prima conferenza “arrigo croce” analisi e progetto delle

RIVISTA ITALIANA DI GEOTECNICA 1/2001

1. Introduzione

“Ce Mémoire est destiné à déterminer, autant que lamélange du Calcul & de la Physique peuvent le permettre,l’influence du frottement & de la cohésion dans quelquesproblèmes de Statique”. Così Charles Augustin Cou-lomb inizia il suo famoso saggio del 1776 sulla spin-ta delle terre; e poco oltre: “j’ai tâché autant qu’il m’aété possible de rendre les principles dont je me suis servi as-sez clairs pour qu’un Artiste un peu instruit pût les enten-dre et s’en servir.

Ce Mémoire, composé depuis quelques années, n’étoitd’abord destiné qu’à mon usage particulier, dans les dif-férens travaux dont je suis chargé par mon état; si j’ose leprésenter à cette Académie, c’est qu’elle accueille toujoursavec bonté le plus foible essais, lorsqu’il a l’utilité pourobject. D’ailleurs, les Sciences sont des monumens consa-crés au bien public; chaque citoyen leur doit un tribut pro-portionné à ses talens. Tandis que les grands hommes, por-tés au sommet de l’édifice, tracent & élèvent les étagessupérieurs, les artistes ordinaires répandus dans les étagesinférieurs, ou cachés dans l’obscurité des fondemens, doi-vent seulement chercher à perfectionner ce que des mainsplus habiles ont créé”1.

Questa lunga citazione appare particolarmenteappropriata per l’occasione, in primo luogo, per ladoverosa dichiarazione di umiltà. Ma soprattutto bi-

sogna ricordare che l’Associazione Geotecnica Ita-liana, attraverso la conferenza annuale dedicata adArrigo Croce, si propone di contribuire a colmare ildivario esistente fra la ricerca e la pratica professio-nale e costruttiva nel settore dell’Ingegneria Geo-tecnica, e non solo nel nostro Paese; e quindi cado-no a proposito i cenni al carattere divulgativodell’esposizione e allo scopo applicativo.

E ancora ci sembra importante il richiamo adun’equilibrata considerazione del Calcolo e della Fi-sica; ed è proprio da questo argomento che voglia-mo iniziare, con una riflessione preliminare sulleanalogie, le differenze, le relazioni fra l'Ingegneriae la Scienza.

Secondo la definizione dell'American Peoples En-cyclopaedia, l’Ingegneria “…applica la conoscenzascientifica ai problemi pratici della progettazione,costruzione e manutenzione di strutture, macchina-ri e servizi”. Una teoria scientifica invece, come lageometria Euclidea, o la termodinamica, o la mec-canica dei continui è caratterizzata dai seguentiaspetti [RUSSO, 1996]:– non si occupa di oggetti reali, ma di enti astratti

quali angoli, segmenti, entropia, semispazi ela-stici;

– ha una struttura rigorosamente deduttiva; con-siste cioè di un piccolo numero di enunciati fon-damentali (principi o assiomi o ipotesi) riguar-danti gli enti suddetti, e di un metodo universal-mente riconosciuto per dedurne una quantità il-limitata di conseguenze. Tutti i problemi che

Prima Conferenza “Arrigo Croce”Analisi e progetto delle fondazioni su pali

Carlo Viggiani*

SommarioVengono presentati alcuni semplici algoritmi di calcolo per la modellazione dell’interazione terreno-struttura per una

piastra su pali, discutendo dettagliatamente la determinazione dei relativi parametri. Si suggerisce di utilizzare, a tal fine,i risultati di prove di carico su palo singolo, interpretati con una procedura standardizzata. Il confronto con un’ampia evi-denza sperimentale conferma che i procedimenti di analisi disponibili sono più che adeguati ai fini del progetto, a pattodi modellare adeguatamente il problema reale.

Nella seconda parte del lavoro vengono illustrati i fattori che influenzano il progetto delle fondazioni su pali, quandosi vogliano adottare criteri di progetto innovativi nei quali ai pali viene attribuito il ruolo essenziale di controllo dei cedi-menti assoluti e differenziali. A tal fine, è opportuno distinguere fra i plinti e le zattere su pali da un lato, e le grandi plateesu pali dall’altro. Per i primi i pali contribuiscono in modo significativo alla sicurezza della fondazione e possono essereconcepiti in modo da ridurre significativamente il cedimento medio. Per le seconde, in genere non si pongono problemidi sicurezza; i pali non sono molto efficaci per ridurre il cedimento medio, ma possono invece ridurre sostanzialmente icedimenti differenziali e le conseguenti distorsioni.

In ogni caso, appare possibile una progettazione con notevoli economie rispetto ai criteri attualmente adottati; a talfine, occorrerà anche procedere ad un aggiornamento e ad una revisione della normativa.

* Dipartimento di Ingegneria Geotecnica (DIG), Università di Napoli Federico II.

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RIVISTA ITALIANA DI GEOTECNICA

possono essere formulati nel quadro di una teo-ria possono allora essere risolti con la dimostra-zione o il calcolo; le soluzioni che si ottengonosono esatte e ripetibili;

– ogni applicazione della teoria al mondo realedipende da “relazioni di corrispondenza” fra glienti astratti della teoria ed oggetti reali. A diffe-renza dei risultati della teoria, le relazioni dicorrispondenza non hanno valore assoluto, e laloro validità deve essere controllata caso per ca-so sperimentalmente.Il valore pratico di una teoria scientifica consiste

nel fornire modelli del mondo reale, nell'ambito deiquali esiste un metodo per separare le affermazionifalse da quelle vere. I modelli consentono l'interpre-tazione e la previsione dei fenomeni naturali, trasfe-rendoli al livello teorico attraverso le relazioni dicorrispondenza, risolvendo il problema con la di-mostrazione ed il calcolo e trasferendo nuovamentei risultati al mondo reale. Sono le operazioni chel'ingegneria basata sul metodo scientifico compie dicontinuo, e che chiama modellazione, analisi, pro-getto (si veda lo schema di Fig. 1; VIGGIANI, 1999).L’ingegneria basata sul metodo scientifico consentedi creare cose che non esistono in natura, e quindicostituisce una molla potente per lo sviluppo dellaciviltà, come è avvenuto in epoca ellenistica e poi, apartire dal 1600, con Galileo Galilei ed IsaccoNewton. In questo senso non si può che condividerel’affermazione, apparentemente paradossale, che:“non vi è niente di più pratico di una buona teoria”.Vito Volterra, il grande matematico che fu uno dei12 professori universitari italiani a rifiutare il giura-mento di fedeltà al regime fascista, diceva: “muoio-no gli imperi, ma i teoremi di Euclide conservanoeterna giovinezza”.

Occorre però avere ben chiare le differenze frala realtà ed il modello, ed i limiti del modello; in al-tre parole, occorre avere ben chiare le relazioni dicorrispondenza. È questa la sfida avvincente dell'In-

gegneria Geotecnica: essere un’Ingegneria basatasul metodo scientifico, ma saldamente ancorata nel-la complessa realtà fisica che ne costituisce lo scena-rio.

La prima parte di questo lavoro è dedicata ad il-lustrare le relazioni di corrispondenza fra modello erealtà nel campo delle fondazioni su pali. Si cerche-rà poi di mostrare come, avendo a disposizione unmodello adeguato e le opportune relazioni di corri-spondenza, sia possibile concepire opere più econo-miche e più rispettose dell’ambiente rispetto a quel-le tradizionali, pur conservando adeguati livelli disicurezza; e cioè, appunto, creare cose che ancoranon esistono!

2. Analisi delle fondazioni su pali

2.1. Criteri di progetto e normative

Il progetto di una fondazione su pali, comequello di ogni altra opera, deve garantire il soddi-sfacimento di determinati requisiti, quasi semprestabiliti da normative con valore di legge. La norma-tiva vigente nel nostro Paese (D.M. 11.03.88) pre-scrive che: deve essere determinato il carico limite del sin-golo palo e quello della palificata e verificata l'ammissibi-lità dei cedimenti della palificata in relazione alle caratte-ristiche delle strutture in elevazione. (C.5.1). La valuta-zione del carico assiale sul palo singolo deve essereeffettuata prescindendo dal contributo delle strutture dicollegamento direttamente appoggiate sul terreno… Il va-lore del coefficiente di sicurezza non deve essere inferiore a2,5 nel caso che il carico limite sia valutato con i metoditeorici. Nei casi in cui vengano anche eseguite prove di ca-rico fino a rottura, può essere accettato un coefficiente disicurezza inferiore ma non minore di 2 (C.5.3).

Per effetto di queste assunzioni cautelative, ge-neralmente i cedimenti totali e differenziali dellefondazioni su pali risultano molto più piccoli diquelli delle fondazioni dirette, e non vengono rite-nuti un problema significativo, tanto che spesso sene trascura addirittura la determinazione. Questasituazione appare con chiarezza dai dati raccolti daCOOKE [1986] sui cedimenti di un gran numero difondazioni dirette e su pali in argille sovraconsoli-date (Fig. 2). L’evidenza sperimentale mostra che icedimenti delle usuali fondazioni dirette (Fig. 2a)sono circa tre volte maggiori di quelli delle fonda-zioni su pali (Fig. 2b); tuttavia Cooke fa osservareche, mentre le prime hanno un coefficiente di sicu-rezza prossimo a tre, il valore reale del coefficientedi sicurezza delle palificate, se si tiene conto dellastruttura di collegamento fra i pali, è molto maggio-re di tre2. In realtà, perciò, le fondazioni su pali pro-gettate secondo l’approccio convenzionale a rotturae trascurando l’apporto delle strutture di collega-Fig. 1 – Rapporti fra Ingegneria e Scienza.

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mento, sono sovradimensionate in termini di coeffi-ciente di sicurezza reale e danno luogo a cedimentiche spesso sono inutilmente ridotti.

D’altro canto, se sono presenti stratificazioniprofonde di terreni compressibili, e/o si ha a che fa-re con fondazioni di grandi dimensioni, anche lefondazioni su pali possono presentare cedimenti dinotevole entità. Basterà ricordare in proposito ilclassico esempio riportato da TERZAGHI e PECK

[1948, art. 56].È quindi necessario disporre di metodi di analisi

delle fondazioni su pali in condizioni di esercizio siaper prevederne i cedimenti, come richiede la nor-mativa attuale, sia per studiare l’interazione terre-no-struttura in modo adeguato ad un soddisfacenteprogetto strutturale, sia per esplorare invece strate-gie di progetto alternative basate sull'uso dei paliper il controllo dei cedimenti assoluti e differenziali.

