultats nous amènent à penser qu'il faut dans la mesure du possible garder l'angle de transition proche de 60°, et un supplément de hauteur à la clé proche de 5 cm.

6.4.3.2 Modélisation avec Excel Comme nous l’avons souligné précédemment, l’équation de la chaînette n’est valable

que sous le cas de charge du poids propre. On ne peut donc pas traiter de voûtes dont les côtés sont remblayés (Figure 28). Cette condition est trop restrictive dans le cadre de ce projet, car ce type de voûte est très utilisé au Burkina Faso afin de permettre l’aménagement d’un deuxième étage.

C’est pourquoi nous avons programmé une feuille de calcul Excel se basant sur le

principe de l’arc funiculaire à poussée compensée. Le principe est le suivant : on discrétise une voûte en plusieurs éléments, dont les coordonnées du centre de gravité sont connues. En partant ensuite du sommet de la voûte, on calcule les coordonnées de chacun des points où le vecteur force horizontal rencontre le vecteur force vertical, jusqu’à arriver au pied de la voûte.

3 2 1 1

2

3

Figure 32 : Discrétisation d'une voûte et arc funiculaire correspondant

On voit schématiquement que le vecteur poids augmente, ce qui correspond à une

charge toujours plus grande sur la voûte. Une fois encore, nous avons voulu comparer les résultats fournis par cette méthode

avec Cubus. Le cas de charge étant différent cette fois-ci, nous l’avons modélisé par une surcharge répartie selon un trapèze. Contrairement au cas de charge du poids propre pour lequel les résultats étaient identiques, il y a une grande différence entre les résultats. Ceci peut s’expliquer comme ceci :



• modélisation des surcharges. • détermination des surcharges selon la courbe de la chaînette inversée et non de la

courbe idéale dans le cas d'une surcharge.

En conclusion, l’utilisation d’Excel n’est pas recommandée. Si dans le cas d’une chaînette isostatique les résultats étaient convaincants, pour tout autre situation ils deviennent loin de la réalité. De plus, la programmation de la feuille se fait sur la base d’un calcul isostatique. Une voûte encastrée ne peut donc pas être modélisée, ce qui réduit drastiquement le champ de l’étude. C’est pourquoi nous nous sommes contentés par la suite de l’utilisation de CUBUS.

6.4.4 Cas de charge d’une surcharge latérale : dimensions différentes Les premiers calculs ont montré que le tracé était adapté au type de construction, à

savoir des voûtes remblayées d'une portée de 3.20 m et d'une hauteur aux environs de 1.70 m. Dans cette section, nous allons essayé de modéliser des voûtes de dimensions différentes afin d'augmenter les possibilités d'utilisation de telles structures.

Construire des voûtes de plus grande portée selon les règles locales de conception habituelles conduirait à des hauteurs plus grandes également, puisque la hauteur est fonction de la portée. Cela conduirait à des hauteurs certainement trop importantes et donc des volumes vides inutiles. En fait, l'idéal serait de pouvoir concevoir des portées plus grandes sans devoir modifier la hauteur. Cette idée comporte le désavantage de rendre les règles de conception inapplicables, des règles pourtant simples et bien assimilées par les constructeurs locaux.

Dans un premier temps, nous allons donc tout de même étudier des voûtes de dimensions différentes avec les règles traditionnelles. Dans tous les résultats qui suivent, nous avons gardé les hypothèses d'une hauteur supplémentaire de 5 cm et une transition de courbe à 60°. Par contre, nous avons fait varié l'épaisseur.

