philosophie générale des mathématiques : théorie des ...merker/philosophie/2012/essai.pdfnon...
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UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT (Paris 7)
École doctorale « Savoirs scientifiques » [ED 400]
Doctorat « Épistémologie, Histoire des Sciences & Techniques »
Joël M E R K E RProfesseur des universités
Département de Mathématiques d’Orsay
Bâtiment 425, Faculté des Sciences, F-91405 Orsay Cedex
www.math.ens.fr/∼merker/[email protected]
Philosophie générale des mathématiques :Volume I
Techniques et métaphysiques de l’Irréversible-synthétique
Problème de Riemann-Helmholtz-LieVolume II[
Théorie des groupes continus de transformationsVolume III
(d’après l’œuvre de Sophus Lie et Friedrich Engel)
Thèse dirigée par M. Jean-Jacques S Z C Z E C I N I A R ZSoutenue le 3 janvier 2012
JURY
M. DANIEL B E N N E Q U I N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIVERSITÉ PARIS 7M. JOCELYN B E N O I S T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIVERSITÉ PARIS 1M. PIERRE C A R T I E R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IHESM. PHILIPPE N A B O N N A N D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIVERSITÉ NANCY 2M. DANIEL P A R R O C H I A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIVERSITÉ LYON 3M. JEAN P E T I T O T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÉCOLE POLYTECHNIQUEM. JEAN-JACQUES S Z C Z E C I N I A R Z . . . . . . . . . . . . . . . . .UNIVERSITÉ PARIS 7
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à Werner SCHWEIZERà Gilles CHÂTELETà Jean-Pierre SÉRISà Claude MERKERà Jean MERKERà Françoise PANIGEONà l’É C O L E N O R M A L E S U P É R I E U R E
—————–Cela constitue précisément le travail infini de l’esprit que de s’arracher de son être-là immédiat, de son heureuse vie naturelle pour aller vers la nuit et la solitude dela conscience de soi, et, par ses propres forces, de reconstruire intellectuellementl’intuition et l’effectivité qu’elle a séparées de soi. La philosophie ne ressortit pas ausomnanbulisme, elle est plutôt la conscience la plus éveillée, et son éveil successifest précisément cette élévation de soi-même au-dessus des états d’unité immé-diate avec la nature — une activité de s’élever et un travail qui — parce qu’il seprésente comme différenciation constante de soi-même pour restaurer enfin l’unitégrâce à l’activité de la pensée — tombe dans le temps en son cours, et même dansun temps fort long.
J’ai dit au commencement que notre philosophie n’est pas autre chose que le ré-sultat du travail de tous les siècles ; il faut savoir, quand on est frappé d’un tempssi long, que cette longueur de temps a été utilisée pour acquérir ces concepts —non tant jadis que maintenant. Il faut savoir en général que l’état du monde, d’unpeuple, dépend du concept qu’il possède de lui-même ; le royaume de l’esprit n’estpas comme un champignon qui pousse en une nuit ; qu’il y ait eu besoin d’un tempssi long ne frappe que lorsqu’on ne connaît pas la nature et l’importance de la phi-losophie.
Pour ce qui concerne la lenteur de l’esprit du monde, il faut méditer qu’il n’a pas àse presser, qu’il a suffisamment de temps — mille ans sont pour toi comme un jour[cf. Psaume 90, 4] —, il a suffisamment de temps précisément parce qu’il est lui-même en dehors du temps, parce qu’il est éternel. L’esprit du monde ne se bornepas à avoir suffisamment de temps ; ce n’est pas seulement du temps qu’il faututiliser pour se procurer un concept, cela coûte également autre chose — le faitqu’il utilise pour ce travail de nombreuses espèces humaines et de nombreusesgénérations, qu’il fait une dépense énorme d’apparitions et de disparitions, celalui importe peu ; il est suffisamment riche pour une telle dépense, il réalise sonœuvre en grand, il possède assez de nations et d’individus à dépenser. C’est uneproposition bien triviale : la nature parvient à son but par le plus court chemin —certes, mais le chemin de l’esprit est la méditation, le détour ; du temps, de la peine,de la dépense — de semblables déterminations de la vie finie, il n’est pas questionici.
