principe fondamental de la statique

8/14/2019 Principe Fondamental de La Statique

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Principe fondamental de la statique

Hypotheses

Plan de sym etrie

Si un mecanisme presente un p lan de symetrie aussi bien pou r sa geometrie que pou r les actions mecaniques

subies, on peu t mod eliser le systeme par une figure plane et mod eliser les actions m ecaniques exterieures

par des torseurs de liaisons particuliers. Si le plan (O;x ;y ) et le plan de sym etrie pour le solide 1 et Acentre de liaison app artenant a ce plan alors, le torseur associe a une action m ecanique particuliere 2/1secrit en A.

T21

A

=

XA 0YA 00 NA

A

Changement de point

A(xA; yA; 0) B(xB; yB; 0)

T21

B

=

XAYA0

0 xA xB yA 00 + yA yB yA = 0NA 0 0 NA + (xA xB)yA (yA yB)xA

B

Parametrage des liaisons

Dans la plupart d es systemes materiels, il y a des axes suivant lesquels on peut d efinir des mouvements

de translation, de rotation, voire helicodaux. Dans la mesure du possible on choisira la base orthon-

norm ee dun rep ere gen eral tel que ses axes soient paralleles a ces d irections p riviligiees d es liaisons.

Nature des liaisons

Les liaisons seront toujours supposees parfaites, la seule h ypoth ese a faire a ce niveau concerne la valeur

a donner au coefficiant de frottement.

f= 0

f= 0 (lois d e Coulomb)

En general, on peut admettre que les liaisons realisees par contact direct (coussinet, glissiere, glissiere

helicodale, rotule) sont telles que f ne puisse etre neglige (f = 0) par contre, les liaisons realisees par

interposition delements roulants (roulement a billes, a rouleaux et a aiguilles) sont telles que f puisseetre neglige (f= 0).

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Princippe fondememtal de la statique

Princippe dinertie, repere Galilee n

Il existe au moins un rep ere dans lequel le centre dinertie dun syst eme materiel quelconque a les pro-

prietes suivantes :

sil est en mouvement, son mouvement est alors rectiligne uniforme ; sa trajectoire est une droite et sur

cette droite sa vitesse est constante

sil nest pa s en mou vemen t ; il rese imm obile

D efinition

On appele un repere Galileen, les reperes dans lesquels le princippe de linertie est verifie.

Equilibre dun systeme materiel

Un system e (S) est en equilibre (au repos) par rapport a un repere R si au cours du temps les coordonneesde chaque point de (S) sont constantes.

Princippe fondemental de la statique

Il existe au moins un repere appele repere Gallileen tel que tout systeme materiel (S) en equilibre p arrapport a ce repere, les actions mecaniques exterieures app liqu ees a (S) verifie la relation su ivante :

si (S) est en equilibre, alorsTSS

=

0

Theoreme de la resultante

(S) etant en equilibre par rapp ort a un repere Galileen R, la resultante generale des actions m ecaniques

exterieures a (S) est nulle, on noteRSS =

0 (1)

Theoreme du moment resultant

(S) etant en equilibre par rapport a un repere Galileen R, le moment resultant des actions m ecaniques

exterieures a (S) est nul, on notemSSA =

0 A (2)

Les deux relations (1) et (2) constituent deu x conditions necessaires d equilibre de (S) par rapport a unrepere Galileen mais elles ne constituent pas de conditions suffisantes. En effet en dynamique, on montre

que les relations (1) et (2) sont aussi verifiees dans le cas dun systeme materiel (S) en mouvement detranslation rectiligne uniforme par rapport a R.

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Application

(1)Donnee

Thuile2

B=

Bhuile2 0

3000

mh2B 0

00

B,R

40

5

0

x

y

A B

C

(0)

(2)

x1

y1

20

T01

A

=A12 XA

YAZA

m12

A LA0NA

A,R

T02

B

=

B02 XB

0ZB

m02B LB

0NB

B,R

T12

C

=

C12 0

YC0

m12C 0

00

C,R1En changeant le torseur

T12

C

de base, nous obtenons :

T12

C

=

C12 YC sin()

YC cos()0

m12C 0

00

C,R

Changement de points

T01

A

=

A12 XA

YAZA

m12A LA

0NA

A,R

Thuile2

A

=

Bhuile2 0

3000

mh2A 0

012000

A,R

T02

A

=

B02 XB

0ZB

m02A LB

40ZBNB

A,R

3


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T12

A

=

C12 YC sin()

YCcos()0

m12A 0

0

10YC

4 cos() + 5 sin()

A,R

En se ramenant a un probleme plan, on peu t dor et d eja d ire que les composantes {ZA;ZB;LA;LB} sontnulles.

