prétraitements locaux - 1 pretraitements 2ème partie 1. operateurs locaux signal dimage...
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Prétraitements locaux - 1
PRETRAITEMENTS
2ème
PARTIE
1. OPERATEURS LOCAUX Signal d’image Opérations élémentaires - filtres RIF
2. RENFORCEMENT DU CONTRASTE Laplacien discret - paramétrage LoG / DoG - efficacité algorithmique
3. LISSAGE DES BRUITS Opérateurs de base Critères de comparaison Opérateurs adaptatifs, filtres récursifs Evaluation des performances
4. ALGORITHMIQUE AVANCEE Filtre polynomial : PAoG
FIN DE PRESENTATION
PRETRAITEMENTS LOCAUX
Prétraitements locaux - 2
PROPRIETES DU SIGNAL D’IMAGE
OPERATEURS LOCAUX
0
L
C
Pixel G(l,c) + bruit
Signal non causal :
causalité G(l,c) dépend de { G(l-m,c-k) } m > 0 et k > 0 ( exemple signal fonction du temps )
dans l’image G(l,c) dépend tout autant de l’ensemble de ses voisins ( exemple : flou ) signal non causal
NB : le transfert des charges et la sérialisation du signal vidéo introduit une part causale indirecte …
Signal bruité :
sources de bruit diverses modèle physique complexe ( CCD seul, théoriquement vb=k.signal )
modèle simple 3 termes : bruit électronique-thermique bruit additif, indépendant du signal
bruit de « speckel » bruit dépendant du signal, multiplicatif, en image radar et en faibles niveaux de lumière
parasites EM, codage bruit impulsionnel, spatialement aléatoire : P% des pixels ont une valeur modifiée g ( si 255 et butées [0,255] : « salt & pepper noise » )
Prétraitements locaux - 3
OPERATEURS LOCAUX ( 2 )
Détermination des paramètres de bruit :
G = Go . Bmult ( = 1, Etd) + Badd ( = 0, 2 = vb) + ( g ) . Bimp ( P% )
Bruit multiplicatifmoyenne = 1
uniforme sur étendue [1-Etd/2,1+Etd/2]
Bruit additifgaussien
Bruit impulsionnelBimp { 0,1}, probabilité de 1:P%
Z0 Z1
Z2 Z3
Dans Zi i =0…3, moyennes différentes, variances égales
terme multiplicatif négligeable terme additif de variance moyenne vb 12 bruit impulsionnel non quantifiable …
Analyse du profil d’une ligne ( section de l’image )
Prétraitements locaux - 4
ANALYSE LOCALE DE l’IMAGE : CONTRASTE LOCAL ET BRUIT
OPERATEURS LOCAUX ( 3 )
Ligne 30 : section d’ensemble et coupe du chromosome
0 50 100 150 200 25080
100
120
140
160
180
200
220
240
Mise en évidence du bruit ( vb = 12 )
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4580
100
120
140
160
180
200
220
240
Mise en évidence du contraste local ( colonnes 30 à 70 )
Eléments de comparaisondes opérateurs
- bruit : fluctuations - contraste local : pente et amplitude de transition
Prétraitements locaux - 5
OPERATIONS ELEMENTAIRES : SIGNAL DISCRET 1D
OPERATEURS LOCAUX ( 4 )
Intégration méthode du trapèze h( g(i) ) : G
I( )
( )1 2. ( 1) ( ) terme causal
1 2.( ( ) ( 1)) terme anti-causal centré : 1 2.
1notation conventionnelle : ( ( )) .1 2 1 coefficients des échantillons, centrés sur ( )
4
h g i g i
h g i g i h h h
h g i g i
-
+ - +
= - + Þ
= + + Þ Þ = +
= Þ
g(i)
Dérivation ordre 1 d( g(i) ) :
( )( 1) ( ) terme causal
( ) ( 1) terme anti-causal centré : 1 2.
1soit : ( ( )) . 1 0 1
2
d g i g i
d g i g i d d d
d g i
-
+ - +
=- - + Þ
=- + + Þ Þ = +
= -
Dérivation ordre 2 d2( g(i) ) :
1 x g(i-1) + 2 x g(i) + 1 x g(i+1)
2 2( ( )) 1 2 1d d d d g i- +=- + Þ = -
NB : peut aussi être interprété comme
( ( )) 1 2.( ( ( 1) ( )) ( ( ) ( 1)))
( ( )) ( )
d g i g i g i g i g i
d g i h h d h- +
= - - + + + +
=- + »
Prétraitements locaux - 6
SIGNAL 2D : FILTRES LINEAIRES RIF
OPERATEURS LOCAUX ( 5 )
Intégration ou lissage 2D, voisinage centré 3x3 :
1 4. 1 2 1 1 1 2 11 1
Intégration 3 lignes puis colonne 1 4. 1 2 1 2 . . 2 4 24 16
1 1 2 11 4. 1 2 1
H
¬
¬ Þ =
¬
Dérivation 2ème ordre laplacien, voisinage centré 3x3 :
1 0 1 0
2 2 1 2 1 2 1 4 1
1 0 1 0
d l d cD = + = - + - = -
Dérivation 1er ordre 2 composantes du vecteur gradient, voisinage centré 3x3 :
2 2 20 0 0 0 1 0
1 1. 1 0 1 . 0 0 0 transposé de
2 20 0 0 0 1 0
dl dc dc grad dl dc
-
= - = = ® = +uuuur
Prétraitements locaux - 7
NORMALISATION DES COEFFICIENTS
OPERATEURS LOCAUX ( 6 )
Lissage :
Dérivation 1er ordre utilisation en détecteur :
Dérivation 1er ordre :
La réponse à un signal constant go doit être go somme des coefficients normalisés = 1
1. ( , ) ( , )
l cH c l c Cn c l c
Cn= ® =å å
En 1D la réponse à un signal g(i) = a.i doit être a 1
( ). 1 ( ).i i
D i c i i Cn c i iCn
Ä = = ® =å å
En 2D même considération pour chacune des composantes dl et dc : exemple de dl
ce qui est verifié pour le lisseur 3x3 : Cn = 16
( )1 2.( 1 ) (0 0) (1 ) 2 vérifié
adl g x a x xa Cn
Cn CnÄ = - - + + = ® =
Dans ce cas la réponse à un échelon d’amplitude a doit être a : exemple de dl
( )1( 1 ) (0 ) (1 ( )) 1 !