G.W.F. HEGEL, Leçons sur l’histoire de la philosophie, [208], p. 208.—————–
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Volume IPhilosophie générale des mathématiques :
Techniques et métaphysiques de l’Irréversible-synthétique
Table des matières
Chapitre 1. L’Ouvert mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191. Le réel de l’Ouvert : Argument, synopsis, intentions . . . . . . . . . . . . . . 19
L’Obscur mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Penser en situation le non-pensé de l’ouverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
L’héritage français de philosophie des mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Diffusion, dissémination, diffraction d’un Ouvert objectivable . . . . . . . . . . . 21
L’Ouvert posé dans des univers axiomatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Potentialité et expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
L’Ouvert intersubjectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Thèse du réel de l’Ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Les obscurités du travail inachevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Le Voir de l’Ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
L’ouverture désorientée totale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
La pensée disparaissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Le métaphysique dans les mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Discussion intercalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Avertissement terminologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Interprétation inappropriée de mysticisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Appréhension dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Conserver la trace du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Choisir un style de discours sur l’Ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Métaphores lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Limites du discours didactique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Proximité de la parole poétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Arbres mathématiques, mathématiques luxuriantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Questions gromoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Thèses sur l’Ouvert et sur le principe de non-savoir . . . . . . . . . . . . . . 33
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Axiome d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Principe de non-savoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Thèse générale de mobilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Suspension et volonté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Indices d’ouverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Comment l’Ouvert est-il ouvert ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Nouvelle thèse postulée sur l’Ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Le sujet idéalement réceptif à l’Ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5. Insuffisance de l’épistémologie du Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Magnétisme de l’a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Cavaillès et le problème du fondement des mathématiques . . . . . . . . . . . . 38
Il n’y a pas d’auto-mouvement des mathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Subsumer les mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Retour sur les nécessités internes a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6. Figures allégoriques de l’Obscur, du non-voilement et de la vérité . 45Métaphores terrestres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Nécessité des allégories de la connaissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
L’allégorie de la caverne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Théorie de la vérité et du non-voilement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7. Indécision de la position d’hypothèses et construction du vrai . . . . . 47Grothendieck bâtisseur de maisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Schéma de l’indécision de la position d’hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Dynamique de l’éclaircissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Généralités sur l’herméneutique, en philosophie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
L’herméneutique indécise de la position d’hypothèses, en mathéma-tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Approfondir les interstices d’un enchaînement d’hypothèses . . . . . . . . . . . 52
8. Bilan et résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Les mathématiques comme Recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Résumé théorique intercalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Chapitre 2. Exigence abstraite, satisfaction abstraite, Inconscient mathéma-tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1. Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Quadrilogie fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Organisation rhétorique et théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2. Difficultés liminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59La spécialisation : obstacle à la pensée des mathématiques ? . . . . . . . . . . 59
Premier doute quant au transfert des catégories psychanalytiques dansles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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La métaphysique silencieuse de la satisfaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3. Prospection préliminaire des attentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
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4. Attentes et dominations externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Deux écueils dialectiques « duals » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Le concept contre la conscience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Ce qui se joue en nous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Le désert de la psychologie des sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Scepticisme de principe à l’égard de la psychologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Abondance de dominations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Illuminations subliminales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5. Formulation abrégée de ces attentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656. Un exemple : analyse de l’« inconscient » par Gauss et triomphe
structuraliste de l’a posteriori du concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
La construction du polygone régulier à dix-sept côtés à l’aide d’une règleet d’un compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Un exemple d’ingéniosité arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Les structures : raisons cachées de la réussite de la méthode ? . . . . . . . . 68
Conclusion dogmatique provisoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Vers une thèse négative sur le génie ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Premières objections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7. Kant, les facultés et la théorie du génie dans la critique de la facultéde juger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Deux facultés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Le génie selon Kant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Félix Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Remarque intercalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8. Thèses négatives sur le génie, refoulement de l’inconscient et privi-lège des méthodes structurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Thèses de philosophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
L’étalon des mathématiques structurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Obstructions à une psychanalyse mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Résumé et conclusion : la raison philosophique contre les mathémati-ques génétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
9. Critique forte du structuralisme triomphant à l’aide du paradoxede l’a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Retour sur le premier écueil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Nécessité d’un renversement partiel et d’un relèvement . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Les profondeurs de ce qui cherche à se dire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10. Redressement de l’argumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Objection galoisienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Hasard et force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Permanence de l’infralinguistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Le primate du philosophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
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6
Satisfactions, pulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11. Pour une philosophie de la volonté mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . 7812. Introduction aux thèses principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Avertissement : candeur interrogative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
La sublimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
13. Présence de zones motrices infralinguistiques obscures . . . . . . . . . . . 79Thèse d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Scholie : rayonnement de l’infralinguitique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Pédagogie et métaphysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Nécessité de se cloîtrer hors du langage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Scholie : le don de solitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
L’intuition de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
14. Multiplicité et hétérogénéité des influences sur la pensée . . . . . . . . . . 82Thèse 4 et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
15. Intentionnalité rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Dynamique de la réalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Intentionnalité rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
16. La satisfaction mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Thèse 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Dialectique lautmanienne des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Effort de l’esprit et nécessité de réalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Contre l’opérativité logique constituante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
17. Conditions de possibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Thèse 8 ; exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Discipline de non-savoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
18. Éclaircir chaque question. Contempler des généalogies de pro-blèmes. Ne se satisfaire que de solutions complètes . . . . . . . . . . . . . . . .
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19. Portée et limites de l’inconscient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Effusions d’incohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Béance des questions simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Questions déterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
La méthode générale d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Motifs de la méthode axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
20. Conclusion : parabole de l’obscurité et de la confusion . . . . . . . . . . . . 89Mouvement abyssal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Prégnance des structures interrogatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Chapitre 3. Théorèmes d’existence, en mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921. Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922. Paradoxe de la notion d’être . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923. L’essence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
-
7
