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7/29/2019 poutres_continues.pdf

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Cours de- mcanique -

_______________________________________________

Relations entre les moments de flexion sur appuis, les

rotations sur appuis, les dplacements des appuis

dune poutre droite trave unique.

tude des poutres continues par le

Thorme des trois moments.


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SOMMAIRE

1. RELATIONS ENTRE LES MOMENTS DE FLEXION SUR APPUIS, LES ROTATIONS SUR APPUIS, LES DEPLACEMENTS DES

APPUIS D'UNE POUTRE DROITE A TRAVEE UNIQUE ___________________________________________ 3

1.1. CAS 1 : LES APPUIS I, J SONT FIXES ( LES DPLACEMENTS AU NIVEAU DES APPUIS SONTNULS, OU LES TASSEMENTS DIFFRENTIELS SONT NULS ) ......................................................3

1.1.1. PRESENTATION 3

1.1.2. ETUDE DU SYSTEME )0iS 6

1.1.3. ETUDE DU SYSTEME 0j

S 7

1.1.4. ETUDE DU SYSTEME ( )S00 8ETUDE DU SYSTEME ( )S 8

1.2. EFFETS DES DENIVELLATIONS AU NIVEAU DES APPUIS I, J (ON TUDIE LA POUTRE POURUNIQUEMENT DES TASSEMENTS DIFFRENTIELS).....................................................................9

1.2.1. ETUDE DU SYSTEME ( )Sd 91.3. CAS GENERAL, LES APPUIS I, J SE DEPLACENT (TASSEMENTS DIFFRENTIELS NON NULS)10

1.3.1. ETUDE DU SYSTEME ( )S +( )Sd DEPLACEMENTS DES APPUIS I, J 10

2. POUTRES CONTINUES. THEOREME DES 3 MOMENTS. _________________________________________ 12

2.1. DEFINITIONS, NOTATIONS UTILISEES ..........................................................................................122.1.1. DFINITION 122.1.2. SCHMA MCANIQUE 12

2.2. BILAN STATIQUE..............................................................................................................................132.3. CHOIX DES INCONNUES HYPERSTATIQUES ...............................................................................14

2.4. THEOREME DES 3 MOMENTS ........................................................................................................182.5. CAS OU IL EXISTE DES DNIVELLATIONS AUX APPUIS .............................................................192.6. PROCDURE DE CALCUL ...............................................................................................................192.7. ENCASTREMENT AU NIVEAU D'UN APPUI DE RIVE ....................................................................212.8. DEPLACEMENT DES APPUIS..........................................................................................................222.9. POUTRES CONTINUES SUR APPUIS ELASTIQUES .....................................................................242.10. COEFFICIENTS DE SOUPLESSE DE LA TRAVEE I .......................................................................262.11. FOYERS DES POUTRES CONTINUES ...........................................................................................27


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- Les poutres continues - LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n3/29

1. RELATIONS ENTRE LES MOMENTS DE FLEXION SUR APPUIS, LES ROTATIONS SUR APPUIS, LESDEPLACEMENTS DES APPUIS D'UNE POUTRE DROITE A TRAVEE UNIQUE

1.1. CAS 1 : LES APPUIS i, j SONT FIXES ( les dplacements au niveau des appuis sontnuls, ou les tassements diffrentiels sont nuls )

1.1.1. PRESENTATION

i j

F p

lj

y

x

Mij Mji zz

( )S

Hypothses:

Les appuis i et j sont fixes, les actions (chargeslocalises, charges rparties) sont perpendiculaires laligne moyenne, les couples peuvent tre rpartis oulocaliss.

EI z =cte le long de la trave j de longueur lj .

L'exposant 0 indique que la poutre et plusgnralement la structure est isostatique.

En utilisant le Principe de superposition et en respectant les consignes, on demande de dcomposer le

systme des actions mcaniques ( )S en 3 systmes ( )S00 , ( )Si0 , ( )Sj0 .

Pour gnraliser les calculs nous considrons les systmes ( )Si0 , ( )Sj0 tels que

( )Si0

: poutre soumise un couple unit en i

( )Sj0 : poutre soumise un couple unit en j

Complter l'quation liant les diffrents systmes. ( ) ( ) ( ) ( )S S S Si j= + +00 0 0..... .....

Remarque: les couples M Mij ji, respectivement appliqus en i, j doivent tre distingus des moments de

flexion. Les couples sont des actions du milieu extrieur sur la poutre considre. Les moments de flexion en i, js'expriment en fonction de ces couples, on donnera l'expression des moments de flexion en i, j.

M Mzi zj= =....... .......

Compltez les schmas mcaniques ci-dessous.

R.D.M.


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i j

y

x

i j

y

x( )Si0

poutre soumise un couple unit en i

i j

y

x

( )Sj0

poutre soumise un couple unit en j


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Nous pouvons dcomposer le systme ( )S suivant la description ci-dessous.

i j

i j

i j

i j

F p

lj

y

x

F py

x

MijMji

1

1

y

x

y

x

zz

( )S systme initial, ici la poutre est unestructure isostatique soumise au chargement sur latrave ainsi que les couples sur les appuis.

( )S00 nomm systme isostatique associ telque les appuis ne sont pas soumis des couples.

( )0iS poutre soumise un couple unit en i

( )0jS poutre soumise un couple unit en j

Le Principe de superposition et de l'indpendance de l'effet des actions permet d'crire l'quationsuivante:

( ) ( ) ( ) ( )S S S M S Mi ij j ji= + +00 0 0. .