Précédemment, les résultats qui nous ont principalement intéressés, au-delà des efforts intérieurs et des réactions d'appuis, sont les excentricités de l'effort normal par rapport au tracé de la voûte. Il semble que ce paramètre soit déterminant dans la construction d'une voûte. Les résultats suivants ne résument donc que les excentricités. Nous avons modélisé trois voûtes de portées différentes, d'épaisseurs différentes (10, 15 et 20 cm), et avec des appuis articulés :

Epaisseur 100 mm 150 mm 200 mm

Portée M/N M/N M/N

3 m 69 73.5 76.9

3.2 m 70.2 75.2 79.1

4 m 85.3 91.4 96.3

5 m 97.9 104.7 110.3 Tableau 6 : excentricité maximale selon la portée et l'épaisseur de la voûte, dans un cas articulé



3 m 0.690 0.490 0.385

3.2 m 0.702 0.501 0.396

4 m 0.853 0.609 0.482

5 m 0.979 0.698 0.552 Tableau 7 : excentricités rapportées à l'épaisseur

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

Portée m

Exce

ntric

ité M

ax/é

pais

seur

10 cm

15 cm20 cm

limite matière

tiers central

Figure 33 : excentricité maximale en fonction de la portée et de l'épaisseur

On constate que pour une même épaisseur, l'augmentation de la portée est défavorable.

Par contre, pour une même portée, l'augmentation de l'épaisseur est favorable. Elle permet de ramener la résultante des forces près du tiers central. Ces résultats correspondent aux conclusions faites au Niger (chapitre3.4, Tableau 2 ). On remarquera également par exemple que la résultante n'est jamais dans la matière pour une portée de 5m. On constate que la résultante ne passe jamais par le tiers central pour tous les cas. Une analyse supplémentaire sera donc nécessaire ultérieurement.

6.5 Vérification d'une section

6.5.1 Marche à suivre Cette partie est consacrée à la vérification d'une section afin de voir si elle résiste aux

sollicitations qui lui sont imposées. Jusqu'ici, l'étude s'est basée sur une analyse plutôt qualitative, en regardant le cheminement des forces, le but étant qu'il se rapproche le plus possible au tracé de la voûte. Nous allons passer maintenant à une analyse davantage quantitative. Avant cela, rappelons les hypothèses principales :

• Le matériau a un comportement élastique. • Le matériau a une résistance à la traction nulle. • La résistance à la compression vaut . ckf• On travaille en mètre linéaire. On ne prend donc pas en compte les effets de bord.

Les étapes de la vérification sont les suivantes :



Etape 1 : A l'aide d'un logiciel de calcul (CUBUS p.ex.), on détermine les efforts dans la voûte. On calcule l'excentricité par M/N. Trois cas se présentent alors :

1) Si l'excentricité est supérieure à la demi-épaisseur, l'effort sort de la voûte,

et on la considère comme instable. 2) Si l'excentricité est inférieure à un sixième de l'épaisseur, l'effort est dans le

tiers central. On calcule alors la contrainte maximale dans la section avec

yI

MAN

⋅±=σ

Il faut alors vérifier que sigma ckf<σ .

3) Si l'excentricité est inférieure à la demi-épaisseur, mais supérieure au

sixième de l'épaisseur, la force est hors du tiers central. La section va donc se fissurer du côté du bord tendu. On passe alors à l'étape 2.

Etape 2 : La section fissurée ne participe plus à la reprise des efforts. On ne va alors

considérer que la partie comprimée comme nouvelle section. Le moment de flexion va diminuer puisque le centre de gravité se rapproche de la résultante des forces.

Résultante hors du tiers central. La partie tendue va alors se fissurer.

Diagramme des contraintes

La section tendue va alors réduire la section, ce qui va augmenter les contraintes de compression.

La résultante passe dans le tiers central, au prix d'une augmentation des contraintes de compression. Si ça n'avait pas été le cas, on aurait déduit à nouveau la partie tendue. Ainsi jusqu'à ce que la résultante finisse par passer dans le tiers central.

e

e Fissuré

Figure 34 : principe de réduction de la section participative

Une fois que la force rentre dans le tiers central, on calcule la contrainte

correspondante, puis on vérifie :



ckf<σ

Ces calculs peuvent se faire aisément en programmant une feuille Excel.

tape 3 : Il reste à vérifier la voûte à l'effort tranchant. La contrainte de cisaillement est

E

calculée comme :

AV

=τ

onnaissant alors l'effort normal et la contrainte de cisaillement, on peut

Etape 4 : n vérifie également la section en pied qui est soumise à un effort normal

emarque : Pour l’instant, étant donné que nous n’avons pas de réponse claire par rapport

6.5.2 Exemple numérique

Cvérifier le cisaillement d'après un critère de Mohr-Coulomb par exemple. Cette dernière vérification nécessite la connaissance de l'angle de frottement et de la cohésion. Omaximal.

