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APPLICAZIONI

Analisi della varianza ad un fattore

Douglas C. Montgomery

Controllo statistico della qualità 2/ed© 2006 McGraw-Hill

Insegnamento: Metodi ed Applicazioni StatisticheCorso di Laurea Specialistica in Ingegneria GestionaleFacoltà di Ingegneria, Università di PadovaDocenti: Prof. L. Salmaso, Dott. L. Corain

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SOMMARIO

Analisi della varianza ad un fattore: modello ed assunzioni

Applicazioni dell’Analisi della varianza ad un fattore e confronti multipli (Esempio 1-4)

Applicazioni dell’Analisi della varianza ad un fattore con variabile di blocco (Esempio 5-6)

Applicazioni dell’Analisi della varianza ad un fattore con covariate (Esempio 7-8)

2

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ANALISI DELLA VARIANZA AD UN FATTORESupponiamo di avere c diversi livelli per un fattore e di considerare n repliche sperimentare per ciascun livello.La risposta osservata per ciascuno dei livelli del fattore èinterpretata come una variabile casuale.Per l’osservazione ij-esima della risposta Y, in corrispondenza del i-esimo livello del fattore e della j-esima replica si considera il seguente modello

Yij = µ + τi + εij i=1, …, c; j=1, …,n

µ = media generale della variabile rispostaτi = effetto sulla media dell’i-esimo livello del fattore εij = errore casualen = numero di osservazioni per ogni livello del fattoreSi suppone che gli errori del modello siano variabili casuali indipendenti e distribuite normalmente con media nulla e varianza σ 2: εij ~IIN(0; σ 2).

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Questo modello è chiamato modello di analisi della varianza ad una via.Obiettivo verificare ipotesi riguardo gli effetti sulla media dei livelli del fattore

ESPERIMENTI CON UN FATTORE

Gli effetti dei fattori sono qui definiti come i parametri che rappresentano le deviazioni dalla media generale, per i quali deve valere il vincolo Στi = 0.Praticamente la media della risposta per l’i-esimo livello è

µi = µ + τi i=1, …, cL’analisi inferenziale di interesse nel modello di analisi della varianza ad una via corrisponde alla verifica d’ipotesi

H0: τ1 = τ2 = … = τc = 0H1: τi ≠ 0 per almeno un livello i

Il numero di osservazioni complessive è N = n · c.

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L’analisi della varianza è una procedura inferenziale che sottopone a verifica l’ipotesi di uguaglianza delle medie dei trattamentiSe questa ipotesi viene rigettata esiste evidenza che vi sono delle differenze sistematiche tra le medie dei trattamenti ma non viene specificato quali specifiche medie siano differentiDeterminare quali specifiche medie differiscono, a seguito di un rifiuto del test ANOVA, è chiamato problema dei confronti multipliI metodi dei confronti multipli sono delle procedure inferenziali che sottopongono a verifica l’ipotesi di uguaglianza delle coppie di medie di trattamenti:

H0ij: µi = µj contro H1ij: µi ≠ µj, i,j = 1,…,c, i ≠ j

CONFRONTO TRA MEDIE DEI TRATTAMENTI

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Vi sono molti metodi per condurre i confronti multipli e tra questi i più utilizzati sono

i t-test a coppie per le medie (spesso chiamato metodo Fisher’s LSD, Least Significant Difference)

metodo di Tukey

che fa uso della distribuzione della statistica del “range studentizzato”

CONFRONTO TRA MEDIE DEI TRATTAMENTI

0 2i j

ij N cE

Y YT t

MS n −

−= i i ∼

max min ( , )E

Y YQ q c fMS n

−= ∼

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ESEMPIO 1

Una ditta che produce elettrodomestici ha condotto un esperimento su alcuni prototipi di lavatrice, misurando il loro livello di rumorosità durante alcune prove di lavaggio.OBIETTIVO: individuare il prototipo a cui è associata una minore rumorositàVARIABILE RISPOSTA: rumorositàFATTORE: prototipo di lavatrice (A, B e C)BLOCCO: NOCOVARIATE: NO

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ESEMPIO 1

MODELLO STATISTICO:Yij = µ + τi + εij i=A,B,C; j=1,…,6

STATISTICA DESCRITTIVA:

CBA

35

30

25

20

Prototipo

Rum

oros

ità

Dotplots of Rumorosità by Prototip

CBA

35

30

25

20

Prototipo

Rum

oros

ità

Boxplots of Rumorosità by Prototip

Descriptive Statistics: Rumorosità by Prototipo Variable Prototip N Mean Median TrMean StDev Rumorosi A 6 30.92 29.85 30.92 3.60 B 6 24.57 23.95 24.57 3.75 C 6 24.27 22.80 24.27 3.75 Variable Prototip SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 Rumorosi A 1.47 27.70 36.90 28.00 34.05 B 1.53 19.40 29.60 21.65 28.48 C 1.53 20.90 30.80 21.50 27.65

