page de garde - site officiel · 2010. 7. 17. · figure iii.11 : l’organigramme de...

وزارة التعليــــــم العـــــايل والبحـــــث العـلميMINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

جـــــامعة فــرحات عبــاس سطيفUNIVERSITE FERHAT ABBAS – SETIF

Faculté des Sciences de l’ingénieurDépartement d’électrotechnique

Mémoire

Présenté pour l’obtention du diplôme de

Magister en électrotechniqueOption : Automatique

Par

KKHHAAOOUUNNII SSOOFFIIAANNEE

Thème

Modélisation et Surveillance des SystèmesDynamiques Hybrides par Automates Hybrides

Soutenu le : / / devant le jury :

LAMAMRA Athmane M. C. à l’université de Ferhat Abbas de Sétif PrésidentSAIT Belkacem M. C. à l’université de Ferhat Abbas de Sétif RapporteurKHAMLICHE Mabrok M. C. à l’université de Ferhat Abbas de Sétif ExaminateurHEMSAS Kamel Eddine M. C. à l’université de Ferhat Abbas de Sétif ExaminateurABDELAZIZ Morad M. C. à l’université de Ferhat Abbas de Sétif Examinateur

30 06 2010

i

شكر وعرفانشكر وعرفان

فهو سبحانه أهل الثناء واحلمد، وبه . باسم اهللا ومحده والثناء عليه، وشكره قبل كل شيء أبدأ

.﴾وما توفيقي إال باهللا عليه توكلت االستعانة وعليه التكالن، وال حول وال قوة لنا إال به، ﴿

وعلى آله وصحبه ومن سار مث الصالة والسالم على رسول اهللا اهلادي األمني، ذي اخللق العظيم،

.على جه إىل يوم الدين

املدير واملشرف صايت بلقاسمكما وأتقدم بالشكر اجلزيل إىل مؤطري وأستاذي الدكتور السيد

أشكره على تأطريه يل، وعلى أن مكنين من دخول عامل البحث العلمي من بابه . على عملي هذا

يتوان أبدا مل حيث. ما يزيد على عامني من الزمن الواسع، وعلى صربه على ظرويف املتذبذبة طوال

.يف تشجيعي، ومل يدخر جهدا يف إعانيت وتزويدي باملراجع الالزمة

الدكتور جبامعة فرحات عباس ورئيس جلنة التحكيم، لعمامرة عثمان وشكري احلار أبثه إىل السيد

مربوكمخليشوالسيد كمال محساسالسيد : وإىل كل من السادة الدكاترة أعضاء جلنة التحكيم

.عبد العزيز مرادوالسيد

وال أنسى أن أشكر والدي العزيزين اللذين مل يفترا يف تشجيعي وإعانيت، وكذلك زوجيت اليت

.وقفت معي يف أحلك الظروف

.وأخريا أشكر كل من قدم يل يد العون من قريب أو من بعيد

DDEEDDIICCAACCEE

Je dédier ce modeste travail

Ma source d’inspiration, de motivation et de bénédiction . . . Ma mère

Mon maître de passion, de patience et de persévérance . . . Mon père

Ma fidèle . . . Ma femme

Mes frères et mes soeurs

Mes enfants . . . Ishak et Mohamed

ii

Mes amis . . . surtout Soltani Kheireddine

K. Sofiane

TTAABBLLEE DDEESS MMAATTIIEERREESS

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Introduc

ChapitreI.1. IntrI. 2. DéI. 3. Fo

I. 3.I. 3.

I.

I.I. 4. Mé

I. 4.I. 4.I. 4.

I.I.

I. 5. Co

ChapitreII. 1. InII. 2. N

II. 2.II. 2.

II.II.

II. 3. EII. 3.II. 3.II. 3.

II. 4. MII. 4.

II.II.II.

II. 4.II. 5. C

Chapitre.III. 1. I.III. 2. L.III. 2.III.III

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .tion générale 01

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I : Surveillance des systèmes automatisés 03

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .oduction 04

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .finitions 05

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nctions de la surveillance 08

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. La détection 09

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Le diagnostic 11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. 2. 1. La localisation 11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I. 3. 2. 1. a. Les résidus structurés (structurels) 11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I. 3. 2. 1. b. Les résidus directionnels 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. 2. 2. L’identification 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .thodes de la surveillance 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Choix de la méthode de surveillance 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Les méthodes de surveillance sans modèle (directes) 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Les méthodes de surveillance avec modèle 20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. 2. 1. Estimation paramétrique 21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. 2. 1. Estimation d’état 22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I. 4. 2. 1. a. Observateurs 22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I. 4. 2. 1. b. Espace de parité 23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nclusion 23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .II : Etude des Systèmes Dynamiques Hybrides 24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .troduction 25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .otions de Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH) 26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Définition des Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH) 26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Principales classe de phénomènes hybrides 27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. 2. 1. SDH à commutation autonome ″Switching″ 27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. 2. 2. SDH à commutation contrôlée 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xemples illustratifs 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Le thermostat 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Le jeu de billard 30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. L’embrayage 31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .odélisation des systèmes hybrides 32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Approche de modélisation 32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. 1. 1. L’approche continue 32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. 1. 2. L’approche évènementielle 32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. 1. 3. L’approche mixte 32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Modèle de l’automate hybride 33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .onclusion 34

iii

III : Structure générique de SDH et Automate Hybride. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ntroduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a structure générique des SDH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. Le procédé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1. 2. Aspect continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1. 3. Aspect discret

353636363636

.III. 3

.III. 3

.III. 4. E

.III. 4

.III. 4

.III. 5. S

.III. 6. N

.III. 7. S

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. 2. 2. Les spécifications de fonctionnementIII. 2. 2. 1. Les spécifications continuesIII. 2. 2. 2. Les spécifications discrètes

III. 3. Les automates hybrides

39394040

.III. 8. A

.III. 8

.III. 9. C

.Chapitre

.IV. 1. I

.IV. 2. G

.IV. 2

.IV

.IV

.IV

.

.

.IV. 3. S

.IV. 3

.IV. 3

.IV. 3

.IV. 3

.IV

.IV

.IV

.IV. 4. E

.IV. 4

.IV. 4

.IV. 4

.IV

.IV

.IV

.IV. 4

.IV. 4

.IV. 4

.IV. 5. C

.Conclusio

.Annexe A

.Bibliogra

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. Définition informelle 41

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. Définition formelle 43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xemples illustratifs 44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. Le thermostat 44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. Le jeu de billard 45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .émantique 46

iv

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .otion d’atteignabilité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .imulation d’un système hybride

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pplication sur le benchmark de l’AS 193

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. Description du système

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .onclusion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV : Surveillance des Systèmes Dynamiques Hybrides

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ntroduction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .énérateur de résidus

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. L’espace de parité (Relation de Redondance Analytique RRA)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1. 1. Principe général

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1. 2. Utilisation des RRA pour la surveillance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1. 3. Calcul des RRA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV. 2. 1. 3. 1. Le cas linéaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV. 2. 1. 3. 2. Le cas non linéaire (par élimination)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .urveillance des systèmes dynamiques hybrides

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. Introduction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. Modèle de bon fonctionnement des SDH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Description et caractérisation des défaillances

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. Utilisation des résidus pour la surveillance des SDH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 4. 1. Discernabilité entre modes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 4. 2. Surveillance des défaillances survenant dans un mode

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 4. 3. Surveillance des défaillances influençant la dynamique discrète

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xemple d’illustration

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. Description du système

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. Simulation de l’évolution du système

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Génération des résidus

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 3. 1. Equations de mesures

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 3. 2. Défaillances considérées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 3. 3. Génération des résidus par la méthode de l’élimination

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. Etude des résidus

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1. Fonctionnement normal (sans défaillances)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2. Fonctionnement défaillant

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .onclusion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n et perspectives

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .: Les bases de Groebner

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .phie 1

4747494951

53545455556062626467

6768

697070717272

7275767677

7782838890

929500

LLIISSTTEE DDEESS FFIIGGUURREESS

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Figure I.1Figure I.2Figure I.3Figure I.4Figure I.5Figure I.6Figure I.7Figure II.Figure II.Figure II.Figure II.Figure II.Figure II.Figure II.Figure IIIFigure IIIFigure IIIFigure IIIFigure IIIFigure IIIFigure IIIFigure IIIFigure IIIFigure IIIFigure III

Figure IIIFigure IIIFigure IIIFigure IIIFigure IVFigure IVFigure IVFigure IVFigure IVFigure IVFigure IVFigure IVFigure IVFigure IVFigure IVFigure IV

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .: Anomalies et Observations classées par criticité croissante 07

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .: Fonctions de la surveillance 09

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .: Test de cohérence (test de détection, test de consistance) 10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .: Résidus directionnels 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .: Résidus directionnels pour la localisation 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .: Différentes méthodes de surveillance 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .: Estimation paramétrique pour la détection et le diagnostic des défauts 22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 : a) commutation à la valeur seuil x1 b) saut de la région (x2 – x1) 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 : Système hybride à commutation contrôlée 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 : Modèle du thermostat 29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 : Trajectoire de la température 30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 : Trajectoire d’une boule de billard 31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 : Système d’embrayage mécanique 31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 : Exemple d’un automate hybride 34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..1 : Exemple d’une structure physique 37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2 : Partie d’un automate hybride 39

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..3 : Modèle du thermostat avec les spécifications de fonctionnement 40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..4 : Schéma illustratif d’un automate hybride 41

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..5 : Sommet initial et sommet puits 42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..6 : Schéma général d’un automate hybride 42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..7 : Exemple de l’affectation lors du franchissement d’une transition 43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..8 : Automate hybride modélisant l’exemple du thermostat 44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..9 : Trajectoire d’une boule de billard 45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..10 : Modèle automate hybride du mouvement de la boule 46
.11 : L’organigramme de l’algorithme de simulation des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .dynamiques hybrides 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..12 : Système de benchmark de l’AS 193 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..13 : Automate hybride pour le benchmark 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..14 : Les niveaux du liquide h1 et h2 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..15 : Chronogramme de modes 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..1 : Système hybride de deux réservoirs 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2 : L’automate hybride du système (4.40) 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..3 : Les niveaux de liquides dans les deux réservoirs 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..4 : Le chronogramme de l’évolution des modes 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..5 : Résidus pour mode 1 (système sain) a) Résidu r6 b) Résidu r7 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..6 : Résidus pour mode 2 (système sain) a) Résidu r6 b) Résidu r7 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..7 : Résidus pour mode 3 (système sain) a) Résidu r6 b) Résidu r7 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..8 : Résidus pour mode 4 (système sain) a) Résidu r6 b) Résidu r7 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..9 : Résidus pour mode 5 (système sain) a) Résidu r6 b) Résidu r7 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..10 : Résidus pour mode 6 (système sain) a) Résidu r6 b) Résidu r7 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..11 : Résidus pour mode 7 (système sain) a) Résidu r6 b) Résidu r7 85
v

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..12 : Résidus pour mode 8 (système sain) a) Résidu r6 b) Résidu r7
8 5

.Figure IV

.Figure IV

.Figure IV

.Figure IVFigure IV

.Figure IV

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Figure IV.13.1 : Résidu r67 pour mode 1Figure IV.13.2 : Résidu r67 pour mode 2Figure IV.13.3 : Résidu r67 pour mode 3Figure IV.13.4 : Résidu r67 pour mode 4

87878787

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..13.5 : Résidu r67 pour mode 5 88



.14. Résidu r6, r7, r67 pour mode 1 (système défaillant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a) Résidu r6 b) Résidu r7 c) Résidu r67 89
.15. Résidu r6, r7, r67 pour mode 4 (système défaillant)

vi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a) Résidu r6 b) Résidu r7 c) Résidu r67
90

LLIISSTTEE DDEESS TTAABBLLEEAAUUXX

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Tableau ITableau ITableau ITableau ITableau ITableau I

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..1 : Criticité croissante des anomalies 08

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2 : Table de signatures théoriques 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..3 : Table de signatures théoriques de trois résidus pour trois 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .V.1 : Construction des modes 73

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .V.2 : Table de signatures des fautes 82

vii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .V.3 : Non discernabilité des modes
86

viii

NNOOMMEENNCCLLAATTUURREE

m : Seuil inférieur du thermostat.

M : Seuil supérieur du thermostat.

0 : Valeur initiale de la température du chambre.

x0, y0 : Repères de la position initiale de la boule de billard.

v : La vitesse de la boule de billard.

vx, vy : Composantes de v.

Ji : Inertie de chaque masse embrayée.

i : Couple de l’embrayage sur chaque masse.

i : Vitesse de rotation de chaque masse.

Qin : Débit d’entrée du liquide au réservoir.

Qout : Débit de sortie du liquide.

S : La section du réservoir.

h0 : Niveau initial du liquide.

h(t) : Niveau du liquide en fonction du temps.

S1, S2 : Section du réservoir R1 et R2 respectivement.

Qp : Débit de la pompe.

h1, h2 : Niveaux de liquide dans les deux réservoirs R1 et R2.

C2, C3 : Conduites entre les deux réservoirs.

Q1, Q4 : Les débits sortant respectivement des réservoirs R1 et R2.

Q2, Q3 : Les débits sortant du réservoir R1 vers R2 à travers les

conduites C2 et C3.

g : La gravité.

Qp1, Qp2 : Le débit des deux pompe P1 et P2.

f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7 : Les défaillances affectant les différentes parties du système

de deux réservoirs.

r1, r2, r3, r4, r5, r6, r7, r67 : Résidus structurés.

1

IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN GGEENNEERRAALLEE

Pendant les dernières décennies, grâces aux progrès technologiques liés principalement à la

rapidité de traitement des données et les grandes capacité de stockage de l’information, les

industries, toutes catégories confondues, ont considérablement évolué grâce aux moyens de

haute technologie appliquée aux domaines de la gestion de production, de supervision et la

surveillance.

Le développement de l’automatisation des systèmes industriels vise à améliorer leurs

performances. Cette course à la performance a conduit à l’élaboration de systèmes de plus en

plus complexes multipliant les risques de dysfonctionnement pouvant mettre en péril le

système lui-même et son environnement.

Par conséquent, pour un grand nombre d’application, il est nécessaire d’implanter un système

de surveillance afin de détecter, d’isoler voire d’identifier tout dysfonctionnement [1].

Le système de surveillance doit réaliser les trois tâches suivantes :

– La détection. Elle consiste à prendre une décision binaire : soit le système fonctionne

correctement, soit un défaut (défaillance) s’est produit. Le cas échant, la procédure doit

déterminer l’instant d’occurrence du défaut.

– La localisation. Elle consiste à déterminer le composant défectueux.

– L’identification. Elle consiste à déterminer l’allure de la défaillance en vue de déterminer le

type de maintenance ou de correction (accommodation, reconfiguration) à réaliser sur

l’installation. Cette étape nécessite la connaissance d’un modèle de la défaillance [2].

Dans ce contexte, de nombreuses approches sont développées, en vue de la détection de

défaillances et du diagnostic, par les différentes communautés de recherche en automatique, et

en informatique. Les méthodes se différencient par rapport au type de connaissance a priori

sur le processus qu'elles nécessitent. Ainsi, elles peuvent être classées, de façon générale,

comme des méthodes à base de modèles, et méthodes sans modèle.

Les méthodes à base de modèles considèrent un modèle structurel du comportement du

processus basé sur des principes physiques fondamentaux. Ces modèles peuvent être de type

quantitatif, exprimés sous forme d'équations mathématiques ou bien de type qualitatif,

exprimés par exemple sous forme de relations logiques. Les méthodes sans modèle exploitent

les compétences, le raisonnement et les connaissances des experts sur le processus pour les

transformer en règles, de manière à résoudre des problèmes spécifiques [3].

Sachant que nous ne disposons pas souvent d’un modèle de comportement réel, un travail

de simulation s’impose. Au cours de ces vingt dernières années, les outils informatiques pour

la modélisation et la simulation des procédés se sont développés conjointement avec les outils

et techniques informatiques. La technologie des ordinateurs a considérablement évolué et les

langages ont progressé, passant d'une approche procédurale à une approche orientée objet.

Dans les années 90, les simulateurs dynamiques se sont améliorés en termes de structure et de

2

fonctionnalité ; ils ont profité, notamment, d'avancées importantes dans la résolution de

grands systèmes d'équations.

L’objectif de ce mémoire est la modélisation des systèmes dynamiques hybrides par les

automates hybrides, et l’application de la technique de la relation de redondance analytique

RRA pour la surveillance de ces systèmes en prenant compte comme application le système

de deux bacs (benchmark).

Pour ce type de système, peu de travaux ont été consacrés à la détection, la localisation ou

le diagnostic des défaillances. De plus, même en fonctionnement normal, une des hypothèses

classiquement formulée pour la commande discrète de ces systèmes, est que le mode dans

lequel se trouve le système (le mode courant) est à tout instant connu. Ceci est une hypothèse

parfois très forte qui n’est pas toujours vérifiée sur une installation industrielle et qui nécessite

une instrumentation (capteurs) parfois abondante, performante et coûteuse. La détermination

du mode courant est donc une fonctionnalité supplémentaire que doit présenter la couche

logicielle de surveillance.

Ce mémoire est organisé en quatre chapitres comme suit :

Le premier chapitre fait l’objet de la présentation générale de la surveillance des systèmes

automatisés, les notions, les fonctions et les méthodes de base de la surveillance ont été

établies.

Le deuxième chapitre est consacré à une étude détaillée des Systèmes Dynamiques

Hybrides (SDH). Cette étude comprend une large définition de ce type de systèmes, ainsi les

différentes classes de ce genre de systèmes. Des exemples illustratifs sont présentés.

Dans le troisième chapitre on s’intéresse à la structure générique des SDH. Nous avons

détaillé une approche de modélisation dite mixte, et nous avons choisi pour cette méthode les

automates hybrides, dans la mesure où cette dernière tient compte des informations continues

et discrètes dans la même structure. Enfin, nous avons illustré la méthode sur le système du

benchmark de l’AS 193.

Le quatrième chapitre comprend la modélisation et la surveillance des systèmes

dynamiques hybrides, une présentation détaillée de la méthode de surveillance choisie dans

notre travail qu’est la méthode de l’espace de parité qui est une méthode de surveillance à

base de modèle. Cette méthode sera étudiée pour des systèmes linéaires et non linéaires, pour

ces derniers, une méthode d’élimination des inconnues spécifique, c’est la méthode de la base

de Groebner qui sera utilisée, enfin une application sur un système non linéaire (un système

dérivé du benchmark de l’AS 193).

Enfin, nous terminerons notre travail par une conclusion générale et quelques perspectives.

CCHHAAPPIITTRREE II

SURVEILLANCE DES SYSTEMES AUTOMATISÉS

I.1. Introduction.

I.2. Définitions.

I.3. Fonctions de la surveillance.

3.1.1. La détection.

3.1.2. Le diagnostic.

3.1.2.1. La localisation.

3.1.2.3. L’identification.

I.4. Méthodes de la surveillance.

I.4.1. Choix de la méthode de surveillance.

I.4.2. Les méthodes sans modèle analytique (directes).

I.4.3. Les méthodes avec modèle analytique.

Chapitre I Surveillance des systèmes automatisés

4

I. 1. Introduction :

Les systèmes automatisés de production sont caractérisés par une complexité croissante.

Cette complexité le rend vulnérables aux défaillances, celles-ci étant à l’origine de coûts

importants en termes de sécurité (risque d’accidents, de pollutions, ...), et en termes de

disponibilités (diminution de la productivité). Cette vulnérabilité justifie l’introduction de

modules de surveillance.

La fonction de surveillance a pour premier objectif d’accroître la sécurité de l’installation.

Ainsi, cette fonction a principalement été développée pour des systèmes critiques tels les

installations chimiques, les centrales nucléaires, les plates-formes pétrolières et

l’aéronautique.

Parmi les facteurs qui contribuent à l’amélioration de la disponibilité, de la qualité et de la

sûreté de fonctionnement ainsi qu’à la réduction des coûts des installations industrielles, les

méthodes de surveillances sont devenues une aide significative, en particulier pour

l’exploitation de Systèmes Automatisés de Production (S.A.P.). La surveillance regroupe

l’ensemble des algorithmes de détection et de localisation des défaillances, elle s’intègre dans

le cadre plus général de la supervision et permet d’améliorer la qualité ainsi que de réduire les

coûts, en intervenant au cours des phases du cycle de vie du produit que sont:

La conception : une méthode d’analyse préventive peut être utilisée dès les premières étapes

d’un projet pour déterminer au mieux les défaillances possibles ainsi que leurs effets :

"diagnostic de conception",

La production : les défauts peuvent être identifiés et localisés en cours de production. Le

diagnostic permet de corriger ou d’arrêter la fabrication de produits puisqu’ils ne pourront

satisfaire le cahier des charges,

L’utilisation : une procédure d’arrêt et/ou de retrait peut être déclenchée si la sécurité est mise

en péril par l’occurrence d’un défaut lors d’une phase d’utilisation. Une localisation précise

des défaillances pourra permettre d’améliorer la maintenabilité et la disponibilité en indiquant

les composants à remplacer. Ici, l’intérêt du diagnostic est de fournir les informations qui

définissent une politique de maintenance appropriée.

Le système de surveillance doit réaliser les trois tâches suivantes :

1 – La détection.

2 – La localisation.

3 – L’identification.

Beaucoup de systèmes de surveillance ne comportent que les deux premières étapes.

L'identification d'une défaillance n'est réalisée que lorsqu'une action de reconfiguration de la

commande ou des objectifs à atteindre est envisagée. Lorsqu'un algorithme de surveillance ne

comporte que ces deux étapes, il est qualifié d'algorithme de FDI (Fault Detection and

Isolation).


5

I. 2. Définitions :

Il semble intéressant, dans un premier temps, de rappeler les principaux termes utilisés

dans les notions de la surveillance des systèmes. Reposant principalement sur le travail

effectué par [4], [5], [6].

Définition I.1. La surveillance :

Représente l’ensemble des moyens mis en œuvre destinées à observer l’état d’une entité

dans le but de faire face aux aléas d’un système au cours de la phase d’exploitation.

Le suivi en temps réel des signaux permet de reconstituer l’état réel du système commande

en tenant compte de ces différents modes de fonctionnement et de faire toutes les inférences

nécessaires pour produire des données utilisées.

L’exploitation de ces données permet par la suite de :

Dresser des historiques de fonctionnement.

Le cas échéant, mettre en œuvre un processus de traitement de défaillance. Les performances

d’un système de surveillance peuvent être améliorées grâce aux actions sur les différentes

fonctions du système de surveillance, à savoir la fonction détection et la fonction diagnostic

qui consiste a la localisation et l’identification de la défaillance.

L’objectif de la surveillance consiste à déterminer à chaque instant le mode de

fonctionnement du système par ses manifestations extérieures. Il s’appuie sur une

connaissance a priori des modes de fonctionnement et sur une connaissance instantanée

matérialisée par une nouvelle observation de l’état du système. Son principe général consiste

à confronter les données relevées au cours du fonctionnement réel du système avec la

connaissance que l’on a de son fonctionnement normal ou défaillant. Si le mode de

fonctionnement identifié est un mode défaillant, le système de surveillance pourra localiser sa

cause. La fonction la surveillance est donc de chercher une causalité liant le symptôme, la

défaillance et son origine

Définition I.2. Le système de surveillance :

Le système de surveillance a pour vocation première d’émettre des alarmes dont l’objectif

est d’attirer l’attention de l’opérateur de supervision sur l’apparition d’un ou plusieurs

événements susceptibles d’affecter le bon fonctionnement de l’installation, comme le

dépassement d’un seuil de sécurité au niveau du remplissage d’une cuve.

Compte tenu de la complexité des procédés, la génération d’alarmes est le moyen le plus

employé pour avertir l’opérateur de l’occurrence d’un événement anormal. Les alarmes sont

donc liées aux dysfonctionnements pouvant apparaître sur le système de production.

Définition I.3. Système physique :

Un système physique est un ensemble d’éléments (composants, constituants)

interconnectés ou en interaction organisés pour réaliser une fonction.


6

Définition I.4. Composant :

Un composant est une partie du système choisie selon des critères liés à la modélisation. Il

doit être simple à modéliser dans le sens où cela doit être naturel : il peut s’agir d’un

composant (physique ou logique) complet du système ou d’une partie parfaitement délimitée

de ce composant, d’un groupe de composants. Le comportement du composant élémentaire

n’est pas décomposable ou alors cette décomposition n’est pas souhaitée, il constitue une

"brique" du comportement du système.

Définition I.5. Modèle :

Un modèle d’un système physique est une description de sa structure et une représentation

comportementale ou fonctionnelle de chacun de ses composants. Une représentation

comportementale est constituée de relations entre diverses variables du système, appelées

classiquement relations de causes à effets. Une représentation fonctionnelle est plus abstraite

puisqu’elle ne s’adresse qu’aux objectifs présumés que le système physique doit remplir. Le

niveau structurel, quant à lui, s’appuie sur la structure réelle du système physique et décrit les

interconnections entre ses différents éléments ou constituants. Les niveaux comportemental et

fonctionnel comprennent des relations entre des grandeurs physiques (variables) et permettent

de mettre en évidence la présence d’un événement anormal ou anomalie. Le niveau structurel,

quant à lui, permet de déterminer l’élément affecté par le défaut. L’intérêt de cette

décomposition est de rappeler que, puisqu’un modèle contient toute l’information relative à

un système physique, il est utilisable ensuite par la procédure de la surveillance.

Définition I.6. L’anomalie :

Condition anormale diminuant ou supprimant l’aptitude d’une entité fonctionnelle à

accomplir une fonction requise. Ce terme générique permet de décrire tout ce qui n’est pas

conforme à une référence.

Définition I.7. Le défaut :

- anomalie de comportement au sein d’un système physique ; un défaut n'altère pas

nécessairement le fonctionnement d'un système physique mais peut présager d'une défaillance

à venir, ou :

− Tout écart entre la caractéristique observée sur le dispositif et la caractéristique de

référence, lorsque celui-ci est en dehors des spécifications.

− N'importe quel état indésirable d'un composant ou d'un système. Un défaut n'implique pas

nécessairement une défaillance.

− Déviation non permise d'au moins une propriété ou un paramètre caractéristique du système

des conditions acceptables ou (et) standards.

− Un défaut est une anomalie de comportement au sein d'un système physique localisée au

niveau d’un composant.


7

Définition I.8. La défaillance :

Anomalie fonctionnelle au sein d’un système physique. C’est une cessation de l’aptitude

d’une unité fonctionnelle à accomplir une fonction requise avec les performances définies

dans les spécifications techniques. C’est-à-dire caractérise son incapacité à accomplir

certaines fonctions qui lui sont assignées. La défaillance est un passage d’un état à un autre,

par opposition à une panne qui est un état.

