plus de mise en pratique -...

Nom : Groupe : Date : Fiche 3.2

Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. 10 Chapitre 3 Intersection SN Guide A

Fiche 3.3

plus de Mise en pratiqueComplément de la section Mise en pratique des pages 147 à 150 du manuel

1. Voici différentes tables de valeurs. Vérifie si celles-ci sont associées à des fonctions quadratiques. Si c’est le cas, calcule l’accroissement de deuxième niveau.Observation de régularités : les accroissements Niveau de difficulté : faible

a)

c)

b)

d)

2. Détermine les trois termes suivants de la suite ci-dessous en calculant l’accroissement de deuxième niveau.Observation de régularités : les accroissements Niveau de difficulté : faible

30, 19, 14, 15, 22, 35, 54, 79, 110

–11 –5 +1 +7 +13 +19 +25 +31

+6 +6 +6 +6 +6 +6 +6

3. Détermine la valeur des paramètres a, h et k de la forme canonique de la règle pour chacune des fonctions suivantes.Rôle des paramètres a, h et k de la forme canonique de la règle Niveau de difficulté : faible

a) f1(x) = –3(x + 2)2 – 5 a = –3 h = –2 k = –5

b) f2(x) = (x – 3)2 + 6 a = 1 h = 3 k = 6

c) f3(x) = –2x2 – 9 a = –2 h = 0 k = –9

d) f4(x) = (x + 3)2 + 5 a = –14 h = –3 k = 5

e) f5(x) = 7(x + 5)2 a = 7 h = –5 k = 0

x y1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

Oui

Accroissement de +2

x y–2 –31–1 2

0 7

1 12

2 17

Oui

Accroissement de –4

x y–2 –31–1 –17

0 –7

1 –1

2 1

Nonx y

–2 13–1 1

0 –3

1 1

2 13

Oui

Accroissement de +8

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Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. 11Intersection SN Guide A Chapitre 3

(suite)

Fiche 3.3

4. Voici, ci-contre, la représentation graphique de la fonction quadratique de base y = x2.

Pour chacun des graphiques ci-dessous, trouve le ou les paramètres qui ont changé et donne la règle de la forme canonique qui y est associée.Rôle des paramètres Niveau de difficulté : moyen

a) d)

Paramètre : aRègle : y = –2x2

Paramètre : kRègle : y = x2 + 4

b) e)

Paramètre : hRègle : y = (x – 3)2

Paramètres : h et kRègle : y = (x – 2)2 + 5

c) f)

Paramètres : a et kRègle : y = 0,5x2 + 3

Paramètres : a et hRègle : y = –3(x + 1)2

1

1

y

x

1

1

y

x

1

1

y

x

1

1

y

x

1

1

y

x

1

1

y

x

1

1

y

x



(suite)


Fiche 3.3

5. Voici des fonctions quadratiques représentées soit par une table de valeurs, soit par un graphique, soit par une règle écrite sous la forme canonique. Pour chacune de ces fonctions, détermine le nombre de zéros.Influence des paramètres a et k sur le nombre de zéros de la fonction Niveau de difficulté : moyen

a) c) f(x) = –14

x2 + 6

Deux zéros

d) f(x) = –4(x – 5)2

Un zéro

Un zéro

b) e)

Aucun zéro

Deux zéros

6. Trace le graphique des fonctions quadratiques suivantes.Tracé du graphique à l’aide des paramètres a et k Niveau de difficulté : moyen

a) f1(x) = –3(x – 2)2 + 1 b) f2(x) = 2(x + 1)2 – 4 c) f3(x) = 0,5(x – 3)2 – 2

1

1

y

x

x y–2 31–1 16

0 7

1 4

2 7

3 16

1

1

y

x




(suite)

Fiche 3.3

7. Mathieu aime aller pêcher et observer le comportement des poissons. Un jour, il raconte à ses amis qu’il a vu un poisson nager tout près de son bateau et qu’il a réussi à l’attraper avec sa canne à pêche. Voici l’explication « mathématique » donnée à ses amis : le poisson a probablement suivi une trajectoire en forme de parabole dont la règle est p(t) = 0,02(t – 15)2 – 4,5. Mathieu précise que p(t) est la profondeur à laquelle se trouvait le poisson et t, le temps écoulé depuis que le poisson a été aperçu pour la première fois.Tracé du graphique, propriétés de la fonction quadratique (sommet zéro) Niveau de difficulté : moyen

a) Trace le graphique représentant la trajectoire du poisson.

b) Sachant que la ligne de la canne à pêche de Mathieu est située vis-à-vis du centre de la trajectoire du poisson, à quelle profondeur se trouvait le poisson lorsque Mathieu l’a attrapé ?

À 4,5 m de profondeur.

c) Si le poisson avait poursuivi sa trajectoire sans se faire attraper, combien de temps aurait-il pris pour parcourir cette distance depuis le moment où il a été aperçu pour la première fois ?

30 secondes

8. Le graphique ci-dessous représente la fonction f dont les zéros sont –5 et 3. Propriétés de la fonction quadratique (variation, signe) Niveau de difficulté : moyen

Sur quel intervalle la fonction f est-elle :

a) croissante ? [–1, + [

b) décroissante ? ]– , –1]

c) positive ? ]– , –5] [3, + [

d) négative ? [–5, 3]

1

f(x)

x

1



(suite)


Fiche 3.3

9. Pour chacune des fonctions quadratiques suivantes exprimées sous la forme d’une règle canonique, indique : Propriétés de la fonction quadratique (sommet, axe de symétrie,

domaine et image, extremums) Niveau de difficulté : faible

a) les coordonnées du sommet ; c) le domaine et l’image ;

b) l’équation de l’axe de symétrie ; d) le maximum ou le minimum.

Fonctionsa) les coordonnées

du sommet ;b) l’équation

de l’axe de symétrie ;

c) le domaine et l’image ;

d) le maximum ou le minimum.

1 h1(x) = (x - 3)2 + 5 (3, 5) x = 3 Dom : RIma : [5, + [ Min = 5

2 h2(x) = –3(x + 2)2 - 4 (–2, –4) x = –2 Dom : RIma : ]– , –4] Max = –4

3 h3(x) = 0,25(x – 1)2 - 5 (1, –5) x = 1 Dom : RIma : [–5, + [ Min = –5

4 h4(x) = 2(x + 4)2 (–4, 0) x = –4Dom : RIma : R+

Min = 0

5 h5(x) = 2(x + 1)2 - 2 (–1, –2) x = –1 Dom : RIma : [–2, + [ Min = –2

10. Fais l’étude complète des fonctions quadratiques suivantes exprimées sous la forme canonique de la règle. Aux questions a) et c), utilise aussi les graphiques des fonctions pour compléter les tableaux.Propriétés de la fonction quadratique Niveau de difficulté : moyen

a) f(x) = 3(x – 5)2 + 2

Domaine R

Image [2, + [

Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale) f(0) = 3(0 – 5)2 + 2 = 77

Zéros (ou abscisses à l’origine) Aucun

Variation f est décroissante pour x ]– , 5]f est croissante pour x [5, + [

Signe f est positive pour x R

Extremum Min : f = 2Aucun maximum

Équation de l’axe de symétrie x = 5

1

f(x)

x

1




(suite)

Fiche 3.3

b) f(x) = –13

(x + 3)2

c) f(x) = –(x – 7)2 – 3

d) f(x) = 12

x2 – 5

Domaine R

Image ]– , 0]

Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale)

f(0) = –13 (0 + 3)2 = –3

Zéros (ou abscisses à l’origine)

–3

Variation f est décroissante pour x [–3, + [f est croissante pour x ]– , –3]

Signe f est négative pour x R

Extremum Max : f = 0Aucun minimum

Équation de l’axe de symétrie x = –3

Domaine R

Image ]– , –3]

Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale) f(0) = –(0 – 7)2 – 3 = –52


Variation f est décroissante pour x [7, + [f est croissante pour x ]– , 7]

Signe f est négative pour x R

Extremum Max : f = –3Aucun minimum


1

f(x)

x

1

Domaine R

Image [–5, + [

Ordonnée à l’origine (ou valeur initiale)

–5


12 x

2 – 5 = 0

12 x

2 = 5

x2 = 10x = ±√ 10x1 ≈ 3,16 et x2 ≈ –3,16

Variation f est décroissante pour x ]– , 0]f est croissante pour x [0, + [

Signe f est positive pour x ]– , –3,16] ∪ [3,16, + [f est négative pour x [–3,16, 3,16]

Extremum Min : f = –5Aucun maximum




(suite)


Fiche 3.3

11. Les coordonnées du sommet de la parabole associée à la fonction f sont (–3, –4). Un des zéros de cette fonction est 1. Détermine :Propriétés de la fonction quadratique (domaine, image, extremums, signe) Niveau de difficulté : faible

a) le domaine et l’image de f ; Dom : R Ima : [–4, + [

b) les extremums de f ; Min = –4 et il n’y a aucun maximum.

c) le signe de f. f est positive pour x ]– , –7] [1, + [

f est négative pour x [–7, 1]

12. Soit la fonction h(x) = 4(x – 3)2 + 10.

Trace une esquisse du graphique représentant la fonction ci-dessus, puis détermine pour quelles valeurs de x on trouve : Résolution d’inéquations du second degré à une variable

Niveau de difficulté : moyen

a) h(x) ≤ 110 ; b) h(x) ≥ 26 ; c) h(x) ≤ 410.

h(x) = 110

4(x – 3)2 + 10 = 110

4(x – 3)2 = 100

(x – 3)2 = 25

x – 3 = ±5

x = ±5 + 3

x1 = –2

x2 = 8

x ∪ [-2, 8]

h(x) = 26

4(x – 3)2 + 10 = 26

4(x – 3)2 = 16

(x – 3)2 = 4

x – 3 = ±2

x = ±2 + 3

x1 = 1

x2 = 5

x ]– , 1] ∪ [5, + [

h(x) = 410

4(x – 3)2 + 10 = 410

4(x – 3)2 = 400

(x – 3)2 = 100

x – 3 = ±10

x = ±10 + 3

x1 = –7

x2 = 13

x [–7, 13]




(suite)

Fiche 3.3

13. L’équitation de saut d’obstacles existe depuis longtemps. C’est en 1865, à Dublin, en Irlande, que se tient le premier concours officiel de sauts d’obstacles, et c’est en 1900 que ce sport entre dans les Jeux Olympiques de Paris. Lors d’une séance d’entraînement, un cavalier et ses entraîneurs ont photographié le parcours d’un cheval effectuant un saut. Les entraîneurs ont déduit que, lorsque le cheval sautait, il suivait une parabole dont la règle est h(t) = –0,6(t – 1,5)2 + 1,35, où h(t) est la hauteur en mètres et t est le temps écoulé en secondes. Détermine la durée pendant laquelle le cheval demeure au-dessus de l’obstacle, qui a une hauteur de un mètre, lorsqu’il effectue son saut.Résolution d’inéquations du second degré à une variable Niveau de difficulté : élevé

14. Maïté, une joueuse de football, lance le ballon à une de ses coéquipières. La trajectoire du ballon est représentée par la fonction dont la règle est : h(t) = –0,16(t – 5)2 + 4, où h(t) est la hauteur en mètres et t est le temps écoulé en secondes depuis que Maïté a lancé le ballon.Propriétés de la fonction quadratique (sommet, domaine, image, axe de symétrie) Niveau de difficulté : moyen

a) Quelle est la hauteur maximale du ballon ? Quatre mètres

b) Combien de secondes faut-il à la coéquipière de Maïté pour qu’elle attrape le ballon à la même hauteur que Maïté l’a lancé ?

h(t) = –0,6(t – 1,5)2 + 1,35

1 = –0,6(t – 1,5)2 + 1,35

–0,35 = –0,6(t– 1,5)2

0,583 = (t – 1,5)2

± 0,583 = t – 1,5

± 0,583 + 1,5 = t

t1 ≈ 0,74

t2 ≈ 2,26

de 0,74 secondes à 2,26 secondes ; il reste donc moins de 1,52 seconde au-dessus de la barrière.

h(t) = –0,16(t – 5)2 + 4

0 = –0,16(t – 5)2 + 4

–4 = –0,16(t – 5)2

25 = (t – 5)2

±5 = t – 5

t1 = –5 + 5 = 0 (ce n’est pas la valeur voulue)

t2 = 5 + 5 = 10 (valeur à conserver)

Réponse : 10 secondes



(suite)


Fiche 3.3

c) Quels sont le domaine et l’image de la fonction h ?

le domaine est [0 , 10]

l’image est [0 , 4]

d) Quelle est l’équation de l’axe de symétrie ?

t = 5

15. Geneviève fait de la gymnastique et excelle surtout à la table de saut. Elle court d’abord sur une distance de 25 m et prend son élan en poussant avec ses deux pieds sur un tremplin. Elle pose ensuite ses deux mains sur le cheval sautoir avant de réaliser une figure de haut vol. Geneviève effectue donc deux sauts : un sur le tremplin et un sur le cheval sautoir. La trajectoire d’un saut complet qu’elle a effectué lors de sa dernière compétition peut se représenter par deux fonctions quadratiques : i(t) = –0,192(t – 1,75)2 + 1,65 et c(t) = –0,32(t – 4,5)2 + 2,07, où t est le temps en secondes, i(t) la hauteur engendrée par l’élan qu’elle prend sur le tremplin et c(t) la hauteur engendrée par sa poussée sur le cheval sautoir. En prenant en considération les deux étapes du saut complet, détermine la durée totale pendant laquelle Geneviève reste à une hauteur supérieure à 1,35 m, c’est-à-dire la hauteur du cheval sautoir.Résolution d’inéquations du second degré à une variable Niveau de difficulté : élevé

i(t) = –0,192(t – 1,75)2 + 1,65

1,35 = –0,192(t – 1,75)2 + 1,65

–0,3 = –0,192(t – 1,75)2

1,5625 = (t – 1,75)2

± 1,5625 = t – 1,75

t1 = –1,25 + 1,75 = 0,5

t2 = 1,25 + 1,75 = 3

La durée totale est de 0,5 à 3 secondes lorsqu’elle prend son élan sur le tremplin. Elle reste donc moins de 2,5 secondes au-dessus de 1,35m.

c(t) = –0,32(t – 4,5)2 + 2,07

1,35 = –0,32(t – 4,5)2 + 2,07

–0,72 = –0,32(t – 4,5)2

2,25 = (t – 4,5)2

± 2,25 = t – 4,5

t1 = –1,5 + 4,5 = 3

t2 ≈ 1,5 + 4,5 = 6

La durée totale est de 3 à 6 secondes lorsqu’elle saute sur le cheval. Elle reste donc moins de 3 secondes au-dessus de 1,35 m.

En additionnant les deux parties du parcours, elle demeure moins de 5,5 secondes au-dessus du cheval sautoir de 1,35 m.





1. Exprime les règles des fonctions quadratiques suivantes sous la forme générale. Passage d’une forme

de règle à une autre : forme générale, forme canonique, forme factorisée Niveau de difficulté : moyen

a) f1(x) = 3(x + 2)2 – 4 f1(x) = 3x2 + 12x + 8

b) f2(x) = –5(x + 1) (x – 6) f2(x) = –5x2 + 25x + 30

c) f3(x) = –8(x + 7)2 – 24 f3(x) = –8x2 – 112x – 416

d) f4(x) = 14

(x – 3) (x + 9) f4(x) = 14

x2 + 32

x – 274

2. Exprime les règles des fonctions quadratiques suivantes sous la forme factorisée. Passage d’une forme de règle à une autre : forme générale, forme canonique, forme factorisée


a) f1(x) = –5x2 – 30x – 40 f1(x) = –5(x + 2)(x + 4)

b) f2(x) = 7(x – 4)2 – 28 f2(x) = 7(x – 2)(x – 6)

c) f3(x) = –12

x2 + x + 32 f3(x) =

–12 (x + 1)(x – 3)

d) f4(x) = 14

(x + 1)2 – 254

f4(x) = 14 (x – 4)(x + 6)

3. Exprime les règles des fonctions quadratiques suivantes sous la forme canonique. Passage d’une forme

de règle à une autre : forme générale, forme canonique, forme factorisée Niveau de difficulté : moyen

a) f1(x) = 2x2 + 4x + 5 f1(x) = 2(x + 1)2 + 3

b) f2(x) = –4(x – 1) (x – 4) f2(x) = –4 x – 52

2 + 9

c) f3(x) = –x2+ 6x + 7 f3(x) = –(x – 3)2 + 16

d) f4(x) = 3(x – 2) (x + 5) f4(x) = 3 x + 32

2 – 1474

4. Trouve les deux autres formes qui correspondent à la règle donnée de la fonction quadratique. Passage

d’une forme de règle à une autre : forme générale, forme canonique, forme factorisée Niveau de difficulté : moyen

Forme canonique Forme générale Forme factorisée

f1(x) = 3(x + 2)2 – 3 f1(x) = 3x2 + 12x + 9 f1(x) = 3(x + 1)(x + 3)

f2(x) = –6(x – 2)2 f2(x) = –6x2 + 24x – 24 f2(x) = –6(x – 2)(x – 2)

f3(x) = 14 x – 1

2 2– 49

16f3(x) = 1

4 x2 – 1

4 x – 3 f3(x) = 14

(x + 3)(x – 4)



(suite)


5. Quelle forme de la règle d’une fonction quadratique est la plus pratique pour :Avantage de chacune des formes de la règle Niveau de difficulté : faible

a) déterminer l’ordonnée à l’origine ? la forme générale

b) résoudre une équation ? la forme factorisée

c) déterminer l’image de la fonction ? la forme canonique

d) déterminer l’équation de l’axe de symétrie ? la forme canonique

e) étudier le signe de la fonction ? la forme factorisée

6. Détermine les coordonnées du sommet des paraboles associées aux règles suivantes.Coordonnées du sommet d’une parabole Niveau de difficulté : moyen

a) f1(x) = –12

x2 – 10x + 55 (10, 5)

b) f2(x) = 2x2 + 32x + 128 (–8, 0)

c) f3(x) = 3x2 – 30x + 66 (5, –9)

d) f4(x) = (x + 13)(x + 9) (–11, –4)

7. Trouve les abscisses et l’ordonnée à l’origine des fonctions quadratiques dont les règles sont les suivantes.Abscisse et ordonnée à l’origine d’une parabole Niveau de difficulté : moyen

a) y = –3(x – 2) (x + 9)

les abscisses à l’origine : –9 et 2 ; l’ordonnée à l’origine : 54

b) y = 4x2 – 16x – 84

les abscisses à l’origine : –3 et 7 ; l’ordonnée à l’origine : –84

c) y = –2 x – 52

2 + 2252

les abscisses à l’origine : –5 et 10 ; l’ordonnée à l’origine : 100

d) y = 14

(x – 1)(x – 4)

les abscisses à l’origine : 1 et 4 ; l’ordonnée à l’origine : 1

8. Fais l’étude du signe des fonctions quadratiques représentées par les règles suivantes.Signe d’une parabole Niveau de difficulté : moyen

a) f1(x) = 2x2 – 16x + 32

positive pour x R

b) f2(x) = 14

(x + 7) (x – 1)

positive pour x ]– , –7] ∪ [1, + [ et négative pour x [–7, 1]

c) f3(x) = 3x2 – 12x + 9

négative pour x [1, 3] et positive pour x ]– , 1] ∪ [3, + [




(suite)

9. Représente graphiquement les fonctions dont les règles sont les suivantes, puis analyse chacune d’elles en remplissant les tableaux correspondants.Propriétés de la fonction quadratique Niveau de difficulté : moyen

a) f1(x) = –3x2 – 12x – 11

b) f2(x) = 15

(x – 1)2 + 5

c) f3(x) = 2x2 – 32x + 130

Domaine R

Image ]– , 1]

Ordonnée à l’origine(ou valeur initiale)

–11


–b ± b2 – 4ac 2a

= 12 ± 114 – 132

2a

≈ 12 ± 114 – 132

2a ≈ –2,58 et –1,42

VariationCroissante pour x ]– , –2]Décroissante pour x [–2, + [

SigneNégative pour x ]– , –2,58] ∪ [–1,42, + [Positive pour x [–2,58, –1,42]

Extremum Maximum : f = 1Aucun minimum

Axe de symétrie x = –2

Domaine R

Image [5, + [


f(0) = 15 (0 – 1)2 + 5 = 26

5


VariationDécroissante pour x ]– , 1]Croissante pour x [1, + [

Signe Positive pour x R

Extremum Minimum : f = 5Aucun maximum

Axe de symétrie x = 1

Domaine R

Image [2, + [

Ordonnée à l’origine(ou valeur initiale) 130


VariationDécroissante pour x ]– , 8]Croissante pour x [8, + [

Signe Positive pour x R

Extremum Minimum : 2Aucun maximum

Axe de symétrie x = 8



(suite)


10. Josée, une joueuse de volley-ball, fait une passe à sa coéquipière. La hauteur du ballon h(t), en mètres, en fonction du temps t, en secondes, est décrite par la fonction quadratique h(t) = –0,525t2 + 2,1t + 1,9.Propriétés de la fonction quadratique : (ordonnée à l’origine, maximum, zéro, variation) Niveau de difficulté : moyen

a) Représente graphiquement cette fonction.

b) À quelle hauteur Josée commence-t-elle sa passe ?

À une hauteur de 1,9 m

c) À quelle propriété de la fonction la hauteur précédente correspond-elle ?

L’ordonnée à l’origine (ou la valeur initiale)

d) Quelle hauteur maximale le ballon atteint-il ?

e) La coéquipière de Josée ne réussit pas à toucher le ballon que Josée lui passe. Dans combien de temps après la passe de Josée le ballon tombe-t-il au sol ?

f) Pendant combien de temps le ballon est-il en descente ?

Le ballon est en descente pendant 2,76 secondes.

11. Dans un parc d’attractions, lorsque le manège Le Bateau-pirate va et vient de haut en bas, il suit la trajectoire d’une parabole. La hauteur h(d), en mètres, en fonction de la distance horizontale du départ d, en mètres, est représentée par la règle h(d) = 1

5 d 2 + 1. Propriétés de la fonction quadratique

(graphique, sommet, axe de symétrie), résoudre une équation quadratique Niveau de difficulté : moyen

a) Représente graphiquement la règle de cette fonction.

k = 4ac – b2

4a = –3,99 – 4,41

–2,1 = 4

Le ballon atteint une hauteur maximale de 4 mètres.

–0,525t2 + 2,1t + 1,9 = 0–b ± b2 – 4ac

2a =

–2,1 ± 4,41 – 3,99 –1,05

= –2,1 ± 2,9

–1,05 = x1 ≈

–0,76 et x2 ≈ 4,76

–0,76 est à rejeter. Le ballon tombe au sol après environ 4,76 secondes.




(suite)

b) La hauteur maximale atteinte par Le Bateau-pirate est de 6 m. Quelle est la distance horizontale du départ à ce moment-là ?

c) Quelle est la règle de l’axe de symétrie associée à cette trajectoire ?

d = 0

12. Soit les fonctions quadratiques suivantes.

f1(x) = 2x2 + 2x + 4

f2(x) = x2 – 10x + 60

f3(x) = –2x2 + 20x

Pour quelles valeurs de x obtient-on :Résoudre une équation quadratique Niveau de difficulté : moyen

a) f1(x) = 8 ?

b) f2(x) = 35 ?

c) f3(x) = 50 ?

6 = 15

h2 + 1

5 = 15

h2

25 = h2

h = ± 25

h = ± 5

La distance est de 5 m.

2x2 + 2x + 4 = 8

2x2 + 2x – 4 = 0–b ± b2 – 4ac

2a =

–2 ± 4 + 32 4

= –2 ± 6

4 = –2 et 1

x2 – 10x + 60 = 35

x2 – 10x + 25 = 0–b ± b2 – 4ac

2a =

10 ± 100 – 100 2

= 10 ± 0

2 =

10 2

= 5

–2x2 + 20x = 50

–2x2 + 20x – 50 = 0–b ± b2 – 4ac

2a =

–20 ± 400 – 400 –4

= –20 ± 0

–4 =

–20 –4

= 5



(suite)


13. Marc est libraire. Il a observé que le profit mensuel p(x) qu’il réalise sur la vente d’un livre dépend du prix x de ce livre. Ce profit est exprimé par la fonction p(x) = –12,5x2 + 450x – 3 250. Niveau de difficulté : moyen

Propriétés de la fonction quadratique (ordonnée à l’origine), résoudre une équation et une inéquation quadratique a) Quel prix Marc paie-t-il pour chacun des exemplaires ?

b) Si Marc a réalisé un profit de 600 $ le mois dernier, quel était le prix de vente pour un livre ?

c) À quel prix Marc doit-il vendre chaque livre s’il veut réaliser un profit mensuel supérieur à 720 $ ?