5

9/59

ESEMPIO 1

TABELLA ANOVA:Factor Type Levels Values Prototip fixed 3 A B C Analysis of Variance for Rumorosi, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Prototip 2 169.27 169.27 84.64 6.18 0.011 Error 15 205.33 205.33 13.69 Total 17 374.61

CBA

31

30

29

28

27

26

25

24

Prototipo

Rum

oros

ità

Main Effects Plot - LS Means for Rumorosità

10/59

ESEMPIO 1

CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):

Bonferroni Simultaneous Tests Response Variable Rumorosi All Pairwise Comparisons among Levels of Prototip Prototip = A subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Prototip of Means Difference T-Value P-Value B -6.350 2.136 -2.973 0.0285 C -6.650 2.136 -3.113 0.0214 Prototip = B subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Prototip of Means Difference T-Value P-Value C -0.3000 2.136 -0.1404 1.000

6

11/59

ESEMPIO 1

CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):

Bonferroni 95.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Rumorosi All Pairwise Comparisons among Levels of Prototip Prototip = A subtracted from: Prototip Lower Center Upper -----+---------+---------+--------+- B -12.10 -6.350 -0.5959 (----------*-----------) C -12.40 -6.650 -0.8959 (-----------*----------) -----+---------+---------+--------+- -10.0 -5.0 0.0 5.0 Prototip = B subtracted from: Prototip Lower Center Upper -----+---------+---------+--------+- C -6.054 -0.3000 5.454 (----------*----------- -----+---------+---------+--------+- -10.0 -5.0 0.0 5.0

12/59

ESEMPIO 1

ANALISI DEI RESIDUI:

6420-2-4-6

6

5

4

3

2

1

0

Residual

Freq

uenc

y

Histogram of the Residuals(response is Rumorosi)

50-5

2

1

0

-1

-2

Nor

mal

Sco

re

Residual

Normal Probability Plot of the Residuals(response is Rumorosi)

3130292827262524

5

0

-5

Fitted Value

Res

idua

l

Residuals Versus the Fitted Values(response is Rumorosi)

18161412108642

5

0

-5

Observation Order

Res

idua

l

Residuals Versus the Order of the Data(response is Rumorosi)

7

13/59

ESEMPIO 2

Un’azienda produce angolari di metallo mediante piegatura a freddo di lamiere. Si vuole valutare l’effetto della velocità della pressa che può funzionare su 5 livelli di velocità di piegatura.OBIETTIVO: studiare l’effetto della velocità di piegatura su angolari di metalli VARIABILE RISPOSTA: resistenza (in MPa)FATTORE: velocità di piegatura (A, B, C, D, E) BLOCCO: NOCOVARIATE: NO

14/59

EDCBA

640

630

620

610

600

590

580

570

Velocità

Res

iste

nza

Dotplots of Resistenza by Velocità

EDCBA

640

630

620

610

600

590

580

570

Velocità

Res

iste

nza

Boxplots of Resistenza by Velocità

ESEMPIO 2

MODELLO STATISTICO:Yij = µ + τi + εij i=A,B,C,D,E; j=1,…,20

STATISTICA DESCRITTIVA:Descriptive Statistics: Resistenza by Velocità Variable Velocità N Mean Median TrMean StDev Resisten A 20 604.05 602.50 603.39 11.26 B 20 598.15 596.00 597.50 17.59 C 20 604.45 605.50 605.06 15.47 D 20 606.25 612.50 607.17 14.58 E 20 621.05 621.00 621.06 9.68 Variable Velocità SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 Resisten A 2.52 589.00 631.00 595.75 611.50 B 3.93 574.00 634.00 581.75 611.25 C 3.46 571.00 627.00 594.25 616.75 D 3.26 573.00 623.00 592.75 617.00 E 2.16 602.00 640.00 615.75 628.25

8

15/59

ESEMPIO 2

VERIFICA DI IPOTESI SULLE VARIANZE:

302010

95% Confidence Intervals for Sigmas

P-Value : 0.146

Test Statistic: 1.750

Levene's Test

P-Value : 0.082


Bartlett's Test

Factor Levels

E

D

C

B

A

Test for Equal Variances for Resistenza

Test for Equal Variances Response Resistenza Factors Velocità ConfLvl 95.0000 Bonferroni confidence intervals for standard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels 7.8984 11.2553 18.7534 20 A 12.3457 17.5927 29.3126 20 B 10.8535 15.4663 25.7698 20 C 10.2300 14.5778 24.2893 20 D 6.7941 9.6816 16.1314 20 E Bartlett's Test (normal distribution) Test Statistic: 8.290 P-Value : 0.082 Levene's Test (any continuous distribution) Test Statistic: 1.750 P-Value : 0.146