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1.1.2. ETUDE DU SYSTEME( )0iS

i j

j

1( Si )y

x

y

xi1

lj

1lj

1lj

x

(Mz(x)

x

(Uy(x)y(0) (i(U'

(i)

( ) jlj

1

Diagramme du moment flchissant.

Dforme

)

(i))

(i))

(i))= = aj

y ((U' (i)) (i))= = j-b

0 Rsolution statique:quation de projection sur l'axe Y:

Y Yi j+ = 0quation des moments / l'appui i :

( ) 100 +== jjii/ Y.lSM

Yl

Yl

j

j

i

j

= =1 1

Dterminons les rotations au appuis i, j.en ngligeant l'influence de l'effort tranchant

( )V xy .

( )( )( )

( )( )( )

EI U x M xz yi

z i. '' =

Equation du moment de flexion

( )( )( )

M xx

lz i j=

1

avec ( )( )( )

( )( )( )

M M lz i z j i0 1 0= =,

( )( )( )

( )( )( )

EI U x M xx

lz y i z i j. '' = =

1 ( )( ) ( )EI U x x

x

lAz y

ij

. ' =

+

2

2

( )( )( )

EI U xx x

lAx Bz y

ij

. =

+ +

2 3

2 6

Conditions aux limites: ( )( )( )

( )( )( )

U B U l Al

yi

y ji

j0 0 0 0

3= = = =

( )( )( )

( )( )( )

x U xEI

xx

l

l

iy

iz j

j= =

+

'1

2 3

2

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

0 03 6i y i

j

zj

iy j

i

j

z

Ul

EIl U l

l

EI= = = = ' '

( )( ) ( )( ) i i

j

z

j ji

j

z

j

l

EIa

l

EIb= = = =

3 6


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1.1.3. ETUDE DU SYSTEME 0j

S

i j

j

1

y

x

y

xi

lj

1lj

1lj

x

Mz(x)

x

(x)

+1


Dforme

( Sj )

1

y(0) (i(U'

( ) jlj

(j))

(j))= =-bj

y ((U' (j)) (j))= = jc

((j))

y(U' (j))

Rsolution statique:

quation de projection sur l'axe Y: Y Yi j+ = 0

quation des moments / l'appui i :

100 +==jji/

Y.lSMj

Yl lj j i j

= =1 1

,Y

Dterminons les rotations au appuis i, j.

en ngligeant l'influence de l'effort tranchant ( )V xy .

( )( )( )

( )( )( )

EI U x M xz yj

z j. '' =

quation du moment de flexion

( )( )( )M xxlz j j

=

avec ( )( )( ) ( )( ) ( )M M lz j z j j0 0 1= =,

( )( )( )

( )( )( )

EI U x M xx

lz y

j

z jj

. '' = = ( )( )( )

EI U xx

l

Az yj j

. ' = +2

2

( )( )( )

EI U xx

lAx Bz y

jj

. = + +3

6

Conditions aux limites: ( )( )( )

( )( )( )

U B U l Al

yj

y jj

j0 0 0 0

6= = = =

( )( )( )

( )( )( )

x U xEI

x

l

l

jy

jz j

j= =

'1

2 6

2

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 6 3j y jj

zj

jy j

j

j

zU

l

EI l U ll

EI= = = =' '

( )( ) ( )( ) i j

j

z

j jj

j

z

j

l

EIb

l

EIc= = = =

6 3

c a si Ij j z varie le long de la poutre.


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1.1.4. ETUDE DU SYSTEME ( )S00

i j

F py

x

( S )

x

Mzj0(x)

x

Uyj0(x) wj0


Dforme0

ei0 j

i

00

0

0

0

Les sollicitations ( ) ( )xV,xM yjzj00

00 ainsi que les

dplacements ( translations ( )xU yj0

0 et rotations ( )xzj0

0

note pour simplifier ( )xj0

0 ) ne peuvent tre quantifiesque si l'on connat quantitativement les valeurs des actions.Par exemple ici en prcisant la position du pointd'application de la force ponctuelle

r

F :distance de l'appui ijusqu'au point d'application de la force F =j jl. .

Quelques prcisions sur les notations

L'indice 0 reprsente le systme des actions dans ( )S00, et l'exposant 0 le fait d'tre isostatique

L'indice j reprsente le numro de la trave.

( ) ( )xMx''U.EI zjyjz0

00

0 =

( ) ( )x'Ux yjj0

000 =

Au niveau des rotations sur les appuis i, j on adoptera la notation suivante:

( ) ( ) 0 0000000 0 wjjjeij l ==

Pour les rotations, l'indice correspond au numro de l'appui.

e signifie l'est de l'appui i, w signifie l'ouest de l'appui j

1.1.5. ETUDE DU SYSTEME ( )S

( ) ( ) ( ) ( )S S S M S Mi ij j ji= + +00 0 0. .