L’argomento è in discussione da oltre vent'anni[BURLAND et al., 1977], con interessanti contributi dianalisi [COOKE, 1986; POULOS, 1989; RANDOLPH,1994; BURLAND, 1995; MANDOLINI, VIGGIANI, 1997; EL

MOSSALAMY, FRANKE, 1997; HORIKOSHI, RANDOLPH,1998]; non sono mancate applicazioni innovative[HANSBO, KÄLLSTRÖM, 1983; BURLAND, KALRA, 1986;SOMMER et al., 1991; VIGGIANI, 1995; KATZENBACH etal., 1997]. Tuttavia l’approccio tradizionale di pro-getto è ancora largamente predominante; ciò risulta

fra l’altro dall’esame delle normative anche recenti,inclusa quella del nostro Paese.

Questa situazione può essere dovuta, almeno inparte, alla diffusa convinzione che lo studio dell’in-terazione terreno-struttura in condizioni di eserci-zio, per una fondazione su pali, sia più difficile emeno affidabile di quello del carico limite. Nel clas-sico trattato “Soil Mechanics in Engineering Practice”,TERZAGHI e PECK [1948] affermavano: “Per la varia-bilità delle condizioni di sottosuolo che si riscontrain pratica, ogni tentativo di stabilire regole per ilprogetto delle fondazioni su pali comporta necessa-riamente semplificazioni tanto radicali che le regolestesse possono essere al più intese come mere indi-cazioni. Per le stesse ragioni ogni sviluppo teoricodell'analisi dei pali, come ad esempio l’impiego del-la teoria dell’elasticità (…), è del tutto fuori posto epuò essere tranquillamente ignorato”.

Questo giudizio così netto non fu modificatonella seconda edizione del trattato, venti anni piùtardi, ed è stato appena attenuato in una terza piùrecente edizione [TERZAGHI, PECK, MESRI, 1996] nellaquale si afferma più diplomaticamente che la validi-tà degli sviluppi teorici è discutibile. Esso è peròcontraddetto (nessuno è perfetto!) da un’intensa at-tività di ricerca che ha portato, negli ultimi decenni,a mettere a punto procedure relativamente semplici

Fig. 2 – Cedimenti di fondazioni in argille sovraconsolidate [COOKE, 1986]. a) Fondazioni dirette con FS ♠ 3. b) Fondazioni su pali. Ilcoefficiente di sicurezza nominale è ancora pari a circa tre, ma quello reale, tenendo conto del contributo delle strutture di collegamento,è compreso fra 6 e 15. c) Fondazioni su pali con FS = 3. d) Prove in piccola scala su piastre con e senza pali, in condizioni non drenate;FS = 3.

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ed affidabili per l’analisi dell’interazione fra il terre-no ed una fondazione su pali.

2.2. Metodi di previsione del cedimento

Discutendo i metodi per la previsione dei cedi-menti delle fondazioni su pali MANDOLINI et al.[1997] avvertono che questi vanno sempre intesi co-me insieme di una metodologia di analisi e di unaprocedura per la determinazione dei parametri. Perrestare nei termini della Fig. 1, una teoria scientificae le relative relazioni di corrispondenza.

La metodologia più diffusa per l’analisi dellefondazioni su pali è quella degli elementi di contor-no (Boundary Element Method) [POULOS, 1968; BANE-RJEE, 1970; POULOS, DAVIS, 1980; BANERJEE, BUTTER-FIELD, 1981] nella quale (guarda caso!) il terreno vie-ne modellato proprio come un continuo elastico.

Come funzione di Green viene in genere adot-tata la classica soluzione di MINDLIN [1936], e quindiil sottosuolo viene modellato come un semispazioelastico, omogeneo ed isotropo, anche in sviluppimolto recenti [BASILE, 1999]. Sono disponibili alcu-ne soluzioni per modelli di sottosuolo più appro-priati per le applicazioni, quali il mezzo alla Gibsone lo strato elastico di spessore finito poggiante su diun substrato rigido. Un modello di stratificazioniorizzontali può essere trattato con buona approssi-mazione ricorrendo ad un’estensione della cosid-detta approssimazione di Steinbrenner [DE SANCTIS,2000].

L’onere computazionale, ancora significativoper palificate di grandi dimensioni, può venire so-stanzialmente ridotto adottando il metodo dei coef-ficienti di interazione, che esprimono l’influenza diun intero palo sul cedimento di altri pali o di puntialla superficie del terreno [POULOS, 1968; BANERJEE,DRISCOLL, 1978; CAPUTO, VIGGIANI, 1984; BILOTTA etal., 1991].

L’analisi si semplifica ulteriormente se si trascu-ra il contatto fra struttura di collegamento dei pali eterreno (e cioè si modella la fondazione come un freestanding pile group), e si assume la struttura stessa in-finitamente rigida o infinitamente flessibile. Questesemplificazioni sono quasi sempre ammissibili nelcalcolo dei cedimenti [MANDOLINI et al., 1997; VIG-GIANI, 1998]. Se invece la finalità dell’analisi è lo stu-dio dell'interazione terreno-struttura, è necessarioconsiderare la rigidezza finita della piastra ed il con-tatto con il terreno [RUSSO, 1996, 1998; RUSSO, VIG-GIANI, 1997].

La non linearità può essere simulata con un'ana-lisi incrementale; ad esempio, attribuendo a ciascunelemento di contatto fra palo e terreno un compor-tamento rigido-plastico. Nel metodo dei coefficientidi interazione, seguendo il suggerimento di CAPUTO

e VIGGIANI [1984] si può modellare il comportamen-

to globale di ciascun palo con un’espressione non li-neare (ad esempio, una relazione iperbolica fra ca-rico e cedimento), mentre si continuano a modella-re come lineari le interazioni fra il palo e gli altrielementi; in altri termini, la non linearità viene con-centrata all’interfaccia palo-terreno. Alla stessa indi-cazione pervengono RANDOLPH [1994] ed EL MOSSAL-LAMY e FRANKE [1997].

Nel seguito di questa nota verrà fatto uso di al-goritmi di calcolo sviluppati presso il DIG (Diparti-mento di Ingegneria Geotecnica dell’Università diNapoli Federico II), ed in particolare del codiceGRUPPALO [MANDOLINI, 1994] per il calcolo dei cedi-menti e del codice NAPRA [RUSSO, 1996] per lo studiodell'interazione.

2.3. Determinazione dei parametri

La rigidezza assiale del palo EpA (dove con Ep siindica il modulo di Young del materiale costituenteil palo e con A l’area della sua sezione trasversale)viene considerata nota, benché per pali gettati inopera non manchino incertezze anche per questiparametri.

Le caratteristiche elastiche del terreno sono dideterminazione più difficile, per la marcata non li-nearità della relazione tensioni-deformazioni e perl'influenza della tecnologia esecutiva del palo.

Alcuni Autori, pertanto, suggeriscono di utilizza-re a tal fine i risultati di prove di carico assiale su paliin vera grandezza [POULOS, 1972; MANDOLINI, VIGGIA-NI, 1992b; MANDOLINI et al:, 1997]. Per opere di unacerta importanza, tali risultati sono spesso disponibi-li; in caso contrario è possibile modellare in modosufficientemente realistico il comportamento carico-cedimento di un palo singolo ricorrendo, ad esem-pio, al metodo delle curve di trasferimento. Il risul-tato finale dell'analisi è quindi il valore del coeffi-ciente di amplificazione del cedimento RS = w/ws,che lega il cedimento medio del gruppo di pali w alcedimento del palo singolo ws , a parità di carico perpalo.

Per ridurre il margine di soggettività insito nel-la modellazione del sottosuolo e nella stima delleproprietà dei terreni, MANDOLINI e VIGGIANI [1997]hanno proposto una procedura per quanto possi-bile standardizzata (Fig. 3). Il primo passo consistenell'utilizzare tutte le informazioni disponibili pergiungere ad un modello di sottosuolo nel quale lageometria sia ricondotta ad uno schema di stratifi-cazioni orizzontali. Occorre poi attribuire a ciascu-no strato una rigidezza che non viene assunta in va-lore assoluto, ma in rapporto alla rigidezza di unostrato qualsiasi di riferimento; tale operazione èrelativamente agevole sulla base dei risultati diprove di laboratorio, o anche di prove in sito qualiCPT, SPT, DMT. I valori assoluti delle rigidezze


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vengono poi determinati interpolando la curvasperimentale carico-cedimento (ottenuta con unaprova di carico su di un palo singolo in vera gran-dezza o simulata con adatto procedimento) con irisultati di un’analisi elastica del palo basata sulmodello di sottosuolo precedentemente sviluppa-to. Una volta fissato il modello di sottosuolo e sta-bilite le rigidezze di ciascuno strato lo stesso mo-dello viene usato per un'analisi della palificata conil metodo BEM.

Tutta la procedura è illustrata dettagliatamente,per un caso concreto, nell’Appendice A.

Come è ovvio, occorre decidere se condurreun’analisi lineare o non lineare. Nel primo caso, larigidezza del terreno può essere determinatainterpolando la tangente iniziale della curva carico-cedimento, oppure una secante corrispondente alvalore medio del carico di esercizio dei pali. Questaseconda scelta, apparentemente la più ragionevole,è stata a lungo la più diffusa.

Se invece si decide di considerare la non linea-rità, si procede ad un’analisi incrementale, aggior-nando ad ogni incremento di carico la matrice del-le rigidezze. Come si è detto, i codici impiegati inquesto lavoro assumono che la non linearità sia

concentrata all’interfaccia palo-terreno; ciò equi-vale ad aggiornare per ogni incremento di carico isoli termini della diagonale principale della matri-ce delle rigidezze, mentre gli altri vengono mante-nuti costanti.

Il significato di queste scelte può essere illustra-to con riferimento alla Fig. 4.

Il cedimento ws del palo singolo può essere con-siderato somma di una componente lineare (wsL) edi una componente non lineare (wsNL). Se si scegliedi eseguire un’analisi lineare della palificata e si de-cide di adottare il modulo tangente iniziale (analisiL), nel passare dal cedimento del palo singolo aquello della palificata si amplifica di un fattore RS lasola componente lineare del cedimento del palo sin-golo. Se si sceglie di eseguire un'analisi lineare e sidecide di adottare il modulo secante ottenuto dallaprova di carico in corrispondenza del carico mediodi esercizio (analisi LS), si amplifica del fattore RS

sia la componente lineare che quella non lineare delcedimento del palo singolo. Se infine si sceglieun’analisi non lineare incrementale (analisi NL), e siadotta l’ipotesi di CAPUTO e VIGGIANI [1984] che con-centra la non linearità all’interfaccia palo-terreno,in pratica si amplifica del fattore RS la sola compo-

Fig. 3 – Procedura di modellazione del sottosuolo [MANDOLINI, VIGGIANI, 1997].

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nente lineare del cedimento del palo singolo; al ce-dimento del gruppo così ottenuto si somma poi lacomponente non lineare, senza alcuna amplificazio-ne.

È evidente che le tre procedure conducono a ri-sultati che possono essere significativamente diver-si; occorre pertanto valutarne la rispondenza con-frontandole con l’evidenza sperimentale.