Les défauts incluent les défaillances mais la réciproque n'est pas vraie. Un système peut

remplir sa fonction tout en présentant une anomalie de comportement. Par exemple, une

machine électrotechnique peut produire un bruit anormal tout en entraînant correctement une

charge, en supposant que telle soit sa fonction. Le bruit anormal est un défaut qui peut

permettre de présager d'une défaillance à venir. La recherche de défauts est donc

fondamentale en diagnostic.

Définition I.9. La panne :

Inaptitude d’un dispositif à accomplir sa fonction vitale.

Il est clair que dès l’apparition d’une défaillance, caractérisée par la cessation du dispositif à

accomplir sa fonction, on déclarera le dispositif en panne. Par conséquent, une panne résulte

toujours d’une défaillance.

Définition I.10. Le symptôme :

Une ou plusieurs observations qui révèlent d’un dysfonctionnement.

Il s’agit d’un effet qui est la conséquence d’un comportement anormal. Ce terme permet le

regroupement d’indices de défauts ne présentant pas d’intérêt séparément.

Définition I.11. La perturbation :

Entrée du système physique qui n’est pas une commande. Autrement dit, c’est une entrée

non contrôlée.

La figure I.1 représente les anomalies suivant leur criticité.

Normal

Défaut

Anomalies

Figure I.1 Anomalies et Observations classées p

cnormal

Limite dufonctionnement

normal

Plus aucufonction as

D

a

nesur

éfaillance

Panne

Signe

SymptômeObservations

ée

Limite duomportement

r criticité croissante.


8

Il existe également une criticité croissante entre défaillance et panne. De la non conformité

(ou anomalie) dans le cas d’une défaillance, on passe à une inaptitude à accomplir une

fonction dans le cas d’une panne.

Ces notions sont illustrées à partir de l'exemple d’un moteur devant assurer une fonction de

ventilation (tableau I.1).

Définition illustrée Evènement Ecart aucomportement

nominal(courant, vitesse)

Aptitude àremplir lafonction deventilation

Perturbation Variation de température extérieure (normal) Petit TotalDéfaut Fort échauffement Moyen Total

Défaillance Déclenchement intermittent d’un relaisthermique stoppant le ventilateur jusqu’à ceque la température du moteur redescende à unniveau acceptable.

Grand Partielle

Panne Suite aux forts échauffements répétitifs, lesisolants sont progressivement endommagés:un court-circuit apparaît; le moteur ne peutplus tourner jusqu’à ce qu’une réparation soiteffectuée.

Grand Nulle

Tableau I.1 Criticité croissante des anomalies.

Remarque I.1. Effet de perturbations :

Contrairement à ce que pourrait laisser penser le tableau I.1, les écarts de comportement

relatifs à des perturbations ne sont pas nécessairement plus faibles que ceux associés aux

défauts. Par exemple, une perturbation telle qu’une variation du couple de charge sur un

moteur peut entraîner des écarts très importants par rapport à un comportement de référence,

sans que cette situation soit critique. Des écarts de comportement beaucoup plus faibles,

résultant par exemple de courts-circuits entre quelques spires d’une même phase,

correspondent par contre à une situation plus critique pour laquelle un diagnostic pourra être

envisagé.

Définition I.12. Le résidu :

Un résidu est un signal indicateur de défauts. Il reflète la cohérence des données mesurées

vis-à-vis du modèle comportemental du système. Autrement dit : le résidu est l’écart produit

par la comparaison entre le comportement réel et le comportement nominal du système.

I. 3. Fonctions de la surveillance :

Le rôle de la surveillance est de recueillir en permanence tous les signaux en provenance

du procédé et de la commande, de reconstituer l’état réel du système commandé et de faire

toutes les inférences nécessaires pour produire les données utilisées ou utilisables, en vue de :

- dresser des historiques de fonctionnement,

- le cas échéant, mettre en œuvre un processus de traitement de défaillances.


9

La surveillance regroupe les sous fonctions suivantes : la détection, le diagnostic qui

regroupe à son tour deux fonction telles que : la localisation et l’identification, comme illustre

la figure suivante :

I. 3. 1. La détection :

La détection, qui répond à la question "y a-t-il une (nouvelle) anomalie dans le système?",

permet de déterminer la normalité ou l’anormalité du système en fonctionnement. Autrement

dit : la détection vise à déterminer l’apparition et l’instant d’occurrence d’une faute.

On peut distinguer deux grandes classes d’anomalies :

La première regroupe les situations pour lesquelles le comportement du système devient

anormal par rapport à ses caractéristiques intrinsèques.

La seconde regroupe les situations dans lesquelles le comportement est anormal par rapport à

la loi de commande appliquée.

La détection consiste à comparer la signature courante à la signature de référence associée

aux modes de fonctionnement identifies et ensuite à prendre une décision en fonction du

résultat de la comparaison. D’autres techniques de détection s’appuient sur les dates limites

d’occurrences des signaux attendus, le suivi de l’évolution de l’état du système, les systèmes

experts, l’utilisation de capteur spécialisés et les techniques d’analyse de fréquence.

Dans les procédures de détections, les signatures utilisées sont des grandeurs scalaires, des

courbes ou des images. Sachant que le signal d’écart possède un comportement aléatoire, la

prise de décision nécessite la définition de seuils aux maxima et aux minima au-delà desquels

on déclarera un dysfonctionnement, c-à-d permet alors de caractériser le fonctionnement du

système de normal ou d’anormal.

La détection de symptômes d’anomalies liés aux éléments du procédé requiert

généralement l’élaboration d’un modèle à surveiller (procédé). Ce modèle peut être de bon

fonctionnement ou un modèle de dysfonctionnement. Par exemple, dans le cas des systèmes

discrets, un modèle correspondrait à un RdP et dans le cas de système continu un modèle

correspondrait à un ensemble d’équations différentielles. Sans modèle du système à surveiller,

Fonctions de la surveillance

Détection Diagnostic

Localisation Identification

Figure I.2 Fonctions de la surveillance.


la stratégie adoptée consiste en l’exploitation des informations données par les capteurs et les

détecteurs au niveau local du procédé.

Un test de détection (dit aussi test de cohérence ou test de consistance) a pour finalité de

vérifier si un ensemble d'informations représentatives de l'état d'un système physique est

cohérent avec la connaissance d'un comportement donné qui peut être normal ou anormal

comme le montre la figure I. 3. Le résultat de la comparaison produit un écart, appelé résidu.

Cet écart sera comparé à des seuils fixés à priori. Si le seuil de la détection est trop petit, il

peut y avoir des fausses alarmes. Si le seuil est trop grand, on aboutit à des manques à la

détection. Les informations sont associées à des variables; elles peuvent être des observations

qualitatives ou des mesures.

Une défail

Les résidus s

système réel.

de modélisat

alors les rés

différent de z

déclencher un

En pratiq

simplificatric

nominal et le

doit être imp

alarme ou no

choisie mais

fausse alarme

Compdu sys

F

Comportement réel du

10

lance sera détectable si au moins un résidu

ont obtenus en comparant des modèles s

Lorsque le modèle permet de représenter

ion, connaissance de la nature des signau

idus générés seront strictement égaux à

éro en présence de défaillances. La procé

e alarme lorsqu'au moins un résidu différe

ue, les modèles que nous utilisons s

es et sont donc imparfaits. Les résidus

système réel) ne sont plus parfaitement ég

lantée afin de décider si la valeur différen

n. La qualité de la détection dépend bien

aussi et surtout de la qualité des résidus

et de non détection, les résidus doivent êt

système

COMPARER

TESTER

ortement réeltème

Ecart

Détection

Symptôme

igure I.3 Test de cohérence (test de détec

Modèle du système en
fonctionnement normal
Connaissance a
priori du système.
permet de la détecter.

'exprimant sous la forme d'état et un

exactement le système (aucune erreur

x inconnus agissant sur le système),

zéro en fonctionnement normal et

dure de détection se résumera alors à

ra de zéro.

ont obtenus à partir d’hypothèses

(qui reflètent l’écart entre le modèle

aux à zéro. Une procédure de décision

te de zéro du résidu doit générer une

entendu de la procédure de décision

utilisés. Afin de réduire les taux de

re optimisés, c’est à dire rendus le plus

tion, test de consistance)


11

sensible possible aux défaillances et le moins possible aux perturbations ou erreurs de

modélisation.

I. 3. 2. Le diagnostic :

L’objectif du diagnostic consiste à déterminer à chaque instant le mode de fonctionnement

du système par ses manifestations extérieures. Il s’appuie sur une connaissance a priori des

modes de fonctionnement et sur une connaissance instantanée matérialisée par une nouvelle

observation de l’état du système. Son principe général consiste à confronter les données

relevées au cours du fonctionnement réel du système avec la connaissance que l’on a de son

fonctionnement normal ou défaillant. Si le mode de fonctionnement identifié est un mode

défaillant, le système de diagnostic pourra localiser sa cause. La fonction du diagnostic est

donc de chercher une causalité liant le symptôme, la défaillance et son origine.

On peut dire aussi, que le diagnostic consiste à localiser les éléments défaillants et à

identifier les causes à l’origine du problème, ceci en établissant un lien causal entre les

symptômes et les éléments fautifs à remplacer. La phase qui suit correspond à la décision. Elle

a pour rôle de déterminer et d’engager les actions permettant de ramener au mieux le système

dans un état normal. Ces actions peuvent être des ordres d’arrêts d’urgence ou des lancements

de réparations ou d’opérations préventives. Dans le cas où on voudrait éviter une perte de

production, cette décision peut être une reconfiguration du procédé.

La fonction de diagnostic fait apparaître les deux sous fonctions : la localisation etl’identification.

I. 3. 2. 1. La localisation :

Cette fonction a pour but de répondre à la question " à quelles classes de défauts ou de

défaillances appartiennent les anomalies du système ? ". Ou la localisation consiste a

déterminer l’endroit du procédé ou s’est produite la défaillance et la nature de celle-ci.

Lorsqu'une défaillance est détectée, une procédure de localisation est utilisée pour

permettre de déterminer l'origine de celle-ci. A la différence de la détection où un seul résidu

est nécessaire, la procédure de localisation nécessite un ensemble (ou vecteur) de résidus.

Pour permettre la localisation, le vecteur de résidu doit avoir un certain nombre de

propriétés permettant de caractériser de manière unique chaque faute. La procédure

permettant de conférer aux résidus ces propriétés, est appelée procédure d'amélioration des

résidus. Il existe deux méthodes d'amélioration des résidus :

- La construction de résidus structurés [7].

- La construction de résidus directionnels [8].

I. 3. 2. 1. a. Les résidus structurés (structurels):

Définition I. 13 :

Un résidu r(t, y, u, v) est non affecté par v (ou invariant sous v) si pour toute entrée

admissible u et toute sortie y, nous avons r(t, y, u, v1) = r(t, y, u, v2) pour tout t = 0 et quel que

soit le couple v1 et v2. Dans le cas contraire, le signal est dit affecté par v.


12

Définition I. 14 :

La structure d’un résidu ri par rapport à un ensemble de défaillances {} de dimension

est le mot binaire Sri composé de bits (Si,j) positionnés de la manière suivante :

Si,j = 1 si le résidu ri est affecté par la jième élément de {}.

Si,j = 0 si le résidu ri est non affecté par la jième élément de {} (tableau I.2).

Les résidus structurés sont conçus de manière à être chacun affecté par un sous ensemble de

défaillances et robuste (non affecté) par rapport aux défaillances restantes. Ainsi, lorsqu’une

défaillance apparaît, seul un sous ensemble de résidus réagit.

Les informations de sensibilité et de robustesse souhaitées pour les résidus sont

répertoriées dans une table binaire, appelée la table des signatures théoriques, comme illustre

le tableau I.2. Celle-ci est construite de la manière suivante : lorsque le iième résidu doit être

sensible (resp. robuste) à la jième défaillance, alors la valeur binaire 1 (resp. 0) est affectée à la

ligne et à la colonne correspondante.

1 1

r1 S11 S12 S1

r2 S21 S22 S2

rm Sm1 Sm2 Sm

Tableau I.2 Table de signatures des fautes

L'ensemble des résidus structurés est construit en respectant la procédure suivante :

- Fixer la table de signatures théoriques que l'on souhaite obtenir.

- Construire un vecteur de résidus ayant les propriétés désirées.

- Si l'obtention d'un vecteur de résidus ayant les propriétés imposées par la table de

signatures théoriques n'est pas possible, alors de nouvelles spécifications de sensibilité

et de robustesse doivent être proposées.

Lorsque la table des signatures théoriques est construite, une procédure de détection,

appliquée à chaque résidu, permet d'obtenir la signature réelle des résidus à un instant donné.

Si cette signature est nulle alors aucun résidu n'a détecté de défaillance. Le système sera donc

déclaré sain. Si une défaillance survient, au moins un des résidus détectera cette défaillance, la

signature réelle deviendra non nulle. La procédure de localisation consistera alors à retrouver

la signature réelle dans la table des signatures théoriques.

Définition I. 15 :

Une défaillance sera structurellement localisable si toutes les colonnes de la table des

signatures théoriques sont différentes.

La table de signatures théoriques doit être proposée de telle manière que le vecteur de

résidus structurés correspondant soit calculable et que les propriétés d'isolabilité soient les

plus intéressantes possibles. La qualité d'isolabilité de la table est donnée par l'ordre de

localisabilité défini comme suit :


Définition I.16 :

Une défaillance est localisable d’ordre k si sa distance de Hamming par rapport à la

signature de défaillance la plus proche est de k bits.

Pour illustrer cela, considérons le petit exemple suivant :

Exemple I. 1 :

Soient trois résidus r1, r2 et r3 et trois défaillances f1, f2 et f3. La table I. 3 présente 4

ensembles de signatures théoriques ayant des propriétés d’isolabilité différentes.

La table I. 3. a illustre le cas de deux tables non isolables (f1 et f2 possèdent la même

signature).

La table I. 3. b donne un exemple où les défaillances sont isolables d’ordre 1 (un seul bit est

différent entre f1 et f2).

La table I. 3. c et I. 3. d donne un exemple où les défaillances sont isolables d’ordre 2. Malgré

un indice d’isolabilité identique, la table I. 3. d sera la plus simple à traiter. D’une manière

générale, lorsque deux tables de signatures théoriques ont le même ordre d’isolabilité, la table

contenant le plus de zéros sera systématiquement choisie.

I.

L

lo

le

co

f1 f2 f3

r1 1 1 0

r2 1 1 1

3. 2. 1. b. Les résidus dire

es résidus directionnels

calisation des défaillances.

vecteur des résidus soit o

mme le montre la figure I.

r3 0 0 1

a)

Tableau I.3 Table de s

r2

D

f1 f2 f3

1 1 0

1 0 1

13

ctionnels:

représentent une au

Ils sont construits te

rienté suivant une d

4.

0 0 1

b)

ignatures théoriques

r3

Défa

éfaillance 3

Figure I.4 Résidu

f1 f2 f3

1 1 0

1 0 1

tre possibilité pou

ls que, en réponse à

irection bien précise

0 1 1

c)

de trois résidus pou

r1

illance 1

Défaillance 2

s directionnels

f1 f2 f3

1 0 0

0 1 0

r réaliser la tâche de

une défaillance donnée,

de l’espace de résidus

0 0 1

d)

r trois défaillances


14

Le vecteur de résidus directionnel ( )r t

, en réponse à une défaillance ( ) 1, ,i ff t i ,

s’exprimera sous la forme :

( / ) ( ) 1,2, ,i i ir t f t l i

où il

est un vecteur constant appelé la signature directionnelle de la défaillance i dans

l’espace des résidus et i est une fonction scalaire qui dépend de la taille et de la dynamique

de la défaillance.

La tâche de localisation des défaillances consiste à déterminer la signature directionnelle

théorique la plus proche de la signature directionnelle obtenue par le calcul des résidus.

La figure I.5 illustre ce problème de l’isolation de défaillance en utilisant les résidus

directionnels.

En pointillé, on retrouve trois vecteurs de signatures directionnelles théoriques et en trait

plein la signature réelle du résidu. Cette signature est très proche de la signature théorique de

la défaillance 2. Il est donc probable que cette défaillance soit présente sur le système à

surveiller.

I. 3. 2. 2. L’identification :

L’identification, qui a pour rôle de déterminer quelles sont les caractéristiques de chacun

des défauts ou des défaillances. Elle consiste à déterminer (identifier) les caractéristiques

précises de la défaillance. L’identification (ou estimation) du défaut est une tâche plus

délicate qui nécessite d’utiliser un modèle de comportement du système en présence des

défaillances avec un niveau élevé de connaissance sur les défaillances (c’est à dire une

connaissance de la structure et de la dynamique de la défaillance). L’obtention d’une

estimation de la défaillance permet bien entendu de donner une image beaucoup plus précise

de l’état du système.

I. 4. Méthodes de la surveillance :

La première question à se poser quant au choix d’une méthode de surveillance est la

suivante : que savons-nous sur le système où apparaissent des défaillances? Et plus

exactement, possédons-nous un modèle permettant de connaître l’évolution de ce système?

1l 2l

3lr

Figure I.5 Résidus directionnels pour la localisation


15

En fonction de la réponse, nous pourrons nous diriger vers l’une des deux familles de

surveillance : les méthodes avec modèles ou les méthodes sans modèles. Ces dernières sont

illustrées à la figure I.6 :

Dans ce qui suit, on présente différentes méthodes utilisées en surveillance de systèmes

physiques. Le domaine était très vaste, des choix arbitraires ont été faits. Le but n’est donc pas

de faire une synthèse exhaustive de l’existant, mais de montrer la richesse des possibilités qui

s’offrent au concepteur de système de surveillance. En effet, différents types d’algorithmes de

détection dédiés aux systèmes physiques ont été conçus par les chercheurs de la communauté

Méthodes de surveillance

Existe-t-il unmodèle

analytique ?

Surveillancesans modèles(analytiques)

Surveillanceavec modèles

analytiques oumathématiques

Estimationparamétrique

Estimation d’état(redondanceanalytique)

Observateurs

Espace de parité

Redondancematérielle

Seuillage

Traitementstatistique

Analysefréquentielle

(filtrage)

Capteurs spécifiques(Capteurs-Détecteurs)

Réseaux de neuronesartificiels

Systèmes d’inférenceflous

Système expertRaisonnement à partir des cas

Reconnaissance de formes

Figure I.6 Différentes méthodes de surveillance

OuiNon


16

de l’Automatique. Néanmoins, on s’est astreint à balayer le large spectre des techniques

actuellement utilisées en surveillance, à savoir :

Méthodes sans modèle analytique : Les différents types de fonctionnement sont décrits par la

donnée d'un certain nombre de points expérimentaux.

Méthode avec modèle analytique : Les différents types de fonctionnement sont décrits par des

modèles de comportement.

Le principe général de ces méthodes est de confronter les données relevées au cours du

fonctionnement réel avec la connaissance que l'on a du fonctionnement nominal (détection)

ou des fonctionnements défaillants (diagnostic : localisation et identification).

Actuellement, on s’oriente vers des systèmes de surveillance mettant en œuvre différentes

techniques de détection. En effet, chacune d’entre elles est plus ou moins bien adaptée pour

appréhender tel ou tel type de défaillance. Par exemple, on s’orientera vers les méthodes à

base d’estimation paramétrique lorsqu’on souhaite localiser une défaillance qui se manifeste

par une variation des paramètres du modèle identifié.

I. 4. 1. Choix de la méthode de surveillance :

Les méthodes de surveillance sans modèles se basent sur des informations issues d’une

expérience préalable, sur des règles heuristiques ou encore sur des exemples de résolution.

C’est ainsi qu’un expert d’un domaine utilise l’expérience qu’il a acquise lorsqu’il a été

confronté à des cas de surveillance similaires.

Il peut exploiter également un autre type de connaissance : les lois physiques décrivant le

comportement attendu du système. Tout écart par rapport au comportement "normal" attendu

est considéré comme le symptôme d’une défaillance. Le principe fondamental de cette

approche, qui regroupe les méthodes de surveillance avec modèles analytiques, consiste donc

à vérifier la cohérence du modèle simulé avec les observations du dispositif réel.

I. 4. 2. Les méthodes de surveillance sans modèle (directes) :

I. 4. 2. 1. Redondance matérielle :

Cette méthode consiste à multiplier physiquement les capteurs critiques d’une installation.

Un traitement des signaux, issus des éléments redondants, effectue des comparaisons et

distingue l’élément défectueux en cas d’incohérence. Cette méthode est pénalisante en termes

de poids, de puissance consommée, de volume, de coût (d’achat et de maintenance). Elle est

donc essentiellement réservée aux cas où la continuité de service est obligatoire, sur des

systèmes à hauts risques comme les systèmes aérospatiaux ou nucléaires notamment. En effet,

elle présente l’avantage, une fois la défaillance détectée et localisée, de pouvoir utiliser la

partie de l’équipement encore saine. Cependant, cette technique ne s’applique généralement

que sur des capteurs.


17

I. 4. 2. 2. Seuillage :

Des variables mesurées sont comparées avec des valeurs limites constantes ou adaptatives

(évoluant en fonction du point de fonctionnement). Un premier niveau indique la présence

probable d’un défaut alors qu’un second niveau peut en caractériser la gravité. Le

franchissement d’un seuil révèle la présence d’une anomalie. Le seuillage comporte un

inconvénient : son aspect catégorique. Effectivement, le résultat d’une telle méthode peut être

remis en question si la grandeur testée est proche du seuil; à cause du bruit présent lors de

mesures, celle-ci peut être considérée comme fausse alors qu’elle ne l’est pas et inversement.

Pour éviter ce désagrément, la logique floue est associée au seuillage, ce qui permet, outre la

gestion de l’imprécision, d’obtenir une représentation unifiée de la connaissance, et ainsi de

fusionner les informations décrites à l’aide de grandeurs numériques, qualitatives ou

logiques [9].

I. 4. 2. 3. Traitement statistique :

L’étude de l’évolution de la moyenne ou de la variance d’un signal peut favoriser la mise

en évidence d’une anomalie. La prise de décision est généralement effectuée à l’aide d’un test

d’hypothèses où deux hypothèses représentent le fonctionnement normal et anormal.

Parmi les tests d’hypothèses les plus connus, nous trouvons le maximum de vraisemblance

généralisée qui possède l’avantage de déterminer seul l’horizon des observations à utiliser et

minimise le nombre d’observations nécessaires pour prendre une décision sans

ambiguïté [10].

I. 4. 2. 4. Analyse fréquentielle (Filtrage) :

Une première approche du traitement du signal repose sur l’analyse fréquentielle

(transformée de Fourier). Elle est bien évidemment très utilisée pour la détection de

phénomènes périodiques comme en analyse vibratoire. Le contenu spectral des signaux est

utilisé depuis de nombreuses années pour détecter des défauts dans les machines électriques

tels que les ruptures de barres au rotor des machines asynchrones, la dégradation des

roulements, les décentrages, les courts-circuits dans les bobinages.

L’analyse du spectre des signaux issus des capteurs permet de déterminer très efficacement

l’état de l’installation sous surveillance. Les signaux sont ici tout d’abord analysés en état

normal de fonctionnement. Ensuite, toute déviation des caractéristiques fréquentielles d’un

signal est reliée à une situation de défaillance.

Cette approche possède l’avantage d’être relativement simple à mettre en pratique, mais

l’inconvénient d’être assez sensible aux bruits de mesure quand ceux-ci coïncident avec la

zone fréquentielle d’intérêt. De plus un échantillonnage fréquent est nécessaire pour permettre

de reconstituer le signal de départ tout en minimisant la perte de fréquence [11].

I. 4. 2. 5. Capteurs spécifiques (Capteurs-Détecteurs) :

Des capteurs spécifiques peuvent également être utilisés pour générer directement des

signaux de détection ou connaître l’état d’un composant. Par exemple, les capteurs de fin de


18

course, d’état de fonctionnement d’un moteur ou de dépassement de seuils sont largement

employés dans les installations industrielles [12].

I. 4. 2. 6. Réseaux de neurones artificiels :

Quand la connaissance sur le procédé à surveiller n’est pas suffisante et que le

développement d’un modèle de connaissance du procédé est impossible, l’utilisation de

modèle dit "boîte noire" peut être envisagée. Pour cela des réseaux de neurones artificiels

(RNA) ont été utilisés. Leur application dans les domaines de la modélisation, de la

commande et du diagnostic a largement été rapportée dans la littérature.

Un RNA est en fait un système informatique constitué d’un nombre de processeurs

élémentaires (ou nœuds) interconnectés entre eux qui traite -de façon dynamique-

l’information qui lui arrive à partir des signaux extérieurs.

De manière générale, l’utilisation des RNA se fait en deux phases. Tout d’abord, la

synthèse du réseau est réalisée et comprend plusieurs étapes : le choix du type de réseau, du

type de neurones, du nombre de couches, des méthodes d’apprentissage. L’apprentissage

permet alors, sur la base de l’optimisation d’un critère, de reproduire le comportement du

système à modéliser. Il consiste en la recherche d’un jeu de paramètres (les poids) et peut

s’effectuer de deux manières : supervisée (le réseau utilise les données d’entrée et de sortie du

système à modéliser) et non supervisée (seules les données d’entrée du système sont fournies

et l’apprentissage s’effectue par comparaison entre exemples) quand les résultats

d’apprentissage obtenus par le RNA sont satisfaisants, il peut être utilisé pour la

généralisation. Il s’agit ici de la deuxième phase où de nouveaux exemples – qui n’ont pas été

utilisés pendant l’apprentissage – sont présentés au RNA pour juger de sa capacité à prédire

les comportements du système modélisé.

Comme il a été dit précédemment, les RNA peuvent être utilisés pour le diagnostic des

défaillances. Leur faible sensibilité aux bruits de mesure, leur capacité à résoudre des

problèmes non linéaires et multi variables, à stocker la connaissance de manière compacte, à

apprendre en ligne et en temps réel, sont en effet autant de propriétés qui les rendent

attrayants pour cette utilisation [13].

I. 4. 2. 7. Systèmes d’inférence flous :

Pendant les vingt dernières années, les systèmes d’inférence floue (SIF) – dont les bases

relèvent de la théorie des ensembles flous de Zadeh [15] – sont devenus très populaires.

Les applications dans le traitement du signal, la modélisation, la commande, la supervision

de procédés et la prise de décision sont en effet autant d’applications qui démontrent la

capacité des SIF à traiter des problèmes non linéaires grâce à l’utilisation de connaissances

expertes.


19

La structure de base d’un SIF est constituée de :

- Un univers de discours qui contient les fonctions d’appartenance des variables

d’entrée et de sortie à des classes. Ces fonctions peuvent avoir différentes formes, les

plus usuelles étant les formes triangulaires, trapézoïdales, et gaussiennes,

- Une base de connaissance qui regroupe les règles liant les variables d’entrées et de

sorties sous la forme « Si…Alors… »,

- Un mécanisme de raisonnement.