En utilisant la relation prcdente, on peut exprimer le moment de flexion dans ( )S :

( ) ( ) ( ))( ) ( ))( ) jijzjijizjzjozj M.xMM.xMxMxM ++= 0

( ) ( ) jij

ij

j

zjzj M.l

xM.

l

xxMxM +

= 100

En utilisant la relation entre les lments de rduction, on peut exprimer l'effort tranchant dans ( )S :

( ) ( )

( )

( )

+

+=== j

jiij

zj

zj

zjyj l

MM

x'Mdx

xdM

x'MxV

0

0


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( ) ( )

+=

j

jiij

yjyjl

MMxVxV 00

Soit i j, les rotations dans la trave j de ( )S des appuis i, j; ces rotations sont des angles algbriquesdfinis par l'axe des x comme origine et pour extrmit la tangente la ligne moyenne dforme.

z

j

j

z

j

jj

jijijjwjj

jijijjeii

EI

lb

EI

lac

M.cM.b

M.bM.a

63

00

00

===

+=

+=

1.2. EFFETS DES DENIVELLATIONS AU NIVEAU DES APPUIS i, j(on tudie la poutre pour uniquement des tassements diffrentiels)

Les appuis i et j se dplacent lorsque par exemple ces appuis sont constitus de poutres qui se dforment sousl'action de la poutre tudie.

1.2.1. ETUDE DU SYSTEME ( )Sd

i j

i'j '

( Sd )yx

j

Uy jU y i

Effet des dnivellations au niveau des appuis.

Soit Uyj le dplacement du point j.

Soit Uyi le dplacement du point i.

La poutre ne subit pas de dformations, elle sedplace. L'absence de dformations entrane la nullitdes sollicitations ( moments de flexion, effort tranchant).

Les rotations sont identiques dans toutes lessections droites et en particulier aux appuis i et j.

i j jyj yi

j

U U

l= = =

j est appel rotation d'ensemble de la poutre

( trave j ).


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1.3. CAS GENERAL, LES APPUIS i, j SE DEPLACENT (tassements diffrentiels nonnuls)

1.3.1. ETUDE DU SYSTEME ( )S + ( )Sd DEPLACEMENTS DES APPUIS I, J

i j

F p

lj

y

xMij

Mji

( S )

j

x

Mzj (x)

U yj (x)


Dforme

M iMj

Mzj0(x)

Droite d'quation M i ( 1- xlj

)+Mj (lj

)x

i j

i' jj

Uy jU y i

iei0

0

j wj00

z

z

En i est appliqu un couple M ij .

En j est appliqu un couple Mji .

Nous pouvons exprimer les moments de flexion:

Plaons nous en j ( un peu gauche de j, unedistance infiniment petite de j )

M Mzj ji=

Le moment de flexion en j est gal au coupleappliqu en j.

De la mme faon dterminons le moment deflexion en i, ( un peu droite de i, une distanceinfiniment petite de i ).

M Mzi ij=

Le moment de flexion en i est l'oppos du coupleappliqu en i.

On peut remplacer dans le schma mcanique,

Mji parMzj et M ij par Mzi .

D'aprs les dveloppements antrieurs, nous pouvons dduire les relations importantes qu'il est souhaitable deconnatre:

zjjzijwjjj

zjjzijeiji

M.cM.b

M.bM.a

+++=

+=0

0

00

avec c al

EIb

l

EIj j

j

z

j

j

z

= = =3 6

a b cj j j, , sont les coefficients de souplesse de la trave J.

Ces 2 expressions sont l'origine de la mthode des dplacements, mthode permettant de rsoudreles systmes hyperstatiques, et utilises dans l'tablissement des algorithmes partir desquels sontlabors la plupart des logiciels de calcul des structures.


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jyj yi

j

U U

l=

rotation d'ensemble de la trave j, due des dnivellations d'appuis.

00ei

00wj rotations dans le systme ( )S00 , dans ce systme les appuis ne sont pas sollicits par des

couples, les moments de flexion en i, j sont nuls.

M Mzi zj, sont les moments de flexion en i, j dans le systme ( )S .

i j, sont les rotations en i, j.

( ) ( ) ] [

( ) ( ) ] [jj

zizj

yjyj

j

j

zj

j

zizjzj

l,xpourl

MMxVxV

l,xpourl

x.M

l

x.MxMxM

0

01

00

00

=

+

+=


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2. POUTRES CONTINUES. THEOREME DES 3 MOMENTS.

2.1. DEFINITIONS, NOTATIONS UTILISEES

2.1.1. Dfinition

Une poutre continue est une poutre droite reposant sur plus de 2 appuis simples et dont un des appuisconstitue une articulation.

La poutre est suppose horizontale et soumise uniquement des forces verticales appliques dans le planmoyen de symtrie. Dans cette hypothse l'articulation se comporte comme un appui simple, mais la poutren'apparat plus alors comme un mcanisme.

Si on tudie une poutre soumise des forces ponctuelles et (ou) rparties non verticales, c'est l'articulation qui transmet toutes lescomposantes horizontales de ces forces l'appui 0 (articulation).

2.1.2. Schma mcanique

p1 p2pi

L 1 L 2 L i

p0

L 0

pnpi+1

L nL i+1A i-1 A iA1A0 A i+1 An

pn+1

L n+1Trave i

( S )

Attention! une console n'est pas une trave.

Cette poutre est compose de: - n traves- 2 consoles (ventuellement une ou pas du tout)- n+1 appuis

Pour la trave de longueur l i : l'appui de gauche est not Ai-1l'appui de droite Aimoment quadratique I zimodule d'Young Emoment de flexion sur l'appui de gauche i-1 Mzi1

moment de flexion sur l'appui de droite i Mzicouple appliqu sur l'appui i Cisoumise un systme d'actions not (S):

(S): constitu de forces rparties et ponctuelles verticales, couples appliqus sur la trave l'exclusion desappuis.