2.4. Confronto con l'evidenza sperimentale

BRIAUD et al. [1989] hanno condotto prove di ca-rico fino a rottura su di un palo singolo ed un grup-po di cinque pali. Si trattava di pali tubolari metalli-ci chiusi inferiormente, del diametro esterno di 273mm e dello spessore di 9,3 mm, infissi fino ad unaprofondità di 9,15 m attraverso un preforo del dia-metro di 300 mm spinto alla profondità di 1,37 m.I cinque pali del gruppo erano collegati superior-mente da un plinto rigido non in contatto con il ter-reno.

Lo schema dei pali di prova è riportato in Fig.5, assieme ad alcuni dati sulle proprietà dei terreni.Nell’analisi, il modello assunto per il sottosuolo ècostituito da cinque strati elastici poggianti su di unsottofondo indeformabile; esso è riportato in Fig. 5.

In Fig. 6 sono riportati i risultati della prova dicarico sul palo singolo; nell'analisi a ritroso di taleprova per dedurne le proprietà dei terreni, i cedi-menti misurati sono stati depurati dell'accorciamen-to elastico del tratto di palo superiore che attraversail preforo.

In Fig. 7 sono riportati i risultati della prova dicarico sul gruppo di cinque pali, insieme ai risultatidelle tre analisi L, LS e NL. Come si può vedere, lasemplice analisi L consente una buona previsionedel cedimento del gruppo fino ad un valore del ca-rico di 0,75 MN, che corrisponde ad un coefficien-te di sicurezza pari a circa tre. Per valori più elevati

Fig. 4 – Analisi del cedimento di un palo singolo e di un gruppodi pali: elastica lineare con modulo tangente iniziale (L); elasticalineare con modulo secante (LS); non lineare incrementale (NL)[MANDOLINI et al., 1997].

Fig. 5 – Schema delle prove di carico su palo singolo e su grup-po di cinque pali battuti in sabbia [BRIAUD et al., 1989].

Fig. 6 – Risultati della prova di carico sul palo singolo [BRIAUD

et al., 1989].


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del carico, come è ovvio, gli effetti di non linearitàaumentano e quindi l'analisi L sottovaluta il cedi-mento; tuttavia l'approssimazione è ancora accet-tabile fino a valori del coefficiente di sicurezza paria 2,5.

L’analisi NL migliora l’approssimazione dellaprevisione su tutto l'arco della curva, e rimane accet-tabile anche in prossimità del carico di rottura.

L’analisi LS fornisce risultati accettabili solo finoad un coefficiente di sicurezza dell'ordine di tre, ecioè nel campo del comportamento praticamente li-neare; per valori più elevati del carico, sopravvalutagrossolanamente il cedimento osservato.

Nel 1975 venne costruito a Ghent, in Belgio, unsilo per cereali costituito da 40 celle cilindriche inc.a, del diametro di 8 m e dell'altezza di 52 m, pog-gianti su di una piastra di 34×84 m2 e dello spessoredi 1,2 m. La piastra di fondazione poggia a sua voltasu 697 pali battuti gettati in opera con base espansa(pali Franki) con diametro del fusto di 52 cm, dia-metro del bulbo di 80 cm e lunghezza di 13,4 m. Lacostituzione del sottosuolo è riportata in Fig. 8,mentre i risultati di due prove di carico su palo sin-golo sono riportate in Fig. 9.

Il caso venne pubblicato da GOOSSENS e VAN IMPE

[1991] i quali hanno anche eseguito un'analisi di ti-po LS. Tale analisi conduceva ad una sostanziale so-pravvalutazione del cedimento osservato.

POULOS [1993] ha ripreso il caso ed eseguito unapiù approfondita analisi, sempre di tipo LS, giun-gendo a conclusioni analoghe.

Fig. 8 – Silo per grano a Ghent, Belgio. Schema della struttura e costituzione del sottosuolo [GOOSSENS, VAN IMPE, 1991].Il modello di sottosuolo riportato a destra è quello di POULOS [1993].

Fig. 7 – Prova di carico sul gruppo di cinque pali: risultati spe-rimentali ed analisi a ritroso [MANDOLINI, VIGGIANI, 1997].

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Nella Fig. 8 è anche riportato il modello di sot-tosuolo adottato da Poulos nella sua analisi. Sullabase dello stesso modello è stata applicata la proce-dura descritta in precedenza, ottenendo i risultatiriportati nella Fig. 10.

Come si vede, la semplice analisi L approssimamolto fedelmente i risultati sperimentali. L'analisinon lineare, in questo caso, risulta praticamenteidentica a quella lineare ed altrettanto soddisfacen-te. Ciò poteva essere previsto, ricordando chenell'analisi NL si amplifica la componente linearedel cedimento, e poi si somma la componente nonlineare senza alcuna amplificazione. Per una palifi-cata di grandi dimensioni, per la quale il coefficien-te RS è molto elevato, la componente non lineare ri-sulta percentualmente assai ridotta.

Appare invece evidente la sopravvalutazione delcedimento che si ottiene con l'analisi LS.

Sia GOOSSENS e VAN IMPE [1991], sia POULOS

[1993], si servono di questo caso per concludereche la previsione del cedimento di una palificata apartire da una prova di carico su palo singolo nonè consigliabile per palificate di grandi dimensioni.I risultati riportati in Fig. 10 sembrano invece sug-gerire che una soddisfacente previsione sia senz’al-tro possibile anche in questo caso, a patto di ricor-rere ad un tipo di analisi appropriato. In altre pa-role, il problema sta nelle relazioni di corrispon-denza.

Le considerazioni svolte nei due casi esaminatipossono essere generalizzate con riferimentoall'evidenza disponibile in letteratura. Nella Fig. 11le previsioni del cedimento, ottenute con le diverseprocedure, sono paragonate alle misure effettuatesu 42 palificate in vera grandezza per le quali, oltrealla misura del cedimento, sono disponibili i risul-tati di prove di carico su pali singoli ed una soddi-sfacente caratterizzazione del sottosuolo. I dati sa-lienti delle palificate ed i valori del cedimento cal-

colato ed osservato sono elencati nelle Tabb. I e II.La maggior parte di tali palificate sono state pro-gettate seguendo l’approccio convenzionale nelquale si trascura il contributo della struttura di col-legamento, e pertanto sono caratterizzate da coeffi-cienti di sicurezza reali relativamente elevati. Perquesti casi (simboli vuoti in Fig. 11) la semplice ana-lisi L, basata sulla rigidezza tangente iniziale dellaprova di carico sul palo singolo, fornisce risultatisoddisfacenti.

Vi sono peraltro alcuni casi (simboli pieni inFig. 11), che si riferiscono a piccoli gruppi di palirealizzati a scopo di ricerca, per i quali i carichisono stati spinti fino a rottura; fra questi il caso diBRIAUD et al. [1989] illustrato in precedenza. Inquesti casi la non linearità svolge un ruolo signifi-cativo e quindi, come era da attendersi, l’analisi Lsottovaluta significativamente i cedimenti mentrel’analisi NL dà luogo a risultati più soddisfacenti.

Risulta poi evidente che l’analisi LS produceuna sistematica sopravvalutazione del cedimento.

Se la fondazione viene considerata infinitamenteflessibile, l'analisi consente anche una stima (proba-bilmente per eccesso) del cedimento differenzialemassimo δ. Per i casi per i quali tale dato è disponibi-le, nella stessa Fig. 11 è riportato un confronto fra ce-dimento differenziale massimo misurato e calcolato.Come si vede, i dati sono in numero minore ed affettida una maggior dispersione, probabilmente per l’in-fluenza della rigidezza della struttura, non nota e va-riabile da caso a caso; tuttavia una prima cautelativastima del cedimento differenziale appare possibile.

2.5. Discussione

I dati presentati mostrano che è senz’altro pos-sibile prevedere i cedimenti delle fondazioni su pali,almeno con altrettanta attendibilità di quelli dellefondazioni dirette, a patto di disporre di prove di

Fig. 9 – Silo per grano a Ghent. Risultati di due prove di caricosu palo singolo [GOOSSENS, VAN IMPE, 1991].

Fig. 10 – Silo per grano a Ghent. Analisi a ritroso dei cedimentiosservati [MANDOLINI, VIGGIANI, 1997].


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carico su palo singolo (o di attendibili valutazionidel cedimento del palo singolo), e di una caratteriz-zazione geotecnica del sottosuolo. È anzi opportunosottolineare che l’utilizzazione dei risultati di provedi carico senza un’adeguata caratterizzazione delsottosuolo può indurre in errori significativi [RUSSO,VIGGIANI, 1997]; in proposito particolarmente istrut-tivo è ancora una volta il già citato esempio riporta-to da TERZAGHI e PECK [1948].

Per fondazioni progettate con i criteri cautelati-vi attualmente adottati, quasi sempre una sempliceanalisi lineare è sufficientemente accurata ai finipratici.

L’apparato analitico necessario si riduce ad al-goritmi di calcolo numerico molto semplici; sonosenz’altro ammissibili semplificazioni quali l’uso deicoefficienti di interazione, e la considerazione diuna struttura di collegamento infinitamente rigida

Fig. 11 – Paragone fra cedimenti misurati e calcolati per i casi riportati nelle Tabb. I e II. a) Analisi L, cedimento medio; b) analisi NL,cedimento medio; c) analisi LS, cedimento medio; d) analisi L e NL, cedimento differenziale; e) analisi LS, cedimento differenziale.

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Tab. I – Caratteristiche principali delle fondazioni su pali esaminate.