4. La critique par Leibniz de l’argument ontologique de Descartes . . . 945. La preuve ontologique cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966. Vers le dévoilement des synthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987. Schémas de genèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008. Les théorèmes d’existence vus par Albert Lautman . . . . . . . . . . . . . . . 1029. Les schémas de genèse de Lautman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10. La question pure d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10911. L’idée de déductibilité et les systèmes formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11012. Bilan et conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Appendice I. 13. Diagrammes philosophiques et résultats mathématiques . . . . . . . 118
Chapitre 4. Conjectures mathématiques, preuves mathématiques . . . . . . . . . . . . . 137Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Quel statut pour la proposition mathématique non démontrée ? . . . . . . . . 138
L’irréversible-synthétique en mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Insuffisances spéculatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Dérobade philosophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Liberté mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Conjectures expérimentales étrangères aux démonstrations rigoureuses 142
Inexactitudes et expressions inappropriées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Reprise sur le théorème des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Conjecture de Collatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
La maxime capitale de l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Libération par le contre-exemple ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Virtualités pérennes du principe de raison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Actifier la question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Conjecture de Proth-Gilbreath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Retour sur Wittgenstein : deux universalités incomparables . . . . . . . . . . . . 154
Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Conjecture de Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Calculs au front. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Digression sur la nature physique du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Dialectique a priori de l’existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Heuristique semi-rigoureuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Conjecture des nombres premiers jumeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Conjecture de Polignac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Écarts entre nombres premiers consécutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Fréquence des écarts entre nombres premiers consécutifs . . . . . . . . . . . . . 162
Métaphysique du « tout ce qui est possible se réalise » . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Raisonnement absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Maintien du fossé conceptuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Retour sur le théorème des nombres premiers ; doxas anachroniques . . 165
-
8
Permanence du provisoire et de la problématicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Démultiplication artificielle des énoncés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Arguments heuristiques en théorie analytique des nombres . . . . . . . . . . . . 169
Métaphysique des raisonnements heuristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Épilogue critique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Penser le calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Directions ouvertes de philosophie des mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Chapitre 5. Écriture mathématique, écriture littéraire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1721. Syncrétisme de l’idée-forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Deux préjugés de la pensée face au langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Inséparabilité de la Forme et du Contenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2. Micro-mécaniques du style . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Champs magnétiques perturbés de la microstylistique . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Acupuncture querelleuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Virtualités par maintien des indécisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Micro-corrections morphologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Exemple : démonstration de l’identité de Jacobi pour les algèbres asso-ciatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
Micro-commentaire de la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Exemples de pratiques de soulignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Insertion volontaire d’ingrédients intuitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3. Génétique du littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Élongation temporelle ; alentissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Mécanique du naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Compréhension et appropriation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Mobilisations neuro-moléculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Génétique des textes littéraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Hybridations, croisements, multiplicités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4. Sur les illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Illustration, ou non-illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Impossible codification des illustrations en mathématiques ? . . . . . . . . . . . 184
Écrire l’ignorance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5. Mathematics is amazingly compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Alchimie cognitive de la compréhension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Orchestrer les actes de pensée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Comment écrire ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Le réflexe du pourquoi et du comment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Principes, préconisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Appendice II. Insights Towards the Speculative Thought of Formal Computations 1891. Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902. Ideals of polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
-
9
3. The basic principle of Gröbner bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944. Speculative Intermezzo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965. Back to Gröbner bases : Dicskon’s lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996. Speculative Intermezzo bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047. Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068. Buchberger Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
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Partie I : Courbure de Gauss, formes différentielles, relativitéChapitre 6. Courbure des surfaces dans l’espace : le Theorema Egregium de
Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211
1. Présentation de la formula egregia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Définition géométrique de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Paradoxe remarquable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Méthodologie expositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
2. Courbes mathématiques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Filaments et trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Identification du continu et coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Trois saisies analytiques des courbes dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Dialectique de l’ontologie imprécise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Caractère intrinsèque de la représentation paramétrée. . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Équivalence locale entre les trois représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
3. Préliminaire sur les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Trois saisies analytiques des surfaces dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4. Courbures des courbes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Longueur d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Courbure des cercles et des droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Chaîne de segments rectilignes et courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Courbure des cercles via l’application de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Définition de la courbure des courbes quelconques dans le plan . . . . . . . 234
Cercle osculateur à une courbe en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5. Expression analytique de la courbure des courbes planaires . . . . . . . 237Vecteurs tangents et vecteurs normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Expression de la courbure en représentation paramétrée . . . . . . . . . . . . . . 240
Expression de la courbure en représentation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Deuxième preuve directe systématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Évanouissement intrinsèque de la courbure des courbes . . . . . . . . . . . . . . . 246
6. Opposition dialectique imprévisible du dimensionnel . . . . . . . . . . . . . 247Anticipation du Theorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7. Courbure des surfaces dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
-
10
Détermination du plan tangent à une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Vecteurs unitaires normaux à une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Transfert sur la sphère auxiliaire et orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Définition géométrique de la courbure de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8. Deux expressions extrinsèques de la courbure des surfaces . . . . . . . . 256Courbure des surfaces graphées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Prémices d’élimination différentielle systématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Courbure des surfaces en représentation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9. Genèse des Disquisitiones generales circa superficies curvas . . . . . . . . 266Cinq concepts novateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Lien avec un mémoire d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Chronologie sommaire de la genèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Débuts des Disquisitiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Le Preisschrift de 1822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Les Neue Untersuchungen de 1825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10. Action du principe de raison suffisante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Triangles géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Déduction du caractère intrinsèque de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Insatisfaction gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Raison suffisante leibnizienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Racine métaphysique du principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Mathématique du principe de raison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Exemple paradigmatique : la formula egregia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11. Caractérisation différentielle des surfaces de courbure nulle . . . . . . 286Équivalence à la métrique pythagoricienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Numérateur de la formula egregia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Factorisation par complexification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Relations différentielles systématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Complétion de la combinaison linéaire caractéristique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