A chacune des traves i, un repre de position doit y tre attach d'o iLx 0 .


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2.2. BILAN STATIQUE

Une poutre sur n+1 appuis est hyperstatique d'ordre n-1.

Soit A0 l'articulationr

RX

Y00

0

,

Aiconstituent des appuis simples pour i=1, 2, .......n

r

RYi i

0

Le principe fondamental de la statique fournit 3 quations algbriques:

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )

r r r

r r

R S R SX S

Y S

X S

Y S

M S M Sz z

/ /

/ /

0 0

0 0

00

0

0 0

=

=

= =

O tant un point quelconque.

Soit ( )Sc l'ensemble des consoles, soit ( )S p la poutre continue limite par les appuis extrmes. S'ilexiste des consoles, on peut les remplacer par le moment et la force verticale qu'elles induisent sur les appuisextrmes.

( ) ( ) ( )S S Sc p= +

p0

L 0A0

po.Lo2

po.Lo

2

pn+1.Ln+1n

pn+1

L n+1A

pn+1.Ln+12

2

Pour dterminer les actions des consoles ( )Sc sur la poutre continue ( )S p , il faut appliquer lethorme des actions mutuelles.

Attention! Les moments de flexion sur les appuis Ao et An sont connus.


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2.3. Choix des inconnues hyperstatiques

Etude de ( )S p :

Transformons la poutre continue ( )S p en une structure isostatique ( )S0 associe dfinie endisposant n-1 articulations au niveau des appuis centraux l'exclusion des appuis de rive.

L'objectif est de s'appuyer sur ce que nous savons tudier: une structure isostatique. Or pour transformer cettestructure hyperstatique en une structure isostatique, il faut "rompre" la continuit de la poutre. Pour cela, nouscrons artificiellement des articulations sur les appuis, ce qui a pour effet de rendre nuls les moments flchissantssur ceux-ci.

Pour rtablir la continuit de la poutre au niveau des appuis, il faut appliquer une action, en l'occurrence 2couples opposs qui sont pour l'instant inconnus, ces couples peuvent s'exprimer en fonction des momentsflchissants sur appuis. Rtablir la continuit de la poutre au niveau des appuis, c'est rtablir la continuit de larotation de la section droite sur les appuis. Cela se traduit par une tangente unique la ligne moyenne sur lesappuis, la tangente doit avoir mme coefficient directeur de chaque cot de l'appui.

Cette procdure nomme mthode des coupures sera utilise dans une thorie plus gnrale pour l'tude desstructures hyperstatiques.

Equivalence entre ces 2 systmes.

Pour que les 2 systmes soient quivalents, il faut assurer la continuit de rotation sur l'appui i, d'o la formeidentique de la ligne moyenne dforme.

Mi -Mi

iA

pi+1

pi

z z

iA

pi+1

pi

Le fait de placer une articulation en Ai, permet devisualiser, de faire apparatre la paire de couples

( )M Mi i, exprims en fonction du moment de flexionsur cet appui, ils constituent des actions extrieures maiscependant inconnues.

Continuit de la poutre en i.

Les moments M M Mi n1 1,..., ,... constituent les inconnues hyperstatiques.


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Les 2 systmes ci-dessous sont quivalents.

A

i-1 iA1

Ai+1

n

AAA

p1 p2 pi pnpi+1

p1 p2pi

L 1 L 2 L i

pnpi+1


pn+1.Ln+1

Trave i

po.Lo2

po.Lo

2 pn+1.Ln+

2

2

( S )p

pn+1.Ln+1po.Lo

po.Lo2

2pn+1 .Ln+1

2

M1 -M1 M i-1 -Mi-1 Mi -Mi M i+1 -Mi+1

Cn

z zzzzzzz

C0zz z z

( S )0

0

=

Remarque concernant les couples C Cn0,

Sur l'appui 0 est appliqu un couple Cp L

00

20

2=

., or le moment de flexion M C

p Lz0 0

020

2= =

., on peut

donc remplacer C0 par =M p Lz0 02

02. .

De mme sur l'appui n est appliqu un couple Cp L

nn n= +

+12

1

2.

, or le moment de flexion

M Cp L

zn nn n= = +

+12

1

2.

, on peut donc remplacer Cn par Mp L

znn n= +

+12

1

2.

.

S'il n'existe pas de consoles M Mz zn0 0= =


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Toute poutre continue devra tre dcompose suivant le modle ci-dessous.

( ) ( ) ( )S S Sp c= + avec ( ) ( ) ( ) ( )S S S Sp t d= + +00 10 0. .

p1 p2pi

L 1 L2 L i

pnpi+1


pn+1.Ln+1

Trave i

po.Lo2

po.Lo

2 pn+1.L n+1

2

2

( S )

po.Lopn+1.Ln+1

Ai-1 iA 1A i+1 nAAA

Ai-1 iA 1A0 i+1 nAAA

p1 p2pi pnpi+1

po.Lo2

2 pn+1.L n+1 2

2M 1 -M1 M i-1 -Mi-1 Mi -Mi M i+1 -Mi+1

Cn

p

( S )00

( S )01

( S )0t.d.