On v a isoler le solide (2) et on fait le bilanT12

A

+T02

A

+Thuile2

A

=

0

.

Ce qui am en e a :

XB YC sin() = 0

YCcos() + 300 = 0

NB + 10YC

4cos() + 5 sin()

+ 12000 = 0

Nous trouvons donc : YC = 300 sec()XB = 300tan()

NB = 15000 tan() = 20 sec() = 1

cos()1

Ensuite, on va isoler le solide (1) et on fait le bilanT21

A

+T01

A

=

0.2

Ce qui am ene a :

XA + YC sin() = 0

YA YCcos() = 0

NA 10YC

4 cos() + 5 sin()

= 0

Nous trouvons donc : XA = 300 tan()YA = 300

NA = 3000

5 tan() + 4 = 20

Anisi, XA = 109 NXB = 109 NYA = 300 NYc = 319 NNA = 17460 N.mm

NB = 5460 N.mm

1. sec se dit secante

2.

T21

A=

T12

A=

C12 YC sin()YC cos()0

m12

A 00

10YC

4 cos() + 5 sin()

A,R

4


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Resolution

Rappel

R =

0

m =0

A

torseur quelconque

R =

0

m =0

A

torseur a resultante

ou glisseur

R =

0

m =0A

torseur moment

ou couple00A

= 0 torseur nulSysteme en equilibre sous laction de deux gliss eurs

1 L1 : liaison 2 1 de centre AL2 : liaison 3 1 de centre B

B

A

Equilibre de (1) : T21A = A210

AT31

A

=

B31AB

B31

A

A21 +

B31 =

0 (L1)

AB B31 =

0 (L2)

(2)B31 et

AB sont colineaires donc le sup port d e

B31 est sur la droite (AB)

(1)A21 et

B31 sont opposees

A21 et

B31 sont

directement opp osees

Theoreme : Quand un systeme materiel est en equilibre sous laction de deu x glisseurs, les resultantes d e

ceux-ci sont directement opposees.

Systeme en equilibre sous laction de trois glisseurs

1L1 : liaison 2 1 de centre AL2 : liaison 3 1 de centre BL1 : liaison 4 1 de centre C

BA

C

T21

A

=

A210

A

T31

B

=

B310

B

T41

C

=

C410

C

Equilibre de (1) :T21

A

=

A210

A

T31

A

=

B31AB

B31

A

T41

A

=

C41AC

C41

A

A21 +B31 +

C41 =

0 (L1)

AB

B31 +

AC

C41 =

0 (L2)

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(2) NotonsAB

B31 =

m31A

etAC

C41 =

m41A

Doum31A =

m41A directement opposes

Par d efinition du produit vectorielm31A (

AB;

B31) et

m41A (

AC;

C41) dou A,B,C,

m31A ,

m41A

appartiennent au m eme plan, soit (P) ce plan.

(P)

A

B

C

m41A

m31A

B31

C41

3 cas p ossibless :B31 et

B31 se coup ent en Q (P)

B31 et

B31 sont paralleles

B31 et B31 sont colineaires

1er cas :

Q

A

B3

1

C41

Caclul des torseurs en Q

T21

Q

=

A21QA

A21

Q

T31

Q

=

B31QA

B31 =

0

Q

T41

Q = C410

Q

Equilibre :A21 +

B31 +

C41 =

0 (1)

QA

A21 =

0 (2)

(2) QA et

A12 sont colineaires, donc le sup port d e

A21 passe egalement p ar Q (P).

2em e cas :

C41

B31A

A,B,C,B31 et

C41 (P)

On a toujoursA21 +

B31 +

C41 =

0 (1)

(1) verifiee uniquement si le supp ort deA21 est // aux supports de

B31 et

C41, donc le support d e

A21 est aussi dans le p lan (R).

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3em e cas :

C41

B31

soit (D) le supp ort commun deB31 et

C41

dapres le deuxieme cas,A21//

B31

Calcul des torseurs en C

T21

C

=

A21CA

A21

C

T31C =

B31CB B31 = 0

C

T41

C

=

C410

C

equilibre :A21 +

B31 +

C41 =

0 (1)

CA

A21 =

0 (2)

(2) CA et A21 colineaires

Comme le supp ort deA21 // (D) et que C (D) on en conclue que A (D)

Theoreme :

Quand u n systeme materiel est en equilibre sous laction d e trois glisseurs les r esultantes de ceux-ci sont

soit complanaies et concourantes en un m eme plan

soit coplana ires et para lleles soit colineaires

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