0 = –12,5x2 + 450x – 3 250

–b ± b2 – 4ac 2a

= –450 ± 202500 – 162500

–25 = –450 ± 200

–25 = 10 et 26

Marc paie 10 $ ou 26 $ pour chacun des exemplaires.

600 = –12,5x2 + 450x – 3 250

–12,5x2 + 450x – 3 850 = 0

–b ± b2 – 4ac 2a

= –450 ± 202500 – 192500

–25 =

–450 ± 100–25 = 22 et 14

Marc a vendu chaque livre 22 $ ou 14 $.

–12,5x2 + 450x – 3 250 > 720

–12,5x2 + 450x – 3 970 = 0

–b ± b2 – 4ac 2a

= –450 ± 202500 – 198500

–25 =

–450 ± 63,24–25 = 20,53 et 15,47

Marc doit vendre chaque livre plus de 15,47 $ mais moins de 20,53 $.




(suite)

14. Patricia a une très longue corde à linge chez elle. Lors de sa dernière lessive, la corde à linge était si lourde qu’elle pendait, représentant alors la forme d’une parabole. Celle-ci est représentée par la règle h(d) = x2

64 – 14 x + 5, où h(d) est la hauteur de la corde à linge à partir du sol et d, la distance horizontale

du poteau près de la maison. Propriétés de la fonction quadratique (graphique, maximum, ordonnée

à l’origine), résoudre une équation quadratique Niveau de difficulté : moyen

a) Représente graphiquement la règle de cette fonction.

b) Quelle est la hauteur minimale de cette corde à linge ?

c) Quelle est l’ordonnée à l’origine ?

5

d) À quoi correspond cette ordonnée à l’origine dans ce contexte ?

Au poteau qui se trouve près de la maison

e) La corde à linge est fixée à la même hauteur du sol à chacune de ses extrémités. Quelle est la distance entre les deux poteaux ?

16 m

15. L’ouverture en forme de U au dos d’un maillot de danse représente une parabole. La longueur l(x), en centimètres, de l’ouverture du maillot varie en fonction de la demi-largeur x de cette ouverture, en centimètres, selon la règle : l(x) = 5

24 x2 – 30. On considère que l’axe des ordonnées de la parabole

correspond au centre de l’ouverture en U et que l’axe des abscisses correspond au niveau des épaules. Propriétés de la fonction quadratique (graphique, maximum, zéros) Niveau de difficulté : moyen

a) Représente graphiquement ce problème.

b) Quelle est la longueur de cette ouverture ?

30 cm

c) Quelle est la largeur de cette ouverture ?

k = 4ac – b2

4a =

0,3125 – 0,06250,0625

= 4

524 x

2 – 30 = 0

–b ± b2 – 4ac 2a

= ± 25

512

= ± 5 • 125 = ±12

La largeur de l’ouverture est de 24 centimètres.



(suite)


16. Dans une entreprise, le nombre d’employés a augmenté durant les sept premières années pour ensuite décroître progressivement. Un comptable de l’entreprise explique que l’évolution du personnel a suivi la fonction définie par la règle p(a) = –4a2 + 56a + 49, où p(a) est le nombre d’employés de l’usine et a, le nombre d’années d’existence de l’entreprise. Propriétés de la fonction

quadratique (zéros), résoudre une équation et une inéquation quadratique Niveau de difficulté : moyen

a) L’entreprise amorce sa douzième année d’exploitation. Combien compte-t-elle d’employés actuellement ?

b) Combien d’années après sa création l’entreprise comptait-elle 181 employés ?

c) Dans combien de temps l’entreprise fermera-t-elle ses portes si elle poursuit son parcours selon cette courbe ?

d) Pendant combien d’années l’entreprise comptera-t-elle plus de 145 employés ?

p(12) = –4(12)2 + 56(12) + 49 = 145

L’entreprise compte 145 employés.

181 = –4a2+ 56a + 49

0 = –4a2+ 56a – 132–b ± b2 – 4ac

2a =

–56 ± 3136 – 2112 –8

= –56 ± 32

–8 = 11 et 3

L’entreprise comptait 181 employés 3 ans après sa création et 11 ans après sa création.

0 = –4a2 + 56a + 49–b ± b2 – 4ac

2a =

–56 ± 3136 – 784 –8

= –56 ± 62,61

–8 = –0,826 25 et 14,83

L’entreprise fermera ses portes dans 14 ans et 9 mois.

–4a2 + 56a + 49 > 145

–4a2 + 56a – 96 = 0–b ± b2 – 4ac

2a =

–56 ± 3136 – 1536 –8

= –56 ± 40

–8 = 2 et 12

L’entreprise compte plus de 145 employés pendant moins de 10 ans.





1. Détermine la règle des fonctions quadratiques à partir des informations suivantes.Recherche de la règle à partir du sommet et d’un autre point Niveau de difficulté : moyen

a) Le sommet est (2, –3) et la courbe c) Le sommet est (–2, –4) et la courbe passe par le point (4, 5). passe par le point (1, 23).

b) Le sommet est (–3, –1) et la courbe d) Le sommet est (1, –6) et la courbe passe par le point (–7, 3). passe par le point (0, –10).

f(x) = a(x – 2)2 – 3

5 = a(4 – 2)2 – 3

5 = a(2)2 – 3

5 = 4 a – 3

8 = 4 a

2 = a

f(x) = 2(x – 2)2 – 3

f(x) = a(x + 2)2 – 4

23 = a(1 + 2)2 – 4

23 = a(3)2 – 4

23 = 9a – 4

27 = 9a

3 = a

f(x) = 3(x + 2)2 – 4

f(x) = a(x + 3)2 – 1

3 = a(–7 + 3)2 – 1

3 = a(–4)2 – 1

3 = 16 a – 1

4 = 16 a

14 = a

f(x) = 14

(x + 3)2 – 1

f(x) = a(x – 1)2 – 6

–10 = a(0 – 1)2 – 6

–10 = a(–1)2 – 6

–10 = a – 6

–4 = a

f(x) = –4(x – 1)2 – 6




(suite)

2. Choisis un sommet et un point par lequel une fonction quadratique peut passer.

Quel est le paramètre a de la règle qui passe par ce sommet et ce point ?Recherche de la règle à partir du sommet et d’un autre point Niveau de difficulté : moyen

3. Détermine la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous.Recherche de la règle à partir du sommet et d’un autre point Niveau de difficulté : moyen

a)

Choisir un sommet (h, k) et un point (x, y).

Substituer les coordonnées de ces points dans la règle de forme canonique afin de trouver la valeur du paramètre a.

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Soit le sommet (–3,6) et le point (1,2). Cherchons la règle de la fonction quadratique passant par ces points.

f(x) = a(x + 3)2 + 6

2 = a(1 + 3)2 + 6

2 = a(4)2 + 6

2 = 16 a + 6

–4 = 16 a–14 = a

f(x) = –14 (x + 3)2 – 6

1

f(x)

1

x

Sommet : (2, –7) et point (–3, 1)

f(x) = a(x – 2)2 – 7

1 = a(–3 – 2)2 – 7

1 = a(–5)2 – 7

1 = 25 a – 7

8 = 25 a

825 = a

f(x) = 825 (x – 2)2 – 7

ou f(x) = 0,32(x – 2)2 – 7



(suite)


b)

c)

4. Un lion de cirque saute au centre d’un cerceau en flammes placé à 1,4 m au-dessus du sol et à 4 m de son point de départ. Il retombe sur ses pattes à une distance de 8 m de son point de départ. Quelle est la règle de la fonction quadratique qui correspond à sa trajectoire ?Recherche de la règle à partir du sommet et d’un autre point, représentation d’une situation à l’aide d’une fonction, verbalement, algébriquement, à l’aide d’une table de valeurs ou graphiquement Niveau de difficulté : moyen

2

f(x)

1

x

Sommet : (10, 6) et point (7, 3)

f(x) = a(x – 10)2 + 6

3 = a(7 – 10)2 + 6

3 = a(–3)2 + 6

3 = 9 a + 6

–3 = 9 a–13

= a

f(x) = –13

(x – 10)2 + 6

1

f(x)

1

x


f(x) = a(x – 5)2 + 3

6 = a(4 – 5)2 + 3

6 = a(–1)2 + 3

6 = a + 3

3 = a

f(x) = 3(x – 5)2 + 3

Sommet : (4, 1,4) et point (8, 0)

f(x) = a(x – 4)2 + 1,4

0 = a(8 – 4)2 + 1,4

0 = a(4)2 + 1,4

0 = 16 a + 1,4

–1,4 = 16 a

–0,087 5 = a

f(x) = –0,087 5(x – 4)2 + 1,4




(suite)

5. Simon veut arroser les semences à gazon qu’il a plantées ce matin sur son terrain. Cependant, son tuyau d’arrosage n’est pas assez long pour se rendre jusqu’à ses semences. Il emploie donc une technique d’arrosage qui fait que l’eau suit la trajectoire d’une parabole afin de se rendre jusqu’à l’endroit voulu. Il tient le tuyau d’arrosage à 1 m du sol et sait que l’eau atteint un maximum de 5 m de hauteur à partir de l’endroit où il se tient, c’est-à-dire à une distance de 4 m. Simon réussira-t-il à atteindre les semences situées à 8 m de lui ? Justifie ta réponse.Recherche de la règle à partir du sommet et d’un autre point, représentation d’une situation à l’aide d’une fonction, verbalement, algébriquement, à l’aide d’une table de valeurs ou graphiquement Niveau de difficulté : moyen

6. Lors d’une compétition de camions monstres, un participant a atteint avec son camion une hauteur de 15 m à une distance horizontale de 10 m de son point de départ. Il commence sa trajectoire en forme de parabole à partir d’une rampe située à 3 m au-dessus du niveau du sol.Recherche de la règle à partir du sommet et d’un autre point, représentation d’une situation à l’aide d’une fonction, verbalement, algébriquement, à l’aide d’une table de valeurs ou graphiquement Niveau de difficulté : élevé

a) Trouve la règle de la fonction représentée par ce problème.

Le sommet de la parabole est (4, 5) et la courbe passe par le point (0, 1).

f(x) = a(x – 4)2 + 5

1 = a(0 – 4)2 + 5

1 = a(–4)2 + 5

1 = 16 a + 5–4 = 16 a–14 = a

f(x) = –14 (x – 4)2 + 5

Vérifier ensuite si le point (8, 0) satisfait l’équation.–14 (8 – 4)2 + 5 =

–14 (4)2 + 5 =

–14

• 16 + 5 = –4 + 5 = 1

Comme la courbe ne passe pas par ce point, Simon n’atteindra pas les semences à gazon sur son terrain.

Le sommet de la parabole est (10, 15) et la courbe passe par le point (0, 3).

f(x) = a(x – 10)2 + 15

3 = a(0 – 10)2 + 15

3 = a(–10)2 + 15

3 = 100 a + 15

–12 = 100 a–325

= a

f(x) = –325

(x – 10)2 + 15



(suite)


b) Trace un graphique correspondant à cette règle.

c) D’après-toi, pourra-t-il sauter par-dessus 13 voitures qui font 20 m de long sans les toucher ?

Le participant pourra sauter avec son camion

par-dessus 13 voitures qui font 20 m de long

sans les toucher puisque le point (20, 0) ne

touche pas à la courbe et est situé sous celle-ci.

7. Détermine la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous.Recherche de la règle à partir des zéros et d’un autre point Niveau de difficulté : moyen

a)

b)

1

f(x)

2

x

Zéros : 2 et 8 et point (4, 16)

f(x) = a(x – 2)(x – 8)

16 = a(4 – 2)(4 – 8)

16 = a(2)(–4)

16 = –8 a

–2 = a

f(x) = –2(x – 2)(x – 8)

1

f(x)

4

x

Zéros : –1 et 5 et point (3, –24)

f(x) = a(x + 1)(x – 5)

–24 = a(3 + 1)(3 – 5)

–24 = a(4)(–2)

–24 = –8 a

3 = a

f(x) = 3(x + 1)(x – 5)




(suite)

c)

8. Détermine la règle des fonctions quadratiques à partir des informations suivantes.Recherche de la règle à partir des zéros et d’un autre point Niveau de difficulté : moyen

a) Les zéros sont –3 et 1 et la courbe passe c) Les zéros sont –4 et 2 et la courbe passe par le point (3, –6). par le point (1, 5).

b) Les zéros sont –11 et 7 et la courbe passe d) Les zéros sont 9 et 17 et la courbe passe par le point (–5, –9). par le point (6, 3).

1

f(x)

1

x

Zéros : –3 et 4 et point (1, –9)

f(x) = a(x + 3)(x – 4)

–9 = a(1 + 3)(1 – 4)

–9 = a(4)(–3)

–9 = –12 a

34 = a

f(x) = 34 (x + 3)(x – 4)

f(x) = a(x + 3)(x – 1)

–6 = a(3 + 3)(3 – 1)

–6 = a(6)(2)

–6 = 12 a–12 = a

f(x) = –12 (x + 3)(x – 1)

f(x) = a(x + 4)(x – 2)

5 = a(1 + 4)(1 – 2)

5 = a(5)(–1)

5 = –5 a

–1 = a

f(x) = –1(x + 4)(x – 2)

f(x) = a(x + 11)(x – 7)

–9 = a(–5 + 11)( –5 – 7)

–9 = a(6)(–12)

–9 = –72 a

18 = a

f(x) = 18 (x + 11)(x – 7)

f(x) = a(x – 9)(x – 17)

3 = a(6 – 9)(6 – 17)

3 = a(–3)(–11)

3 = 33 a

111 = a

f(x) = 111 (x – 9)(x – 17)



(suite)


9. Voici quelques caractéristiques de quatre paraboles. Détermine la règle de chacune des fonctions quadratiques représentée par sa parabole. Recherche de la règle d’une fonction quadratique, description des

propriétés d’une fonction quadratique Niveau de difficulté : moyen

a)

b)

c)

d)

– Le minimum de la fonction est 5.

– La fonction est décroissante pour x ∈ ]–∞, 3].

– La parabole passe par le point (5, 9).


f(x) = a(x – 3)2 + 5

9 = a(5 – 3)2 + 5

9 = a(2)2 + 5

9 = 4 a + 5

4 = 4 a

1 = a

f(x) = (x – 3)2 + 5

– La fonction est négative pour x ∈ ]–∞, –2] ∪ [4, +∞[.

– La parabole passe par le point (3, 10).

Zéros : –2 et 4 et point (3, 10)

f(x) = a(x + 2)(x – 4)

10 = a(3 + 2)(3 – 4)

10 = a(5)(–1)

10 = –5 a–2 = a

f(x) = –2(x + 2)(x – 4)

– L’équation de l’axe de symétrie est x = 1.

– L’image de la fonction est [–3, +∞[.

– L’ordonnée à l’origine est 1.

Sommet : (1, –3) et point (0, 1)

f(x) = a(x – 1)2 – 3

1 = a(0 – 1)2 – 3

1 = a(–1)2 – 3

1 = a – 3

4 = a

f(x) = 4(x – 1)2 – 3

– La fonction est positive sur [3, 8].

– L’ordonnée à l’origine est –18.

Zéros : 3 et 8 et point (0, –18)

f(x) = a(x – 3)(x – 8)–18 = a(0 – 3)(0 – 8)–18 = a(–3)(–8)–18 = 24 a–34 = a

f(x) = –34 (x – 3)(x – 8)




(suite)

10. Quelle est la règle de la fonction représentée par la parabole qui passe par les points (2, 0), (6, 0) et (1, 20) ?Recherche de la règle à partir des zéros et d’un autre point Niveau de difficulté : moyen

11. La balle d’une carabine suit une trajectoire parabolique. Elle doit s’élever de 1 m pour atteindre une cible située à 100 m. Détermine l’équation de la trajectoire en considérant que la position de tir est à l’origine d’un système cartésien. Recherche de la règle à partir des zéros et d’un autre point, représentation d’une situation à l’aide

d’une fonction, verbalement, algébriquement, à l’aide d’une table de valeurs ou graphiquement Niveau de difficulté : moyen

12. Quelle forme de la règle d’une fonction quadratique est la plus pratique pour déterminer : Recherche de la règle d’une fonction quadratique, description des propriétés d’une fonction quadratique

Niveau de difficulté : faible

a) le maximum, l’équation de l’axe de symétrie et un point de la courbe ?

La forme canonique

b) les abscisses à l’origine et l’ordonnée à l’origine ?

La forme factorisée


f(x) = a(x – 2)(x – 6)

20 = a(1 – 2)(1 – 6)

20 = a(–1)(–5)

20 = 5 a

4 = a

f(x) = 4(x – 2)(x – 6)


f(x) = a(x)(x – 100)

1 = a(50)(50 – 100)

1 = a(50)(–50)

1 = –2 500a–1

2500 = a

f(x) = –1

2500 (x)(x – 100)

ou f(x) = –0,000 4(x)(x – 100)



(suite)


c) l’intervalle où la fonction est positive et un point de la courbe ?

La forme factorisée

d) l’image de la fonction, l’équation de l’axe de symétrie et l’ordonnée à l’origine ?

La forme canonique

13. La somme des deux zéros d’une fonction quadratique est –1 et le produit est –12. La courbe de cette fonction passe par le point (2, –3). Quelle est la règle de cette fonction si on la représente sous la forme générale ? Recherche de la règle d’une fonction quadratique, passage d’une forme de règle à une autre :

forme générale, forme canonique, forme factorisée Niveau de difficulté : moyen

14. Sur un terrain, Martin a trouvé, à 8 m de distance l’un de l’autre, deux terriers de marmottes. Entre ceux-ci, c’est-à-dire à 3 m du premier terrier, Martin a creusé un troisième terrier d’une profondeur de 1 m. Il est tombé ainsi sur la galerie creusée par les marmottes. Martin suppose que la galerie des marmottes est de forme parabolique et que le premier terrier est considéré comme l’origine des quadrants. Quelle règle Martin pourrait-il associer à cette galerie de terriers ? Recherche de la règle à partir du sommet et d’un autre point, représentation d’une situation à l’aide

d’une fonction, verbalement, algébriquement, à l’aide d’une table de valeurs ou graphiquement Niveau de difficulté : moyen

S = –1, P = –12 et point (2, –3)

f(x) = a(x2 – Sx + P)

f(x) = a(x2 + x – 12)

–3= a(22 + 2 – 12)

–3 = a(–6)

12 = a

f(x) = 12 (x

2 + x – 12)

f(x) = 12 x

2 + 12 x – 6

Zéros : 0 et 8 et point (3, –1)

f(x) = a(x)(x – 8)

–1 = a(3)(3 – 8)

–1 = a(3)(–5)

–1 = –15a

115 = a

f(x) = 115 (x)(x – 8)




plus de ConsolidationComplément de la section Consolidation des pages 174 à 182 du manuel

1. Associe les graphiques suivants avec le bon groupe de paramètres.Rôle des paramètres a, h et k dans la forme canonique de la règle Niveau de difficulté : faible

1 2

3 4

a) a > 0 b) a < 0 c) a > 0 d) a < 0 h < 0 h > 0 h > 0 h > 0 k > 0 k < 0 k < 0 k > 0

3

1

2

4

–2

2

y

x

2

2

y

x

2

y

x

2

2

y

x

2

SN_GE-A_Ch3_DR_sec4-Conso.indd 37 11/3/08 3:35:21 PM


(suite)


2. Soit la fonction quadratique dont la règle est f(x) = 5x2 - 2x + c. Exprime le minimum de f en fonction de c.Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : moyen

f(x) = 5x2 – 2x + c

Min = k

k = 4ac – b2

4a = 20c – 4

20 = c – 1

5

k = c – 15

3. Détermine la règle de chacune des fonctions quadratiques représentées par les graphiques ci-dessous et fais ensuite l’analyse complète de ces fonctions. Recherche de la règle d’une fonction quadratique

et description des propriétés d’une fonction quadratique Niveau de difficulté : moyen

a)

Règle

Zéros : –6 et –1 et point (–2, –6) f(x) = a(x + 6)(x + 1) –6 = a(–2 + 6)(–2 + 1) –6 = a(4)(–1)

a = 32

f(x) = 32

(x + 6)(x + 1) ou

f(x) = 32

x2 + 212

x + 9

Domaine R

Imagek = 4ac – b2

4a =

54 – 110,25

6 = –9,375

[–9,375, +∞[



–6 et –1

Variationh =

–b2a

= –10,5

3 = –3,5

f est décroissante pour x ∈]–∞, –3,5] f est croissante pour x ∈ [–3,5, +∞[

Signef est positive pour x ∈ ]–∞, –6] ∪ [–1, +∞[ f est négative pour x ∈[–6, –1]

ExtremumMin : f = –9,375 Aucun maximum

Équation de l’axe de symétrie x = –3,5

–1

f (x)

x

2




(suite)

b)

4. Combien les fonctions quadratiques suivantes ont-elles de zéros ?Description des propriétés d’une fonction quadratique Niveau de difficulté : moyen

a) y = –3(x - 2)2 + 7

a < 0 et k > 0 ; donc, il y a deux zéros.

b) y = 2x2 - 20x + 50

a > 0 et ∆ = b2 – 4ac = 400 – 400 = 0 ; donc, il y a un zéro.

c) y = –12 (x + 4)2

a < 0 et k = 0 ; donc, il y a un zéro.

d) y = x2 + 12x + 44

a > 0 et ∆ = b2 – 4ac = 144 – 176 = –32 ; donc, il n’y a aucun zéro.

e) y = 52 x

2 + 10x + 1

a > 0 et ∆ = b2 – 4ac = 100 – 10 = 90 ; donc, il y a deux zéros.

f(x)

x1

1Règle

Sommet : (3, 4) et point (–1, –4) f(x) = a(x – 3)2 + 4 –4 = a(–1 – 3)2 + 4 –8 = 16a

a = –12

f(x) = –12

(x – 3)2 + 4

Domaine R

Image ]–∞, 4]


f(0) =

–12

(0 – 3)2 + 4 = –92

+ 4 = –12


h ± = 3 ±

≈ 3 ± 2,83

0,17 et 5,83

Variationf est croissante pour x ∈ ]–∞, 3] f est décroissante pour x ∈ [3, + ∞[

Signef est positive pour x ∈ [0,17, 5,83] f est négative pour x ∈ ]–∞, 0,17] ∪ [5,83, + ∞[

ExtremumMax : f = 4 Aucun minimum

Équation de l’axe de symétrie

x = 3

–ka

–4–12



(suite)


5. Trouve les deux autres formes qui correspondent à la règle donnée de la fonction quadratique.Passage d’une forme de règle à une autre : forme générale, forme canonique, forme factorisée Niveau de difficulté : moyen

Forme canonique Forme générale Forme factorisée

f1(x) = –0,27(x - 1)2 + 6

f1(x) = –0,27(x – 1)(x – 1) + 6

= –0,27(x2 – 2x + 1) + 6

= –0,27x2 + 0,54x – 0,27 + 6

f1(x) = –0,27x2 + 0,54x + 5,73

Zéros = –b ± b2 – 4ac

2a

= –0,54 ± 0,2916 + 6,1884

–0,54

= –0,54 ± 2,55

–0,54≈ –3,72 et 5,72

f1(x) = –0,27(x + 3,72)(x – 5,72)

h = –b2a

= –5412

= –92

k = 4ac – b2

4a = 2016 – 291624

= –90024

= –752

f2(x) = 6 x + 92

2 – 752

f2(x) = 6x2 + 54x + 84


2a

= –0,54 ± 2916 – 2016

12

= –54 ± 30

12≈ –2 et –7

f2(x) = 6(x + 7)(x + 2)

h = –b2a

= 18–4

= –92

k = 4ac – b2

4a =

–160 – 324–8

= 1212

f3(x) = –2 x + 92

2 + 1212

f3(x) = –2x2 – 18x + 20 f3(x) = –2(x + 10)(x - 1)

h = –b2a

=

–252

1 =

–252

k = 4ac – b2

4a =

–150 – 6254

2 =

–12258

f4(x) = 12

x + 252

2 – 12252

f4(x) = 12

x2 + 252

x - 75


2a

= –

252

±

6254

+ 150

1 =

–252

± 352

= 5 et –30

f4(x) = 12

(x + 30)(x – 5)




(suite)

6. Détermine la règle de chacune des fonctions quadratiques décrites ci-dessous. Niveau de difficulté : moyen

Recherche de la règle d’une fonction quadratique. Description des propriétés d’une fonction quadratique

a) b)

Zéros : –4 et –10 et point (–6, 8)

f(x) = a(x + 4)(x + 10)

8 = a(–6 + 4)(–6 + 10)

8 = a(–2)(4)

–1 = a

f(x) = –1(x + 4)(x + 10)

Sommet : (7, –8) et point (0, 139)

f(x) = a(x – 7)2 – 8

139 = 49a – 8

147 = 49a

3 = a

f(x) = 3(x – 7)2 – 8

c) d)


f(x) = a(x – 2)(x – 12)

18 = 24a

34

= a

f(x) = 34

(x – 2)(x – 12)

Sommet : (–1, 3) et point (1, 1)

f(x) = a(x + 1)2 + 3

1 = 4a + 3

–2 = 4a

– 12 = a

f(x) = – 12

(x + 1)2 + 3

- La fonction est positive pour x ∈ [–10, –4].