Ai-1 iA1A0 i+1 nAAA

z zzzzzzz

C0zz z z

Soit ( )St d. .0 la poutre isostatique associe contenant les forces ponctuelles appliques sur lesappuis..

S'il existe des forces ponctuelles au niveau des appuis, celles-ci sont transmises directement auxappuis, elles ne dforment pas la poutre, n'engendrent pas de sollicitations ( moment de flexion ou efforttranchant ) mais par contre induisent des actions de contact aux appuis concerns.

Si vous utilisez le diagramme de l'effort tranchant pour dterminer les actions de contact, il faut doncprendre en compte ces transmissions directes.


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Analyse de ( )S10

Dans ce systme nous avons tous les couples sur les appuis. Sur les appuis centraux, ils sont

inconnus par contre en rive M Mz zn0, sont statiquement dtermins, c'est dire connus. (Ils sont nuls siles traves de rive ne se prolongent pas en console, sinon ils ont t dtermins lors de l'tude desconsoles.).Les couples sur les appuis intermdiaires sont exprims en fonction des moments flchissantsM M Mz zi zn1 1,...., ,.... , moments flchissants inconnus qui constituent les inconnues hyperstatiques etque nous allons dterminer.

Nous avons volontairement placs les couples C Cn0, dans ( )S10 au lieu de ( )S00 , et ceci pour des raisonspdagogiques relatives l'application de la formule des 3 moments (formule qui permet de rsoudre le plusefficacement les poutres continues et que nous allons dmontrer dans le paragraphe suivant).

Analyse de ( )S00 : la poutre isostatique associe contenant les actions appliques sur les traves l'exclusion des couples connus ou inconnus appliqus aux appuis.

iA

pi+1

wi0 00

wi0

wi0ei0

ei0

pi

0

0

0

Nous constatons que les tangentes de chaque cot del'appui sont diffrentes.

0wio reprsente l'angle algbrique dcrit par le vecteur

unitairer

x pour concider avec la tangente en Ai la trave i.0eio reprsente l'angle algbrique dcrit par le vecteur

unitairer

x pour concider avec la tangente en Ai la travei+1.

00wioeio angle de rotation algbrique dcrit par les

tangentes au passage de l'appui i.

Ces rotations seront le plus souvent possible dtermines partir de formulaires.

Il faut faire attention aux signes.

Remarque: ( )S00 peut tre considr comme la juxtaposition de n traves isostatiques.

Ai-1 iA1A i+1 nAAA

p1 p2pi pnpi+1

A1A

p1

A1 A

p2

i-1

i-1 iAA

pi

i i+1AA

pi+1

Ai+1 nA

pn

( S )00


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2.4. THEOREME DES 3 MOMENTS

Si nous considrons un ensemble de 2 traves adjacentes et si nous crivons les relations entre les rotationssur appuis et les moments flchissants nous avons:

Ai+1

pi

Ai-1 Ai

pi+1

Trave i

ziizii,wiwi

ziizii,eiei

M.cM.b

M.bM.a

++=

=

10

0

10

011

c a

l

EI

bl

EI

i ii

zi

ii

zi

= =

=

3

6

Trave i+1

1110

011

1110

0

+++++

+++

++=

=

ziizii,wiwi

ziizii,eiei

M.cM.b

M.bM.a

c a

l

EI

bl

EI

i ii

zi

ii

zi

+ ++

+

++

+

= =

=

1 11

1

11

1

3

6

La continuit sur l'appui i exige que: eiwi =

ce qui donne l'quation suivante:

1110

010

0 +++ =++ ziizii,eiziizii,wi M.bM.aM.cM.b

( ) 0 00

01111 ,wi,eiziiziiizii M.bM.acM.b =+++ +++ avec:

-0

0,wi rotation l'ouest de l'appui i, dans la trave isostatique associe i,

-0

0,ei rotation l'est de l'appui i, dans la trave isostatique associe i+1,

Ces rotations sont dtermines dans le systme ( )S00 , dans ce systme les appuis de rive ne sont passollicits par des couples, les valeurs des rotations ne dpendent que des actions appliques sur lestraves.

Dans le cas ou un couple serait appliqu un appui j ( j o, j n ), ce couple doit tre considr comme

appliqu en j et appartenant soit la trave j ou bien la trave j+1 mais pas aux deux simultanment. Ce coupleintervient alors dans le calcul des rotations isostatiques.


19/29


- 11 + zizizi M,M,M sont les moments flchissants de continuit respectivement sur les appuis i-1, i, i+1,

- bi et ci les coefficients de souplesse de la trave i.

- ai+1 et bi+1 les coefficients de souplesse de la trave i+1.

Cette relation relie les 3 moments de flexion des 2 traves adjacentes i et i+1. C'est une relation dercurrence, l'indice i variant de 1 n-1.

Si cteEI zi = le long de la poutre la formule des trois moments se simplifie

( ) ( )0 00 01111 62 ,wi,eizziiziiizii EIM.LM.LLM.L +2.5. Cas ou il existe des dnivellations aux appuis

ziizii,wiiwi

ziizii,eiiei

M.cM.bM.bM.a

+++=+=

+

+++

10

01

111

0

0

iyi yi

i

U U

l=

1rotation d'ensemble de la trave i, due des dnivellations d'appuis.

iyi yi

i

U U

l+

+

+

=

11

1 " i+1, " .