Du fait que les tâches de surveillance reposent sur des quantités d’heuristiques difficiles à

formaliser dans un modèle mathématique, les SIF possèdent les avantages suivants :

- La corrélation entre des variables très différente,

- Des observations qualitatives (par exemple : couleur, bruit),

- Des intuitions, liées à des statistiques (par exemple : tel appareil pose plus de

problèmes que tel autre…) difficilement quantifiables mais pourtant très efficaces

[14].

I. 4. 2. 8. Les systèmes experts (le raisonnement à partir des cas) :

Le raisonnement à partir de cas (Case Based Reasoning) modélise l’expertise et les

capacités de raisonnement de spécialistes qualifiés dans le domaine de pointe. Ce

raisonnement est qualifié de résoudre un problème en s’appuyant sur des expériences passées.

La connaissance est emmagasinée sous forme de cas. Un cas est un morceau contextualisé de

connaissances, représentant une expérience, qui peut être utilisé pour réaliser les buts du

moteur de raisonnement. Ainsi, un cas peut être vu comme une situation éprouvée dans le

passé, associé au résultat d’une certaine action pertinente. Le raisonnement à partir de cas est

un raisonnement par analogie. Les attributs d’une situation sont employés en tant qu’index

dans la bibliothèque de cas pour récupérer le meilleur, selon certains critères de similarité, et

ainsi pour déterminer la solution au problème.

Les systèmes experts reposent sur l’utilisation :

- d’une base de connaissances qui contient l’expertise du spécialiste décrite sous forme

de règles dont la structure est la suivante : SI <conditions> ALORS <conclusions>,

- d’une base de faits qui contient les informations de base nécessaires à l’établissement

d’un diagnostic,

- d’un moteur d’inférence qui mime le processus de raisonnement du spécialiste.

La difficulté consiste ici à bien définir les cas, en d’autres termes, à déterminer ceux utiles

et nécessaires à la description d’une situation. Leur détermination pour des systèmes

dynamiques est loin d’être évidentes [16].

I. 4. 2. 9. Reconnaissance de formes :

La Reconnaissance de Formes (la RdF) est la science qui se base sur la définition

d’algorithmes permettant de classer des objets ou des formes en les comparants à des formes

types. Ses applications interviennent dans de nombreux domaines tels que la reconnaissance


20

vocale, la reconnaissance de caractères, l’automatisation industrielle, le diagnostic médical et

la classification de documents.

De manière générale, on distingue les types de RdF suivants :

- La RdF structurelle qui se base sur une représentation des formes à l’aide de

grammaires,

- La RdF statistique qui s’appuie sur une représentation purement numérique des

formes.

Le fonctionnement d’un système de surveillance par RdF se déroule en trois phases :

- Une phase d’analyse qui consiste à déterminer et à réduire l’espace de représentation

des données et à définir l’espace de décision permettant de spécifier l’ensemble des

classes possibles.

- Une phase de choix d’une méthode de décision permettant de définir une règle de

décision qui a pour fonction de classer les nouvelles observations dans les différentes

classes de l’ensemble d’apprentissage.

- Une phase d’exploitation qui détermine, en appliquant la règle de décision, le mode de

fonctionnement du système en fonction de chaque nouvelle observation recueillie sur

le processus [17].

I. 4. 3. Les méthodes de surveillance avec modèle :

La plupart des méthodes de détection et de diagnostic en ligne s’appuient sur des mesures.

Il existe des méthodes qui utilisent plus de connaissances que celles apportées par les seuls

capteurs physiques. Ces connaissances peuvent en particulier provenir de la connaissance du

comportement entrée/sortie d’un procédé. Cette connaissance est généralement exprimée sous

forme de modèles mathématiques.

Les méthodes de surveillance à base de modèles ont été développées dès le début des

années 70 ([18] par exemple). Depuis, de nombreux articles font régulièrement le point sur

l’avancée des différentes approches.

Les méthodes de surveillance utilisant un modèle reposent sur la génération et l’étude d’un

signal particulier appelé "indicateur de défaut" ou "résidu".

Un modèle est une formalisation mathématique d’un système physique qui permet de

représenter les liens (ou relation de contraintes), existants entre des quantités (ou variables)

données du système. Les modèles utilisés peuvent être de nature et de complexité différente.

Ils peuvent être : à temps continu ou à temps discret, qualitatifs, structurels ou analytiques,

linéaires ou non linéaires, représentant le bon fonctionnement ou tenant compte des

défaillances.

Classiquement, en Automatique, des modèles dits de bon fonctionnement sont utilisés. Ils

caractérisent le comportement normal du système, c’est à dire lorsqu’aucune défaillance n’est

présente. En surveillance, par contre, il est parfois nécessaire de compléter le modèle afin de


21

caractériser le comportement défaillant du système. Trois niveaux de connaissance peuvent

être considérés [2] :

- Le niveau 1 est le niveau de connaissance le plus élémentaire. Il consiste à indiquer les

équations décrivant le composant qui sont influencées directement par la défaillance,

c’est à dire. Les équations du modèle (contraintes) qui ne sont probablement plus

valides en cas de défaillances.

- Le niveau 2 de connaissance est plus précis car il consiste à décrire, grâce à des

variables supplémentaires (appelée variables de défaillance) comment sont modifiées

les équations de fonctionnement normal lorsqu’une défaillance survient. Les

défaillances peuvent être additives ou multiplicatives suivant la manière dont les

variables de défaillance influencent les équations du modèle.

- Le niveau 3 de connaissance consiste à modéliser l’évolution dynamique de la

défaillance.

Des équations supplémentaires liant les variables de défaillance sont ajoutées au modèle de

bon fonctionnement. Pour obtenir ce modèle soit une connaissance fine des phénomènes

physiques est nécessaire, soit des données expérimentales du processus défectueux doivent

pouvoir être utilisées.

I. 4. 3. 1. Estimation paramétrique :

Les méthodes d’estimation paramétrique supposent l’existence d’un modèle paramétrique

décrivant le comportement du système et la connaissance des valeurs des paramètres en

fonctionnement nominal. Elles consistent alors à identifier les paramètres caractérisant le

fonctionnement réel, à partir de mesures des entrées et des sorties du système [10].

On dispose ainsi d’une estimation des paramètres du modèle, réalisée à partir des mesures

prises sur le système, et de leurs valeurs théoriques. Pour détecter l’apparition de défaillances

dans le système, il faut effectuer la comparaison entre les paramètres estimés et les paramètres

théoriques. Comme pour les méthodes de redondance analytique, la théorie de la décision sert

alors à déterminer si l’écart observé est dû à des aléas normaux du fonctionnement ou à des

défaillances. La différence entre les méthodes de redondance analytique et les méthodes

d’estimation paramétrique est qu’on effectue, pour les premières, la comparaison entre l’état

estimé et l’état théorique du système, alors que pour les secondes, on compare les paramètres

estimés aux paramètres théoriques du système.

Le principe consiste à estimer en continu des paramètres du procédé en utilisant les

mesures d’entrée/sortie et en l’évaluation de la distance qui les sépare des valeurs de référence

de l’état normal du procédé (figure I.7).

L’estimation paramétrique possède l’avantage d’apporter de l’information sur la taille des

déviations. Toutefois, un des inconvénients majeurs de la méthode réside dans la nécessité

d’avoir un système physique excité en permanence. Ceci pose des problèmes pratiques dans le

cas de procédés dangereux ou fonctionnant en mode stationnaire. De plus, les relations entre


22

les paramètres mathématiques et physiques ne sont pas toujours inversibles de façon unitaire,

ce qui complique la tâche du diagnostic basé sur les résidus.

La seconde catégorie de méthodes à base

l’estimation d’état. On y retrouve l’observateur et

I. 4. 3. 2. Estimation d’état (redondance analyt

Cette redondance consiste à utiliser des infor

capteurs, mais de modèles permettant l’élaborati

issues des capteurs. L’intérêt est de permettre

capteur informationnel (résidu)1.

I. 4. 3. 2. a. Observateurs :

La méthode à base d’observateurs ou filtre es

travaux datent des années 70 ([19] par exemple).

proposer le remplacement de la redondance maté

sur des observateurs. Leurs travaux concernaien

appelée " filtre de détection de défauts de Beard-J

Cette méthode est parmi les méthodes de gé

littérature. Les observateurs ou filtres sont des ou

de commande en boucle fermée reposant sur l’e

1 - Une définition du mot «redondance» trouvée dans Lchargés d'assurer une fonction donnée, afin que l'un d'eux puisse s

Procédé

Estimation desparamètres

Paramètresphysiques

Déci

Entrée

DéfautsEntréesinconnues

Mesures

Figure I.7 Estimation paramétrique pour

-
+
de modèles regroupe celles reposant sur

l’espace de parité.

ique) :

mations supplémentaires issues, non plus de

on de grandeurs de même nature que celles

de remplacer un capteur physique par un

t la plus couramment utilisée. Les premiers

Beard et Jones ont été en fait les premiers à

rielle par des algorithmes de détection basés

t des systèmes linéaires et la méthode a été

ones".

nération de résidus les plus traitées dans la

tils bien connus des automaticiens à des fins

stimation d’état. Le principe général est de

arousse de Bibliorom est : «Duplication d'équipementse substituer à l'autre en cas de défaillance».

sion Résidus

la détection et le diagnostic des défauts.


23

concevoir un système dynamique permettant de donner une image, ou estimation, de certaines

variables, ou combinaisons de variables, nécessaires au bouclage. Lorsque le système est

dynamique et que certaines variables (conditions initiales) sont inconnues, l’estimation n’est

correcte qu’après un certain temps de convergence, fixé par la dynamique de l’observateur. Le

principe général consiste à comparer des fonctions de sorties estimées avec les mêmes

fonctions des sorties mesurées. L’écart entre ces fonctions est utilisé comme résidu.

Un observateur d’ordre réduit revient à ne considérer qu’une partie du système, donc à

estimer une partie de l’état et à rejeter l’autre. Par ailleurs, l’élimination d’une partie du

système peut être utilisée pour rejeter les perturbations. Les observateurs à entrées inconnues

sont basés sur ce principe.

I. 4. 3. 2. b. Espace de parité : (approche par Relation de Redondance Analytique RRA).

L’approche à base de Relations de Redondance Analytique ou approche de l’espace de

parité, a été une des premières méthodes employées à des fins de FDI [20]. Son nom provient

du domaine de l’informatique où le contrôle de parité se faisait dans les circuits logiques. Son

principe est de transformer, réécrire les équations du modèle de manière à obtenir des

relations particulières appelées RRA: Relations de Redondance Analytique.

Ces relations ont pour propriété de ne lier que des grandeurs connues, disponibles en ligne.

(C’est-à-dire la vérification de la consistance existant entre les entrées et les sorties du

système surveillé figure I.8). Les résidus sont obtenus en substituant dans ces RRA les

variables connues par leurs valeurs réelles, prélevées sur le système en fonctionnement.

L’obtention hors-ligne des RRA est un problème général d’élimination de variables dans un

système d’équations algébro-différentielles. Lorsque le modèle est linéaire, l’élimination peut

se faire par projection dans un sous espace appelé espace de parité [21]. Dans le cas non

linéaire, des techniques d’élimination formelle peuvent être utilisées.

I. 5. Conclusion :

Dans ce chapitre nous avons présenté le concept général de la surveillance des systèmes

automatisés, ainsi plusieurs définitions nécessaires ont été citées.

La surveillance regroupe deux fonctions principales : la détection et le diagnostic qui

regroupe à son tour deux fonctions élémentaires telles que : la localisation et l’identification.

La localisation des défaillances nécessite l’introduction de ce qu’on appelle les résidus

structurés et les résidus directionnels.

Pratiquement, la nature des informations sur les systèmes automatisés (notamment les

systèmes industriels), est différente d’un système à un autre, (des connaissances d’expertise,

des modèles qualitatifs ou structurels), cela influe directement sur la manière de procéder la

surveillance. Par conséquent, deux grandes classes des méthodes de surveillance ont été

citées, à savoir les méthodes sans modèle, et les méthodes avec modèle.

CCHHAAPPIITTRREE IIII

ETUDE DES SYSTEMES DYNAMIQUES HYBRIDES

II.1. Introduction.

II.2. Notions de systèmes hybrides.

II.2.1. Définition des systèmes dynamiques hybrides (SDH).

II.2.2. Principales classe de phénomènes hybrides.

II.3. Exemples illustratifs.

II.3.1. Le thermostat.

II.3.2. Le jeu de billard.

II.3.3. L’embrayage.

II.4. Modélisation des systèmes hybrides.

II.4.1. Approches de modélisation.

II.4.1. Approche de modélisation continue.

II.4.2. Approche de modélisation discrète.

II.4.3. Approche de modélisation mixte.

II.4.2. Modèle de l’automate hybride.

II.5. Conclusion.

Chapitre II Etude des Systèmes Dynamiques Hybrides

25

II. 1. Introduction :

Traditionnellement, l’automatique traite différemment les problèmes de type continu et

ceux de type séquentiel (discret). Ainsi on distingue classiquement deux spécialités :

l’automatique des systèmes continus et celle des systèmes à évènements discrets.

Les systèmes continus se caractérisent par une évolution continue de leur état dans le

temps. Les grandeurs utiles sont analogiques et les modèles utilisés sont essentiellement les

fonctions de transfert ou les équations d’état. Les principales fonctions de l’automatique

continue sont du type régulation et asservissement. Par contre, l’état des systèmes à

évènements discrets prend ses valeurs dans un ensemble dénombrable et évolue de manière

discontinue. Les modèles utilisés sont classiquement les modèles de la logique séquentielle,

les graphes d’état, les réseaux de Pétri ou le GRAFCET. Chacun de ces domaines a créé un

ensemble de théories et de méthodes et développé des solutions performantes pour régler les

problèmes homogènes qui se posent, mais sans toujours intégrer les solutions et les apports de

l’autre domaine.

Or, les procédés industriels sont complexes, mono-variables ou multi-variables, leurs

dynamiques présentent un double aspects, c’est-à-dire de nature continue et/ou discrète

(évènementielle). C’est le cas par exemple des productions du type batch (par lots) dans

lesquelles la matière est caractérisée par des variables continues (comme le volume, la

concentration, la pression ...) et est traitée étape par étape (évènement discret).

Les changements de structures dans ces systèmes mènent à des discontinuités dans leurs

dynamiques. Ces changements peuvent être causés pas des évènements discrets qui sont

générés par des actionneurs discrets, capteurs ou par des discontinuités inhérents au procédé.

Mais pour garantir le bon fonctionnement de l’ensemble d’un système automatisé, il est

nécessaire de prendre en compte à la fois les aspects continus et évènementiels (discrets) de

sa dynamique.

Cette problématique qui s’intéresse aux phénomènes continus et discrets de façon globale

– et qui est relativement récente (années 90) - donne naissance à une classe très importante et

très particulières des systèmes automatiques connus sous le nom de Système Dynamique

Hybride (SDH).

Pour la modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH), il existe plusieurs

approches. Le point commun entre ces approches est que l’évolution continue est affectée par

les évènements discrets.

L’étude des SDH s’intéresse aux classes de problèmes qui n’ont pu être traités avec les

approches traditionnelles basées sur une modélisation homogène. Des systèmes complexes

sont conçus en incorporant des équations différentielles pour modéliser le comportement

continu, et des représentations d’évènements discrets pour modéliser le changement

instantané d’état en réponse aux évènements. Ces systèmes contiennent des variables ou

signaux qui prennent leurs valeurs dans un ensemble continu (par exemple l’ensemble des

nombres réels), et aussi des variable qui prennent des valeurs dans un ensemble discret


26

généralement fini (par exemple l’ensemble de symboles {a, b, c}). Le comportement du

procédé est déterminé par cette interaction de dynamiques continues et évènementielles

(discrètes).

L’approche de modélisation à laquelle nous nous sommes intéressés dans le cadre de notre

travail fait partie de cette catégorie de modèles et considère le modèle du système hybride

comme une extension de l’automate discret en associant une dynamique continue à chaque

état discret. La composante continue est décrite par un ensemble d’équations différentielles et

la composante discrète par un automate fini. Le modèle résultant de cette approche est connue

comme étant le modèle automate hybride [22].

II. 2. Notions de Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH) :

Les systèmes dans lesquels interagissent des composantes continues et discrètes sont

appelés Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH).

II. 2. 1. Définition des Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH) :

On peut mettre sous ce titre plusieurs définitions d’après la littérature trouvée. Mais avant

de proposer ces définitions, on va citer quelques notions préliminaires nécessaires pour mettre

l’image claire.

Définition II. 1 :

Une variable est dite continue si elle peut prendre ses valeurs dans un ensemble continu de

valeurs (donc non dénombrable) et ses variations ne présentent pas de discontinuités.

Définition II. 2 :

Une variable est dite discrète si elle peut prendre ses valeurs dans un ensemble

dénombrable de valeurs.

Les variables V1{0, 1}, V2{-4, 1, 3}, N{B, M, H}, P{Arrêté, Démarré, Repos}, sont

des variables d’état discrètes.

Après ces définitions importantes et nécessaires, nous avons accueillir plusieurs définitions

des SDH rencontrées dans la littérature.

Définition II. 3 :

A) Les SDH sont des systèmes dans lesquels les dynamiques discrètes et continues

interagissent et où leur interaction détermine le comportement qualitatif et quantitatif de ses

systèmes.

B) Les SDH sont des systèmes dynamiques faisant intervenir explicitement et simultanément

des phénomènes ou des modèles de type dynamique continue et évènementielle.


27

Ces systèmes sont classiquement constitués de processus continus interagissant avec ou

supervisé par des processus discrets. Ils résultent également de l’organisation hiérarchique des

systèmes de contrôle/commande complexes.

C) Les SDH sont des systèmes dont le comportement dynamique est défini par des entités ou

des processus de nature différente.

D) Un SDH consiste en un système discret avec un environnement continu. On suppose que

l’évolution d’un SDH est une séquence de pas continus alternée par des pas discrets. Dans

chaque pas l’état du système hybride évolue d’une façon continue selon des lois dynamiques

(équations différentielles par exemple) jusqu’à l’occurrence d’une transition discrète. Les

transitions sont des états instantanées servent à séparer les évolutions d’état continues.

Définition II. 4 :

- Un système discret est tel que toutes ses variables d’état sont discrètes.

- Un système continu est tel que toutes ses variables d’état sont continues.

- Un système hybride comprend au moins : une variable d’état discrète et une variable

d’état continue.

II. 2. 2. Principales classes de phénomènes hybrides [23]:

La nature hybride d’un système peut être inhérente aux phénomènes physiques qui le

régissent. Un certains nombres de phénomènes physiques considérés comme hybrides ont été

regroupés en deux catégories principales traduisant leur influence sur les modèles

mathématiques utilisés pour décrire les différentes classes des systèmes. Rappelons

brièvement que l’évolution d’un système continu est défini par un ensemble d’équations

différentielles de la forme : ( , )x f x t , où ( , )f x t est appelé champ de vecteurs d’état, x

l’état du système, et t le temps.

II. 2. 2. 1. SDH à Commutation autonome "Switching" :

Une commutation autonome caractérise un phénomène ou le champ de vecteur f(x,t)

change de façon discontinue lorsque l’état x atteint certains seuils comme schématisé dans la

figure II.1.a pour une seule variable d’état.

Le saut autonome "Jump" est un phénomène similaire rencontré dans les systèmes

mécaniques, il s’agit d’un saut discontinu de l’état continu x lorsqu’il atteint une région

donnée de l’espace d’état, c’est-à-dire que l’état passe de façon discontinue de sa valeur

courante à une autre. Comme le montre schématiquement la figure II.1.b pour une variable

d’état.

Un exemple de ce phénomène est donné par la collision de deux corps où la vitesse change

brutalement et subit un saut.

Un exemple de la commutation autonome est l’exemple classique de la table de billard. (voir

la section suivante).


28

II. 2. 2. 2. SDH à Commutation contrôlée :

Une commutation contrôlée traduit un phénomène où le champ de vecteur f(x,t) change de

façon discontinue et instantanée en réponse à une entrée de commande (figure II.2).

Le phénomène de commutation contrôlée est illustré à travers l’exemple de l’embrayage

mécanique (vu par la suite).

II. 3. Exemples illustratifs :

II. 3. 1. Le thermostat :

Considérons l’exemple classique d’un thermostat utilisé pour maintenir la température

dans une chambre. Le système étudié est composé par un système de chauffage et un capteur

Occurrence del’évènement contrôlé 1

Occurrence del’évènement contrôlé 2

f(x)

x

Evolutioncontinue 1

Evolutioncontinue 2 Evolution

continue 3…

Occurrence del’évènement contrôlé 3…

Figure II.2 Système hybride à commutation contrôlée

évolutioncontinue 1

évolution continue 2

évolutioncontinue 1

évolution continue 2

état discret 1 état discret 2 état discret 1 état discret 2

f(x) f(x)

x xx1 x1 x2

a) commutation à la valeur seuil x1 b) saut de la région (x2 – x1)

Figure II.1 Commutation autonome


29

de température. Les seuils inférieur et supérieur du thermostat sont fixé à des valeurs m et M

respectivement tel que : m M. Le système de chauffage est en marche tant que la

température dans la chambre est inférieur au seuil M. Le chauffage est arrêté lorsque le

capteur détecte le seuil supérieur M et il reste en arrêt jusqu’au moment où la température

chute au dessous du seuil inférieur m.

La température de la chambre et le thermostat peuvent être vus comme un système

dynamique hybride (SDH) dont l’évolution continue est définie par la variation de la

température x dans la chambre et l’évolution discrète par le passage de l’état marche du

système de chauffage à l’état arrêt.

Considérons que l’évolution de la température dans la chambre peut être modélisée par les

équations différentielles suivante :

où R+ est une constante réelle positive.

D’une manière graphique le système considéré peut être représenté par un graphe orienté

présenté dans la figure II.3, les sommet du graphe correspondent aux dynamiques continues

des états discrets du système. Notamment, la dynamique f1 est associé au sommet modélisant

l’état en marche du système de chauffage, et f2 au sommet modélisant l’état d’arrêt. Le

passage d’un état vers l’autre est modélisé par des arcs étiquetés. (Cette représentation

graphique est un automate hybride qu’en verra vu dans le chapitre suivant).

Le problème de l’analyse consiste à vérifier que la température dans la chambre reste

toujours dans l’intervalle désiré, notamment : m x M.

Pour cet exemple simple, les solutions analytiques des équations différentielles peuvent être

facilement trouvées. Ainsi, pour une valeur initiale de la température 0 0(0)x x , les

solutions analytiques trouvées sont : 0( ) (1 )t tx t e e pour la dynamique

correspondant à l’état de marche du système de chauffage, et 0( ) tx t e pour l’autre état.

Initialement, supposons que le système est dans l’état en marche et la valeur initiale de la

température vérifie la relation 0 ,m M . Dans cet état, l’évolution de la température

respectera l’expression :

marche

1( )x f x

arrêt

2 ( )x f x

x = M

x = m

Figure II.3 Modèle du thermostat.

si le chauffage est en marche

sinon

1

2

( )

( )

f x x ax

f x x


30

0( ) (1 )t tx t e e (2.1)

L’évolution croissante fait que, au bout de t1 unité de temps, le seuil M est atteint. Alors, le

système de chauffage passera dans l’état arrêt. Suite au changement d’état du système, la

dynamique de la température change et la nouvelle évolution est donnée par :

1( )

0( ) t tx t e (2.2)

Dans cet état, la température aura une évolution décroissante jusqu’au moment où le seuil

inférieur m est atteint. A cet instant, le chauffage sera remis en marche et le système

reviendra dans l’état initial.

D’après l’allure de la température (figure II.4), on constate clairement que ce système

représente un système dynamique hybride, il comporte deux types d’évolution, une évolution

continue et une évolution discrète (changement d’état discret) interagissent entre eux.

II. 3. 2. Le jeu de billard :

Un autre exemple classique c’est la table de billard de longueur l et de largeur h, avec une

boule, comme l’illustre la figure II.5.

La position initiale de boule est (x0, y0) et après avoir été frappée elle commence à se

déplacer avec une vitesse v. Quand la boule arrive à un côté de la table parallèle à l’axe y, elle

rebondit et le signe de la composante de la vitesse vx change. De même, le signe de la

composante de la vitesse vy change lorsque la boule arrive à un côté parallèle à l’axe x. La

combinaison des signes des composantes de la vitesse donne quatre directions différentes du

mouvement de la boule.

marche arrêt marche arrêt marche arrêt

évolution discrète

évolution continue dans chaque état discret

état discret

Figure II.4 Trajectoire de la température.


31

Le système de mouvement de la boule est un Système Dynamique

dynamique continue est représentée par le mouvement de la boule, et

par changement de sens de la boule lorsque celle-ci est heurtée aux côté

Le changement d’état de la boule (changement de sens du mou

commutation autonome.

II. 3. 3. L’embrayage :

Il s’agit d’un système composé de deux masses en rotation. Les ma

un embrayage mécanique idéal. Chaque masse i, dont l’inertie est J

couple i à une vitesse de rotation i. Quand les masses sont cou

vitesses de rotation sont identiques. Ces vitesses sont indépendantes

découplées, cela est illustré par la figure II.6.

Lorsque les axes de rotation sont indépendants le système est

mathématique est donné par :

1 1 1 1

2 2 2 2

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

J

J

1

J1

1 2

J2

Figure II.6 Système d’embrayage mécanique

xx0

y0

h

y

Figure II.5 Trajectoire d’une boule de billard

vx

vy

v

0

Hybri

la dy

s de

veme

sses

i, est

plées

quan

déb

l

de (SDH) dont la

namique discrète

la table.

nt) présente une

sont couplées par

entraînée par un

, les valeurs des

d les masses sont

rayé. Le modèle

(2.3)

2


32

Quand les axes de rotation sont couplés le système est embrayé, les vitesses de rotation

sont identiques et le système peut être décrit par l’équation :

1 1 11 2

2 2 2

0 0 1 1

0 0 1 1 0 0

J J

(2.4)

II. 4. Modélisation des systèmes hybrides:

II. 4. 1. Approches de modélisation :

De façon générale, un système hybride sera modélisé par un ensemble de systèmes à

dynamique continue interagissant avec un ou plusieurs systèmes à évènements discrets. Il y a

en général trois classes principales des approches de modélisation des systèmes dynamiques

hybrides (SDH) : l’approche continue, l’approche évènementielle et l’approche mixte [24] :

II. 4. 1. 1. L’approche continue :

Elle s’agit d’étudier le comportement des modèles continus en présence des discontinuités,

et éventuellement, de définir un modèle étendu, c’est-à-dire consiste à définir une

approximation des dynamiques discrètes du système hybride par des équations différentielles

(ou aux différences) pour modéliser l’occurrence des évènements discrets. L’idée est qu’en

utilisant une approche unifiée dans le domaine des systèmes continus, où les théories sont

bien établies (les questions de stabilité, de commandabilté et d’observabilité…) pourront êtres

étudiées selon les théories classiques.