Raux conditions d’appuis, un calcul tant en considérant des appuis articulés qu’encastrés devrait être réalisé.

voûte de manière traditionnelle d'une portée de 4 m.

Nous apuis l'horizontale.

elon la constatation faite précédemment.

ne feuille Excel permet de trouver les coordonnées du tracé.

intérieurs. On choisit comme

Soit la volonté de construire unellons choisir comme paramètres : • Un angle de transition à 60° de• Une hauteur supplémentaire de 0.05 m. • Une épaisseur de voûte de 4/3.2 * 0.15, s• On choisit un cas encastré comme conditions d'appuis.

UUn programme d'éléments finis permet de calculer les effortssection déterminante la section où l'excentricité est maximum :

Figure 35 : excentricité d'une voûte encastrée soumise à son poids propre et à une surcharg latérale e

(portée 4m ; épaisseur 0.2m ; angle de transition 60° ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m)



Tableau 8 : résultats fournis par CUBUS sous forme numérique

L'effort normal N maximum vaut N = -14.33 kN.

n introduit ensuite simplement les efforts dans une autre feuille Excel (voir annexe).

6.6 Vérification du mur Les e ûte doivent ensuite être transmis aux fondations par

l’interm

L'excentricité est de 0.66 m. O

fforts arrivant en pied de voédiaire d’un mur porteur (Figure 36).

Figure 36 : transmission des efforts de compression aux murs porteurs

our ce qui est de l’effort normal, les dimensions du mur sont telles que ce critère ne

doit paPs être déterminant. Cependant, on peut estimer la valeur de la réaction verticale en

calculant le poids de la voûte et de sa surcharge. On peut approximer ce poids par la différence entre un rectangle et un demi-cercle. Le résultat va donner la réaction verticale, mais l’angle entre cette réaction et l’effort normal est suffisamment faible pour admettre que ces valeurs sont très proches.

Figure 37 : calcul estimatif du poids d'une voûte par mètre linéaire



La contrainte découle alors directement de cette valeur, contrainte qu’il suffit de

comparer à la con

re le mur, une formule aussi simple pour déterminer son intens cependant essayer de trouver une relation empirique entre l’ef onction des conditions d’appuis et de la portée.

)

)2

2(2

2 22

2 ππ −⋅=⋅−⋅= RRRA

trainte admissible dans le matériau utilisé.

En ce qui concerne la réaction horizontale que doit reprendité n’est pas possible. On peut

fort vertical et l’effort horizontal en f

Cas articulé (ép. 15cm) Cas encastré (ép. 15cm

Portée 3 m 0.27 0.31 Portée 4 m 0.26 0.30 Portée 5 m 0.26 0.29

Tableau 9: rapport V/H (pente de la résultante)

On remarque que l’effort horizontal à reprendre est à peu près de 30 % de l'effort vertical. Là aussi, il faudrait multiplier les cas pour valider cette relation. On constate cependant que ce rapport ne varie que très peu, quelque soit la portée et quelque soit les conditions d'ap uis. Aux vues de c ettre q a une inclin ue la tangente de l'angle soit égale à 30.

Une fois que l’on a une estimation de cet effort, on peut calculer la direction de la résultante ainsi que son intensité. Ne connaissant pas suffisamment les propriétés des murs en maçonnerie tels qu’ils son compter que sur le poids ropre du mur pour amener la résultante dans la fondation (analogie avec un barrage poids par

exempl

p es résultats on peut adm ue la résultante des forcesaison telle q

t construits, on va faire l’hypothèse de ne p

e). Si on considère que la résultante s’applique au milieu du mur (c’est faux, en général c’est davantage à l’intérieur du mur qu’au milieu, donc cette hypothèse est conservatrice), et que pour être stable l’effort doit rester dans le tiers central du mur, on a comme critère de stabilité :

21⋅ ⋅ γ

=≅⇒AVN



B

H

1/6B

αtan6/1≤

⋅H

B

où αtan est le rapport entre l’effort horizontal H et vertical V.

