plancher

5/9/2018 plancher - slidepdf.com

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Remarques

1.Confo~ement it l 'Eurocode ~ e~ version europeenne (ENV 1994-1), nous avons retenu

un coefficient Y a = 1,lD pour I acie r de poutre. Le Document d 'Appli ca tion Nationale

~DA~ de l 'Eurocode ~, norm~,europeenne proviso ire, permet de prendre un coefficient

egal a 1,00 pour des acrers agrees par la Commission de Normalisation francaise, Cepen-

dant en at tendant l a publicat ion de I 'Eurocode 4 en norme europeenne harmonisee parprudence, nous avons fait l'exercice avec la valeur 1,lD. '

2. , Les eta!s que n~~ avons ut~li~essont du type actif , car nous avons impose une contre-

flec~e, grace aux eta~s,pour diminuer la fleche finale. Ainsi , s i l 'on avait dispoe des etais

passifs, sans contrefleche, done evecf;= /g l = - 2,38 mm, nous aurions euune Ileche totalede 44,06 mm (1/272°), soi t 14,3 mm de plus.

3. N?us,avons suppose, ~ans notre exemple, que les charges d'exploitat ion pouvaient etre

~pphquees ~n~?n~ueduree. C'est pourquoi, nous avons utilise Ie moment d'inertie de lasec-

tlO~ h~mogenelse~ avec un coefficient d'equivalence egal it 3 n = 20,66. Siles charges d'ex-

ploitation sont toujours decourte duree, ladeformee maximum vaut 26, 14mm, (1/ 459°) soit7,2 mm enmorns.

4. Pour une hauteur l ibre de 2,90 m sous poutre, I 'effort decompression dans I 'etai est egal

it F = P J 1 + L2/ (9H2» = 1,70 P = 68,41 kN.

5. En real!te, l~s Ileches doivent etre plus importantes que les Ileches qui ont ete calculees

?vec.une mertie constante. L/EC4 donne une methode pour tenir compte de laplus fa ib le

inert ie des zones de moment negatif ou le beton tendu est fissure.

6. P~ur les batimenst courants, ou Ie retrait de base est inferieur it 4 10-4 ou si le rapport

p~rtee / hauteur tota~edu plancher est inferieur it 20, i ln'es t pas obligatoire de calculer lesfleches dues au retrait (EC4, art.5.2.2 (9».

10. PLANCHERS EN BOIS

10.1. Generalih~s

Le bois est uti lise en batiment pour lareal isat ion de poteaux, poutres de planchers , fermes

et pann~ de ~ouve~ur~ s,ousforme de bois massif (resineux, chene, bois tropicaux), con-treplaque, bOISagglomere, lamelle colle,

Il offre les avantages de legerete (masse volurnique de 400 it 700 kg/m: ') de bonne resis-tance au feu, et possede une couleur agreable, '

L;s elements sont fixes entre eux ou au reste de la structure par differents types

d ~ssemblages : b~ulons, . clous, broches, t ire fonds, agra fes , au moyen de gousset s (en

~etal, .c~n~r~plaque o~ b~IScontrecolle), clavettes, anneaux, crampons, etc.

L humidit e joue un role Impor tant dans la resi st ance e t l a conse rvat ion du boi s Ell e estfonction du taux d'humidite relative de I'atrnosphere et de la temperature. .

736

Taux d 'humidlt e du bois [24]

Taux d'humtotteLocaux t = 10° C t = 20° C t = 30 ° C

de l'atrnosphere

50%clos et chauttss

9,6% 9,3% 9,0%de lacon continue

65% clos et chauftes 12 ,6 % 12 ,5 % 12 ,0 %

70% clos et couverts 13,6 % 13 ,2 % 12 ,9 %

85%expose

al'humldite,

19 ,0 % 18,3 % 18,0 %non cguverts, non abrites

Lamelle colle

La production francaise annuelle est de l 'ordre de 100000 m3 de bois lamelle colle par an.

Avec une repartition d'environ 60 % pour les poutres droites et40 % pour les poutres cour-

bes (fermes, arcs).