II. 4. 1. 2. L’approche évènementielle :

Contrairement à l’approche continue, cette approche est purement discrète, elle consiste à

modéliser les systèmes hybrides en supprimant les dynamiques continues ou à faire une

approximation de l’évolution continue de façon à ce que le système hybride soit représenté

uniquement par les évènements qui le caractérisent. La modélisation évènementielle d’un

SDH permettra ainsi de faire appel à la théorie classique de superviseur des SED (Systèmes à

Evènement Discret) pour la synthèse d’un modèle de commande.

II. 4. 1. 3. L’approche mixte :

Dans les sections précédentes, des approches d’intégration des aspects hybrides dans des

modèles continus ou évènementiels. Cependant, dans la structure de ces modèles l’interaction

entre la partie continue et évènementielle n’est pas représentée explicitement.

L’approche mixte repose sur la supposition que le fonctionnement d’un système hybride

est une séquence de deux phases. La première étape correspond à une transformation de l’état

continu décrite en terme de temps écoulé durant cette phase. Dans la seconde étape, l’état est

soumis à un changement discret instantané. Ainsi, les modèles développés dans le cadre de

cette approche reposent sur l’interaction de deux sous-modèles, l’un pour les aspects


33

évènementiels, basé sur les automates à états finis, les réseaux de Pétri ou des extensions de

ces formalismes, et l’autre, formalisé par des équations d’état (souvent par des équations

différentielles) pour les aspects continus. Chacun des aspects, continu ou évènementiel, est

ainsi décrit sous une forme classique est l’aspect hybride est clairement pris en compte dans

l’interface entre les deux sous-modèles. L’aspect évènementiel influe sur le modèle continu en

validant certaines des équations continues en fonction de l’état discret actif et l’aspect continu

agit sur le modèle évènementiel en validant ou en forçant le franchissement de certaines

transitions.

Parmi les outils de modélisation résultant de cette approche mixte, on retrouve : les

automates hybrides [25] représentant le modèle formel fondamental de cette approche, les

statecharts hybrides pour apporter des solutions aux problèmes posés par la spécification des

modèles, en particulier de la structuration hiérarchisée [26], et enfin les différents extensions

des réseaux de Pétri [27], [28].

II. 4. 2. Modèle de l’automate hybride :

Dans paragraphe, une brève description est présentée sur la notion des automates hybrides,

puisque le chapitre suivant (chapitre III) est consacré à ce sujet.

L’automate hybride est défini comme une extension de l’automate discret en associant une

évolution continue à chaque état discret. La composante continue est décrite par un ensemble

d’équations différentielles et la composante discrète par un automate à état fini. Un automate

hybride évolue par une alternance de pas continus, où les variable d’état et le temps évoluent

de façon continue, et de pas discrets où plusieurs transitions discrètes et instantanées peuvent

être franchies.

D’un point de vue informel et général, un automate hybride apparaît ainsi comme un

automate à état fini pilotant un ensemble d’équations différentielles modélisant la dynamique

continue du système. Le modèle est composé d’un ensemble fini des variables réelles X et

d’un graphe d’évènement étiqueté (S, E). L’ensemble S est composé par les sommets du

graphe et les éléments de l’ensemble E représentent les transitions discrètes. L’état de

l’automate change instantanément lors de l’occurrence d’un évènement discret ou par

l’écoulement du temps lors de la variation d’une condition logique spécifié sur la valeur de la

variable continue.

Considérons l’automate représenté dans la figure II.7 modélisant un système hybride. Dans

ce modèle, l’évolution continue est représentée par des équations différentielles associées aux

sommets du graphe et l’évolution évènementielle est modélisée par les arcs étiquetés.

Les sommets On et Off représentent les états discrets du système où l’évolution continue a

lieu. Les prédicats (x = M y = h) et (x = m y < h) sur les arcs traduisent les conditions pour

l’occurrence d’un évènement. Les prédicats (x M y h) et (x m) dans les sommets

représentent les invariants de l’automate, c’est-à-dire, des conditions imposées aux variables

continues du système pour rester dans un état discret (ici les états On ou Off).


34

L’état initial du système est représenté par un arc d’entrée dans le sommet d’origine.

L’étiquette de cet arc (x = x0 y = 0) représente la région de l’espace continue à partir de

laquelle la dynamique du système hybride démarre.

Ce modèle représente le modèle de base de notre travail de recherche. Une description plus

détaillée et formelle de cette approche sera donnée dans le chapitre suivant.

II. 5. Conclusion :

Les systèmes dynamiques hybrides sont des systèmes qui combinent une partie discrète et

une partie continue. Récemment, ces systèmes ont reçu beaucoup d’attention et plusieurs

formalisme ont été proposés afin d’établir un modèle homogène permettant la modélisation de

l’interaction entre les parties discrètes et continues.

Dans ce chapitre, nous avons passé en revue les principales approches de modélisations des

systèmes dynamiques hybrides (SDH).

Parmi ces approches, l’approche mixte est celle qui considère les comportements continus

et évènementiels dans une même structure. L’avantage de cette approche est sa généralité, car

elle ne fait pas d’hypothèse sur le type de phénomène à modéliser, laissant ainsi toute liberté à

l’utilisateur pour construire son modèle. En particulier, elle n’impose pas des contraintes sur

les types de systèmes à modéliser et peut être ainsi utilisée pour construire un modèle

composé d’une partie correspondant à la partie opérative du système et d’une autre à la

commande. Dans notre travail nous nous somme intéressés à l’approche consistant à

modéliser le système par un automate hybride.

x = M y = hOn

x M y hx kx

1y x = m y < h

x = x0 y = 0

Figure II.7 Exemple d’un automate hybride.

Off

x m

x kx

1y

CCHHAAPPIITTRREE IIIIII

STRUCTURE GENERIQUE DES SDH ET AUTOMATE HYBRIDE

III.1. Introduction.

III.2. La structure générique des SDH.

III.2.1. Le procédé.

III.2.2. Les spécifications de fonctionnement.

III.3. Les automates hybrides.

III.3.1. Définition informelle.

III.3.2. Définition formelle.

III.4. Exemples illustratifs

III.4.1. Le thermostat.

III.4.2. Le jeu de billard.

III.5. Sémantique.

III.6. Notion d’atteignabilité.

III.7. Simulation d’un système hybride.

III.8. Application sur le benchmark de l’AS 193.

III.9. Conclusion.

Chapitre III Structure générique des SDH et Automate Hybride

36

III. 1. Introduction :

Dans le chapitre précédent, nous avons présenté les différentes approches de modélisation

à savoir : l’approche continue, l’approche évènementielle et l’approche mixte qui combine les

parties continues et discrètes dans une même structure,

Le modèle le plus générale, issu de l’approche mixte, est le modèle de l’automate hybride

qui combine les parties continues et discrètes dans une même structure.

Dans ce chapitre, nous allons détailler d’abord la structure générique d’un SDH, ensuite le

modèle Automate Hybride de manière informelle et formelle. Enfin, nous illustrions

l’approche de modélisation Automate Hybride par un exemple hydraulique.

III. 2. La structure générique des SDH :

D’une manière générale, en vue de la commande, un système dynamique peut être décrit

en terme de système à commander, représentant le procédé, et par ses spécifications de

fonctionnement, décrivant le fonctionnement désiré du système en boucle fermée.

III. 2. 1. Le procédé :

Les systèmes dynamiques hybrides sont des systèmes dont le comportement dynamique est

défini par l’interaction entre ses dynamiques continues et discrètes. Par conséquent, le

procédé lui aussi possèdera les deux aspects : l’aspect continu et l’aspect discret.

III. 2. 1. 1. Aspect continu :

L'évolution dynamique d'un système est déterminée souvent par les processus physiques

qui ont lieu. Ainsi, le modèle mathématique est obtenu à partir des propriétés physiques du

système permettant de trouver une description de celui-ci sous la forme de représentation

d'état. Le modèle mathématique général est du type :

( ) ( ( ), ( ), )x t f x t u t t (3.1)

où u(t) représente le vecteur d'entrées et x(t) est le vecteur des variables d'état.

Le modèle présenté par la relation (3.1) est assez général et l'analyse de ses propriétés doit

être réalisée en temps continu.

III. 2. 1. 2. Aspect discret :

D’une manière générale, l’évolution discrète d’un système dynamique hybride est

déterminée par l’occurrence des évènements d’origine externes ou internes dont la nature peut

être contrôlable ou non. L’occurrence des évènements implique des changements de la

dynamique continue du système.


37

Dans les systèmes dynamiques hybrides, ces changements peuvent être soit par une

structure particulière du procédé physique, soit par des entrées/sorties discrètes générées par

différents composantes du système.

II. 2. 1. 2. 1. Changements de dynamique continue dus à la structure du système :

Dans le cas des systèmes réels, les variables d'état x(.) (Relation 3.1) peuvent modéliser des

variations de volume, de température ou bien de concentration. Le champ de vecteur f(x(t)) est

en général, une fonction continue mais parfois il peut présenter des discontinuités. Celles-ci

reflètent des changements de la dynamique continue dus aux caractéristiques du procédé

physique. Pour illustrer ce phénomène, considérons un réservoir représenté par la figure III.1.

La forme du réservoir implique un changement de

variation du niveau de fluide dans le réservoir, lorsq

Ainsi, si le niveau dans le réservoir respecte la relatio

de variation du niveau dans le réservoir est donnée par

( ) in outSh t Q Q

où :

Qin et Qout représentent les débits d’entrée et de s

h et h0 : les niveaux de fluide.

S : la section du réservoir.

Si h<h0 alors le niveau dans le réservoir varie en confo

2

0

( )( ) in

h tS h t Q

h

Dans ce cas, les équations différentielles modélisan

ne présentent pas de discontinuités, cependant dans

Qin

h0

h

Figure III.1 Exemple d’une structur

modèle mathématique, qui modélise la

ue le niveau est au-dessous du seuil h0.

n h > h0, l'équation modélisant la vitesse

:

(3.2)

ortie respectivement.

rmité avec la dynamique décrite par :

outQ (3.3)

t la variation de niveau dans le réservoir

la dynamique du système on distingue

Qout

e physique particulière.


38

deux comportements différents. Pour différencier ces deux comportements, la solution repose

sur l'utilisation d'une variable discrète associée à chaque dynamique continue.

Dans les procédés réels, cette distinction peut se faire en utilisant un capteur qui détecte le

seuil où le changement de modèle intervient. Dans l'exemple considéré, pour distinguer les

deux comportements du système, l'utilisation d'un capteur qui détecte le seuil h0 peut fournir

cette information.

Les changements de comportement dont l'origine se trouve dans la structure physique du

système correspondent au phénomène de commutation autonome. L'utilisation des capteurs,

pour modéliser d'une manière explicite les discontinuités introduites par la structure physique

du système, implique naturellement l'occurrence d'un événement généré au moment où le

changement du comportement continu du système intervient. De tels événements sont des

événements incontrôlables dans le sens où leur occurrence ne peut pas être empêchée.

II. 2. 1. 2. 2. Changements de dynamique continue générés par des sorties discrètes :

Dans le cas décrit auparavant, nous avons présenté une utilisation des capteurs qui permet la

modélisation de discontinuités dans l'évolution du système.

Dans la plupart des systèmes réels, les capteurs sont utilisés pour signaler aux opérateurs les

dépassements de certains seuils qui peuvent générer un fonctionnement non désiré du système.

Ainsi, leur utilisation est étroitement liée à la manière dont les spécifications de fonctionnement

du système sont formulées. Les informations qu'ils fournissent sont explicitement prises en

compte lors de la synthèse d'un modèle de commande.

La remarque concernant la nature incontrôlable des événements générés par des capteurs en

cas de détection d'un seuil, par exemple, reste toujours vraie.

II. 2. 1. 2. 3. Changements de dynamique continue générés par des entrées discrètes :

Les éléments fréquemment utilisés dans les systèmes réels qui peuvent introduire des

discontinuités dans leur fonctionnement sont les actionneurs discrets (par exemple, les vannes

avec leurs états correspondants : ouvert ou fermé). En général, ce sont des éléments auxquels

sont associées des fonctions de contrôle du système (par exemple, la commande

manuelle/automatique de fermeture/ouverture de vannes).

Pour pouvoir intégrer des actionneurs discrets dans le modèle global d'un processus, il faut

d'abord définir les concepts de modélisation qui leur correspondent. Les événements

modélisant un changement d'état du système seront forcément des événements dont la nature est

contrôlable pour pouvoir agir sur leur date d'occurrence.

Dans les cas précédents, les événements ont été introduits pour modéliser les changements

de la dynamique continue du système. Ici, les événements sont utilisés pour modéliser les

états des actionneurs. Il s'agit donc de modéliser les états discrets du système global et de

définir les transitions entre ces états. Ceci permettra de construire un modèle global de

fonctionnement du système.


II. 2. 2. Les spécifications de fonctionnement :

En général, les spécifications introduisent des restrictions dans l'évolution du procédé.

Ainsi, pour formuler le problème de synthèse de la commande, il est nécessaire qu'après la

description du procédé (système à commander), une description de ses spécifications de

fonctionnement soient faite.

L'objectif de la synthèse consistera à restreindre l'évolution du procédé telle que le

fonctionnement en boucle fermée du procédé couplé avec son système de commande respecte

toujours les spécifications imposées.

Dans le cas des systèmes hybrides, les restrictions imposées par des spécifications du

système peuvent être décrites en les divisant en deux groupes : les spécifications

correspondant à la partie continue et les spécifications correspondant à la partie discrète du

système.

II. 2. 2. 1. Les spécifications continues :

Les spécifications continues correspondent à des restrictions imposées sur les valeurs des

variables d'état continues x , exprimées par des conditions logiques qui limitent leur

évolution à une certaine région de l'espace d'état, appelée région désirée. Toute évolution

sortant de cette région est non désirable. Si nous utilisons des automates pour modéliser le

système étudié, l'évolution non désirée sera représentée par un sommet appelé sommet

interdit.

Par exemple, considérons la partie d'un automate hybride présentée dans la figure III.2 :

L'évolution dynamique de l'au

continus. Ainsi, l'évolution con

l'évolution discrète est réalisée

sommet interdit Sq est atteint dep

par gn,q.

Sk

( , )kx f x tSn Sp

Figure I

39

tomate hybride a lieu

tinue a lieu dans le

par le franchissement

uis le sommet Sn, par

gk,n ( , )nx f x t

Sq

gn,q

II.2 Partie d’un autom

gn,p ( , )px f x t

par une alternance de pas discrets et

s sommets de l'automate tandis que

des transitions (arcs) du graphe. Le

la validation de la transition étiquetée

ate hybride.


40

Définition III. 1 :

Un sommet interdit modélise la situation où les spécifications continues du système ne sont

plus vérifiées.

Pour illustrer la notion de sommet interdit, reprenons l'exemple classique d'un thermostat

utilisé pour maintenir la température du procédé dans un intervalle imposé.

Le système de chauffage sera arrêté ou redémarré en fonction des informations envoyées

par le capteur de température du procédé. L'intervalle de température imposé, représente la

spécification continue. Le dépassement des seuils de cet intervalle peut impliquer des

défaillances dans le système, provoquées par exemple par le sur chauffage des différentes

composantes. Les états interdits permettent la modélisation d'une telle situation. Ainsi, le

modèle automate où les évolutions non désirées sont représentées est illustré dans la

figure III.3 :

III. 2. 2. 2. Les spécifications discrètes :

La partie discrète d'un système hybride peut être vue comme une machine à états finis. En

général, les spécifications discrètes sont données sous la forme de conditions logiques

décrivant l'ordre d'occurrence des événements dans le système pendant son fonctionnement.

L'outil de modélisation permettant de prendre en compte tous les aspects présentés dans

une même structure est l’automate hybride.

III. 3. Les automates hybrides :

Les exemples informels présentés dans le chapitre précédent (§II.3.1, §II.3.2 et §II.3.3) et

les aspects discutés jusqu'ici, nous permettent de constater que pour développer une approche

d'analyse et de synthèse de commande pour les systèmes hybrides, il faut disposer d'outils de

modélisation permettant de représenter l'interaction entre les dynamiques continues et

discrètes, ainsi que les spécifications relatives au fonctionnement désiré du système. De plus,

marche

1( )x f x

arrêt

2( )x f x

x = M

x = m

SI

x [m, M] x [m, M]

Figure III.3 Modèle du thermostat avec les spécifications de fonctionnement.


41

le modèle doit permettre de prendre en compte des comportements non déterministes. De tels

comportements peuvent être dus à des incertitudes dans l'évolution continue et discrète du

système lors de l'occurrence des événements incontrôlables ou au manque de précision dans la

connaissance du système.

Traditionnellement, les dynamiques continues sont modélisées par des équations

différentielles (ou aux différences) et les dynamiques discrètes sont souvent modélisées et

analysées par des automates discrets.

L'automate hybride combine ces deux modèles et fournit un formalisme possédant les

aspects cités précédemment. Dans un automate hybride, les dynamiques continues sont

modélisées par des équations différentielles associées aux sommets et l'évolution discrète par

le franchissement des transitions entre ces sommets.

III. 3. 1. Définition informelle :

L’automate hybride est une extension de l’automate discret en associant une évolution

continue à chaque état discret. La composante continue est décrite par un ensemble

d’équations différentielles et la composante discrète par un automate à états fini. Un automate

hybride évolue par une alternance de pas continus où les variables d’état et le temps évoluent

de façon continue, et de pas discrets où plusieurs transitions discrètes et instantanées peuvent

être franchies. Ainsi, l'automate hybride apparaît comme un système état-transition (Q, E)

étendu avec un ensemble X des variables continues, comme présente la figure III.4.

L'ensemble fini Q est composé par des sommets représentant l'état discret du système où les

évolutions continues ont lieu. L'ensemble fini E est composé par des arcs orientés modélisant

les transitions discrètes qui relient les sommets du graphe. Tout arc orienté doit avoir un

sommet destination [25].

( )ix f x ( )nx f x

Figure III.4 Schéma illustratif d’un automate hybride.

Sommet i Sommet n

1( )x f x

Sommet 1

L’ensemble Qdes sommets

L’ensemble Edes arcs orientés


Définition III. 2 :

Un sommet avec un arc d'entrée sans sommet source représente un sommet initial. Un

sommet avec aucun arc de sortie est appelé sommet puits comme l’indique la figure III.5.

En reprenant la signification d'un sommet interdit, i.e. le sommet du graphe où l'évolution

du système ne respecte plus les spécifications de fonctionnement imposées par le cahier de

charges, et en prenant en compte la définition formulée ci-dessus, nous pouvons conclure

qu’un sommet puits de l'automate hybride modélise un sommet interdit du système.

Graphiquement l’automate hybride est représenté par des sommets (cercles ou ellipses), et

des arcs (traits) orientés (figure III.6). Les sommets modélisent l’état continu du système, c-à-

d ils contiennent des conditions de flux telle que les équations différentielles (ou aux

différences) sur le vecteur d’état x(.) de Rn. Une condition sur un ou plusieurs variables d’état

x1 ,..., xn appelée invariant sert à limiter l’évolution de la dynamique continue dans chaque

sommet.

Les arcs orientés modélisent les transitions ou la dynamique discrète. A chaque transition

on associe un prédicat qui concerne l'état interne du système, appelé garde. Ce prédicat

détermine les dates possibles pour le franchissement de la transition. Ainsi, une transition de

l'automate hybride peut être franchie à l'instant t si et seulement si sa garde est vérifiée par la

valeur des variables d'état continues du système à l'instant de temps considéré.

L'ensemble des variables d'état conti

transition est décrit par une affectation. Le

correspondre à des fonctions, calculant la

le franchissement, plus complexes que l

in

flux(q1)

in

flux(q2)

garde(T )/Aff(T1)T1init(q1)

Figure III.6 Schéma g

Sommetinitial

Sommetpuits

Conditionsinitiales

Figure III.5 Sommet initial et sommet puits.

T2

q1

v(q1)

42

nues mises à jour lors

s initialisations spécifiées

nouvelle valeur de l'état à

a remise à zéro des horl

garde(T2)/Aff(T2)

énéral d’un automate hyb

q2

v(q2)

1

du franchissement d'une

par l'affectation peuvent

partir de sa valeur avant

oges dans les automates

ride.


4

temporisés. Par exemple dans l’exemple de la figure III.7 – qui est un modèle partiel d’un

automate hybride – la variable xi sera mise à jour lors du franchissement de la transition Ti à

70% de la valeur de xi avant le franchissement.

En général, tout automate hybride débute

vecteur d’état.

III. 3. 2. Définition formelle [25] :

Un automate hybride d’ordre n (comme illustr

A = (Q, X, flux, inv

Tel que :

- Q = {q1, q2, …, qm} est un ensemble fini

discrets du système modélisé;

- X Rn est l’espace d’état continu. L’état c

par le vecteur x = [x1 x2 … xn]T dans l’espac

- flux(qi) est la fonction qui affecte à chaqu

continue. Durant le séjour dans un somm

variables continues est exprimée généra

flux(qi) : ( )( , , )ix q t x u , où x X R

- inv(qi) l’invariant est une fonction qui asso

les variable d’état continues x(.). Le syst

l’invariant du sommet est satisfait ;

- garde(Ti) est une fonction qui associe une

Ti E. Cette condition est en général une

variables x X et/ou ses dérivées x X .

que si la condition garde(Ti) est vrai ;

- Aff(Ti) l’affectation est une fonction qui ass

permet de mettre à jour la valeur des varia

Si

( )x f x

Figure III.7 Exemple de l’affectation l

Ti
xi < a / xi := 0.7
3

son évolution par une initialisation (init) du

é par la figure III.6) est défini par :

, garde, Aff, init) (3.4)

des sommets du graphe représentant les états

ontinu du système est caractérisé à tout instant

e Euclidien Rn ;

e sommet une représentation pour l’évolution

et qi de l’automate hybride, l’évolution des

lement sous la forme d’une équation d’étatn, u U Rp et : X U X ;

cie à chaque sommet qi Q une contrainte sur

ème peut séjourner dans un sommet tant que

condition de franchissement à chaque transition

fonction logique entre prédicats, portant sur les

Une transition Ti E ne peut pas être franchie

ocie à chaque transition Ti E une relation qui

bles d’état après l’exécution de la transition Ti.

x

ors du franchissement d’une transition.


Une affectation est donnée sous la forme de prédicats simples de type xi := ci|xi X où ci

est une constante réelle dans X. (et peut être une fonction plus complexe par exemple).

- init est une fonction qui affecte un état initial x0 X au sommet initial qin Q. La

condition initiale init est un prédicat sur X .

D'une manière intuitive, les sommets de l'automate hybride permettent de différencier les

dynamiques continues du système. L'état d'un système hybride est caractérisé à tout instant

par la paire (qi, x) représentant l'état global du système.

L'évolution dynamique d'un automate hybride commence à partir d'une région initiale R0.

Dans chaque sommet, les valeurs des variables changent avec le passage du temps en

respectant la fonction de flux continu et l'invariant. Ainsi, l'invariant limite l'espace

d'évolution du vecteur d'état dans chaque sommet de l'automate.

Une transition discrète Ti E, entre les sommets qi et qj de l'automate, peut être franchie si

la condition garde(Ti) est vraie. L'état résultant du franchissement de la transition est la paire

(qi, x’) où x’ représente la valeur du vecteur d'état après l'initialisation par la fonction Aff(Ti).

L'exécution d'une transition ne prend pas de temps, autrement dit, les transitions sont

instantanées. Par conséquent, l'écoulement du temps ne se produit que dans les sommets de

l'automate.

Nous pouvons conclure qu'un automate hybride évolue par une alternance de pas continus,

où les variables continues et le temps évoluent de façon continue, et de pas discrets, où

plusieurs transitions discrètes et instantanées peuvent être franchies.

III. 4. Exemples illustratifs :

III. 4. 1. Le thermostat :

Reprenant l'exemple du thermostat (§II.3.1), et en complétant avec les notions de la

définition III.3.2, le modèle de l’automate hybride correspondant à l’exemple du thermostat

est présenté dans la figure III.8. Les deux états discrets correspondants aux états en marche et

en arrêt du système sont modélisés par les sommets du graphe.

La variable continue x modélise la temp

discrets du système, sont données sous la

ainsi l'utilisation de l'invariant pour limit

marche

1( )x f x

x M

Figure III.8 Automate hybride

é

e

x = M arrêt

2( )x f x

x m

44

rature et ses dynamiques, associées aux deux états

forme d'équations différentielles, et on remarque

r l'évolution continue du système dans ses états

x = m

modélisant l’exemple du thermostat.


45

discrets. L'état en marche, est représenté par la condition x M. Les conditions de

franchissement, qui déterminent le passage d'un état discret vers l'autre, sont spécifiées par les

gardes des transitions. L'utilisation de l'invariant dans les sommets de l'automate limite

l'évolution de ses variables continues.

III. 4. 2. Le jeu de billard :

Reprenant l’exemple de la boule de billard.

Ce système est modélisé par les deux variables continues x et y qu

boule de billard par rapport à l’axe des abscisses et des ordonn

modélisé ainsi par les états discrets A, B, C et D, selon le sens de mou

sens de mouvement est représenté par le sens des deux composantes de

- A : en cas où vx 0 et vy 0, dans ce cas : x l y h.

- B : en cas où vx 0 et vy 0, dans ce cas : x 0 y h.

- C : en cas où vx 0 et vy 0, dans ce cas : x 0 y 0.

- D : en cas où vx 0 et vy 0, dans ce cas : x l y 0.

Ces quatre états discrets nous donnent un automate hybride de quatr

sommet il y a une dynamique continue représentée par deux équations

1

2

( )

( )

i

i

x f x

y f x

Les contraintes sur le variables d’état continues x, y nous permet d’

dans chaque sommet.

Les arcs orientés (va et vient) entre les sommets modélisent la dyn

du système avec les gardes (conditions de franchissement) sur chacun

Sans oublier l’arc d’entrée sans sommet source qui représente l

(figure III.10).

xx0

y0

h

y

Figure III.9 Trajectoire d’une boule de billard

vx

vy

v

0

i son

ées r

vem

la v

e som

diffé

impla

amiq

des ce

’état

l

t la position de la

espectivement. Et

ent de la boule (ce

itesse vx et vy).

mets dans chaque

rentielles :

(3.5)

nter les invariants

ue évènementielle

s arcs.

initial du système


III. 5. Sémantique :

La sémantique des automates hybrides e

d'un automate hybride est donné par la p

discret du système et d'une valeur du ve

automate hybride A, en terme de tous l

l'évolution du système modélisé. Dans ce

par un ensemble d'équations différentielles

notamment de toutes ses trajectoires.

Comme nous venons de le présenter, l'évolu

Une évolution continue de ses variables

discret courant, en respectant les équatio

- Une évolution discrète par l'exécution in

et la valeur du vecteur d'état continu.