Figure 38 : résultante des forces dans le tiers central

Si l'on considère la pente de la résultante déterminée précédemment (pente = 30) avec

une hauteur d'approximativement 2 mètres, il vient que l'épaisseur du mur porteur doit être au minimum de 3.6 mètres (!) pour conserver la force dans le tiers central. Ce résultat n'est bien entendu pas réaliste (ni réalisable d'ailleurs). Une analyse plus fine du mur porteur doit être effectuée. On peut, dans un premier temps, procéder de façon similaire à la vérification en section de la voûte, avec la réduction de la section participante. Ainsi, l'extrados est davantage sollicité en compression. De ce fait, la résistance en compression des murs porteurs peut devenir déterminante avec l'augmentation de la portée. En effet, plus la portée est grande, plus l'intensité de la résultante des forces va être grande.

7 Possibilités d’essais 7.1

les briques. A cela s’ajoute la place pour le montage de la voûte, soit au minimum 2 m × 3 m

Réalisation d’un modèle à l’échelle 1:1 L’idée, qui aurait été la solution la plus intéressante pour comprendre correctement le

fonctionnement de la voûte nubienne, était de construire une voûte en terre crue à l’échelle 1 :1 avec la même méthode de construction qu’au Burkina Faso, sur un ou deux mètres. Pour ce faire, il aurait tout d’abord fallu connaître la composition de la terre crue utilisée sur place. On a donc commencé par faire des recherches sur les types de sols de la région (9.1) puisqu’ils utilisent la terre disponible à même le sol sans transformation. Cependant, ceci n’a pas été suffisant pour connaître la composition exacte des terres utilisées, l’idéal aurait été d’obtenir un échantillon du Burkina Faso pour ensuite l’analyser et ainsi la déterminer.

Pour la construction proprement dite de la voûte, de relativement grandes surfaces auraient été nécessaires. En effet, nous avons calculé que pour bâtir une voûte de 2 mètres de long et 3 mètres de portée avec des briques de 20×10×4 cm et en faisant comme première approximation que la voûte a une forme d’un demi cylindre, il nous aurait fallu fabriquer 236 briques. Et comme il est nécessaire de faire sécher les briques de terre crue avant de les utiliser, la surface minimale pour les faire sécher aurait été de 20 cm × 10 cm × 236 briques = 4,7 m2. Mais comme les briques doivent être espacées un minimum pour sécher, il aurait même fallu plus de 14 m2, en considérant que l’on laisse 10 cm d’espace de chaque côté entre



= 6 m2. Le problème du séchage de la voûte peut être résolu en séchant les briques dans une étuve, ce qui nous a été proposé par le laboratoire de mécanique des sols, mais un trop grand nombre d’étuves auraient été nécessaires.

La quantité de terre nécessaire pour 3 la fabrication de la voûte aurait été de 1,9 m . Et il aurait

me une per

mes orientés vers la concep

7.2 Réalisation de la maquette Pour oisi d’utiliser du polystyrène expansé. Pour

le côté

isuelle de la disposition des briques, mais nous laisse q

encore fallu de la terre pour le mortier. Sans compter la terre et la surface supplémentaire qu’aurait demandée la construction des murs porteurs et des murs pignons. La nécessitée des murs porteurs n’est pas réel, car leur analyse est plus simple. Mais il serait bien de les construire pour recréer les conditions d’appuis de la façon le plus réaliste possible.

Quant à la pose des briques, elle aurait nécessité un maçon expérimenté, voire mêsonne spécialisée, car comme il est mentionné dans le rapport d’Urs Wyss, les maçons

« standard » suivent une formation pour construire les voûtes nubiennes. Mais ceci ne devrait tout de même pas poser une barrière infranchissable. Cependant, le temps nécessaire pour la réalisation de l’expérience est difficile à estimer. N’ayant pas d’échantillon, nous avons procédé à des recherches pour déterminer, le type de sol qui serait le plus représentatif. Il est nécessaire d’avoir une bonne représentation de la réalité si l’on veut que les résultats soient utilisables à des fins de dimensionnement. Une expérience d’une construction de voûte a été menée par l’association « Acroterre ». Alors que deux maçons expérimentés construisent 0.2 m linéaire par heure, il a fallu beaucoup plus de temps à l’association qui ne possédait pas d’expérience de construction de voûtes nubiennes. Grâce à cet essai, on peut se rendre compte du temps considérable qu’il faudrait pour la construction en laboratoire d’une voûte de 2 m, sans compter la recherche des matériaux et la confection des briques.

