pnp*complexite

7/21/2019 Pnp*complexite

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Le problme P = NPla complexit des algorithmes

Arnaud Durand

Universit Paris 7

Fte de la science 2009

Arnaud Durand (Universit Paris 7) Le problmeP = NP Fte de la science 2009 1 / 37
http://find/


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Problmes du millnium

Depuis 2000, le Clay Institute propose un prix pour la rsolution de 7questions mathmatiques.

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

La conjecture de Hodge

Les quations de Navier-StokesPvs NP

La conjecture de Poincar

Lhypothse de Riemann

La thorie de Yang-Mills

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Pvs NP

Question de mathmatique et dinformatique.Question ouverte depuis environ 40 ans mais aux origines bienplus lointaines...

QuestionsQuest-ce quune fonction mathmatique calculable ? une proprit ouun problme dcidable ?Quest-ce quun algorithme ?

Proprit, problme : rponse = oui ou non

http://find/http://goback/


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Algorithme

Origine: Al-Khawarizmi (mathmaticien, gographe et astronomeperse du 9me sicle).

Sens : recette, mthode pour rsoudre un problme ou calculer unefonction.

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Algorithme



Exemple : la multiplication dentiers

1 2 3 1 5



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Algorithme




1 1

1 2 3 1 5

6 1 5

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Algorithme




1 1

1 2 3 1 5

6 1 51 2 3

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Algorithme




1 1

1 2 3 1 5

6 1 51 2 31 8 4 5

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Algorithme




1 1

1 2 3 1 5

6 1 51 2 31 8 4 5

Besoin de :

actions rptitives (itrations)

actions conditionnelles (tests)

rsultats intermdiaires

La longueur du calcul dpend de latailledes entiers.

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Modles de calcul et fonction calculable

Dbut des annes 1930 :

formalisation de la notion de fonction calculable et dalgorithme.Approches quivalentes (machines de Turing, fonctionsrcursives, lambda calcul) et actuelles...

Alan Turing Alonzo Church Stephen C.Kleene

mise en vidence des limites : il existe des fonctions noncalculables (et des problmes indcidables)!

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Problmes indcidables

Le problme suivant est indcidable :

Entre : un programme P, une entrex

Question : lexcution dePsur lentrexsarrte-elle ?

Problme assez naturel !

Un des premiers dune longue ligne dans de nombreux domaines.



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Algorithme et complexit

Petit petit, le dbat se dplace. La question :

Quest-ce quune fonction calculable ?devient, par exemple :Si une fonction est calculable, peut-on mesurer le cot (sacomplexit) ncessaire pour la calculer ?

Cot / complexit :nombre dtapes, doprations lmentaires, de lalgorithme (tempsabstrait).Rabin, Cobham, Blum, Edmonds, Hartmanis, Stearns (milieu des

annes 60)

Multiplication :m npetites multiplications et additions pour desentiers detaillesmetn.

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Algorithme et complexit

Regrouper les problmes par catgorie....

Si je sais calculer un ensemble de fonctions avec telle ou telle

ressource, puis-je le faire aussi avec telle autre ressource (moinsdtapes de calcul, avec telle mmoire, avec un autre type demachine)?

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PvsNP

Le problme Pvs NPporte sur deux classes de problmes :

P: les problmes faciles dcider, cest dire de complexitraisonnable.

NP: les problmes faciles vrifier.

Tout cela reste dfinir...

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Problmes

Entre : trois entiersn, p, qQuestion :n=p q?

Entre : un entier n

Question :nest-il premier?

Entre : un entier nQuestion : existe-t-il des entiers non nulsx,yetztels que

xn+yn =zn?

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Problmes

Entre : une liste de motsl1, l2, ..., lnSortie : renvoyer la liste trie par ordre croissant ?

Entre : un programme P, une entrexQuestion : lexecution dePsur lentrexsarrte-elle ?


U l l i i h il i
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Un exemple : le circuit hamiltonienCircuit hamiltonien

tant donn un grapheG= (V,E)et un sommetvV, peut-on

trouver un circuit empruntant des artes du graphe, commenant etfinissant envet passant une seule fois par tout autre sommet de G?

Aussi : problme des bandits, voyageur de commerce.

A

B

C

D

E

F

H

I

J


U l l i it h ilt i
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Un exemple : le circuit hamiltonien

A

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C

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U l l i it h ilt i
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A

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Un e emple le circ it hamiltonien


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http://goforward/http://find/http://goback/


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I

C


Circuit hamiltonien : bilan
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Problme difficile !Taille du graphe=nombre dartes+nombre de sommets= |E| + |V|

Nombre dtapesOn peut tre amen essayer tous les chemins possibles... Il y en a :

(n 1)(n 2) 2= (n 1)!avecn=|V|

Pas de stratgie franchement meilleure (en dessous de 2n) connue...

Le nombre dtapes estexponentielen latailledu graphe.


Plus facile : le circuit eulerien
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Circuit eulerientant donn un grapheG= (V,E), peut-ontrouver un circuit passant une seule fois parchaquearte du graphe?