16/59

ESEMPIO 2

TABELLA ANOVA:Factor Type Levels Values Velocità fixed 5 A B C D E Analysis of Variance for Resisten, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Velocità 4 5825.4 5825.4 1456.4 7.42 0.000 Error 95 18651.1 18651.1 196.3 Total 99 24476.6

EDCBA

620

610

600

Velocità

Res

iste

nza

Main Effects Plot - LS Means for Resistenza

9

17/59

ESEMPIO 2

CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):Tukey Simultaneous Tests Response Variable Resisten All Pairwise Comparisons among Levels of Velocità Velocità = A subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Velocità of Means Difference T-Value P-Value B -5.900 4.431 -1.332 0.6723 C 0.400 4.431 0.090 1.0000 D 2.200 4.431 0.497 0.9875 E 17.000 4.431 3.837 0.0021 Velocità = B subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Velocità of Means Difference T-Value P-Value C 6.300 4.431 1.422 0.6153 D 8.100 4.431 1.828 0.3637 E 22.900 4.431 5.168 0.0000 Velocità = C subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Velocità of Means Difference T-Value P-Value D 1.800 4.431 0.4062 0.9942 E 16.600 4.431 3.7464 0.0028 Velocità = D subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Velocità of Means Difference T-Value P-Value E 14.80 4.431 3.340 0.0103

18/59

ESEMPIO 2

CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Resisten All Pairwise Comparisons among Levels of Velocità Velocità = A subtracted from: Velocità Lower Center Upper ---+--------+---------+---------+--- B -18.21 -5.900 6.413 (-------*-------) C -11.91 0.400 12.713 (-------*-------) D -10.11 2.200 14.513 (-------*--------) E 4.69 17.000 29.313 (-------*--------) ---+---------+---------+--------+--- -15 0 15 30 Velocità = B subtracted from: Velocità Lower Center Upper ---+---------+---------+--------+--- C -6.013 6.300 18.61 (-------*-------) D -4.213 8.100 20.41 (-------*--------) E 10.587 22.900 35.21 (-------*-------) ---+---------+---------+--------+--- -15 0 15 30 Velocità = C subtracted from: Velocità Lower Center Upper ---+---------+--------+---------+--- D -10.51 1.800 14.11 (-------*-------) E 4.29 16.600 28.91 (-------*-------) ---+--------+---------+---------+--- -15 0 15 30 Velocità = D subtracted from: Velocità Lower Center Upper ---+---------+---------+--------+--- E 2.487 14.80 27.11 (-------*-------) ---+---------+---------+---------+-- -15 0 15 30

10

19/59

403020100-10-20-30-40

20

10

0

Residual

Freq

uenc

y

Histogram of the Residuals(response is Resisten)

403020100-10-20-30-40

3

2

1

0

-1

-2

-3

Nor

mal

Sco

re

Residual

Normal Probability Plot of the Residuals(response is Resisten)

620610600

40

30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

Fitted Value

Res

idua

l

Residuals Versus the Fitted Values(response is Resisten)

100908070605040302010

40

30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

Observation Order

Res

idua

l

Residuals Versus the Order of the Data(response is Resisten)

ESEMPIO 2


20/59

ESEMPIO 3

Si vuole valutare l’influenza del tipo di polvere metallica per individuare la lega preferibile per un tipo di ingranaggio (corone coniche).OBIETTIVO: studiare l’effetto del tipo di polvere sulle proprietà superficiali dei pezzi meccaniciVARIABILE RISPOSTA: microdurezza (HV0,1)FATTORE: tipo di polvere metallica (A, B, C, D) BLOCCO: NOCOVARIATE: NO

11

21/59

DCBA

900

800

700

600

500

400

300

Lega

Mic

rodu

rezz

a

Dotplots of Microdurezza by Lega

DCBA

900

800

700

600

500

400

300

Lega

Mic

rodu

rezz

a

Boxplots of Microdurezza by Lega

ESEMPIO 3

MODELLO STATISTICO:Yij = µ + τi + εij i=A,B,C,D; j=1,…,7

STATISTICA DESCRITTIVA:Descriptive Statistics: Microdurezza by Lega Variable Lega N Mean Median TrMean StDev Microdur A 7 672.4 677.0 672.4 51.9 B 7 839.0 833.0 839.0 33.1 C 7 708.3 712.0 708.3 40.9 D 7 345.7 350.0 345.7 28.8 Variable Lega SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 Microdur A 19.6 610.0 741.0 621.0 720.0 B 12.5 798.0 880.0 798.0 870.0 C 15.5 633.0 757.0 684.0 741.0 D 10.9 306.0 381.0 320.0 378.0