Faute de temps, de moyens et de pratique, nous nous somtion d’une maquette.

fabriquer la maquette, nous avons ch pratique, nous avons décidé de prendre une échelle de 1 :10, ainsi les biques de

24×12×4 cm deviennent des parallélépipèdes rectangles de polystyrène de 24×12×5 mm (la différence d’épaisseur entre la taille réelle de la brique et la maquette étant dû à l’épaisseur disponible des feuilles de polystyrène). La portée est de 3,2 m. Pour joindre les briques, nous avons simplement utilisé de la colle blanche.

La maquette donne une bonne image vuelques interrogations sur la mise en place des briques qui n’est pas aussi simple que

l’on pourrait croire.

Figure 39 : réalis n de la maquette atio



8 Conclusions : comment poursuivre le projet ? Sur la base de cette étude, nous proposons quelques lignes directrices à adopter en cas

de reprise de ce projet ultérieurement. En effet, dans ce travail nous n’avons pu que « dégrossir » le sujet, et mettre en évidence les problèmes rencontrés.

Premièrement, nous avons pu constater qu’il était difficile d’aborder le sujet sans jamais avoir de contact direct avec une voûte. En effet, un modèle aurait permis d’appréhender davantage le comportement statique d’une voûte. Si l’on désirait pousser le projet à un niveau d’analyse encore supérieur, l’étude et le suivi d’une voûte en construction directement sur le terrain permettraient d'en cerner concrètement le comportement.

D’autre part, les caractéristiques mécaniques des matériaux restent une grande inconnue. C’est pourquoi la possibilité de se procurer un échantillon de matériau représentatif du celui utilisé dans la pratique aurait permis d’effectuer nos propres essais et ainsi de déterminer ses caractéristiques. Cependant, il ne faut pas perdre de vue que les matériaux issus du sol sont d’une grande diversité et que l’obtention de valeurs uniques est irréaliste.

D’un point de vue numérique, on a vu qu’il était possible d’effectuer une première vérification simplifiée d’une section de voûte en fonction de ses caractéristiques mécaniques et géométriques, à l'état final. Pour ce faire, il faut d’abord déterminer le tracé en fonction de la portée voulue (Excel), calculer les efforts intérieurs en fonction du matériau et des conditions d’appuis (CUBUS) et ensuite vérifier la section sous ces efforts (Excel). Le principe est relativement simple, mais pour un cas de voûte donné, les paramètres à définir deviennent rapidement nombreux (portée, épaisseur, angle de transition, hauteur supplémentaire, résistance à la compression, cohésion, angle de frottement, module d’élasticité, conditions d’appuis). C’est pourquoi l’élaboration d’abaques incluant tous ces paramètres permettrait de simplifier le choix des paramètres en fonction de la portée. Mais cela nécessiterait le traitement de nombreux cas différents et donc un investissement en temps important.

Nous avons également constaté que l'utilisation de logiciel d'éléments finis plus élaborés (Ansys) pourraient contribuer à une compréhension meilleure du comportement de la voûte, tant en phase de construction qu'en phase de service. Mais là encore, toute utilisation de tels logiciels n'a pas grand intérêt tant que les données que l'on y entre ne sont qu'approximatives (caractéristiques des matériaux, interfaces entre les briques, etc…).

D’autre part, le matériel informatique évoqué ci-dessus n’est certainement pas disponible facilement dans le contexte burkinabé. Des solutions doivent donc être trouvées. En ce qui concerne le tracé, il est facile de reproduire la forme à la main, puisqu’il ne s’agit rien d’autre qu’un arc de cercle couplé à un arc de parabole. Cette manière de faire est certainement déjà utilisée.