Caso Fonte Descrizione Tipologia N. pali L [m] d [m] s/d

1 KOIZUMI & ITO [1967] Campo sperim. battuti 9 5,6 0,30 3,0

2 KOERNER & PARTOS [1974] Edificio trivellati 132 7,6 0,41

3 TROFIMENKOV [1977] Campo sperim. battuti 9 12,0 0,40 3,0

4 COOKE et al. [1981] Edificio trivellati 351 13,0 0,45 3,5

5 THORNBURN et al. [1983] Serbatoio battuti 55 27,0 0,28 7,0

6 KAINO & AOKI [1985] Campo sperim. trivellati 5 24,0 1,00 2,6-3,0

7 VIGGIANI [1989] Edificio trivellati 136 30,0 1,50 2,4-2,6

8 BRIAUD et al. [1989] Campo sperim. battuti 5 9,2 0,27 3,3-4,8

9 GOOSENS & VAN IMPE [1991] Silo battuti 697 13,4 0,52 4,0

10a CAPUTO et al. [1991] Edificio alto trivellati 82 42,0 1,8-2,2 2,6-3,2

10b CAPUTO et al. [1991] Edificio alto trivellati 77 42,0 1,6-2,0 3-3,75

10c CAPUTO et al. [1991] Edificio alto trivellati 82 42,0 1,5-1,8 3,2-3,9

11a MANDOLINI & VIGGIANI [1992a] Pile da ponte battuti 16-24 42,8-46,8 0,38 5,1-6,0

11b MANDOLINI & VIGGIANI [1992a] Pile da ponte battuti 16-24 42,8-46,8 0,38 5,1-6,0

12a MANDOLINI & VIGGIANI [1992b] Edificio alto pali a vite 323 20,0 0,60 4,0

12b MANDOLINI & VIGGIANI [1992b] Edificio alto pali a vite 314 20,0 0,60 4,0

13 RUSSO [1994] Ponte strallato battuti 144 48,0 0,38 3,0

14 RAMPELLO [1994] Ciminiera trivellati 74 56,7 1,20 3-3,25

15 RAMPELLO [1994] Centrale elettrica trivellati 786 52-54 1,20 3,6

16a RANDOLPH & CLANCY [1994] Edificio alto trivellati 150 20,0 0,80 3,2-3,8

16b RANDOLPH & CLANCY [1994] Edificio alto trivellati 27 20,0 0,80 3,2-3,8

16c RANDOLPH & CLANCY [1994] Edificio alto trivellati 27 20,0 0,80 3,2-3,8

16d RANDOLPH & CLANCY [1994] Edificio alto trivellati 38 20,0 0,80 3,2-3,8

16e RANDOLPH & CLANCY [1994] Edificio alto trivellati 38 20,0 0,80 3,2-3,8

17 VARGAS [1948] Edificio battuti 205 12,0 0,42 3,5

18 VARGAS [1948] Edificio battuti 143 12,0 0,42 3,5

19 CLARK [1978] Edificio battuti 132 10,7 0,58 2,5

20 BRAND et al. [1978] Campo sperim. battuti 4 6,0 0,15 5,0










30 MARCHETTI [1989] Pila da ponte vibro-infissi 54 18,0 0,35 2,8

31 BRIGNOLI et al. [1997] Ciminiera battuti 196 43,0 1,20 2,7

32 MANDOLINI [1995] Barriera acustica trivellati 16 23,0 0,80 2,4-3,0

33 O’NEILL et al. [1977] Campo sperim. battuti 9 13,1 0,27 3,0

34 MANDOLINI & RAMONDINI [1998] Campo sperim. trivellati 12 10,0 0,50 3,0


GENNAIO-MARZO 2001

Tab. II – Cedimenti calcolati e misurati per le fondazioni su pali della tabella 1 (w = cedimento medio, δ = cedimento differenziale).

Caso

Cedimenti misurati Cedimenti calcolati

Carico mediosui pali [MN]

w [mm] δ [mm]L LS NL

w [mm] δ [mm] w [mm] δ [mm] w [mm] δ [mm]

1 0,220 6,70 0,00 4,80 0,00 8,80 0,00 5,90 0,00

2 1,200 64,00 43,00 25,10 11,20 65,80 29,40 27,80 11,20

3 0,890 5,00 0,00 3,80 0,00 7,60 0,00 4,90 0,00

4 0,440 25,00 12,00 26,40 12,30 36,50 17,00 26,60 12,30

5 0,440 29,50 6,60 27,80 6,90 39,60 9,80 29,40 6,90

6 1,330 3,80 0,00 3,50 0,00 5,20 0,00 3,90 0,00

7 1,930 5,90 3,40 6,50 3,60 8,00 4,40 6,70 3,60

8 0,490 38,10 0,00 2,60 0,00 164,80 0,00 36,80 0,00

9 1,300 185,00 73,00 174,00 82,80 278,00 132,30 175,00 82,80

10a 5,09-8,90 28,10 17,50 26,90 20,80 37,90 29,30 32,70 20,80

10b 4,38-7,49 31,50 15,90 27,70 15,40 38,40 21,30 32,50 15,40

10c 4,12-5,93 25,10 13,90 21,00 18,50 27,00 23,80 24,80 18,50

11a 0,06-0,26 0,60 0,00 0,60 0,00 0,80 0,00 0,70 0,00

11b 0,06-0,26 3,50 0,00 3,30 0,00 4,00 0,00 3,40 0,00

12a 0,660 29,20 15,10 31,50 21,80 37,80 26,10 31,90 21,80

12b 0,640 23,50 20,00 31,00 20,90 37,20 25,10 31,40 20,90

13 0,760 32,00 0,00 31,00 0,00 39,90 0,00 32,40 0,00

14 0,820 5,40 1,60 3,70 0,60 4,00 0,70 3,90 0,60

15 0,00-1,25 3,60 2,50 4,00 1,80 4,60 2,40 4,10 1,80

16a 3,930 35,90 6,00 25,90 5,90 81,90 15,90 31,60 5,90

16b 3,220 24,50 1,00 23,50 4,70 64,40 12,90 24,40 4,70

16c 3,220 24,50 3,00 23,50 4,70 64,40 12,90 24,40 4,70

16d 5,000 22,00 7,00 21,30 9,30 58,00 25,60 25,50 9,30

16e 5,000 22,50 9,00 21,30 9,30 58,00 25,60 25,50 9,30

17 0,470 11,60 7,00 11,30 9,00 13,00 10,40 11,50 9,00

18 0,410 12,70 6,00 14,20 8,90 17,90 11,20 14,60 8,90

19 1,020 46,00 42,10 55,50 44,40

20 0,024 3,80 0,00 1,58 0,00 7,50 0,00 4,50 0,00

21 0,024 3,80 0,00 1,64 0,00 7,34 0,00 4,40 0,00

22 0,024 3,80 0,00 1,70 0,00 7,40 0,00 4,44 0,00

23 0,024 3,80 0,00 1,82 0,00 7,17 0,00 4,30 0,00

24 0,024 3,80 0,00 1,90 0,00 6,98 0,00 4,19 0,00

25 0,024 4,20 0,00 1,42 0,00 6,17 0,00 3,70 0,00

26 0,024 4,20 0,00 1,51 0,00 6,17 0,00 3,70 0,00

27 0,024 4,20 0,00 1,62 0,00 5,75 0,00 3,45 0,00

28 0,024 4,20 0,00 1,75 0,00 5,58 0,00 3,35 0,00

29 0,024 4,20 0,00 1,84 0,00 5,72 0,00 3,43 0,00

30 0,105 4,90 0,00 5,00 0,00 6,02 0,00 5,20 0,00

31 1,650 11,70 8,30 11,80 4,10 12,95 4,50 11,80 4,10

32 0,598 1,83 1,08 3,39 0,75 3,72 0,81 3,49 0,75

33 0,680 9,43 0,00 3,24 0,00 24,00 0,00 8,00 0,00

34 0,950 6,60 4,53 4,30 0,49 7,78 0,89 6,05 0,49

28 VIGGIANI


o flessibile e non in diretto contatto con il terreno.L’ipotesi di struttura di collegamento infinitamenteflessibile conduce anche ad una valutazione ragio-nevolmente cautelativa dei cedimenti differenziali.

Conclusioni analoghe possono essere tratte perlo studio dell'interazione (ripartizione del carico frapiastra e pali; distribuzione del carico sui pali; carat-teristiche della sollecitazione nella piastra). Le diffe-renze rispetto alla previsione del cedimento risiedo-no nella necessità di considerare l'interazione pia-stra-terreno, e nella maggiore difficoltà di reperi-mento di soluzioni teoriche e di risultati sperimen-tali di confronto. Anche per questi argomenti,comunque, si dispone ormai di semplici ed affidabilialgoritmi di analisi [VIGGIANI, 1998; RUSSO, VIGGIANI,1998].

Per tornare al discorso iniziale, sembra quindidi poter concludere che le teorie esistenti sono suf-ficienti ai fini delle applicazioni di ingegneria; i con-tributi più recenti hanno provato che una maggioreattenzione alle relazioni di corrispondenza è moltopiù importante di ulteriori affinamenti della teoria.In proposito è interessante osservare che RANDOLPH

[1994] indica in ± 20% la fascia entro la quale pos-sono variare i risultati dell’analisi numerica di unapalificata con un elevato numero di pali, al variaredell’algoritmo di calcolo adottato, anche a parità diipotesi di base. Come si è visto, scarti dello stesso or-dine si ottengono dal confronto fra analisi e risultatisperimentali. Sembra quindi che il livello dei proce-dimenti di analisi attualmente disponibili sia ade-guato al problema in studio.

3. Progetto delle fondazioni su pali

3.1. Viadotto sul fiume Garigliano

Per introdurre la problematica del progetto del-le fondazioni su pali, descriveremo dapprima un’in-dagine in vera grandezza che ha riguardato le fon-dazioni di un viadotto sul fiume Garigliano [MANDO-LINI, VIGGIANI, 1992a; MANDOLINI et al., 1997]. Il via-dotto comprende due campate strallate della luce diquasi cento metri ciascuna, che sono state costruitecon conci prefabbricati montati a sbalzo dalla pila n.7, installando via via anche gli stralli; durante tuttala costruzione, perciò, i carichi agenti sulla fonda-zione erano noti con grande precisione, essendo lastruttura isostatica per vincoli esterni.

I terreni di fondazione sono costituiti da un de-posito di limi argillosi di consistenza media o ridot-ta, che giunge ad una profondità di circa 50 m dovesi rinviene un substrato ghiaio-sabbioso; lenti di sab-bia ed orizzonti organici sono presenti a varie pro-fondità. Nel sito della pila 7, fra le profondità di 10e 18 m circa, si rinviene uno strato di sabbia. Lo

schema della fondazione ed il profilo stratigraficodel terreno sono riportati in Fig. 12, assieme al pro-filo della resistenza alla punta qc di prove CPT, aivalori del rapporto di sovraconsolidazione OCR ot-tenuti da prove DMT ed ai valori di Go dedotti damisure in sito della velocità delle onde di taglio conmetodo Cross Hole.

La fondazione della pila (Fig. 13) è costituita dauna piastra rettangolare con dimensioni in pianta di10,6×19 m2 e spessore variabile fra 2 e 4 m, pog-giante su 144 pali tubolari in acciaio battuti con unmandrino in due sezioni da 24 m saldate in opera, epoi riempiti con calcestruzzo. La sezione inferioredel palo ha un diametro esterno di 35,6 cm, la supe-riore di 40,6 cm; lo spessore del tubo è pari a 6 mm.La piastra è circondata da una coronella di pali tri-vellati del diametro di 80 cm e della lunghezza di 13m, aventi la duplice funzione di sostegno delle pare-ti dello scavo per la realizzazione della fondazione edi protezione dallo scalzamento da parte del fiume;in ogni caso la piastra di fondazione è sconnessa daipali trivellati al suo perimetro.

Sono state eseguite prove di carico di collaudosu tre pali appartenenti alla fondazione della pila,ed una prova di carico a rottura su di un palo pilota.