- f(–6) = 8

- L’image de la fonction est [–8, +∞[.

- L’ordonnée à l’origine est 139.

- L’équation de l’axe de symétrie est x = 7.

- Les abscisses à l’origine sont 2 et 12.

- L’ordonnée à l’origine est 18.

- La fonction est croissante pour x ∈ ]–∞, –1].

- L’image de la fonction est ]–∞, 3].

- La fonction passe par le point (1, 1).



(suite)


7. Trace le graphique et fais l’étude complète des règles des fonctions quadratiques suivantes.Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : moyen

a)

b)

f1(x) = –2x2 + 8x + 64 Domaine R

Imagek =

4ac – b2

4a =

–512 – 64

–8 = 72

]–∞, 72]



–b ± b2 – 4ac2a

= –8 ± 64 + 512

–4 =

–8 ± 24

–4 = –4 et 8

Variationh =

–b 2a

= –8 –4

= 2

f est croissante pour x ∈ ]–∞, 2]f est décroissante pour x ∈ [2, +∞[

Signef est négative pour x ∈ ]–∞, –4] ∪ [8, +∞[ f est positive pour x ∈ [–4, 8]

ExtremumMax : f = 72 Aucun minimum


f2(x) = 23

x2 + 6x – 12 Domaine R

Imagek =

4ac – b2

4a =

–32 – 36

83

= –512

–512

, +∞


–12


–b ± b2 – 4ac2a

= –6 ± 36 + 32

43

=

–6 ± 8,2543

= –10,69 et 1,69

Variation

h = –b 2a

= –6 43

= –9 2

f est décroissante pour x ∈ –∞, –9 2

f est croissante pour x ∈ –9 2

, +∞

Signef est positive pour x ∈ ]–∞, –10,69] ∪ [1,69, +∞ [ f est négative pour x ∈ [–10,69, 1,69]

ExtremumMin : f =

–512

Aucun maximumÉquation de l’axe

de symétriex =

–9 2




(suite)

c)

8. Voici la table de valeurs d’une fonction quadratique. Observation de régularités : les accroissements,

description des propriétés d’une fonction quadratique, recherche de la règle d’une fonction quadratiqueNiveau de difficulté : moyen

a) Complète la table de valeurs en utilisant les accroissements.

x –3,7 –2 –1 0 1 2 3 4

f(x) –15 –5 1 3 1 –5 –15 –29

+10 +6 +2 –2 –6 –10 –14

–4 –4 –4 –4 –4 –4

b) Quel est l’accroissement de deuxième niveau et que nous indique-t-il ?

L’accroissement de deuxième niveau est –4. Comme cet accroissement est constant,

il nous indique que c’est une fonction quadratique.

c) Représente graphiquement cette fonction.

f3(x) = 2x2 – 28x + 98 Domaine R

Image R


Zéros (ou abscisses à l’origine) 7

Variationf est décroissante pour x ∈ ]–∞, 7] f est croissante pour x ∈ [7, +∞[

Signe f est positive pour x ∈ R

ExtremumMin : f = 0 Aucun maximum


d) Quelles sont les coordonnées du sommet de cette fonction ?

(0, 3)

e) Quelle est la règle de cette fonction ?


f(x) = a(x)2 + 3

1 = a + 3–2 = a

f(x) = –2x2 + 3



(suite)


9. Certaines propriétés d’une fonction quadratique sont plus faciles à trouver à l’aide d’une forme de règle particulière. Quelle forme de la règle d’une fonction quadratique (canonique, factorisée ou générale) est la plus pratique pour déterminer :Description des propriétés d’une fonction quadratique Niveau de difficulté : faible

a) le sommet ? e) l’image ?

La forme canonique La forme canonique

b) les zéros ? f) les signes ?

La forme factorisée La forme factorisée

c) l’extremum ? g) la variation ?

La forme canonique La forme canonique

d) l’ordonnée à l’origine ? h) l’équation de l’axe de symétrie ?

La forme générale La forme canonique

10. Soit la fonction f(x) = 14

x2 - 2x - 3. Pour quelles valeurs de x a-t-on : Résolution d’inéquations du second

degré à une variable. Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : moyen

a) f(x) ≤ 0 ?

b) f(x) ≥ 2 ?

c) f(x) = 5 ?


2a = 2 ± 4 + 3

12

≈ 2 ± 2,65

0,5 ≈ 9,3 et –1,3

x ∈ [1,3, –9,3[

2 = 14

x2 – 2x – 3

f(x) = 14

x2 – 2x – 5 –b ± b2 – 4ac

2a = 2 ± 4 + 5

12

= 2 ± 312

= –2 et 10

x ∈ ]–∞, –2] ∪ [10, +∞[

5 = 14

x2 – 2x – 3

f(x) = 14

x2 – 2x – 8 –b ± b2 – 4ac

2a = 2 ± 4 + 8

12

≈ 2 ± 3,460,5

≈ –2,93 et 10,93

x ≈ –2,93x ≈ 10,93




(suite)

11. Le viaduc

On a reproduit un viaduc sur un plan cartésien. La courbe du viaduc suit la parabole définie par la règle de la fonction h(x) = –0,08x2 + 8, où h(x) est la hauteur du viaduc, en mètres, et x la longueur au sol du viaduc, en mètres.Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : moyen

a) Quelle est la hauteur maximale de ce viaduc ?

b) Quelle est la longueur au sol de ce viaduc ?

12. Valeurs à trouver

Quelles sont les valeurs possibles de b pour que la règle de la fonction f(x) = x2 - bx + 4 possède un seul zéro ? Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : moyen

k = 4ac – b2

4a =

–2,56–0,32

= 8

La hauteur maximale de ce viaduc est de 8 m.


2a = ± 0 + 2,56

–0,16 = ± 1,6

–0,16 = –10 et 10

La longueur au sol de ce viaduc est de 20 m.

Pour avoir un seul zéro, ∆ = 0, donc ∆ = b2 – 4ac = 0 b2 – 16 = 0 b2 = 16

b = ± 16

b = –4 ou 4 Les valeurs possibles de b sont –4 et 4.



(suite)


13. Profit ou perte ?

Le directeur d’une entreprise de fabrication de montres a établi selon ses prévisions de ventes que, si le prix d’une montre-bracelet est fixé à x dollars, les profits réalisés, en milliers de dollars, seront illustrés par la règle : p(x) = –0,1x2 + 24x - 1 400.Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : moyen

a) Détermine le prix de vente x de la montre-bracelet qui maximisera les profits.

h = –b2a

= –24–0,2

= 120

Le prix de vente x est de 120 $.

b) Quel est le profit maximal que peut réaliser cette entreprise ?

k = 4ac – b2

4a = 560 – 576

–0,4 = 40

Le profit maximal que peut réaliser cette entreprise est de 40 000 $.

c) Dans quel intervalle faudra-t-il fixer le prix de vente de ces montres-bracelets pour que l’entreprise ne subisse pas de pertes ?


2a =

–24 ± 576 – 560–0,2

= –24 ± 4

–0,2 = 100 et 140

L’intervalle devra être [100 $, 140 $].

14. Le plongeon de l’épaulard

En plongeant, un épaulard décrit la trajectoire d’une parabole d’équation p(t) = 2t2 - 20t, où t désigne le temps en secondes et p(t), la profondeur en mètres à laquelle se trouve l’épaulard.Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : moyen

a) Jusqu’à quelle profondeur l’épaulard peut-il plonger ?

k = 4ac – b2

4a = 0 – 400

8 = 50

L’épaulard peut plonger jusqu’à 50 m de profondeur.

b) Combien de temps faut-il à l’épaulard pour décrire toute la trajectoire ?


2a = 20 ± 400

4 = 20 ± 20

4 = 0 et 10

Il faut 10 secondes à l’épaulard pour décrire toute la trajectoire.

c) Pendant combien de temps l’épaulard est-il en descente ?

L’épaulard est en descente pendant 5 secondes.




(suite)

15. Un oubli !

Élisa, une enseignante au secondaire, a omis d’écrire sur sa fiche d’activités la valeur du paramètre a dans une fonction quadratique. Les élèves savent que f(x) = ax2 + 3x - 2 et que f(–2) = 6. Quelle est la valeur du paramètre a ?Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : élevé

16. Un trapèze sous la parabole

Soit y = –2x2 + 24x - 40, l’équation de la parabole représentée ci-contre. Détermine l’aire, en unités carrées, du trapèze formé par les points du haut, dont l’ordonnée est 24, et par les points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c

Niveau de difficulté : élevé

f(x) = ax2 + 3x – 2 et point (–2, 6)

6 = a(–2)2 + 3(–2) – 2

6 = 4a – 6 – 2

6 = 4a – 8

14 = 4a72

= a

La valeur du paramètre a est 72

ou 3,5.

y

x

Pour trouver les points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses :


2a =

–24 ± 576 – 320–4

= –24 ± 16

–4 = 2 et 10

On obtient donc les points (2, 0) et (10, 0).

Pour trouver les points dont l’ordonnée est 24 :

y = –2x2 + 24x – 40

24 = –2x2 + 24x – 40

0 = –2x2 + 24x – 64 –b ± b2 – 4ac

2a =

–24 ± 576 + 512–4

= –24 ± 8

–4 = 4 et 8

On obtient donc les points (4, 24) et (8, 24).

Petite base = 8 – 4 = 4

Grande base = 10 – 2 = 8

Hauteur = 24

Aire du trapèze = (b + B) • h2

= (4 + 8) • 242

= 144 unités2



(suite)


17. Le lancement des fusées

Dans le cours de sciences et technologie de 1re secondaire, une activité particulièrement populaire est la fabrication de fusées miniatures puis leur lancement. L’année dernière, la fusée de Samuel a atteint une hauteur maximale de 15 mètres 5 secondes après le décollage. Cette fusée a décollé au niveau du sol et a décrit une trajectoire parabolique. Recherche de la règle d’une fonction quadratique. Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = a(x – h)2 + k. Résolution d’inéquations du second degré à une variable


a) Quelle est la règle de cette fonction ?

b) Combien de temps la fusée est-elle restée dans les airs ?

c) Pendant combien de temps la fusée a-t-elle atteint une hauteur de 5 m et plus ?


f(x) = a(x – h)2 + k

f(x) = a(x – 5)2 + 15

0 = a(0 – 5)2 + 15

–15 = 25a

–0,6 = a

f(x) = –0,6(x – 5)2 + 15

Zéros = h ±

–ka

= 5 ±

–15–0,6

= 5 ± 5 = 0 et 10

La fusée est restée dans les airs pendant moins de 10 secondes.

5 = –0,6(x – 5)2 + 15

–10 = –0,6(x – 5)2

16,67 ≈ (x – 5)2

± 4,08 ≈ x – 5

± 4,08 + 5 ≈ x

x ≈ 0,92 et 9,08

9,08 – 0,92 = 8,16. La fusée a atteint une hauteur de 5 m et plus pendant 8,16 secondes.




(suite)

18. Démonstration

Montre qu’il existe au moins trois règles de fonctions quadratiques d’équations f(x)= ax2 + bx + c, ayant pour zéros –3 et 2, et représente graphiquement les trois règles de fonctions que tu as trouvées.Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : moyen

19. Un problème à composer

Compose un exercice ou un problème où tu auras à trouver une règle de forme factorisée.Recherche de la règle à partir des zéros et d’un autre point Niveau de difficulté : élevé

20. L’homme-canon

Lors de la dernière édition d’Expo-Québec, on pouvait admirer les exploits de « l’homme-canon ». Ce cascadeur, une fois projeté dans les airs, suit une trajectoire parabolique d’équation h(t) = –0,038 4(t - 23)2 + 24, où h(t) désigne la hauteur atteinte en mètres et t, le temps en secondes. L’homme atterrit ensuite dans un filet tendu à 5 mètres du sol.Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = a(x – h)2 + k Niveau de difficulté : moyen

a) Combien de temps dure la trajectoire de l’homme-canon ?


Toutes ces fonctions ont –3 et 2 comme zéros.

f1(x) = 2x2 + 2x – 12

f2(x) = –0,5x2 – 0,5x + 3

f3(x) = 0,25x2 + 0,25x – 1,5


Commencer par trouver deux zéros et le paramètre a ou deux zéros et un point pour trouver a à l’aide de la forme f(x) = a(x – x1)(x – x2).

h(t) = –0,038 4(t – 23)2 + 24

5 = –0,038 4(t – 23)2 + 24–19 = –0,038 4(t – 23)2

494,79 ≈ (t – 23)2

± 22,24 ≈ t – 23

± 22,24 + 23 ≈ t

t ≈ 0,76 et 45,24

On rejette 0,76.

La trajectoire de l’homme-canon dure donc 45,24 secondes.



(suite)


b) À quelle hauteur du sol le canon est-il situé ?

h(0) = –0,038 4(0 – 23)2 + 24

h(0) = –0,038 4(529) + 24

h(0) = –20,313 6 + 24

h(0) = 3,686 4

Le canon est situé à 3,686 4 m du sol.

21. Variation de température

L’équation f(t) = 2t2 - 10t - 12 décrit l’évolution de la température f(t) en degrés Celsius enregistrée au cours d’une journée du mois de mars, entre minuit et 7 heures.Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : moyen

a) Quelle est la température minimale ?

k = 4ac – b2

4a =

–96 – 1008

= –24,5

La température minimale est –24,5 °C.

b) Pendant combien de temps la température est-elle négative ?


2a = 10 ± 100 + 96

4 = 10 ± 14

4 = –1 et 6

On rejette –1 et on part à 0 h (minuit).

La température est négative pendant 6 heures.

c) Donne l’intervalle de temps durant lequel la température augmente.

h = –b2a

= 104

= 2,5

La température augmente dans l’intervalle [2,5, 7], donc entre 2 h 30 et 7 heures.




(suite)

22. Le ballon de football

La courbe supérieure d’un ballon de football a la forme d’une parabole décrite par la fonction f(x) = –0,15x2 + 3x, si l’on considère que la ligne de coupe, au milieu du ballon, est directement située sur l’axe des x. Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : moyen

a) Quelle est la longueur, en centimètres, du ballon de football ?

Le maximum est k = 4ab – b2

4a =

–9–0,6

= 15.

La longueur du ballon de football est donc de 30 cm.

b) Quelle est l’équation de l’axe de symétrie du ballon ?

h = –b2a

= –3

–0,3 = 10

L’équation de l’axe de symétrie du ballon est x = 10.

23. Le badminton

Jacques et Tommy ont été filmés lors de leur match dans le cadre d’une compétition de badminton. Lorsqu’ils ont visionné un des frappés, Jacques était à 2,5 m du filet et il frappait le volant à 2 m du sol pour l’envoyer de l’autre côté du filet. La trajectoire du volant suivait ainsi la forme d’une parabole. La hauteur maximale du volant était de 4 m lorsque celui-ci se trouvait directement au-dessus du filet. Si Tommy se trouvait à 3 m du filet, à quelle hauteur a-t-il frappé le volant ? Trouve d’abord la règle de la fonction, sachant que le filet représente l’axe des ordonnées. Recherche de la règle à partir du sommet et d’un autre point. Représentation d’une situation à l’aide d’une fonction, verbalement, algébriquement, à l’aide

d’une table de valeurs ou graphiquement Niveau de difficulté : élevé

Sommet : (0, 4) et point (–2,5, 2)

f(x)= a(x – h)2 + k

2 = a(–2,5 – 0)2 + 4

–2 = 6,25a

–0,32 = a

La règle est f(x) = –0,32x2 + 4

f(3) = –0,32(3)2 + 4 = 1,12

Tommy a frappé le volant à une hauteur de 1,12 m.



(suite)


24. L’aire d’un rectangle

La longueur d’un rectangle est supérieure de trois unités à sa largeur. Recherche de la règle d’une fonction

quadratique. Résolution d’inéquations du second degré à une variable. Représentation d’une situation à l’aide d’une fonction, verbalement, algébriquement, à l’aide d’une table de valeurs ou graphiquement Niveau de difficulté : moyen

a) Donne la règle de la fonction qui correspond à son aire.

Largeur : x

Longueur : x + 3

Aire = (x)(x + 3)

Règle : y = x2 + 3x

b) Quelles dimensions doit avoir le rectangle pour que son aire soit supérieure à 40 unités carrées ?

y = x2 + 3x

40 = x2 + 3x

0 = x2 + 3x – 40 = –b ± b2 – 4ac

2a =

–3 ± 9 + 1602

= –3 ± 13

2 = –8 et 5

On rejette –8.

La largeur doit être supérieure à 5 unités et la longueur doit être supérieure à 8 unités.

25. Le saut gagnant

En saut acrobatique, la hauteur du saut détermine le gagnant. Isabelle et Claudia étaient ex æquo au pointage avant de comparer la hauteur de leur dernier saut, en mètres. À l’aide des deux règles données ci-dessous, détermine laquelle des deux skieuses a finalement gagné la compétition.Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : moyen

Isabelle : Claudia :

h1(x) = –2x2 + 12x - 8 h2(x) = –2x2 + 16x - 24

h1(x) = –2x2 + 12x – 8

k =4ac – b2

4a = 64 – 144

–8 = 10

Saut de 10 m

h2(x) = –2x2 + 16x – 24

k = 4ac – b2

4a = 192 – 256

–8 = 8

Saut de 8 m

Et la gagnante est…

C’est Isabelle qui a gagné la compétition.




(suite)

26. La corde à danser

Jessie tient dans ses mains une corde à danser qui a la forme d’une parabole. Lorsqu’elle reste immobile, chacune de ses mains est à une distance de 35 cm de son corps et à une hauteur de 1 m du sol. Sachant que son corps représente l’axe des ordonnées ainsi que l’axe de symétrie de la parabole, quelle est la règle de cette fonction quadratique ? Exprime cette règle sous deux formes différentes. Recherche de la règle à partir du sommet et d’un autre point. Passage d’une forme de règle à une

autre : forme générale, forme canonique, forme factorisée Niveau de difficulté : moyen

27. Déneigement d’un toit

L’hiver 2007-2008 a été un hiver record au Québec en ce qui a trait aux chutes de neige. Plusieurs Québécois ont dû déneiger le toit de leur maison. Lorsque Raymond a déneigé son toit, la fonction quadratique h(t) = –1,425(t - 1)2 + 5,7 représentait la trajectoire de la neige qui tombait du toit, h(t) représentait la hauteur en mètres et t, le temps écoulé en secondes.Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = a(x – h)2 + k Niveau de difficulté : moyen

a) Trace le graphique de cette fonction. b) À quelle hauteur Raymond commençait-il à lancer la neige ?

h(0) = –1,425(0 – 1)2 + 5,7

h(0) = –1,425 + 5,7

h(0) = 4,275

Raymond commençait à lancer la neige à une hauteur de 4,275 mètres.

c) En combien de temps la neige se retrouvait-elle au sol ?

En 3 secondes

Sommet : (0, –100) et point (–35, 0)

f(x) = a(x – h)2 + k

0 = a(–35 – 0)2 – 100

100 = 1 225a449

= a

Règle sous forme générale : f(x) = 449

x2 – 100

Zéros : –35 et 35 et point (0, –100)

f(x)= a(x – 35)(x + 35)449

= a

Règle sous forme factorisée : f(x)= 449

(x – 35)(x + 35)



(suite)


28. Jouer avec un chien

Alain lance une balle à son chien. Cette balle suit la trajectoire d’une parabole dont la règle est y = –0,275(x - 4)2 + 3, où x représente la distance horizontale en mètres de la balle entre le chien et son maître et y, la hauteur en mètres de la balle à partir du sol. Si le chien saute à une hauteur de 60 cm pour attraper la balle, à quelle distance de son maître se trouve-t-il ?Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = a(x – h)2 + k Niveau de difficulté : moyen

0,6 = –0,275(x – 4)2 + 3

–2,4 = –0,275(x – 4)2

8,73 ≈ (x – 4)2

± 2,95 ≈ x – 4

± 2,95 + 4 ≈ x

x ≈ 1,05 et 6,95

On rejette 1,05.

Le chien se trouve à 6,95 m de son maître.

30. Le golf

Lors d’un parcours de golf, Marie-Ève frappe une balle en deux coups. Au premier coup, la balle parcourt la trajectoire de la parabole f1(x) = –0,12x2 + 1,92x, où x est la distance horizontale entre le trou et la balle et f1(x), la hauteur de la balle. Au second coup, la balle suit la trajectoire de la parabole f2(x) = –0,25x2 + 9x - 80.Propriétés de la fonction dont la règle est f(x) = ax2 + bx + c Niveau de difficulté : moyen

a) Quelle hauteur maximale la balle atteint-elle au premier coup ?

k = 4ac – b2

4a =

–3,6864–0,48

= 7,68. La balle atteint 7,68 m de haut au premier coup.

b) Quelle hauteur maximale la balle atteint-elle au second coup ?

k = 4ac – b2

4a = 80 – 81

–1 = 1. La balle atteint 1 m de haut au second coup.

c) À quelle distance de la balle était situé le trou lors du premier coup frappé par Marie-Ève ?

Zéros f1 = –b ± b2 – 4ac

2a =

–1,92 ± 3,6864–0,24

= –1,92 ± 1,92

–0,24 = 0 et 16

Zéros f2 = –b ± b2 – 4ac

2a =

–9 ± 81 – 80–0,5

= –9 ± 1

–0,5 = 16 et 20

Le trou était situé à 20 m de la balle.


Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. C-1Intersection SN Guide A Chapitre 3

Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

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es É

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G

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Fich

e3.

1

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134

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anue

l

1.

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fonc

tion

affin

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x) =

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5x +

2.

a) C

ompl

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ble

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nte

asso

ciée

à la

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raph

ique

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fonc

tion.

c) Q

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est

l’ab

scis

se à

l’or

igin

e ?

4

d) Q

uelle

est

l’or

donn

ée à

l’or

igin

e ?

2

2.

Les

fonc

tions

f et

g s

ont r

epré

sent

ées

grap

hiqu

emen

t dan

s le

pla

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en c

i-des

sous

.

a) D

éter

min

e su

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terv

alle

se

trouv

e :

1

g(x)

≥ 0

;

2

f(x)

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(x).

b) C

ompl

ète

la r

ègle

de

chac

une

des

fonc

tions

.

1

f(x)

=

2

g(x)

=

x0

24

68

10

f(x)

21

0– 1

– 2– 3

]–∞

, 2]

]–∞

, 2]

0,5x

– 1

1,5x

+ 3

y

x

1

1

y

x

f

g

1

1

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

1

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

4C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

3.

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ocie

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hiqu

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rresp

onda

nt.

a) f

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x +

3| −

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x

− 2

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b) f

2(x)

= −

0,5|

x −

2| +

1

e)

f5(

x) =

x

+ 5

− 4

c) f

3(x)

= 3

|x| +

2

f)

f 6(

x) =

2

x −

3

16

54

32

4

5

6

1

1y

x

1

1y

x

1

1y

x

1

2

3

1

1y

x

1

1y

x

1

1y

x

SN_GE-A_Ch3_DR_CORR.indd 1 11/3/08 3:37:42 PM

Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. C-2 Chapitre 3 Intersection SN Guide A

Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

1

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

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ditio

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c.

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SN

G

uide

AC

ha

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e 3

(sui

te)

4.

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cha

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des

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ntes

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une

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n.