Quant à Cubus, les informations qu’il fournit qui nous sont nécessaires ne sont finalement que l’excentricité maximale, ainsi que les efforts en pied de voûte. A nouveau, l’élaboration d’abaques nous semble adéquate. Pour ce faire, une multitude de cas doivent être modélisés puis calculés.

En conclusion, trop de paramètres concernant le matériau utilisé sont inconnus pour

pouvoir approcher la réalité avec justesse. Les méthodes numériques permettent uniquement de se faire une idée sur quelques principes et l'influence de quelques paramètres sur la stabilité et la résistance d'une voûte. Par contre, si les propriétés mécaniques du matériau utilisé étaient connues, le recours à l'informatique pourrait s'avérer redoutable. En effet, l'élaboration d'une théorie analytique est périlleuse, et ne garantirait pas des résultats satisfaisants.



L'un des objectifs initial de ce projet était d'établir des abaques de dimensionnement pour l'élaboration de voûtes différentes de celles traditionnellement construites. Ce rapport ne le remplit pas pleinement, puisqu'un constructeur local ne pourra pas s'appuyer sur les résultats de ce projet. Néanmoins, il ressort que l'augmentation des portées traditionnelles n'est pas hors de question, bien au contraire. Certaines pistes mènent à penser qu'avec les méthodes traditionnelles de construction actuelles, une voûte de dimensions supérieures est tout à fait envisageable, moyennant une étude plus poussée. Donc si ce rapport ne fournit pas tous les résultats escomptés, il ouvre en revanche quelques portes à explorer.



9 Annexes 9.1 Définition de la géologie du Burkina Faso Le sous-sol burkinabé est en majorité granitique, lequel par des cycles de

métamorphose et d’altération amène à des argiles. La couverture latéritique est une couche en partie argileuse pouvant atteindre 30 à 40 m de profondeur. On distingue huit grands groupes de sol :

Selon le livre «Géologie du Burkina Faso», il est établi une division en famille selon les matériaux constitutifs (Figure 40) :

1. Sols minéraux bruts ou lithosols sur roches diverses et cuirasses. 2. Sols peu évolués d’érosion sur matériau gravillonnaire et d’apports alluviaux, qui

occupent environ le quart du pays : sol ferrigineux tropicaux. 3. Vertisols sur alluvions ou matériau argileux : Sols noir ou bruns avec au moins

30% d’argile (montmorillonite, illite…) 4. Sols bruns eutrophes tropicaux sur matériau argileux. 5. Sols ferrugineux tropicaux peu lessivés et lessivés sur matériaux sableux, sablo-

argileux et argilo-sableux, qu’on trouve dans plus du tiers du pays. 6. Sols ferralitiques moyennement désaturés sur matériaux sablo-argileux. 7. Sols hydromorphes minéraux à pseudogley sur matériaux à texture variée. 8. Sols sodiques à structure dégradée : les sols sodiques sont aussi appelés sol salés

ou sol halomorphe caractérisés par une teneur élevée en sels solubles.

Figure 40 : répartition géographique des 8 familles de sol.




Il y est précisé la composition de 9 sols différents. Il ne faut pas oublier que Craterre a

défini une constitution optimale pour la fabrication des briques (4.2.3). Il a été donné, par la même source, une courbe granulométrique idéale pour la composition du sol, qui permet un compactage optimal (Figure 41) :

Figure 41 : courbes granulométriques (Construire en terre, fig. 250)

En outre, il faut relever que le type exact des constituants n’est pas forcément

nécessaire. Il s’agit bien ici de pouvoir fabriquer des briques ayant les même propriétés mécanique que in situ, afin d’obtenir des résultats représentatif de la réalité.

Il a été donné une méthode empirique pour la vérification de la qualité de la terre utilisée dans la fabrication des briques. Elle consiste à rouler un boudin de terre qui ne doit pas coller à la main. On l’aplatit avec précaution entre les doigts afin d’obtenir un long ruban, dont la longueur à laquelle il se casse indiquera à propos de la qualité de la terre :

• s’il se rompt entre 5 et 15cm la terre est correcte pour l’adobe, • s’il se rompt avant 5cm, il faut ajouter de l’argile • s’il se rompt après 15cm, il faut ajouter du sable.