12. Commentaire mathématique de la computatio egregia . . . . . . . . . . . . . 292Systématicité et complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Composantes du vecteur normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Transfert à la représentation paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Élimination du dernier bastion d’extrinsèque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Theorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13. Leçons de métaphysique gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Différer et mûrir, différer pour mûrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Maintenir en tension la recherche de vérités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Calculer est une vérité de la chose mathématique en elle-même . . . . . . . 307
Voir émerger des entités autonomes organisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Publier, ou ne pas publier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
-
11
Nihil actum reputans si quid superesset agendum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Le levier symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Die Gaussche Strenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Science et conscience coprésente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
L’impératif catégorique de la morale kantienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Impératifs catégoriques de la pensée mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Chapitre 7. Formes différentielles : Darboux, Frobenius, Cartan . . . . . . . . . . . . . . 3121. Métaphysique élémentaire de la différence infinitésimale . . . . . . . . . . 312
Tangente à une courbe tracée dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Dérivée approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Élément différentiel infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Accepter le langage infinitésimal classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Opérateur de différentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Métaphysique de la différence infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
2. Calcul différentiel à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Passage à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
3. Histoire des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Distribution d’hyperplans noyaux d’une forme différentielle . . . . . . . . . . . . . 322
Différentier des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
4. Géométrie du covariant bilinéaire de Darboux-Frobenius . . . . . . . . . 322Intégration des équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
La méthode de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Qu’est-ce qu’une forme différentielles intégrable ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Universalité et fécondité du partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Théorème de Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Brève métaphysique de l’invariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Les problèmes de classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Théorème de Darboux-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Le covariant bilinéaire de Frobenius, d’après Darboux. . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Opérateur de différentielle extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Lien avec le covariant bilinéaire de Darboux-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Torsion d’une connexion affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Réexpression dans la base définie par le repère mobile . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Courbure d’une connexion affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Chapitre 8. Sur les équations de la gravitation d’Einstein (d’après Élie Cartan) 3391. Résumé de géométrie riemannienne et équations de la gravitation . 339
Courbure de Gauss et variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Coefficients de courbure riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
Tenseurs, calcul tensoriel, dérivées covariantes des tenseurs . . . . . . . . . . 350
Théorème de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
-
12
Composantes du tenseur de courbure et ses symétries . . . . . . . . . . . . . . . . 354
Identités de Bianchi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Tenseur de Ricci et sa divergence covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Covariance de la forme quadratique de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Analyse fine de la covariance du tenseur de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Formes différentielles quadratiques covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Géométrie et physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
Équations de la gravitation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
Conditions auxquelles doit satisfaire le tenseur d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . 365
Théorème d’unicité d’Élie Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
2. Diagonalisation de la métrique pseudo-riemannienne . . . . . . . . . . . . . 368Diagonalisation de la pseudo-métrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Équations matricielles fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Base orthonormale mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
3. Équations de structure et courbure pseudo-riemannienne . . . . . . . . . 375Convention sur la notation des sommes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Différentiation extérieure des formes θi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
Introduction des composantes de rotation (connexion associée) . . . . . . . . 378
Calcul des coefficients de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
Invariance des composantes de courbure par application isométrique . . 382
Dérivées covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Calcul explicite des composantes de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
Commentaires et spéculations sur l’expression explicite du tenseur decourbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
385
Dénombrement des composantes de courbure indépendants . . . . . . . . . . 387
Caractérisation de la courbure nulle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
4. Méthode d’équivalence pour les surfaces gaussiennes . . . . . . . . . . . . . 388Étude du plan euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Équations de structure dans le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Calcul de la courbure de Gauss κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
5. Méthode d’équivalence pour les variétés pseudo-riemanniennes . . . 393Problèmes d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
Diagonalisation de la métrique pseudo-riemannienne et variables de ro-tation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
395
Relèvement des isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
6. Équations de structure avec variables de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Différentiation extérieure des formes ωi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Introduction des composantes de rotation ωij (connexion associée). . . . . 402
Formule explicite pour les dérivées covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
Introduction des coefficients de courbure Sijkl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Première expression explicite (insuffisante) des coefficients de courbureSijkl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
407
-
13
Expression des Sijkl en fonction des Rijkl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
7. Identités de Bianchi et dérivées covariantes d’ordre quelconque . . . 413Différentiation des équations de structure sans les variables de rotation 413
Dérivées covariantes d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
Différentiation des équations de structure avec les variables de rotation 417
Dénombrement des coefficients de courbure indépendants . . . . . . . . . . . . 424
8. Invariants relatifs et invariants absolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Composantes de Ricci et courbure scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Invariants différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
Invariants différentiels absolus et relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
Différentiation covariante des invariants différentiels relatifs . . . . . . . . . . . . 428
Isométries de variétés pseudo-riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
Relativisation d’une forme différentielle covariante absolue . . . . . . . . . . . . . 432
Théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
9. Forme quadratique de Riemann-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434Représentations du groupe pseudo-orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
10. Paramétrisation des 2-plans dans C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436Vecteurs et bivecteurs dans C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436Bivecteurs généraux versus bivecteurs décomposables . . . . . . . . . . . . . . . . 437
Espace des 2-plans dans C4 et quadrique de Plücker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438Quadrique de Minkowski complexifiée et transformations de Lorentzcomplexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
439
Géométrie de la quadrique de Minkowski complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Coordonnées de Plücker des deux familles de génératrices . . . . . . . . . . . . 441
Transformation lorentzienne induite sur l’espace des 2-plans . . . . . . . . . . . 445
Homomorphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
11. Décomposition du tenseur de courbure en composantes irréductible 451Action d’une transformation de Lorentz sur la forme de Riemann-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
452
Action d’un changement de base sur une forme quadratique . . . . . . . . . . . 452
Soustraction de la trace modifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
12. Théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455Forme quadratique de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
Démonstration du théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
—————–
Partie II : La mathématique universelle de LieChapitre 9. Substitutions, permutations, invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
1. Polynomialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461Mélanger algébriquement de manière arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
Museler la protension à l’effectivité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
-
14
Résoudre impose des synthèses irréversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
Privilégier l’Algèbre, sans le secours de l’Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
2. Permutations et substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464Donation subreptice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
Obligation platonicienne de spéculer maximalement sur tout point dedépart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
464
Libérer l’objet mathématique de toute dénomination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
Dénommer est toutefois nécessaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
Caractère réflexif de la libération de toute dénomination. . . . . . . . . . . . . . . . 467
Classifier les permutations à automorphisme intérieur près . . . . . . . . . . . . 468
Métaphysique générale de la référentialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
3. Résultats élémentaires et fondamentaux sur le groupe Sn . . . . . . . . . 470Permutations circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
Décomposition en cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
4. Le problème fondamental de classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472Antériorité logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
Focalisation galoisienne et contextualité du réel problématique . . . . . . . . . 472
Lie, Klein, la géométrie et les substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
Idée fixe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
Classification des groupes continus de transformations . . . . . . . . . . . . . . . . 475
5. Transformations par permutation de polynômes multivariés . . . . . . 476Action sur les racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
Microlectures formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