adl g xgo xgo x go a Cn
Cn CnÄ = - + + + = ® =
Prétraitements locaux - 8
PROPRIETES DES FILTRES LINEAIRES
OPERATEURS LOCAUX ( 7 )
Autre interprétation des opérateurs locaux : filtres à réponse impulsionnelle finie ( RIF )
( , ) ( , ). ( , )
( , ) : réponse impulsionnelle à coefficients réels
, { ... } réponse impulsionnelle infinie (RII)
, { ... } réponse impulsionnelle finie de taille 2. 1
, {0... }
n ms l c H n m g l n c m
H n m
n m
n m N N N
n m N
= - -
Î - ¥ +¥ ®
Î - + ® +
Î
å å
filtre causal, ici sans objet®
Application du filtre à l’image :
convolution 2D s = H g
Filtres séparables : réduction des calculs
Si H(n,m) peut se mettre sous forme produit :
H = hl(n).hc(m) filtre séparable
exemple : le filtre lisseur, par construction
1 2 1 11 1 1
. 2 4 2 . 2 . .1 2 116 4 4
1 2 1 1
H = =
2 convolutions 1D en cascade :
s = ( hl g ) hc = g ( hl hc )
nbre produits cumulés : N 2 en 2D 2.N en séparable
Prétraitements locaux - 9
OPERATEURS LOCAUX ( 8 )
Dualité opérateur local réponse impulsionnelle du filtre
Formellement les 2 présentations sont équivalentes, à un détail près :
- jeu de coefficients ou masque opérateur ordonné selon l,c croissants - réponse impulsionnelle est son symétrique / pixel central ( indices < 0 dans l’expression ) symétrie ou rotation de 180° de la matrice des coefficients
Coefficients et variance du bruit non corrélé entre pixels voisins, après filtrage
Variance du bruit en sortie de filtre : ( somme simple en 1D )
exemples :
2. ( , )n m
v vb h n m= å å
1 2 11
. 2 4 2 / 0.1416
1 2 1
0 0 01
. 1 0 1 / 0.52
0 0 0
0 1 0
1 4 1 / 20
0 1 0
H v vb
dl v vb
v vb
= Þ =
= - Þ =
D = - Þ =
Minimum à taille donnée sicoefficients égaux filtre moyenneur
1 1 11
3 3 .1 1 1 / 0.119
1 1 1
M x v vb= Þ =
Prétraitements locaux - 10
OPERATEURS LOCAUX ( 9 )
0 1 0 1 0 1 1 1 11 1
. 1 4 1 0 4 0 .1 8 1 / 182 2
0 1 0 1 0 1 1 1 1
m v vb
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷D = ç - + - = - Þ =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
Amélioration du comportement vis-à-vis du bruit
- Laplacien modifié : combinaison de 2 laplaciens selon des axes à 45° :
- Opérateur dérivée 1ère : combinaison lissage puis dérivation ( ou inverse, commutatif )
Gain très limité !
1 1 0 11 1 1
( ) ( ). . 1 0 1 . 2 . 2 0 2 / 0.192 4 8
1 1 0 1
dl H dl hl hc Dl v vb
-
= Þ = - Ä = - Þ =
-forme approchée centrée
norme du gradient :
dx ( g H )= g dx (H) propriété des filtres linéaires
2 2grad Dc Dl= +uuuur
- Cascade d’opérateurs augmentation de la taille de l’opérateur
' taille 5x5
remarque : lisseur 5x5 le plus efficace moyenneur 5 5 / 0.04
H H H
M x v vb
= Ä ®
® Þ =
Prétraitements locaux - 11
EFFET DE BORD
OPERATEURS LOCAUX ( 10 )
Opérateur convolution 2D : mode de traitement
C
L
Image source
Image destination
Cumul des produitsterme à terme
2.N+1 x 2.M+1coefficients
Bordure d’image 2xN lignes et 2xM colonnes non traitées mises à 0 ou recopiées …
C
L
2 convolutions 1D en cascade :
Traitementcolonne
Traitementligne
Prétraitements locaux - 12
PRINCIPE DU TRAITEMENT
RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL
Principe en 1D continu :
Signal
d2 : dérivée seconde
Signal – k.d2
Transition
La différence des niveaux haut et bas de la transition est augmentée localement
renforcement du contraste visuel
Mise en œuvre en 2D discret :
s = g – k . ( g ) = C(k) g
k = paramètre de réglage de l’augmentation du contraste
Problème : le laplacien est sensible au bruit
[ voir signal 2D – coefficients & bruit ]
0 0
( ) 1 4.