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ier-L

uc a

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lus

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idéo

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Séb

astie

n. E

nsem

ble,

ils

poss

èden

t plu

s de

50

jeux

vid

éo.

Le n

ombr

e de

jeux

vid

éo a

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tena

nt à

Séb

astie

n es

t sym

bolis

é pa

r x.

b) L

a se

mai

ne d

erni

ère,

Jes

sica

a tra

vaillé

cin

q he

ures

de

moi

ns q

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a sœ

ur C

athe

rine.

Elle

s ga

gnen

t ch

acun

e 9

$ l’h

eure

. La

sem

aine

der

nièr

e, e

lles

ont g

agné

moi

ns d

e 35

0 $

brut

(av

ant l

es re

tenu

es à

la

sour

ce)

afin

de

s’ach

eter

un

ordi

nate

ur. O

n dé

signe

par

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nom

bre

d’he

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trav

aillé

es p

ar C

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c) C

ynth

ia, J

oani

e et

Car

olin

e on

t tou

tes

trois

acc

ès à

Inte

rnet

à la

mai

son.

Cha

que

sem

aine

, Cyn

thia

pa

sse

trois

fois

plu

s de

tem

ps q

ue J

oani

e à

navi

guer

dan

s In

tern

et ta

ndis

que

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olin

e y

pass

e de

ux

heur

es d

e m

oins

que

Joa

nie.

On

sait

que

les

pare

nts

de J

oani

e ac

cept

ent q

u’el

le p

asse

un

max

imum

de

10

heur

es p

ar s

emai

ne à

nav

igue

r da

ns In

tern

et. O

n dé

sign

e pa

r x

le n

ombr

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heur

es o

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utili

se In

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et c

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e se

mai

ne.

d) S

teve

s’e

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ut-te

rrain

d’u

ne v

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r de

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lus

élev

ée q

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elui

de

Mar

tin.

On

sait

que

le p

rix d

u VT

T de

Mar

tin n

e dé

pass

e pa

s 4

000

$, ta

xes

incl

uses

. On

dési

gne

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x le

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du

VTT

de M

artin

, tax

es in

clus

es.

x :

Nom

bre

de j

eux

vidé

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Séb

asti

en

2x :

Nom

bre

de j

eux

vidé

o de

Pie

r-Lu

c.

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2x

> 5

0

(x –

5) :

nom

bre

d’he

ures

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vaill

ées

par

Jess

ica.

9x :

sala

ire

brut

de

Cath

erin

e po

ur l

a se

mai

ne d

erni

ère.

9(x

– 5)

: sa

lair

e br

ut d

e Je

ssic

a po

ur l

a se

mai

ne d

erni

ère.

9(x

– 5)

+ 9

x <

350

(x +

2) :

nom

bre

d’he

ures

où

Joan

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tilis

e In

tern

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ar s

emai

ne.

3(x

+ 2

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ombr

e d’

heur

es o

ù Cy

nthi

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ilise

Int

erne

t pa

r se

mai

ne.

x +

(x

+ 2

) +

3(x

+ 2

) ≤

48

2x :

prix

du

VTT

de S

teve

, inc

luan

t le

s ta

xes.

x +

2x

< 1

2 00

0

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

1

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

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es É

ditio

ns d

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e 3

Inte

rsec

tion

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N

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de A

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jeu

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cole

ne

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sser

600

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e l’é

cole

veu

t qu

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long

ueur

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ble

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rgeu

r. O

n dé

signe

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x la

larg

eur d

u te

rrain

de

jeu.

5.

Dév

elop

pe le

s ex

pres

sion

s su

ivan

tes

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xprim

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s so

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form

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un p

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a) −

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+ 3)

2

b) (

x −

1)2 +

4

c) 5

(x −

4)2 −

7

d) 1 3 (x

+ 2

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2x :

long

ueur

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Air

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ter

rain

rec

tang

ulai

re :

long

ueur

• l

arge

ur.

x(2x

) ≤

600

– 4(x

+ 3

)(x

+ 3

) =

–4(

x2 + 6

x +

9)

– 4x2 –

24x

– 3

6

(x –

1)(

x –

1) +

4 =

x2 –

2x

+ 1

+ 4

= x

2 – 2

x +

5

5(x

– 4)

(x –

4)

– 7

= 5

(x2 –

8x

+ 1

6) –

7 =

5x2 –

40x

+ 8

0 –

7

5x2 –

40x

+ 7

3

1 3 (x

+ 2

)(x

+ 2

) =

1 3 (x

2 + 4

x +

4)

= 1 3

x2 +

4 3 x

+ 4 3



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

1

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

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es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

7In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

e) − 1 4

(x −

3)2 +

5

6.

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nsfo

rme

les

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s en

pol

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ces

poly

nôm

es.

Poly

nôm

eD

egré

1− x

(x +

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2

2(x

− 2

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+ 5)

(x −

8)

x3 – 5

x2 – 3

4x +

80

3

3(x

− 3

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x +

1)x2 –

7x

+ 8

2

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x +

6)2 −

32x

2 + 2

4x +

69

2

5− (

x +

2)2 +

(x

− 3)

2−10

x +

51

7.

Fac

toris

e le

s tri

nôm

es s

uiva

nts.

a) x

2 − 1

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6

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0x −

3

d) 2

x2 + 1

5x +

7

e) −

4x2 +

x +

5

– 1 4 (x

– 3

)(x

– 3)

+ 5

= – 1 4

(x2 –

6x

+ 9

) +

5 =

– 1 4 x

2 + 3 2

x –

9 4 +

20 4 =

– 1 4 x

2 + 3 2

x +

11 4

(x –

12)

(x +

2)

(x +

3)(

3x +

2)

(2x

+ 3

)(4x

– 1

)

(2x

+ 1

)(x

+ 7

)

(x +

1)(

5 –

4x)

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

2

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

10C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

Fich

e3.

3

plu

s d

e M

ise

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rati

qu

eC

ompl

émen

t de

la s

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n M

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147

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u m

anue

l

1.

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Vér

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elle

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tions

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b)

d)

2.

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les

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es s

uiva

nts

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sui

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i-des

sous

en

calc

ulan

t l’a

ccro

isse

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t de

deux

ièm

e ni

veau

.O

bse

rvat

ion

de

régu

lari

tés

: le

s ac

cro

isse

men

ts N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: fa

ible

30,

19

,

14,

15

,

22,

35

,

54,

79,

110

– 11

– 5

+1

+7

+13

+19

+25

+31

+6

+6

+6

+6

+6

+6

+6

3.

Dét

erm

ine

la v

aleu

r de

s pa

ram

ètre

s a,

h e

t k d

e la

form

e ca

noni

que

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règ

le p

our

chac

une

des

fonc

tions

sui

vant

es.

Rô

le d

es p

aram

ètre

s a,

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t k

de

la f

orm

e ca

no

niq

ue

de

la r

ègle

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

faib

le

a)

f 1(x)

= – 3

(x +

2)2 –

5

a =

– 3

h

= – 2

k =

– 5

b)

f 2(x)

= (

x –

3)2 +

6

a =

1

h

= 3

k =

6

c)

f 3(x)

= – 2

x2 – 9

a

= – 2

h =

0

k

= – 9

d)

f 4(x)

= (

x +

3)2 +

5

a =

–1 4

h

= – 3

k =

5

e)

f 5(x)

= 7

(x +

5)2

a

= 7

h =

– 5

k

= 0

xy

11

24

39

416

525

Oui

Acc

rois

sem

ent

de

+2

xy

– 2– 3

1– 1

2

07

112

217

Oui

Acc

rois

sem

ent

de

– 4

xy

– 2– 3

1– 1

– 17

0– 7

1– 1

21

Non

xy

– 213

– 11

0– 3

11

213

Oui

Acc

rois

sem

ent

de

+8



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

2

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

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11In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

Fich

e3.

3

4.

Voi

ci, c

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tre, l

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prés

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tion

grap

hiqu

e de

la

fonc

tion

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ratiq

ue d

e ba

se y

= x

2 .

Pour

cha

cun

des

grap

hiqu

es c

i-des

sous

, tro

uve

le

ou

les

para

mèt

res

qui o

nt c

hang

é et

don

ne la

rè

gle

de la

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e ca

noni

que

qui y

est

ass

ocié

e.R

ôle

des

par

amèt

res

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a)

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Para

mèt

re :

aR

ègle

: y

= – 2

x2

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ram

ètre

: k

Règ

le :

y =

x2 +

4

b)

e)

Para

mèt

re :

hR

ègle

: y

= (

x –

3)2

Pa

ram

ètre

s : h

et

kR

ègle

: y

= (

x –

2)2 +

5

c)

f)

Para

mèt

res :

a e

t k

Règ

le :

y =

0,5

x2 + 3

Pa

ram

ètre

s : a

et

hR

ègle

: y

= – 3

(x +

1)2

1

1y

x

1

1y

x

1

1y

x

1

1y

x

1

1y

x

1

1y

x

1

1y

x

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

2

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

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es É

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Che

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re in

c.

12C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

Fich

e3.

3

5.

Voi

ci d

es fo

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ns q

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tées

soi

t par

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val

eurs

, soi

t par

un

grap

hiqu

e, s

oit p

ar

une

règl

e éc

rite

sous

la fo

rme

cano

niqu

e. P

our c

hacu

ne d

e ce

s fo

nctio

ns, d

éter

min

e le

nom

bre

de z

éros

.In

flu

ence

des

par

amèt

res

a et

k s

ur

le n

om

bre

de

zéro

s d

e la

fo

nct

ion

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a)

c)

f(x)

= –

1 4 x2 +

6

Deu

x zé

ros

d)

f(x)

= – 4

(x –

5)2

U

n zé

ro

U

n zé

ro

b)

e)

A

ucun

zér

o

D

eux

zéro

s

6.

Tra

ce le

gra

phiq

ue d

es fo

nctio

ns q

uadr

atiq

ues

suiv

ante

s.Tr

acé

du

gra

ph

iqu

e à

l’aid

e d

es p

aram

ètre

s a

et k

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) f

1(x)

= – 3

(x –

2)2 +

1

b) f

2(x)

= 2

(x +

1)2 –

4

c) f

3(x)

= 0

,5(x

– 3

)2 – 2

1

1y

x

xy

– 231

– 116

07

14

27

316

1

1y

x

1

1y

x1

1y

x1

1y

x



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

2

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

13In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

Fich

e3.

3

7.

Mat

hieu

aim

e al

ler p

êche

r et o

bser

ver l

e co

mpo

rtem

ent d

es p

oiss

ons.

Un

jour

, il r

acon

te à

ses

am

is

qu’il

a vu

un

pois

son

nage

r tou

t prè

s de

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bat

eau

et q

u’il

a ré

ussi

à l’

attra

per a

vec

sa c

anne

à p

êche

. Vo

ici l

’exp

licat

ion

« mat

hém

atiq

ue »

donn

ée à

ses

am

is :

le p

oiss

on a

pro

babl

emen

t sui

vi u

ne tr

ajec

toire

en

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e de

par

abol

e do

nt la

règl

e es

t p(t

) =

0,02

(t –

15)

2 – 4

,5. M

athi

eu p

réci

se q

ue p

(t)

est l

a pr

ofon

deur

à la

quel

le s

e tro

uvai

t le

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son

et t,

le te

mps

éco

ulé

depu

is q

ue le

poi

sson

a é

té a

perç

u po

ur la

pre

miè

re fo

is.

Trac

é d

u g

rap

hiq

ue,

pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n q

uad

rati

qu

e (s

om

met

zér

o)

Niv

eau

de d

iffi

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é :

moy

en

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race

le g

raph

ique

rep

rése

ntan

t la

traje

ctoi

re

du p

oiss

on.

b) S

acha

nt q

ue la

lign

e de

la c

anne

à p

êche

de

Mat

hieu

est

situ

ée v

is-à

-vis

du

cent

re d

e la

tra

ject

oire

du

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son,

à q

uelle

pro

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eur

se

trouv

ait l

e po

isso

n lo

rsqu

e M

athi

eu l’

a at

trapé

?

À 4

,5 m

de

prof

onde

ur.

c) S

i le

pois

son

avai

t pou

rsui

vi s

a tra

ject

oire

san

s se

fa

ire a

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ombi

en d

e te

mps

aur

ait-i

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pou

r pa

rcou

rir c

ette

dis

tanc

e de

puis

le m

omen

t où

il a

été

aper

çu p

our

la p

rem

ière

fois

?

30 s

econ

des

8.

Le

grap

hiqu

e ci

-des

sous

rep

rése

nte

la fo

nctio

n f d

ont l

es z

éros

son

t – 5 e

t 3.

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n q

uad

rati

qu

e (v

aria

tio

n, s

ign

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ivea

u de

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ficu

lté

: m

oyen

Sur

quel

inte

rval

le la

fonc

tion

f est

-elle

:

a) c

rois

sant

e ?

[– 1, +

[

b) d

écro

issa

nte

? ]–

, – 1]

c) p

ositi

ve ?

]

–, – 5

] [

3, +

[

d) n

égat

ive

?

[– 5, 3

]

1

f(x)

x

1

5

1

p(t)

t

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

2

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

14C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

Fich

e3.

3

9.

Pou

r ch

acun

e de

s fo

nctio

ns q

uadr

atiq

ues

suiv

ante

s ex

prim

ées

sous

la fo

rme

d’un

e rè

gle

ca

noni

que,

indi

que

: P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

qu

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tiq

ue

(so

mm

et, a

xe d

e sy

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rie,

do

mai

ne

et i

mag

e, e

xtre

mu

ms)

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

faib

le

a) l

es c

oord

onné

es d

u so

mm

et ;

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e do

mai

ne e

t l’im

age

;

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équa

tion

de l’

axe

de s

ymét

rie ;

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max

imum

ou

le m

inim

um.

Fonc

tions

a) l

es c

oord

onné

es

du s

omm

et ;

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’équ

atio

n de

l’ax

e de

sy

mét

rie ;

c)

le d

omai

ne

et l’

imag

e ;

d) l

e m

axim

um o

u le

min

imum

.

1 h

1(x)

= (

x -

3)2 +

5(3

, 5)

x =

3D

om :

RIm

a :

[5, +

[M

in =

5

2 h

2(x)

= – 3

(x +

2)2 -

4(– 2

, – 4)

x =

– 2D

om :

RIm

a :

]–, – 4]

Max

= – 4

3 h

3(x)

= 0

,25(

x –

1)2 -

5(1

, – 5)

x =

1D

om :

RIm

a :

[– 5, +

[M

in =

– 5

4 h

4(x)

= 2

(x +

4)2

(– 4, 0

)x

= – 4

Dom

: R

Ima

: R

+M

in =

0

5 h

5(x)

= 2

(x +

1)2 -

2(– 1

, – 2)

x =

– 1D

om :

RIm

a :

[– 2, +

[M

in =

– 2

10.

Fais

l’ét

ude

com

plèt

e de

s fo

nctio

ns q

uadr

atiq

ues

suiv

ante

s ex

prim

ées

sous

la fo

rme

cano

niqu

e de

la

règl

e. A

ux q

uest

ions

a)

et c

), ut

ilise

aus

si le

s gr

aphi

ques

des

fonc

tions

pou

r co

mpl

éter

les

tabl

eaux

.P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

qu

adra

tiq

ue

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) f

(x)

= 3(

x –

5)2 +

2

Dom

aine

R

Imag

e[2

, +[

Ord

onné

e à

l’orig

ine

(o

u va

leur

initi

ale)

f(0)

= 3

(0 –

5)2 +

2 =

77

Zéro

s

(ou

absc

isse

s à

l’orig

ine)

Auc

un

Varia

tion

f es

t dé

croi

ssan

te p

our

x ]

–, 5

]f

est

croi

ssan

te p

our

x [

5, +

[

Sign

ef

est

posi

tive

pou

r x

R

Extr

emum

Min

: f

= 2

Auc

un m

axim

um

Équa

tion

de l’

axe

de

sym

étrie

x =

5

1

f(x)

x

1



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

2

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

15In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

Fich

e3.

3

b) f

(x)

= – 1 3

(x +

3)2

c) f

(x)

= – (

x –

7)2 –

3

d) f

(x)

= 1 2

x2 – 5

Dom

aine

R

Imag

e]–

, 0]

Ord

onné

e à

l’orig

ine

(ou

vale

ur in

itial

e)f(

0) =

– 1 3 (0

+ 3

)2 = – 3

Zéro

s

(ou

absc

isse

s à

l’orig

ine)

– 3

Varia

tion

f es

t dé

croi

ssan

te p

our

x [

– 3, +

[f

est

croi

ssan

te p

our

x ]

–, – 3

]

Sign

ef

est

néga

tive

pou

r x

R

Extr

emum

Max

: f

= 0

Auc

un m

inim

um

Équa

tion

de l’

axe

de

sym

étrie

x =

– 3

Dom

aine

R

Imag

e]–

, – 3]

Ord

onné

e à

l’orig

ine

(ou

vale

ur in

itial

e)f(

0) =

– (0

– 7)

2 – 3

= – 5

2

Zéro

s

(ou

absc

isse

s à

l’orig

ine)

Auc

un

Varia

tion

f es

t dé

croi

ssan

te p

our

x [

7, +

[f

est

croi

ssan

te p

our

x ]

–, 7

]

Sign

ef

est

néga

tive

pou

r x

R

Extr

emum

Max

: f

= – 3

Auc

un m

inim

um

Équa

tion

de l’

axe

de

sym

étrie

x =

7

1

f(x)

x

1

Dom

aine

R

Imag

e[– 5

, +[

Ord

onné

e à

l’orig

ine

(ou

vale

ur in

itial

e)– 5

Zéro

s

(ou

absc

isse

s à

l’orig

ine)

1 2 x

2 – 5

= 0

1 2 x

2 = 5

x2 = 1

0x

= ±

√ 10

x 1 ≈

3,16

et

x 2 ≈

– 3,1

6

Varia

tion

f es

t dé

croi

ssan

te p

our

x ]

–, 0

]f

est

croi

ssan

te p

our

x [

0, +

[

Sign

ef

est

posi

tive

pour

x

]–

, – 3,16

] ∪

[3,

16, +

[f

est

néga

tive

pour

x

[– 3,

16, 3

,16]

Extr

emum

Min

: f =

– 5A

ucun

max

imum

Équa

tion

de l’

axe

de

sym

étrie

x =

0

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

2

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

16C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

Fich

e3.

3

11.

Les

coo

rdon

nées

du

som

met

de

la p

arab

ole

asso

ciée

à la

fonc

tion

f son

t (– 3

, – 4).

Un

des

zéro

s de

ce

tte fo

nctio

n es

t 1. D

éter

min

e :

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n q

uad

rati

qu

e (d

om

ain

e, i

mag

e, e

xtre

mu

ms,

sig

ne)

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

faib

le

a) l

e do

mai

ne e

t l’im

age

de f

; Dom

: R

Im

a :

[– 4, +

[

b) le

s ex

trem

ums

de f

; M

in =

– 4 e

t il

n’y

a au

cun

max

imum

.

c) l

e si

gne

de f.

f

est

posi

tive

pou

r x

]–

, – 7]

[1, +

[

f

est

néga

tive

pou

r x

[– 7,

1]

12.

Soit

la fo

nctio

n h(

x) =

4(x

– 3

)2 +

10.

Trac

e un

e es

quis

se d

u gr

aphi

que

repr

ésen

tant

la

fonc

tion

ci-d

essu

s, p

uis

déte

rmin

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ur q

uelle

s

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urs

de x

on

trouv

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Rés

olu

tio

n d

’inéq

uat

ion

s d

u s

eco

nd

deg

ré à

un

e va

riab

le

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) h

(x)

≤ 11

0 ;

b) h

(x)

≥ 26

; c)

h(x

) ≤

410.

h(

x) =

110

4(x

– 3)

2 + 1

0 =

110

4(x

– 3)

2 = 1

00

(x –

3)2 =

25

x –

3 =

±5

x =

±5

+ 3

x 1 =

– 2

x 2 =

8

x ∪

[-2

, 8]

h(x)

= 2

6

4(x

– 3)

2 + 1

0 =

26

4(x

– 3)

2 = 1

6

(x –

3)2 =

4

x –

3 =

±2

x =

±2

+ 3

x 1 =

1

x 2 =

5

x ]–

, 1]

∪ [

5, +

[

h(x)

= 4

10

4(x

– 3)

2 + 1

0 =

410

4(x

– 3)

2 = 4

00

(x –

3)2 =

100

x –

3 =

±10

x =

±10

+ 3

x 1 =

– 7

x 2 =

13

x [– 7

, 13]

4

h(x)

x

50



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

2

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

17In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

Fich

e3.

3

13.

L’éq

uita

tion

de s

aut d

’obs

tacl

es e

xist

e de

puis

long

tem

ps. C

’est

en

1865

, à D

ublin

, en

Irlan

de, q

ue

se ti

ent l

e pr

emie

r co

ncou

rs o

ffici

el d

e sa

uts

d’ob

stac

les,

et c

’est

en

1900

que

ce

spor

t ent

re d

ans

les

Jeux

Oly

mpi

ques

de

Paris

. Lor

s d’

une

séan

ce d

’ent

raîn

emen

t, un

cav

alie

r et

ses

ent

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eurs

ont

ph

otog

raph

ié le

par

cour

s d’

un c

heva

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ctua

nt u

n sa

ut. L

es e

ntra

îneu

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édui

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, lor

sque

le

chev

al s

auta

it, il

sui

vait

une

para

bole

don

t la

règl

e es

t h(

t) =

– 0,6

(t –

1,5

)2 + 1

,35,

où

h(t)

est

la

haut

eur

en m

ètre

s et

t es

t le

tem

ps é

coul

é en

sec

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s. D

éter

min

e la

dur

ée p

enda

nt la

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le le

ch

eval

dem

eure

au-

dess

us d

e l’o

bsta

cle,

qui

a u

ne h

aute

ur d

e un

mèt

re, l

orsq

u’il

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ctue

son

sau

t.R

éso

luti

on

d’in

équ

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ns

du

sec

on

d d

egré

à u

ne

vari

able

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

élev

é

14.

Maï

té, u

ne jo

ueus

e de

foot

ball,

lanc

e le

bal

lon

à un

e de

ses

coé

quip

ière

s. L

a tra

ject

oire

du

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n es

t rep

rése

ntée

par

la fo

nctio

n do

nt la

règ

le e

st :

h(t)

= – 0

,16(

t – 5

)2 + 4

, où

h(t)

est

la h

aute

ur e

n m

ètre

s et

t es

t le

tem

ps é

coul

é en

sec

onde

s de

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que

Maï

té a

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é le

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Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n q

uad

rati

qu

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om

met

, do

mai

ne,

im

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axe

de

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étri

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ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

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uelle

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la h

aute

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axim

ale

du b

allo

n ?

Qua

tre

mèt

res

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ombi

en d

e se

cond

es fa

ut-il

à la

coé

quip

ière

de

Maï

té p

our

qu’e

lle a

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lon

à la

mêm

e ha

uteu

r qu

e M

aïté

l’a

lanc

é ?

h(t)

= – 0

,6(t

– 1

,5)2 +

1,3

5

1 =

– 0,6

(t –

1,5

)2 + 1

,35

– 0,3

5 =

– 0,6

(t–

1,5)

2

0,58

3 =

(t

– 1,

5)2

±

0,58

3 =

t –

1,5

±

0,58

3 +

1,5

= t

t 1 ≈

0,74

t 2 ≈

2,26

de 0

,74

seco

ndes

à 2

,26

seco

ndes

; il

rest

e do

nc m

oins

de

1,52

sec

onde

au-

dess

us d

e la

bar

rièr

e.

h(t)

= – 0

,16(

t –

5)2 +

4

0 =

– 0,1

6(t

– 5)

2 + 4

– 4 =

– 0,1

6(t

– 5)

2

25 =

(t

– 5)

2

±5

= t

– 5

t 1 =

– 5

+ 5

= 0

(ce

n’e

st p

as l

a va

leur

vou

lue)

t 2 =

5 +

5 =

10

(val

eur

à co

nser

ver)

Rép

onse

: 10

sec

onde

s

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

2

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

18C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

Fich

e3.

3

c) Q

uels

son

t le

dom

aine

et l

’imag

e de

la fo

nctio

n h

?

le d

omai

ne e

st [

0 , 1

0]

l’im

age

est

[0 ,

4]

d) Q

uelle

est

l’éq

uatio

n de

l’ax

e de

sym

étrie

?

t =

5

15.