6. Métaphysique génétique de la structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 479Invariance de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
Assertion fondamentale : les groupes naissent de l’Invariance. . . . . . . . . . 481
Progrès infinitésimaux de l’irréversible-synthétique symbolique . . . . . . . . . 482
Métaphysique des nécessités mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
Ontologie ‘groupique’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
7. Résolvantes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489Racines d’un polynôme à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
Soustraire 0 n’équivaut pas à additionner 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
Fonctions symétriques élémentaires des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
Premier Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
Second Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
Troisième Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
8. Groupes, sous-groupes, classes à gauche ou à droite . . . . . . . . . . . . . . 495Fonctions symétriques et identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
Invariance et transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
Classes à droite et à gauche modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
9. Démonstration du second théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
-
15
Chapitre 10. Meditationes Algebraicæ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503Trois objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
Polynômes invariants par permutation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
Fonctions symétriques élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
Fonctions des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
Théorème de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
Analyse a posteriori du théorème de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
Commentaire philosophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
Formules de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
Question d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
Commentaire spéculatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
Deux exemples très élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
Récurrences ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
Formules dites de Waring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
Commentaire mathématico-philosophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
Démonstration moderne des formules de Waring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
L’énoncé du théorème par Waring lui-même : perplexité ? . . . . . . . . . . . . . . 517
Lecture multiversale et appropriation intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
Remarques intercalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
Unciae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
Circulation, généralisation, compréhension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
Chapitre 11. Commentaire du « premier mémoire » de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5221. Prologue historique succinct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5222. Rappels préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5233. Théorie des irrationnelles algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5264. Brisure maximale des symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5285. Élément primitif et singularisation d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . 5316. Apparition du groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
Chapitre 12. Généralités spéculatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542Destin comparé des œuvres scientifiques et littéraires . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
Le mirage de l’« absorption en totalisation » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
Le drame de l’a posteriori du spéculatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
Essences mathématiques spéculatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
Accepter l’ouverture conceptuelle de l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
Masses-pensées intuitives de la mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
Écarter les problèmes de fondement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
Objectifs métaphysiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
L’ouverture chez Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
Chapitre 13. Équations de transformations et axiomes de groupes. . . . . . . . . . . . . . 551
-
16
Principe galoisien d’ambiguïté dans la donation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
Équations de transformation, groupe continu d’ambiguïté . . . . . . . . . . . . . . 553
Trois principes de pensée qui gouvernent la théorie de Lie . . . . . . . . . . . . . 555
Question préliminaire de dépendance paramétrique effective. . . . . . . . . . . 556
Le mouvement des continua et la mobilité fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
Dépasser la monade subjectivo-centrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
Abstraction des correspondances fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
Les symboles sont imprégnés d’ignorance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
Essentialisation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
Discontinuité axiomatique de l’engendrement synthétique . . . . . . . . . . . . . . 564
Analyse de l’essentialité des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
Réduire le nombre des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
Interlude : schémas universels du questionnement mathématique . . . . . . 568
Analyses de satisfaction mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
Caractérisation effective de l’inessentialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
Redécouverte en géométrie de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
Chapitre 14. Ontologie triple de X(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576Système d’équations différentielles ordinaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
Basculement ontologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
Formule exponentielle analytique pour l’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
Spéculation sur l’inéquivalence des équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
Retour sur le symbole X(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
Chapitre 15. Théorème de Clebsch-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584Décision ontologique quant aux résolubilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
Redressement d’une transformation infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
Solutions mutuellement indépendantes d’une EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
Intégrabilité des systèmes d’équations aux dérivées partielles. . . . . . . . . . 593
Théorème de Clebsch-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
Chapitre 16. Le progrès incessant de l’irréversible-synthétique chez Lie . . . . . . . . 598
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Partie III : Philosophie du calcul : ouverture, genèse, dynamiqueChapitre 17. Autour de la preuve d’Apéry de l’irrationalité de ζ(3) . . . . . . . . . . . . 614
Zêtas pairs et nombres de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
Accès élémentaire à l’ouverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
Spéculation intermédiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
Assertions mathématiques énigmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
Traces effacées : le labyrinthe de la reconstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
Figure générique de la récurrence : contracter les expressions symbo-liques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17
Reconstituer a posteriori des éléments de genèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
Décider des actes de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
Créer la différence téléscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
Critère d’irrationalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
Élasticité de la nomination symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
Conséquences de la proposition principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
Examen a posteriori des adéquations relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
Démonstration ultra-simple par Calabi de l’identité∑∞
n=11n2
= π2
6. . . . . 644
Interlude : spéculations sur l’identité∫∞−∞ e
−x2 dx =√π . . . . . . . . . . . . . . . 645
Identités algébriques entre factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
Chapitre 18. Génétique mathématique technique : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 652Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
Origine du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
Identité à démontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
Préliminaires à l’étude des petites valeurs κ = 2, 3, 4, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
Les deux valeurs élémentaires κ = 2 et κ = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
La valeur κ = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
La valeur délicate κ = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
Chapitre 19. Séries hypergéométriques multiples et polylogarithmes . . . . . . . . . . . 672De l’Un au Multiple : passage à plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
Polyzêtas à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
Causalité multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
Dominer l’induction : deux approches inéquivalentes du produit de mé-lange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Carence synthétique du structuralisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
Penser synthétiquementl’engendrement du mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
Le cas des sommes avec coïncidences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
Chapitre 20. Dynamique de l’égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694Un calcul simple : (a− b)(a+ b) = a2 − b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694L’exponentiation des possibles, croix du tout structural . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
Trois concepts dynamiques : Expansion, Annihilation, Harmonisation . . 700
L’annihilation créatrice d’intrinséquéité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
Identité à soi de l’être égal à lui-même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711
Répétition et différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
Culte du signe «= » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
Renverser l’ordre des symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
L’algèbre immanente nous est inaccessible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
Appendice III. « L’irréversible synthétique dans les calculs » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7141. Ubiquité du calcul : exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7152. Dialectique de l’anti-conceptuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740
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18
3. Dynamique irréversible de l’égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7434. Thèses de philosophie des mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
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Bibliographie du Volume IBibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753
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Volume II
Problème de Riemann-Helmholtz-Lie
Titre complet et table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773
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Volume III
Théorie des groupes continus de transformations(d’après l’œuvre de Sophus Lie et Friedrich Engel)
English Translation and Table of Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093
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L’Ouvert mathématique 19
Chapitre 1
L’Ouvert mathématique
Une philosophie offensive doit se situer résolument auxavant-postes de l’obscur, en ne considérant pas l’irra-
tionnel comme “diabolique” et réfractaire à l’ar-ticulation, mais comme ce par quoi des
dimensions neuves peuvent advenir.