Les structures realisees temoignent des quali tes de ce materiau, Par exemple, le record de

127 m de portee l ibre pour lacouverture dustade dePoit iers et les 102 m de portee l ibre du

hall d' Avignon.

Les poutres sont const ituees de lamelles d'epaisseurs inferieures it 50 mm, collees et

raboutees pour former des elements de hauteurs et longueurs souhaitees,

Les epaisseurs des poutres sont de85 mm, 110mm, 135 mm, 160 mm et 190 mm. La largeur

ne depas se pas 8 fois l'epaisseur.

Les por tees des poutres droit es peuvent al le r jusqu' a 35 m et sont plus l imi tees par des

raisons de transport que de fabrication.Le bois massif et Ielamelle colle ont une tres bonne resis tance au feu, contrairement it ce

que l 'on pourrai t croire, du fai t que lacouche exterieure carboni see sert de protect ion pro-

visoire. Ainsi , pour des resineux, on peut est imer une diminution d'epaisseur de bois egaIe

it 0,6 it 0,7 mm par minute et par face au feu .

10.2. Reglements de calcul

En attendant la parution de l 'Eurocode 5 et des normes europeennes I 'accompagnant, les

regles en vigueur sont les Regles CB 71 [28] qui uti lisent la notion de contraintres admis-

sibles.

Reglements it venir :

- l'Eurocode 5, qui sera repris comme norme francaise (contraintes caracteristiques, etats-

limites ultime et etats-Iimites de service) ;

- la norme NF B 52-001 it paraitre en 1993 (contraintes caracteristiques et contraintesadmissibles) ;

- la norme europeenne EN TC 124-207 pour le lamelle col le qui se ra une future norme

francaise.

Les fleches admissibles en ELS sont (CB71) :

- 1/300° de la portee sous l 'act ion des seules charges permanentes ;

- 1/150° de la portee sous l 'act ion de l 'ensemble des charges .

737



10.3. Caracteristiques mecaniques Contraintes en MPa

10.3.1. Bois massifs

Reglement EssenceCat. ou Compr.

FlexionTraction Cisail.

classe axlale axiale longlt.

NFB 52-001 (mars 1946) chene I 10 12 13 1,5

(contraintes admissibles) II 10 11 12 1,5

III B B,5 9 1,2

resineux I 10 11 12 1,5

II 9 10 11 1,5

III 7 7,5 B.

Regles CB 71, - , '

chene I 13,6 14,7 16,4 2,2

(contratntes admissibles II 10,9 12,5 9,B 1,6

pour les regles generales) III 9,B 10,9 · 1,3

reslneux I 13,1 14,2 15,2 1,6

II 10,3 10,9 B,7 1,3

III B,2 B,7 · 1,1

lam. colls I 14,4 15,6 16,7 1,2

II 11,3 12 9,6 1,2

(contraintes admissibles chene I 12,5 13,5 15 2,0

pour les regles slmplitlees) II 10 11,5 9 1,5

III 9 10 · 1,2

reslneux I 12 13 14 1,5

II 9,5 10 B 1,2

III 7,5 B 1,0

NF B 52·001 chene 1 33,4

(projet decembre 1992) 2 2B,4

(resist. caracteristiques) autres C30 30

( " " ) C22 22

C1B lB

(contraintes admissibles) chene 1 13,6 14,7 16,4 2,2

2 10,9 12,5 9,B 1,6

autres C30 11 13,2 B 1,3

(.) C22 10 10 6 1,0

C1B B B 5 O,B

Bureaux de controle lam. cells I 12 14,5 12 1,3

(contraintes admissibles) II 11,3 12 9,6 1,2

Projet norme europesnne lam. colle GL24 23 24 20 2,B

ENTC 124-207 (2B/9/92) GL2B 25 2B 23 2,B

(resist. caracterlstlques) GL32 27 32 25 3,0

GL36 29 36 2B 3,5

GL39 31 39 30 4,0

GL42 33 42 32 4,2..