22/59

150100500


P-Value : 0.330


Levene's Test

P-Value : 0.522


Bartlett's Test

Factor Levels

D

C

B

A

Test for Equal Variances for Microdurezza

ESEMPIO 3

VERIFICA DI IPOTESI SULLE VARIANZE:Test for Equal Variances Response Microdurezza Factors Lega ConfLvl 95.0000 Bonferroni confidence intervals for standard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels 29.9538 51.8712 148.401 7 A 19.0942 33.0656 94.599 7 B 23.6213 40.9052 117.028 7 C 16.6457 28.8254 82.468 7 D Bartlett's Test (normal distribution) Test Statistic: 2.249 P-Value : 0.522 Levene's Test (any continuous distribution) Test Statistic: 1.204 P-Value : 0.330

12

23/59

Factor Type Levels Values Lega fixed 4 A B C D Analysis of Variance for Microdur, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Lega 3 923386 923386 307795 195.80 0.000 Error 24 37729 37729 1572 Total 27 961114

ESEMPIO 3

TABELLA ANOVA:

DCBA

850

750

650

550

450

350

Lega

Mic

rodu

rezz

a

Main Effects Plot - LS Means for Microdurezza

24/59

Bonferroni Simultaneous Tests Response Variable Microdur All Pairwise Comparisons among Levels of Lega Lega = A subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Lega of Means Difference T-Value P-Value B 166.6 21.19 7.86 0.0000 C 35.9 21.19 1.69 0.6216 D -326.7 21.19 -15.42 0.0000 Lega = B subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Lega of Means Difference T-Value P-Value C -130.7 21.19 -6.17 0.0000 D -493.3 21.19 -23.28 0.0000 Lega = C subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Lega of Means Difference T-Value P-Value D -362.6 21.19 -17.11 0.0000

ESEMPIO 3


13

25/59

Bonferroni 95.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Microdur All Pairwise Comparisons among Levels of Lega Lega = A subtracted from: Lega Lower Center Upper ---+---------+---------+---------+--- B 105.6 166.6 227.5 (--*-) C -25.1 35.9 96.8 (-*--) D -387.6 -326.7 -265.8 (--*-) ---+---------+---------+---------+--- -500 -250 0 250 Lega = B subtracted from: Lega Lower Center Upper ---+---------+---------+---------+--- C -191.6 -130.7 -69.8 (--*-) D -554.2 -493.3 -432.4 (-*--) ---+---------+---------+---------+--- -500 -250 0 250 Lega = C subtracted from: Lega Lower Center Upper ---+---------+---------+---------+--- D -423.5 -362.6 -301.6 (-*--) ---+---------+---------+---------+--- -500 -250 0 250

ESEMPIO 3


26/59

6040200-20-40-60-80

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Residual

Freq

uenc

y

Histogram of the Residuals(response is Microdur)

500-50

2

1

0

-1

-2

Nor

mal

Sco

re

Residual

Normal Probability Plot of the Residuals(response is Microdur)

850750650550450350

50

0

-50

Fitted Value

Res

idua

l

Residuals Versus the Fitted Values(response is Microdur)

252015105

50

0

-50

Observation Order

Res

idua

l

Residuals Versus the Order of the Data(response is Microdur)

ESEMPIO 3


14

27/59

ESEMPIO 4

Una acciaieria vuole studiare la resistenza allo snervamento di un certo tipo di barre di acciaio in funzione del diametro delle barre stesse.OBIETTIVO: studiare l’effetto del diametro sulle proprietà meccaniche delle barreVARIABILE RISPOSTA: resistenza allo snervamento FATTORE: diametro della barra in mm (12, 14, 16) BLOCCO: NOCOVARIATE: NO

28/59

Descriptive Statistics: Snervamento by Diametro Variable Diametro N Mean Median TrMean StDev Snervame 10 20 512.25 511.00 512.00 10.74 12 20 513.30 512.00 513.06 9.29 14 20 521.05 520.00 521.28 10.47 Variable Diametro SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 Snervame 10 2.40 495.00 534.00 505.25 519.75 12 2.08 500.00 531.00 505.50 520.00 14 2.34 501.00 537.00 516.25 531.75

141210

540

530

520

510

500

490

Diametro

Sne

rvam

ento

Dotplots of Snervamento by Diametro

141210

540

530

520

510

500

490

Diametro

Sne

rvam

ento

Boxplots of Snervamento by Diametro

ESEMPIO 4

MODELLO STATISTICO:Yij = µ + τi + εij i=10,12,14; j=1,…,20


15

29/59

141210

521

520

519

518

517

516

515

514

513

512

Diametro

Sne

rvam

ento

Main Effects Plot - LS Means for Snervamento

ESEMPIO 4

TABELLA ANOVA:Factor Type Levels Values Diametro fixed 3 10 12 14 Analysis of Variance for Snervame, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Diametro 2 924.0 924.0 462.0 4.45 0.016 Error 57 5912.9 5912.9 103.7 Total 59 6836.9