Gilles CHÂTELET 1
1. Le réel de l’Ouvert : Argument, synopsis, intentions
L’Obscur mathématique. L’Obscur mathématique, ou l’Ouvert mathéma-tique, est le thème — allégorique, mystérieux, énigmatique — de ce pre-mier volet de philosophie générale des mathématiques.
Règne de la certitude et de la rationalité, comment les mathématiquespourraient-elles héberger l’Obscur ? Comment pourraient-elles entretenir enleur sein des zones d’ombre et d’irrationnalité, toutes contraires à leur ri-gueur ? Où donc se trouveraient ces régions vagues et troubles, visiblementimpropres à toute certitude démonstrative ?
Car hélas, l’Ouvert, partout, est très insaisissable, et en mathématiques, àcause de la complexification historiquement irréversible des contenus, l’Ou-vert demeure souvent invisible à toute vision qui ne se spécialise pas dansle tissu vivant et exigeant de la Recherche.
L’Ouvert, ainsi, malgré de légitimes réticences qui renvoient à de cé-lèbres controverses philosophiques, sera placé au commencement absolu dela philosophie des mathématiques, à la fois en tant qu’Il ne présuppose riende ce que sont les mathématiques, et en tant qu’Il se pose comme Figurede l’immédiateté non-médiée de toutes les questions que les mathématiquessoulèvent.
1. Les enjeux du mobile, Des Travaux, Seuil, Paris, 1993, p. 22. Voir aussi La philoso-phie aux avant-postes de l’obscur, Conférence au Forum Européen de la Science et de laTechnologie, Science, Philosophie et Histoire des Sciences en Europe, Grand Amphithéâtrede la Sorbonne, 10 décembre 1994.
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20 1. Le réel de l’Ouvert : Argument, synopsis, intentions
Le commencement de la science absolue doit être lui-même commen-cement absolu, il ne peut rien présupposer. Il doit donc n’être médiatisé parrien et ne doit pas avoir de fondement ; il doit plutôt être lui-même le fonde-ment de toute science. Il doit être par conséquent purement et simplementun immédiat, ou plutôt l’immédiat lui-même. De même qu’il ne peut avoir dedétermination en regard d’autre-chose, de même ne peut-il en contenir nonplus en lui, aucun contenu, car semblable chose serait pareillement une diffé-renciation et un rapport l’un à l’autre de termes divers, partant une médiation.[207]
Penser en situation le non-pensé de l’ouverture. Aussi, en mathéma-tiques, seule une méditation philosophique en situation — sur l’Obscur, surl’Ouvert et sur l’Inconnu — pourra, grâce à la spécialisation démultipliéeet à la généralité métaphysique, fertiliser par semailles la contemplation etla compréhension des idéalités mathématiques. Les situations qui font mys-tère apparaîtront à travers des actes mathématiques variés, et ce, dans toutel’hétéronomie plurielle qui se rattache à ces actes, qu’elle soit d’ordre onto-logique, motivationnel, conceptuel, phénoménologique, cénesthésique, phi-losophique, historique, symbolique, technique, ou calculatoire.
Toute la question, en creux, sera aussi de comprendre comment ce quin’est pas principalement de l’ordre de la rationalité se blottit dans les frangesde la connaissance mathématique et y mobilise dynamiquement l’écume deses propres genèses.
L’héritage français de philosophie des mathématiques. Cette méditationen situation au contact de mathématiques spécialisées s’inscrira aussi dansune tradition française de philosophie des mathématiques qui s’est illustrée àtravers les travaux d’Alain Badiou, de Léon Brunschvicg, de Jean Cavaillès,de Gilles Châtelet, de Gilles Deleuze, de Jean-Toussaint Desanti, de Ferdi-nand Gonseth, de Gilles-Gaston Granger, d’Albert Lautman, de GiuseppeLongo, de Marco Panza, de Jean Petitot, de Jean-Michel Salanskis, de Jean-Jacques Szczeciniarz, de Jules Vuillemin et de Maximilien Winter. Toute-fois, on cherchera relativement peu à se situer comparativement d’un pointde vue théorique en rapport aux diverses idées développées par cette tradi-tion, puisque ce nouvel Essai de philosophie générale des mathématiques nesera pas l’ouvrage d’un philosophe-épistémologue concentré sur l’exégèsefine des doctrines, mais celui d’un mathématicien universitaire constammentmobilisé par la production mathématique spécialisée qui estime préférabled’apporter une pierre nouvelle à la philosophie des mathématiques, toujoursimparfaite et insatisfaisante à cause de l’envol préoccupant que prennent lesmathématiques par rapport aux capacités de l’analyse réflexive.