Il carico totale sulla fondazione è pari a 113MN. Il carico limite del palo singolo, determinatocon la prova di carico, era di circa 3 MN; con un co-efficiente di gruppo pari a 0,7, il coefficiente di sicu-rezza dei pali risultava di 0,7×3×144/113 = 2,6.Siamo quindi in presenza di un progetto secondol’approccio convenzionale a rottura della normativavigente.

Durante la costruzione e per circa quattro annidopo il suo termine la fondazione è stata oggetto diun accurato monitoraggio, con misura del cedimen-to e dei carichi trasmessi dalla piastra a 35 dei 144pali [MANDOLINI et al., 1992; RUSSO, VIGGIANI, 1995].L’ubicazione degli strumenti di misura è riportatain Fig. 13.

Un’approfondita disanima dei risultati ottenutiè riportata in altra sede [MANDOLINI et al., 1997]. Perquello che qui interessa, ricordiamo che nel luglio1997, tre anni dopo il completamento dell’opera, ilcedimento totale misurato ammontava a circa 50mm; alla stessa data l’aliquota di carico trasmessa aipali ammontava a circa l’80% del carico totale, e sa-liva al 96% riferendo il calcolo al carico netto e nontenendo conto del peso proprio della fondazione.

Il cedimento della fondazione è stato calcolatocon i programmi GRUPPALO e NAPRA secondo la pro-cedura NL descritta in precedenza; in Fig. 14 sonoriportati i risultati ottenuti assieme ai cedimenti mi-surati. Il confronto appare molto soddisfacente perentrambi i programmi, e conferma che ai fini delcalcolo dei cedimenti la considerazione del contattodiretto fra piastra e terreno non è molto importan-te.


GENNAIO-MARZO 2001

In Fig. 15, infine, è riportato un paragone fra ladistribuzione dei carichi sui pali determinata speri-mentalmente al termine della costruzione e quellaottenuta dall’analisi con il programma NAPRA. Neivalori misurati è evidente l’effetto della rigidezzadella piastra (carichi più elevati sui pali periferici) edella presenza della pila (carichi più elevati per i pa-li disposti al di sotto del fusto). L’accordo fra previ-sioni e misure è accettabile.

3.2. Edificio per civili abitazioni a Londra

Il caso qui in esame è riportato da COOKE et al.[1981]. L’edificio è fondato su di una piastra condimensioni in pianta di 44×20,8 m2 e spessore di0,9 m; la piastra poggia su 351 pali trivellati dellalunghezza di 13 m e del diametro di 450 mm, di-sposti secondo una maglia regolare con interasse di1,6 m (Fig. 16). Il sottosuolo è costituito da un bancodi grande spessore di Argilla di Londra che, come ènoto, è un’argilla sovraconsolidata abbastanza omo-genea. Nel sito in esame, denominato StonebridgePark, la coesione non drenata cu variava tra 100 kPaa 3 m e 260 kPa a 25 m di profondità.

Il carico limite della piastra di fondazione puòessere valutato in circa 700 MN, mentre il caricopermanente totale è di circa 156MN. In questo caso,quindi, una fondazione diretta sarebbe stata dotata

Fig. 12 – Viadotto sul fiume Garigliano; terreni di fondazione della pila n. 7.

Fig. 13 – Fondazione della pila n. 7 del ponte sul Garigliano.

30 VIGGIANI


di un coefficiente di sicurezza più che sufficiente, edi pali sono stati evidentemente adottati per limitarei cedimenti dell’edificio.

Il carico limite del palo singolo, determinatocon le prove di carico, è pari a circa 1,6 MN; adot-tando un fattore di gruppo di 0,7, il carico totalepuò essere sopportato dai soli pali con un coeffi-ciente di sicurezza pari a 0,7×1,6×351/156 = 2,52.Anche questo, quindi, è un esempio tipico dell’ap-proccio convenzionale di progetto.

Anche per questo caso erano disponibili misuredel cedimento e degli sforzi trasmessi ad alcuni pali.

Il cedimento medio della palificata è risultato pari a18 mm. Le misure del carico trasmesso ai pali de-nunciano il verificarsi di un sensibile effetto di bor-do; si osserva inoltre che l’aliquota di carico tra-smessa ai pali ammonta a circa il 55% del carico to-tale nelle fasi iniziali della costruzione, e cresce finoal 75% al termine.

Il comportamento della fondazione è stato ana-lizzato con il programma NAPRA. In Fig. 17 è ripor-tato un confronto fra i risultati delle analisi e le os-servazioni sperimentali in termini di cedimento. Incondizioni non drenate, si calcola che ai pali vengatrasmesso circa l’80% del carico; tale aliquota diven-ta prossima al 100% in condizioni drenate. L’accor-do fra comportamento osservato e risultati delleanalisi appare quindi anche in questo caso soddisfa-cente.

4. Studi di ottimizzazione

4.1. Di più con meno

In un recentissimo congresso del Deep Founda-tions Institute a New York, riflettendo sulle prospetti-ve dell'industria delle fondazioni, RESSI DI CERVIA

[2000] ha messo l'accento sulla necessità di fare piùcon meno (doing more with less). In questo modo si ri-sparmiano risorse, si protegge l’ambiente e si per-viene ad una soluzione più elegante3.

Ancora più di recente, e con ampie e convincen-ti argomentazioni, MORGENSTERN [2000] ha sottoli-neato come una delle maggiori sfide che attendel’Ingegneria Geotecnica nel prossimo futuro siaquella della protezione dell'ambiente e dello svilup-po sostenibile.

Ma esiste uno spazio per questo tipo di argo-menti nel contesto dell’analisi e del progetto dellepalificate di fondazione?

Per tentare una risposta, riprendiamo in esame idue casi presentati in precedenza, e cioè la pila 7 delviadotto sul Garigliano e l’edificio di StonebridgePark. Avendo messo a punto in entrambi i casi unmodello numerico del complesso terreno-opera difondazione che interpreta in modo molto fedele ilcomportamento osservato, lo stesso modello può es-sere utilizzato per esplorare quali sarebbero state leconseguenze di una sostanziale riduzione del nume-ro di pali. Insomma, un esercizio di ingegneria ba-sata sul metodo scientifico.

I risultati di questo esercizio per il primo casosono riportati in Fig. 18, nella quale il cedimento wè diviso per il valore w144 che si è riscontrato nellaconfigurazione adottata con 144 pali; si è assuntoche i pali continuino ad essere uniformemente di-stribuiti al di sotto dell'intera piastra. La Fig. 18 mo-stra in modo molto evidente che una riduzione del

Fig. 14 – Pila n. 7 del ponte sul Garigliano; confronto fra cedi-menti calcolati e misurati [MANDOLINI et al., 1997].

Fig. 15 – Pila n. 7 del ponte sul Garigliano. Confronto fra lemisure (in alto) e le previsioni ottenute con NAPRA (in basso) del-la distribuzione dei carichi fra i pali [MANDOLINI et al., 1997].


GENNAIO-MARZO 2001

numero di pali anche sostanziale produce un incre-mento di cedimento molto ridotto. Dividendo addi-rittura per quattro il numero di pali il cedimento siincrementa solo del 20% circa. Sembra esistere, per-tanto, un notevole margine per un progetto moltopiù economico di quello tradizionale.

Nella stessa Fig. 18 è riportato il carico Qr tra-smesso direttamente dalla piastra al terreno, in per-centuale del carico totale Q. Dividendo per quattroil numero di pali, Qr/Q cresce fino al 28% circa.

Per quanto riguarda l’edificio di StonebridgePark, i risultati ottenuti, mantenendo invariato loschema di pali uniformemente distribuiti su tuttal’area di impronta della piastra di fondazione, sonoriportati in Fig. 19. Al diminuire del numero di pali,il cedimento medio si incrementa, ma molto lenta-mente. Ad esempio, dimezzando il numero dei paliil cedimento medio aumenta solo del 12,5% mentreil carico trasmesso ai pali aumenta dell’80%, Con117 pali, e cioè un terzo di quelli della soluzione di

Fig. 16 – Pianta e sezione di un edificio a Stonebridge Park, Londra [COOKE et al., 1981].

32 VIGGIANI


progetto, il cedimento si incrementa del 50% ed ilcarico sui pali si moltiplica per 2,4. Il cedimento dif-ferenziale si incrementa rispettivamente del 17% edel 32%. Il potenziale per fare di più con meno sem-bra evidente.

4.2. Criteri di ottimizzazione

Una soluzione di progetto che realizzi il massi-mo di economia continuando a garantire un com-portamento soddisfacente, può essere definita unasoluzione ottimizzata. Naturalmente, è necessariostabilire che cosa si intende con “comportamentosoddisfacente”; a tal fine occorre far riferimento alleconsuetudini e, soprattutto, alle raccomandazionied alle normative vigenti.

Nel progetto di una piastra di fondazione su pa-li, oltre che ad un valore del coefficiente di sicurezzail requisito di comportamento soddisfacente può es-sere riferito ad aspetti quali il valore medio del ce-dimento, il cedimento differenziale e le distorsioniche ne conseguono, le caratteristiche della sollecita-zione nella piastra. L’uno o l’altro di questi aspettipossono prevalere, a seconda del problema in esa-me.

Per esaminare l’argomento, appare convenienteclassificare le piastre di fondazione su pali in due ca-tegorie: le fondazioni “piccole” e quelle “grandi”. Aifini che qui interessano, esse possono essere definitecome segue:– le fondazioni “piccole”, indicate in genere come

plinti o zattere su pali, sono quelle per le quali ilcarico limite della piastra senza pali non è suffi-ciente per garantire un adeguato coefficiente disicurezza rispetto al carico esterno; i pali vengo-no quindi adottati per garantire un soddisfacen-te livello di sicurezza. Generalmente la dimen-sione minore in pianta B della fondazione èdell’ordine di alcuni metri (tipicamente 5 m ≤B ≤ 15 m); la larghezza B della fondazione è ge-neralmente minore della lunghezza L dei pali(B/L < 1). In questo campo di dimensioni, la ri-gidezza flessionale della piastra può essere mol-to elevata, ed in genere si tende appunto a rea-lizzare tale condizione; pertanto i cedimenti dif-ferenziali sono assai ridotti e possono essere tra-scurati. Il requisito di progetto consiste nel con-tenere il cedimento medio della fondazione e,subordinatamente, le caratteristiche della solle-citazione nella piastra;

– le “grandi” piastre di fondazione su pali, detteanche platee su pali, sono quelle per le quali il ca-rico limite della sola piastra è sufficiente per sop-portare il carico esterno con un adeguato margi-ne di sicurezza, e quindi l’aggiunta dei pali ha loscopo essenziale di ridurre l’entità dei cedimenti.La rigidezza flessionale della piastra non può che

Fig. 17 – Edificio a Stonebridge Park; confronto fra cedimenticalcolati e misurati [MANDOLINI et al., 1997].

Fig. 18 – Pila n. 7 del ponte sul Garigliano. Variazioni del ce-dimento e della ripartizione del carico fra piastra e pali al varia-re del numero di pali [RUSSO, VIGGIANI, 1998].