Gen

eviè

ve fa

it de

la g

ymna

stiq

ue e

t exc

elle

sur

tout

à la

tabl

e de

sau

t. El

le c

ourt

d’ab

ord

sur

une

dist

ance

de

25 m

et p

rend

son

éla

n en

pou

ssan

t ave

c se

s de

ux p

ieds

sur

un

trem

plin

. Elle

pos

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suite

ses

deu

x m

ains

sur

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heva

l sau

toir

avan

t de

réal

iser

une

figu

re d

e ha

ut v

ol. G

enev

iève

ef

fect

ue d

onc

deux

sau

ts :

un s

ur le

trem

plin

et u

n su

r le

che

val s

auto

ir. L

a tra

ject

oire

d’u

n sa

ut c

ompl

et

qu’e

lle a

effe

ctué

lors

de

sa d

erni

ère

com

pétit

ion

peut

se

repr

ésen

ter

par

deux

fonc

tions

qua

drat

ique

s :

i(t)

= – 0

,192

(t –

1,7

5)2 +

1,6

5 et

c(t

) =

– 0,3

2(t –

4,5

)2 + 2

,07,

où

t est

le te

mps

en

seco

ndes

, i(t

) la

ha

uteu

r en

gend

rée

par

l’éla

n qu

’elle

pre

nd s

ur le

trem

plin

et

c(t)

la h

aute

ur e

ngen

drée

par

sa

pous

sée

sur

le c

heva

l sau

toir.

En

pren

ant e

n co

nsid

érat

ion

les

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éta

pes

du s

aut

com

plet

, dét

erm

ine

la d

urée

to

tale

pen

dant

laqu

elle

Gen

eviè

ve r

este

à u

ne h

aute

ur s

upér

ieur

e à

1,35

m, c

’est

-à-d

ire la

hau

teur

du

chev

al s

auto

ir.R

éso

luti

on

d’in

équ

atio

ns

du

sec

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d d

egré

à u

ne

vari

able

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

élev

é

i(t)

= – 0

,192

(t –

1,7

5)2 +

1,6

5

1,35

= – 0

,192

(t –

1,7

5)2 +

1,6

5

– 0,3

= – 0

,192

(t –

1,7

5)2

1,56

25 =

(t

– 1,

75)2

±

1,56

25 =

t –

1,7

5

t 1 =

– 1,2

5 +

1,7

5 =

0,5

t 2 =

1,2

5 +

1,7

5 =

3

La d

urée

tot

ale

est

de 0

,5 à

3 s

econ

des

lors

qu’e

lle p

rend

son

éla

n su

r le

tre

mpl

in.

Elle

res

te d

onc

moi

ns d

e 2,

5 se

cond

es

au-d

essu

s de

1,3

5m.

c(t)

= – 0

,32(

t –

4,5)

2 + 2

,07

1,35

= – 0

,32(

t –

4,5)

2 + 2

,07

– 0,7

2 =

– 0,3

2(t

– 4,

5)2

2,25

= (

t –

4,5)

2

±

2,25

=

t –

4,5

t 1 =

– 1,5

+ 4

,5 =

3

t 2 ≈

1,5

+ 4

,5 =

6

La d

urée

tot

ale

est

de 3

à 6

sec

onde

s lo

rsqu

’elle

sau

te s

ur l

e ch

eval

. Elle

res

te d

onc

moi

ns d

e 3

seco

ndes

au-

dess

us d

e 1,

35 m

.

En a

ddit

ionn

ant

les

deux

par

ties

du

parc

ours

, elle

dem

eure

moi

ns d

e 5,

5 se

cond

es a

u-de

ssus

du

che

val

saut

oir

de 1

,35

m.



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

4

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

19In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

plu

s d

e M

ise

en p

rati

qu

eC

ompl

émen

t de

la s

ectio

n M

ise

en p

ratiq

ue d

es p

ages

159

à 1

62 d

u m

anue

l

1.

Exp

rime

les

règl

es d

es fo

nctio

ns q

uadr

atiq

ues

suiv

ante

s so

us la

form

e gé

néra

le.

Pas

sage

d’u

ne

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e

de

règl

e à

un

e au

tre

: fo

rme

gén

éral

e, f

orm

e ca

no

niq

ue,

fo

rme

fact

ori

sée

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) f

1(x)

= 3

(x +

2)2 –

4

f 1(x)

= 3

x2 + 1

2x +

8

b) f

2(x)

= – 5

(x +

1)

(x –

6)

f 2(x)

= – 5

x2 + 2

5x +

30

c) f

3(x)

= – 8

(x +

7)2 –

24

f 3(x)

= – 8

x2 – 1

12x

– 41

6

d) f

4(x)

= 1 4

(x –

3)

(x +

9)

f 4(

x) =

1 4 x

2 +

3 2 x

– 27 4

2.

Exp

rime

les

règl

es d

es fo

nctio

ns q

uadr

atiq

ues

suiv

ante

s so

us la

form

e fa

ctor

isée

. P

assa

ge d

’un

e fo

rme

de

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e à

un

e au

tre

: fo

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gén

éral

e, f

orm

e ca

no

niq

ue,

fo

rme

fact

ori

sée

N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) f

1(x)

= – 5

x2 – 3

0x –

40

f 1(x)

= – 5

(x +

2)(

x +

4)

b) f

2(x)

= 7

(x –

4)2 –

28

f 2(x)

= 7

(x –

2)(

x –

6)

c) f

3(x)

= –

1 2 x2 +

x +

3 2

f 3(x)

= –

1 2 (x

+ 1

)(x

– 3)

d) f

4(x)

= 1 4

(x +

1)2 –

25 4

f 4(x)

= 1 4

(x –

4)(

x +

6)

3.

Expr

ime

les

règl

es d

es fo

nctio

ns q

uadr

atiq

ues

suiv

ante

s so

us la

form

e ca

noni

que.

P

assa

ge d

’un

e fo

rme

de

règl

e à

un

e au

tre

: fo

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gén

éral

e, f

orm

e ca

no

niq

ue,

fo

rme

fact

ori

sée

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) f

1(x)

= 2

x2 + 4

x +

5

f 1(x)

= 2

(x +

1)2 +

3

b) f

2(x)

= – 4

(x –

1)

(x –

4)

f 2(x)

= – 4

x –

5 2 2 +

9

c) f

3(x)

= – x

2 + 6

x +

7

f 3(x)

= – (

x –

3)2 +

16

d) f

4(x)

= 3

(x –

2)

(x +

5)

f 4(x)

= 3

x +

3 2 2 –

147 4

4.

Trou

ve le

s de

ux a

utre

s fo

rmes

qui

cor

resp

onde

nt à

la rè

gle

donn

ée d

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fonc

tion

quad

ratiq

ue.

Pas

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d’u

ne

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e d

e rè

gle

à u

ne

autr

e :

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e gé

nér

ale,

fo

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can

on

iqu

e, f

orm

e fa

cto

risé

eN

ivea

u de

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ficu

lté

: m

oyen

Form

e ca

noni

que

Form

e gé

néra

leFo

rme

fact

oris

ée

f 1(x)

= 3

(x +

2)2 –

3f 1(

x) =

3x2 +

12x

+ 9

f 1(x)

= 3

(x +

1)(

x +

3)

f 2(x)

= – 6

(x –

2)2

f 2(x)

= – 6

x2 + 2

4x –

24

f 2(x)

= – 6

(x –

2)(

x –

2)

f 3(x)

= 1 4

x –

1 2 2 –

49 16f 3(

x) =

1 4 x

2 – 1 4

x –

3f 3(

x) =

1 4 (x

+ 3

)(x

– 4)

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

4

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

20C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

5.

Que

lle fo

rme

de la

règ

le d

’une

fonc

tion

quad

ratiq

ue e

st la

plu

s pr

atiq

ue p

our :

Ava

nta

ge d

e ch

acu

ne

des

fo

rmes

de

la r

ègle

Niv

eau

de d

iffi

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é :

faib

le

a) d

éter

min

er l’

ordo

nnée

à l’

orig

ine

?

la f

orm

e gé

néra

le

b) r

ésou

dre

une

équa

tion

? la

for

me

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oris

ée

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éter

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imag

e de

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nctio

n ?

la

for

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cano

niqu

e

d) d

éter

min

er l’

équa

tion

de l’

axe

de s

ymét

rie ?

la

form

e ca

noni

que

e) é

tudi

er le

sig

ne d

e la

fonc

tion

? la

for

me

fact

oris

ée

6.

Dét

erm

ine

les

coor

donn

ées

du s

omm

et d

es p

arab

oles

ass

ocié

es a

ux r

ègle

s su

ivan

tes.

Co

ord

on

née

s d

u s

om

met

d’u

ne

par

abo

le N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) f

1(x)

= –

1 2 x2 –

10x

+ 5

5 (1

0, 5

)

b) f

2(x)

= 2

x2 + 3

2x +

128

(

– 8, 0

)

c) f

3(x)

= 3

x2 – 3

0x +

66

(5, – 9

)

d) f

4(x)

= (

x +

13)

(x +

9)

(– 1

1, – 4

)

7.

Trou

ve le

s ab

scis

ses

et l’

ordo

nnée

à l’

orig

ine

des

fonc

tions

qua

drat

ique

s do

nt le

s rè

gles

son

t les

sui

vant

es.

Ab

scis

se e

t o

rdo

nn

ée à

l’o

rigi

ne

d’u

ne

par

abo

le N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) y

= – 3

(x –

2)

(x +

9)

les

absc

isse

s à

l’ori

gine

: – 9

et

2 ;

l’ord

onné

e à

l’ori

gine

: 54

b) y

= 4

x2 – 1

6x –

84

les

absc

isse

s à

l’ori

gine

: – 3

et

7 ;

l’ord

onné

e à

l’ori

gine

: – 8

4

c) y

= – 2

x –

5 2 2 +

225 2

les

absc

isse

s à

l’ori

gine

: – 5

et

10 ;

l’ord

onné

e à

l’ori

gine

: 10

0

d) y

= 1 4

(x –

1)(

x –

4)

les

absc

isse

s à

l’ori

gine

: 1

et 4

; l’o

rdon

née

à l’o

rigi

ne :

1

8.

Fais

l’ét

ude

du s

igne

des

fonc

tions

qua

drat

ique

s re

prés

enté

es p

ar le

s rè

gles

sui

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es.

Sign

e d

’un

e p

arab

ole

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) f

1(x)

= 2

x2 – 1

6x +

32

posi

tive

pou

r x

R

b) f

2(x)

= 1 4

(x +

7)

(x –

1)

posi

tive

pou

r x

]–, – 7

] ∪

[1,

+[

et n

égat

ive

pour

x

[– 7, 1

]

c) f

3(x)

= 3

x2 – 1

2x +

9

néga

tive

pou

r x

[1,

3]

et p

osit

ive

pour

x

]–, 1

] ∪

[3,

+[



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

4

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

21In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

9.

Repr

ésen

te g

raph

ique

men

t les

fonc

tions

don

t les

règ

les

sont

les

suiv

ante

s, p

uis

anal

yse

chac

une

d’el

les

en r

empl

issa

nt le

s ta

blea

ux c

orre

spon

dant

s.P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

qu

adra

tiq

ue

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) f

1(x)

= – 3

x2 – 1

2x –

11

b) f

2(x)

= 1 5

(x –

1)2 +

5

c) f

3(x)

= 2

x2 – 3

2x +

130

Dom

aine

R

Imag

e]–

, 1]

Ord

onné

e à

l’orig

ine

(ou

vale

ur in

itial

e)– 1

1

Zéro

s

(ou

absc

isse

s à

l’orig

ine)

– b ±

b2 –

4ac

2a

= 12

±

114

– 13

2

2a

≈ 12

±

114

– 13

2

2a ≈

– 2,5

8 et

– 1,4

2

Varia

tion

Croi

ssan

te p

our

x ]–

, – 2]

Déc

rois

sant

e po

ur x

[

– 2, +

[

Sign

eN

égat

ive

pour

x

]–, – 2

,58]

∪ [– 1

,42,

+[

Posi

tive

pou

r x

[– 2,5

8, – 1

,42]

Extr

emum

Max

imum

: f

= 1

Auc

un m

inim

um

Axe

de

sym

étrie

x =

– 2

Dom

aine

R

Imag

e[5

, +[

Ord

onné

e à

l’orig

ine

(ou

vale

ur in

itial

e)f(

0) =

1 5 (0

– 1

)2 + 5

= 26 5

Zéro

s

(ou

absc

isse

s à

l’orig

ine)

Auc

un

Varia

tion

Déc

rois

sant

e po

ur x

]

–, 1

]Cr

oiss

ante

pou

r x

[1, +

[

Sign

ePo

siti

ve p

our

x R

Extr

emum

Min

imum

: f

= 5

Auc

un m

axim

um

Axe

de

sym

étrie

x =

1

Dom

aine

R

Imag

e[2

, +[

Ord

onné

e à

l’orig

ine

(ou

vale

ur in

itial

e)13

0

Zéro

s

(ou

absc

isse

s à

l’orig

ine)

Auc

un

Varia

tion

Déc

rois

sant

e po

ur x

]

–, 8

]Cr

oiss

ante

pou

r x

[8, +

[

Sign

ePo

siti

ve p

our

x R

Extr

emum

Min

imum

: 2

Auc

un m

axim

um

Axe

de

sym

étrie

x =

8

1

f(x)

x

1

1

f(x)

x

1

2

f(x)

x

20

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

4

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

22C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

10.

José

e, u

ne jo

ueus

e de

vol

ley-

ball,

fait

une

pass

e à

sa c

oéqu

ipiè

re. L

a ha

uteu

r du

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n h(

t), e

n m

ètre

s,

en fo

nctio

n du

tem

ps t,

en

seco

ndes

, est

déc

rite

par l

a fo

nctio

n qu

adra

tique

h(t

) =

– 0,5

25t2

+ 2

,1t +

1,9

.P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

qu

adra

tiq

ue

: (o

rdo

nn

ée à

l’o

rigi

ne,

max

imu

m, z

éro

, var

iati

on

) N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) R

epré

sent

e gr

aphi

quem

ent c

ette

fonc

tion.

b) À

que

lle h

aute

ur J

osée

com

men

ce-t-

elle

sa

pass

e ?

À u

ne h

aute

ur d

e 1,

9 m

c) À

que

lle p

ropr

iété

de

la fo

nctio

n la

hau

teur

pr

écéd

ente

cor

resp

ond-

elle

?

L’or

donn

ée à

l’o

rigi

ne (

ou l

a va

leur

ini

tial

e)

d) Q

uelle

hau

teur

max

imal

e le

bal

lon

atte

int-i

l ?

e) L

a co

équi

pièr

e de

Jos

ée n

e ré

ussi

t pas

à to

uche

r le

ballo

n qu

e Jo

sée

lui p

asse

. Dan

s co

mbi

en d

e te

mps

apr

ès la

pas

se d

e Jo

sée

le b

allo

n to

mbe

-t-il

au s

ol ?

f)

Pend

ant c

ombi

en d

e te

mps

le b

allo

n es

t-il e

n de

scen

te ?

Le

ballo

n es

t en

des

cent

e pe

ndan

t 2,

76 s

econ

des.

11.

Dan

s un

par

c d’

attra

ctio

ns, l

orsq

ue le

man

ège

Le B

atea

u-pi

rate

va

et v

ient

de

haut

en

bas,

il s

uit

la tr

ajec

toire

d’u

ne p

arab

ole.

La

haut

eur

h(d)

, en

mèt

res,

en

fonc

tion

de la

dis

tanc

e ho

rizon

tale

du

dépa

rt d,

en

mèt

res,

est

rep

rése

ntée

par

la r

ègle

h(d

) =

1 5 d

2 + 1

. P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

qu

adra

tiq

ue

(gra

ph

iqu

e, s

om

met

, axe

de

sym

étri

e), r

éso

ud

re u

ne

équ

atio

n q

uad

rati

qu

e N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) R

epré

sent

e gr

aphi

quem

ent l

a rè

gle

de c

ette

fonc

tion.

k =

4ac

– b2

4a =

– 3,9

9 –

4,41

– 2,1

= 4

Le b

allo

n at

tein

t un

e ha

uteu

r m

axim

ale

de 4

mèt

res.

– 0,5

25t2 +

2,1

t +

1,9

= 0

– b ±

b2 –

4ac

2a

= – 2,

1 ±

4,

41 –

3,9

9 – 1

,05

= – 2,

1 ±

2,9

– 1

,05

= x

1 ≈ – 0

,76

et x

2 ≈ 4,

76

– 0,7

6 es

t à

reje

ter.

Le

ballo

n to

mbe

au

sol

aprè

s en

viro

n 4,

76 s

econ

des.

1

y

x

1

1

h(d)

d

1



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

4

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

23In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

b) L

a ha

uteu

r max

imal

e at

tein

te p

ar L

e Ba

teau

-pira

te e

st d

e 6

m. Q

uelle

est

la d

ista

nce

horiz

onta

le

du d

épar

t à c

e m

omen

t-là ?

c) Q

uelle

est

la r

ègle

de

l’axe

de

sym

étrie

ass

ocié

e à

cette

traj

ecto

ire ?

d =

0

12.

Soit

les

fonc

tions

qua

drat

ique

s su

ivan

tes.

f 1(x)

= 2

x2 + 2

x +

4

f 2(x)

= x

2 – 1

0x +

60

f 3(

x) =

– 2x2 +

20x

Pour

que

lles

vale

urs

de x

obt

ient

-on

:R

éso

ud

re u

ne

équ

atio

n q

uad

rati

qu

e N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) f

1(x)

= 8

?

b) f

2(x)

= 3

5 ?

c) f

3(x)

= 5

0 ?

6 =

1 5 h

2 + 1

5 =

1 5 h

2

25 =

h2

h =

±

25

h =

± 5

La d

ista

nce

est

de 5

m.

2x2 +

2x

+ 4

= 8

2x2 +

2x

– 4

= 0

– b ±

b2 –

4ac

2a

= – 2

±

4 +

32

4 =

– 2 ±

6

4 =

– 2 e

t 1

x2 – 1

0x +

60

= 3

5

x2 – 1

0x +

25

= 0

– b ±

b2 –

4ac

2a

= 10

±

100

– 10

0

2 =

10 ±

0

2 =

10

2 =

5

– 2x2 +

20x

= 5

0

– 2x2 +

20x

– 5

0 =

0– b

±

b2 – 4

ac

2a =

– 20

±

400

– 40

0

– 4 =

– 20

± 0

– 4

= – 2

0 – 4

= 5

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

4

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

24C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

13.

Mar

c es

t lib

raire

. Il a

obs

ervé

que

le p

rofit

men

suel

p(x

) qu

’il ré

alise

sur

la v

ente

d’u

n liv

re d

épen

d du

prix

x

de c

e liv

re. C

e pr

ofit

est e

xprim

é pa

r la

fonc

tion

p(x)

= – 1

2,5x

2 + 4

50x

– 3

250.

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n q

uad

rati

qu

e (o

rdo

nn

ée à

l’o

rigi

ne)

, rés

ou

dre

un

e éq

uat

ion

et

un

e in

équ

atio

n q

uad

rati

qu

e

a) Q

uel p

rix M

arc

paie

-t-il

pour

cha

cun

des

exem

plai

res ?

b) S

i Mar

c a

réal

isé

un p

rofit

de

600

$ le

moi

s de

rnie

r, qu

el é

tait

le p

rix d

e ve

nte

pour

un

livre

?

c) À

que

l prix

Mar

c do

it-il

vend

re c

haqu

e liv

re s

’il v

eut r

éalis

er u

n pr

ofit

men

suel

sup

érie

ur à

720

$ ?

0 =

– 12,

5x2 +

450

x –

3 25

0

– b ±

b2 –

4ac

2a

= – 45

0 ±

20

2500

– 1

6250

0

– 25

= – 45

0 ±

200

– 2

5 =

10

et 2

6

Mar

c pa

ie 1

0 $

ou 2

6 $

pour

cha

cun

des

exem

plai

res.

600

= – 1

2,5x

2 + 4

50x

– 3

250

– 12,

5x2 +

450

x –

3 85

0 =

0

– b ±

b2 –

4ac

2a

= – 45

0 ±

20

2500

– 1

9250

0

– 25

= – 45

0 ±

100

– 25

= 2

2 et

14

Mar

c a

vend

u ch

aque

liv

re 2

2 $

ou 1

4 $.

– 12,

5x2 +

450

x –

3 25

0 >

720

– 12,

5x2 +

450

x –

3 97

0 =

0

– b ±

b2 –

4ac

2a

= – 45

0 ±

20

2500

– 1

9850

0

– 25

= – 45

0 ±

63,

24– 2

5 =

20,

53 e

t 15

,47

Mar

c do

it v

endr

e ch

aque

liv

re p

lus

de 1

5,47

$ m

ais

moi

ns d

e 20

,53

$.



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

4

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

25In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

14.

Patri

cia

a un

e trè

s lo

ngue

cor

de à

ling

e ch

ez e

lle. L

ors

de s

a de

rniè

re le

ssiv

e, la

cor

de à

ling

e ét

ait

si lo

urde

qu’

elle

pen

dait,

repr

ésen

tant

alo

rs la

form

e d’

une

para

bole

. Cel

le-c

i est

repr

ésen

tée

par l

a rè

gle

h(d)

= x2 64

– 1 4

x +

5, o

ù h(

d) e

st la

hau

teur

de

la c

orde

à li

nge

à pa

rtir d

u so

l et d

, la

dist

ance

hor

izon

tale

du

pot

eau

près

de

la m

aiso

n.

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n q

uad

rati

qu

e (g

rap

hiq

ue,

max

imu

m, o

rdo

nn

ée

à l’o

rigi

ne)

, rés

ou

dre

un

e éq

uat

ion

qu

adra

tiq

ue

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) R

epré

sent

e gr

aphi

quem

ent l

a rè

gle

de c

ette

fonc

tion.

b) Q

uelle

est

la h

aute

ur m

inim

ale

de c

ette

cor

de à

ling

e ?

c) Q

uelle

est

l’or

donn

ée à

l’or

igin

e ?

5

d) À

quo

i cor

resp

ond

cette

ord

onné

e à

l’orig

ine

dans

ce

con

text

e ?

Au

pote

au q

ui s

e tr

ouve

prè

s de

la

mai

son

e) L

a co

rde

à lin

ge e

st fi

xée

à la

mêm

e ha

uteu

r du

sol

à

chac

une

de s

es e

xtré

mité

s. Q

uelle

est

la d

ista

nce

en

tre le

s de

ux p

otea

ux ?

16 m

15.

L’ou

vertu

re e

n fo

rme

de U

au

dos

d’un

mai

llot d

e da

nse

repr

ésen

te u

ne p

arab

ole.

La

long

ueur

l(x)

, en

cen

timèt

res,

de

l’ouv

ertu

re d

u m

aillo

t var

ie e

n fo

nctio

n de

la d

emi-l

arge

ur x

de

cette

ouv

ertu

re, e

n ce

ntim

ètre

s, s

elon

la r

ègle

: l(

x) =

5 24

x2 – 3

0. O

n co

nsid

ère

que

l’axe

des

ord

onné

es d

e la

par

abol

e co

rresp

ond

au c

entre

de

l’ouv

ertu

re e

n U

et q

ue l’

axe

des

absc

isse

s co

rresp

ond

au n

ivea

u de

s ép

aule

s.

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n q

uad

rati

qu

e (g

rap

hiq

ue,

max

imu

m, z

éro

s) N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) R

epré

sent

e gr

aphi

quem

ent c

e pr

oblè

me.

b) Q

uelle

est

la lo

ngue

ur d

e ce

tte o

uver

ture

?

30 c

m

c) Q

uelle

est

la la

rgeu

r de

cet

te o

uver

ture

?

k =

4ac

– b2

4a =

0,31

25 –

0,0

625

0,06

25 =

4

5 24 x2 –

30

= 0

– b ±

b2 –

4ac

2a

= ±

25

5 12

= ±

5 •

12 5 =

±12

La la

rgeu

r de

l’ou

vert

ure

est

de 2

4 ce

ntim

ètre

s.

5

l(x)

x

54

h(d)

d

1

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

4

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

26C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

16.