9.2

Calcul de stabilité durant la construction


9.3 Analyse statique à l’état final

9.3.1 Tableaux des principaux résultats Cas articulé Cas encastré Effort normal en pied [kN/m’] -25.16 -24.84 Effort tranchant max [kN/m’] 2.53 3.19 Moment de flexion max [kNm/m’] 0.96 1.07 Excentricité max [m] Excentricité en pied [m]

0.13 0.09 0.04

Déplacement en clé de voûte [mm] +0.30 +0.11 Réaction d’appui en X [kN/m’] 7.35 6.52 Réaction d’appui en Y [kN/m’] 24.19 24.19 Réaction d’appui en θ [kNm/m’] - 1.07 Tableau 10 : résultats principaux d'une voûte "chaînette" soumise à son poids propre et à une surcharge latérale (portée 3.2m ; épaisseur 0.15m ; angle de transition 60° ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m)

Cas articulé Cas encastré Effort normal en pied [kN/m’] 20.89 21.03 Effort tranchant max [kN/m’] 2.58 3.33 Moment de flexion max [kNm/m’] 1.24 0.98 Excentricité en max [m] Excentricité en pied [m]

0.07 0.04 0.05

Déplacement en clé de voûte [mm] 0.55 0.26 Réaction d’appui en X [kN/m’] 5.44 6.20 Réaction d’appui en Y [kN/m’] 20.25 20.25 Réaction d’appui en θ [kNm/m’] 0.98

Tableau 11 : résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre et à une surcharge latérale (portée 3.2m ; épaisseur 0.15m ; angle de transition 60° ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m)

Cas encastré Articulé (15cm/20cm) Encastré (15cm/20cm) Effort normal en pied [kN/m’] 20.89 23.56 21.03 23.72 Effort tranchant max [kN/m’] 2.58 3.03 3.33 3.93 Moment de flexion max [kNm/m’] 1.24 1.47 0.98 1.18 Excentricité en clé [m] Excentricité en pied [m]

0.07 0.07 0.04 0.05

0.05 0.01

Déplacement en clé de voûte [mm] 0.55 0.33 0.26 0.19 Réaction d’appui en X [kN/m’] 5.44 6.25 6.20 7.16 Réaction d’appui en Y [kN/m’] 20.25 22.81 20.25 22.81 Réaction d’appui en θ [kNm/m’] 0.98 1.18

Tableau 12 : comparaison des résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre et à une surcharge latérale pour des épaisseurs différentes (portée 3.2m ; angle de transition 60° ; hauteur

supplémentaire à la clé 0.05m)



Cas articulé Cas encastré Effort normal en pied [kN/m’] -42.48 -42.53 Effort tranchant max [kN/m’] 4.58 4.35 Moment de flexion max [kNm/m’] 1.04 0.84 Excentricité en clé [m] Excentricité en pied [m]

0.05 -

0.07 0.01

Déplacement en clé de voûte [mm] -0.16 -0.06 Réaction d’appui en X [kN/m’] 7.71 7.98 Réaction d’appui en Y [kN/m’] 41.78 41.78 Réaction d’appui en θ [kNm/m’] - 0.35 Tableau 13 : résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre et à une surcharge latérale pour

des hauteurs supplémentaires différentes (portée 3.2m ; angle de transition 60° ; épaisseur 0.15m)

Cas articulé Cas encastré Effort normal en pied [kN/m’] -43.06 -43.15 Effort tranchant max [kN/m’] 3.63 4.12 Moment de flexion max [kNm/m’] 1.19 0.83 Excentricité en clé [m] Excentricité en pied [m]