30/59

ESEMPIO 4


Bonferroni Simultaneous Tests Response Variable Snervame All Pairwise Comparisons among Levels of Diametro Diametro = 10 subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Diametro of Means Difference T-Value P-Value 12 1.050 3.221 0.3260 1.0000 14 8.800 3.221 2.7322 0.0251 Diametro = 12 subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Diametro of Means Difference T-Value P-Value 14 7.750 3.221 2.406 0.0581

16

31/59

ESEMPIO 4


Bonferroni 90.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Snervame All Pairwise Comparisons among Levels of Diametro Diametro = 10 subtracted from: Diametro Lower Center Upper ----------+---------+---------+----- 12 -5.974 1.050 8.074 (-----------*----------) 14 1.776 8.800 15.824 (-----------*---------- ----------+---------+---------+----- 0.0 6.0 12.0 Diametro = 12 subtracted from: Diametro Lower Center Upper ----------+---------+---------+----- 14 0.7258 7.750 14.77 (-----------*-----------) ----------+---------+---------+----- 0.0 6.0 12.0

32/59

ESEMPIO 4


20151050-5-10-15-20

10

5

0

Residual

Freq

uenc

y

Histogram of Residuals

6050403020100

30

20

10

0

-10

-20

-30

Observation Number

Res

idua

l

I Chart of Residuals

5

Mean=3.03E-14

UCL=26.23

LCL=-26.23

521520519518517516515514513512

20

10

0

-10

-20

Fit

Res

idua

l

Residuals vs. Fits

210-1-2

20

10

0

-10

-20

Normal Plot of Residuals

Normal Score

Res

idua

l

Residual Model Diagnostics

17

33/59

LA PRESENZA DI BLOCCO O DI COVARIATE

Il modello di analisi della varianza ad un fattore può essere facilmente adattato al caso della presenza

di una variabile di blocco:Yijk = µ + τi + βj + εijk i=1, …, c; j=1, …,b; k=1, …,ndi covariate:

Yij = µ + τi + xij′ β + εij i=1, …, c; j=1, …,n

L’analisi inferenziale di interesse corrisponde alle verifiche d’ipotesi

H0F: τ1 =…= τc = 0 contro H1F: τi ≠ 0 per almeno un livello i

H0B: β1=…= βb=0 contro H1B:βi ≠ 0 per almeno un livello jH0C: β = 0 contro H1C: β ≠ 0

34/59

ESEMPIO 5

Per studiare le prestazioni di resistenza dei travi di cemento in relazione alla durata della stagionatura si utilizzano due distinte metodologie per la conduzione della prova sperimentale, misurando su alcuni provini la forza massima di rottura.OBIETTIVO: studiare l’effetto della durata della stagionatura sulla resistenza dei travi di cementoVARIABILE RISPOSTA: forza massima di rotturaFATTORE: giorni di stagionatura (3, 7, 28)BLOCCO: tipo di metodo (A e B)COVARIATE: NO

18

35/59

Descriptive Statistics: Forza Max by Stagion Variable Stagion N Mean Median TrMean StDev Forza Ma 3 8 24956 24861 24956 1449 7 8 36627 36694 36627 2093 28 8 38812 38943 38812 1181 Variable Macchina N Mean Median TrMean StDev Forza Ma A 12 32099 34727 32460 6238 B 12 34831 38585 35264 6538

2873

40000

30000

20000

Stagion

Forz

a M

ax

Boxplots of Forza Max by Stagion

BA

40000

30000

20000

Macchina

Forz

a M

ax

Boxplots of Forza Max by Macchina

ESEMPIO 5

MODELLO STATISTICO:Yijk = µ + τi + βj + εijk i=3,7,28; j=A,B; k=1,…,4


36/59

Factor Type Levels Values Stagion fixed 3 3 7 28 Macchina fixed 2 A B Analysis of Variance for Forza Ma, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Stagion 2 887893652 887893652 443946826 856.72 0.000 Macchina 1 44772836 44772836 44772836 86.40 0.000 Error 20 10363813 10363813 518191 Total 23 943030301

MacchinaStagion

BA28 7 3

37000

34000

31000

28000

25000

Forz

a M

ax

Main Effects Plot - LS Means for Forza Max

ESEMPIO 5

TABELLA ANOVA:

19

37/59

ESEMPIO 5

CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):Tukey Simultaneous Tests Response Variable Forza Ma All Pairwise Comparisons among Levels of Stagion Stagion = 3 subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Stagion of Means Difference T-Value P-Value 7 11670 359.9 32.42 0.0000 28 13856 359.9 38.50 0.0000 Stagion = 7 subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Stagion of Means Difference T-Value P-Value 28 2185 359.9 6.072 0.0000