L'état global du système, défini par la paire

(x change en fonction de l'équation d

franchissement d'une transition, qui impliqu

Plus formellement, une trajectoire d'un a

0 0 0 1 1 1, , , ,q x q x

où iR correspond à la durée pendant

valeur est remise à zéro à chaque commu

l'évolution de l'état continu pendant cette du

hy

Figure III.10 Modèle automa

0y

Axx v

xy y

x l y h

Cxx v

xy y

x 0 y 0

0

0

yy

xx

c

,

lx Bxx v

xy y
0x
0x

hy 0y

x 0 y h

Dxx v

xy y

46

st défin

aire (q

teur d'

es com

sens, la

est don

tion de

continu

ns de flu

stantan

(q,x), c

e flux

e ainsi

utomate

2,q

laquell

tation,

rée.

lx

te hybri

ie en considérant qu'à chaque instant, l'état

,x) correspondant à l'association d'un état

état. Nous présentons la sémantique d'un

portements qui peuvent être générés par

sémantique d'un système continu, définie

née par l'ensemble de toutes ses solutions,

l'automate hybride est réalisé par :

es par la progression du temps dans l'état

x continu flux(qi) associées à cet état.

ée d'une transition qui change l'état discret

hange par l'intermédiaire des flux continus

continu) ou bien en conséquence au

le changement de l'état discret du système.

hybride est définie par la séquence :

2 2, , ,i i ix q x

e l'automate reste dans la situation qi, sa

et xi est la fonction vectorielle qui décrit

de du mouvement de la boule

x l y 0


47

III. 6. Notion d’atteignabilité :

Dans la réalité, la taille des modèles obtenus par cet outil (l’automate hybride) augmente

considérablement avec la complexité du système étudié (en particulier les systèmes

industriels). Ainsi, il faut répondre premièrement à la question "Est-ce que toutes les

trajectoires modélisées sont effectivement réalisables dans le système ? ". Répondre à cette

question revient à l’analyse d’atteignabilité des états dans le graphe qui conduit à un modèle

d’automate hybride réduit appelé automate atteignable qui nous ne modélise que les

évolutions possibles du système pour une condition initiale donnée.

L’analyse d’atteignabilité constitue un problème central dans la vérification des propriétés

des systèmes hybrides par des automates hybrides.

III. 7. Simulation d’un système hybride :

La simulation d’un système hybride dans un environnement de calcul (comme Matlab par

exemple), est détaillée comme suit :

- Le programme commence à simuler le premier mode précédé par les conditions initiales,

c’est-à-dire intégrer le système d’équations différentielles à l’aide des routines prédéfinies

"OdeSolver".

- Cette intégration est forcée d’être stoppée lorsqu’un évènement que ce soit autonome ou

contrôlé apparaît (par une condition bien définie à priori).

- Le mode suivant sera le mode active, cela est fait à travers un algorithme de décision qui

prend la décision sur quel mode le programme poursuivre sa intégration.

- L’intégration est poursuite pour le nouveau mode, et le programme revient à la première

étape, de façon à reste dans une boucle répétitive jusqu’à un écoulement d’un intervalle de

temps, ou à la vérification d’une condition.

- Après avoir atteindre le temps total de la simulation, une mise en place du modèle

continue global aura lieu. C’est-à-dire que le système continu global est obtenu par

concaténation des sous-ensembles actifs du système. (c’est ce qu’on appelle l’espace

atteignable).

On peut résumer cet algorithme par l’organigramme de la figure III.11.

La mise en route de cet algorithme nécessite la mise en œuvre des mécanismes de stoppage

et d’accessibilité en routines prédéfinies (notamment les OdeSolver), c-à-d il faut établir :

- Un mécanisme de stoppage de l’intégration suivant une occurrence d’un évènement

(spontané ou contrôlé). Deus types d’événements existent : les événements temporels

(contrôlés) pour lesquels la date d’occurrence est prédéfinie, et les événements d’états

(spontanés ou non contrôlés) pour lesquels la date d’occurrence n’est pas connue a priori

puisqu’ils se déclenchent lorsque la valeur d’une variable d’état franchit un seuil donné.

Une fois l’événement détecté, il est alors nécessaire de le localiser temporellement de

manière précise.


- Une accessibilité aux routines internes prédéfinies (les "OdeSolver") de Matlab (par

exemple), pour personnaliser par exemple le pas d’intégration, et la tolérance (précision)

de calculs.

Pour ce mécanisme, nous avons proposé deux solutions :

- Soit de jouer sur les routines de Matlab de manière à forcer ces routines d’arrêter

l’intégration à n’importe quel point. Pour le deuxième problème, on utilise les options

d’intégration à l’aide de la routine prédéfinie "odeset". Cette solution est utilisée pour la

simulation de l’application de benchmark de l’AS au sein de ce chapitre.

- Soit de reprogrammer une routine d’intégration personnalisée, en implantant la méthode

de la résolution numérique des équations différentielles telle que Runge Kutta 4, et là, les

deux problèmes cités ci-dessus n’apparaissent plus, puisque la boucle d’intégration est

accessible à tout moment, donc on peut la contrôler aisément, stoppant la ainsi à n’importe

quel point, on peut aussi par une simple affectation du pas de définir la précision

d’intégration. Cette solution favorable sera utilisée dans le chapitre IV pour simuler

l’application d’illustration du diagnostic.

Début

S

No

Figure III.11 L’organ

Initialisation des variables
globales
Intégration du mode I

év

Obtent

:I

Concad’i

chém

n

igram

Occurrence d’unènement ou fin de

cycle ?

Oui

ion du nouveau mode

NouveauMode

sim

ténntég

atis

Non

me

Temps deulation total
atteint ?
ation des résultatsration de mode

ation des résultats

Oui

de

4

Fi

8

n

l’algorithme de simulation des SDH


49

III. 8. Application sur le Benchmark de l’AS 193 [2] :

III. 8. 1. Description du système :

Ce système est un système hydraulique de deux réservoirs constitué de :

Deux réservoirs R1 et R2, de section S1 = S2 = 0.0154m2 reliés par les conduites C2 et

C3. La conduite C2 est équipée de la vanne V2,

Deux vannes V1 et V4 permettant l’évacuation du liquide pour l’utilisation,

Une pompe P de débit Qp,

Pour simplifier l’étude, on suppose que les vannes V1 et V2 restent constamment

ouvertes (on peut les enlever complètement).

La pompe est commandée en tout ou rien de manière à maintenir

La logique de la pompe est comme suit :

- La pompe est initialement en marche.

- Elle est arrêtée lorsque 2 0.2h m .

- Elle est mise en marche lorsque 2 0.1h m .

- Si 20.1 0.2m h m :

Elle reste en état de repos (arrêtée) si 2 0h .

Elle reste en état de marche si 2 0h .

Le débit de la pompe étant mesuré, l’état de la pompe (marche ou

par la suite. Lorsque la pompe est à l’arrêt, le débit est nul (Qp =

Qp = Q0 = 0.001 m3/s.

La vanne V4 est manuelle. Elle peut être ouverte ou fermée à to

Seuls 2 états discrets sont considérés : l’état de la conduite C3 qui p

Vide (V) ou Pleine (P), et l’état de la vanne V4 qui peut prendre les

Fermée (F). 4 modes permettent donc de caractériser le comportem

Q3

Q2

Qp

h1 h2

C3

C2

Q1

Figure III.12 Système de benchmark de l’A

V4

Q4

h2 dans un intervalle fixé.

arrêt) n’est pas considéré

0), lorsqu’elle fonctionne

ut instant par l’utilisateur.

eut prendre les modalités

modalités Ouverte (O) ou

ent du système. Chacun

S 193.


50

d’entre eux est caractérisé par une modalité de l’état discret (état conduite C3, état vanne V4),

des équations d’état et des contraintes inégalités.

Les évènements e1 et e2 sont contrôlés ; e1 se produit à l’instant t = 240 s, tandis que e2 se

produit à l’instant t = 380 s.

Les débits Q1, Q2, Q3 et Q4 sont donnés par :

1 1Q h (3.6)

2 1 2 1 2( )Q sign h h h h (3.7)

3 1 1( 0.5) 0.5Q sign h h (3.8)

4 2Q h (3.9)

Avec : 2A g ; où : A = 3.610-5 m2 une constante, et : g = 9.81 m/s2 est la gravité.

Q1 et Q4 : les débits sortant respectivement des réservoirs R1 et R2.

Q2 et Q3 : les débits sortant du réservoir R1 vers R2 à travers les conduites C2 et C3

respectivement.

Remarquons les signes pour les débits Q1, Q2, Q3 et Q4 dans les équations différentielles de

chaque mode ( 1 2eth h ), ces signes (parfois – et parfois +) sont selon la règle suivante : signe

plus (+) pour les débits entrants et signe moins (–) pour les débits sortants (cela est similaire à

la loi des nœuds pour un système électrique où les débits sont les courants).

L’automate hybride représentant le système en fonctionnement normal est donné par la

figure suivante :

CI

1 0.5h

1 0.5h

e1 e2

Mode 1(V.F)

1 1 21

ph Q Q QS

2 21

h QS

1 20.5, 0.5h h

Mode 2(P.F)

1 1 2 31

ph Q Q Q QS

2 2 31

h Q QS

1 20.5, 0.5h h

Mode 3(P.O)

1 1 2 31

ph Q Q Q QS

2 2 3 41

h Q Q QS

1 20.5, 0.5h h

Mode 4(V.O)

1 1 21

ph Q Q QS

2 2 41

h Q QS

1 20.5, 0.5h h

1 0.5h

1 0.5h

e1e2

Figure III.13 Automate hybride pour le benchmark.


51

III. 8. 2. Simulation de l’évolution du système :

La simulation est réalisée durant un temps de simulation total égal à 500 s, avec les

conditions initiales suivante : h1,0 = 0.4 m et h2,0 = 0.

Les niveaux du liquide h1 et h2 (ou l’évolution continue avec h1 en gras, h2 en trait normal),

sont donnés par la figure suivante :

L’évolution des modes, autrement dit le chronogramme des modes est donné par la figure

suivante :

Figure III.15 Chronog

temps [s]

h2

h1

Figure III.14 Les niveaux du liquide h1 et h2.

ramme de modes.

t [s]


52

III. 9. Conclusion :

Dans ce chapitre nous avons présenté une structure générique de système hybride décrit en

terme de procédé et de spécification de fonctionnement. La complexité du système qui

découle de cette structure justifie le choix de l’automate hybride comme outil de modélisation

en vue de l’analyse et la synthèse de la commande.

L’automate hybride considère à la fois les comportements continus et évènementiels dans

une même structure. Cet outil peut être vu comme une extension de l’automate discret et il

constitue le formalisme principalement utilisé pour la vérification de certaines propriétés du

système. Cependant, la mise en œuvre et surtout la taille des modèles obtenus à l’aide de cet

outil de modélisation des SDH, parfois devient considérablement complexe voire gigantesque

selon la complexité des systèmes à modélisé, notamment les systèmes industriels, la notion

d’atteignabilité ou la notion des automates atteignables a pour rôle essentiel de diminuer la

taille des automates hybrides pour ne modélisent que les évolutions possibles en démarrant

par une condition initiale spécifiée.

CCHHAAPPIITTRREE IIVV

SURVEILLANCE DES SYSTEMES DYNAMIQUES HYBRIDES

IV.1. Introduction.

IV.2. Générateurs de résidus

IV.2.1. L’espace de parité.

IV.2.1.1. Principe général.

IV.2.1.2. Utilisation des RRA pour la surveillance.

IV.2.1.3. Calcul des RRA.

IV.2.1.3.1. Le cas linéaire.

IV.2.1.3.2. Le non cas linéaire (par élimination).

IV.3. Surveillance des systèmes dynamiques hybrides.

IV.3.1. Introduction.

IV.3.2. Modèle de bon fonctionnement des SDH.

IV.3.3.Description et caractérisation des défaillances.

IV.3.4. Utilisation des résidus pour la surveillance des SDH.

IV.4. Exemple d’illustration.

IV.4.1. Description du système.

IV.4.2. Simulation de l’évolution du système.

IV.4.3. Génération des résidus.

IV.4.4. Etude des résidus.

IV.5. Conclusion.

Chapitre IV Surveillance des Systèmes Dynamiques Hybrides

54

IV. 1. Introduction :

De nombreux procédés industriels sont hybrides par nature, ce qui signifie que leur

comportement résulte de l’évolution et de l’interaction de variables continues et de variables

discrètes.

Ces dernières années, ces systèmes ont fait l’objet d’importants travaux concernant la

modélisation, la simulation, la vérification et la synthèse de lois de commandes [22], [23],

[24].

Le comportement dynamique d’un système hybride peut être représenté par une succession

de modes. Chaque mode est caractérisé par une modalité de l’état discret, un ensemble de

contraintes égalités (équations d’état par exemple) et la définition d’un domaine

d’admissibilité (décrit par des contraintes inégalités). Une transition d’un mode vers un autre

mode a lieu lorsque certaines conditions logiques sont vérifiées. Une transition peut être

contrôlée ou spontanée suivant qu’elle est provoquée par un événement externe contrôlé ou un

événement interne.

Pour ce type de système, peu de travaux ont été consacrés à la détection, la localisation ou

le diagnostic des défaillances [29]. De plus, même en fonctionnement normal, une des

hypothèses classiquement formulée pour la commande discrète de ces systèmes, est que le

mode dans lequel se trouve le système (le mode courant) est à tout instant connu. Ceci est une

hypothèse parfois très forte qui n’est pas toujours vérifiée sur une installation industrielle et

qui nécessite une instrumentation (capteurs) parfois abondante, performante et coûteuse. La

détermination du mode courant est donc une fonctionnalité supplémentaire que doit présenter

la couche logicielle de surveillance.

D’autre part, le principe général des méthodes de détection de défaillances à base de

modèles est de comparer le comportement en-ligne du système tel qu’il est connu au moyen

des mesures, avec le comportement qu’il devrait avoir sous l’hypothèse de bon

fonctionnement donné par un modèle. La littérature dans ce domaine est abondante et de

nombreuses solutions ont été proposées pour les systèmes continus et discrets, linéaires et non

linéaires. La première étape consiste à générer des résidus sensibles à certaines défaillances et

robustes aux perturbations et aux autres défaillances. Deux approches sont classiquement

utilisées pour générer des résidus : les méthodes à bases de relations de redondances

analytiques et les méthodes à base d’observateurs.

IV. 2. Générateurs de résidus :

Un résidu doit refléter la cohérence des signaux mesurés avec un modèle (Définition I.12).

Une image de cette cohérence est donnée par les caractéristiques statistiques (pour les

méthodes basées sur un modèle du système) ou spectrales (pour les méthodes basées sur un

modèle de signal) du résidu.

L’algorithme utilisé pour obtenir les résidus est appelé générateur de résidus. Trois

approches sont principalement utilisées pour construire ce générateur de résidus :


55

- Les approches d’identification (Estimation paramétrique). Elles consistent à identifier

en ligne les divers paramètres du système et à comparer ces estimations aux valeurs

nominales des paramètres. L’erreur d’estimation est utilisée comme résidu [10], [30].

- L’approche à base de Relations de Redondance Analytique ou approche de l’espace de

parité. Le principe est de transformer ou réécrire les équations du modèle de manière à

obtenir des relations particulières appelées RRA: Relations de Redondance Analytique.

Ces relations ont pour propriété de ne lier que des grandeurs connues, disponibles en

ligne. Les résidus sont obtenus en substituant dans ces RRA les variables connues par

leurs valeurs réelles (mesurées), prélevées sur le système en fonctionnement.

L’obtention des RRA est un problème général d’élimination de variables dans un

système d’équations algébro-différentielles. Lorsque le modèle est linéaire,

l’élimination peut se faire par projection dans un sous espace appelé espace de

parité [21].

- Les approches à base d’observateurs ou de filtres sont les plus couramment utilisées.

Les premiers travaux datent des années 70 [19]. Les observateurs ou filtres sont des

outils bien connus des automaticiens à des fins de commande en boucle fermée. Le

principe général est de concevoir un système dynamique permettant de donner une

image, ou estimation, de certaines variables, ou combinaisons de variables, nécessaires

au bouclage. Lorsque le système est dynamique et que certaines variables (conditions

initiales) sont inconnues, l’estimation n’est correcte qu’après un certain temps de

convergence, fixé par la dynamique de l’observateur. Ces outils ont été adaptés à des

fins de surveillance. Le principe général consiste à comparer des fonctions de sorties

estimées avec les mêmes fonctions des sorties mesurées. L’écart entre ces fonctions est

utilisé comme résidu [31].

Nous nous intéressons par la suite de cette thèse à l’approche basée sur la notion des

relations de redondance analytique ou l’approche de projection sur l’espace de parité.

IV. 2. 1. L’espace de parité (relation de redondance analytique RRA) :

Les méthodes à base de modèle peuvent êtres utilisées quand le modèle lui-même peut

fournir une redondance d’informations sur le système au lieu de la redondance physique ou

réelle (des capteurs supplémentaires placés dans le système pour assurer la surveillance plus

ou moins complète d’un coin du système). Cette redondance fournie par le modèle du système

est appelée redondance analytique.

Définition IV.1. (redondance analytique) :

Un modèle comporte une redondance analytique, s’ils existent plusieurs manières de

déterminer une variable x, on utilisant seulement des observations z(t), c’est-à-dire :

1 2( ( )) ( ( ))x f z t et x f z t avec 1( ( ))f z t ≢ 2 ( ( ))f z t [32].


56

Exemple IV.1 :

On suppose deux capteurs mesurent une seule variable x avec :

1 2y x y x

La totalité des deux capteurs peut résumer l’équation suivante :

21 2 0y y (4.1)

On peut facilement remarquer qu’en cas d’une anomalie de la part d’un des deux capteurs,

l’équation (4.1) devient invalide, et la défaillance est détectée facilement, c-à-d :

21 2 0y y (4.2)

En cas d’une faute dans le deuxième capteur par exemple, sa mesure peut s’écarter d’une

valeur 2 (erreur) et l’équation (4.1) devient :

21 2 2 0y y (4.3)

Définition IV.2. (Relation de Redondance Analytique RRA) [2] :

La relation de redondance analytique RRA est une relation issue des équations du modèle

nominal (sans perturbation ni défaillance), liant les variables d’entrée et de sortie et les

dérivées successives de ces variable jusqu’un ordre donné (c’est-à-dire ne liant que les

variables connues). Une RRA est donc indépendante de l’état x(t).

Cette relation est obtenue en éliminant les variables inconnues dans les équations du

système (l’état x(t), les entrées inconnues comme les perturbations, bruits…).

Les systèmes automatisés sont de nature et de complexité différente. Ils peuvent être : à

temps continu ou à temps discret, qualitatifs, structurels ou analytiques, linéaires ou non

linéaires.

Dans ce chapitre, nous allons détailler la méthode de la projection dans l’espace de parité

(RRA) dans le cas général des systèmes, puis nous développerons cette méthode dans le cas

des systèmes linéaires. Ensuite, nous présenterons le cas des systèmes non linéaires, et là, une

méthode dite d’élimination sera détaillée, ensuite nous illustrerons cette méthode par un

exemple non linéaire. Finaliserons enfin par une conclusion.

IV. 2. 1. 1. Principe général :

Considérons un modèle d’un système de comportement nominal (sans perturbation ni

défaillance) représenté sous la forme d’état générale :

,

,

x t f x t u t

y t h x t u t

(4.4)


57

où : nx X R le vecteur d’état, py Y R est le vecteur des sorties, mu U R est le

vecteur des entrées connues. Les deux fonctions vectorielles f(.) et h(.) sont supposées

analytiques (de classe C). Les signaux y et u sont supposés infiniment dérivables. Un ordre

de dérivation si est attribué à chaque sortie yi, i [1, . . ., p].

L’objectif est d’éliminer le vecteur d’état x(t), pour cela, on fait dériver chaque sortie yi(t)

jusqu’un ordre si , i [1…p]. Ces dérivées augmentent le nombre d’équations, donc

l’élimination des variables d’état xi(t), i [1…n] sera possible (par une méthode d’élimination

comme nous allons le voir, mais la méthode de la substitution directe parait la plus claire,

mais la plus difficile, voire impossible dans les cas les très compliqués).

Pour la suite, les notations suivantes seront utilisées :

is

iy représente un vecteur dont les composants sont yi et leurs dérivées successives jusqu’à

l’ordre si, c’est-à-dire :

i

i

i

isi

si

y

yy

y

(4.5)

Et de même pour toutes les entrées ui, i [1…m] :

i

i

i

isi

si

u

uu

u

(4.6)

Lemme (Comtet-Varga,1997) [33] :

La dérivée d’ordre si de la sortie yi(t), i [1…p] est une fonction s’écrivant sous la forme :

, ,i i

i

s si si iy x u

(4.7)

Cette relation confirme que pour n’importe quel ordre de dérivation d’une sortie yi(t), ces

dérivées successives ne dépend que de l’état x(t) et les dérivées successives de l’entrée ui(t),

(c’est-à-dire ne dépend pas des dérivées de l’état x(t)).

Preuve :

La démonstration se fait par récurrence.

Pour si = 0, l’affirmation est respectée.

yi = hi(x,u).

sa dérivée est :


58

, , ,

, ,( , )

i i ii i i

i ii

dh x u h x u h x uy x u

dt x u

h x u h x uf x u u

x u

1,1 ,i iy x u

Maintenant, supposant que l’affirmation est respectée pour si 1 :

, ,i i

i

s si si iy x u

Montrons alors que : 1 1

, 1 ,i i

i

s si si iy x u

.

,1

, ,

, ,

1 1, 1

,

, ,

, ,,

,

i

ii

i i

i ii

i i

i ii

i i

i

si ss

i

s si s i s s

s si s i s s

s si si

d x uy

dt

x u x ux u

x u

x u x uf x u u

x u

y x u

Toute les sorties et leurs dérivées successives sont regroupées pour obtenir une forme

matricielle :

11

1

2 2

2

1,01

1,11

( )1,

1

2,02

1 2,1

( )2,2

,0

,1

( ),

,

,

,

,

,

,

,

,

,p

p

p

ss s

s ss

pp

pp

ss

p p s

x uy

x uy

x uy

x uy

y x u

y x u

yx u

yx u

y x u


59

,s s

sy x u (4.8)

1 2Avec : . (vecteur dont les composant

sont les ordres de dérivation)

ps s s s

Exemple IV.2 :

Considérons le système non linéaire représenté par le système d’équations d’état suivant :

(inspiré des équations de flux d’un système de plusieurs réservoirs).

1

2

x x ku

y x

y x

(4.9)

On fixe pour notre exemple les deux ordres de dérivation pour les deux sorties (y1, y2), s1 = 2 ;

et s2 = 1.

On a : 1 1,0 ( , )y x x u .

1 1,1( , )y x x ku x u .

1

1,1 1,1( )(2)1 1 1 1,1 1

, ,(remarquant que : , )s x u x u

y y y x x u x u yx u

21,2

1,

2x u x ku ku

x

1

2 2

ku ku

x

De même :

2 2,0

2,0 2,02 2,1

, .

, , 1 1( , ).

22 2

y x x u

x u x u ky x u x ku u x u

x u x x

Donc :

1

2

1,01

1,11

211 1,2

2 22,0

22,1

,

,1

, 2

,1

,2 2

ss

s

xx u

y x kux u

yy x ku ku

y y x u xy y xx u

y kx u u

x

(4.10)


60

IV. 2. 1. 2. Utilisation des RRA pour la surveillance :

Définition IV.3. (Relation de Redondance Analytique RRA) :

On trouve une autre définition des RRA dans [1] : On appelle Relation de Redondance

Analytique toute relation de la forme :

, 0s s

w y u (4.11)

où y est le vecteur de sortie du système excité des entrées u.

C’est-à-dire : la RRA est une relation qui ne doit comporter que des signaux connus (les

entrées et les sorties).

Cette relation i.e (4.11), est obtenue de la relation générale (4.8), mais après une opération

d’élimination du vecteur d’état x(t).

Le système (4.8), c’est-à-dire :

,s s

sy x u

comporte comme inconnues les composantes du vecteur x. L’élimination de ce vecteur est

possible en général. Différentes techniques d’élimination du vecteur x peuvent être utilisées

suivant la nature des fonctions f et h :

- Le cas linéaire a été très largement étudié dans la littérature (voir par exemple [21]),

L’équation (4.8) fait alors apparaître les matrices d’observabilité et de commandabilité

(comme nous le verrons par la suite). En projetant cette équation dans l’espace

supplémentaire à l’espace engendré par la matrice d’observabilité, on obtient

l’ensemble de RRA. Cet espace dans lequel les équations sont projetées est appelé :

Espace de Parité.

- Le cas non linéaire où les fonctions f(.) et h(.) sont polynomiales a fait l’objet de

nombreux développements dans les 10 dernières années [33], [34]. Les expressions

analytiques des RRA peuvent être obtenues en utilisant des algorithmes d’élimination

formelle tels l’utilisation des bases de Groebner [35], la théorie de l’élimination [36] ou

les ensembles caractéristiques [37], (une explication détaillée de la méthode

d’élimination par la méthode de Groebner sera réalisée dans la suite de ce chapitre).

- Dans le cas où les fonctions f(.) et h(.) ne sont pas polynomiales, il n’existe à l’heure

actuelle pas de méthode générale permettant de générer les RRA par une procédure

automatique.

La fonction ,s s

w y u , noté ainsi ,s s

cw y u appelée forme de calcul du résidu, est

calculable si on suppose que les entrées et sorties (u et y) ainsi que leurs dérivées successives

sont accessibles à tout instant.

On obtient des résidus à partir de la forme de calcul en y remplaçant les variables connues

(les entrées et les sorties par leurs valeurs réelles (mesurées). Ces résidus sont vérifiés,


c’est-à-dire sont nuls si le système se comporte nominalement, c’est à dire si aucune

perturbation ni défaillance ne vient perturber son comportement.

Dans le cas contraire certains résidus sont différents de 0 et indiquent un écart entre le

comportement en ligne du système et la référence nominale. Les résidus sont donc des

fonctions des perturbations et des défaillances. L’expression du résidu en fonction de ces

variables inconnues est appelée forme d’évaluation du résidu. Elle est obtenue en considérant

les équations :

( ) ( ( ), ( ), ( ), ( ))

( ) ( ( ), ( ), ( ), ( ))

x t f x t u t d t t

y t h x t u t d t t

(4.12)

En répétant la même procédure de dérivation et de substitution que précédemment on obtient :

1 2( , , , )

, , ,ps s ss s s s

sy y x u d

(4.13)

En éliminant le vecteur x en suivant exactement la même méthode d’élimination qui a permis

d’obtenir l’expression analytique de la fonction wc, on obtient :

Cette relation est vérifiée

retirant à chaque membre

,s

cw y u

La fonction ,s s

ew y u

d’évaluation du résidu.