( .) Classes 18et 22 seulement pourpm notr, classe 18seulement pour pinmaritime, classes30 et 18seulementpour peupliers.(••) La resistance caracteristiqus est a multiplierpar Iecoefficientkh pour lesboismassils de hauteuret largeur inte·rieures a 150mm,aveckh - Min [150/h) 1/3 ; 1,3] .

On peu~admettre les relations suivantes pour determiner la contrainte admissible'- contra~nte adm!ss!ble = resistance moyenne /2,75; .

- con~amte ,a?Ill1ssIble = resistance caracteristiqua /2,275.

De meme, resistance caracteristique = 0,83 x resistance moyenne (0,83 = 2,275 / 2,75).

Modules d'Young

Essence Classe Module Poidset poids volumiquesd'Young volumique

MPa kN/m3

Projet norme europeenna lamelle cone Gl24 10000 340EN TC 124-207 (28/9/92)

Gl28 11000 360(resistances caractertstlqussj

GL32 12000 380

GL36 12500 410

GL39 13500 430

GL42 14500 460

NF 8 52-001 sapln-epicaa C30 12000 460(projet decembrs 1992)

C22 11 000 340

C18 10000 320

douglas C30 12000 460

C22 11000 400

C18 10000 380

pin sylvestre C30 12000 610

C22 11000 400

C18 10000 400

pin laricio C30 12000 510de corse C22 11000 400

C18 10000 400

pin noir C22 11000 400

C18 10000 400

pin maritime C18 10000 400

peuplier C30 12000 405

C18 10000 320

chene 1 12000 800

2 11200 750

738739



10.3.2. Contreplaque [24J

Module d 'Young :4000 MPaClasses Teneur en humidit e Pour les r esineux, cela cor respond

de service de I'air a 20° C a un taux d'humldite du rnateriau

1 < 65 % (*) < 12 %

2 < 85 % (*) <20 %

3 >85 % >20 %

Contrainte admissible (MPa) Compr.Flexion Traction

Cisail. longit.xiale axialePin maritime

8 12 8,5 2,5in oregon

Bouleau pur 8 11 8,5 2Okou rne (et autres bois tropicaux 12 16 15 3tendres) 5 10 7 2

(0) q u e p e nd a nt q u el qu e s s e rn ame s a u c o ur s d e I a n n es

Classes de duree de chargeOrdre de grandeur curnu le de

Exemple de chargedurse de charge caracteristlque

Permanente p lus de 10 ans poids propre

Long terme de 6 mois a 10 ans charges imposees

Moyen terme d'une semaine a 6 mois charge de neige (*)

Court terme moins d'une semaine neige et vent (*)

Instantane - charge accidentelle

10.3.3. Panneaux departicules [24J

Formats;longueurs largeurs

- standards1 ,80 m a 4, 10 m 0 ,80 m a 1,85 m- e lements uslnes pour p lancher 1 ,50 m a 3,05 m 0 ,60 m a 0 ,95 m

Epaisseur (mm) 12 16 /18 19/ 22 25 30 35 40 45 50

Masse volumique (kg/m3)

710 a 620 680 a 580 650 a 550 550 a 470Resistance moyenne it la rupture I In f lexion (MPa) 20 19 17 14 12 10Module d'Young (GPa)

3 2,5 2 /1,5

(0 ) depend des c ondi ti o ns l o ca l es

Classe de duree de charge

ClassePerma Long Moyen Cou rt Ins tan-

Val eurs de kmod de-nente terme terme terme tans

service

1 0,60 0,70 0,80 0,90 1,10

Bois massif, larnelle, contreplaque 2 0,60 0,70 0,80 0,90 1,10

3 0,50 0,55 0,65 0,70 0,90

Panneaux de particu les selon prEN 1 0,40 0,50 0,70 0,90 1,10312-6(* ) et - 7, OSB selon CEN/TC 2 0,30 0,40 0,55 0,70 0,90

3 - - - -12 .107, g rades 3 et 4 -

Panneaux de particu les selon prEN 1 0,30 0,45 0,65 0,85 1,10

312-6(* ) et - 5, OSB selon CEN/TC 2 0,20 0,30 0,45 0,60 0,80

3 - - - -12 .107, grades 2 (* ), panneaux de -fibres selon prEN 622-2 (emploi

exterieur)

