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PHY6505: Physique de la matière condensée Cours 4

Conséquences du potentiel périodique faible

et Liaisons fortes

François Schiettekatte Université de Montréal

Automne 2010

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Sommaire -  Conséquences du potentiel périodique

faible -  Équivalence -  Bandes en 1D -  Bandes en 3D -  Zones de Brillouin -  Facteur de structure

-  Méthodes de calcul: -  Liaisons fortes

€

n, k + K ⇔ n',

k

2

Équivalence

€

n, k + K ⇔ n',

k

€

Ψn, k + K

( r ) = ei( k + K )⋅ r u

n, k + K

( r )

= ei k ⋅ r ei

K ⋅ r

périodique avec R

un, k + K

( r )périodique avec

R

périodique avec R

= ei k ⋅ r u

n ', k ( r ) = Ψ

n ', k ( r )

Remarque 2) k peut être n’importe quoi mais peux toujours être ramené à la première zone de Brillouin

€

u0,k+K (x) =1, K = 2π /a

Ψ0,k+2π / a (x) = ei(k+2π / a )⋅x ⋅1

= eikxei2π x / a ⋅1= eikxu1,k (x), u1,k (x) = ei2π x / a

= Ψ1,k (x)

Exemple en 1D:

€

ε0,k+K =

2m(k + K)2 = ε1,k

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Bandes en 1D   dégénérescence = 2   dispersion e- libre ε~k2   splitting selon

  bande réduite   Décalage

tel que |k| < K/2   utilisation de n   permettra e.g. absorption

de photons

0 K/2 K 3K/2 0 K/2

€

2U K

n=1

n=2

n=3

ou

k < K/2 k

€

ε =ε

k 0 + ε

k −

K 0

2±

ε k 0 −ε

k −

K 0

2

2

+ U K

2

ε

€

2U K

Remarque 4) car solution qui ont même k mais ε différente

On pourrait noter

€

Ψn, k

= Ψ k + K n

€

εn, k + K

= εn ', k

€

k '= k + K

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Bandes en 3D: BCC

  Points   Γ (k=0)   H, P, N

  ε(k) le long des axes entre chaque points

  Dégénérescences nombreuses et multiples dues aux symétries

Sources: -  www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/semi_en/ -  cst-www.nrl.navy.mil

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Bandes en 3D: FCC

  Points   Γ (k=0)   X, W, K, L

Sources: -  www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/semi_en/ "from Hummel’s book" -  cst-www.nrl.navy.mil

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Zones de Brillouin

kF

kF

0 K/2 n=1

n=2

n=3

k < K/2

ε

  1e zone: ensemble des pouvant être atteints à partir de sans traverser un plan de Bragg

  correspond à une construction de Weigner-Seitz dans le réseau réciproque

  http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/brillouin_zones/printall.php

  surface ε(k) constante perpendiculaire au plan de Bragg: recourbement

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Zone

s de

Bril

loui

n: F

CC

W

alte

r A. H

arris

on, P

hys.

Rev

. 118

, 119

0 (1

960)

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Facteur de structure

  Si   pas de pic XRD   pas de gap (pot.

périodique faible)

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Liaisons fortes

 Approche opposée au potentiel périodique  On considère des atomes neutres qui

interagissent faiblement  On évalue l’effet du recouvrement des orbites   pour la plupart des e-  Exemple: Na

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Liaisons fortes

Sources: -  miranda.chemistry.mcmaster.ca/esam/Chapter_5/section_1.html -  www.uwgb.edu/dutchs/PETROLGY/ScaleAtomsHeKr.HTM

Na

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Liaisons fortes

 Approche  Représenter des fonctions d’onde par une

combinaison linéaire d’orbitales atomiques   LCAO   Orthogonales entre elles   On considère aussi le théorème de Bloch

  En principe facile car

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Liaisons fortes

 Soit   si   que   ou que   alors est aussi solution de H

 Bloch:  Pour N atomes

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Liaisons fortes

 Si est petit quand devient appréciable on peut écrire

 Si , on peut le calculer comme une expansion de fonctions orthogonales qui convergent rapidement (LCAO, fonction Wannier)

  …tableau

(a)

(b)

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Liaisons fortes

 Donc petit si bm ne l’est pas et vice versa   Soit E0 un niveau atomique

sauf ceux pour lesquels Em≈ E0   Pour les termes à droite de (c), on peut donc n’inclure

que les niveaux avec Em≈ E0   Méthode de solution:

  On part d’une certaine fonction   (c) donne une équation par niveau s, 3 par niveau p   On solutionne pour trouver les bm   On remet dans   … jusqu’à ce que ça converge

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Liaisons fortes

 Exemple: bande s venant d’un niveau atomique s   Tous les bm nuls sauf ceux du niveau s d’un atome

  Orbitales s:   symétrie et réel    

€

ε k

= Es −

− d r ∫ ΔU( r )φ( r ) 2β

+ − d r ∫ φ*( r )ΔU( r )φ( r − R )( )

γ

ei k ⋅ R

R ≠0

∑

1+ d r ∫ φ*( r )φ( r − R )

α

ei k ⋅ R

R ≠0

∑(c) →

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Liaisons fortes

  et sommation sur premiers voisins seulement   Tous les bm nuls sauf ceux du niveau s d’un atome

  FCC   12 voisins:   soit

  a la même symétrie que le réseau   dépend seulement de r, le même pour 12 voisins

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Liaisons fortes

  γ : intégrale de recouvrement   largeur de bande grande quand recouvrement grand   associé à des électrons peu liés

  Soit ka petit, et

    surface d’iso-énergie sphérique près de k = 0   indépendant de la direction de

€

cos kxa2 ≈1− kxa2( )

2

0 1/r