Les résidus obtenus son

(vecteur). Afin de les ren

robustes (au sens strict, c

On dit qu’ils sont découpl

dans le chapitre I, la locali

résidus structurés (§I.3.2.

défaillances et robuste aux

être obtenus de deux mani

- En une seule étape,

perturbations et à d

- En deux étapes, c’e

puis en éliminant le

61

en présence ou en absence de perturbations et de défaillanc

de l’égalité la quantité ,s s

cw y u , on obtient :

, , , , 0s s s s s s s

cw y u w y u d

, , , ,s s s s s s

cw y u w y u d est appelée

t a priori sensibles aux perturbations (vecteur d) et aux défai

dre utilisables pour la détection de défauts, ces résidus doive

’est à dire complètement insensibles) vis à vis des perturbat

és (strictement) des perturbations. De plus, comme nous l’av

sation d’une défaillance peut être réalisée à l’aide d’un ensem

1.a). Chaque résidu doit donc être sensible à un sous ensem

autres. Les résidus structurés et robustes aux perturbations p

ères différentes :

c’est à dire en étendant la procédure d’élimination du vecteu

es sous ensembles de défaillances,

st à dire en considérant dans un premier temps l’élimination

s perturbations et défaillances dans les RRA obtenues.

wc =

es. En

(4.15)

forme

llances

nt être

ions d.

ons vu

ble de

ble de

euvent

r x aux

de x,

(4.14)


62

IV. 2. 1. 3. Calcul des RRA :

IV. 2. 1. 3. 1. Le cas linéaire :

Nous parlerons par la suite d’une classe particulière des systèmes dynamiques hybrides

SDH, que sont les systèmes dynamiques hybrides linéaires. Pour ce type des systèmes, les

équations d’état et les équations de mesure constituent ce qui est connu sous le nom de "LTI a

Linear Time Invariant system" pour tout mode i. Le modèle nominal (pas de fautes, pas de

perturbations) pour chaque mode i est de la forme :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

i i i i i

i i i i i

x t A x t B u t

y t C x t D u t

(4.16)

où : Ai, Bi, Ci et Di sont des matrices constantes de dimensions appropriés.

IV. 2. 1. 3. 1. 1. Résidus de parité structurés pour un mode donné :

Nous proposerons par la suite de faire une brève description, et nous verrons ainsi que les

résidus structurés pour un mode i motivé par des équations d’état et de mesures linéaires,

peuvent être générés par l’approche classique de la projection sur l’espace de parité.

Les perturbations (les entrées inconnues, les erreurs de modélisation, ...) et les fautes

actionnant sur le système sont introduites à travers des termes additives. Afin de générer des

résidus structurés, le vecteur de fautes est subdivisé en deux parties : les fautes i auxquels

les résidus sont sensibles, et les fautes i auxquelles les résidus sont robustes par contre. Les

fautes i sont considérées comme des perturbations, et elles sont introduites dans le vecteur

de perturbations di. Le modèle mathématique du mode i avec les fautes et les perturbations est

comme suit :

1 1

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i i i i i i i i i

i i i i i i i i i

x t A x t B u t G d t F t

y t C x t D u t G d t F t

(4.17)

avec :

di(t) : le vecteur de perturbations et des fautes pour lesquelles la robustesse est souhaitée.

i(t) : le vecteur de fautes pour lesquelles la sensibilité est souhaitée.

1 2 1 2, , ,i i i iF F G G : Matrices d’influence des perturbations sur les équations d’état et de mesure.

Ces matrices sont supposées connues.

Ecrivons les dérivées successives de la sortie yi à un ordre donné pi, on obtient :

1 2 1 2

, , , , , ,

+ C , , , , + , , , ,

i i

i i

p pi i i i i i i i ii i

p pi i i i i i i i i ii i

y OBS C A p x COM A B C D p u

OM A G C G p d COM A F C F p

(4.18)

où :


63

i

i

p

p

z

zz

z

, ,

i

i

i ii i

pi i

C

C AOBS C A p

C A

et

1 2

0 0

0 0

, , , ,

i i

i

p p

T

ZY T

ZXY ZY TCOM X Y Z T p

ZX Y ZX Y ZY T

, ,i iOBS C A p et , , , , iCOM X Y Z T p sont les matrices d’observabilité et de

commandabilté d’ordre pi d’un mode i.

Etant Wi une matrice telle que :

1 2, , , , , , 0i i i i i i i i iOBS C A p COM A G C G p

W (4.19)

Les RRA structurées sont obtenues directement par une multiplication à gauche de l’équation

(4.18) par Wi :

1 2, , , , , , , , 0i i ip p p

i i i i i i i i i i ii i iy COM A B C D p u COM A F C F p i iW W W (4.20)

La forme de calcul des résidus de parité structurés ri à l’ordre pi est :

, , , , 0i ip pi i i i i i ii ir (t)= y COM A B C D p u iW W (4.21)

et la forme d’évaluation est :

1 2, , , , ip

i i i i i i ir (t)= COM A F C F p iW (4.22)

La relation (4.22) permet d’obtenir un ensemble de résidus structurés utiles dans la phase

d’isolation des fautes (table de signature).


64

IV. 2. 1. 3. 2. Le cas non linéaire : (par élimination).

La plupart des approches de génération de résidus pour les systèmes non linéaires sont les

approches des observateurs.

Le principe de cette approche consiste à éliminer les variables inconnues apparaissant dans

un système d’équations analytiques ou différentielles. Le principe en lui-même n’impose

aucune condition quant à la forme du modèle. Toutefois, en pratique, la théorie de

l’élimination se limite aux cas des systèmes polynomiaux, pour lesquels les outils

informatiques sont disponibles. Pour cette raison, nous considérons des systèmes pouvant être

modélisés par des fonctions polynomiales. Cette hypothèse n’est pas restrictive dans le sens

où tous les systèmes analytiques peuvent être décomposés, en utilisant la décomposition en

série de Taylor, en un système polynomial.

IV. 2. 1. 3. 2. 1. Formulation du problème :

Le système considéré est le suivant :

, , ,

, , ,

x f x u d

y h x u d

(4.23)

où f et h sont supposées polynomiales.

Les sorties yi sont dérivables jusqu’aux ordres si pour former le système (4.13), c-à-d :

1 2( , , , )

, , ,ps s ss s s s

sy y x u d

(4.24)

Le calcul des RRA revient à éliminer dans le système (4.24) les variables d’état x, les

perturbations sd et éventuellement les composantes du vecteur de défaillances pour

construire des RRA structurées. Il existe plusieurs méthodes pour éliminer ces variables,

parmi ces méthodes, trois font l’objet des développements importants et ont été donné lieu à

des outils logiciels :

- Les base de Groebner (ou Gröbner) [35].

- La théorie de l’élimination [36].

- Les ensembles caractéristiques [37].

Les deux premières approches traitent des systèmes algébriques et éliminent les variables

spécifiées par l'utilisateur suivant un ordre imposé. La dernière approche traite des systèmes

différentiels et élimine les différentes variables ainsi que leurs dérivées. Cette méthode

nécessite aussi de fixer une relation d'ordre entre les différentes variables à éliminer et leurs

dérivées.

Ces trois méthodes nécessitent qu'un ordre d'élimination soit fixé et leurs algorithmes

respectifs utilisent tous la division euclidienne. Nous avons choisi d’utiliser les bases de

Groebner comme algorithme d’élimination, entre les trois méthodes citées ci-dessus, car dans

les résultats des deux autres, la division euclidienne fait apparaître des inéquations


65

polynomiales pour assurer des dénominateurs toujours différents de zéro. Ces inégalités

restreignent le domaine de validité des RRA.

IV. 2. 1. 3. 2. 2. Fonctions élémentaires comme polynomiales :

Pour appliquer la méthode de l’élimination par la base de Groebner, il faut que le système

dont cette méthode est réalisée soit polynomial, cette restriction n’est pas restrictive comme

elle apparaît, pas mal de systèmes non linéaires, non polynomiaux peuvent être écrient comme

polynomiaux.

Exemple IV.3 :

2 2 2sin( ) (1 ) 0y u y u y

Preuve :

2 2 2

2 2 2 2

cos( ) d'où :.

cos ( )

1 sin ( ) 1

y u u

y u u

u u u y

Donc : 2 2 2sin( ) (1 ) 0y u y u y

En réalité, ces deux équations ne sont pas strictement équivalentes, il existe plusieurs

solutions satisfaisant le terme droit de l’équivalence mais pas le terme gauche, par exemple

toute solution de la forme ( ) sin( ( ) )y t u t c , où c est une constante, est une solution de

l’équation différentielle 2 2 2(1 ) 0y u y . Dans [38], un tableau de transformation est

proposé, afin de fournir une description polynomiale pour quelques fonctions élémentaires.

Cette transformation est effectuée de façon que la fonction élémentaire étant une solution

d’une équation différentielle polynomiale. En général, les fonctions trigonométriques,

trigonométriques inverses, exponentielles, logarithmiques, fonctions racines (comme nous

allons le voir), sont transformable en polynomiales (le plus souvent par un changement de

variable, par exemple pour une fonction racine ( )f t un changement de la forme :

2( ) ( )z f t z f t effectue la transformation).

De plus, plusieurs fonctions lisses non linéaires peuvent être transformées en polynomiales

par un développement en série de Taylor.

IV. 2. 1. 3. 2. 3. Principe de la méthode de la base de Groebner :

Cette méthode sert d’une méthode usuelle d’élimination, muni des outils informatiques

puissant tels Maple, Mathematica, Matlab... Pour cette raison, nous choisissons cette méthode

pour la suite de notre thèse.

Le principe de cette méthode est présenté dans l’annexe A.


66

IV. 2. 1. 3. 2. 4. Utilisation du théorème d’élimination pour la surveillance

des systèmes non linéaires :

On a dit auparavant que nous avons choisi d’utiliser les bases de Groebner comme

algorithme d’élimination, de fait que cet algorithme est muni de variétés des outils

informatiques de calculs formels puissants tels que Maple, Mathematica, et de calculs

numériques comme Matlab...

Par la suite nous présenterons la manière de transformer un système automatique (supposé

au préalable d’être polynomial) en un système polynomial pouvant être résolu à l’aide de la

méthode de l’élimination des bases de Groebner.

Pour déterminer des RRA issues d’un système s’écrivant sous la forme (4.23) (système non

linéaire où les fonctions f et h sont supposées polynomiales), considérons l’idéal I, dont la

base génératrice est constituée des polynômes

, , , 0s s s s

sy x u d (4.25)

comme suit :

1

1

1

( )( )1 1,0 1 1, ,0 ,

1

, , , , , ,

, ,

p

p

p

ii

sss p p p p s

s p

I y y y y

f f

(4.26)

L’algorithme de calcul formel est utilisé pour trouver une base de Greobner de cet idéal en

utilisant en général l’ordre d’élimination suivant :

( ) ( ) ( ) ( )1

robustèsse vis-à-vis structuration des RRA minimisation des ordrélimination desles perturbations pour la localisationvaraibels d'état

. .s s s snx x d d d y u y u

esde dérivation

L’ordre d’élimination n’est pas unique, toutefois les variables d’état x seront toujours

supérieurs aux autres variables, qui seront arrangés suivant les considérations de robustesse.

Après avoir d’appliquer l’algorithme de l’élimination, les résultats recherchés (après les

éliminations) seront disposés en général de la manière suivante :

1 , , 0

, , 0

s s s

s s s

w y u

w y u

(4.27)

où est le nombre de RRA obtenues après l’opération de d’élimination.

Ces RRA seront décomposées en forme de calcul et en forme d’évaluation :


67

1, 1,

, ,

, , ,

, , ,

s s s s sc e

s s s s sc e

w y u w y u

w y u w y u

(4.28)

où :

, ,, , , ,0s s s s s

i c i ew y u w y u (4.29)

et :

, ,, , , , ,s s s s s s s s

i e i i cw y u w y u w y u (4.30)

Ainsi, les résidus seront générés à partir des formes de calcul , ,s s

i cw y u qui sont

égaux à zéro en l’absence de défaillance, et devraient être différents de zéro dans le cas

contraire.

Ces résidus peuvent servir pour la détection de défauts, pour la localisation une étape de

structuration des relations doit être envisagée.

IV. 3. Surveillance des systèmes dynamiques hybrides :

IV. 3. 1. Introduction :

On a vu auparavant, que la plupart des procédés industriels sont de nature hybride, ce qui

signifie que leur comportement résulte de l’évolution et de l’interaction de variables continues

et de variables discrètes. Plusieurs recherches dans les deux dernières décennies sont

consacrées à la modélisation, la simulation, la vérification et la synthèse de lois de

commandes pour ces types de systèmes [22], [23], [24], [28].

Le comportement dynamique d’un système hybride peut être représenté par une succession

de modes. Chaque mode est caractérisé par une modalité de l’état discret, un ensemble de

contraintes égalités (équations d’état par exemple) et la définition d’un domaine

d’admissibilité (décrit par des contraintes inégalités). Une transition d’un mode vers un autre

mode a lieu lorsque certaines conditions logiques sont vérifiées. Une transition peut être

contrôlée ou spontanée suivant qu’elle est provoquée par un événement externe contrôlé ou un

événement interne.

Mais contrairement aux travaux concernant la modélisation, la simulation, la vérification et

la synthèse de lois de commandes pour ces types de système, et quant à la à la détection, la

localisation ou le diagnostic des défaillances, les travaux concernant ce sujet sont très

peu, [29]. De plus, même en fonctionnement normal, une des hypothèses classiquement

formulée pour la commande discrète de ces systèmes, est que le mode dans lequel se trouve le


68

système (le mode courant) est à tout instant connu. Ceci est une hypothèse parfois très forte

qui n’est pas toujours vérifiée sur une installation industrielle et qui nécessite une

instrumentation (capteurs) parfois abondante, performante et coûteuse. La détermination du

mode courant est donc une fonctionnalité supplémentaire que doit présenter la couche

logicielle de surveillance.

Dans [39] les auteurs proposaient d’utiliser les résidus de parité pour identifier le mode

courant du système et estimer l’instant de transition. Les défaillances survenant sur un

système hybride peuvent affecter le comportement du système au sein d’un mode ou affecter

la séquence d’états discrets. Nous avons ainsi montré comment les résidus d’élimination, issus

des relations de redondance analytique, permettent sous certaines conditions de détecter et

isoler ces deux types de défaillances.

L’évolution dynamique d’un système hybride peut être décrite par une succession de

modes. Chaque mode i ( ; 1, 2, ,i M M m , où m est le nombre de modes) correspond à

une configuration physique possible.

IV. 3. 2. Modèle de bon fonctionnement des SDH :

Un système hybride est formellement modélisé par les huit éléments suivants :

<Q,X,G,F,Y,H,s,c>

où :

Q est l’ensemble de modalités que peut prendre le vecteur d’état discret q,

Q ={qi : i M} et q0 est l’état discret initial.

ii M

X X

définit l’espace d’état continu. Xi représente l’espace d’état atteignable

dans le mode i. xi(t) Xi (dim[xi(t)] = ni) est le vecteur d’état continu à l’instant t. Le

domaine Xi est décrit par un ensemble de contraintes inégalité gi : gi(xi(t)) 0.

G représente l’ensemble de toutes contraintes inégalité.

F = {f1, f2,..., fn} est un ensemble fini de fonctions lisses. Chaque fonction définit une

trajectoire du vecteur d’état continu xi(t).

( ) ( ), ( ), ( )i i i i ix t f x t u t d t , où : ipiu t R est un vecteur d’entrée (commande

continue) supposé connu, iid t R est un vecteur d’entrées inconnues (ou de

perturbations).

ii M

Y Y

définit l’espace des sorties. iiY t R dénote l’espace de sortie associé au

mode i. yi(t) Yi est le vecteur des sorties mesuré à l’instant t.

H = {h1,h2,...,hm} est un ensemble fini de fonctions vectorielles qui décrit le lien entre

les variables d’état et les variables mesurées : ( ) ( ), ( ), ( )i i i i iy t h x t u t d t .


69

s = { ijs }, où : ij

s est une application : Q X T Q X qui définit une transition

spontanée 0 0( , , ) ( , ), ( , ; et ).ijs i i j j i j i i j iq x t q x q q Q x X x X Une transition d’un

mode i vers un mode j (appelé mode successeur) se produit lorsque la trajectoire d’état

continue xi(t) intersecte une surface : Sij = {xi Xi tel que : sij(xi) = 0} où : sij(xi)

représente la condition de transition.

f = { ijf }, où : ij

f est une application : Q E Q X qui définit une transition

contrôlée 0( , ) ( , )f i ij j jq e q x où eij E est un évènement externe contrôlé.

Nous avons choisi d’utiliser le formalisme des automates hybrides pour représenter le

comportement des SDH. Cet outil résulte de la combinaison d’un automate à état fini avec des

équations d’état continues. Dans cette représentation les arcs orientés sont étiquetés par les

conditions de transition (spontanée ou contrôlée). Chaque place correspond à un mode. Dans

chacune des places, les équations différentielles et algébriques qui contraignent l’évolution de

l’état continu dans ce mode ainsi que le domaine (contraintes inégalité) associé au mode sont

indiqués. Il existe bien entendu d’autres possibilités de représentations des SDH: Réseaux de

Pétri Hybrides ou modélisations de type MLD: Mixed Logic and Dynamic par exemple, qui

présentent, tout comme les automates hybrides, certains avantages et inconvénients dans le

contexte du diagnostic des défaillances.

IV. 3. 3. Description et caractérisation des défaillances :

Un système est dit défaillant lorsque son comportement réel ne correspond pas au modèle

de bon fonctionnement. Plusieurs sortes de défaillances peuvent se produire sur un système

hybride. En effet, les défaillances peuvent affecter soit l’évolution de l’état continu dans un

mode, soit l’évolution discrète c’est à dire la séquence d’états discrets.

IV. 3. 3. 1. Défaillances affectant le comportement du système dans un mode :

Un mode est entièrement défini par :

- Un ensemble de contraintes égalité (équations différentielles ou algébriques).

- Un domaine défini par un ensemble de contraintes inégalité.

- Une modalité de l’état discret, c’est à dire une configuration physique du système.

Une défaillance se produisant dans un mode peut affecter une de ces trois entités.

IV. 3. 3. 2. Défaillances affectant l’évolution discrète :

L’évolution discrète du système correspond à un chemin (ou trajectoire) dans l’automate

hybride, c’est à dire à une succession de places dans un ordre déterminé lorsque le système est

en bon fonctionnement. Toute évolution dans l’automate hybride non conforme au

comportement normal est considérée comme une défaillance. Trois types de défaillances

peuvent être considérés :


70

a) Transition vers un mode non successeur : Si le système fonctionne correctement, seul

un sous ensemble (i) de modes (appelés successeurs) sont accessibles à partir d’un

mode i. Une transition du mode i vers un mode n’appartenant pas à (i) est donc une

défaillance.

b) Non transition : Ce type de défaillance se produit lorsque le système reste dans le mode

courant alors que la condition de transition est vérifiée et que le système devrait

normalement changer de mode.

c) Transition anormale vers un mode successeur : Ce type de défaillance se produit

lorsque le système passe d’un mode i vers un successeur potentiel j alors que la

condition normale de transition n’est pas vérifiée.

Ces trois types de défaillances peuvent être détectées en comparant l’évolution de l’état

discret du système en fonctionnement avec l’évolution prévue si le système se comporte

normalement. Ceci revient à comparer les trajectoires réelles et théoriques dans l’automate

hybride.

IV. 3. 4. Utilisation des résidus pour la surveillance des SDH :

Les résidus sont des indicateurs de cohérence des signaux prélevés en ligne sur le système

avec un modèle. Classiquement ces résidus sont utilisés pour détecter des défaillances. Dans

le cadre des systèmes hybrides, ces résidus peuvent, en plus, être utilisés pour identifier le

mode courant. Cette identification peut être réalisée sans ambiguïté si les modes sont

discernables.

IV. 3. 4. 1. Discernabilité entre modes :

Définition IV.4:

Deux modes i et j sont non discernables si et seulement si le couple de signaux réels (ur(t),

yr(t)), prélevés en ligne sur le système, peut provenir indifféremment du mode i ou du mode j.

On dit aussi que le couple (ur(t), yr(t)) est consistent avec les deux modèles d’états définissant

les modes i et j.

Les résidus étant des indicateurs de consistance, ils permettent donc de caractériser la

discernabilité.

Soit wci et wcj deux formes de calcul de résidus obtenus à partir des équations d’état des

modes respectifs i et j. Ces formes de calcul s’écrivent :

,i i

s sci i iw y u

(4.31)

et :

,j j

s scj j jw y u

(4.32)


71

Théorème IV.1 :

Les deux modes i et j sont non discernables si et seulement si wci et wcj sont identiquement

nuls lorsque :

Les vecteurs

eti is s

i iy u sont remplacés respectivement par l’expression de js

jy

(donnée par (4.8)) et js

ju de l’expression de wci.

Les vecteurs

etj js s

j jy u sont remplacés respectivement par l’expression de is

iy

(donnée par (4.8)) et is

iu de l’expression de wcj.

IV. 3. 4. 1. 1. Discernabilité entre modes dans le cas linéaire :

Premièrement, on introduit les notations suivantes :

, ,

, ,

, , , ,

, , , ,

i i i

i j j

i i i i i

j j j j j

ij i j

OBS OBS C A p

OBS OBS C A p

COM COM A B C D p

COM COM A B C D p

COM COM

Théorème IV.2 :

Deux modes i et j sont non discernables si :

i j i j ijrang OBS rang OBS rang OBS OBS (4.33)

IV. 3. 4. 2. Surveillance des défaillances survenant dans un mode :

Lorsque le système se trouve dans un mode donné i, deux types de défaillances peuvent se

produire :

- les défaillances affectant les équations d’état du mode.

- les défaillances affectant les contraintes inégalités.

Les résidus structurés issus des relations de redondance analytiques sont parfaitement

adaptés à la détection et à la localisation des défaillances affectant les équations d’état. Les

contraintes inégalité définissent un domaine d’admissibilité de l’état dans le mode i. Elles

s’expriment par :

( ) 0i ig x t (4.34)

sous l’hypothèse que la fonction gi(xi(t)) est observable, il est possible de transformer ces

contraintes inégalité en d’autres contraintes inégalités équivalentes dans lesquelles seules les

variables connues (entrées et sorties mesurées du système) interviennent. On obtient ainsi le

système d’inégalités :

, 0i i

s si i iy y

(4.35)


72

Les fonctions i sont calculables en ligne. Une défaillance sera détectée si l’évaluation d’une

fonction i fournit un résultat positif.

IV. 3. 4. 3. Surveillance des défaillances influençant la dynamique discrète :

Supposons que pour chaque mode i M un vecteur de résidus structuré par rapport à

chacune des défaillances peut être obtenu. Dans le cas où cette structuration n’est pas possible

le raisonnement qui suit s’applique pour des sous-ensembles de défaillance et non pour

chaque défaillance prise séparément.

En l’absence de défaillances et de perturbations, les résidus calculés à partir du modèle

correspondant au mode courant sont nuls en synchronisant celui-ci. Les autres résidus sont

différents de zéro (en synchronisant ce mode), sous l’hypothèse que les modes soient

discernables. Quand une défaillance k se produit dans le mode courant, seuls les résidus du

mode correspondant, robustes à cette défaillance, sont nuls.

Sous l’hypothèse que les modes soient tous discernables, les résidus structurés permettent

donc d’identifier le mode courant défaillant ou non, sans qu’il soit nécessaire d’utiliser une

instrumentation (capteurs) spécifique.

Lorsqu’une transition d’un mode i vers un mode j survient, tous les résidus seront

potentiellement différents de zéro pendant une courte période puisque les entrées et sorties

prélevées sur le système ne vont pas tous appartenir au même mode sur la fenêtre de calcul

des résidus. Il est possible de tenir compte de ceci en calculant des résidus "mixtes" et en

adaptant la procédure de décision particulière [40].

Une transition peut être contrôlée ou spontanée. Supposons que grâce aux résidus une

transition soit détectée en ligne. Les raisons de cette transition doivent être analysées afin de

déterminer si elle est la conséquence d’une défaillance ou non.

IV.4. Application :

L’objectif est d’élaborer une technique de diagnostic permettant de détecter et de localiser

les défauts de capteurs, d’actionneurs ou fonctionnels (système) pouvant apparaître sur des

systèmes dynamiques hybrides non linéaires, avec des entrées discrètes et des sorties

continues.

IV. 4. 1. Description du système :

Ce système constitue un système dérivé du système de "benchmark" de l’AS 193 " [2]. Il

est constitué de :

- 2 réservoirs cylindriques R1 et R2 de section S = S1 = S2 = 0.0154 m2, reliés par une

conduite C équipée de vanne V3.

- 2 Vannes V1 et V2 permettant l’évacuation du liquide pour l’utilisation, et une vanne V3

pour la conduite C.

- 2 pompes identiques P1 et P2 de débit Qp1 et Qp2 respectivement.


73

- 5 capteurs; deux capteurs de niveau mesurant les niveaux h1 et h2 dans les deux

réservoirs, et trois capteurs de débit mesurant les débits traversant les vannes V1, V2 et

V3 respectivement (la conduite C).

Les commandes des vannes V1, V2, V3 et des pompes P1, P2 sont de

c’est-à-dire la dynamique des actionneurs est très rapide de sorte qu

et de fermeture des ces actionneurs est négligeable).

Lorsque la pompe P1 est arrêtée son débit Qp1 est nul (Qp1 = 0), lor

débit Qp1 est non nul et est égal à D, (Qp1 = D). La même logique po

Les variables évènementielles (discrètes) V1, V2, V3, P1, P2 sont d

à-dire que les valeurs possibles de ces variables sont soit 1 ou 0 :

Vi = {0,1} et Pj = {0,1} avec : i =1..3 et j = 1

Ce qui nous permet de compter 25 soit 32 combinaisons ou modes p

alourdir l’exemple on ne considère que 8 modes (combinaisons) p

modes sont regroupés dans le tableau suivant :

Modes P1 P2 V1

1 1 0 0

2 1 0 0

3 0 1 1

4 1 0 1

5 1 1 1

6 1 1 0

7 1 0 1

8 1 0 0

0 signifie pompe arrêtée ou vanne fermée ; 1 signifie pompe en m

Tableau IV. 1 Construction des modes

Q3

Qp1

h1 h2

Q1

Figure IV.1 Système hybride de deux réserv

V3

La conduite C

V1

Qp2

B1 et B2 : Bouchons de vidange

B1 B2

n

e

s

u

a

a

Q2

o

V2

ature TOR (toute ou rien,

le transitoire d’ouverture

qu’elle est en marche son

r la pompe P2.

e nature booléenne, c’est-

,2.

ossibles, mais pour ne pas

rmi les 32 possibles. Ces

V2 V3

0 1

1 0

1 0

1 0

0 0

1 0

1 1

1 1

rche ou vanne ouverte

irs.