Fig. 19 – Edificio a Stonebridge Park. Variazioni del cedimentoe della ripartizione del carico fra piastra e pali al variare del nu-mero di pali [RUSSO, VIGGIANI, 1998].


GENNAIO-MARZO 2001

essere relativamente ridotta, ed il requisito diprogetto consiste nella limitazione del cedimentomedio e, soprattutto, dei cedimenti differenzialie delle distorsioni conseguenti. La larghezza Bdella piastra è generalmente maggiore della lun-ghezza L dei pali (B/L > 1).RANDOLPH [1994] suggerisce una suddivisione

dello stesso tipo riferita al parametro (mo-

dified aspect ratio), dove n rappresenta il numero dipali ed s il loro interasse. Secondo Randolph, per unprimo calcolo del cedimento la palificata può essereassimilata ad un palo equivalente per R ≤ 2; può es-sere invece assimilata ad una fondazione diretta perR 4. È facile verificare che il primo caso ricade nelcampo delle piastre che abbiamo chiamato piccole,il secondo in quello delle piastre grandi4.

La suddivisione proposta è largamente arbitra-ria ed ha la sola finalità di sviluppare una compren-sione dell’influenza dei vari fattori in casi tipici.

4.3. Plinti e zattere su pali

Per indagare l’influenza di alcuni fattori sull'ot-timizzazione del progetto di una “piccola” piastra supali, è stato condotto uno studio parametrico delproblema rappresentato in Fig. 20; si tratta di unapiastra quadrata di lato B = 15 m, soggetta ad uncarico uniforme q e poggiante su 9, 25 o 49 pali conrapporto fra interasse s e diametro d variabile nelcampo da 3 a 10. La rigidezza relativa della piastrarispetto al terreno è abbastanza elevata (Krs = 1)5; ilsottosuolo è modellato come un semispazio elastico(H/L = ); sono stati considerati tre valori del rap-porto L/d (30, 60 e 90) e tre valori del rapporto B/L(1,0; 0,5; 0,33), due valori del diametro (d = 0,5 me d = 1 m) ed un valore di k = Ep/E = 1000. Indi-cheremo con

l’area che inviluppa in pianta il gruppo di pali, e cheè non maggiore dell'area A = B2 della piastra. Il rap-porto Ag/A caratterizza la disposizione dei pali al disotto della piastra. Per una distribuzione uniforme sututta l'area della piastra, Ag/A tende all'unità (in pra-tica, per una piastra “piccola”, assume valori dell'or-dine di 0,8-0,9). In ogni caso, il nostro studio consi-dera un gruppo di pali quadrato, disposto nella zonacentrale della piastra; al variare di s e del numero dipali varia ovviamente il valore di Ag/A. Valori di Ag/Amolto minori dell'unità caratterizzano gruppi di paliconcentrati nella zona centrale della piastra.

I risultati dello studio parametrico, svolto inipotesi di elasticità lineare, sono rappresentati nelleFigg. 21 e 22.

Il carico Qr direttamente trasmesso dalla piastraal terreno , espresso come percentuale del carico tota-le Q = qB2, è riportato in funzione di Ag/A in Fig. 21.I tre diagrammi si riferiscono a tre diversi valori delrapporto L/B; i risultati delle analisi, rappresentaticon punti, sono relativi a diversi valori degli altri pa-rametri considerati (L/d, s/d). Nel campo di para-metri considerato la ripartizione del carico fra pia-stra e pali non è apprezzabilmente influenzata daquesti ultimi parametri né dal numero di pali, madipende essenzialmente da L/B e da Ag/A.

Il cedimento medio w della piastra su pali,espresso come percentuale del cedimento medio wr

della piastra senza pali, è riportato in Fig. 22; il ce-dimento medio della piastra senza pali risulta pari a[FRASER, WARDLE, 1976]:

wr = IwqB/E

nella quale il coefficiente d’influenza Iw risulta fun-zione della forma e della rigidezza della fondazione,oltre che del modello di sottosuolo e del valore delcoefficiente di Poisson.

Ancora una volta i risultati delle analisi mostra-no che i parametri influenti sul cedimento sono irapporti B/L e Ag/A.

Fig. 20 – Piastra su pali “piccola”. Caso considerato nello studioparametrico [RUSSO, VIGGIANI, 1998].

34 VIGGIANI


Risultati del tipo di quelli riportati nelleFigg. 21 e 22 possono essere utilizzati per un di-mensionamento preliminare. Ad esempio, le nuovenorme italiane sulle fondazioni, attualmente in fasedi preparazione, prevedono la possibilità di tenereconto della collaborazione fra pali e piastra. A tal fi-ne esse richiedono preliminarmente un'analisidell'interazione fra tali elementi, onde stabilire la ri-partizione fra di essi del carico esterno; una volta ot-tenuta tale ripartizione, occorre verificare che cia-scuno dei due elementi sia dotato di un adeguatomargine di sicurezza rispetto alla rottura. Con talerequisito, diagrammi del tipo di quelli di Figg. 21 e22 possono essere usati per scegliere il numero e lecaratteristiche dei pali che ottimizzano il progetto.

Si noti che, per i valori relativamente elevati delcoefficiente di sicurezza che si impongono, un'ana-lisi linearmente elastica può essere considerata ac-cettabile.

A titolo di esempio, proviamo ad applicare il cri-terio suggerito dalla bozza di nuova normativa allafondazione della pila n. 7 del viadotto sul Garigliano;quest'ultima, infatti, è una piastra “piccola” nel sensosopra precisato, in quanto B/L ♠ 0,2 e R ♠ 1,4.

Il carico limite della piastra senza pali può esse-re valutato in circa 112 MN; con un coefficiente disicurezza pari a tre, quale compete alle fondazionidirette, la nuova normativa italiana consentirebbedi assegnare alla piastra un carico massimo pari a112/3 = 38 MN. Ricordando che il carico totaleagente sulla fondazione è pari a 113 MN, ai pali do-vrebbero essere affidati 113 – 38 = 75 MN. Ricor-dando che il carico limite del palo singolo è pari a3 MN, ed assumendo sempre un coefficiente digruppo pari a 0,7, questo porta ad un numero di pa-li pari a (2,5×75)/(3×0,7) = 90. Se ci si accontentaper i pali di un coefficiente di sicurezza pari a 2, co-me è permesso dalla normativa quando il carico li-mite del palo singolo sia stato determinato con pro-ve di carico a rottura su pali pilota, il numero di pali

richiesto scende addirittura a 72, e cioè esattamentealla metà dei pali effettivamente impiegati. Sembraquindi possibile realizzare un risparmio molto signi-ficativo rispetto alla soluzione di progetto con 144pali, tenuto conto che il cedimento medio si incre-menta di poco (v. Fig. 18).

Un’analisi dell'interazione mostra però che, con90 o 72 pali uniformemente ripartiti al di sotto dellapiastra (Ag/A = 0,9), il carico assorbito dalla piastraammonta circa al 15% e al 12% del carico totale(Fig. 18); soluzioni siffatte, quindi, non sarebberocompatibili con la nuova normativa. Perché la pia-stra assorba all'incirca un terzo del carico totale, oc-corre che il rapporto Ag/A scenda a valori dell'ordi-ne di 0,5 o minori.

La Fig. 23 mostra due soluzioni nelle quali talecondizione è soddisfatta, e che sarebbero quindiammissibili secondo la nuova normativa italiana inpreparazione.

4.4. Platee su pali

Nella Fig. 24 è riportato lo schema di una pia-stra di fondazione su pali “grande”, sulla quale è sta-to condotto un ampio studio parametrico tendentead evidenziare l'influenza sul progetto di diversi fat-tori; nella stessa figura sono riportate le grandezzeprese in esame ed il loro campo di variazione. A dif-ferenza del caso delle piastre “piccole”, per questostudio si è ritenuto necessario tenere conto dellanon linearità di comportamento dei pali; in effetti,come si vedrà, il campo di carichi esplorato è taleche, in molti casi, ai pali vengono trasmesse azioniprossime al loro carico limite.

In Fig. 25 sono riportate le relazioni fra il caricototale applicato alla piastra ed il suo cedimento me-dio, per alcune delle configurazioni esaminate. Nel-la stessa figura sono riportate le aliquote del caricoapplicato che, ai vari livelli di carico, vengono tra-

Fig. 22 – Piastra di Fig. 20. Cedimento medio per diverse com-binazioni dei parametri [RUSSO, VIGGIANI, 1998].

Fig. 21 – Piastra di Fig. 20. Aliquota del carico totale trasmessadirettamente dalla piastra al terreno per diverse combinazionidei parametri [RUSSO, VIGGIANI, 1998].


GENNAIO-MARZO 2001

smesse al terreno direttamente dalla piastra e attra-verso i pali; sono anche riportati i valori del coeffi-ciente di sicurezza convenzionale della piastra e deipali, valutati rispettivamente rispetto al carico limitedella piastra senza pali e rispetto al carico limite delsingolo palo moltiplicato per il numero di pali6. In-fine è riportata, con una retta a tratti, la relazionefra carico medio e cedimento della piastra senza pa-li.

Come si ricorderà, il codice NAPRA assume che ilcomportamento del complesso terreno-piastra sialineare; a causa di questo limite, la significatività deirisultati tende a diminuire man mano che il caricocresce. Si ritiene, però, che i risultati possanosenz'altro essere considerati accettabili finché il co-efficiente di sicurezza FSR della piastra si mantienenon minore di 2,5.

Per i casi considerati, risulta evidente la non li-nearità del comportamento dei pali. Risulta ancheevidente che l'aggiunta dei pali non modifica signi-

ficativamente il valore del cedimento medio che siavrebbe in assenza di pali.

Quale è livello di carico al quale fermarsi nellecondizioni di esercizio? Senza una preliminare scel-ta di tale livello, ogni studio di ottimizzazione appa-re privo di fondamento.

Nel caso in esame, se si adottasse una fondazionediretta, questa potrebbe sopportare un carico totaledi 800 MN con il prescritto coefficiente di sicurezzadi tre e con un cedimento istantaneo di 270 mm; atale cedimento istantaneo corrisponderà un cedi-mento finale almeno doppio. L’adozione di pali po-trebbe allora avere la finalità di ridurre il valore delcedimento.

Se adottassimo il criterio di progetto convenzio-nale, e cioè affidassimo tutto il carico ai pali con uncoefficiente di sicurezza pari a 2 ed un coefficiente digruppo pari a 0,7, per portare gli stessi 800 MN oc-correrebbero 144 pali da 1 m di diametro e 45 m dilunghezza, oppure 256 pali sempre da 1 m di diame-tro e 31,5 m di lunghezza. Sotto un carico di 800 MNe con Ag/A ♠ 1 (pali uniformemente distribuiti sottotutta la fondazione), queste due soluzioni danno luo-go rispettivamente ad un cedimento istantaneo me-

Fig. 23 – Differenti configurazioni possibili della palificata difondazione della pila n. 7 del ponte sul Garigliano, secondo lanuova normativa italiana in preparazione.