Alors, en bénéficiant principalement d’une expertise professionnelle utilepour présenter et pour commenter certains calculs explicites d’ampleur tels
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L’Ouvert mathématique 21
que celui placé par Gauss au fondement de son Theorema egregium, l’ob-jectif sera — en contrepoint à l’épistémologie du Concept qui s’avère ac-tuellement dominante dans le domaine continental — de penser les germesde déploiement du sens, la surrection du vrai dans les mathématiques, etl’intemporelle présence obscure du Problématique qu’il faut s’appliquer àmaintenir coprésente dans la pratique. Ici donc, pour être plus précis, le butsera de penser l’Ouvert qui vit en co-présence dans tout acte et dans toutethéorie, c’est-à-dire de le penser et de le dire de manière concrète, effec-tive, descriptive, notamment à l’intérieur même des théories mathématiqueseffectives et au sein même des incarnations du Calcul.
Au demeurant, et par souci de neutraliser sa connotation dépréciative,L’Obscur sera régulièrement entendu comme synonyme de l’Ouvert, sonsens allégorique ne devant maintenant plus faire obstacle. Seul ce qu’il y ade poétique en chacun de nous saura exploiter cette gémellité sémantiquedécidée, avant que des analyses spéculatives neutres sur le plan métapho-rique ne prennent l’avantage dans notre discours.
Diffusion, dissémination, diffraction d’un Ouvert objectivable. À unpremier niveau — abstrait, infralinguistique, antéprédicatif — de l’Ouvert,des mystères rayonnent dans une histoire préliminaire, des problèmes ap-paraissent, se précisent, se reproduisent, s’amplifient, se résolvent, ous’abîment dans une indéfinitude avérée.
Le fait remarquable dont nous venons de parler et certains raisonnementsphilosophiques ont fait naître en nous la conviction que partagera certaine-ment tout mathématicien, mais que jusqu’ici personne n’a étayée d’aucunepreuve, la conviction, dis-je que tout problème mathématique déterminé doitêtre forcément susceptible d’une solution rigoureuse, que ce soit par une ré-ponse directe à la question posée, ou bien par la démonstration de l’impossi-bilité de la résolution, c’est-à-dire la nécessité de l’insuccès de toute tentativede résolution. [224]
Tel est le génie spectral du théâtre partagé de l’Obscur mathématique :kaléidoscope de questions offertes à l’impulsion conceptuelle,
avec, pour tout regard auscultant, la conviction hilbertienne partagée —jamais contredite par le destin d’un problème mathématique — que toutequestion mathématique s’attend à être résolue complètement, après — peut-être — d’imprévisibles approfondissements, parfois interminables, souventinacessibles à des non-spécialistes.
Il s’agit donc, pour ces mystères mathématiques, d’une circulation, d’unflux et d’un reflux dans une matière qui se donne les moyens de sa propreobjectivation. Le mouvement spontané du questionnement, auquel répondla difficile et douloureuse production non-automatique de réponses effec-tives, est toujours susceptible de provoquer l’éclatement métaphysique des
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22 1. Le réel de l’Ouvert : Argument, synopsis, intentions
paradigmes, à cause, notamment, de l’analyse obsessionnelle — sur plu-sieurs générations de mathématiciens — d’une question très résistante, parexemple : cinquième postulat de la géométrie plane ; nombres imaginaires ;résolubilité par radicaux des équations algébriques ; quadrature du cercle ;transcendance de π ; cohérence de l’arithmétique.
Proposons-nous un problème déterminé non encore résolu : par exemple,posons-nous la question de l’irrationalité de la constante C d’Euler ou de Ma-scheroni, ou encore la question de savoir s’il existe une infinité de nombrespremiers de la forme 2n + 1. Quelque inabordables que semblent ces pro-blèmes, et quelque désarmés que nous soyons encore vis-à-vis d’eux aujour-d’hui, nous n’en avons pas moins la conviction intime que l’on doit pouvoir lesrésoudre au moyen d’un nombre fini de déductions logiques. [224]
En réflexivité, Hilbert soulevait ainsi en 1900, immédiatement après l’ex-pression de sa conviction intime — et avec quelques accents d’inspirationkantienne — la question métaphysique supérieure (ou méta-mathématique)de savoir d’où pourrait venir cette conviction en la capacité universelle derésolution autonome que possèderaient a priori les mathématiques.
Cet axiome de la possibilité de résoudre tout problème, est-ce une pro-priété caractéristique et distinctive de la pensée mathématique, ou serait-cepeut-être une loi générale du mode d’existence de notre entendement, à sa-voir que toutes les questions que se pose notre entendement soient suscep-tibles d’être résolues par lui ? [224]
Cependant, en accord direct avec la philosophie des mathématiques deRiemann qui exige de maintenir ouverte toute question difficile — qu’ellesoit mathématique ou métaphysique — sans chercher à prétendre la ré-soudre par pétition de raisonnements, ou bien à établir sans hésitation qu’ellene saurait être résolue en raison d’un système d’allégations critiques, il nepourra pas être question ici de traiter un problème d’une telle ampleur, etsans dirimer son caractère métaphysique, on admettra que son ouverture ou-bliée continue à se manifester, à rayonner, et à s’approfondir, en tant qu’ou-verture, dans le destin contemporain des mathématiques.
