Outils algébriques et numériques 2nde

Exercice 1. Développer et réduire les expressions suivantes (a, b, c, x et y désignent des réels) :A = 3a − (−a (b − 2a))

B = (4a + 6b − c) + (2a − 4b − 2c) − (5a + 2b − 3c)C = 2 (3a − 4) − a (2 + 3b) + b (3a + 2)

D = 2 (3 − 4 (a − 2)) − 4 ((3 − 2a) − 2)

E = a (2 (b + c) − 3) − 2 ((a − 1) + ab)

F = (a + b) (x − y) − (a − b) (x + y) − b (x − y)G = x (a − by) − y (b − ax) − xy (a − b)

H = 3 (5 (x − a) − 2 (b − y)) − 6 (a − b) − 15 (x + y)

Exercice 2. Compléter les écritures suivantes par des réels :1. (−x + 2) (. . . x + . . . ) = −10x2 + 17x + . . . 2. (3x + . . . ) (. . . x − 2) = 15x2 − x − . . .

Exercice 3. Développer et réduire les expressions suivantes (a, b et c désignent des réels) :A = (2a + b)2

B = (a + 3b)2

C = (2a + 3b)2

D = (a − 2b)2

E = (3a − b)2

F = (2a − 4b)2

G = (a2 + b2)2

H = (2a2 + 3b2)2

I = (a2b + c)2

J = (a2b2 − c2)2

K = (a − 3b2c)2

L = (−2a − b)2

M = (a

3+ b)

2

N = (a

2+b

5)

2

O = (2a

3+b

4)

2

Exercice 4. Compléter les écritures suivantes par des réels :1. 4x2 + . . . x + ⋅ ⋅ ⋅ = (. . . x + 5)

2

2. x2 + 14x + ⋅ ⋅ ⋅ = (x + . . . )2

3. (. . . x +1

2)

2

= . . . x2 +3

5x + . . .

4. . . . x2 − 9 = (. . . x + 3) (2x − . . . )

5. (3x + . . . )2 = . . . x2 + 24x + . . .

Exercice 5. Développer et réduire les expressions suivantes (a, b et c désignent des réels) :A = (a − b + c)2 B = (2a + b + c)2 C = (a − 2b − 2c)2

Exercice 6. Factoriser au mieux les expressions suivantes (a, b et c désignent des réels) :A = a2 − 4

B = 81a2 − 25b2

C = 5a2 − 45

D = ab2 − ac2

E = 3a2 − 12b2

F = a4 − 1

G = a4 − 16

H = (a + 1)2 − 49I = (a − 3)2 − 16

J = (a +7

2)

2

−25

4

K = (a + 2)2 − 4 (5a − 3)2

L = 4a2b2 − 9c2

M = a3b + ab3 − 2a2b2

N = 2abc + a2c + b2c

O = (a − b) (a2 − c2) − (a − c) (a2 − b2)

P =1

a2+2

a+ 1 (a ≠ 0)

Q =1

a2+ a2 + 2 (a ≠ 0)

Exercice 7. Factoriser au mieux les expressions suivantes (x désigne un réel) :A = (6x + 3) − (x − 4) (2x + 1)B = 3 (2x − 1) + (x + 2) (2 − 4x)

C = (2x + 5) (2x − 4) − x2 + 4

D = (x + 1) (x − 3) + 18 − 2x2

E = (x2 − 9) (2x + 1) − (x − 3) (2x + 1)2

Exercice 8. Factoriser au mieux les expressions suivantes (a, b, c, x et y désignent des réels) :A = ab + a + b + 1

B = ax + bx + by + ay

C = x4 + x3 − 4x2 − 4x

D = x2 + (a − b)x − ab

E = 3a2 + 3b2 − 12c2 − 6ab

F = (2a2 − 3a − 5)2− (2a2 + 3a + 4)

2

Roussot 1 2015 / 2016

Outils algébriques et numériques 2nde

Exercice 9. Simplifier les quotients :

A =28

98B =

42

66C =

36

48D =

231

539E =

120

135F =

1078

1386G =

429

1144

Exercice 10. Calculer :

A = 5 − (1

3+5

2)

B = (3

2−4

3) − (

5

4−1

3) +

7

6

C =3

11− (

9

2−

6

33+

5

22)

D = (5

6−1

3) + (

7

12−3

8−

4

16)

E =π

2+π

3−π

4

F =6π

7(1

4−1

3)

G =95

133−

51

153+72

90

H =11

42+

3

28−165

315+13

21

I = (2

3+1

4)((

3

5−1

2) −

5

12+

3

10)