( ) ii,wi,eiziiziiizii M.bM.acM.b +10 00 01111

2.6. Procdure de calcul

( )

( )

( ) 0 010

011121

00

001111

001

0012212101

,wn,enznnznnnznn

,wi,eiziiziiizii

,w,ezzz

M.bM.acM.b..................................................

M.bM.acM.b

..................................................

M.bM.acM.b

+++

=+++

=+++

=+++

M Mz zn0, sont connus: c'est dire statiquement dtermins s'il existe des consoles ou des couples appliqussur les appuis de rive sinon nuls.

On dispose de n-1 quations n-1 inconnues M M Mz zi zn1 1,...., ,....

La rsolution de ce systme donne les moments sur les appuis.


20/29


On peut crire les quations du moment de flexion et de l'effort tranchant.

Pour toute trave, ces quations ont mme forme. On dit qu'elles sont intrinsques par rapport aux diffrentestraves. L'abscisse x varie de 0 li.

( ) ( ) ] [

( ) ( ) ] [ii

ziziyiyi

i

i

zi

i

zizizi

l,xpourlMMxVxV

l,xpourl

x.M

l

x.MxMxM

0

01

100

10

0

=

+

+=

Dtermination des actions de contact.

iA

yV ( 0 )y,i+1

V ( li )y,i

Y i y

y ( ) ( )( ) ( )

+ + ==

+

+

V li Y VY V li V

yi i yi

i yi yi

1

1

0 00

( ) ( )

( ) ( )

=

=

+

+++

1

10101

100

00i

ziziyiyi

i

ziziyiyi

l

MMVV

l

MMliVliV

( ) ( )

+=

+

++

i

zizi

i

ziziyiyii

l

MM

l

MMVliVY 1

1

1010

00 0

+=

+

+

i

zizi

i

ziziii

l

MM

l

MMYY 1

1

100

Cette relation permet de dterminer les actions de contact dans ( ) ( )S S00 10+ , pour obtenir celles de( )S

pil

faut ajouter celles dues aux transmissions directes.

Une autre solution consiste raisonner dans ( )S et se positionner sur chacun des appuis en appliquant ladfinition des moments de flexion.


21/29


2.7. ENCASTREMENT AU NIVEAU D'UN APPUI DE RIVE

On remplace l'encastrement par une trave de longueur tendant vers 0.

Mz1 moment de flexion sur l'appui 1 est oppos au moment d'encastrement en A1.

p2p3

L 2 L 3

p4

L 4A2 A3 A4

p2p3

L 1 L 2 L 3

p4

L 4A2 A3A1A0 A4

A1

0

On remplace l'encastrement par une trave fictive de longueur tendant vers 0. ( pour les besoin du calcul,cette trave ne va exister que pendant la phase de dtermination du moment de flexion au niveau de cetencastrement )

Sur l'appui de rive le moment Mz0

0= . La trave 1 n'est pas charge, de toute faon la longueur tendant vers0, le chargement de celle-ci n'aurait aucune influence quantitative.

Mz1 moment flchissant sur l'appui 1 correspond au moment flchissant au niveau de l'encastrement.


22/29


2.8. DEPLACEMENT DES APPUIS

Le point A2 subit un dplacement impos Uy2. ( tassement d'appui par exemple, ..)

Notons que les propositions suivantes sont quivalentes:

A2 s'est dplac de Uy2, A1 s'est dplac de U Uy y1 2=

On se propose de dterminer les sollicitations dans la poutre uniquement sous l'effet de cedplacement.

L 2

A'2

A1

Uy2y

Considrons la poutre dans sa configuration initiale, les appuis A1 et A2 tant des encastrements , nousutiliserons la dmarche propose dans le paragraphe 7.

L 2

A2

L 1 L L3A2A1A0 A3

A1

0 02

Utilisons la formule des 3 moments du paragraphe 5;

( ) ii,wi,eiziiziiizii M.bM.acM.b +=+++ ++++ 10

00

01111 aveci

yiyi

il

UU 1=

( )

( )

b M c a M b M

b M c a M b M

z z ze w

z z ze w

1 0 1 2 1 2 2 10 10 2 1

2 1 2 3 2 3 3 2 0 2 0 3 2

. . .

. . .

, ,

, ,

+ + + = +

+ + + = +

M Mz z0 3 0= = car 0, 3 sont des appuis de rive.

00 020

020

010

01 ==== ,w,e,w,e pas de charges appliques sur la trave 2.

l l b c a b1 3 1 1 3 30 0 0 = = = =,


23/29


3 0= l'encastrement tant reprsent par la trave 3, dplacer l'encastrement au point A2 revient dplacer la totalit de la trave 3 .

22

2

=U

l

y, 1 0=

Aprs simplifications, le systme se rduit :

a M b M Ul

b M c MU

l

z z

y

z z

y

2 1 2 2 22

2

2 1 2 2 22

2

. .

. .

+ = =

+ = =

( ) = = a c b

l

EI Gz2 2 2

2 22

212

0. , 2 racines relles ( ayant un sens physique), a c bl

EI Gz2 2 2

223

= = =

( ) ( )M

U

l c bM

U

l a b

z

y

z

y

1

2

22 2

2

2

22 2

=+

= +

L 2

A'2

A1

Uy2

M1

M2

M1Y 1

Y2

M2

y

y

y

zz

Nous obtenons:

MU EI

l

MU EI

l

z

y Gz

z

y Gz

12

22

22

22

6

6

=

=

. .