Panneaux de f ibres selon prEN 622-

1 0,20 0,40 0,60 0,80 1,10(emploi lnterieur et exterleur), pan-

2 - - - -eaux medium de prEN 622-3 -3 - - - -emploi exterleur humide ou pro- -

tege), panneaux de f ibres fabrique~

a sec selon prEN 622-5 (ernploi

exterieur humide ou protege)

"

10.4. Calculs suivant l 'Eurocode 5

On admet un comportement elastique du materiau jusqu'a la rupture, meme en ELU(§3.1.4).

Les combinaisons d'act ions sont ceUes de tous les Eurocodes ;

- combinaisons fondamentales et accidentelles en ELU,

- combinaisons rares , frequentes et quasi permanentes en ELS.

Les verifications portent sur les soIIicitations des elements; moment, effort tranchant, effortnormal, ainsi que sur les assemblages.

10.4.1 . Contrainte de calculfd en ELU

La verificat ion, en flexion simple dans un seul plan, est lasuivante (J ~ fd .

Pour des poutres non raidies au deversement, ou bien pour des poutres it ames minces, i lconvient de faire des verifications particulieres (voir l'Eurocode 5).

(J = contrainte maximum de calcul en flexion en supposant un diagramme linea ire des con-traintes

fd = k m o d i t / " 1 m avec;

k m o d = facteur de modification, fonction de la duree des soIIicitations et de I'humidite, voirci-dessous

it = resistance caracteristique du materiau (voir ci-dessus)

"1 m = coefficient partiel pour 1apropriete du materiau = 1,50 pour les combinaisons fonda-mentales et = 1,10 pour les combinaisons accidentelles.

(0) N e p e uv e nt E lt re u t il is es e n c la s se d e s er vi ce 2

10.4.2. Calcul des deformations en ELS

La combinaison de calcul des fleches est ;

L GkJ + Qk.1 + (L \f I .i Q k , ;) avec i> 1 . " . , , n

La deformation finale ufm est calculee en fonction de la,defo~e~ lns .tant:ee u ~ n s det d~ )coefficient kdefqui depend du temps dechargement etde I humidite (VOlt ta eau ci- esso

Ufm = Uinst (1 + kdef)

740741



Le calcul de fleches doivent tenir compte des glissements des assemblages.

Les fleches l imites sont :

- 1 I 3000 de laportee pour les f leches dues aux charges tempora i res

- 1 I 2000 de laportee pour les fleches finales.

Classe de duree de charge

ClassePerm a- Long Moyen Court

Va leu rs de kdef de

servicenente terme terme terme

1 0,80 0,50 0,25 0,00

Bois massif(*) et lame lie cells 2 0,80 0,50 0,25 0,00

3 2,00 1,50 0,75 0,30

1 0,80 0,50 0,25 0,00

Contreplaque 2 1,00 0,60 0,30 0,00

3 2,50 1,80 0,90 0,40

Panneaux de particules selon prEN 312-6(**) 1 1,50 1,00 0,50 0,00

et -7, OSB selon CEN{TC 112.107, grades 3 2 2,25 1,50 0,75 0,30

et 4 3 - - - -

Panneaux de particules selon prEN312-4(**) 1 2,25 1,50 0,75 0,00

et -5, OSB selon CEN{TC 112.107, grades 2 3,00 2,00 1,00 0,40

2(* *) Panneaux de f ibres selon prEN 622-2 3 - - - -(emploi exterleur)

Panneaux de fibres selon prEN 622-2

(emploi interieur et exterieur), panneaux 1 3,00 2,00 1,00 0,35

medium de prEN 622-3 (emploi exterieur 2 - - - -humide ou protege), panneaux de fibres 3 - - - -tabrlques a sec se lon prEN 622-5 (emploi

exterteur humide ou protege)

.) Pour les bOISmassi fs qur sont P?ses a une hum ld lt e p roche de lasa tu ra ti on , e t s on t des ti nes a secher sur place,

l ava leur de kdef dol t norma lement e tr e auqrnen tee de 1 ,0 .