74

L’objectif est de maintenir le niveau de liquide dans les deux réservoirs à un niveau bien

défini :

1

2

0.5 0.9

0.1 0.3

h

h

(4.36)

On suppose d’après les deux inéquations précédentes que h2 h1.

Les débits Qi (traversant les vannes Vi), ainsi que les débits des pompes sont donnés par les

équations suivantes :

Qp1 = D.P1 ; et Qp2 = D.P2 avec : P1,P2 = {0,1}

1 1 1

2 2 2 1 2 3

3 1 2 3

, , 0,1

Q h V

Q h V V V V

Q h h V

(4.37)

Q3 est en réalité égal à : 1 2 1 2( )sign h h h h , mais sous l’hypothèse que : h1 est toujours

supérieur à h2. Donc : 1 2( ) 1sign h h et : 1 2 1 2h h h h .

Les valeurs des constantes : et D sont :

D = 10-4 m3/s ; 2A g .

Avec :

5 23.6 10 mA et g = 9.81 m/s2 la gravité.

Les équations différentielles motivant le système des deux réservoirs :

1

2

1 1 3

2 2 3

p

p

Sh Q Q Q

Sh Q Q Q

(4.38)

En remplaçant les débits par leurs valeurs en fonction des Vi :

1 1 1 1 1 2 3

2 2 2 2 1 2 3

Sh D P h V h h V

Sh D P h V h h V

(4.39)

On obtient par conséquent, d’après le tableau IV.1, huit (08) systèmes d’équations

différentielles différents de la forme (4.39).

Les vannes V1..3 sont manuelles, elles peuvent être ouvertes ou fermées par l’utilisateur à tout

instant. Pour ce système, tous les évènements discrets sont contrôlés par une commande

numérique sauf les événements e1, e2 et e3 qui sont effectués par l’utilisateur.

L’automate hybride représentant le système en fonctionnement normal est donné par la figure

suivante :


IV. 4. 2. Simulation de l’évolution du syst

La simulation est réalisée durant un te

conditions initiales suivante : h1,0 = 0 = h2,0.

Les niveaux du liquide h1 et h2 (ou l’évolu

sont donnés par la figure IV.3.

Les évènements e1, e2 et e3 se produisent res

e1 = 320 s; e2 = 510 s; e3 = 800 s.

Figure IV.3 Les niveaux de liquides da

Mode 8

1 1 3Sh DP Q

2 2Sh Q

h1 < 0.9 h2 <0.3

C.I

Mode 1

1 1 3Sh DP Q

2 3Sh Q

h1 < 0.9, h2 < 0.3

Mode 2

1 1Sh DP

2 2Sh Q

h1 < 0.9, h2 > 0.1

Mode 7

1 1 1 3Sh DP Q Q

2 2Sh Q

h1 < 0.9 h2 >0.1

Mode 6

1 1Sh DP

Sh DP Q

Mode 5

1 1 1Sh DP Q

Sh DP Q

h2 0.3

h2 0.1

h1 0.9

e1

Figure IV.2 L’auto

h1 0.5

Mode 3

1 1Sh Q

2 2 2Sh DP Q

h1 > 0.5, h2 < 0.3

Mode 4

1 1 1Sh DP Q

2 2Sh Q

h1 < 0.9, h2 > 0.3

h2 0.3

h2 0.1

h2 0.3 h2 0.1

h1 0.9

h1 0.5

h2 0.3 h1 0.9

75

ème :

mps de simulation total

tion continue avec h1 en

pectivement aux instants

ns les deux réservoirs (l’

2 2h1 > 0.5,h2 < 0.3e2

mate hybride du système

e3

g

s

év

2

(

égal à 900 s, avec les

ras, h2 en trait normal),

uivants :

olution continue).

2 2 2h1 > 0.5, h2 > 0.1

4.39).

h1 0.5


76

L’évolution des modes ou le chronogramme de modes est donnée par la figure suivante :

IV. 4. 3. Génération des résidus :

IV. 4. 3. 1. Equations de mesure :

Avant de citer les différentes défaillances influençant le système (dans leurs différentes

parties telles que les équations de mesure, les équations différentielles motivant le système),

on va définir les équations de mesure dues aux capteurs implantés.

On suppose qu’on a cinq capteurs; deux capteurs de niveau mesurant les niveaux h1 et h2

dans les deux réservoirs, et trois capteurs de débit mesurant les débits traversant les vannes

V1, V2 et V3, d’où cinq équations de mesure :

1 1 1

2 2 2

3 1 1

4 2 2

5 3 3

capteur de mesure de .





y h h

y h h

y Q Q

y Q Q

y Q Q

(4.40)

Figure IV.4 Le chronogramme de l’évolution des modes (l’évolution discrète).


77

IV. 4. 3. 2. Défaillances considérées :

IV. 4. 3. 2. 1. Défaillances influençant les équations de mesures :

On suppose que tous les capteurs subissent des biais dans leurs mesures, c’est-à-dire on

considère cinq défaillances f1, f2, f3, f4, f5, respectivement pour les cinq capteurs de h1, h2,

Q1, Q2, Q3. Et de ce fait, les équations de mesure deviennent :

1 1 1

2 2 2

3 1 3

4 2 4

5 3 5

y h f

y h f

y Q f

y Q f

y Q f

(4.41)

C’est-à-dire que les cinq mesures, pour les deux niveaux h1 et h2, et les mesures pour les trois

débits Q1, Q2 et Q3 traversant les trois vannes V1, V2 et V3, ces cinq mesures se décalent

respectivement de f1, f2, f3, f4, f5 à la conséquence du biais dans les cinq capteurs.

IV. 4. 3. 2. 2. Défaillances systèmes influençant les équations différentielles :

Ces fautes se présentent comme des fuites dans les deux réservoirs au niveau des deux

bouchons de vidange B1 et B2 (figure VI.1). L’effet de ces fuites sur les équations

différentielles est similaire à l’effet des différents flux (débits), mais ces fuites sont

considérées comme des flux sortants, et ça nous entraîne à implanter ces flux avec des signes

moins (-) : (f6 et f7 respectivement pour le premier et le deuxième réservoir).

1

2

1 1 3

2 2 3 7

6p

p

Sh Q Q Q f

Sh Q Q Q f

(4.42)

En remplaçant les débits par leurs valeurs en fonction des Vi, on obtient :

1 1 1 1 1 2 3 6

2 2 2 2 1 2 3 7

Sh D P h V h h V f

Sh D P h V h h V f

(4.43)

IV. 4. 3. 3. Génération des RRA par la méthode de l’élimination :

On a dit dans des sections précédentes qu’on a choisi d’utiliser les bases de Groebner

comme méthode d’élimination car cette méthode est munie des logiciels puissants comme

Maple et Mathematica. Et on a vue que cette méthode ne s’applique que sur des systèmes

polynomiaux (non linéaires), tandis que notre système (systèmes des réservoirs) est un

système non linéaire et non polynomial (pars qu’il présente des racines carrées dans h1, h2 et

h1 – h2). La solution est de faire des changements de variables appropriés afin de transformer

notre système en un système polynomial.


78

On fait les changements de variables suivants :

1 1 2 2 3 1 2

2 2 2 2 21 1 2 2 3 1 2 1 2

, ,

, ,

z h z h z h h

h z h z z h h z z

(4.44)

Et les débits Q1, Q2 et Q3 deviennent en fonction de ൌݖ ′[ଷݖ��ଶݖ��ଵݖ] ainsi :

1 1 1 2 2 2 3 3 3;Q z z V Q z z V Q z z V (4.45)

On réécrit les équations de mesures (système (4.41)) en fonction de z :

21 1 1 1 1

22 2 2 2 2

3 1 3 1 1 3

4 2 4 2 2 4

5 3 5 3 3 5

y z h f z f

y z h f z f

y z Q z f V z f

y z Q z f V z f

y z Q z f V z f

(4.46)

Sans oublier que l’objectif est de composer un système polynomial (idéal), c’est-à-dire de

réaliser autant d’équations polynomiales que possible. Pour cela, on va dériver les sorties

de (4.46), et on choisit les ordres de dérivation si pour les sorties yi comme suit :

s1 = s2 = 2 pour les sorties y1 et y2, et s3 = s4 = s5 = 1 pour les sorties y3, y4 et y5

1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 2 2

3 1 3 1 1 3

4 2 4 2 2 4

5 3 5 3 3 5

y h f

y h f

y h f

y h f

y Q f V z f

y Q f V z f

y Q f V z f

(4.47)

On suppose que les défaillances f1, f2, f3, f4 et f5 sont constantes, ce que signifie que leurs

dérivées sont nulles, c’est-à-dire :

1 1 2 2 3 4 5 0f f f f f f f (4.48)

Donc le système (4.47) devient :


79

1 1

1 1

2 2

2 2

3 1 1 1

4 2 2 2

5 3 3 3

y h

y h

y h

y h

y Q V z

y Q V z

y Q V z

(4.49)

On calcule maintenant les dérivées de z1, z2 et z3 apparaissent dans les dérivées de Q1, Q2

et Q3 :

2 11 1 1 1 1 1

12

2

hz h z z h z

z

(4.50)

Et de même pour z2 :

22

22

hz

z

(4.51)

Et comme ℎ̇ଵ ൌ ሶଵݕ� et ℎ̇ଶ ൌ ሶଶݕ� pour i = 1,2 (l’équation (4.49)), on obtient :

pour 1,22

ii

i

yz i

z

(4.52)

Pour 3z on a:

23 1 2 3 1 2

1 23 3 1 2 1 2 3

3

22

z h h z h h

y yz z h h y y z

z

(4.53)

On remplace (4.52) et (4.53) dans (4.49) on obtient :

1 1

1 1

2 2

2 2

13 1

1

24 2

2

35 1 2

3

2

2

2

y h

y h

y h

y h

Vy y

z

Vy y

z

Vy y y

z

(4.54)


80

, , , 0s s s s

sy x u d

La dernière étape est le calcule de 1,2y . On a pour cela :

11 1 1 1 1 3

1 1 1 3 1 1 3 3

6py h Sy Sh Q Q Q f

Sy Sh Q Q V z V z

1 211 1 3

1 32 2

y yySy V V

z z

(4.55)

Et de la même façon on obtient :

1 222 2 3

2 32 2

y yySy V V

z z

(4.56)

On associe le système de mesures (4.46) et le système des dérivées (4.54), (4.55) et (4.56), on

abouti au système suivant :

En effet, Le système (4.57) est de la forme . Or ce système

n’est pas complètement un système polynomial, il faut que leur équations soit de la forme :

terme1-terme2=0, de plus il ne faut pas contenir des variables au dénominateur. Pour cela, il

faut transférer les seconds membres pour la première restriction, et pour la deuxième on

21 1 1

1 1 1 3 3 61

1 211 1 3

1 3

22 2 2

2 2 2 3 3 72

1 222 2 3

2 3

3 1 1 3

13 1

1

4 2 2 4

24 2

2

5 3 3 5

35

3

2 2

2 2

2

2

2

y z f

D P z V z V fy

S

y yyy V V

Sz Sz

y z f

D P z V z V fy

S

y yyy V V

Sz Sz

y V z f

Vy y

z

y V z f

Vy y

z

y V z f

Vy

z

1 2y y

(4.57)


81

multiplie chaque équation contenant des variables au dénominateur par ces variables. D’où le

système polynomial suivant :

Ce système contient comme inconnues les zi, les fi (dix inconnues en tout). On applique le

théorème de l’élimination (la base de Groebner, voir l’annexe A), on obtient une ou plusieurs

RRA, mais pour avoir un ensemble de résidus structurés, on procède une méthode de

découplage des défaillances, c’est-à-dire on exécute l’élimination plusieurs fois en éliminant à

chaque fois un ensemble de défaillances, cela est effectué en changeant l’ordre

lexicographique (l’ordre d’élimination). Par exemple, on obtient la RRA suivante :

en appliquant l’ordre lexicographique suivant :

C’est-à-dire, on élimine en plus des inconnues, toutes les défaillances sauf f6.

On répète cette opération, cela permet d’avoir d’autres RRA en fonction des autres

défaillances. On remarque la présence des variables booléennes Vi et Pi dans la RRA

précédente, par conséquent, on conçoit 8 RRA pour les 8 modes cités dans la section

précédente, par substitution des valeurs des Vi et Pi selon le tableau IV.1.

Cela signifie que si on suppose que toutes les défaillances sont complètement isolables

(toutes les défaillances peuvent être éliminées sauf une), et si on suppose aussi que tout les

modes sont discernables, alors on peut former 7 RRA différentes en fonction de chaque

défaillances, et ces 7 RRA est recalculées 8 fois pour les 8 modes, c’est-à-dire 56 RRA

différentes en total.

21 1 1

1 1 1 1 3 3 6

1 3 1 1 3 1 1 3 1 2

22 2 2

2 2 2 2 3 3 7

2 3 2 2 3 2 3 2 1 2

3 1 1 3

1 3 1 1

4 2 2 4

2 4 2 2

5

0

0

2 0

0

0

2 0

0

2 0

0

2 0

y z f

Sy D P z V z V f

Sz z y V z y z V y y

y z f

Sy D P z V z V f

Sz z y V z y V z y y

y V z f

z y V y

y V z f

z y V y

y

3 3 5

3 5 3 1 2

0

2 0

V z f

z y V y y

(4.58)

2 2 2 2 2 23 1 3 3 3 1 1 1 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1

'

2 2 + 2 2 2 0

forme d évaluation forme decalcul

Sy y y P y Sy y P a y y Sy V a y y y V Sy y y Sy

6f

7 5 4 3 2 1 3 2 1 5 4 3 5 4 3 2 1 2 1 2 1f f f f f f z z z y y y y y y y y y y y y 6f


82

Chaque RRA est subdivisée en deux parties; forme de calcul ne contient pas les

défaillances, et une forme d’évaluation en fonction de celles-ci pour la structuration des

résidus (pour les raisons de localisation).

Quant à la table de signatures des fautes, il nous faut un ensemble de résidus structurés,

pour cela, on effectue plusieurs opérations d’éliminations en appliquant des ordres

lexicographiques différents. Pour notre choix des ordres de dérivation si, on a confirmé que

toutes les défaillances sont complètement détectables et isolables, et la table de signatures de

fautes est comme suit :

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7

r1 1 0 0 0 0 0 0

r2 0 1 0 0 0 0 0

r3 0 0 1 0 0 0 0

r4 0 0 0 1 0 0 0

r5 0 0 0 0 1 0 0

r6 0 0 0 0 0 1 0

r7 0 0 0 0 0 0 1

Tableau IV.2 Table de signatures des fautes

Toutes les défaillances sont détectables pars que aucune colonne n’est complètement nulle, et

isolables car toutes les colonnes sont différentes.

Les résidus r1...r7 sont donnés par :

2 2 2 2 21 3 1 1 1 1 3

2 22 2 22 1 2 3 2 2 2 1 2 3

2 2 23 2 1 4 1 1 3 1 2 4

2 2 24 2 1 3 2 2 4 1 2 3

25 3 1 1 2

4 4

4 4

2 2

2 2

2

r y V y y y

r S y y y y V y S y y y



r y Sy y y

2

3

4

5

f

f

f

f

f

23 5 3 1

2 2 2 26 3 1 3 3 3 1 1 1 3 1 1

2 23 1 2 3 1 3 3 1

7 1 2 3 3 1 3 1 1 2 3 2

2 2 22 1 2 3 2 1 2

2

2 2 2 2

2

2 2

V y y Sy

r Sy y y P y Sy y P a y y Sy V

a y y y V Sy y y Sy

r S y y y y Sy P y Sy S y y y P

Sy y y y V y y S

6

7

f

f

21 2 3 3

2 3 1 2 1 32

y y y V

Sy y Sy S y y y

(4.59)

IV. 4. 4. Etude des résidus :

Dans cette section, on a choisi d’étudier deux résidus qui détectent f6 et f7 (les fuites).

Dans un premier temps, on va simuler ces résidu sans prise en considération des défaillances

(système sain ou sans fautes, ou encore nominal).


Cette opération va nous confirmer l’utilité des résidus non seulement pour la détection des

défaillances, mais aussi pour l’étude des modes (la détection et la discernabilité) pour les

systèmes dynamiques hybrides (SDH).

IV. 4. 4. 1. Fonctionnement normal (sans défaillances) :

Un résidu pour un SDH doit être égal à zéro lorsqu’il synchronise le mode en question et

en l’absence de défaillances, cette hypothèse n’est plus vérifiée en présence de défaillances,

car ce résidu sera soit décalé par rapport au mode courant, indiquant ainsi une défaillance au

niveau de la dynamique discrète, soit différent de zéros pendant l’effet d’une ou plusieurs

défaillances. La discernabilité des modes est un autre facteur qu’un résidu doit le décider.

Les figures suivantes présentent les deux résidus r6 et r7 pour les huit modes en l’absence de

défaillances.

Figure IV.5 Résidus pour mode 1 (système sain)

M

M

a) b)

M1

M8

Modesr6

Modesr7

Modesr6

Modesr7

M1

6

83

Figure IV.6 Résidus pour

a)

2

M4

m

M2

ode 2 (système sain)

b)


84


M6

a)

M3

M4

M


a)

M

M

M4

M5


a)

Modesr6

Modesr6

Modesr7

Modesr6

M

m

m

2

4

M

m

3


b)

Modes
5
r7


b)

Modesr7

5


b)


M2

M

M6

M

M

M8

Modesr6

Modesr7

6

85

Figure IV.10 Résidus pou

a)


a)


a)

7

M

1

MM

Modesr6

Modesr6

r

m

m

M

M8

8

mode 6 (système sain)

b)

3


b)

7

7

Modesr7

Modesr7


b)


86

Les figures de IV.5 jusqu’à IV.12 présentent l’allure des résidus r6 et r7 pour les différentes

modes du système en fonctionnement normal (sans défaillances). L’utilité d’un résidu en

fonctionnement normal pour un SDH comprend deux avantages, le premier est de confirmer

qu’il n y a pas de défaillances, le deuxième et de spécifier les plages d’un mode en question.

En effet, chacun des résidus précédents sont nuls en synchronisant le mode voulu du fait de

l’absence des défaillances, et ils diffèrent de zéro en synchronisant les autres modes. On prend

par exemple les résidus r6 et r7 pour le mode 1 (figure IV.5), on voit clairement qu’ils sont

nuls pour indiquer le mode 1, mais on constate pour le r6 (figure IV.5.a) qu’il est non

seulement nul pour le mode1 mais aussi pour le mode 8, par conséquent, on ne peut jamais

dans ce cas, décider lors de la nullité de r6 s’il s’agit du mode 1 ou 8, et ça représente la non

discernabilité du mode 1 et 8, et c’est le même cas pour les autres modes. Le tableau suivant

résume tout les cas de la non discernabilité :

Mode Non discernable avec

1 8

24

6

3 6

42

5

5 4

62

3

7 8

81

7

Tableau IV.3 Non discernabilité des modes

Mais la question est la suivante : quelle-est la cause de ces non discernabilités ? La réponse

est dans les résidus r6 et r7 sont mêmes, (et même pour les autres résidus), qui sont des

signaux de la forme , , , ,s

i iy u f P V , c’est-à-dire en fonction des défaillances f6, f7, de

l’entrée u (ou D : débit des pompes), du vecteur des sorties et leurs dérivées sy , et

finalement en fonction des paramètres Pi et Vi, et c’est ces paramètres qui sont responsables

de différencier les huit modes. Revenons au tableau IV.1 qui contient la configuration des

modes en fonction des paramètres Pi et Vi, il nous confirme que pour assurer une

discernabilité de tout les modes, il faut prise en considération de tout ces paramètres, cela

signifie que les résidus doivent être en fonction de tout ces paramètres pour avoir une

discernabilité totale. Et c’est la raison pour laquelle les résidus r6 et r7 (et même pour les

autres modes) ne sont pas capable de discerner les modes de façon complète.


87

Prenons par exemple le résidu r6 pour le mode 1 (figure IV.5.a), ce résidu est en fonction

de P1, V1 et V3 (relation 4.59), ces paramètres sont configurés respectivement pour le mode 1

de la façon suivante : {1,0,1} (tableau IV.1), et cette configuration est la même pour le mode

8 (par rapport à P1, V1 et V3). Par conséquent, les formes de calcul de r6 pour M1 (mode 1) et

r6 pour M8 seront les mêmes, et ceci est la cause réelle de la non discernabilité (une autre

forme du théorème IV.1).

La solution que nous allons proposer est de créer un résidu composé des deux résidus r6 et

r7 soit r67 = r6 + r7, d’où :

C’est-à-dire que r67 = r67(P1,P2,V1,V2,V3) permet de discerner chacun des huit modes

indépendamment, car tout simplement il est impossible que deux modes ont les mêmes

paramètres Pi et Vi en même temps.

Les figures suivantes montrent l’allure de r67 pour les huit modes :

2 267 3 1 3 1 2 3 3 1 3 3 1

2 23 1 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3

2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 3 2 1 3

2 2 2 2 2

2

2

r Sy y y S y y y y Sy P y Sy y

P y Sy S y y y a y y Sy Sy y y y

S y y y y y y y S y y y y y S y

6 7 1

2 22 1 2

23

f f P

P V V

V 1 3Sy y

(4.60)

M

M1

Figure IV.13.1 Résidu r67 pour mode 1

M3


M

Modesr67

Modesr67

Modesr67

2


4

Modesr67



M

M6

M

Modesr67

Modesr67

88

IV. 4. 4. 2. Fonctionnement défaillant :

On a utilisé auparavant les résidus r6 et r7 avec

normal pour caractériser les modes et leur discern

résidus pour la détection des défaillances influen

détecter et définir les défaillances affectant la dyna

On suppose que f6 et f7 n’apparaissent que dans d

hors ces intervalles, soit If6 = [30 s, 70 s] [420 s,

d’influence de f6 et f7 respectivement.

Les figures suivantes (IV.14.a,b,c) représenten

résidu r6 (figure (IV.14.a)), qui est sensible à la dé

f7), ne s’annule pas dans une durée entre 0 s et 10

intervalle qui appartient à la plage du mode 1 (pa

normal). Cela nous permet de détecter f6. Ce ré

indiquant ainsi les limites entre le mode 1 et 2.

Quant au résidu r7 (figure IV.14.b), qui est sen

ne permet pas de détecter f7 en utilisant les para

correspond pas à celui-ci (mode 1), c’est-à-dire n

résidu r7 est complètement robuste aux autres défa

5



M7

Modesr67


Modesr67

8

leur résidu composé r67 en fonctionnement

abilité. Dans cette section, on va utiliser ces

çant la dynamique continue, et ainsi pour

mique discrète (l’évolution des modes).

es intervalles de temps, et qu’elles expirent

480 s], et If7 = [410 s, 430 s]. les intervalles

t l’allure de r6, r7 et r67 pour le mode 1. Le

faillance f6 et robuste aux autres (y compris

0 s , malgré que r6M1 doit être nul dans cet

r comparaison avec r6M1 en fonctionnement

sidu remet à zéro après l’expiration de f6

sible à f7 est robuste aux autres défaillances,

mètres du mode 1, car l’influence de f7 ne

’apparaît pas pendant son déroulement. Le

illances.



Quant au résidu r7 (figure IV.14.b), qui est sensible à f7 est robuste aux autres défaillances,

ne permet pas de détecter f7 en utilisant les paramètres du mode 1, car l’influence de f7 ne

correspond pas à celui-ci (mode 1), c’est-à-dire n’apparaît pas pendant son déroulement. Le

résidu r7 est complètement robuste aux autres défaillances.

Le résidu r67 (figur

des modes, cependan

l’évolution continue (i

de les isoler. On co

déroulement du mode

phase). On prend un a

(figure IV.15.a) qui pe

à travers r7 (figure IV.

On passe maintena

défaillances affectant

- Transition vers un m

- Transition anormal

- Non transition.

-a-

Figure

-b-

M

M1

Détection de f6

M1

Modes

Résidus

89

e IV.12.c) est utilisé pour dé

t, il est peut être utilisé

.e. f6 et f7), mais ce résidu es

nstate que l’effet des déf

1 (sauf un petit décalage co

utre exemple; le quatrième m

rmet de détecter la deuxième

15.b).

nt à la surveillance de la

cette dynamique sont classées

ode non successeur.

vers un mode successeur.

IV.14. Résidu r6, r7, r67 pour

-c-

1

tecter les défaillances affectant l’évolution

pour détecter les défaillances affectant

t sensible à les deux, ce qui ne permet pas

aillances est presque négligeable sur le

ncerne sa deuxième et surtout sa troisième

ode 4, la même analyse pour le résidu r6

portion de f6, la défaillance f7 est détecter

dynamique discrète. On rappelle que les

en trois catégories :

mode 1 (système défaillant)


D

Le résidu r67 (figure I

du premier type, et l’a

En effet, en comp

dernier, le mode succ

sa nullité) que le mod

figure IV.15.c). Ceci

"Transition vers un m

Pour la défaillance

phase du mode 4, (vo

continuité du mode

transiter vers le mod

dans le mode 5.

IV. 5. Conclusion

Parmi les méthod

l’espace de parité ou

pour notre travail. E

-a-

M4

Figure

-b-étection de f6

M

M4

Détection de f7

Modes

Résidus

6

90

V.15.c) permet de repérer deux

utre du troisième.

arant ce résidu avec le chronog

esseur du sixième mode est le

e successeur est le quatrième m

est une défaillance affectant la

ode non successeur".

de type "Non transition", elle d

ir toujours la figure IV.15.c), d

4, alors que le chronogramme

e 5, c’est-à-dire : le système re

:

es de surveillances à base de

la méthode des Relations de Re

lle est basée essentiellement s

IV.15. Résidu r6, r7, r67 pour m

-c-

M4

types de ces défaillances lesquelles : une

ramme des modes au dessus. D’après ce

mode 7 , tandis que le résidu indique (par

ode (la troisième phase du mode 4, voir

dynamique (l’évolution) discrète de type

oit être observée au niveau de la dernière

ont le résidu r67 est reste nul indiquant la

au dessus indique que le système doit

ste dans le mode 4, alors qu’il doit être

modèle les plus utilisées, la méthode de

dondance Analytiques RRA a été choisie

ur l’élimination des variables inconnues

ode 4 (système défaillant)

La troisième phase de M4

La dernièrephase de M4


91

(non mesurées), notamment les variables d’état, les entrées inconnues (comme les

perturbations), les défaillances (ou un ensemble de défaillances pour la localisation), cette

élimination est faite de façon de ne lier que les variables d’entrée, et de sorties (et leurs

dérivées).

L’étude de cette méthode a été généralisée pour les systèmes linéaires et non linéaires.