38/59

ESEMPIO 5


Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Forza Ma All Pairwise Comparisons among Levels of Stagion Stagion = 3 subtracted from: Stagion Lower Center Upper -------+---------+---------+--------- 7 10759 11670 12582 (-*-) 28 12945 13856 14767 (--*-) -------+---------+---------+--------- 4000 8000 12000 Stagion = 7 subtracted from: Stagion Lower Center Upper -------+---------+---------+--------- 28 1274 2185 3097 (-*--) -------+---------+---------+--------- 4000 8000 12000

20

39/59

10000-1000

5

4

3

2

1

0

Residual

Freq

uenc

y

Histogram of the Residuals(response is Forza Ma)

10000-1000

2

1

0

-1

-2

Nor

mal

Sco

re

Residual

Normal Probability Plot of the Residuals(response is Forza Ma)

40000350003000025000

1000

0

-1000

Fitted Value

Res

idua

l

Residuals Versus the Fitted Values(response is Forza Ma)

2015105

1000

0

-1000

Observation Order

Res

idua

l

Residuals Versus the Order of the Data(response is Forza Ma)

ESEMPIO 5


40/59

ESEMPIO 5

ANALISI DEI RESIDUI (test di normalità):

P-Value: 0.081A-Squared: 0.646

Anderson-Darling Normality Test

N: 24StDev: 671.268Average: 0.0000000

10000-1000

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Pro

babi

lity

RESI1

Normal Probability Plot

Approximate P-Value: 0.116D+: 0.096 D-: 0.159 D : 0.159

Kolmogorov-Smirnov Normality Test

N: 24StDev: 671.268Average: 0.0000000

10000-1000

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Pro

babi

lity

RESI1

Normal Probability Plot

21

41/59

ESEMPIO 6

Si vuole valutare la variabilità di comportamento nella deformazione di membrane elastomeriche di forma circolare, al fine di verificare l’affidabilità del processo produttivo delle stesse.OBIETTIVO: studiare l’effetto della durata della stagionatura sulla resistenza dei travi di cementoVARIABILE RISPOSTA: deflessione in mmFATTORE: livello di pressione in mbar (10, 20, 30, 40)BLOCCO: membrana (la prova viene ripetuta sulla stessa membrana, facendo variare il livello di pressione)COVARIATE: NO

42/59

ESEMPIO 6

DATASET:Campione Mbar=10 Mbar=20 Mbar=30 Mbar=40

1 2.3 3.6 4.7 62 2.6 4.6 5.8 7.43 2.7 4.4 6.2 7.84 2.7 4.7 5.6 6.85 2.1 3.6 4.8 66 1.9 3.1 4.6 5.67 2.2 4.4 6.8 88 1.9 3.7 4.9 6.19 2.1 3.6 4.7 5.410 2.3 3.9 5 6.411 2 3.4 4.5 5.612 2.7 4.4 5.8 6.813 2.1 3.5 4.7 5.914 2.4 4 5.4 6.715 2.4 4.1 5.5 6.716 2.3 3.6 5.1 617 2.3 3.8 5.4 6.718 2.9 3.4 4.7 5.919 2 3.3 4.5 5.720 2.1 3.5 4.5 5.7

22

43/59

2019181716151413121110987654321

8

7

6

5

4

3

2

Campione

Def

orm

Boxplots of Deform by Campione

40302010

8

7

6

5

4

3

2

Mbar

Def

orm

Boxplots of Deform by Mbar

ESEMPIO 6

MODELLO STATISTICO:Yij = µ + τi + βj + εij i=10,20,30,40; j=1,…,20

STATISTICA DESCRITTIVA:Descriptive Statistics: Deform by Mbar Variable Mbar N Mean Median TrMean StDev Deform 10 20 2.3000 2.3000 2.2889 0.2920 20 20 3.830 3.650 3.822 0.462 30 20 5.160 4.950 5.106 0.637 40 20 6.360 6.050 6.322 0.740 Variable Mbar SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 Deform 10 0.0653 1.9000 2.9000 2.1000 2.5500 20 0.103 3.100 4.700 3.500 4.325 30 0.142 4.500 6.800 4.700 5.575 40 0.165 5.400 8.000 5.750 6.775

44/59

ESEMPIO 6

TABELLA ANOVA:

DCBA

850

750

650

550

450

350

Lega

Mic

rodu

rezz

a

Main Effects Plot - LS Means for Microdurezza

CampioneMbar

2019181716151413121110 9 8 7 6 5 4 3 2 140302010

6.5

5.5

4.5

3.5

2.5

Def

orm

Main Effects Plot - LS Means for Deform

Factor Type Levels Values Mbar fixed 4 10 20 30 40 Campione fixed 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Analysis of Variance for Deform, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Mbar 3 183.0695 183.0695 61.0232 632.36 0.000 Campione 19 18.2975 18.2975 0.9630 9.98 0.000 Error 57 5.5005 5.5005 0.0965 Total 79 206.8675