Fig. 24 – Piastra su pali “grande”. Caso considerato nello studioparametrico.

36 VIGGIANI


dio di 180 e 190 mm. In questo caso, quindi, per legrandi dimensioni della piastra, l’aggiunta di pali,anche in numero rilevante, non porterebbe ad alcunsostanziale vantaggio in termini di cedimento medio.

Per adottare il criterio di progetto suggerito dallabozza di nuova normativa italiana, dovremo indivi-duare una soluzione con un’appropriata ripartizionedel carico fra pali e piastra. Le configurazioni allequali si riferisce la Fig. 25, infatti, non rendono possi-bile applicare tale criterio sfruttando al massimo am-bedue gli elementi. Come si vede, in alcuni casi è vin-colante la condizione che il coefficiente di sicurezzadei pali sia non minore di 2 (Fig. 25a); in altri risultainvece vincolante la condizione che il coefficiente disicurezza della piastra sia non minore di 3 (Fig. 25b).

Una configurazione appropriata è quella rap-presentata in Fig. 26, con 49 pali da 1 m di diame-tro e 42 m di lunghezza. Per tale configurazionedella fondazione l’applicazione della bozza di nuo-va normativa consentirebbe di raggiungere un ca-rico di lavoro pari a 1.120 MN, con un cedimentodi 325 mm. La nuova norma, quindi, consentireb-be di ottenere… di più con meno; il cedimento me-dio, peraltro, resterebbe molto elevato.

Tutto sommato, è probabile che un’analisi costi-benefici indicherebbe per questo caso la fondazionediretta come la soluzione più conveniente.

Queste osservazioni possono essere generalizza-te, per il caso in esame, utilizzando i risultati dellostudio parametrico. Ad esempio, nella Fig. 27 sonoriportati i valori dell’aliquota Qr/Q del carico totaletrasmessa direttamente dalla piastra al terreno. Adifferenza di quanto avveniva per la piastra “picco-la” (Fig. 21), al variare della lunghezza, del numeroe della disposizione dei pali, tale aliquota si modifi-ca molto significativamente; l’unico parametro chesembra non avere grande influenza è la rigidezzarelativa piastra terreno Krs. Tuttavia queste variazio-ni nella ripartizione del carico fra pali e piastra nonhanno un’influenza altrettanto significativa sul cedi-mento, che varia di poco (Fig. 28); mentre l’aliquotadi carico assorbita dai pali varia quasi fra 0 e 100%,il cedimento varia al massimo di circa il 25%.

Questi risultati, e molti altri dello stesso tipo, por-tano a concludere che, per una platea su pali fondatasu terreni deformabili di elevato spessore, l’aggiuntadi pali anche in notevole quantità non ha un effettomolto incisivo sul valore medio del cedimento.

Il quadro cambia se si passa dalla considerazio-ne del coefficiente di sicurezza e del cedimento me-dio alla considerazione del cedimento differenziale.Nell’analisi che segue prenderemo in esame il cedi-mento differenziale δ fra lo spigolo ed il centro dellapiastra, che è anche il cedimento differenziale mas-simo;

Per la piastra senza pali e per le due rigidezze re-lative considerate, si ottengono i valori del cedimentoassoluto e differenziale riportati nella Tab. III.

Come si vede, si tratta di valori alquanto elevatii quali, in linea generale, potrebbero risultare in-compatibili con la sicurezza o la funzionalità di una

Fig. 25 – Relazioni fra il carico applicato alla piastra e il suo ce-dimento medio, e ripartizione del carico fra piastra e pali, per al-cune delle configurazioni esaminate.

a)

b)

Fig. 26 – Piastra di Fig. 24. Progetto secondo la bozza di nuovanormativa italiana.

Tab. III – Cedimento medio e differenziale della piastra di Fig.24 senza pali (Q = 800 MN).

Krs wr (mm) δr (mm)

0,01 270 183

0,10 262 94


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sovrastruttura. Si nota anche che, passando dal va-lore più ridotto a quello più elevato della rigidezzarelativa7, il cedimento medio rimane praticamenteinalterato mentre il cedimento differenziale, pur di-mezzandosi, resta comunque elevato. Ciò confermache, per le piastre “grandi”, la rigidezza flessionaledella piastra – nel campo dei valori possibili – nonha un’influenza molto grande sul processo di intera-zione.

Sembra invece interessante esplorare un uso deipali mirato a ridurre non tanto il valore medio delcedimento, ma il cedimento differenziale e le conse-guenti distorsioni. La bozza di nuova normativa in-troduce a questo proposito un concetto innovativo,quando recita: “Se i pali sono impiegati solo con funzio-ne di riduzione e regolazione dei cedimenti della fondazio-ne, il carico limite di quest’ultima deve essere valutato conriferimento alla sola piastra”.

Fig. 27 – Piastra di Fig. 24. Aliquota del carico totale trasmessa direttamente dalla piastra al terreno per diverse combinazioni dei pa-rametri.

38 VIGGIANI


Per esaminare l’argomento utilizzando i risultatidello studio parametrico effettuato sulla piastra diFig. 24, ci riferiremo allora al livello di carico di 800MN, che è quello ammissibile per la piastra senza

pali; in altri termini, il senso dello studio è quello divalutare l’effetto sui cedimenti differenziali e sulleconseguenti distorsioni dell’aggiunta di pali ad unafondazione diretta. Nello stesso spirito, il cedimento

Fig. 28 – Piastra di Fig. 24. Cedimento medio per diverse combinazioni dei parametri.


GENNAIO-MARZO 2001

differenziale non verrà espresso in valore assoluto,ma rapportato al corrispondente valore δr relativoalla piastra senza pali.

Nella Fig. 29 [CORTUCCI, 1999; SAVIGNANO,2000], per i due valori di Krs, sono riportati i valoridi δ/δr che si ottengono per le varie configurazioniin esame, in funzione del prodotto nL fra il numerodi pali e la loro lunghezza, che esprime la quantitàtotale di pali adottata per ciascuna configurazione.Per ciascuna delle lunghezze di palo prese in esame,

risulta che il cedimento differenziale è minimo pers = 3d; pertanto, in uno studio di ottimizzazione,potremo fare appunto riferimento per semplicitàsolo a tale valore. Si ottengono così i diagrammi del-la Fig. 30.

L’esame di tali diagrammi consente di trarre leseguenti conclusioni che, beninteso, sono valide arigore solo per il caso preso in esame:– l’aggiunta di pali alla fondazione diretta con-

sente significative riduzioni del cedimento diffe-

Fig. 29 – Piastra di Fig. 24. Riduzione del cedimento differenziale massimo conseguente all’aggiunta di pali, in funzione della quantitàtotale di pali e per diverse combinazioni dei parametri.

40 VIGGIANI


renziale, fino all’annullamento e addirittura adun’inversione del segno;

– la riduzione del cedimento differenziale aumen-ta al crescere di L, ma con gradiente decrescen-te. A parità di quantità totale di pali, convieneadottare un minor numero di pali di maggiorelunghezza;

– per ogni valore di L esiste un valore ottimaledella quantità di pali nL, per il quale si verificala massima riduzione del cedimento differenzia-

le. Tale valore corrisponde a valori del rapportoAg/A compresi fra 0,3 e 0,4, e cioè a gruppi dipochi pali disposti nella zona centrale della fon-dazione.Ad esempio, adottando 81 pali della lunghezza

di 31,5 m (nL = 2.552 m), il cedimento differenzia-le si riduce al 15% del valore relativo alla fondazio-ne diretta per Krs = 0,01, ed addirittura al 2% perKrs = 0,10. Lo stesso effetto potrebbe essere otte-nuto in entrambi i casi con 30 pali della lunghezza

Fig. 30 – Piastra di Fig. 24. Riduzione massima del cedimento differenziale massimo conseguente all’aggiunta di pali, in funzione dellaquantità totale di pali.


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di 45 m (nL = 1.350 m). Basta quindi l’aggiunta diun numero relativamente ridotto di pali, possibil-mente di lunghezza relativamente elevata e con-centrati nella parte centrale della fondazione, perridurre sostanzialmente, fino ad annullarlo, il cedi-mento differenziale.

Vediamo ora quale risulta la situazione di questaconfigurazione di progetto nei riguardi del coeffi-ciente di sicurezza.

Se volessimo adottare il criterio convenzionaledi progetto, che affida tutto il carico ai pali e nontiene conto del contributo della struttura di colle-gamento, è evidente che le soluzioni trovate sareb-bero inammissibili. Le soluzioni sopra descrittedovrebbero essere soggette ad un carico di lavoronon maggiore, rispettivamente, di soli 380 MN e235 MN.

Ma anche se volessimo adottare il criterio sug-gerito dalla bozza di nuova normativa italiana trove-remmo valori del massimo carico di lavoro pari ri-spettivamente a 950 MN e 1080 MN per Ksr = 0,01,e a 900 MN e 780 MN per Krs = 0,10 . Paradossal-mente, quindi, l’aggiunta di un certo numero di palipotrebbe addirittura provocare una diminuzionedel carico ammissibile rispetto a quello della piastrasenza pali.

Nel caso delle platee di fondazione, quindi,sembra evidente che si debba seguire la seconda in-dicazione della bozza di nuova normativa. Con que-sta, il carico massimo ammissibile resta limitato ad800 MN, ma con pochi pali si possono praticamenteannullare i cedimenti differenziali.

Come si vede, la ricerca della soluzione ottimaleè molto laboriosa, e fortemente influenzata dalla de-finizione stessa di soluzione ottimale.

Quando poi si passa ad esaminare un caso reale,nel quale la stratigrafia può avere caratteristichemolto diverse da quelle semplici e quasi uniformiche sono state qui considerate, il numero di fattorida portare in conto aumenta ulteriormente. Bastipensare al caso, relativamente frequente, di stratodeformabile di spessore finito poggiante su di unsubstrato di materiale molto poco deformabile, e dipali poggianti di punta su tale substrato; per tale si-tuazione, tutte le considerazioni svolte si modificanoprofondamente. Notevole influenza può avere inpratica anche la distribuzione dei carichi esterni,che può suggerire disposizioni dei pali diverse daquella addensata al centro della piastra.

Ralph Peck ci ammonisce che: Theory and calcu-lations are not substitute for judgement, but are the basisfor sounder judgement. Gli studi di ottimizzazioneche abbiamo presentato ci hanno portato alla con-clusione che la ricerca di criteri generali di ottimiz-zazione è vana; tuttavia essi sono molto utili persviluppare una più approfondita comprensione

dei meccanismi di interazione. Nei casi applicativi,i procedimenti di analisi potranno allora essere ap-plicati a ciascun caso con le sue specificità, ricer-cando la soluzione ottimale non in astratto ma peril caso dato.