Les 7 ponts de Koenigsberg


Plus facile : le circuit eulerien
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Circuit eulerientant donn un grapheG= (V,E), peut-ontrouver un circuit passant une seule fois parchaquearte du graphe?

Les 7 ponts de Koenigsberg

CaractrisationUn grapheG= (V,E)admet un circuit eulerien si et seulement si toutsommetvVest dedegrpair.

degr dun sommetv: nombre de sommets relis v(ses voisins)


Circuit eulerien
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Circuit eulerien
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Circuit eulerien
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Circuit eulerien
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Circuit eulerien
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Circuit eulerien
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Circuit eulerien
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Circuit eulerien
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Circuit eulerien
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Circuit eulerien
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Circuit eulerien
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Circuit eulerien
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Circuit eulerien
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Bilan
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Nombre dtapes pour le circuit Eulerienbesoin de tester le degr de chaque sommet. En tout, |V|2 tapes (augrand maximum...O(|E|)en fait).

Le nombre dtapes estpolynomialen latailledu graphe.BilanCircuit hamiltonien : a priori difficile (exponentiel)Circuit eulerien : facile (polynomial)


k-colorabilit
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k-colorabilit

tant donns un grapheGet un entierk, peut-on colorier les sommetsdeGavec au pluskcouleurs de faon ce que deux sommets

adjacentsne portent jamais la mme couleur.

Si le grapheGest unecarteet k4, la rponse est toujoursoui.


3-colorabilit3 couleurs :jaune,bleu,rouge
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3-colorabilit
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3-colorabilit
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3-colorabilit
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E H


3-colorabilit : bilanA nouveau quelques retours en arrire. Tester toutes les possibilits :3n onest le nombre de sommets. Pas dalgorithme connu avec un

b l i l dt
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nombre polynomial dtapes.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

A

B

C

D

G

F

J

I

E H


Colorabilit des artes
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Indice Chromatique

tant donns un grapheGet un entierk, peut-on colorier les artesdeGavec au pluskcouleurs de faon ce que deux artesincidentesne portent jamais la mme couleur.Nombre minimal de couleurs :indice chromatique

(G): degr du graphe (nombre maximal de voisins admis par unsommet)

Vizing (1964)

Lindice chromatique dun grapheGest soit(G)soit(G) + 1.


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Problme facile sik (G) +1

En route vers un algorithme efficace ? dautant plus que :Erds, Wilson (1977)Lorsquenest grand, presque tous les graphes sont dindice (G)


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Problme facile sik (G) +1

En route vers un algorithme efficace ? dautant plus que :Erds, Wilson (1977)Lorsquenest grand, presque tous les graphes sont dindice (G)

Mais :

Holyer (1981)Sauf surprise, il nexiste pas dalgorithme polynomial pour dcider siun graphe est dindice(G)ou (G) +1.


Polynomial vs exponentielQuelle diffrence ?
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n 10 100 1000

n2 100 104 106

n5 105 1010 1015

2n 210 >1025 >10250

PCactuels :entre 1 et 4 milliards doprations par seconde

Machines les plus rapides (-> Petaflops) :1015 (1 million de milliardsdoprations par seconde).

Nombre datomes dans lunivers observable :1080


Problmes artificiels ou pratiques ?
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Problmatique naturelle en mathmatiques, mais aussi..

Bases de donnes

Scurit (cryptographie...)

Algorithmique des rseauxIntelligence artificielle(raisonnement, apprentissage)

Bio-informatique

conomie (systmeslectoraux, quilibres)

JeuxOrdonnancement(planification de tches)

Optimisation


Le temps polynomial
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Le temps polynomial P

Un problmede dcisionAest dans Psil est rsoluble (i.e. dcidable)par unalgorithme polynomial.

Proposition comme classe de problmes faciles ou raisonnables :Cobham (1964), Edmonds (1965), Rabin (1966)


Le temps polynomial
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Le temps polynomial P

Un problmede dcisionAest dans Psil est rsoluble (i.e. dcidable)par unalgorithme polynomial.

Proposition comme classe de problmes faciles ou raisonnables :Cobham (1964), Edmonds (1965), Rabin (1966)

Attention, P=facile de plusieurs points de vue

n100 nest pas une complexit acceptable.

Certains algorithmes polynomiaux ont t trs durs... trouver (et

comprendre).


Trouver un tmoin... et viteLes problmes difficiles que lon a vu sont trs particuliers :on peut vrifier facilement quun candidat est une solution !

V ifi ti d l ti
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Vrification dune solution

Si on aG= (V,E)et un circuitf :{1, ..,n} V, dterminer sifdcrit un circuit hamiltonien est facile...

A

B

C

D

E

F

H

I

J

A

B

D

E

F

H

J

I

C


Trouver un tmoin... et vite

Situation frquente et naturelle
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Situation frquente et naturelle...

k-colorabilitSoientG= (V,E)et un coloriage des sommetsc:V {1, ..., k},dterminer sicdcrit un bonk-coloriage se fait en temps polynomial.