0 0
K
C K K K K
K
-
= - + -
-
Noter que du fait des dépassements s doit être
bornée s = min( max( C(k) g,1 ) , 255 )
Prétraitements locaux - 13
0 10 20 30 40 50 60 7080
90
100
110
120
130
140
150
160
170
REGLAGE DE « K »
RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 2 )
Image d’origine et ajustementadaptatif de dynamique :
renforcement du contraste globalsans conservation des relations d’ordre
k = 1 k = 3
Renforcement du contraste local
s = g – k . ( g ) = C(k) g
gk = 1k = 3
Noter l’amplification du bruit
Section
Prétraitements locaux - 14
4 convolutions 1D
Gx G’’y Gy G’’x + Op( g )
FILTRES GAUSSIENS
RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 3 )
Pour éviter l’amplification du bruit : lissage préalable par filtre dont RII est gaussienne
Calcul des coefficients du filtre RII 2D LoG :
( )2 2
2 2
2 2 2 22 22 2 4 2 2
1, .exp2 2
1 . 1 .exp2 2
x yG x y
x y x yG GGx y
ps s
ps s s
æ ö+ ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
æ ö æ ö+ +÷ ÷ç ç¶ ¶ ÷ ÷- ç çD = + = - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷¶ ¶ ç çè ø è ø
Filtre gaussien séparable ( Huertas-Medioni ) :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2
3 2 2
1, . avec G .exp2 2
1. . avec G . 1 .exp2 . 2
uG x y G x G y u
u uG G x G y G y G x u
ps s
p s s s
æ ö÷ç ÷ç= = - ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- ç 碢 ¢¢ ¢¢D = + = - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
1 convolution 2D
Gxy Op( g )
Prétraitements locaux - 15
RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 4 )
Différence de gaussiennes ( Marr – Hildreth ) DoG :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 2 22 21 21 2
1 2
1 2
1 1, , .exp .exp2 22 2
développement en avec et limité au premier ordre :
, , 2 . ,
et séparabilité de n
x y x yG x y G x y
G x y G x y G x y
G
ps pss s
s s s e s s e
es
æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç÷ ÷- = - - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷÷ ÷÷ç çè ø è ø
= + = -
- = D
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
( , , ) :
1 1, .exp . .exp2 . 2 .2 2
n
x y
x yG x y
s e
p s e p s es e s e
±
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷Þ = - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷± ±ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç± ±è ø è ø
4 convolutions 1D
G1x G1y G2x G2y - Op( g )
Comparaison des charges de calcul tailles des filtres Gx G’x et G’’x
Pour petit / identique à LoG
Voir calculs :
Prétraitements locaux - 16
EFFICACITE ALGORITHMIQUE : TAILLES DES FILTRES
RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 5 )
Gx G’x et G’’x : filtres RII troncature des coefficients
Critère : 1er coefficient négligé < 1% du coefficient maximum ( en valeur absolue )
Gx 3 G’x 3.6 G’’x 3.8
Validité du critère : % de somme des coefficients négligés / somme des coefficients même signe
Gx 0.25 % G’x 0.17 % G’’x 0.48 %
Comparaison des filtres : nombre de produits cumulés coef.pixel
Convolution 2D : 7.6 x 7.6 ( similaire à G ’’ ) 58 2
Huertas Medioni : 2 x 6 ( G ) + 2 x 7.6 ( G’’ ) 27 Marr Hildreth : 4 x 6 = 24
Autrement : DoG différence de 2 lissages et si opérateur = Image lissée – Image ?
s = g – k.( g Gxy - g ) = g – k. g ( Gxy –1 )
Gxy séparable terme de comparaison 2 x 6 = 12 ( mais peut être DoG )
Puis s = g – k.Op( g )
s = g.( 1 + k ) – k.(( g Gx) Gy )
Voir propriétés :
Prétraitements locaux - 17
Charges de calcul similaires de 25 et 22 */+ résultats visuels similaires ( sections )
0 10 20 30 40 50 60 7060
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
EXEMPLE : LOG ET G – 1
RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 6 )
Zone de testde vb
Section
LoG 5x5 ( = .58 ) K = 0.6 G-1 2x11 ( = 1.4 ) K = 1.2
gLoGG - 1
Sections
Comportement vis-à-visdu bruit valeur de vb
Image initiale vb = 12Opérateur LoG vb = 55Opérateur G-1 vb = 44
Prétraitements locaux - 18
FILTRES GAUSSIENS ET MOYENNEURS
RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 7 )
Comportement vis à vis du bruit blanc additif : coeff 2
moyenneur 5x5 : 0.04 gaussien 1D = 1.4 taille 11 : 0.20 2D 11x11 : 0.04moyenneur 3x3 : 0.11 gaussien 1D = .85 taille 7 : 0.33 2D 7x7 : 0.11
Performances identiques, mais charges de calcul différentes …
Comportement fréquentiel ( fréquences spatiales ) : modules des TFD 2D
moyenneur 5x5 : sin(k.)/(k.) gaussien 11x11 : exp(-2.2)
Comportements similaires en BF, réponse irrégulière du moyenneur en HF
Prétraitements locaux - 19
LISSAGE DES BRUITS
OPERATEURS DE BASE
Lissage du bruit : opérateur local traitant un échantillon d’image prélevé dans une fenêtre N x M réglages taille de l’échantillon, type d’estimateur du pixel central
Filtres RIF ou RII tronquée : statistiques paramétriques
{ } { }
1,
Echantillon : coefficients : 1... avec . impair répartition spatiale
pixel central .