23

45/59

Bonferroni Simultaneous Tests Response Variable Deform All Pairwise Comparisons among Levels of Mbar Mbar = 10 subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Mbar of Means Difference T-Value P-Value 20 1.530 0.09823 15.57 0.0000 30 2.860 0.09823 29.11 0.0000 40 4.060 0.09823 41.33 0.0000 Mbar = 20 subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Mbar of Means Difference T-Value P-Value 30 1.330 0.09823 13.54 0.0000 40 2.530 0.09823 25.75 0.0000 Mbar = 30 subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Mbar of Means Difference T-Value P-Value 40 1.200 0.09823 12.22 0.0000

ESEMPIO 6


46/59

Bonferroni 95.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Deform All Pairwise Comparisons among Levels of Mbar Mbar = 10 subtracted from: Mbar Lower Center Upper -+---------+---------+---------+----- 20 1.261 1.530 1.799 (-*--) 30 2.591 2.860 3.129 (--*-) 40 3.791 4.060 4.329 (--*-) -+---------+---------+---------+----- 1.0 2.0 3.0 4.0 Mbar = 20 subtracted from: Mbar Lower Center Upper -+---------+---------+---------+----- 30 1.061 1.330 1.599 (-*--) 40 2.261 2.530 2.799 (-*--) -+---------+---------+---------+----- 1.0 2.0 3.0 4.0 Mbar = 30 subtracted from: Mbar Lower Center Upper -+---------+---------+---------+----- 40 0.9315 1.200 1.469 (--*--) -+---------+---------+---------+----- 1.0 2.0 3.0 4.0

ESEMPIO 6


24

47/59

0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

30

20

10

0

Residual

Freq

uenc

y

Histogram of the Residuals(response is Deform)

10-1

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

-2.5

Nor

mal

Sco

re

Residual

Normal Probability Plot of the Residuals(response is Deform)

7.56.55.54.53.52.51.5

1

0

-1

Fitted Value

Res

idua

l

Residuals Versus the Fitted Values(response is Deform)

8070605040302010

1

0

-1

Observation Order

Res

idua

l

Residuals Versus the Order of the Data(response is Deform)

ESEMPIO 6


48/59

ESEMPIO 7

Nello studio di un impianto di laminazione di billettedi acciaio si vuole stabilire se la tipologia del rullo influenza la velocità di laminazione, tenendo conto dei parametri di laminazione dell’impiantoOBIETTIVO: studiare l’effetto della tipologia del rullo sulla velocità di laminazioneVARIABILE RISPOSTA: velocità di laminazione in m/sFATTORE: tipologia di rullo (H–orizzontale, V–verticale)BLOCCO: NOCOVARIATE: parametri di laminazione (carico applicato – CA, momento – M, potenza – P)

25

49/59

Descriptive Statistics: speed by type Variable type N Mean Median TrMean StDev speed H 9 4.29 2.16 4.29 4.75 V 9 5.06 2.78 5.06 5.35 Variable type SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 speed H 1.58 0.19 13.32 0.49 8.37 V 1.78 0.24 15.00 0.63 9.74

VH

15

10

5

0

type

spee

d

Dotplots of speed by type

VH

15

10

5

0

type

spee

d

Boxplots of speed by type

ESEMPIO 7

MODELLO STATISTICO:yij = µ + τi + β1CAij + β2Mij + β3Pij + εij i=H,V; j=1,…,9


50/59

550450350250150

15

10

5

0

power

spee

d

3002001000

15

10

5

0

torque

spee

d

ESEMPIO 7

STATISTICA DESCRITTIVA(diagrammi di dispersione):

25002000150010005000

15

10

5

0

load

spee

d

26

51/59

VH

5.1

5.0

4.9

4.8

4.7

4.6

4.5

4.4

4.3

type

spee

d

Main Effects Plot - LS Means for speed

ESEMPIO 7

TABELLA ANOVA:Factor Type Levels Values type fixed 2 H V Analysis of Variance for speed, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P load 1 213.706 53.091 53.091 6.55 0.024 torque 1 47.746 43.755 43.755 5.40 0.037 power 1 43.660 23.062 23.062 2.85 0.115 type 1 1.446 1.446 1.446 0.18 0.680 Error 13 105.359 105.359 8.105 Total 17 411.917

52/59

ESEMPIO 7

STIMA E VERIFICA DI IPOTESI SULLE COVARIATE:

Term Coef SE Coef T P Constant 4.585 5.258 0.87 0.399 load -0.020158 0.007876 -2.56 0.024 torque 0.15051 0.06477 2.32 0.037 power 0.01747 0.01036 1.69 0.115

27

53/59

43210-1-2-3-4

4

3

2

1

0

Residual

Freq

uenc

y

Histogram of the Residuals(response is speed)

543210-1-2-3-4

2

1

0

-1

-2

Nor

mal

Sco

re

Residual

Normal Probability Plot of the Residuals(response is speed)

1050

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

Fitted Value

Res

idua

l

Residuals Versus the Fitted Values(response is speed)

18161412108642

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

Observation Order

Res

idua

l

Residuals Versus the Order of the Data(response is speed)

ESEMPIO 7


54/59

ESEMPIO 8

In uno studio sui materiali di rivestimento stradale si vuole studiare la resistenza al derapaggio in relazione al tipo di rivestimento, tenendo conto della temperatura del rivestimento.OBIETTIVO: studiare l’effetto del tipo di rivestimento sulla resistenza al derapaggioVARIABILE RISPOSTA: resistenza al derapaggio (SRT) FATTORE: tipo di rivestimento (pavimentazione – P, segnaletica – S)BLOCCO: NOCOVARIATE: temperatura – T

28

55/59

Descriptive Statistics: SRT by Rivestimento Variable Rivestim N Mean Median TrMean StDev SRT P 15 48.600 50.000 48.538 2.530 S 15 46.267 46.000 46.231 0.884 Variable Rivestim SE Mean Minimum Maximum Q1 Q3 SRT P 0.653 45.000 53.000 46.000 50.000 S 0.228 45.000 48.000 46.000 47.000

SP

53

52

51

50

49

48

47

46

45

Rivestimento

SR

T

Boxplots of SRT by Rivestim

ESEMPIO 8

MODELLO STATISTICO:Yij = µ + τi + β Tij + εij i=P,S; j=1,…,15


29.528.527.526.5

53

52

51

50

49

48

47

46

45

Temp

SR

T

56/59

4.53.52.51.50.5


P

S

535251504948474645

Boxplots of Raw Data

SRT

P-Value : 0.035Test Statistic: 4.936

Levene's Test

P-Value : 0.000Test Statistic: 8.195

F-Test

Factor Levels

S

P

Test for Equal Variances for SRT

ESEMPIO 8

VERIFICA DI IPOTESI SULLE VARIANZE:Test for Equal Variances Response SRT Factors Rivestimento ConfLvl 95.0000 Bonferroni confidence intervals for standard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels 1.77553 2.52982 4.28791 15 P 0.62023 0.88372 1.49785 15 S F-Test (normal distribution) Test Statistic: 8.195 P-Value : 0.000 Levene's Test (any continuous distribution) Test Statistic: 4.936 P-Value : 0.035

29

57/59

SP

49.5

48.5

47.5

46.5

45.5

Rivestimento

SR

T

Main Effects Plot - LS Means for SRT

ESEMPIO 8

TABELLA ANOVA:Factor Type Levels Values Rivestim fixed 2 P S Analysis of Variance for SRT, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Temp 1 30.409 78.735 78.735 97.52 0.000 Rivestim 1 89.158 89.158 89.158 110.43 0.000 Error 27 21.799 21.799 0.807 Total 29 141.367 Term Coef SE Coef T P Constant 98.723 5.196 19.00 0.000 Temp -1.8776 0.1901 -9.88 0.000

58/59

ESEMPIO 8

CONFRONTI MULTIPLI:Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable SRT All Pairwise Comparisons among Levels of Rivestim Rivestim = P subtracted from: Rivestim Lower Center Upper -+---------+---------+---------+---- S -4.509 -3.773 -3.036 (----*----) -+---------+---------+---------+---- -4.5 -3.0 -1.5 0.0 Tukey Simultaneous Tests Response Variable SRT All Pairwise Comparisons among Levels of Rivestim Rivestim = P subtracted from: Level Difference SE of Adjusted Rivestim of Means Difference T-Value P-Value S -3.773 0.3590 -10.51 0.0000

30

59/59

2.01.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5

6

5

4

3

2

1

0

Residual

Freq

uenc

y

Histogram of the Residuals(response is SRT)

210-1

2

1

0

-1

-2

Nor

mal

Sco

re

Residual

Normal Probability Plot of the Residuals(response is SRT)

51504948474645

2

1

0

-1

Fitted Value

Res

idua

l

Residuals Versus the Fitted Values(response is SRT)

30252015105

2

1

0

-1

Observation Order

Res

idua

l

Residuals Versus the Order of the Data(response is SRT)

ESEMPIO 8


applicazioni - analisi della varianza ad un fattorestatic.gest.unipd.it/~livio/pdf/applicazioni -...

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