0.03 -

0.05 0.01

Déplacement en clé de voûte [mm] -0.36 -0.06 Réaction d’appui en X [kN/m’] 8.11 8.61 Réaction d’appui en Y [kN/m’] 42.30 42.30 Réaction d’appui en θ [kNm/m’] - 0.64 Tableau 14 : résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre et à une surcharge latérale pour

angles de transition différents (portée 3.2m ; épaisseur 0.15m ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m) Cas articulé Cas encastré Effort normal en pied [kN/m’] -87.55 Effort tranchant max [kN/m’] 6.13 Moment de flexion max [kNm/m’] 2.21 Excentricité en clé [m] Excentricité en pied [m]

0.07 -

Déplacement en clé de voûte [mm] -0.27 Réaction d’appui en X [kN/m’] 14.73 Réaction d’appui en Y [kN/m’] 86.31 Réaction d’appui en θ [kNm/m’] - Tableau 15 : résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre et à une surcharge latérale pour

une portée plus grande (portée 5m ; angle de transition 60° ; épaisseur 0.15m)




9.3.2 Quelques graphiques des résultats principaux Cas a) Chaînette inversée sous son poids propre

Cas b) Tracé pratique sous son poids propre

Cas c) Tracé pratique sous son poids propre et surcharges latérales (cas articulé)

Cas d) Tracé pratique sous son poids propre et surcharges latérales (cas encastré)

Cas e) Tracé pratique sous son poids propre et surcharges latérales (articulé, épaisseur 20 cm)

Cas f) Tracé pratique sous son poids propre et surcharges latérales (encastré, épaisseur 20 cm)



9.4 Exemple de calcul d’une section


10 Références Publications :

[1] Wyss Urs, Projet de dissémination des techniques de construction de toitures économiques et non consommatrices de bois au Burkina Faso,

[2] Granier Thomas, des toits de terre au Sahel [3] Woodless construction, Using unstabilised earth bricks and vault and

dome roofing in West Africa [4] La voûte nubienne, règles de construction, [5] Granier Thomas, Kaye A., Ravier J., Sillou D., The nubian vault [6] Géologie du Burkina Faso, Vladimir Sattran – Urbain Wenmenga,

Publication : Czech Geological Survey, cote GEO 7729, CDU 55(662) SAT [7] Construire en terre, le CRAterre, P Doat, A. Hays, Edition alternative

collection AnArchitecture. [8] Bâtir, Manuel de la construction, R. Vittone, PPUR, première édition 1996,

réimpression 2003

Sites internet:

[9] http://www.earth-auroville.com/ [10] www.wikipédia.com

[11] http://fr.wikipedia.org/wiki/Adobe_%28brique%29 [12] http://www.init-environnement.com/?page=enduit [13] http://www.futura-sciences.com/comprendre/g/definition-

laterite_1530.php [14] http://fr.wikipedia.org/wiki/Lat%C3%A9rite [15] http://insolit.free.fr/detlaterite.html [16] http://www.ird.fr/fr/actualites/fiches/1998/fiche62.htm

[17] http://fr.wikipedia.org/wiki/Vertisol [18] http://horizon.documentation.ird.fr/exl-

doc/pleins_textes/pleins_textes_5/b_fdi_02-03/01402.pdf [19] http://www.fao.org/ag/agl/aglw/aquastat/countries/burkina_faso/indexfr

a.stm [20] http://www.abn.ne/webfr/ident/bfident.html [21] http://www.afdb.org/pls/portal/docs/PAGE/ADB_ADMIN_PG/DOCU

MENTS/OPERATIONSINFORMATION/DORI%20T%C3%89RA%20EIE%20R%C3%89SUM%C3%89%20EXECUTIF%20%20.PDF


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http://www.fao.org/ag/agl/aglw/aquastat/countries/burkina_faso/indexfra.stm

http://www.fao.org/ag/agl/aglw/aquastat/countries/burkina_faso/indexfra.stm

http://www.abn.ne/webfr/ident/bfident.html

http://www.afdb.org/pls/portal/docs/PAGE/ADB_ADMIN_PG/DOCUMENTS/OPERATIONSINFORMATION/DORI%20T%C3%89RA%20EIE%20R%C3%89SUM%C3%89%20EXECUTIF%20%20.PDF



projet de semestre voûtes nubiennes au burkina faso

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