1/ moyenne, sinon moyenne pondérée ( spatialement )
i i
i ii L
i
g c i L L M N
pc c g
c L i
=
= = Þ
= =
= " Þ
å
Filtres d’ordre
{ } { } { }1 2
1,
Tri de l'échantillon :
. répartition des coefficients sur l'ordre des valeurs des pixels
Filtre médian 1 ( 1) / 2, 0
Filtre extrémal 1 1 ou ,
i i L
i ii L
k i k
k
g x x x x
pc c x
c k L c i k pc x
c k L
=
® = £ £ £
= Þ
Þ = = + = ¹ ® =
Þ = =
åL
{ }
1Filtre inf : 0
Filtre sup :
11Moyenne tronquée ( 1) ( ) .2. ( 2. )
iL
k kk
pc xc i k
pc x
c k t L t pc xL t L t
== ¹ ®
=
Þ = = + - ® =- -åL
Temps de calcul !
Prétraitements locaux - 20
LISSAGE DES BRUITS ( 2 )
CRITERES DE COMPARAISON
Image de test Moyenne 3x3 Médiane 3x3
Moyenne flou, mais optimale si bruit blanc additif
Médiane conserve les transitions élimine les détails fins, mais optimale si bruit impulsionnel
Critères de qualité
1 2 3 4 5 6 7100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
Section des images
MoyenneMédiane
- conservation des transitions :
|écarts| entre profil initial et profil lissé
- réduction de la variance de bruit sur gris uniforme :
variance après lissage / variance bruit tests avec bruit additif gaussien et bruit impulsionnel
Prétraitements locaux - 21
LISSAGE DES BRUITS ( 3 )
OPERATEURS ADAPTATIFS : EXEMPLES
Inconvénient du filtre moyenneur : dégradation des transitions
Remède : inhiber le moyennage au voisinage des transitions
Critère de proximité : variance locale vb ( estimation du bruit )
Effet d’une transition g 2 = g 2 / 4
g
moy
Opérateur moyenne adaptative :
2 2 2
2
2 2 2
1,
( ) / avec
absence de transition : 0
transition : ( / 4) 1
1(1 ). . .i initial
i L
K vb vb
vb K
g vb g vb K
pc K g K pcL
s s s
s
s s
=
= - ³
» ® »
D = + D ® ® »
æ ö÷ç= - +÷ç ÷ç ÷÷çè øå
?
de K = 0 : moyennageà K = 1 : conservation du pixel initial
Autre forme : moyennage des valeurs proches de pc
{ } tels que contraste minimum significatif
élimination des pixels incohérents / pixel central( )
i i initialS g g pc Seuil Seuil
Spc
card S
= - < =
= Þ
å
sélection spatiale
Prétraitements locaux - 22
-10 -5 0 5 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
LISSAGE DES BRUITS ( 4 )
FILTRE EXPONENTIEL
Réponse impulsionnelle : ( ) .exp( . ) avec 0, si filtrage 2E x xb b b b= - > ] Z
Propriétés similaires au filtre gaussien :2
k
2 2
Filtre séparable : E( , ) .exp( .( )) ( ). ( )4.Filtre d'échelle : . ( , ) .exp( . . ) . ( . )2
1Module de TFD : décroissance régulière en
1 .
k k k
x y x y E x E y
kk E x k x E k E k x
b b
bb b b b
w b-
= - + =
= Þ = - =
+
Taille des filtres 1D :
En négligeant les coefficients < 1% du maximum étendue du filtre 4.6 -1
A même lissage du bruit blanc additif, donc Sc2 = coeff 2 identique :
Sc2 = 0.33 moyenne 3 gaussien = 0.85 taille 7 exponentiel = 1.16 taille 9
Sc2 = 0.20 moyenne 5 gaussien = 1.4 taille 11 exponentiel = 0.74 taille 13
Utiliser une autre forme du filtre exponentiel !
1/ β
β / 2
Prétraitements locaux - 23
LISSAGE DES BRUITS ( 5 )
Filtre 1D RII, forme discrete sans troncature :
| | | |
0
A la constante de normalisation près, et avec exp( ) :
1( ) . 1 2. par symètrie
1 1 11 2. ( résultat retrouvé autrement plus loin )
1 1
i i i
i i
b
E i Cn b b bCn
bCn
Cn b b
b+¥ ¥
=- ¥ =
= -
= ® = =- + ®
æ ö -÷ç=- + ® =÷ç ÷çè ø- +
å å
Réduction du bruit blanc additif par le filtre exponentiel :
( ) .exp( . )E i cste ib= -
22 2 2. 2
2 30
2 3
1 (1 ).(1 ). ( ) . . 1 2. . 1 2.
1 (1 )
à / donné, on peut calculer :
(1 ).(1 ) .(1 ) 0 une solution réelle,
i
i i
v b bv vb e i vbCn b Cn
vb b b
v vb k b
b b k b
+¥ ¥
=- ¥ =
æ ö æ öæ ö - +÷ ÷ç ç ÷ç÷ ÷ç ÷= = - + ® = - + =ç ç÷ ÷÷ç ç ç÷ ÷÷ç ÷ç÷çç è øè øè ø - +
=
+ - - + = ®
å å
( ) ( )
1/32 2
2
voir calculs Maple
10 54. 6.(1 ). 3 81.