. .

U MM

y z

z

2 1

2

0 00

> > 0ouUn appui lastique est souvent

reprsent par un ressort car soncomportement est similaire.

La loi de comportement qui rgit l'appui est indiqu ci-dessus. Elle traduit la proportionnalit entre ledplacement du point i et l'action de contact, le coef. K est appel raideur de l'appui correspondant, il s'exprimeen N/m ou KN/mm...

La dtermination de ce coef. est obtenue lors de l'tude de la structure porteuse adjacente qui estreprsente par l'appui lastique soumise au point i une force unitaire, la valeur absolue du dplacement de cepoint i correspond alors l'inverse de la raideur.

Ri Y i YY

Ri Y i YY

Y

X Y

Xi

i N

X i

i

Ni

aire Ai

L i

Ri Y i

L iL i

NiEA i

L iNiEA i

L i NiEA i

L i

EA iL i

Ki

On assimile le ressort i une barre biarticule.L'appui lastique peut aussi treremplac et reprsent par une barre bi-articule. Cette barre fait alors partie dela structure. Sa dformation due l'effortnormal doit y tre considr sinon la

barre est comme infiniment rigide, delongueur invariable et le point i est alorsfixe. L'appui est alors simple.Par identification on obtient uneexpression de K.


25/29


On utilise l'quation des 3 moments :


00

01111

iyi yi

i

i

yi yi

i

U U

l

U U

l=

=

+

+

+

11

1

1

UY

KU

Y

KU

Y

Kyi

yi

i

yi

yi

i

yi

yi

i

= = =

+

+

+

, ,11

11

1

1

( ) ( )

( ) ( ) ] [

( ) ( ) ( ) ( )

=

=

=

=

+

+++

+

1

10101

100

100

1

00

0

0

i

ziziyiyi

i

ziziiyiiyi

i

i

ziziyiyi

yiiyiyi

l

MMVV

l

MMlVlV

l,xpourl

MMxVxV

VlVY

( ) ( )

=

+

++

1

1010

100 0

i

ziziyi

i

ziziiyiyi

l

MMV

l

MMlVY

( ) ( )[ ]

+=

+

++

i

zizi

i

ziziyiiyiyi

l

MM

l

MMVlVY 1

1

1010

00 0

+=

+

+

i

zizi

i

zizi

yiyi l

MM

l

MMYY 1

1

10

0

avec 0

0yiY action de contact dans la structure isostatique

associe.( articulations sur les appuis.)

D'aprs les expressions UY

KU

Y

KU

Y

Kyi

yi

i

yi

yi

i

yi

yi

i

= = =

+

+

+

, ,11

11

1

1

,

+=

+

+

i

zizi

i

ziziyi

i

yilMM

lMMY

KU 1

1

1001

+=

1

211010

11 1

i

zizi

i

ziziyi

i

yil

MMlMMY

KU

+=

+

+

+

+++

++

1

1

2

12010

11

1

i

zizi

i

ziziyi

i

yil

MM

l

MMY

KU

Si nous portons les valeurs des dplacements exprims en fonction des moments de flexion, nous obtenonsune quation de la forme:

iziiziiziiziizii M.M.M.M.M. =++++ ++++ 2111121


26/29


2.10. COEFFICIENTS DE SOUPLESSE DE LA TRAVEE I

Nous nous plaons dans le cas ou l'inertie de la poutre n'est pas constante.

L'quation des 3 moments est inchange.


00

01111

iyi yi

i

i

yi yi

i

U U

l

U U

l=

=

+

+

+

11

1

1

( )[ ]( ) ( )

dxxEI

l

x

dxxEI

xMa

ii l

Gzi

i

l

Gzi

zii

==

0

2

0

201

1

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )

dxxEI

lx.

lx

dxxEI

xMxMb

ii l

Gzi

ii

l

Gzi

zizii

==

00

001

1

( )[ ]( ) ( )

dxxEI

l

x

dxxEI

xMc

ii l

Gzi

i

l

Gzi

zii

==0

2

0

20

rotation en valeur absolue en i-1 sous l'action d'uncouple unitaire appliqu en i-1.

rotation en valeur absolue en i sous l'action d'uncouple unitaire appliqu en i-1.

rotation en valeur absolue en i sous l'action d'uncouple unitaire appliqu en i.

Rotations dans la structure isostatique associe.

( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ]

( )

( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ]

( )

==

==

+

+

++

+

+++

ii

ii

l

Gzi

i

zil

Gzi

zizi,wi

l

Gzi

i

zil

Gzi

zizi,ei

xEI

l

xxM

dxxEI

xMxM

dxxEI

l

xxM

dxxEI

xMxM

0

1

00

0

0000

0

0 1

1

010

0 1

00100

0

111


27/29


2.11. FOYERS DES POUTRES CONTINUES

pi

L 1 Lj L i L kL i+1A i-1 A iA1A0 Ak-1 An

Trave i

( S )

L n

iF

Aj-1 Aj A i+1 Ak

MzM1

Mj -1

Mj

Mi-1Mi

Mi+1

Mk-1

F'k Mn=0F'i+1Fi-1FjM0=0

Nous nous plaons dans le cas ou seule la trave i de la poutre est charge. Les dplacements des appuissont tous nuls.