( ") Ne peuvent e tr e u ti li ses en c lasse de servi ce 2 .

10.4.3. Verification de l'effort tranchant en ELU

Pour des poutres non entai llees, on verif ie ra : 'td = 1,5V I ( b h ) $./v,d

10.5. Exemple numerique

Soit une poutre de couverture en lamelle colle d'un ensemble commercial de 20 m deporteeentre axes d 'appuis, recevant les charges suivantes :

- etancheite multicouche 0,12 kN/m2

- panneau de particules de bois 0,16 kN/m2

- solivage et pannes 0,22 kN/m2

- i solation thermique 0,07 kN/m2

- faux plafond 0,07 kN/m2

Total hors poids propre = 0,64 kN/m2

742

Pour un espacement de 6 m, on trouve une charge permanente hors poids propre au metre

linea ire de 0,64 X 6 = 3, 84 kN/m, que nous arrondissons a 3,9 kN/m pour terur compte du

poids propre de la poutre. ,.' ,.L a charge de neige en region 2 (voir chapit re 3 , a rt. 3) a moms de 200 me tr es d al ti tude,

pour une pente inferieure a 150, vaut : S = I- l So = 0,8 X 0,55 = 0,44 kN/m2•

Ainsi:

g = 3,9 kN/m

q = 6 X 0,44 = 2,64 kN/m

Mg = g L2 1 8 = 3,9 X 202 1 8 = 195 kNm

M, = 2,64 x 400 1 8 = 132 kNmMELS

= M, + M, = 32?'kNm

MELU

= 1,35 M, + 1,5 M, = 470,7 kNm

10.5 .1 . Calcul suivant les CB 71

Retenons un bois lamel le col le de categorie II, la plus courante. La contrainte admissible

(suivant bureaux de controle) est de 12MPa en flexion.

Le module d'inertie necessaire doit etre superieur a :If v ~ MEI-sI (J = 0,327 I 12= 0,02725 m3 = b h

2 /6 d' ou h = 1 ,10m pour b = 0,135 m

Nous retiendrons b = 0,135 met h = 1,10 m (on verif ie bien que Ierapport h I b ne depasse

pas 8).

La f le che vaut :/ = 5 p L4 I (384 E 1) avec:

L=20m

E = 12000 MPa1= b h3 112 = 0,135 X 1,13 112 = 0,01497 m"

soit sous charges permanentes :/g = 5 x 3,9 X 204 I (384 x 12000 X 0,01497)

= 45,2 mm = LI 4420 < LI 3000

OK

et sous charges totales :/g+q = (3,9 + 2,64) I 3,9 X 45,2 mm= 75,8 mm = L/ 264

0< 11150

0

10.5.2. Calcul suivant l 'Eurocode 5

Pour du lamele colle de la categorie GL32, on a une contrainte caracteristtiqueft = 32 MPa

en flexion et 3 MPa en cisaillement longitudinal.

Flexion en ELU

Classe de duree de charge (neige) :moyen terme

Classe de service : 2 (en Bretagne)

Contrainte de calcul en flexion :/d = kmodf t I "f m avec:k mo d = 0,80

"f m = 1,5/d = 0,8 X 32 /1,5 = 17,07 MPa

Contrainte de flexion: (J = M / (If v)

Le module d'inertie necessaire doit etre superieur a :I/v ~ M

ELUI (J = 0,4707 1 1 7 , 0 7 = 0,02757 . rr ' = b h 2 16 d'ou h = 1 ,10m pour b = 0,135 m

On trouve les memes valeurs qu'avec les Regles CB 71.

743



Effort tranchant ELU

~~o~/ ranchant : V ==1,35 g + 1,5 q) L 12 ==1,35 X 3,9 + 1,5 X 2,64) 201 2 ==92 25 kNl~al ement: 'rd ==1,5 X 92,25 1 (0,135 X 1,1) ==932 kN '

sor t : 0,93 MPa <h .d ==m o d i t 1 1 m ==0,8 X 3 1 1,5 ==1,6MPa OK

Fleche ELS

La fleche vautj"» [5p L41 (384 E I») (1 + k ) avec.L==20 m def .