(1 3. ). 2.(1 9. ) 3.(1 ).k
t k k k
b t k t k k t
æ ö÷ç= + + + + ÷ç ÷çè ø
= + - - + +
NB : en 2D, 2 lissages successifs ligne-colonne considérer
Filtre_Expo.mws
/k v vb=
Prétraitements locaux - 24
LISSAGE DES BRUITS ( 6 )
FORME RECURSIVE
( ) .exp( )i
E i cste b= -
La réponse impulsionnelle discrète du filtre exponentiel peut se mettre sous forme récursive :
Voir calculs :
exp( )
( ) ( ) . ( 1) pour 0 ( 1)
( ) .( ( 1) ( 1)) pour ( 1) 0
1( ) .( ( ) ( ))
1
b
sc i x i b sc i i N
sa i b x i sa i i N
bs i sc i sa i
b
b= -
= + - = -
= + + + = -
æ ö- ÷ç= +÷ç ÷çè ø+
L
L
2
( ) ( ) . ( 1) pour 0 ( 1)
( ) ( ) . ( 1) et ( ) (1- ) . ( ) pour ( 1) 0
sc i x i b sc i i N
sa i sc i b sa i s i b sa i i N
= + - = -
= + + = = -
L
L
2 balayages en // de sens opposés causal et anticausal : forme récursive parallèle
xsa
scs+
i
i 3 * et 3 + par pixel
Ou sous forme récursive cascade : 2 balayages en série de sens opposés
3 * et 2 + par pixelx sci i s
Prétraitements locaux - 25
LISSAGE DES BRUITS ( 7 )
Effet de bord identique à la forme RII tronquée initialisation des filtres
-15 -10 -5 0 5 10 150.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
= 1.15 taille 9, effet de bord sur 4 pixels
réponse à un signal x(0) = 2, x(i) =1 pour i 0
sans initialisation : en bordures transition 0 1
avec initialisation : suppression de l’effet de bord
2
(0) /(1 )
( ) . ( ) pour 0 ( -1)
/(1 )
( ) . ( ) (1 ) . pour ( 1) 0
si x b
si x i b si sc i si i N
si si b
si sc i b si s i b si i N
= -
= + = =
= -
= + = - = -
L
L
Algorithme avec initialisation
Lissage d’image 2D :
Filtre séparable, ordre indifférent, commutatif :E(y) E(x)
Lissagecolonne
Lissageligne
Résultatlissage 2D
Prétraitements locaux - 26
… et même méthode pour le lissage colonne C(i) :
LISSAGE DES BRUITS ( 8 )
But : éviter 2 initialisations par ligne et par colonne
Balayage alterné des lignes et colonnes passage de ligne / colonne sur même voisinage donc sans discontinuité majeure du signal
Chaque ligne / colonne est parcourue dans les 2 sens mais en ordre inverse (commutatif)
Exemple du balayage ligne L(i) :
Phase 1 : causal Phase 2 : anticausal
Initialisationpar 1er pixel
image
Initialisationpar dernierpixel lisséfin
fin
( ) ( ) . ( 1)Lc i L i b Lc i= + - ( ) ( ) . ( 1)La i Lc i b La i= + +
OPTIMISATION ALGORITHMIQUE
Prétraitements locaux - 27
LISSAGE DES BRUITS ( 9 )
Phase 1 : causal Phase 2 : anticausal
Initialisationpar 1er pixel
image
Initialisationpar dernierpixel lissé
… et reste le coefficient multiplicateur (1-b)2 en ligne et en colonne, soit (1-b)4
Bilan des nombres d’opérations en 2D : lissage ligne 2 * et 2 +lissage colonne 2 * et 2 + soit 5 * et 4 + par pixelcoefficient final 1 *
( ) ( ) . ( 1)Cc i C i bCc i= + - ( ) ( ) . ( 1)Ca i Cc i bCa i= + +
Prétraitements locaux - 28
LISSAGE DES BRUITS ( 10 )
OPERATEUR A SELECTION DE VOISINAGE
Opérateur d’origine : Nagao ( 79 ! )
Subdivision d’une fenêtre 5 x 5 en 9 secteurs angulaires, calcul de moyenne et variance dechaque secteur : pc = moy(k), k tel que var(k) = min( var(i) ) i = 0 … 8
Secteur i orientation i./4 i = 0 …7 ( secteur 8 central )
0
123
4
5 6 7
8 Propriétés, exemple en 1D :
- préservation des transitions
-élimination des pixels « hors norme » ( bruit impulsionnel )
Géométrie des secteurs complexe régularisation des secteurs
pc
S0S1
var( S0 ) < var( S1 )
pc = moy( S0 )S0
S1
pc
Prétraitements locaux - 29
LISSAGE DES BRUITS ( 11 )
Nagao optimisé : 9 secteurs identiques 3 x 3 dans une fenêtre 5 x 5
S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8
NB :
- médiane ou moyenne tronquée au lieu de moyenne robustesse au bruit impulsionnel - transition raide non bruitée (hypothèse théorique) effet de dentelle sur la zone de contraste
0,8
1. k var( ) min (var( ))
9 iSkpc g k i
== ® =å
Intérêt : au cours du déplacement de l’opérateur en ligne : S0 S8 S4
Les calculs pour un secteur 3 x 3 sont utilisés en 9 positions différentes charge de calcul S0 S8 S4
Même colonne image
Prétraitements locaux - 30
