8/10/2019 Para-sismique

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EPFL-ENAC-SGC Gnie Parasismique Semestre dt 2005 Corrig 4 1.

Pour un calcul dynamique, le btiment peut tre modlis dune des trois

manires suivantes (modle de base, modles simplifis 1 et 2) :

Pour les modles simplifis 1 et 2, la masse de la toiture est ramene au

niveau de l'attique. Pour le modle simplifi 2, les masses et les hauteurs

dtages sont constantes.

Calcul de la frquence selon la formule empirique

Le calcul de la frquence s'effectue l'aide des modles simplifis de lafigure ci-dessus ; soit en considrant six tages.

Frquence fondamentale : f = 10/n = 10/6 = 1.67 Hz

Priode de vibration fondamentale: T1= 1/f = 0.6 s.

Calcul de la frquence selon la norme SIA 261

Le calcul de la frquence s'effectue l'aide des modles simplifis de la

figure ci-dessus. Priode de vibration fondamentale T1 : Rfrences SIA 261 (2003)

T1= Ct H0.75

= 0.05 18.630.75

= 0.448 s. art. 16.5.2.3 quation (38)

Frquence fondamentale : f = 1/T1= 2.23 Hz

Dtermination l'aide du quotient de Rayleigh

Lquation (39) de SIA 261 constitue un cas particulier du quotient de

Rayleigh. Le calcul de la frquence s'effectue ici selon la version gnrale du

quotient de Rayleigh et l'aide du modle simplifi 2 de la figure ci-dessus,

soit :

- la masse de la toiture est ramene au niveau de l'attique

- les hauteurs d'tages et les masses sont constantes

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f =2

jj

6

1j

jj

6

1j

dm

dF

2

1

=

=

Calcul des dformations fictives d'tage avec la matrice de flexibilit :

d =

F

f : matrice de flexibilitF : vecteur des forces fictives dtaged : vecteur des dformations fictives dtage

j,if

=EI6

h3 j2(3i - j) i j

6

5

4

3

2

1

dd

d

d

d

d

=EI6

h3

43232522413564173252501761085214

224176128814011

1351088154288

64524028165

171411852

65

4

3

2

1

=EI6

h3

56634346

3070

1900

925

252

6

1=

jFj dj= 75'790

EI6

h3 [ ]Nm

6

1j= mj dj2= 1'278'000

23

EI6

h

64'911'314 = 8.309 10132

3

EI6

h

[kgm2]

h : hauteur dtage constante soit 18.63/6 = 3.105 m

E : module dlasticit du bton, soit E = 27 109N/m

2

Iy : somme des moments dinertie des refends dans le sens longitudinal x, Iy= 28.27 m4

Ix : somme des moments dinertie des refends dans le sens transversal y, Ix= 14.89 m4

mj: masse dtage constante, 7672 tonnes/6 tages = 1278 tonnes par tage

Sens transversal Y

sans tenir compte de la perte derigidit due la fissuration des refends

Sens longitudinal X

sans tenir compte de la perte de

rigidit due la fissuration des refends

[ ]N/m1024.189.1410276

105.3

EI6

h 119

3

x

3=

=

[ ]N/m1054.627.2810276

105.3

EI6

h 129

3

y

3=

=

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La frquence propre sans rduction de la rigidit est donc de :

f =2

jj

6

1j

jj

6

1j

dm

dF

2

1

=

=

Si pour tenir compte de la fissuration des refends, on rduit la rigidit une

valeur correspondant 30 % de la rigidit non fissure, on obtient les valeurs

suivantes : fx= 1.03 Hz fy= 0.74 HzTx= 0.97 s. Ty= 1.34 s.

Calcul de la frquence laide du logiciel Statik 3

Le calcul de la frquence s'effectue l'aide du modle de base de la figure

ci-dessus, soit :

- sans ramener la masse de la toiture au niveau de l'attique

- avec les hauteurs d'tages d'origine

Etat non fissur : 100 % de EI fx= 1.78 Hz fy= 1.26 HzTx= 0.56 s. Ty= 0.79 s.

Rigidit rduite 30 % : fx= 1.03 Hz fy= 0.73 HzTx= 0.97 s. Ty= 1.37 s.

Remarque :

Les rsultats des calculs de la frquence dans les deux sens x et y obtenus

avec le logiciel Statik 3 donnent des valeurs pratiquement gales celles

obtenues avec le quotient de Rayleigh pour une rigidit rduite 30 %. Le

modle simplifi 2 (masses et hauteurs constantes) selon la figure

reprsente donc le comportement dynamique du modle de base pour le

mode fondamental de manire satisfaisante.

fx= 1.88 Hz fy= 1.36 HzTx= 0.53 s. Ty= 0.74 s.

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Discussion des rsultats:

La formule empirique (10/n) ne donne que lordre de grandeur de la

frquence propre, son utilisation nest donc quindicative.

La formule de la norme SIA tient compte de leffet de raidissement deslments non porteurs; il nest donc pas tonnant quelle livre des valeurs

leves. Ces valeurs peuvent, en gnral, tre considres comme des

bornes suprieures.

Seul le quotient de Rayleigh tient effectivement compte des caractristiques

propres du btiment en question. Leffet des lments non porteurs ny est

cependant pas considr; il nest donc pas tonnant que les rsultats livrent

les valeurs les plus basses. Lestimation de la frquence propre doit tenir

compte des lments non porteurs et de la rduction de la rigidit due la

fissuration. Ces deux effets antagonistes dpendent de plusieurs

paramtres, en particulier de la nature des lments non-porteurs (cloisons

lgres ou maonnerie), de lintensit de la compression au pied du refend et

de lamplitude des dformations.

Lors dun prdimensionnement, il faut choisir une valeur prudente de la

frquence propre. Le choix dune valeur prudente dpend de la localisation

de la frquence sur le spectre de dimensionnement. Une surestimation est

prfrable avant le plateau alors quune sous-estimation est indique aprs

le plateau. Dans le cas du btiment de cet exercice, on peut adopter, pour un

prdimensionnement, les valeurs pour ltat non-fissur : 100% de EI.

La formule empirique permet dapprcier limpact du nombre dtages sur la

priode propre (ou sur la frquence propre). Si on double le nombredtages, la priode propre sera approximativement double (la frquence

propre sera divise par deux).