Dan

s un

e en

trepr

ise,

le n

ombr

e d’

empl

oyés

a a

ugm

enté

dur

ant l

es s

ept p

rem

ière

s an

nées

pou

r en

suite

déc

roîtr

e pr

ogre

ssiv

emen

t. U

n co

mpt

able

de

l’ent

repr

ise

expl

ique

que

l’év

olut

ion

du p

erso

nnel

a

suiv

i la

fonc

tion

défin

ie p

ar la

règ

le p

(a)

= – 4

a2 + 5

6a +

49,

où

p(a)

est

le n

ombr

e d’

empl

oyés

de

l’us

ine

et a

, le

nom

bre

d’an

nées

d’e

xist

ence

de

l’ent

repr

ise.

P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

qu

adra

tiq

ue

(zér

os)

, rés

ou

dre

un

e éq

uat

ion

et

un

e in

équ

atio

n q

uad

rati

qu

e N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) L

’ent

repr

ise a

mor

ce s

a do

uziè

me

anné

e d’

expl

oita

tion.

Com

bien

com

pte-

t-elle

d’e

mpl

oyés

act

uelle

men

t ?

b) C

ombi

en d

’ann

ées

aprè

s sa

cré

atio

n l’e

ntre

pris

e co

mpt

ait-e

lle 1

81 e

mpl

oyés

?

c) D

ans

com

bien

de

tem

ps l’

entre

pris

e fe

rmer

a-t-e

lle s

es p

orte

s si

elle

pou

rsui

t son

par

cour

s se

lon

cette

cou

rbe

?

d) P

enda

nt c

ombi

en d

’ann

ées

l’ent

repr

ise

com

pter

a-t-e

lle p

lus

de 1

45 e

mpl

oyés

?

p(12

) =

– 4(1

2)2 +

56(

12)

+ 4

9 =

145

L’en

trep

rise

com

pte

145

empl

oyés

.

181

= – 4

a2 + 5

6a +

49

0 =

– 4a2 +

56a

– 1

32– b

±

b2 – 4

ac

2a =

– 56 ±

31

36 –

211

2

– 8 =

– 56 ±

32

– 8 =

11

et 3

L’en

trep

rise

com

ptai

t 18

1 em

ploy

és 3

ans

apr

ès s

a cr

éati

on e

t 11

ans

apr

ès s

a cr

éati

on.

0 =

– 4a2

+ 5

6a +

49

– b ±

b2 –

4ac

2a

= – 56

±

3136

– 7

84

– 8 =

– 56 ±

62,

61– 8

= – 0

,826

25

et 1

4,83

L’en

trep

rise

fer

mer

a se

s po

rtes

dan

s 14

ans

et

9 m

ois.

– 4a2

+ 5

6a +

49

> 1

45

– 4a2

+ 5

6a –

96

= 0

– b ±

b2 –

4ac

2a

= – 56

±

3136

– 1

536

– 8

= – 56

± 4

0– 8

= 2

et

12

L’en

trep

rise

com

pte

plus

de

145

empl

oyés

pen

dant

moi

ns d

e 10

ans

.



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

6

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

28C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

plu

s d

e M

ise

en p

rati

qu

eC

ompl

émen

t de

la s

ectio

n M

ise

en p

ratiq

ue d

es p

ages

170

à 1

73 d

u m

anue

l

1.

Dét

erm

ine

la r

ègle

des

fonc

tions

qua

drat

ique

s à

parti

r de

s in

form

atio

ns s

uiva

ntes

.R

ech

erch

e d

e la

règ

le à

par

tir

du

so

mm

et e

t d

’un

au

tre

po

int

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) L

e so

mm

et e

st (

2, – 3

) et

la c

ourb

e c)

Le

som

met

est

(– 2

, – 4)

et la

cou

rbe

pa

sse

par

le p

oint

(4,

5).

pass

e pa

r le

poi

nt (

1, 2

3).

b) L

e so

mm

et e

st (

– 3, – 1

) et

la c

ourb

e d)

Le

som

met

est

(1,

– 6)

et la

cou

rbe

pa

sse

par

le p

oint

(– 7

, 3).

pass

e pa

r le

poi

nt (

0, – 1

0).

f(x)

= a

(x –

2)2 –

3

5 =

a(4

– 2

)2 – 3

5 =

a(2

)2 – 3

5 =

4 a

– 3

8 =

4 a

2 =

a

f(x)

= 2

(x –

2)2 –

3

f(x)

= a

(x +

2)2 –

4

23 =

a(1

+ 2

)2 – 4

23 =

a(3

)2 – 4

23 =

9a

– 4

27 =

9a

3 =

a

f(x)

= 3

(x +

2)2 –

4

f(x)

= a

(x +

3)2 –

1

3 =

a(– 7

+ 3

)2 – 1

3 =

a(– 4

)2 – 1

3 =

16

a –

1

4 =

16

a

1 4 =

a

f(x)

= 1 4

(x +

3)2 –

1

f(x)

= a

(x –

1)2 –

6

– 10

= a

(0 –

1)2 –

6

– 10

= a

(– 1)2 –

6

– 10

= a

– 6

– 4 =

a

f(x)

= – 4

(x –

1)2 –

6

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

6

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

29In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

2.

Cho

isis

un

som

met

et u

n po

int p

ar le

quel

une

fonc

tion

quad

ratiq

ue p

eut p

asse

r.

Que

l est

le p

aram

ètre

a d

e la

règ

le q

ui p

asse

par

ce

som

met

et c

e po

int ?

Rec

her

che

de

la r

ègle

à p

arti

r d

u s

om

met

et

d’u

n a

utr

e p

oin

t N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

3.

Dét

erm

ine

la r

ègle

de

chac

une

des

fonc

tions

rep

rése

ntée

s ci

-des

sous

.R

ech

erch

e d

e la

règ

le à

par

tir

du

so

mm

et e

t d

’un

au

tre

po

int

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) Ch

oisi

r un

som

met

(h,

k)

et u

n po

int

(x, y

).

Subs

titu

er l

es c

oord

onné

es d

e ce

s po

ints

dan

s la

règ

le d

e fo

rme

cano

niqu

e af

in d

e tr

ouve

r

la v

aleu

r du

par

amèt

re a

.

Plus

ieur

s ré

pons

es s

ont

poss

ible

s. E

xem

ple

:

Soit

le

som

met

(– 3

,6)

et l

e po

int

(1,2

). Ch

erch

ons

la r

ègle

de

la f

onct

ion

quad

rati

que

pass

ant

par

ces

poin

ts.

f(x)

= a

(x +

3)2 +

6

2 =

a(1

+ 3

)2 + 6

2 =

a(4

)2 + 6

2 =

16

a +

6

– 4 =

16

a– 1 4

= a

f(x)

= – 1 4

(x +

3)2 –

6

1

f(x) 1

x

Som

met

: (2

, – 7)

et p

oint

(– 3

, 1)

f(x)

= a

(x –

2)2 –

7

1 =

a(– 3

– 2

)2 – 7

1 =

a(– 5

)2 – 7

1 =

25

a –

7

8 =

25

a

8 25 =

a

f(x)

= 8 25

(x –

2)2 –

7

ou f

(x)

= 0

,32(

x –

2)2 –

7



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

6

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

30C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

b)

c)

4.

Un

lion

de c

irque

sau

te a

u ce

ntre

d’u

n ce

rcea

u en

flam

mes

pla

cé à

1,4

m a

u-de

ssus

du

sol e

t à 4

m d

e so

n po

int d

e dé

part.

Il re

tom

be s

ur s

es p

atte

s à

une

dist

ance

de

8 m

de

son

poin

t de

dépa

rt. Q

uelle

est

la

règl

e de

la fo

nctio

n qu

adra

tique

qui

cor

resp

ond

à sa

traj

ecto

ire ?

Rec

herc

he d

e la

règ

le à

par

tir

du s

omm

et e

t d’

un a

utre

poi

nt, r

epré

sent

atio

n d’

une

situ

atio

n à

l’aid

e d’

une

fon

ctio

n,

ve

rbal

emen

t, a

lgéb

riq

uem

ent,

à l

’aid

e d

’un

e ta

ble

de

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urs

ou

gra

ph

iqu

emen

t N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

2

f(x) 1

x

Som

met

: (1

0, 6

) et

poi

nt (

7, 3

)

f(x)

= a

(x –

10)

2 + 6

3 =

a(7

– 1

0)2 +

6

3 =

a(– 3

)2 + 6

3 =

9 a

+ 6

– 3 =

9 a

– 1 3 =

a

f(x)

= – 1 3

(x

– 10

)2 + 6

1

f(x) 1

x

Som

met

: (5

, 3)

et p

oint

(4,

6)

f(x)

= a

(x –

5)2 +

3

6 =

a(4

– 5

)2 + 3

6 =

a(– 1

)2 + 3

6 =

a +

3

3 =

a

f(x)

= 3

(x –

5)2 +

3

Som

met

: (4

, 1,4

) et

poi

nt (

8, 0

)

f(x)

= a

(x –

4)2 +

1,4

0 =

a(8

– 4

)2 + 1

,4

0 =

a(4

)2 + 1

,4

0 =

16

a +

1,4

– 1,4

= 1

6 a

– 0,0

87 5

= a

f(x)

= – 0

,087

5(x

– 4

)2 + 1

,4

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

6

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

31In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

5.

Sim

on v

eut a

rrose

r le

s se

men

ces

à ga

zon

qu’il

a p

lant

ées

ce m

atin

sur

son

terra

in. C

epen

dant

, son

tu

yau

d’ar

rosa

ge n

’est

pas

ass

ez lo

ng p

our

se r

endr

e ju

squ’

à se

s se

men

ces.

Il e

mpl

oie

donc

une

te

chni

que

d’ar

rosa

ge q

ui fa

it qu

e l’e

au s

uit l

a tra

ject

oire

d’u

ne p

arab

ole

afin

de

se r

endr

e ju

squ’

à l’e

ndro

it vo

ulu.

Il ti

ent l

e tu

yau

d’ar

rosa

ge à

1 m

du

sol e

t sai

t que

l’ea

u at

tein

t un

max

imum

de

5 m

de

hau

teur

à p

artir

de

l’end

roit

où il

se

tient

, c’e

st-à

-dire

à u

ne d

ista

nce

de 4

m. S

imon

réu

ssira

-t-il

à at

tein

dre

les

sem

ence

s si

tuée

s à

8 m

de

lui ?

Jus

tifie

ta r

épon

se.

Rec

herc

he d

e la

règ

le à

par

tir

du s

omm

et e

t d’

un a

utre

poi

nt, r

epré

sent

atio

n d’

une

situ

atio

n à

l’aid

e d’

une

fon

ctio

n,

ve

rbal

emen

t, a

lgéb

riq

uem

ent,

à l

’aid

e d

’un

e ta

ble

de

vale

urs

ou

gra

ph

iqu

emen

t N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

6.

Lors

d’u

ne c

ompé

titio

n de

cam

ions

mon

stre

s, u

n pa

rtici

pant

a a

ttein

t ave

c so

n ca

mio

n un

e ha

uteu

r de

15

m à

une

dis

tanc

e ho

rizon

tale

de

10 m

de

son

poin

t de

dépa

rt. Il

com

men

ce s

a tra

ject

oire

en

form

e de

par

abol

e à

parti

r d’

une

ram

pe s

ituée

à 3

m a

u-de

ssus

du

nive

au d

u so

l.R

eche

rche

de

la r

ègle

à p

arti

r du

som

met

et

d’un

aut

re p

oint

, rep

rése

ntat

ion

d’un

e si

tuat

ion

à l’a

ide

d’un

e fo

nct

ion

,

verb

alem

ent,

alg

ébri

qu

emen

t, à

l’a

ide

d’u

ne

tab

le d

e va

leu

rs o

u g

rap

hiq

uem

ent

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

élev

é

a) T

rouv

e la

règ

le d

e la

fonc

tion

repr

ésen

tée

par

ce p

robl

ème.

Le s

omm

et d

e la

par

abol

e es

t (4

, 5)

et l

a co

urbe

pas

se p

ar l

e po

int

(0, 1

).

f(x)

= a

(x –

4)2 +

5

1 =

a(0

– 4

)2 + 5

1 =

a(– 4

)2 + 5

1 =

16

a +

5– 4

= 1

6 a

– 1 4 =

a

f(x)

= – 1 4

(x –

4)2 +

5

Véri

fier

ens

uite

si

le p

oint

(8,

0)

sati

sfai

t l’é

quat

ion.

– 1 4 (8

– 4

)2 + 5

= – 1 4

(4)2 +

5 =

– 1 4 •

16 +

5 =

– 4 +

5 =

1

Com

me

la c

ourb

e ne

pas

se p

as p

ar c

e po

int,

Sim

on n

’att

eind

ra p

as l

es s

emen

ces

à ga

zon

su

r so

n te

rrai

n.

Le s

omm

et d

e la

par

abol

e es

t (1

0, 1

5) e

t la

cou

rbe

pass

e pa

r le

poi

nt (

0, 3

).

f(x)

= a

(x –

10)

2 + 1

5

3 =

a(0

– 1

0)2 +

15

3 =

a(– 1

0)2 +

15

3 =

100

a +

15

– 12

= 1

00 a

– 3 25 =

a

f(x)

= – 3 25

(x –

10)

2 + 1

5



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

6

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

32C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

b) T

race

un

grap

hiqu

e co

rresp

onda

nt à

cet

te r

ègle

.

c) D

’apr

ès-to

i, po

urra

-t-il

saut

er p

ar-d

essu

s 13

voi

ture

s

qui f

ont 2

0 m

de

long

san

s le

s to

uche

r ?

Le p

arti

cipa

nt p

ourr

a sa

uter

ave

c so

n ca

mio

n

par-

dess

us 1

3 vo

itur

es q

ui f

ont

20 m

de

long

sans

les

tou

cher

pui

sque

le

poin

t (2

0, 0

) ne

touc

he p

as à

la

cour

be e

t es

t si

tué

sous

cel

le-c

i.

7.

Dét

erm

ine

la r

ègle

de

chac

une

des

fonc

tions

rep

rése

ntée

s ci

-des

sous

.R

ech

erch

e d

e la

règ

le à

par

tir

des

zér

os

et d

’un

au

tre

po

int

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a)

b)

1

f(x) 2

x

Zéro

s : 2

et

8 et

poi

nt (

4, 1

6)

f(x)

= a

(x –

2)(

x –

8)

16 =

a(4

– 2

)(4

– 8)

16 =

a(2

)(– 4

)

16 =

– 8 a

– 2 =

a

f(x)

= – 2

(x –

2)(

x –

8)

1

f(x) 4

x

Zéro

s : – 1

et

5 et

poi

nt (

3, – 2

4)

f(x)

= a

(x +

1)(

x –

5)

– 24

= a

(3 +

1)(

3 –

5)

– 24

= a

(4)(

– 2)

– 24

= – 8

a

3 =

a

f(x)

= 3

(x +

1)(

x –

5)

2

f(x) 2

x

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

6

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

33In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

c)

8.

Dét

erm

ine

la r

ègle

des

fonc

tions

qua

drat

ique

s à

parti

r de

s in

form

atio

ns s

uiva

ntes

.R

ech

erch

e d

e la

règ

le à

par

tir

des

zér

os

et d

’un

au

tre

po

int

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) L

es z

éros

son

t – 3 e

t 1 e

t la

cour

be p

asse

c)

Les

zér

os s

ont – 4

et 2

et l

a co

urbe

pas

se

pa

r le

poi

nt (

3, – 6

).

pa

r le

poi

nt (

1, 5

).

b) L

es z

éros

son

t – 11

et 7

et l

a co

urbe

pas

se

d) L

es z

éros

son

t 9 e

t 17

et la

cou

rbe

pass

e

par

le p

oint

(– 5

, – 9).

par

le p

oint

(6,

3).

1

f(x) 1

x

Zéro

s : – 3

et

4 et

poi

nt (

1, – 9

)

f(x)

= a

(x +

3)(

x –

4)

– 9 =

a(1

+ 3

)(1

– 4)

– 9 =

a(4

)(– 3

)

– 9 =

– 12

a

3 4 =

a

f(x)

= 3 4

(x +

3)(

x –

4)

f(x)

= a

(x +

3)(

x –

1)

– 6 =

a(3

+ 3

)(3

– 1)

– 6 =

a(6

)(2)

– 6 =

12

a– 1 2

= a

f(x)

= – 1 2

(x +

3)(

x –

1)

f(x)

= a

(x +

4)(

x –

2)

5 =

a(1

+ 4

)(1

– 2)

5 =

a(5

)(– 1

)

5 =

– 5 a

– 1 =

a

f(x)

= – 1

(x +

4)(

x –

2)

f(x)

= a

(x +

11)

(x –

7)

– 9 =

a(– 5

+ 1

1)( –

5 –

7)

– 9 =

a(6

)(– 1

2)

– 9 =

– 72

a

1 8 =

a

f(x)

= 1 8

(x +

11)

(x –

7)

f(x)

= a

(x –

9)(

x –

17)

3 =

a(6

– 9

)(6

– 17

)

3 =

a(– 3

)(– 1

1)

3 =

33

a

1 11 =

a

f(x)

= 1 11

(x –

9)(

x –

17)



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

6

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

34C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

9.

Voic

i que

lque

s ca

ract

éris

tique

s de

qua

tre p

arab

oles

. Dét

erm

ine

la r

ègle

de

chac

une

des

fonc

tions

qu

adra

tique

s re

prés

enté

e pa

r sa

par

abol

e.

Rec

her

che

de

la r

ègle

d’u

ne

fon

ctio

n q

uad

rati

qu

e, d

escr

ipti

on

des

pro

pri

étés

d’u

ne

fon

ctio

n q

uad

rati

qu

e N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a)

b)

c)

d)

– Le

min

imum

de

la

fonc

tion

est 5

.

– La

fonc

tion

est d

écro

issa

nte

po

ur x

∈ ]

– ∞, 3

].

– La

par

abol

e pa

sse

pa

r le

poi

nt (

5, 9

).

Som

met

: (3

, 5)

et p

oint

(5,

9)

f(x)

= a

(x –

3)2 +

5

9 =

a(5

– 3

)2 + 5

9 =

a(2

)2 + 5

9 =

4 a

+ 5

4 =

4 a

1 =

a

f(x)

= (

x –

3)2 +

5

– La

fonc

tion

est n

égat

ive

pour

x ∈

]–∞

, – 2] ∪

[4, +

∞[.

– La

par

abol

e pa

sse

pa

r le

poi

nt (

3, 1

0).

Zéro

s : – 2

et

4 et

poi

nt (

3, 1

0)

f(x)

= a

(x +

2)(

x –

4)

10 =

a(3

+ 2

)(3

– 4)

10 =

a(5

)(– 1

)

10 =

– 5 a

– 2 =

a

f(x)

= – 2

(x +

2)(

x –

4)

– L’é

quat

ion

de l’

axe

de

sym

étrie

est

x =

1.

– L’i

mag

e de

la fo

nctio

n

est [

– 3, +

∞[.

– L’o

rdon

née

à l’o

rigin

e

est 1

.

Som

met

: (1

, – 3)

et p

oint

(0,

1)

f(x)

= a

(x –

1)2 –

3

1 =

a(0

– 1

)2 – 3

1 =

a(– 1

)2 – 3

1 =

a –

3

4 =

a

f(x)

= 4

(x –

1)2 –

3

– La

fonc

tion

est p

ositi

ve

sur

[3, 8

].

– L’o

rdon

née

à l’o

rigin

e

est – 1

8.

Zéro

s : 3

et

8 et

poi

nt (

0, – 1

8)

f(x)

= a

(x –

3)(

x –

8)– 1

8 =

a(0

– 3

)(0

– 8)

– 18

= a

(– 3)(

– 8)

– 18

= 2

4 a

– 3 4 =

a

f(x)

= – 3 4

(x –

3)(

x –

8)

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

6

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

35In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

10.

Que

lle e

st la

règ

le d

e la

fonc

tion

repr

ésen

tée

par

la p

arab

ole

qui p

asse

par

les

poin

ts (

2, 0

),

(6, 0

) et

(1,

20)

?R

ech

erch

e d

e la

règ

le à

par

tir

des

zér

os

et d

’un

au

tre

po

int

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

11.

La b

alle

d’u

ne c

arab

ine

suit

une

traje

ctoi

re p

arab

oliq

ue. E

lle d

oit s

’éle

ver d

e 1

m p

our a

ttein

dre

une

cibl

e sit

uée

à 10

0 m

. Dét

erm

ine

l’équ

atio

n de

la tr

ajec

toire

en

cons

idér

ant q

ue la

pos

ition

de

tir e

st à

l’or

igin

e d’

un s

ystè

me

carté

sien.

Re

cher

che

de la

règ

le à

par

tir d

es z

éros

et d

’un

autr

e po

int,

repr

ésen

tatio

n d’

une

situ

atio

n à

l’aid

e

d’un

e fo

nctio

n, v

erba

lem

ent,

algé

briq

uem

ent,

à l’a

ide

d’un

e ta

ble

de v

aleu

rs o

u gr

aphi

quem

ent

Niv

eau

de d

iffic

ulté

: m

oyen

12.

Que

lle fo

rme

de la

règ

le d

’une

fonc

tion

quad

ratiq

ue e

st la

plu

s pr

atiq

ue p

our

déte

rmin

er :

R

ech

erch

e d

e la

règ

le d

’un

e fo

nct

ion

qu

adra

tiq

ue,

des

crip

tio

n d

es p

rop

riét

és d

’un

e fo

nct

ion

qu

adra

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ue

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

faib

le

a) l

e m

axim

um, l

’équ

atio

n de

l’ax

e de

sym

étrie

et u

n po

int d

e la

cou

rbe

?

La f

orm

e ca

noni

que

b) le

s ab

scis

ses

à l’o

rigin

e et

l’or

donn

ée à

l’or

igin

e ?

La f

orm

e fa

ctor

isée

Zéro

s : 2

et

6 et

poi

nt (

1, 2

0)

f(x)

= a

(x –

2)(

x –

6)

20 =

a(1

– 2

)(1

– 6)

20 =

a(– 1

)(– 5

)

20 =

5 a

4 =

a

f(x)

= 4

(x –

2)(

x –

6)

Zéro

s : 0

et

100

et p

oint

(50

, 1)

f(x)

= a

(x)(

x –

100)

1 =

a(5

0)(5

0 –

100)

1 =

a(5

0)(– 5

0)

1 =

– 2 5

00a

– 125

00 =

a

f(x)

=

– 125

00 (x

)(x

– 10

0)

ou f

(x)

= – 0

,000

4(x

)(x

– 10

0)



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

6

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

36C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

c) l

’inte

rval

le o

ù la

fonc

tion

est p

ositi

ve e

t un

poin

t de

la c

ourb

e ?

La f

orm

e fa

ctor

isée

d) l’

imag

e de

la fo

nctio

n, l’

équa

tion

de l’

axe

de s

ymét

rie e

t l’o

rdon

née

à l’o

rigin

e ?

La f

orm

e ca

noni

que

13.

La s

omm

e de

s de

ux z

éros

d’u

ne fo

nctio

n qu

adra

tique

est

– 1 e

t le

prod

uit e

st – 1

2. L

a co

urbe

de

cette

fo

nctio

n pa

sse

par

le p

oint

(2,

– 3).

Que

lle e

st la

règ

le d

e ce

tte fo

nctio

n si

on

la r

epré

sent

e so

us la

fo

rme

géné

rale

? R

ech

erch

e d

e la

règ

le d

’un

e fo

nct

ion

qu

adra

tiq

ue,

pas

sage

d’u

ne

form

e d

e rè

gle

à u

ne

autr

e :

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e gé

nér

ale,

fo

rme

can

on

iqu

e, f

orm

e fa

cto

risé

e N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

14.

Sur

un t

erra

in, M

artin

a t

rouv

é, à

8 m

de

dist

ance

l’un

de

l’aut

re, d

eux

terr

iers

de

mar

mot

tes.

En

tre c

eux-

ci, c

’est

-à-d

ire à

3 m

du

prem

ier

terr

ier,

Mar

tin a

cre

usé

un t

rois

ièm

e te

rrie

r d’

une

prof

onde

ur d

e 1

m. I

l est

tom

bé a

insi

sur

la g

aler

ie c

reus

ée p

ar le

s m

arm

otte

s. M

artin

su

ppos

e qu

e la

gal

erie

des

mar

mot

tes

est

de f

orm

e pa

rabo

lique

et

que

le p

rem

ier

terr

ier

est

cons

idér

é co

mm

e l’o

rigin

e de

s qu

adra

nts.