LISSAGE DES BRUITS ( 12 )
EVALUATION DES PERFORMANCES : TRANSITIONS
Image de test 100 x 61 : transition 100-200 faible bruit gaussien additif vb = 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Profil lissé moyen sur 100 lignes
Opérateurs : médiane 5x5 : med5 2 moy.pondérée 5x5 vb = 16 : mop5-16 2 nagao 5x5 : nag 7 moyenne tronquée 5x5 t = 3 : mtr5-3 56 gaussien 11x11 ( = 1.4) : gau-1.4 67 moyenne 5x5 : moy5 74 exponentiel récursif ( = 0.74) : exp-.74 86
moy5med5exp-.74nag
( )c
1Critère : . (image bruitée lissée) profil non bruité
100 l
æ ö÷ç ÷ç -÷ç ÷÷çè øå å
médiane et moyenne pondérée respectent intégralement le profil
gaussien, moyenne et exponentiel créent un flou
nagao renforce le contraste ( cause du critère = 7, voir profils )
Prétraitements locaux - 31
LISSAGE DES BRUITS ( 13 )
EVALUATION DES PERFORMANCE : BRUIT
Image de test I0 : 300 x 300 I1 : I0 + bruit additif gaussien = 4 vb 16 I2 : I1 + bruit impulsionnel p = 3% 20 ( 5. ) vb 29 I3 : I1 + bruit impulsionnel p = 6% 28 ( 7. ) vb 63
Critère sur image Ik :
C = var(Ik lissée) / var(Ik)
I1 I2 I3
moy5 0.046 0.043 0.041
med5 0.066 0.040 0.019
mop5-16 0.071 0.30 0.60
mtr5-3 0.048 0.030 0.016
gau-1.4 0.046 0.044 0.041
exp-.74 0.044 0.042 0.039
nag 0.14 0.091 0.056
Classe 1 : C 0.04 valeur théorique ( moy5, gau-1.4, exp-.74 )
Classe 2 : C avec bruit impulsionnel C 0.04 ( mop5-16 )
Classe 3 : C avec bruit impulsionnel ( med5, mtr5-3, nag )
NB : nagao sélectionne une moyenne 3x3 parmi 9 valeur de C plus élevée
Prétraitements locaux - 32
LISSAGE DES BRUITS ( 14 )
EXEMPLE : REPRESENTATION 3D
Moyenne 5x5
Médiane 5x5 Nagao
Prétraitements locaux - 33
LISSAGE DES BRUITS ( 15 )
EXEMPLE : IMAGE REELLE
Moyenne 5x5
Médiane 5x5 Nagao
Prétraitements locaux - 34
ALGORITHMIQUE AVANCEE
FILTRE POLYNOMIAL : PAoG
Le filtre gaussien est largement utilisé mais :
sa réponse impulsionnelle tronquée ( RII RIF ) est étendue, il n’a pas de forme récursive, plus efficace.
approximation par une forme plus simple « Polynomial Approximation of Gaussian »
Filtre PAoG : réponse impulsionnelle finie 1D
[ ]
2 2Filtre gaussien discret : ( , ) .exp( / 2. )
dans 3. 3. , avec normalisation telle que ( , ) 1
Filtre polynomial : ( , ) .( 2 ).( 1 ). 3.
g
g
p
G k C k
k C G k
P k w C w k w k
s s
s s s
= -
- =
= + - + - -
åL
( )
[ ]
2 (2. 3). .( 3)
entier positif
dans , ( , ) nul en dehors, avec normalisation par
p
k w k w w
w
k w w P k w C
+ + + +
- L
( )
( )3. 2
3.
5 / 2. .( 1).( 2).( 3).(2. 3)
1Par minimisation de l'erreur quadratique : . ( , ) ( , )
(2.max( ) 1). (0, )
0.3217 0.4789 ( 3. 70 soit 23 )
pC w w w w w
Eq G k P k wk G
w w w
s
ss
s
s s s-
= + + + +
= -+
Þ = + < " < »
å
En fait ceil( 3.σ )
Prétraitements locaux - 35
ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 2 )
Précision de l’approximation :
( )3. 2
3.
1Evaluation par : . ( , ) ( , )
(2.max( ) 1). (0, )
1et par l'erreur maximale : .max ( , ) ( , )
(0, ) k
Eq G k P k wk G
Em G k P k wG
s
ss
s
ss
-= -
+
= -
å
0 2 4 6 8 10 12 140
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5Eq (rouge) - Em (bleu)
Eq < 1 % Em < 3 %pour w ≥ 2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2Gauss (bleu) - PAoG (rouge)
w = 5σ = 2.1
Réponses impulsionnelles( erreur max pour faibles valeurs )
Précision pour w : [ 1 … 13 ] soit σ : [ 0.8 … 4.7 ]
Prétraitements locaux - 36
ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 3 )
Efficacité du lissage vis-à-vis du bruit :
Evaluation par la somme quadratique des coefficients de la RIF : v/vb = Σ coeff2
pour filtre gaussien, PAoG, et par comparaison pour moyenne de largeur ( 2.w+1 )
0 2 4 6 8 10 12 140
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4Gauss (bleu) - PAoG (rouge) - Moy (noir)
w : [ 1 …13 ]σ : [ 0.8 … 4.7 ]
Efficacité PAoG / gaussien : 94 à 98 %
PaoG est une bonne approximation d’unfiltre gaussien, RIF moins étendue ( w < 3.σ )
de plus PAoG possède une forme récursive,strictement causale : 1 seul sens de balayage !