E ==12000 MPa (pour du GL32)

1 = = b h3

1 12 ==0,135 X

lY1 12 ==0,01497 m"

kdef ==0,8 sous charges de poids propre seules (classe de service 2 et cornbin .nente) arson perma-

kd:f ==0,25 sous combinaison moyen terme (poids propre + neige)

soit sous charges permanentes :/ g ==1,8 X 5 X 3,9 X 2041 (384 X 12000 X ° 01497)==81,4 nun ==LI 246° < LI 200° OK '

et sous charges totales : / g + q ==1,25 X 5 X (3,9 + 2,64) X 2041 (384 X 12000 X ° 01497)==94,81nun==L/211°> 1/3 00 0 ,

II conviendrait, soit d'imposer une contrefleche it la outre lors d f bricati . ,menter sa hauteur de (300 /211)(1 /3) done 1 24 m a u fl·e d 1 10 e sda a

hncation, ~oltd aug-

t t fl' h . ' , u e, m e auteur, soit d'accep-er ce te ec e sous charge de neige en cas rare.

10.6. Plancher mixte bois-beton

D~ la meme facon que l 'on rea li se des planchers mixtes acier -be ton avec des out res ea~le. ret des dalles decompression en beton, Ieprecede (brevete par Paris-Ouest{ ermet d~

realtser des pl~nche~s avec poutres en bois et dalle en beton rendus solidaires p~ d _necteurs en acier (Flg.56). es con

SCHEMA DE PRINCIPEDaile compression beton

Complexe standard

(possibilite additif

thsrmique)

Mur

Sur l isss bois ou murai llere Complexe acoustique

(en option.

voir ci·dessus)

Fig.56 - Proced« Paris-Ouest de plancher mixte tots-teton

744

Les por tees sont de2 m it 12m.

La dal le beton est coulee sur des panneaux en boi s qui peuvent compor ter un complexe

acoustique.

La s tabili te aufeu est d'une demi-heure pour une epaisseur depoutre de 110 nun etde une

heure pour 135 nun.

Le calcul est effectue en considerant Iebeton conune resistant it la seule compression avec

un coef fic ient d 'equivalence dependant des modules d'Young des deux materi aux qui

varient tous les deux selon la duree de chargement.

...

11. CALCUL DE LAFLECHE D'UN PLANCHER

Le calcul d'un plancher est effectue pour chaque element du plancher.

Ainsi , la fleche totale au milieu d'une dalle appuyee sur deux cotes est egaIe it la fleche de

la dalle proprement dite, augmentee de la fleche des poutres qui la supportent.

On distinguera le cas des dalles ou poutres en materiau non fissure (acier, aluminium, beton

precontraint, bois) de celui du beton arme ou le moment d'inert ie est fortement diminuee

par l'ouverture des fissures.

Pour certainns materiaux (beton, bois) susceptibles de fluer sous chargements de longue

duree, on devra tenir compte de la deformation differee de fluage.

Comment calculer Po ut re o u d al le p o rt an t Da i le por tan t

la fleche? dans une d i re c ti o n dan s deux d ir e ct io n sM e ta l, b o is o u b et on F orm ul es d e ROM, v oir C ha pit re 1 Programmes « NAVIER»precontraint e t F or m ul ai re c ha pi tr e 2 et « D AL LR EC T »

Be ton a r rn e Programme « FLECHE2 » Vo i r c l -apres

Pour Ie ca lcul de la f leche d 'une dal le en beton arme appuyee sur qua tre cotes, on peut

calculer la fleche de ladalle non-fissuree supposee appuyee sur deux cotes par les methodes

de la RDM puis appliquer au resultat obtenu un coefficient egal au rapport :

fleche de la dalle non-fissuree appuyee sur quatre cotes

fleche de la dalle non-fissuree appuyee sur deux cotes

On t rouvera une formule approchee donnant la valeur de ce rapport dans Ie chapi tre 3 ,

article 7.2.1.