Pour les systèmes linéaires, le générateur de résidus est obtenu par une opération dite : la

projection sur l’espace de parité. Quant aux systèmes non linéaires, on applique la méthode

d’élimination. Cette méthode n’est pas aisée pour ce type de systèmes, une transformation de

ces derniers -si possible- à une forme polynomiale, permet d’appliquer des méthodes

formelles d’élimination, comme les méthodes des bases de Groebner, les ensembles

caractéristiques de Ritt. On a choisi d’utiliser les bases de Groebner du fait de la disponibilité

des logicielles informatiques contenant des fonctions prédéfinies pour le calcul de ces bases.

Pour les systèmes dynamiques hybrides (SDH), on peut appliquer un diagnostic de

défaillance classique (la détection des fautes, la localisation) pour la dynamique continue d’un

mode pris séparément. Or, la surveillance pour ce type de système, permet d’une part de

caractériser la dynamique discrète (l’évolution des modes) en l’absence de défaillances et de

décider si les modes en question sont discernables ou non, et d’autre part permet de détecter

les fautes affectant cette dynamique en cas de défaillances.

Cette surveillance est réalisée comme suit :

On considère pour chaque mode i M un vecteur de résidus de parité structurés. Sous

l’hypothèse que tous les modes sont discernables à travers cet ensemble de résidus, il est

prouvé que le mode courant peut être facilement déterminé.

Sous l’hypothèse que tous les modes sont discernables, l’ensemble de résidus structurés

permet :

- d’identifier sans ambiguïté le mode courant.

- de détecter et éventuellement d’isoler les fautes du mode courant.

- de détecter l’instant de transition entre deux modes, et de déterminer le mode

successeur.

Par une analyse de ces résultats, et par une comparaison avec la séquence théorique de l’état

discret sans fautes (système sain ou nominal qui nous donne une trajectoire d’état nominal),

une diagnostique des fautes de l’évolution discrète sera possible.

Lorsque deux modes i et j sont non discernables, il est impossible -en utilisant le vecteur

d’entrées u et le vecteur de sorties y- de connaître est-ce que le mode courant est

le mode i ou j.

De plus, supposant que le mode courant est le mode i et que l’un des ses modes successeur

est le mode j, il est encore impossible de détecter (ou de déterminer) l’occurrence de la

transition entre ces deux modes. Donc, deux modes non discernables signifient "fautes

influençant l’évolution discrète non détectables". Pour surmonter cette situation, des capteurs

additionnels doivent être implémentés.

Conclusion et perspectives

92

CCoonncclluussiioonn eett ppeerrssppeeccttiivveess

Dans le premier chapitre, nous avons rappelé les concepts généraux utilisés en

surveillance. Pour commencer, nous avons présenté pas mal de définitions nécessaires pour

compléter la notion de la surveillance des systèmes automatisés, ces définitions ont été

reposées essentiellement sur les travaux de [4], [5] et [6].

Après avoir présenté ces définitions, nous avons rappelé la notion des fonctions de la

surveillance qui regroupent les deux sous fonctions suivantes : la détection et le diagnostic qui

regroupe à son tour deux fonction telles que : la localisation et l’identification. Mais on ne

peut pas parler de la surveillance sans fournir une définition plus ou moins détaillée d’un

composant très important pour décider la présence d’une faute dans un système automatisé,

c’est le résidu. Pour cela, nous avons parlé suffisamment sur ce signal et ses deux types tels

que : les résidus structurés et les résidus directionnels.

Le reste de ce chapitre a été consacré aux méthodes de la surveillance considérées dans ce

domaine. Ces méthodes sont un résultat direct d’une question très importante : possédons-

nous un modèle permettant de connaître l’évolution de ce système ? La réponse à cette

question nous a donné deux classes de méthodes de surveillance, si oui on parle alors des

méthodes de surveillance à base de modèle, sinon on parle des méthodes sans modèle.

Dans le deuxième chapitre nous à avons étudié dans un premier temps, une classe

particulière des systèmes complexes qu’est la classe des systèmes dynamiques hybrides

(SDH). Ces systèmes sont composés essentiellement d’un mélange de deux composantes : une

composante continue et une composante évènementielle interagissent entre eux, et où leur

interaction détermine le comportement qualitatif et quantitatif de ces systèmes. Puis dans un

second temps nous avons cité les deux principales classes des systèmes hybrides présentées

dans : les SDH à commutation autonome "Switching", et les SDH à commutation contrôlée.

Et pour éclaircir ces notions, nous avons cité quelques exemples illustratifs classiques comme

le système de thermostat, le jeu de billard et l’embrayage.

Quant à la modélisation des systèmes hybrides, il y a en général trois classes principales

des approches de modélisations des SDH :

- L’approche continue : il s’agit d’étudier le comportement des modèles continus en

présence des discontinuités.

- L’approche évènementielle : consiste dans l’approximation de la dynamique continue

de telle manière que le système hybride ne soit représenté que par les évènements qui

le caractérisent

- L’approche mixte : repose sur la supposition que le fonctionnement d’un système

hybride est une séquence de deux phases. La première étape correspond à une

transformation de l’état continu décrite en terme de temps écoulé durant cette phase.

Dans la seconde étape, l’état est soumis à un changement discret instantané

(évènement).


93

Nous avons choisi la modélisation par l’automate hybride qui représente l’approche mixte,

parce qu’au contraire à l’automate discret qui travaille seulement avec les systèmes discrets,

l’automate hybride peut regrouper des types de systèmes de natures différentes, il peut

comporter des dynamiques continues pilotées par des équations différentielles ou algébro-

différentielles, comme il peur comporter des séquences discrètes qui représentent la

dynamiques évènementielles.

Dans le troisième chapitre, nous avons complété l’étude des systèmes dynamiques hybrides

(SDH), et plus précisément l’étude des automates hybride comme un outil graphique de

modélisation des SDH. On a vu que l’automate hybride est une extension de l’automate

discret en associant une évolution continue à chaque état discret. La composante continue est

décrite par un ensemble d’équations différentielles et la composante discrète par un automate

à états fini. Un automate hybride évolue par une alternance de pas continus où les variables

d’état et le temps évoluent de façon continue, et de pas discrets où plusieurs transitions

discrètes et instantanées peuvent être franchies.

Des exemples illustratifs ont été réalisés mettre les définitions claires. Un algorithme

général a été présenté pour résoudre le problème de simulation de n’importe quel système

hybride et par n’importe quel logiciel. Puis, Nous avons fait une application aussi complète, le

benchmark de l’AS 193, avec des simulations par Matlab basé sur cet algorithme.

Finalement, nous avons parlé un peu sur la notion d’atteignabilité. Une conclusion englobe

brièvement le troisième chapitre.

Le quatrième chapitre a été consacré à la surveillance des systèmes dynamiques hybrides

(SDH) linéaires et non linéaires. Pour un premier temps, on a définie la notion d’un

générateur de résidus, puis en a entamé les définitions en détaille de la méthode de génération

de résidus choisie pour notre travail qui a été la méthode l’espace de parité ou la relation de

redondance analytique RRA. Cette méthode a été étudiée pour les systèmes linéaires et non

linéaires. Pour ces derniers, on a limité notre étude sur les systèmes non linéaires

polynomiaux, car ces types de systèmes sont munis des méthodes d’élimination formelle très

sophistiqués telles les bases de Groebner. La surveillance des SDH a été bien détaillée, en

introduisant la notion de la discernabilité des modes.

Dans un deuxième temps, on a présenté notre travail sur un système de deux bacs reliés

entre eux par une conduite (dérivé du benchmark de l’AS 193). C’est un système dynamique

hybride non linéaire, de plusieurs variables, continues et évènementielles. Ces dernières

(variables évènementielles) sont générées par le changement supposé instantané des états des

pompes et des vannes, cela nous a donné des variables TOR (tout ou rien) ou booléennes (5

au total). La combinaison entre ses cinq variables nous a fourni un nombre maximum de

modes égales 25 soit 32 modes possibles. Mais pour des raisons simplificatrices, nous a

considéré 8 modes seulement (ce nombre de mode est considérable malgré la simplification).

Avec les combinaisons des variables booléennes et avec l’application des lois de la mécanique

des fluides nous avons abouti à 8 systèmes d’équations différentielles non linéaires pour

chaque mode.


94

Pour construire des RRA utiles à la surveillance, il faut éliminer toutes les variables

inconnues (variables d’état, entrés inconnues (perturbations...), et quelques fautes), mais ces

RRA doit contenir les variables d’entrées connues et les variables mesurées (sorties connues

aussi), avec quelques fautes pour réaliser ce qu’on appelle la table de signature des fautes

pour la localisation.

Cette élimination est plus ou moins simple pour un système linéaire, en utilisant les

méthodes déjà prouvées et mises en essai dans différents articles et ouvrages, par exemple

l’article [39], mais pour notre système cette méthode ne marche pas, tout simplement parce

que ce système est non linéaire, la solution que nous a semble plus sophistiquée (malgré

qu’elle a été très difficile à l’utiliser) et la méthode de l’élimination à base de Groebner. Cette

méthode est coûteuse en point de vue de calcul est très difficile voire impossible à effectuer

pour des systèmes polynomiales de trois ou quatre équations, (notre application est de 8

équations), pour cette raison, il est claire qu’on doit chercher des outils informatiques

puissants comme Maple et Mathematica pour obtenir les résultats souhaitables.

Du fait que le système étudié est un système hybride, les RRA générés (résidus) nous a

donne la possibilité de détecter le mode actuel, ou dans le pire de cas de décider est-ce que ces

modes sont discernables ou non. De ce point, on peut constater la puissance de la surveillance

à l’aide des RRA dans le domaine des systèmes dynamiques hybrides (SDH), non seulement

pour la détection et le diagnostic, mais aussi pour étudier l’infra structure des ces systèmes (la

détection et la décision de la discernabilité des modes).

Finalement, une suite de simulations aussi suffisantes pour affirmer les résultats de calculs

et d’analyses présentés préalablement en absence et en présence des défaillances.

Ce travail de mémoire nous permis d’envisager de nombreuses orientations futures

(perspectives) :

- De pouvoir un jour de réaliser un logiciel graphique pour la modélisation et la

simulation de n’importe quel système dynamique hybride, en quelques click de souris.

- D’utiliser une autre méthode d’élimination comme la méthode de Ritt à la place de la

méthode des bases de Groebner.

Annexe

95

AANNNNEEXXEE AA :: LLEESS BBAASSEESS DDEE GGRROOEEBBNNEERR

Dans cette annexe, nous allons présenter le principe de la méthode de l’élimination par les

bases de Groebner, mais avant cette présentation, des concepts mathématiques nécessaire

serons cités.

A. 1. Définitions :

Définition A.1. Le corps :

Le corps est ensemble k possédant deux opérations "+" et ".", pour lesquelles les conditions

suivantes sont satisfaites pour tout a, b, c k :

i) (a + b) + c = a + (b + c) et (a.b).c = a.(b.c) (associativité).

ii) a + b = b + a et a.b = b.a (commutativité).

iii) a.(b + c) = a.b + a.c (distributivité).

iv) il existe deux éléments 0 et 1 k tels que : 0 1a a a .

v) pour tout éléments a k, il existe un élément b k tel que : a + b = 0.

vi) pour tout éléments a k et a 0, il existe un élément b k tel que : 1a b .

Les corps les plus utilisés sont les ensembles des nombres rationnels Q , des réels R ou encore

des complexes C . Par contre les ensembles des entiers naturels N et relatifs Z ne sont pas

des corps (parce que la condition (v) n’est pas vérifiée pour N , et (vi) pour les deux).

Les ensembles qui vérifient seulement les cinq premières conditions d’un corps sont appelés

anneaux commutatifs. Un exemple d’anneau commutatif que nous allons utiliser par la suite

pour les bases de Groebner, est l’anneau des polynômes en une ou plusieurs variables. La

notation adoptée pour décrire l’anneau des polynômes en les variables x1, x2,..., xn est

k[x1, x2,..., xn]. Cette notation signifie que cet anneau est un ensemble de polynômes en les

variables x1, x2,..., xn dont leurs coefficients appartiennent à k.

Exemple :

3 21 2 3 1 2 3 1 2 32 , ,x x x x x x x x x R

Définition A. 2. L’idéal :

Etant donnés g1, g2,..., gs des polynômes dans k[x1, x2,..., xn]. Alors on note :

1 1 1 2i 1

, , , : , , ,s

s i i i nI g g g h g h k x x x

I est appelé l’idéal généré par l’ensemble de polynômes g1, g2,..., gs.

Cela signifie que I est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des polynômes gi

avec les coefficients polynômiaux hi. Il est usuel de penser à l’idéal en utilisant l’analogie

avec les sous-espaces de l’algèbre linéaire. Le sous-espace et l’idéal, tout les deux sont fermés

sous l’addition et la multiplication, à l’exception que dans les sous-espaces nous multiplions

Annexe

96

par des scalaires, mais pour les idéals nous multiplions par des polynômes. Cependant, cette

analogie ne doit pas être tenue d’une manière vaste.

Définition A.3. L’idéal d’élimination :

Etant donné 1 1 1 2, , , , , ,s nI g g g k x x x , le kième idéal d’élimination Ik est l’idéal de

k[xk+1,..., xn] définit par :

1, ,k k nI I x x

En d’autres termes, l’élimination des variables x1,..., xk revient à trouver des polynômes non

nuls appartenant à l’idéal Ik. Par la suite, nous allons donner une méthode permettant de

déterminer une base particulière génératrice des idéaux Ik.

Définition A.4. Le monôme :

Un monôme de k[x1,..., xn] est un élément élémentaire s’écrivant de la manière suivante :

1 2

1 2n

nx x x x

avec : 1 2, , , nn N .

Définition A.5. Les ordres monômiaux :

L’opérateur est un ordre monômial s’il respecte les trois conditions suivantes :

1) est une relation d’ordre totale.(1)

2) si , et sont des éléments de nN , et si alors : .x x x x

3) est bien ordonné, c’est-à-dire que tout ensemble non vide de monôme de k[x1,..., xn]

a un plus petit élément pour la relation d’ordre .

Parmi les ordres monômiaux les plus connus, nous pouvons citer l’ordre lexicographique et

degré-lexicographique [34].

A. 2. Les bases de Groebner :

Une base de Groebner (ou base standard, ou base de Buchberger) d'un idéal I de l'anneau

de polynômes k[x1,..., xn] est un ensemble de générateurs de cet idéal, vérifiant certaines

propriétés supplémentaires. Cette notion a été introduite dans les années 1960,

indépendamment par Heisuke Hironaka et Bruno Buchberger, qui leur a donné le nom de son

directeur de thèse Wolfgang Groebner.

(1) Une relation d’ordre est dite totale (ou linéaire) si pour toute paire de monôme etx x , seulement une

seule des trois affirmations suivantes est vraie : soit : , soit : , soit .x x x x x x

A. 2. 1. Le théorème d’élimination principal

Etant donné 1, , nI k x x

lexicographique 1 2x x x

est la base de Groebner de la m

Cela signifie que tous les polynômes dont les variables

A. 2 . 2. Exemples :

Exemple A.1 :

On considère l’ensemble d’équations suivant

2 2

1 1 0

1 1 0

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

Nous supposons de vouloir éliminer toutes les variables sauf

d’élimination, premièrement calculons la base de Groebner de l’idéal

2 2 2I x y z x y z x y z

Avec l’ordre lexicographique

veut éliminer x, puis y, puis éventuellement

Dans une session Mathematica, cela est effectué comme suit

Ce

Le théorème d’élimination principal :

, , nI k x x un idéal, et G une base de Groebner de I

nx x x , alors pour tout : 0 m n , l’ensemble :

1, ,m m nG G k x x

mième idéal d’élimination Im :

1[ , , ]m m nI I k x x

Cela signifie que tous les polynômes dont les variables 1, , mx x ont été éliminés.

On considère l’ensemble d’équations suivant :

2 2

2 2

2 2

1 1 0

1 1 0

1 1 0

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

Nous supposons de vouloir éliminer toutes les variables sauf z. Alors d’après le théo

d’élimination, premièrement calculons la base de Groebner de l’idéal :

2 2 21, 1, 1 .I x y z x y z x y z

Avec l’ordre lexicographique : x y z . (on voit clairement que cet ordre signifie qu’on

, puis éventuellement z).

Dans une session Mathematica, cela est effectué comme suit :

Ce

Annexe

I muni d’un ordre

:

ont été éliminés.

1 1 0

1 1 0

1 1 0

(A.1)

. Alors d’après le théorème

1, 1, 1 .

. (on voit clairement que cet ordre signifie qu’on

In[1]:= F={-1+x^2+y+z, -1+x+y^2+z,GroebnerBasis[F,{x,y,z}] ;

1+x+y^2+z, -1+x+y+z^2};;

tte opération est effectuée dans une session Maple v12 comme suit

Out[1] = {-1 + x + y + z^2, y^2 + z

97

tte opération est effectuée dans une session Maple v12 comme suit :

1 + x + y + z^2, y^2 + z – z^2 – y,2yz^2 + z^4 – z^2, z^2 – 4z^3 + 4z^44z^3 + 4z^4-z^6}

Annexe

98

Dans les deux sessions (celle de Mathematica et de Maple), l’idéal est déclaré comme un

vecteur ligne (noté F) de tous les polynômes du système (A.1).

Dans la session Mathematica, la base de Groebner de l’idéal F est obtenue à l’aide de la

fonction prédéfinie "GroebnerBasis[F,{x,y,z}]", le résultat est affecté à la variable interne

"Out[1] ". Le même résultat est clairement remarqué dans la session Maple, mais la fonction

responsable de fournir la base de Groebner est la fonction prédéfinie "Basis" (ou "gbasis"

dans des versions antérieures de Maple". Sans oublier de parler à l’ordre lexicographique qui

est fait par la syntaxe "{x,y,z}" , et "plex(x,y,z) " respectivement dans Mathematica et Maple.

Revenons maintenant aux résultats, et d’après le théorème de l’élimination,

2 3 4 6, , 4 4I k x y z z z z z , c’est-à-dire :

2 3 4 64 4 0z z z z (A.2)

(On constate que ce résultat dans Maple est inversé, c’est-à-dire multiplié par -1, et sa ne

change pas l’équation (A.2)).

Remarque A.1 :

On remarque la structure triangulaire des bases de Groebner obtenues dans Mathematica et

Maple (similaire à la triangularisation dans la méthode de l’élimination de Gauss), par

exemple, dans Maple, le premier polynôme ne dépend que de z, le deuxième et le troisième

polynôme dépend de deux variables y et z, tandis que le dernier polynôme (le quatrième)

dépend des trois variables x, y et z. (cet ordre de dépendance est le contraire dans la session de

Mathematica).

Dans les sessions Matlab, Les bases de Groebner nécessitent des toolbox spécialisés dans

ce domaine, et nous n’avons pas eut pour le moment ces toolbox.

Exemple A.2 :

Nous voulons dans cette exemple obtenir une équation cartésienne de la conique. Pour cela

nous employons la procédure "Groebner::Basis" de Maple, (ou "groebner/gbasis" dans des

versions antérieures de Maple).

Les équations paramétriques (en fonction du paramètre t, en plus des variables x et y) sont les

suivantes :

2

2 2

2 2 1 0

2 2 1 0

x xt xt t

y yt yt t

(A.3)

L’objectif est d’obtenir une équation cartésienne du conique, c’est-à-dire en fonction

seulement des deux variables x et y, pour cela, nous allons éliminer dans (A.3) le paramètre t.

Le script qui fait cette opération dans Maple est le suivant :

Le premier argument de la fonction "

second argument est l’ordre lexicographique pure, (

le résultat est un système polynomial comme nous le voyons ainsi

2 5 2 5 2 2 0

Entre l’ensemble de polynômes donné

le lien suivant : les polynômes de l’un s’expriment comme des combinaisons linéaires des

polynômes de l’autre avec comme coefficients des polynômes. Il en résulte que les deux

systèmes d’équations sont équivalents.

D’autre part, le fait d’avoir donné un ordre sur les indéterminées avec l’option "

la procédure a appliqué un algorithme similaire à la méthode de Gauss pour trianguler le

système. La situation est très compliquée que pour un sy

n’est pas vraiment triangulaire. Cependant, la dernière équation dans le système

contient pas t et c’est elle que nous cherchons. La procédure a donc fourni une équation de la

conique par élimination.

99

Le premier argument de la fonction "Basis" est le système d’équations paramétriques

second argument est l’ordre lexicographique pure, (plex pour "pure lexicographique order"),

le résultat est un système polynomial comme nous le voyons ainsi :

2 2

6 4 5 3 1 0

3 2 0

2 5 2 5 2 2 0

yt y x t

xt y x

y x xy y x

Entre l’ensemble de polynômes donné en entrée et la liste de polynômes fournie en sortie,

: les polynômes de l’un s’expriment comme des combinaisons linéaires des


équivalents.

D’autre part, le fait d’avoir donné un ordre sur les indéterminées avec l’option "


système. La situation est très compliquée que pour un système linéaire et le système obtenu

n’est pas vraiment triangulaire. Cependant, la dernière équation dans le système

et c’est elle que nous cherchons. La procédure a donc fourni une équation de la

Annexe

" est le système d’équations paramétriques (A.3), le

pour "pure lexicographique order"),

(A.4)

en entrée et la liste de polynômes fournie en sortie,

: les polynômes de l’un s’expriment comme des combinaisons linéaires des


D’autre part, le fait d’avoir donné un ordre sur les indéterminées avec l’option "plex" fait que


stème linéaire et le système obtenu

n’est pas vraiment triangulaire. Cependant, la dernière équation dans le système (4.24) ne

et c’est elle que nous cherchons. La procédure a donc fourni une équation de la

100

BBIIBBLLIIOOGGRRAAPPHHIIEE

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Résumé

Les algorithmes de surveillance (détection et localisation des fautes) à base de modèle reposent sur l’analyse d’un signal

appelé résidu, qui reflète la cohérence entre le comportement d’un modèle de système non défaillant et le comportement du

système réel. Les résidus sont créés en utilisant essentiellement deux types d’approches : les observateurs et l’espace de parité.

Dans ce mémoire, nous avons choisie l’approche de l’espace de parité pour surveiller une classe particulière des systèmes

complexes, laquelle la classe des Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH).

Les SDH sont des systèmes composés des dynamiques de nature continue et discrète interagissent entre eux, la dynamique

continue est représentée par des équations différentielles, et la dynamique discrète par des transitions d’états. Pour la

modélisation de ces systèmes, nous avons choisi les automates hybrides, car celles-ci combinent les parties continues et

discrètes dans une même structure. Les automates hybrides sont des graphes états-transitions, dont l'évolution dynamique est

représentée par une alternance de pas discrets et continus, ainsi, l'évolution continue a lieu dans les sommets de l'automate tandis

que l'évolution discrète est réalisée par le franchissement des transitions (arcs) du graphe.

Nous avons illustré la surveillance d’un SDH par un exemple non linéaire (système de deux réservoirs), la génération des

résidus pour les systèmes non linéaires nécessite l’utilisation d’une méthode d’élimination (qui a été la méthode des bases de

Groebner dans notre travail), après la transformation de ces systèmes non linéaires en des systèmes polynomiaux.

Mots clés : surveillance, espace de parité, résidu, Systèmes Dynamiques Hybride, SDH, automates hybrides, non linéaires,

élimination, polynomiaux, Groebner.

ملخص

، والذي "راسب"تسمى ) دالة(املبنية على أساس منوذج، هي خوارزميات تستند على إشارة ) كشف ومتركز أخطاء التشغيل(خوارزميات املراقبة :الرواسب تستخرج أساسا باستعمال طريقتني ).التجرييب(وبني سرية النظام احلقيقي ) من غري أخطاء(يعكس الترابط بني سرية منوذج النظام املثايل

األنظمة الديناميكية يف هذه املذكرة، استعملنا طريقة فضاء التكافؤ ملراقبة صنف خاص من األنظمة املعقدة، والذي هو صنف . الراصدات وفضاء التكافؤ ).هـ.د.أ(اهلجينة

ممثلة مبعادالت تفاضلية، هي أنظمة تتألف من حركيات ذات طبيعة مستمرة وأخرى متقطعة تتفاعل فيما بينها، احلركيات املستمرة )هـ.د.أ(األجزاء ، ألا قادرة على التوفيق والدمج بني اآلليات اهلجينةبالنسبة إىل منذجة هذه األنظمة، استعملنا لذلك . واحلركيات املتقطعة ممثلة بانتقال احلاالت

، حيث حركتها ممثلة بتناوب بني خطوات متقطعة وأخرى "انتقال-حالة"اآلليات اهلجينة هي بيانات على شكل . املستمرة واملتقطعة يف تركيب واحد .اآلليةعرب عقدحالة إىل أخرى نم مستمرة، وكذا فإن احلركة املستمرة حتدث فيما يسمى بالقمم أو الذروات، أما احلركة املتقطعة فتحدث بالعبور

، توليد الرواسب ألنظمة غري خطية يستدعي استعمال طرق )نظام متكون من خزانني(استعملنا مثاال غري خطي ) هـ.د.أ(من أجل توضيح مراقبة على شكل كثريات ظمة إىل أنغري اخلطية ، وذلك بعد حتويل هذه األنظمة )واليت كانت طريقة قواعد جروينر يف عملنا هذا(خاصة إقصاء أو اختزال

.حدود.هـ، اآلليات اهلجينة، غري اخلطية، اختزال، كثريات حدود، جروينر.د.فضاء التكافؤ، راسب، األنظمة الديناميكية اهلجينة، أ مراقبة،:الكلمات املفتاحية

Abstract

Model based Fault Detection and Isolation (FDI) systems are designed using mainly tow kinds of approaches : the observer

based approach and the parity space one. The FDI algorithms are based on the analysis of signal (a residual) which reflets the

discrepancy between the actual behavior of the system and the expected behavior given by model. In this thesis, we have chosen

the parity space based approach to supervise a particular class of complex systems, which the class of Hybrid Dynamics

Systems (HDS).

The (HDS) are a systems composed by continous dynamic and discrete one interact between them, continous dynamic

represented by differentials equations, and discrete dynamic by transitions states. For modelisation of this kind of systems, we

have chosen hybrid automata, because they combine the continous and discretes parts on the same structure. Hybrid automaton

is a states-transitions graph, whose dynamic evolution is represented by discretes and continous steps alternations, also,

continous evolution happens in the automaton apexes, while discrete evolution is realized by transitions crossing (arcs) of the

graph.

We have illustrated a surveillance of a HSD by non linear example (tow tanks system), a generation of residuals for the non

linear systems necessitate the use of elimination method (which had been bases Groebner approach in our work), after

transformation of these non linear systems in polynomials systems.

Keywords : surveillance, Fault Detection and Isolation, parity space, Hybrid Dynamics Systems, HSD, hybrid automata, non

linear, elimination, polynomials, Groebner.

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