( )
2 1
1 5
2 2
1 1
1
.(1 ). ( )( ) .
(1 )
où : 30 / .( 1).( 2).( 3).(2. 3)
et : ( ) .( )
( 3).( )
(2. 3).( )
w w
w w
z z N zP z Cp
z
Cp w w w w w
N z w z z
w z z
w z z
- -
-
+ - -
+ - -
-
+=
-
= + + + +
= -
- + -
+ + -
Prétraitements locaux - 37
ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 4 )
( )
2 1
1 5
1 2
1
1
1
1
1
.(1 ). ( )( ) . ( ) ( ). ( )
(1 )
1( ).(1 ) . ( ) . ( )
2( ).(1 ) 1( )
3( ).(1 ) 2( )
4( ).(1 ) 3( )
5( ).(1 ) 4( )
( ) .(1 ). 5( )
z z N zP z Cp Y z P z X z
z
T z z z N z X z
T z z T z
T z z T z
T z z T z
T z z T z
Y z Cp z T z
- -
-
- -
-
-
-
-
-
+= =
-
- =
- =
- =
- =
- =
= +
PAoG RECURSIF CAUSAL
( )( )
( )
( ) . ( ) ( 4)
( 3). ( 1) ( 3)
(2. 3). ( 1) ( 3)
nx i w x i w x i w
w x i w x i w
w x i x i
= + - - -
- + + - - - -
+ + - - -
( )
1( ) ( ) 1( 1)
2( ) 1( ) 2( 1)
3( ) 2( ) 3( 1)
4( ) 3( ) 4( 1)
5( ) 4( ) 5( 1)
( ) . 5( ) 5( 1)
t i nx i t i
t i t i t i
t i t i t i
t i t i t i
t i t i t i
y i Cp t i t i
= + -
= + -
= + -
= + -
= + -
= + -
Transformée en z Domaine temporel
Prétraitements locaux - 38
00 (0) -1 ( -1)
( 4) ( )
( 3) ( -1)
( 3)
( 1)
i x x i N xn X N
x i w x i w
x i w x i w
x i
x i
= = = =
- - +
- - +
-
-
ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 5 )
- les pixels doivent arriver dans l’ordre pour tous les échantillons ( commencer à io = –w pour nx(i) )
t1(io) = t2(io) = t3(io) = t4(io) = 0
t5(io) = t5(io-1) = x0 / 2.Cp
- tous calculs en entiers car poles sur le cercle unité
zones d’initialisation et de fin imposées, contraintes :
4 * et 11 + par pixelx yi
Balayage causal unique : nombre d’opérations
Conditions initiales et finales : gestion de l’effet de bord
à comparer à 6.σ + 1 produits cumulés pour gaussien RIF :
Dès que w =2 le nbre totald’opérations est plus réduit,et du même ordre pour w = 1
xxo xn
w-(2.w+4)
Prétraitements locaux - 39
ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 6 )
PAoG : DERIVEES D’ORDRE 1 ET 2
( )( )
( )
( ) . ( ) ( 4)
( 3). ( 1) ( 3)
(2. 3). ( 1) ( 3)
nx i w x i w x i w
w x i w x i w
w x i x i
= + - - -
- + + - - - -
+ + - - -
( )
1( ) ( ) 1( 1)
2( ) 1( ) 2( 1)
3( ) 2( ) 3( 1)
4( ) 3( ) 4( 1)
5( ) 4( ) 5( 1)
( ) . 5( ) 5( 1)
t i nx i t i
t i t i t i
t i t i t i
t i t i t i
t i t i t i
y i Cp t i t i
= + -
= + -
= + -
= + -
= + -
= + -
Les opérations Tk(z).(1-z-1) = Tk-1(z) sont en fait
des intégrations les dérivées d’ordre 1 et 2 sont donc directement disponibles en t4 et t3
1
1
1
Ordre 1 : ( ) . 4( )
normalisation en dérivateur : 2.
normalisation en détecteur : 24. .(2. 3) / 30
yd i C t i
C Cp
C Cp w
=
=
= +
( )2
2 1
Ordre 2 centrée : 2( ) . 3( ) 3( 1)
normalisation : / 2
centrage : décalage dans sens causal
1 sur les indices du calcul de ( )
yd i C t i t i
C Cp C
nx i
= + -
= =
+
Prétraitements locaux - 40
RETOUR AU PLAN
FIN DE PRESENTATION
FIN DE PRESENTATION
Prétraitements locaux - 41
DEVELOPPEMENT AU 1ER ORDRE EN « »
FILTRE DOG
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 2 2 22 21 21 2
2 3
1 2
3
3
1 1, , .exp .exp2 22 2
avec et Taylor . . .2! 3!
22 . .
3!