Que

lle r

ègle

Mar

tin p

ourr

ait-i

l ass

ocie

r à

cette

ga

lerie

de

terr

iers

? Re

cher

che

de la

règ

le à

par

tir d

u so

mm

et e

t d’

un a

utre

poi

nt, r

epré

sent

atio

n d’

une

situ

atio

n à

l’aid

e

d’un

e fo

nctio

n, v

erba

lem

ent,

algé

briq

uem

ent,

à l’a

ide

d’un

e ta

ble

de v

aleu

rs o

u gr

aphi

quem

ent

Niv

eau

de d

iffic

ulté

: m

oyen

S =

– 1, P

= – 1

2 et

poi

nt (

2, – 3

)

f(x)

= a

(x2 –

Sx

+ P

)

f(x)

= a

(x2 +

x –

12)

– 3=

a(2

2 + 2

– 1

2)

– 3 =

a(– 6

)

1 2 =

a

f(x)

= 1 2

(x2 +

x –

12)

f(x)

= 1 2

x2 +

1 2 x

– 6

Zéro

s : 0

et

8 et

poi

nt (

3, – 1

)

f(x)

= a

(x)(

x –

8)

– 1 =

a(3

)(3

– 8)

– 1 =

a(3

)(– 5

)

– 1 =

– 15a

1 15 =

a

f(x)

= 1 15

(x)(

x –

8)

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

37In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

plu

s d

e C

on

solid

atio

nC

ompl

émen

t de

la s

ectio

n C

onso

lidat

ion

des

page

s 17

4 à

182

du m

anue

l

1.

Ass

ocie

les

grap

hiqu

es s

uiva

nts

avec

le b

on g

roup

e de

par

amèt

res.

Rô

le d

es p

aram

ètre

s a,

h e

t k

dan

s la

fo

rme

can

on

iqu

e d

e la

règ

le N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: fa

ible

1

2

3

4

a)

a

> 0

b) a

< 0

c)

a

> 0

d) a

< 0

h

< 0

h >

0 h

> 0

h >

0

k >

0 k

< 0

k <

0 k

> 0

3

1

2

4

– 2

2

y

x

2

2y

x

2

y

x

2

2

y

x

2



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

38C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

2.

Soit

la fo

nctio

n qu

adra

tique

don

t la

règl

e es

t f(x

) =

5x2 -

2x

+ c.

Exp

rime

le m

inim

um d

e f e

n fo

nctio

n de

c.

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n d

on

t la

règ

le e

st f

(x)

= a

x2 + b

x +

c N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

f(x)

= 5

x2 – 2

x +

c

Min

= k

k =

4ac

– b

2

4a =

20c

– 4

20 =

c –

1 5

k =

c –

1 5

3.

Dét

erm

ine

la r

ègle

de

chac

une

des

fonc

tions

qua

drat

ique

s re

prés

enté

es p

ar le

s gr

aphi

ques

ci-d

esso

us

et fa

is e

nsui

te l’

anal

yse

com

plèt

e de

ces

fonc

tions

. R

ech

erch

e d

e la

règ

le d

’un

e fo

nct

ion

qu

adra

tiq

ue

et d

escr

ipti

on

des

pro

pri

étés

d’u

ne

fon

ctio

n q

uad

rati

qu

e N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a)

Règl

e

Zéro

s : – 6

et

– 1 e

t po

int

(– 2, – 6

) f(

x) =

a(x

+ 6

)(x

+ 1

) – 6

= a

(– 2 +

6)(

– 2 +

1)

– 6 =

a(4

)(– 1

)

a =

3 2

f(x)

= 3 2

(x +

6)(

x +

1)

ou

f(x)

= 3 2

x2 + 21 2

x +

9

Dom

aine

R

Imag

ek

= 4

ac –

b2

4a

= 54

– 1

10,2

56

= – 9

,375

[– 9,3

75, +

∞[

Ord

onné

e à

l’orig

ine

(ou

vale

ur in

itial

e)9

Zéro

s

(ou

absc

isse

s à

l’orig

ine)

– 6 e

t – 1

Varia

tion

h =

– b 2 a =

– 10,

53

= – 3,

5

f es

t dé

croi

ssan

te p

our

x ∈

]–∞

, – 3,5

] f

est

croi

ssan

te p

our

x ∈

[– 3

,5, +

∞[

Sign

ef

est

posi

tive

pour

x ∈

]– ∞, – 6

] ∪

[– 1

, +∞

[ f

est

néga

tive

pou

r x

∈[– 6

, – 1]

Extr

emum

Min

: f

= – 9

,375

A

ucun

max

imum

Équa

tion

de l’

axe

de s

ymét

riex

= – 3

,5

– 1

f (x

)

x

2

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

39In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

b)

4.

Com

bien

les

fonc

tions

qua

drat

ique

s su

ivan

tes

ont-e

lles

de z

éros

?D

escr

ipti

on

des

pro

pri

étés

d’u

ne

fon

ctio

n q

uad

rati

qu

e N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) y

= – 3

(x -

2)2 +

7

a <

0 e

t k

> 0

; do

nc, i

l y

a de

ux z

éros

.

b) y

= 2

x2 - 2

0x +

50

a >

0 e

t ∆

= b

2 – 4

ac =

400

– 4

00 =

0 ;

donc

, il

y a

un z

éro.

c) y

= – 1 2

(x +

4)2

a <

0 e

t k

= 0

; do

nc, i

l y

a un

zér

o.

d) y

= x

2 + 1

2x +

44

a >

0 e

t ∆

= b

2 – 4

ac =

144

– 1

76 =

– 32

; do

nc, i

l n’

y a

aucu

n zé

ro.

e) y

= 5 2

x2 + 1

0x +

1

a >

0 e

t ∆

= b

2 – 4

ac =

100

– 1

0 =

90

; do

nc, i

l y

a de

ux z

éros

.

f(x)

x1

1Rè

gle

Som

met

: (3

, 4)

et p

oint

(– 1

, – 4)

f(x)

= a

(x –

3)2 +

4

– 4 =

a(– 1

– 3

)2 + 4

– 8

= 1

6a

a =

– 1 2f(

x) =

– 1 2 (x

– 3

)2 + 4

Dom

aine

R

Imag

e]–

∞, 4

]

Ord

onné

e à

l’orig

ine

(ou

vale

ur in

itial

e)f(

0) =

– 1 2 (0

– 3

)2 + 4

= – 9 2

+ 4

= – 1 2

Zéro

s

(ou

absc

isse

s à

l’orig

ine)

h ±

=

3 ±

≈ 3

± 2,

83

0,17

et

5,83

Varia

tion

f es

t cr

oiss

ante

pou

r x

∈ ]

– ∞, 3

] f

est

décr

oiss

ante

pou

r x

∈ [

3, +

∞[

Sign

ef

est

posi

tive

pou

r x

∈ [

0,17

, 5,8

3]

f es

t né

gati

ve p

our

x

∈ ]

– ∞, 0

,17]

∪ [

5,83

, + ∞

[

Extr

emum

Max

: f

= 4

A

ucun

min

imum

Équa

tion

de l’

axe

de s

ymét

riex

= 3

– k a

– 4 – 1 2



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

40C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

5.

Tro

uve

les

deux

aut

res

form

es q

ui c

orre

spon

dent

à la

règ

le d

onné

e de

la fo

nctio

n qu

adra

tique

.Pa

ssag

e d’

une

form

e de

règ

le à

une

aut

re :

form

e gé

néra

le, f

orm

e ca

noni

que,

for

me

fact

oris

ée N

ivea

u de

diff

icul

té :

moy

en

Fo

rme

cano

niqu

eFo

rme

géné

rale

Form

e fa

ctor

isée

f 1(x)

= – 0

,27(

x -

1)2 +

6

f 1(x)

= – 0

,27(

x –

1)(x

– 1

) +

6

=

– 0,2

7(x2 –

2x

+ 1

) +

6

=

– 0,2

7x2 +

0,5

4x –

0,2

7 +

6

f 1(x)

= – 0

,27x

2 + 0

,54x

+ 5

,73

Zéro

s =

– b ±

b2 –

4ac

2 a

= – 0

,54

± 0

,291

6 +

6,1

884

– 0,5

4

= – 0

,54

± 2,

55– 0

,54

≈ – 3

,72

et 5

,72

f 1(x)

= – 0

,27(

x +

3,7

2)(x

– 5

,72)

h =

– b 2 a =

– 54

12 =

– 9 2

k =

4ac

– b2

4a =

2016

– 2

916

24

=

– 900 24

= – 7

5 2

f 2(x)

= 6

x +

9 22 –

75 2

f 2(x)

= 6

x2 + 5

4x +

84

Zéro

s =

– b ±

b2 –

4ac

2 a

= – 0

,54

± 2

916

– 20

1612

= – 5

4 ±

3012

≈ – 2

et

– 7

f 2(x)

= 6

(x +

7)(

x +

2)

h =

– b 2 a =

18 – 4 =

– 9 2

k =

4ac

– b2

4a =

– 160

– 3

24– 8

= 12

1 2

f 3(x)

= – 2

x +

9 22 +

121 2

f 3(x)

= – 2

x2 – 1

8x +

20

f 3(x)

= – 2

(x +

10)

(x -

1)

h =

– b 2 a =

– 25 2 1

= – 2

5 2

k =

4ac

– b2

4a =

– 150

– 62

5 42

= – 1

225

8

f 4(x)

= 1 2

x

+ 25 2

2 – 12

25 2

f 4(x)

= 1 2

x2 + 25 2

x -

75

Zéro

s =

– b ±

b2 –

4ac

2 a

= –

25 2

±

625 4 +

150

1 =

– 25 2

± 35 2

=

5 e

t – 3

0

f 4(x)

= 1 2

(x +

30)

(x –

5)

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

41In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

6.

Dét

erm

ine

la r

ègle

de

chac

une

des

fonc

tions

qua

drat

ique

s dé

crite

s ci

-des

sous

. Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

Rec

her

che

de

la r

ègle

d’u

ne

fon

ctio

n q

uad

rati

qu

e. D

escr

ipti

on

des

pro

pri

étés

d’u

ne

fon

ctio

n q

uad

rati

qu

e

a)

b)

Zéro

s : – 4

et

– 10

et p

oint

(– 6

, 8)

f(x)

= a

(x +

4)(

x +

10)

8 =

a(– 6

+ 4

)(– 6

+ 1

0)

8 =

a(– 2

)(4)

– 1 =

a

f(x)

= – 1

(x +

4)(

x +

10)

Som

met

: (7

, – 8)

et p

oint

(0,

139

)

f(x)

= a

(x –

7)2 –

8

139

= 4

9a –

8

147

= 4

9a

3 =

a

f(x)

= 3

(x –

7)2 –

8

c)

d)

Zéro

s : 2

et

12 e

t po

int

(0, 1

8)

f(x)

= a

(x –

2)(

x –

12)

18 =

24a

3 4 =

a

f(x)

= 3 4

(x –

2)(

x –

12)

Som

met

: (– 1

, 3)

et p

oint

(1,

1)

f(x)

= a

(x +

1)2 +

3

1 =

4a

+ 3

– 2 =

4a

– 1 2 =

a

f(x)

= –

1 2 (x

+ 1

)2 + 3

- La

fonc

tion

est p

ositi

ve p

our x

∈ [– 1

0, – 4

].

- f(

– 6)

= 8

- L’i

mag

e de

la fo

nctio

n es

t [– 8

, +∞

[.

- L’o

rdon

née

à l’o

rigin

e es

t 139

.

- L’é

quat

ion

de l’

axe

de s

ymét

rie e

st x

= 7

.

- Le

s ab

scis

ses

à l’o

rigin

e so

nt 2

et 1

2.

- L’

ordo

nnée

à l’

orig

ine

est 1

8.

- La

fonc

tion

est c

rois

sant

e po

ur

x ∈

]– ∞

, – 1].

- L’i

mag

e de

la fo

nctio

n es

t ]– ∞

, 3].

- La

fonc

tion

pass

e pa

r le

poi

nt (

1, 1

).



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

42C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

7.

Tra

ce le

gra

phiq

ue e

t fai

s l’é

tude

com

plèt

e de

s rè

gles

des

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tions

qua

drat

ique

s su

ivan

tes.

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n d

on

t la

règ

le e

st f

(x)

= a

x2 + b

x +

c N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a)

b)

f 1(x)

= – 2

x2 + 8

x +

64

Dom

aine

R

Imag

ek

= 4

ac –

b2

4a

=

– 512

– 6

4– 8

= 7

2

]– ∞, 7

2]

Ord

onné

e à

l’orig

ine

(ou

vale

ur in

itial

e)64

Zéro

s

(ou

absc

isse

s à

l’orig

ine)

– b ±

b2 –

4ac

2a

= – 8

±

64 +

512

– 4 =

– 8 ±

24

– 4 =

– 4 e

t 8

Varia

tion

h =

– b

2a

= – 8

– 4

= 2

f es

t cr

oiss

ante

pou

r x

∈ ]

– ∞, 2

]f

est

décr

oiss

ante

pou

r x

∈ [

2, +

∞[

Sign

ef

est

néga

tive

pour

x ∈

]– ∞

, – 4]

∪ [

8, +

∞[

f es

t po

sitiv

e po

ur x

∈ [

– 4, 8

]

Extr

emum

Max

: f

= 7

2 A

ucun

min

imum

Équa

tion

de l’

axe

de s

ymét

riex

= 2

f 2(x)

= 2 3

x2 + 6

x –

12D

omai

neR

Imag

ek

= 4a

c –

b2

4a =

– 32

– 36

8 3

= – 5

1 2

– 51 2, +

∞

Ord

onné

e à

l’orig

ine

(ou

vale

ur in

itial

e)– 1

2

Zéro

s

(ou

absc

isse

s à

l’orig

ine)

– b ±

b2 –

4ac

2 a =

– 6 ±

36

+ 3

24 3

=

– 6 ±

8,2

54 3

= – 1

0,69

et

1,69

Varia

tion

h =

– b

2 a =

– 6

4 3

= – 9

2

f es

t dé

croi

ssan

te p

our

x ∈

– ∞

, – 9

2

f es

t cr

oiss

ante

pou

r x

∈

– 9

2, +

∞

Sign

ef e

st p

ositi

ve p

our

x ∈

]–∞

, – 10,

69] ∪

[1,6

9, +

∞ [

f es

t né

gati

ve p

our

x ∈

[– 1

0,69

, 1,6

9]

Extr

emum

Min

: f

= – 5

1 2A

ucun

max

imum

Équa

tion

de l’

axe

de s

ymét

riex

= – 9

2

f(x)

x2

10

f(x)

x2

4

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

43In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

c)

8.

Voi

ci la

tabl

e de

val

eurs

d’u

ne fo

nctio

n qu

adra

tique

. O

bse

rvat

ion

de

régu

lari

tés

: le

s ac

cro

isse

men

ts,

des

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tio

n d

es p

rop

riét

és d

’un

e fo

nct

ion

qu

adra

tiq

ue,

rec

her

che

de

la r

ègle

d’u

ne

fon

ctio

n q

uad

rati

qu

eN

ivea

u de

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ficu

lté

: m

oyen

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ompl

ète

la ta

ble

de v

aleu

rs e

n ut

ilisa

nt le

s ac

croi

ssem

ents

.

x– 3

,7

– 2– 1

01

23

4

f(x)

– 15

– 51

31

– 5– 1

5– 2

9

+10

+6

+2

– 2

– 6

– 10

– 14

– 4

– 4

– 4

– 4

– 4

– 4

b) Q

uel e

st l’

accr

oiss

emen

t de

deux

ièm

e ni

veau

et q

ue n

ous

indi

que-

t-il ?

L’ac

croi

ssem

ent

de d

euxi

ème

nive

au e

st – 4

. Com

me

cet

accr

oiss

emen

t es

t co

nsta

nt,

il no

us i

ndiq

ue q

ue c

’est

une

fon

ctio

n qu

adra

tiqu

e.

c) R

epré

sent

e gr

aphi

quem

ent c

ette

fonc

tion.

f 3(x)

= 2

x2 – 2

8x +

98

Dom

aine

R

Imag

eR

Ord

onné

e à

l’orig

ine

(ou

vale

ur in

itial

e)98

Zéro

s

(ou

absc

isse

s à

l’orig

ine)

7

Varia

tion

f es

t dé

croi

ssan

te p

our

x ∈

]– ∞

, 7]

f es

t cr

oiss

ante

pou

r x

∈ [

7, +

∞[

Sign

ef

est

posi

tive

pou

r x

∈ R

Extr

emum

Min

: f

= 0

A

ucun

max

imum

Équa

tion

de l’

axe

de s

ymét

riex

= 7

f(x)

x2

20

1

f(x)

x

1

d) Q

uelle

s so

nt le

s co

ordo

nnée

s du

som

met

de

cet

te fo

nctio

n ?

(0, 3

)

e) Q

uelle

est

la r

ègle

de

cette

fonc

tion

?

So

mm

et :

(0, 3

) et

poi

nt (

1, 1

)

f(x)

= a

(x)2 +

3

1 =

a +

3– 2

= a

f(x)

= – 2

x2 + 3



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

44C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

9.

Cer

tain

es p

ropr

iété

s d’

une

fonc

tion

quad

ratiq

ue s

ont p

lus

faci

les

à tro

uver

à l’

aide

d’u

ne fo

rme

de r

ègle

pa

rticu

lière

. Que

lle fo

rme

de la

règ

le d

’une

fonc

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quad

ratiq

ue (

cano

niqu

e, fa

ctor

isée

ou

géné

rale

) es

t la

plus

pra

tique

pou

r dé

term

iner

:D

escr

ipti

on

des

pro

pri

étés

d’u

ne

fon

ctio

n q

uad

rati

qu

e N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: fa

ible

a) l

e so

mm

et ?

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’imag

e ?

La

for

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cano

niqu

e

La

for

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cano

niqu

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b) le

s zé

ros ?

f)

le

s si

gnes

?

La

for

me

fact

oris

ée

La

for

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oris

ée

c) l

’ext

rem

um ?

g) l

a va

riatio

n ?

La

for

me

cano

niqu

e

La

for

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cano

niqu

e

d) l’

ordo

nnée

à l’

orig

ine

? h)

l’éq

uatio

n de

l’ax

e de

sym

étrie

?

La

for

me

géné

rale

La f

orm

e ca

noni

que

10.

Soi

t la

fonc

tion

f(x)

= 1 4

x2 - 2

x -

3. P

our q

uelle

s va

leur

s de

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-t-on

: R

éso

luti

on

d’in

équ

atio

ns

du

sec

on

d

deg

ré à

un

e va

riab

le. P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

do

nt

la r

ègle

est

f(x

) =

ax2

+ b

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c N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) f

(x)

≤ 0

?

b) f

(x)

≥ 2

?

c) f

(x)

= 5

?

Zéro

s =

– b ±

b2 –

4ac

2 a =

2 ±

4 +

31 2

≈ 2

± 2,

650,

5 ≈

9,3

et – 1

,3

x ∈

[1,

3, – 9

,3[

2 =

1 4 x2 –

2x

– 3

f(x)

= 1 4

x2 – 2

x –

5 – b

±

b2 – 4

ac2 a

= 2

± 4

+ 5

1 2

= 2

± 3

1 2

= – 2

et

10

x ∈

]– ∞

, – 2]

∪ [

10, +

∞[

5 =

1 4 x2 –

2x

– 3

f(x)

= 1 4

x2 – 2

x –

8 – b

±

b2 – 4

ac2 a

= 2

± 4

+ 8

1 2

≈ 2

± 3,

460,

5 ≈

– 2,9

3 et

10,

93

x ≈

– 2,9

3x ≈

10,

93

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

45In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

11.

Le v

iadu

c

On

a re

prod

uit u

n vi

aduc

sur

un

plan

car

tési

en. L

a co

urbe

du

viad

uc s

uit l

a pa

rabo

le d

éfin

ie p

ar la

règ

le

de la

fonc

tion

h(x)

= – 0

,08x

2 + 8

, où

h(x)

est

la h

aute

ur d

u vi

aduc

, en

mèt

res,

et x

la lo

ngue

ur a

u so

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via

duc,

en

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res.

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n d

on

t la

règ

le e

st f

(x)

= a

x2 + b

x +

c N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) Q

uelle

est

la h

aute

ur m

axim

ale

de c

e vi

aduc

?

b) Q

uelle

est

la lo

ngue

ur a

u so

l de

ce v

iadu

c ?

12.

Vale

urs

à tr

ouve

r

Que

lles

sont

les

vale

urs

poss

ible

s de

b p

our

que

la r

ègle

de

la fo

nctio

n f(

x) =

x2 -

bx

+ 4

po

ssèd

e un

seu

l zér

o ?

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n d

on

t la

règ

le e

st f

(x)

= a

x2 + b

x +

c N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

k =

4ac

– b2

4a =

– 2,5

6– 0

,32 =

8

La h

aute

ur m

axim

ale

de c

e vi

aduc

est

de

8 m

.

Zéro

s =

– b ±

b2 –

4ac

2 a =

± 0

+ 2

,56

– 0,1

6 =

± 1,

6– 0

,16

= – 1

0 et

10

La l

ongu

eur

au s

ol d

e ce

via

duc

est

de 2

0 m

.

Pour

avo

ir u

n se

ul z

éro,

∆ =

0, d

onc

∆ =

b2

– 4

ac =

0

b2 – 1

6 =

0

b2 = 1

6

b =

±

16

b =

– 4 o

u 4

Les

vale

urs

poss

ible

s de

b s

ont

– 4 e

t 4.



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

46C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

13. P

rofi

t ou

per

te ?

Le d

irect

eur

d’un

e en

trepr

ise

de fa

bric

atio

n de

mon

tres

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abli

selo

n se

s pr

évis

ions

de

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es q

ue, s

i le

prix

d’u

ne m

ontre

-bra

cele

t est

fixé

à x

dol

lars

, les

pro

fits

réal

isés

, en

mill

iers

de

dolla

rs, s

eron

t illu

stré

s pa

r la

règ

le :

p(x)

= – 0

,1x2 +

24x

- 1

400

.P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

do

nt

la r

ègle

est

f(x

) =

ax2 +

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+ c

Niv

eau

de d

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cult

é :

moy

en

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éter

min

e le

prix

de

vent

e x

de la

mon

tre-b

race

let q

ui m

axim

iser

a le

s pr

ofits

.

h =

– b 2 a =

– 24

– 0,2

= 1

20

Le p

rix

de v

ente

x e

st d

e 12

0 $.

b) Q

uel e

st le

pro

fit m

axim

al q

ue p

eut r

éalis

er c

ette

ent

repr

ise

?

k =

4ac

– b

2

4a =

560

– 57

6– 0

,4 =

40

Le p

rofi

t m

axim

al q

ue p

eut

réal

iser

cet

te e

ntre

pris

e es

t de

40

000

$.

c) D

ans

quel

inte

rval

le fa

udra

-t-il

fixer

le p

rix d

e ve

nte

de c

es m

ontre

s-br

acel

ets

pour

que

l’en

trepr

ise

ne s

ubis

se p

as d

e pe

rtes ?

Zéro

s =

– b ±

b2 –

4ac

2 a =

– 24

± 5

76 –

560

– 0,2

= – 2

4 ±

4– 0

,2 =

100

et

140

L’in

terv

alle

dev

ra ê

tre

[100

$, 1

40 $

].

14.

Le p

long

eon

de l

’épa

ular

d

En p

long

eant

, un

épau

lard

déc

rit la

traj

ecto

ire d

’une

par

abol

e d’

équa

tion

p(t)

= 2

t2 - 2

0t, o

ù t d

ésig

ne

le te

mps

en

seco

ndes

et p

(t),

la p

rofo

ndeu

r en

mèt

res

à la

quel

le s

e tro

uve

l’épa

ular

d.P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

do

nt

la r

ègle

est

f(x

) =

ax2 +

bx

+ c

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) J

usqu

’à q

uelle

pro

fond

eur

l’épa

ular

d pe

ut-il

plo

nger

?

k =

4ac

– b

2

4a

= 0

– 40

08

= 5

0

L’ép

aula

rd p

eut

plon

ger

jusq

u’à

50 m

de

prof

onde

ur.

b) C

ombi

en d

e te

mps

faut

-il à

l’ép

aula

rd p

our

décr

ire to

ute

la tr

ajec

toire

?