A titolo di esempio, ritorniamo al caso dell’edi-ficio di Stonebridge Park. Per esso, come si è visto,il carico limite della sola piastra senza pali è ampia-mente sufficiente a garantire un adeguato coeffi-ciente di sicurezza rispetto ai carichi esterni, e quin-di ai pali è affidato solo il compito di controllare ilcedimento. Inoltre, come si è visto, il cedimento as-soluto è alquanto ridotto (18 mm), e non aumentasignificativamente al ridursi del numero di pali;sembra quindi appropriato ricercare una disposi-zione dei pali che faccia diminuire il cedimento dif-ferenziale, nello spirito della seconda indicazionedella bozza di normativa.

Nella Fig. 31 è riportato l’andamento del cedi-mento differenziale δ al variare del numero e delladisposizione dei pali nell’area centrale della fonda-zione, e cioè al variare del rapporto Ag/A. Come si ve-de, con un rapporto Ag/A pari al 30%, solo 40 pali so-no sufficienti ad ottenere lo stesso cedimento diffe-renziale che si verifica con 351 pali ed Ag/A = 88%.

5. Considerazioni conclusive

Abbiamo mostrato come esistano ormai meto-dologie ben consolidate per l’analisi dell’interazio-ne terreno-struttura (calcolo del cedimento medio edifferenziale; ripartizione dei carichi fra piastra epali; distribuzione dei carichi sui pali; caratteristi-che della sollecitazione nella piastra) per fondazionisu pali. Queste metodologie possono essere usateper l’analisi nell’ambito dei criteri di progetto esi-stenti, o più significativamente per esplorare e con-solidare criteri di progetto innovativi, che consenta-no di ottenere di più con meno.

Fig. 31 – Riduzione del cedimento differenziale dell’edificio diStonebridge Park al variare del numero e della configurazionedei pali.

42 VIGGIANI


L’affidabilità delle analisi, come sempre in In-gegneria Geotecnica, non dipende tanto dalla raffi-natezza degli algoritmi di calcolo, ma dalla scelta diappropriate relazioni di corrispondenza, e cioè daun’appropriata modellazione del problema. In que-sto senso l’affermazione dalla quale siamo partitinell’introduzione può forse essere lievemente preci-sata: non c'è niente di più pratico di una buona teo-ria, purché ben usata!.

I progressi più significativi sono venuti dallostudio accurato di case histories ben documentate; ilmonitoraggio delle opere in vera grandezza haquindi giocato, e continuerà a giocare, un ruolo as-solutamente determinante.

A giudizio di chi scrive, per un ulteriore pro-gresso nel progetto delle fondazioni su pali riman-gono da esplorare e risolvere due questioni di note-vole importanza pratica.

Nella cultura dell’ingegnere civile è radicato ilconcetto di coefficiente di sicurezza. Per un uso ap-propriato di tale concetto, in presenza di criteri diprogetto innovativi, è necessario sviluppare lo stu-dio del carico limite ultimo di una piastra su pali. Almomento manca qualsiasi contributo in materia, sesi eccettua il vecchio suggerimento della fondazioneequivalente di TERZAGHI e PECK [1948], proponibileperaltro solo per Ag/A ♠ 1, e cioè nel campo menointeressante per il progetto innovativo.

In secondo luogo, è necessario sviluppare pre-scrizioni normative adeguate ad orientare il proget-tista nell’uso dei nuovi criteri di progetto.

6. Ringraziamenti

Desidero ringraziare in primo luogo l’Associa-zione Geotecnica Italiana per avermi scelto a pre-sentare la prima conferenza in onore di Arrigo Cro-ce. Gli insegnamenti ricevuti dal prof. Croce ed ilprofondo legame che si era stabilito fra noi in oltretrent’anni di lavoro comune danno per me a questadesignazione una forte implicazione personale.

Il materiale presentato in questo articolo è frut-to del lavoro di un gran numero di persone che, ne-gli anni, hanno costituito il gruppo di ricerca sullefondazioni profonde presso il DIG. Fra i più antichicomponenti del gruppo sono da ricordare E. Bilottae V. Caputo, oggi autorevoli professori nelle nuovesedi universitarie di Salerno e Potenza. Hanno svol-to su questi argomenti la loro tesi di Dottorato di Ri-cerca A. Mandolini, R. Maiorano, G. Russo e L. DeSanctis; un gran numero di studenti le loro tesi dilaurea. Un riconoscimento particolare deve peròandare ad Alessandro Mandolini ed a GianpieroRusso per la qualità e l’importanza del loro contri-buto nel monitoraggio del comportamento di operein vera grandezza e nello sviluppo dei procedimentidi analisi.

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Appendice A

La procedura di applicazione di GRUPPALO e dideterminazione dei parametri sarà illustrata in det-taglio con riferimento al caso di un serbatoio permelassa, pubblicato da THORBURN et al. [1983].

Il serbatoio in questione fu costruito in Scozianel 1978, per lo stoccaggio di melassa. Ha un dia-metro di 12,5 m ed è fondato su 55 pali battuti pre-fabbricati della lunghezza di 29 m (Fig. A1). Si trattadi pali prefabbricati in calcestruzzo a sezione qua-drata con lato di 250 mm, con un valore del modulodi Young Ep = 26 GPa. Al di sopra dei pali vennerealizzato uno strato di materiale granulare ben co-stipato, dello spessore di 2 m, che ingloba una mem-brana di cemento armato dello spessore di 150 mm,la quale collega le estremità superiori dei pali.

Il sottosuolo è costituito da uno strato di argillelimose con stratificazioni di sabbie e sabbie limose,che giunge fino ad una profondità di 18 m al di sot-to della superficie del terreno, dove ha inizio unostrato di argille leggermente sovraconsolidate conoccasionali stratificazioni di sabbie e limi. SecondoRANDOLPH [1994], il sottosuolo può essere modellatocome un unico strato di terreno coesivo, la cui resi-stenza a taglio non drenata su cresce linearmentecon la profondità con la legge:

su (kPa) = 6 + 1,8 z (m).


GENNAIO-MARZO 2001

In Fig. A2 è riportata la curva carico-cedimentoottenuta da una prova di carico su di un palo singo-lo. Essa è stata interpolata con l’espressione diun’iperbole:

nella quale Qlim rappresenta il carico limite del palosingolo, e quindi l’asintoto dell’iperbole, mentre

è la deformabilità iniziale del palo di

prova. Nel caso in esame l’interpolazione conduceai seguenti valori dei parametri:

Iwo = 10,82 mm/MN; Qlim = 1,48 MN

Si è assunta una variazione a gradini del modu-lo di Young del terreno con la profondità, adottan-do un modello con dieci strati, in ciascuno dei qua-li il modulo Esi è costante. Utilizzando il program-ma SINGPALO (una subroutine di GRUPPALO che ana-lizza il cedimento del palo singolo in elasticità line-are), e riproducendo il valore sperimentale di Iwo,si sono determinati i 10 valori di Esi. Interpolando

questi valori con una legge lineare, si ottienel’espressione:

Es (MPa) = 4,5 + 1,35 z (m)

praticamente coincidente con l’espressione adottatada RANDOLPH [1994].

Si è quindi proceduto a studiare, sempre in ela-sticità lineare, l’interazione fra due pali, con il pro-gramma ALPHAPALO, anch’esso una subroutine diGRUPPALO. Sono stati ottenuti un certo numero di va-lori del coefficiente di interazione α al variaredell’interasse s fra i pali; fra questi valori è statainterpolata la seguente espressione:

È stato quindi analizzato il cedimento del grup-po di pali in ipotesi di piastra infinitamente flessibi-le. Il confronto fra i risultati ottenuti ed i valori delcedimento assoluto e differenziale misuratosull’opera è riportato in Fig. A3. Come si vede,l’analisi NL conduce ad un accordo molto soddisfa-cente con le osservazioni sperimentali sia del cedi-mento medio che di quello differenziale. L’analisiLS ancora una volta sopravvaluta significativamenteil cedimento.

Fig. A1 – Schema del serbatoio di melassa [THORBURN et al., 1983].

46 VIGGIANI


Note

1 Questo lavoro ha per oggetto la determinazione dell’influenzadell’attrito e della coesione in alcuni problemi di statica, nellamisura in cui ciò è reso possibile da una combinazione di Cal-colo e di Fisica.Mi sono sforzato, per quanto possibile, di rendere i principi dicui mi sono servito abbastanza chiari da poter essere compresied utilizzati da un tecnico appena istruito. Questa memoria,composta alcuni anni or sono, era destinata ad essere usatasolo da me stesso, nei diversi lavori di cui sono responsabile; seoso presentarla a questa Accademia è solo perché essa accogliecon indulgenza anche il saggio più semplice, quando questosia rivolto ad uno scopo utile. D’altro canto, le Scienze sonomonumenti consacrati al bene pubblico; ogni cittadino devecontribuirvi in proporzione alle sue capacità. Mentre i grandiuomini, alla sommità dell’edificio, progettano e realizzano ipiani superiori, i tecnici comuni, sparsi nei piani inferiori o na-scosti nell’oscurità delle fondazioni, devono solo sforzarsi diperfezionare ciò che mani più capaci hanno creato.

2 Fra l'altro, questo è il motivo per il quale la nostra normativaconsente un valore del coefficiente di sicurezza nominale di2,5 ed anche di 2 per le fondazioni su pali, mentre prescriveun valore di tre per le fondazioni dirette.

3 A chi gli faceva notare come apparisse strano parlare di ele-ganza in materia di fondazioni, l'oratore ha argutamente ri-cordato che: a baby cokroach looks pretty to his mommy; come dire:ogni scarafone è bello a mamma sua.

4 Si ha infatti . Con i valori usuali di L/s , è fa-

cile verificare che per R ≤ 2 deve essere B/L < 1; per R 4deve essere B/L > 1.

5 La rigidezza relativa della piastra è definita dall’espressione[FRASER, WARDLE, 1976]:

nella quale: Er, νr sono le costanti elastiche della piastra; E, νquelle del terreno; t lo spessore della piastra.

6 In questo caso, per semplicità, non è stato considerato alcuncoefficiente di gruppo. Le conclusioni alle quali si giungerà,peraltro, non sarebbero modificate dall’introduzione di talecoefficiente.

7 Si noti che, per passare da un valore di Krs = 0,01 ad un valorepari a 0,10, è necessario passare da uno spessore della piastradi 1,1 m ad uno spessore di 2,3 m, con un’aggiunta di 4.658m3 di calcestruzzo ed un incremento di peso di 117 MN. Sitratta quindi di una variazione molto importante, probabil-mente al limite degli interventi possibili.

Fig. A2 – Risultati della prova di carico su palo singolo [THOR-BURN et al., 1983].

Fig. A3 – Paragone fra cedimenti calcolati ed osservati.

prima conferenza “arrigo croce” analisi e progetto delle

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