Pareil pour coloration dartes, circuit eulrien, etc.

Non primalitSoient trois entiersn,p,q, dterminer sip=1,netp q=nse fait en

temps polynomial...


Trouver un tmoin... et vite

RemarqueT l bl "diffi il " (i i ti l ) t f t
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Tous les problmes "difficiles" (ici, exponentiels) nont pas forcment

cette proprit

Par exemple, dterminer lexistence dune stratgie gagnante danscertains jeux classiques ou leur gnralisation (les echecs, le Go, ...).

Arnaud Durand (Universit Paris 7) Le problmeP = NP

Fte de la science 2009 28 / 37

Le temps polynomial non dterministe NP

Vrification en temps polynomialUn problme B est vrifiable en temps polynomial si pour toute
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Un problmeBest vrifiable en temps polynomial si pour toute

instancex:sixB, il existe un tmoiny(de taille polynomiale en la taille dex) permettant de dcider en temps polynomial que xB.

sixB, il nexiste pas de tel tmoin

Le temps polynomial non dterministe NPUn problme de dcisionBest dans NPsil est vrifiable en tempspolynomial

Formalis par Cook (1971) et Levin (1973).Notions similaires : Edmonds (1966) mais aussi Gdel (1956 - Lettre Von Neumann).

Arnaud Durand (Universit Paris 7) Le problmeP = NP

Fte de la science 2009 29 / 37

P = NP: un problme de tmoin
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P = NP?Les problmes vrifiables en temps polynomial sont-ils aussidcidables en temps polynomial?Autrement dit, existe-til des problmes dont les solutions sont faciles vrifier mais sont dures trouver ?

Montrer P= NP: montrer quetousles problmes de NPsont dans P.

A d D d (U i it P i 7) L blP = NP

Ft d l i 2009 30 / 37

Rductibilit : un seul pour les reprsenter tous

Certains problmes dans NP sont reprsentatifs de la difficult de la
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Certains problmes dans NPsont reprsentatifs de la difficult de la

classe. Ils sont ditsNP

-completsOutil principal :algorithme polynomial pour "rduire" un problme unautre, unerduction.

Cook (1971), Levin (1973)Le problmeSAT(satisfaisabilit dune formule propositionnelle) estNP-complet

Depuis lors, plusieurs centaines de problmesNP-complets prouvs

(depuis travail de Karp (1972))...


Ft d l i 2009 31 / 37

Un exemple de rduction

Dans les graphes
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recouvrement par sommetsminimalsous-ensembleSde tailleminimale tel que toute arte a un

de ses sommets dansS.

Clique maximalesous-ensembleTde taillemaximale tel que toute pairede sommets deTest lie par

une arte.

partir dun grapheG, construire en temps polynomial un grapheG

tel que

Ga un recouvrement de taille minimalehssi G

a une clique de taillemaximalek.


Ft d l i 2009 32 / 37

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A

B

C

D

E

F

A D

F


Ft d l i 2009 33 / 37

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A

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E

F

A D

F


Ft d l i 2009 33 / 37



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A

B

C

D

E

F

A D

F

A d D d (U i i P i 7) L blP = NP

F d l i 2009 33 / 37


C E


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A

B

D

F

A D

F

RductionPour trouver un recouvrement minimal dans G, on cherche une cliquemaximale dans un autre graphe G, "facilement" constructible.


RductibilitDans lexemple prcdent, trouver un recouvrement minimalse rduittrouver une clique maximale.


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Donc trouver une clique maximale estau moins aussi durque trouverun recouvrement minimal.

un problme est NP-completsi tout problme de NPse rduit lui.

ConsquenceTrouver un algorithme polynomial pour un problme NP-completdonnerait automatiquement un algorithme polynomial pour tous lesproblmes de NP

A priori, plein de faon dattaquer la conjecture (chacun peut choisirson problme prfr...).


Quelques remarques sur la conjecture


101/103

Arguments pourP=NP:

Pragmatique :beaucoup de gens dhorizons trs diffrents ontcherch un algorithme polynomial pour un problme NP-complet...


Quelques approches pour la rsolution pratique

H i ti t t l i t d bl t l i dt
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1 Heuristique :toutes les instances dun problme sont loin dtreuniformment difficiles

2 Approche probabiliste :trouver une solution avec une bonneprobabilit

3 Approximation :trouver une solution proche de loptimum4 Approximation probabiliste :trouver avec une bonne probabilit

une solution proche de loptimum5 Famille dinstances facile :Dterminer des familles entires

dinstances pour lesquelles "P= NP"


Quelques approches

1 Les mthodes actuelles de diagonalisation ne semblent pas
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103/103

convenir.2 Les preuves ne passeront pas la relativisation. On sait quil existe

deux ensemblesAet Btels que :

PA = NPA et PB = NPB

3 Approches combinatoires et probabilistes. Bons rsultats avec depetites classes de complexit et caractrisations trs importantesde NP(PCP).

4 Tentative de relier dautres questions, notamment lhypothse de

Riemann.

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