Zéro

s =

– b ±

b2 –

4ac

2 a =

20 ±

40

04

= 20

± 2

04

= 0

et

10

Il fa

ut 1

0 se

cond

es à

l’é

paul

ard

pour

déc

rire

tou

te l

a tr

ajec

toir

e.

c) P

enda

nt c

ombi

en d

e te

mps

l’ép

aula

rd e

st-il

en

desc

ente

?

L’ép

aula

rd e

st e

n de

scen

te p

enda

nt 5

sec

onde

s.

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

47In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

15. U

n ou

bli !

Élis

a, u

ne e

nsei

gnan

te a

u se

cond

aire

, a o

mis

d’é

crire

sur

sa

fiche

d’a

ctiv

ités

la v

aleu

r du

par

amèt

re a

da

ns u

ne fo

nctio

n qu

adra

tique

. Les

élè

ves

save

nt q

ue f(

x) =

ax2 +

3x

- 2

et q

ue f(

– 2)

= 6.

Que

lle e

st la

va

leur

du

para

mèt

re a

?P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

do

nt

la r

ègle

est

f(x

) =

ax2 +

bx

+ c

Niv

eau

de d

iffi

cult

é : é

levé

16.

Un

trap

èze

sous

la

para

bole

Soit

y =

– 2x2 +

24x

- 4

0, l’

équa

tion

de la

par

abol

e re

prés

enté

e

ci-c

ontre

. Dét

erm

ine

l’aire

, en

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s ca

rrées

, du

trapè

ze fo

rmé

par

les

poin

ts d

u ha

ut, d

ont l

’ord

onné

e es

t 24,

et p

ar le

s po

ints

d’

inte

rsec

tion

de la

par

abol

e av

ec l’

axe

des

absc

isse

s.P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

do

nt

la r

ègle

est

f(x

) =

ax2 +

bx

+ c

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

élev

é

f(x)

= a

x2 + 3

x –

2 et

poi

nt (

– 2, 6

)

6 =

a(– 2

)2 + 3

(– 2)

– 2

6 =

4a

– 6

– 2

6 =

4a

– 8

14 =

4a

7 2 =

a

La v

aleu

r du

par

amèt

re a

est

7 2 ou

3,5

.

y

x

Pour

tro

uver

les

poi

nts

d’in

ters

ecti

on d

e la

par

abol

e av

ec l

’axe

des

abs

ciss

es :

Zéro

s =

– b ±

b2 –

4ac

2 a =

– 24

± 5

76 –

320

– 4 =

– 24

± 16

– 4 =

2 e

t 10

On

obti

ent

donc

les

poi

nts

(2, 0

) et

(10

, 0).

Pour

tro

uver

les

poi

nts

dont

l’o

rdon

née

est

24 :

y =

– 2x2 +

24x

– 4

0

24 =

– 2x2 +

24x

– 4

0

0 =

– 2x2 +

24x

– 6

4 – b

±

b2 – 4

ac2

a =

– 24

± 5

76 +

512

– 4 =

– 24

± 8

– 4 =

4 e

t 8

On

obti

ent

donc

les

poi

nts

(4, 2

4) e

t (8

, 24)

.

Peti

te b

ase

= 8

– 4

= 4

Gra

nde

base

= 1

0 –

2 =

8

Hau

teur

= 2

4

Air

e du

tra

pèze

= (b

+ B

) • h

2 =

(4 +

8)

• 24

2 =

144

uni

tés2



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

48C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

17.

Le l

ance

men

t de

s fu

sées

Dan

s le

cou

rs d

e sc

ienc

es e

t tec

hnol

ogie

de

1re s

econ

daire

, une

act

ivité

par

ticul

ière

men

t pop

ulai

re e

st

la fa

bric

atio

n de

fusé

es m

inia

ture

s pu

is le

ur la

ncem

ent.

L’an

née

dern

ière

, la

fusé

e de

Sam

uel a

atte

int

une

haut

eur

max

imal

e de

15

mèt

res

5 se

cond

es a

près

le d

écol

lage

. Cet

te fu

sée

a dé

collé

au

nive

au

du s

ol e

t a d

écrit

une

traj

ecto

ire p

arab

oliq

ue.

Rec

her

che

de

la r

ègle

d’u

ne

fon

ctio

n q

uad

rati

qu

e. P

rop

riét

és

de

la f

on

ctio

n d

on

t la

règ

le e

st f

(x)

= a

(x –

h)2 +

k. R

éso

luti

on

d’in

équ

atio

ns

du

sec

on

d d

egré

à u

ne

vari

able

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) Q

uelle

est

la r

ègle

de

cette

fonc

tion

?

b) C

ombi

en d

e te

mps

la fu

sée

est-e

lle r

esté

e da

ns le

s ai

rs ?

c) P

enda

nt c

ombi

en d

e te

mps

la fu

sée

a-t-e

lle a

ttein

t une

hau

teur

de

5 m

et p

lus ?

Som

met

: (5

, 15)

et

poin

t (0

, 0)

f(x)

= a

(x –

h)2 +

k

f(x)

= a

(x –

5)2 +

15

0 =

a(0

– 5

)2 + 1

5

– 15

= 2

5a

– 0,6

= a

f(x)

= – 0

,6(x

– 5

)2 + 1

5

Zéro

s =

h ±

– k a

= 5

±

– 15

– 0,6

= 5

± 5

= 0

et

10

La f

usée

est

res

tée

dans

les

air

s pe

ndan

t m

oins

de

10 s

econ

des.

5 =

– 0,6

(x –

5)2 +

15

– 10

= – 0

,6(x

– 5

)2

16,6

7 ≈

(x –

5)2

± 4,

08 ≈

x –

5

± 4,

08 +

5 ≈

x

x ≈

0,92

et

9,08

9,08

– 0

,92

= 8

,16.

La

fusé

e a

atte

int

une

haut

eur

de 5

m e

t pl

us p

enda

nt 8

,16

seco

ndes

.

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

49In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

18.

Dém

onst

rati

on

Mon

tre q

u’il

exis

te a

u m

oins

troi

s rè

gles

de

fonc

tions

qua

drat

ique

s d’

équa

tions

f(x)

= ax

2 + b

x +

c, a

yant

po

ur z

éros

– 3 e

t 2, e

t rep

rése

nte

grap

hiqu

emen

t les

troi

s rè

gles

de

fonc

tions

que

tu a

s tro

uvée

s.P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

do

nt

la r

ègle

est

f(x

) =

ax2 +

bx

+ c

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

19.

Un

prob

lèm

e à

com

pose

r

Com

pose

un

exer

cice

ou

un p

robl

ème

où tu

aur

as à

trou

ver

une

règl

e de

form

e fa

ctor

isée

.R

ech

erch

e d

e la

règ

le à

par

tir

des

zér

os

et d

’un

au

tre

po

int

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

élev

é

20.

L’ho

mm

e-ca

non

Lors

de

la d

erni

ère

éditi

on d

’Exp

o-Q

uébe

c, o

n po

uvai

t adm

irer

les

expl

oits

de

« l’h

omm

e-ca

non

». C

e ca

scad

eur,

une

fois

pro

jeté

dan

s le

s ai

rs, s

uit u

ne tr

ajec

toire

par

abol

ique

d’é

quat

ion

h(t)

= – 0

,038

4(t

- 2

3)2 +

24,

où

h(t)

dés

igne

la h

aute

ur a

ttein

te e

n m

ètre

s et

t, le

tem

ps

en s

econ

des.

L’h

omm

e at

terri

t ens

uite

dan

s un

file

t ten

du à

5 m

ètre

s du

sol

.P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

do

nt

la r

ègle

est

f(x

) =

a(x

– h

)2 + k

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) C

ombi

en d

e te

mps

dur

e la

traj

ecto

ire d

e l’h

omm

e-ca

non

?

Plus

ieur

s ré

pons

es s

ont

poss

ible

s. E

xem

ple

:

Tout

es c

es f

onct

ions

ont

– 3 e

t 2

com

me

zéro

s.

f 1(x)

= 2

x2 + 2

x –

12

f 2(x)

= – 0

,5x2 –

0,5

x +

3

f 3(x)

= 0

,25x

2 + 0

,25x

– 1

,5

Plus

ieur

s ré

pons

es s

ont

poss

ible

s. E

xem

ple

:

Com

men

cer

par

trou

ver

deux

zér

os e

t le

par

amèt

re a

ou

deux

zér

os e

t un

poi

nt p

our

trou

ver

a

à l’a

ide

de l

a fo

rme

f(x)

= a

(x –

x1)

(x –

x2)

.

h(t)

= – 0

,038

4(t

– 2

3)2 +

24

5 =

– 0,0

38 4

(t –

23)

2 + 2

4– 1

9 =

– 0,0

38 4

(t –

23)

2

494,

79 ≈

(t

– 23

)2

± 2

2,24

≈ t

– 2

3

± 2

2,24

+ 2

3 ≈

t

t ≈

0,76

et

45,2

4

On

reje

tte

0,76

.

La t

raje

ctoi

re d

e l’h

omm

e-ca

non

dure

don

c 45

,24

seco

ndes

.

f(x)

x

2

1

f 3

f 2f 1



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

50C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

b) À

que

lle h

aute

ur d

u so

l le

cano

n es

t-il s

itué

?

h(0)

= – 0

,038

4(0

– 2

3)2 +

24

h(0)

= – 0

,038

4(5

29)

+ 2

4

h(0)

= – 2

0,31

3 6

+ 2

4

h(0)

= 3

,686

4

Le c

anon

est

sit

ué à

3,6

86 4

m d

u so

l.

21.

Vari

atio

n de

tem

péra

ture

L’éq

uatio

n f(

t) =

2t2 -

10t

- 1

2 dé

crit

l’évo

lutio

n de

la te

mpé

ratu

re f(

t) e

n de

grés

Cel

sius

enr

egis

trée

au c

ours

d’u

ne jo

urné

e du

moi

s de

mar

s, e

ntre

min

uit e

t 7 h

eure

s.P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

do

nt

la r

ègle

est

f(x

) =

ax2 +

bx

+ c

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

a) Q

uelle

est

la te

mpé

ratu

re m

inim

ale

?

k =

4ac

– b

2

4a =

– 96

– 10

08

= –

24,5

La t

empé

ratu

re m

inim

ale

est

– 24,

5 °C

.

b) P

enda

nt c

ombi

en d

e te

mps

la te

mpé

ratu

re e

st-e

lle n

égat

ive

?

Zéro

s =

– b ±

b2 –

4ac

2 a =

10 ±

10

0 +

96

4 =

10 ±

14

4 =

– 1 e

t 6

On

reje

tte

– 1 e

t on

par

t à

0 h

(min

uit)

.

La t

empé

ratu

re e

st n

égat

ive

pend

ant

6 he

ures

.

c) D

onne

l’in

terv

alle

de

tem

ps d

uran

t leq

uel l

a te

mpé

ratu

re a

ugm

ente

.

h =

– b 2 a =

10 4 =

2,5

La t

empé

ratu

re a

ugm

ente

dan

s l’i

nter

valle

[2,

5, 7

], do

nc e

ntre

2 h

30

et 7

heu

res.

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

51In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

22.

Le b

allo

n de

foo

tbal

l

La c

ourb

e su

périe

ure

d’un

bal

lon

de fo

otba

ll a

la fo

rme

d’un

e pa

rabo

le d

écrit

e pa

r la

fonc

tion

f(x)

= – 0

,15x

2 + 3

x, s

i l’o

n co

nsid

ère

que

la li

gne

de c

oupe

, au

mili

eu d

u ba

llon,

est

dire

ctem

ent

situ

ée s

ur l’

axe

des

x.

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n d

on

t la

règ

le e

st f

(x)

= a

x2 + b

x +

c N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) Q

uelle

est

la lo

ngue

ur, e

n ce

ntim

ètre

s, d

u ba

llon

de fo

otba

ll ?

Le m

axim

um e

st k

= 4

ab –

b2

4a

=

– 9 – 0,6

= 1

5.

La l

ongu

eur

du b

allo

n de

foo

tbal

l es

t do

nc d

e 30

cm

.

b) Q

uelle

est

l’éq

uatio

n de

l’ax

e de

sym

étrie

du

ballo

n ?

h =

– b 2a

=

– 3 – 0,3

= 1

0

L’éq

uati

on d

e l’a

xe d

e sy

mét

rie

du b

allo

n es

t x

= 1

0.

23.

Le

badm

into

n

Jacq

ues

et T

omm

y on

t été

film

és lo

rs d

e le

ur m

atch

dan

s le

cad

re d

’une

com

pétit

ion

de b

adm

into

n.

Lors

qu’il

s on

t vis

ionn

é un

des

frap

pés,

Jac

ques

éta

it à

2,5

m d

u fil

et e

t il f

rapp

ait l

e vo

lant

à 2

m d

u so

l pou

r l’e

nvoy

er d

e l’a

utre

côt

é du

file

t. La

traj

ecto

ire d

u vo

lant

sui

vait

ains

i la

form

e d’

une

para

bole

. La

hau

teur

max

imal

e du

vol

ant é

tait

de 4

m lo

rsqu

e ce

lui-c

i se

trouv

ait d

irect

emen

t au-

dess

us d

u fil

et.

Si T

omm

y se

trou

vait

à 3

m d

u fil

et, à

que

lle h

aute

ur a

-t-il

frapp

é le

vol

ant ?

Tro

uve

d’ab

ord

la r

ègle

de

la fo

nctio

n, s

acha

nt q

ue le

file

t rep

rése

nte

l’axe

des

ord

onné

es.

Rec

her

che

de

la r

ègle

à p

arti

r d

u s

om

met

et

d’u

n a

utr

e p

oin

t. R

epré

sen

tati

on

d’u

ne

situ

atio

n à

l’a

ide

d’u

ne

fon

ctio

n, v

erb

alem

ent,

alg

ébri

qu

emen

t, à

l’a

ide

d’u

ne

tab

le d

e va

leu

rs o

u g

rap

hiq

uem

ent

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

élev

é

Som

met

: (0

, 4)

et p

oint

(– 2

,5, 2

)

f(x)

= a

(x –

h)2 +

k

2 =

a(– 2

,5 –

0)2 +

4

– 2 =

6,2

5a

– 0,3

2 =

a

La r

ègle

est

f(x

) =

– 0,3

2x2 +

4

f(3)

= – 0

,32(

3)2 +

4 =

1,1

2

Tom

my

a fr

appé

le

vola

nt à

une

hau

teur

de

1,12

m.



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

52C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

24.

L’ai

re d

’un

rect

angl

e

La lo

ngue

ur d

’un

rect

angl

e es

t sup

érie

ure

de tr

ois

unité

s à

sa la

rgeu

r. R

ech

erch

e d

e la

règ

le d

’un

e fo

nct

ion

qu

adra

tiq

ue.

Rés

olu

tio

n d

’inéq

uat

ion

s d

u s

eco

nd

deg

ré à

un

e va

riab

le. R

epré

sen

tati

on

d’u

ne

situ

atio

n à

l’a

ide

d’u

ne

fo

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ion

, ver

bal

emen

t, al

géb

riq

uem

ent,

à l’a

ide

d’u

ne

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le d

e va

leu

rs o

u g

rap

hiq

uem

ent

Niv

eau

de d

iffi

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é : m

oyen

a) D

onne

la r

ègle

de

la fo

nctio

n qu

i cor

resp

ond

à so

n ai

re.

Larg

eur :

x

Long

ueur

: x

+ 3

Air

e =

(x)

(x +

3)

Règ

le :

y =

x2 +

3x

b) Q

uelle

s di

men

sion

s do

it av

oir

le r

ecta

ngle

pou

r qu

e so

n ai

re s

oit s

upér

ieur

e à

40 u

nité

s ca

rrées

?

y =

x2 +

3x

40 =

x2 +

3x

0 =

x2 +

3x

– 40

= – b

±

b2 – 4

ac2 a

= – 3

±

9 +

160

2 =

– 3 ±

13

2 =

– 8 e

t 5

On

reje

tte

– 8.

La l

arge

ur d

oit

être

sup

érie

ure

à 5

unit

és e

t la

lon

gueu

r do

it ê

tre

supé

rieu

re à

8 u

nité

s.

25.

Le s

aut

gagn

ant

En s

aut a

crob

atiq

ue, l

a ha

uteu

r du

sau

t dét

erm

ine

le g

agna

nt. I

sabe

lle e

t Cla

udia

éta

ient

ex

æqu

o au

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ant d

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mpa

rer

la h

aute

ur d

e le

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erni

er s

aut,

en m

ètre

s. À

l’ai

de d

es d

eux

règl

es

donn

ées

ci-d

esso

us, d

éter

min

e la

quel

le d

es d

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skie

uses

a fi

nale

men

t gag

né la

com

pétit

ion.

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n d

on

t la

règ

le e

st f

(x)

= a

x2 + b

x +

c N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

Is

abel

le :

Cla

udia

:

h 1(

x) =

– 2x2 +

12x

- 8

h 2(x)

= – 2

x2 + 1

6x -

24

h 1(x)

= – 2

x2 + 1

2x –

8

k =

4ac

– b2

4a =

64 –

144

– 8 =

10

Saut

de

10 m

h 2(x)

= – 2

x2 + 1

6x –

24

k =

4ac

– b2

4a =

192

– 25

6– 8

= 8

Saut

de

8 m

Et la

gag

nant

e es

t…

C’es

t Is

abel

le q

ui a

gag

né l

a co

mpé

titi

on.

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

53In

ters

ecti

on

SN

G

uide

AC

ha

pitr

e 3

(sui

te)

26.

La c

orde

à d

anse

r

Jess

ie ti

ent d

ans

ses

mai

ns u

ne c

orde

à d

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r qu

i a la

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e d’

une

para

bole

. Lor

squ’

elle

res

te

imm

obile

, cha

cune

de

ses

mai

ns e

st à

une

dis

tanc

e de

35

cm d

e so

n co

rps

et à

une

hau

teur

de

1 m

du

sol.

Sach

ant q

ue s

on c

orps

rep

rése

nte

l’axe

des

ord

onné

es a

insi

que

l’ax

e de

sym

étrie

de

la p

arab

ole,

que

lle e

st la

règ

le d

e ce

tte fo

nctio

n qu

adra

tique

? Ex

prim

e ce

tte r

ègle

sou

s de

ux fo

rmes

di

ffére

ntes

. R

ech

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e d

e la

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le à

par

tir

du

so

mm

et e

t d

’un

au

tre

po

int.

Pas

sage

d’u

ne

form

e d

e rè

gle

à u

ne

autr

e :

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e gé

nér

ale,

fo

rme

can

on

iqu

e, f

orm

e fa

cto

risé

e N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

27.

Dén

eige

men

t d’

un t

oit

L’hi

ver

2007

-200

8 a

été

un h

iver

rec

ord

au Q

uébe

c en

ce

qui a

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t aux

chu

tes

de n

eige

. Plu

sieu

rs

Qué

béco

is o

nt d

û dé

neig

er le

toit

de le

ur m

aiso

n. L

orsq

ue R

aym

ond

a dé

neig

é so

n to

it, la

fonc

tion

quad

ratiq

ue h

(t)

= – 1

,425

(t -

1)2 +

5,7

rep

rése

ntai

t la

traje

ctoi

re d

e la

nei

ge q

ui to

mba

it du

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h(

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epré

sent

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uteu

r en

mèt

res

et t,

le te

mps

éco

ulé

en s

econ

des.

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n d

on

t la

règ

le e

st f

(x)

= a

(x –

h)2 +

k N

ivea

u de

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ficu

lté

: m

oyen

a) T

race

le g

raph

ique

de

cette

fonc

tion.

b)

À q

uelle

hau

teur

Ray

mon

d co

mm

ença

it-il

à

lanc

er la

nei

ge ?

h(0)

= – 1

,425

(0 –

1)2 +

5,7

h(0)

= – 1

,425

+ 5

,7

h(0)

= 4

,275

Ray

mon

d co

mm

ença

it à

lan

cer

la n

eige

à

une

haut

eur

de 4

,275

mèt

res.

c) E

n co

mbi

en d

e te

mps

la n

eige

se

retro

uvai

t-elle

au

sol ?

En 3

sec

onde

s

Som

met

: (0

, – 100

) et

poi

nt (

– 35,

0)

f(x)

= a

(x –

h)2 +

k

0 =

a(– 3

5 –

0)2 –

100

100

= 1

225

a4 49

= a

Règ

le s

ous

form

e gé

néra

le :

f(x)

=

4 49 x2 –

100

Zéro

s : – 3

5 et

35

et p

oint

(0,

– 100

)

f(x)

= a

(x –

35)

(x +

35)

4 49 =

a

Règ

le s

ous

form

e fa

ctor

isée

: f(

x)=

4 49

(x –

35)

(x +

35)

f(x)

x

1

1



Corrigé

Nom

: G

roup

e :

Dat

e :

Fich

e3.

7

(sui

te)

Rep

rodu

ctio

n au

tori

sée

© L

es É

ditio

ns d

e la

Che

neliè

re in

c.

54C

ha

pitr

e 3

Inte

rsec

tion

S

N

Gui

de A

28.

Joue

r av

ec u

n ch

ien

Alai

n la

nce

une

balle

à s

on c

hien

. Cet

te b

alle

sui

t la

traje

ctoi

re d

’une

par

abol

e do

nt la

règ

le e

st

y =

– 0,2

75(x

- 4

)2 + 3

, où

x re

prés

ente

la d

ista

nce

horiz

onta

le e

n m

ètre

s de

la b

alle

ent

re le

chi

en

et s

on m

aître

et y

, la

haut

eur

en m

ètre

s de

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alle

à p

artir

du

sol.

Si le

chi

en s

aute

à u

ne h

aute

ur

de 6

0 cm

pou

r at

trape

r la

bal

le, à

que

lle d

ista

nce

de s

on m

aître

se

trouv

e-t-i

l ?P

rop

riét

és d

e la

fo

nct

ion

do

nt

la r

ègle

est

f(x

) =

a(x

– h

)2 + k

Niv

eau

de d

iffi

cult

é :

moy

en

0,6

= – 0

,275

(x –

4)2 +

3

– 2,4

= – 0

,275

(x –

4)2

8,73

≈ (

x –

4)2

± 2

,95

≈ x

– 4

± 2

,95

+ 4

≈ x

x ≈

1,05

et

6,95

On

reje

tte

1,05

.

Le c

hien

se

trou

ve à

6,9

5 m

de

son

maî

tre.

30.

Le g

olf

Lors

d’u

n pa

rcou

rs d

e go

lf, M

arie

-Ève

frap

pe u

ne b

alle

en

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cou

ps. A

u pr

emie

r cou

p, la

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le p

arco

urt l

a tra

ject

oire

de

la p

arab

ole

f 1(x)

= – 0

,12x

2 + 1

,92x

, où

x es

t la

dist

ance

hor

izont

ale

entre

le tr

ou e

t la

balle

et

f 1(x)

, la

haut

eur d

e la

bal

le. A

u se

cond

cou

p, la

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le s

uit l

a tra

ject

oire

de

la p

arab

ole

f 2(x)

= – 0

,25x

2 + 9

x -

80.

Pro

pri

étés

de

la f

on

ctio

n d

on

t la

règ

le e

st f

(x)

= a

x2 + b

x +

c N

ivea

u de

dif

ficu

lté

: m

oyen

a) Q

uelle

hau

teur

max

imal

e la

bal

le a

ttein

t-elle

au

prem

ier

coup

?

k =

4ac

– b

2

4a

= – 3

,686

4– 0

,48

= 7

,68.

La

balle

att

eint

7,6

8 m

de

haut

au

prem

ier

coup

.

b) Q

uelle

hau

teur

max

imal

e la

bal

le a

ttein

t-elle

au

seco

nd c

oup

?

k =

4ac

– b

2

4a

= 80

– 8

1– 1

= 1

. La

balle

att

eint

1 m

de

haut

au

seco

nd c

oup.

c) À

que

lle d

ista

nce

de la

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le é

tait

situ

é le

trou

lors

du

prem

ier

coup

frap

pé p

ar M

arie

-Ève

?

Zéro

s f 1

= – b

±

b2 – 4

ac2

a =

– 1,9

2 ±

3,6

864

– 0,2

4 =

– 1,9

2 ±

1,92

– 0,2

4 =

0 e

t 16

Zéro

s f 2

= – b

±

b2 – 4

ac2

a =

– 9 ±

81

– 8

0– 0

,5 =

– 9 ±

1– 0

,5 =

16

et 2

0

Le t

rou

étai

t si

tué

à 20

m d

e la

bal

le.


plus de mise en pratique -...

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