L’Ouvert posé dans des univers axiomatiques. À un deuxième niveau —de l’ordre du langage cette fois-ci —, l’Ouvert, ce sont aussi les structuresmathématiques et les systèmes d’axiomes qui sont à la base des théoriesformelles, non seulement comme réservoirs de formes symboliques et decontenus conceptuels, mais surtout comme seuils d’ouverture à des universmathématiques qui sont vastes en eux-mêmes. Ces univers pré-existent enquelque sorte par rapport à tout formalisme, parce que l’acte de poser un sys-tème formel est toujours motivé par la volonté d’embrasser une réalité dontles modalités de réalisation font toujours question dans leur a-postérioricité.
Exemples : axiomes de Peano pour l’arithmétique ; théorie des cardinauxen relation avec l’hypothèse du continu ; introduction abstraite des nombres
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L’Ouvert mathématique 23
complexes comme clôture algébrique du corps des nombres réels ; métamor-phose de la notion d’espace enracinée dans l’inspiration physique ; constitu-tion d’une géométrie non commutative appliquée à la physique quantique ;ou encore : théorie grothendieckienne des topos, comme synthèse entre lagéométrie algébrique, la topologie et l’arithmétique.
En outre, plus la réalité est riche et complexe, plus il est important quese multiplient les yeux pour la regarder, ce qui doit revenir à disposer deplusieurs langages pour la cerner.
D’un côté, les moyens dont disposent les sociétés humaines pour mettrel’univers en mots sont très limités ; de l’autre, l’univers est infini. Il n’est pasnécessaire d’insister sur cette nature infinie de l’univers, même si l’on étendla notion aux galaxies. La limitation des moyens, quant à elle, tient d’abord àcelle du petit appareil, dit phonateur, qui va des lèvres au larynx, et avec le-quel on fabrique les sons des langues. Elle tient aussi au nombre restreint desprocédés que les langues ont à leur disposition pour construire des phrases.Elle tient, enfin, à la pauvreté des modes de combinaisons des unités dispo-nibles. Le développement de la composition et de la dérivation s’explique pré-cisément par cette implacable et cruelle aporie des langues, par cette contra-diction tenace entre l’infinité des choses de l’univers à dire et la finitude desmoyens humains pour les dire. [201], 111–112
L’Ouvert, aussi, commande de maintenir en permanence ouverte la ques-tion de l’adéquation de tout langage.
Mon attitude et celle d’autres mathématiciens consiste à dire qu’il existeune réalité mathématique qui précède l’élaboration des concepts. Je fais unedistinction essentielle entre l’objet d’étude, par exemple la suite des nombrespremiers, et les concepts que l’esprit humain élabore pour comprendre cettesuite. [117]
De plus, en tant que principe régulateur, l’Ouvert se situe aussi en amontde toute controverse philosophique — que ce soit entre ‘réalismes’ et ‘idéa-lismes’ ou entre ‘platonismes’ et ‘constructivismes’ — parce que l’Ouvertdemeure là entre les parties pour leur signaler la pér-existence de ques-tions irrésolues dans lesquelles chacune enracine ses options et ses tentationsde pensée. Et par l’effet d’une réflexivité spéculative remarquable, ce sontles mathématiques — notamment les mathématiques riemanniennes — quisont le plus à même d’enseigner que les questions se maintiennent en secomplexifiant tant qu’elles ne sont pas irréversiblement décidées.
Potentialité et expression. Ainsi, toute axiomatisation pose-t-elle des exis-tences, et ce, par un acte décidé qui vise à inscrire le Potentiel dans un mondeque structurent certaines virtualités prédéfinies de l’expression, mais ce Po-tentiel n’est en rien inscriptible a priori dans un système langagier contex-tuel. En effet, ce n’est qu’a posteriori que le potentiel actué peut être ressaisidans un système formel. Certaines potentialités sont, il est vrai, purement
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24 1. Le réel de l’Ouvert : Argument, synopsis, intentions
syntaxiques, voire mécaniques, mais elles sont rares et souvent redevableselles aussi d’une métaphysique qui les dépasse. Mis à part en logique et enthéorie de la démonstration, les virtualités sont combinatoires 2, plutôt quepurement syntaxiques. La rumination des hypothèses est nécessaire, et nullangage ne parvient à circonscrire l’Obscur.
L’Ouvert intersubjectif. À un troisième niveau (intersubjectif, et corrélatifdu premier niveau), des esprits mathématiciens vivent l’Ouvert, connaissentl’évolution historique de l’Ouvert, et assistent à certaines clôturations lo-cales de l’Ouvert.
Exemple : pour la conjecture de Fermat, il y a un avant et un après toutedémonstration finale, l’après étant irréversiblement spécifique pour tous lesarithméticiens spécialistes du domaine.
Parce qu’ils fréquentent des questions ouvertes qui circulent ou quise déploient d’elles-mêmes, les esprits des chercheurs sont pareillementconscients qu’il y a des questions dont la réponse semble, à une périodedonnée, inaccessible pour des raisons techniques, ou pour des raisons plusprofondes.
Thèse du réel de l’Ouvert. On se rapproche ici d’une thèse principale quicommence enfin à se dessiner : afin de dépasser le constat conventionnel dela présence discrète de l’Ouvert, il est nécessaire de conférer un statut deréalité indéniable et tangible à ce qui demeure toujours disponible pour lequestionnement.
Une preuve en est que les mathématiciens vivent les questions ouvertessur lesquelles ils travaillent, et qu’ils se les transmettent, de maître à élève,de génération en génération. Les questions ouvertes ont donc une réalitévéritable, fût-elle incorporelle, non-écrite, refoulée.
Au-delà, une seconde thèse se dégage : le réel, en mathématiques, estprimordialement un réel d’ouverture, c’est-à-dire un réel de questions et deproblèmes ouverts, seul ‘réel’ qui dynamise tout esprit de recherche, de ma-nière trans-historique et sur un plan international. En affir