11.1. Calcul de la fleche d'une poutre

La deformation d'une poutre flechie est obtenue par double integration de la formule clas-

s ique de la Resis tance des Materiaux (chap. 1, eq . 12) :M 1

y" = EI = rDans cette formule, M represente Ie moment flechissant applique it lasect ion etudiee, E Ie

module de deformation longitudinal, dit module d'Young et r Ie rayon de courbure de la

deformee.

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La va!eur du moment d 'ine rti e I est d if fe rente suivant que la sec tion est f issuree ou non-fissuree.

11.1.1. Section non-fissuree

Le momen~ d'inert ie de l~section ~st calcule en section homogene, c 'est-a-dire en section

brute du beton augmentee de n fois la section des aciers. Le coefficient d'equivalence n

rapport des modules de l 'acier et du beton, est forfaitairement pris egal a 15. (n = E / E ) ,1 M nM s b

La courbure vaut alors - = -EI =-

r b EIs

Pour ~ne charge p appliquee a une travee de portee L, encastree avec des moments M al 'appui gauche et M2 a I'appui droit, Ie moment flechisssant a I 'abscisse X vaut : IM(X) = 0,5 p X (L - X) + MI (1 - X / L) + M2X / L

Le moment d'inert ie d'une section en Te, avec aciers tendus As etcomprimes A' est donnepar : s

bv3 bo(h-v)3 (b-bo) (ho-v)3

I= -3 + 3 Ad 2 23 +n -v) +nA'(v-d')

ou la valeur v.re~rese~te la distance du centre de gravite de la secti'Onhomogene a la fibrela plus compnmee (Fig.57).

boh2/2 + (b - bo) h~/2 + n (Ad + A' d')

v =boh+ (b-bo)ho+n(A+A')

b

-I- -d'

bo

VO

h

Fig.57 - Section en Te non tlsssuree

Pour une section rectangulaire b x h, sans acier comprime, on obtient :

bh2/2 + nAd bv3

bh+nA et I=TnA(d-v)2=

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11.1.2. Section fissuree

La courbure est determinee en prenant en compte:

_ le coefficient d'equivalence n = E, / Ebavec E, = 11000 V J ; ; ; , pour les charges de courte

duree et le t iers de cette valeur pour les charges de longue duree,_ le racourcissement du beton sur lafibre la plus comprimee : £b'

- l'allongement de l'acier £s'

_ la dis tance entre l 'acier et la fibre de beton la plus cornprimee :

£s + £b

~n =deter~ine la posit ion oducentre de gravite de la section fissuree homogeneisee (fibre

neutre) par sa distance x a la fibre debeton la plus comprimee [6] .

La valeur x est racine de l 'equation du deuxierne degre : 2

bo x 2 j2 + [n A + n A' + (b - bo) ho]x - n A d - n A' d' - (b - bo) ho /2 = 0

Le moment d'inert ie est donne par:

bx3[ (x - ho) 3 l 2

I=T-Max (b-bo) 3 ;OJ+nA(d-x)2+nA'(x-d')

Le racourcissement du beton vaut : £b =

(Jb xM=

Eb = EbI

nM(d-x)

L'allongement de l 'acier vaut : £s = E, = E Is

1 £s + £b

La courbure est alors egaIe a r = d

It28 .

Cette derniere valeur peut e tre diminuee for fa ita irement de 2E P pour terur compte de Ias J

resistance du beton a la traction entre deux fissures, a condition que Iepourcentage d'acier

PJ soit limite a (BAEL, art. A.4.6.12) :

A 1 mPJ = bd sa

o I s

avec d, = maximum de 0,3 d et de 2 ( h - d' ).

Remarque

Dans Iecas de section rectangulaire sans acier comprime, on obtient :

bx2/2+nAx-nAd=0

bx

3

Le moment d'inert ie est donne par: I= TnA (d - x) 2

11.1.3. Rotation etfleche

La rotat ion est alors calculee par integration de lacourbure et lafleche par integration de Ia

rotation entre les abscisses 0 et X :

x x

ffi(X) = J(I1r)dX+ffio I (X) = J ffidXo o

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plancher

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