L'quation des 3 moments. ( ) 0 00

01111 ,wi,eiziiziiizii M.bM.acM.b =+++ +++

M Mz zn0 0= =

La ligne reprsentative du moment de flexion droite et gauche de la trave i est une suite de

segments de droite. Dans une trave quelconque j ( )j i , le moment s'annule en un point fixe Fj ou F j'appel foyers. Ces deux points nomms respectivement foyer de gauche et foyer de droite sontindpendants des actions qui s'exercent sur la trave i.

Ecrivons les relations dduites de la formule des 3 moments.

( )

( )( )

( )

b M c a M b M

b M c a M b M

b M c a M b M

z z z

z z z

i zi i i zi i zi

1 0 1 2 1 2 2

2 1 2 3 2 3 3

2 3 2 1 2 1 1

0

0

0

. . .

. . .

.........................................

. . .

/ + + + =

+ + + =

+ + + =

( )( )

( )

=+++

=+++

+++

0

01111

0011121

,wiziiziiizii

,eiziiziiizii

M.bM.acM.b

M.bM.acM.b

( )

( )

( )

b M c a M b M

b M c a M b M

i zi i i zi i zi

n zn n n zn n zn

+ + + + + +

+ + + =

+ + + / =

1 1 2 1 2 2

1 2 1 1

0

0

. . .

.......................................... . .

Nous disposons de n-1 quations n-1

inconnues ( )M M Mz zi zn1 1,..., ,...., Les quations ( ) montrent que les rapports

MM

MM

MM

z

z

z

z

zi

zi

1

2

2

3

2

1

, ,..,

sont constants.

Dans chaque trave j le moment s'annule

au droit du point fixe Fj appel foyer de

gauche de la trave j.


28/29


Reprons sa position par le paramtre j appel "rapport focal",j

zj

zj

M

M= 1 j > 0 car les

moments ( )M Mzj zj1, sont de signes contraires.

Les rapports focaux de gauche se calculent par rcurrence partir des quations ( ) .

10

11 0=

M

MF Az

z

=0 =

divisons la 1re expression de ( ) par Mz1( ) ( )c aM

Mb

M

Mc a

bz

z

z

z1 2

1

12

2

11 2

2

2

0 0+ + = + =. .

d'o 22

1 2

=+b

c a

soit ( )b M c a M b Mj zj j j zj j zj. . . + + ++ + + =1 1 1 1 0 divisons par M zj

( ) ( )bM

Mc a b

M

Mb c a

bj

zj

zjj j j

zj

zjj j j j

j

j

. . .

+ +

+

+

+

+

+ + + = + + =1

1 1

1

1

1

1

0 0

Nous obtenons une formule de rcurrence entre 2 rapports focaux successifs

( )

( )

1

0

0

1

22

1 2

11

1

=

= +

+ + =

+

+

+

bc a

b c ab

j j j j

j

j

......

.

De mme les quations ( ) montrent qu' droite de la trave charge i, dans une trave quelconque k,les moments s'annulent au droit des points fixes F k' appels foyers de droite de la trave k indpendant

des actions s'exerant dans la trave i et dfinis par les rapports focaux suivants

'k

zk

zk

M

M=

1

A partir des quations ( ) :

' 'nzn

zn

n n

M

MF A= = =

1

0

( )b M c a M b Mn zn n n zn n zn + + + / =1 2 1 1 0. . divisons par Mzn1

( ) ( )b MM c a b c anzn

znn n

n

nn n

+ + = + + =1 2

11

1

110 0. '

d'o( )

'nn

n n

bc a

=+

11

1


29/29

( )b M c a M b Mk zk k k zk k zk. . . + + ++ + + =1 1 1 1 0 divisons par Mzk

( ) ( )bM

Mc a b

M

M

bc a bk

zk

zkk k k

zk

zk

k

kk k k k. . '

. '

+ ++

+ + ++ + + = + + =1

1 11

1 1 10 0

Nous obtenons

( ) ( )

( )

2

0

0

11

1

1 1 1

'

'

.......

'. '

n

n

n

n n

k

k

k k k k

b

c a

bc a b

=

=+

+ + =

+ + +

Soit les quations ( )

( ) ( )( )

=+++=+++

+++

0

01111

0 011121

,wiziiziiizii

,eiziiziiizii

M.bM.acM.bM.bM.acM.b

M M

M M

zi i zi

zi i zi

+ +

=

= 2 1 1

1 1

.

' .avec i1, 'i+1 obtenus respectivement partir des quations 1 et 2

( )( )

( )

( )( )

( )

=++

=++

=++

=+++

+++

+++

w,iziiiiizii

e

,iziiziiiii

,wiziiiziiizii

,eiziiziiiziii

M.'.bacM.b

M.bM..bac

M.'.bM.acM.b

M.bM.acM..b

01111011111

001111

00111111

( )

=+

=+

001

0011

,wizi

i

izii

,eiziizi

i

i

M.'

bM.b

M.bM.b

=

bi

i i

2 1 1 . '

+=

=

11

00

0010

0

001

1

ii

i

,wi

i

,ei

i

i

,wi

i,ei

zi

'.b

''

b

b

M

+=

=

11

0

01

00

00

001

ii

i

,eii

,wi

,wei

,ei

i

i

zi

'.b

b

b

M

+

=

+=

11

11

001

000

0

001

1

ii

i

,ei

i

,wi

zi

ii

i

,wi

i

,ei

zi

'.b

M

'.b

'M

poutres_continues.pdf

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