1 . 1
x y x yG x y G x y
G G G G G
G G G G
G
ps pss s
e es s e s s e s e s e s s s
es e s e e s s
sps
æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç÷ ÷- = - - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷÷ ÷÷ç çè ø è ø
¢ ¢¢ ¢¢¢= + = - Þ + = + + + +
¢ ¢¢¢+ - - = + +
-¢ = -
L
L
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 2 3 2 2
1 2 1 2
.exp2 2
2au premier ordre : , , . 1 .exp2 2
, , 2 . , et séparabilité de ( , ) et (
x y x y
x y x yG x y G x y
G x y G x y G x y G x y G x
s s
eps s s
es
æ ö æ ö+ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
æ ö æ ö+ +÷ ÷ç ç÷ ÷- ç ç- = - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
Þ - = D
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
, ) :
1 1, .exp . .exp2 . 2 .2 2
n
y
x yG x y
p s e p s es e s e
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷± ±ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç± ±è ø è ø
Prétraitements locaux - 42
PROPRIETES
( ) ( )( )22
k2 2
2k2
3
1 .1 1G , .exp si . G , . .exp2 2 .2 2
( ) . ( . )G ( , ) . ( . , . )
donc ' ( ) . '( . ) et de façon similaire ( ,
'' ( ) . ''( . )
k k
k
kk
k
x k xx x k
k
G x k G k xx y k G k x k y
G x k G k xG x y
G x k G k x
s s s sps p ss s
æ öæ ö ÷ç÷ç ÷÷ çç= - = Þ = - ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷÷ç ÷çè ø è ø
==
Þ = ÞD
=4) . ( . , . )k G k x k y= D
Modification des réponses impulsionnelles en fonction de :
Conséquence : relation entre et échantillonnage G(x) = filtre dit « d’échelle »
si k entier, avec x(i) les échantillons du signal et CG(i) les coefficients de la RII tronquée :
( ). ( ) . ( . ). ( . )ki i
CG i x i k CG k i x k i=å å
0 2k …kCG(ki)
x(ki)
CGk(i)
x(i)1 2 …0
x(ki) est de taille k fois x(i) par insertion de k zérosentre les échantillons
La réponse à un filtre de paramètre k. sur un signal à l’échelle « k » est, à un facteur k près, celle du du filtre de paramètre sur le signal à l’échelle 1
Prétraitements locaux - 43
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
PROPRIETES ( 2 )
Exemples : deux valeurs de 0.5 et 1.5 ( k = 3 )
Réponses pour un créneau de 9 pixels
= 0.5 = 1.5
Dilatation d’échelle Contraction d’échelle
référence = 0.5
référence = 1.5
Créneau dilaté par insertion d’un 0 de part etd’autre de chaque échantillon, lissage = 1.5,puis ré-échantillonnage 1 pixel sur 3 idem.
Créneau sous-échantillonné 1 pixel sur 3, lissage = 0.5, puis remise à l’échelle d’originepar réplication de chaque pixel à gauche et àdroite idem à la discrétisation près.
Prétraitements locaux - 44
FORME RECURSIVE
Décomposition du filtre 1D discret :
11
A la constante près, et avec exp( ) :
1( ) si 0 ( ) ( ).(1 . ) ( )
1 .partie causale : ( ) ( ) . ( 1)
1( ) si 0 ( ) 1 ( ).(1 . ) . . ( )
1 .partie
i
i
b
Ec i b i TZ Ec Sc z b z X zb z
sc i x i b sc i
Ea i b i TZ Ea Sa z b z b z X zb z
b
--
-
= -
= ³ ® = ® - =-
Þ = + -
= < ® = - ® - =-
Þ anticausale : ( ) .( ( 1) ( 1))
D'où :
( ) .( ( ) ( )) avec telle que le gain soit unitaire : réponse à entrée
. /(1 ) .(
. . . /(1 )
sa i b x i sa i
s i cste sc i sa i cste Go Go
sc Go b sc sc Go bcste sc s
sa bGo b sa sa bGo b
= + + +
= +
= + ® = -Þ +
= + ® = -1
)1
ba Go cste
b
-= Þ =
+
Forme récursive parallèle du filtre exponentiel :
( ) ( ) . ( 1) pour 0 ( 1)
( ) .( ( 1) ( 1)) pour ( 1) 0
1( ) .( ( ) ( ))
1
sc i x i b sc i i N
sa i b x i sa i i N
bs i sc i sa i
b
= + - = -
= + + + = -
æ ö- ÷ç= +÷ç ÷çè ø+
L
L 2 balayages en // de sens opposés causal - anticausal
( ) .exp( . )E i cste ib= -
Exclusion de i = 0
Prétraitements locaux - 45
( 1) ( ) 0(0) /(1 )
( ) (0) 0
( ) ( ) 0( 1) /(1 )
( ) ( 1) 0
iniini
iniini
sc sc sc i isc x b
x i x i
sa N sa sa N i isa sc N b
sc N i sc N i
- = = - " >Þ = -
- = " >
= = + " >Þ = - -
+ = - " ³
FORME RECURSIVE ( 2 )
Forme récursive cascade : 2
1 1
2 21
2 2
1 1 . 1 1( ) . .
1 1 . 11 . (1 . ).(1 . )
1 1( ) (1 ) . . (1 ) . ( ). ( )
1 .1 .
( ) (1 ) .( ( ). ( )). ( ) (1 ) . ( ). ( ) avec ( ) ( ). ( )
D'où :
( )
b b z b bE z
b b z bb z b z b z
E z b b Ec z Ea zb zb z
S z b Ec z X z Ea z b Ea z Sc z Sc z Ec z X z
sc i
- -
-
æ ö- - -÷ç= + =÷ç ÷÷ç+ - +è ø- - -
= - = ---
= - = - =
2
( ) . ( 1) pour 0 ( 1)
( ) ( ) . ( 1) et ( ) (1- ) . ( ) pour ( 1) 0
x i b sc i i N
sa i sc i b sa i s i b sa i i N
= + - = -
= + + = = -
L
L
Même dénominateur
Conditions initiales pour limiter l’effet de bord :
2 balayages successifs en sens inverses
Etat permanent atteint en bordure d’image