J = (55

209−

4

152+1

2) ×

19

27

K = (4

27÷2

3)(

7

32÷

5

16)

L = (8 −3

2) ÷ (

12

5×15

16)

M =2 −

3

72

3+1

5

÷

1

4+2

75

12−3

4

Exercice 11. Réaliser les calculs suivants à l’aide de votre calculatrice (on donnera les résultats à 10−3 près) :

A =9,3 − 2,37

5,13B =

4,32

7,3 × 14,6C =

72,35

1,7 × 13,61 × 0,38D =

3,02 × 12,5

4,37 × 8,1

Exercice 12. Calculer :A = (−2)3 B = 3−2 C = 24 D = (−3)−2 E = − (2)4 F = −32 G = (−5)2

Exercice 13. Simplifier l’écriture (a et b désignent des réels non nuls) :A = a2 ⋅ a3 = a2 × a3

B = a−2 ⋅ a5 = a−2 × a5

C = a−5 ⋅ a3

D = a−4 ⋅ a3

E = (a3)4

F = (a2)−3

G = (a−3)4

H = (a−2)−5

I = (ab)3

J = (a2b)3

K = (a2b3)3

L = (a−2b3)3

M = (a4b−2)−3

N = (a−1b−2)−2

Exercice 14. Calculer :A = 2−5 × 28 × 2−2

B = 3−24 × 3−26 × 350

C = 1031 × 1026 × 107

D = (22 × 10−4 × 53)3

E = ((23)−2)

−1

F = ((3−1)−1)

−1

Exercice 15. Simplifier (a, b et c désignent des réels non nuls) :

A =a5

a3

B =a3b

a

C =a5b3c2

ab3c4

D =a−2b7c−4

a3b6c−5

E =(a2b)

5ac−2

a7 (bc2)−3a

Exercice 16. Simplifier les expressions suivantes :

A =252 × 34

153

B =43 × 62

34 × 25

C =(−6)

5× 9−3

−23 × 34

D =158 × 18−4

127 × 25−5

E =287 × 63−4 × 985

− (81)2× (−42)

5

F =91−1 × (−39)

−3× 25

262 × 45 × (−21)−2× 72

G =(28 × 12−2)

3× (105)

−3

(7−2 × (−60)−4)

2× 634

÷(5

3)

5

H = ((−2

3)

2

)

6

×((3

5)

−2

)

3

÷(−4

9)

6

Roussot 2 2015 / 2016

Outils algébriques et numériques 2nde

Exercice 17. Calculer la valeur numérique de :(a2b3c)

2× a3c2

(ab)4(c2a)

2bc

pour a = 2, b = 6 et c = 12.

Exercice 18. Utiliser l’écriture scientifique des nombres décimaux pour effectuer les calculs suivants et donnerles résultats en écriture scientifique :A = 0,0000125 × 4000

B = 1,27 × 0,0002 × 0,03

C =0,000273

0,03

D =125000000 × 0,0057

0,025

E =0,0072 × 3,14

0,3

F =(0,0273)

2× 54

0,03 × 0,153

G =(1,25)

−3× (0,81)

4

(0,15)−6× 277 × (0,03)

3

H =(0,9)

2× (1,25)

3× (4,9)

2

(0,3)4× (0,5)

2× (0,7)

3

I =(0,15)

3× 275 × (0,9)

−12

(−2,5)−5× 62 × (−5)

−6

Exercice 19. Simplifier l’écriture des réels suivants :A = (

√

7)2

B = (−2√

3)2

C = −2√

32

D = (2√

5)3

E = (1 +√

2)2

F =√

2 ×√

8

G = 2√

2 ×√

3 ×√

5

H =√

2 ×√

7 ×√

14

I =√

8

3×

√

5

4

J =√

10−4

K =√

10−7

Exercice 20. Simplifier les écritures suivantes :

A = 2√

3 −

√

3

2+1

3

√

3

B =√

28 − 3√

63 +1

5

√

175

C = (√

7 −√

3)(√

7 +√

3)

D = −3√

3 +√

27 −1

2

√

12 + 2√

75

E = 2√

6 +√

28 −√

343 +√

150 +7√

54

F =√

675−√

180+√

605+√

243−

√

125

G =√

539−√

847+√

396+3√

343−2√

448

Exercice 21.

1. Montrer que, lorsque x =3 −√

249

10, l’expression 5x2 − 3x − 12 est nulle.

2. Déterminer la valeur de 5x2 − 5x − 2 si x =5 +√

65

10.

Exercice 22. Rendre rationnel le dénominateur de chacune des expressions suivantes :

A =2

1 −√

3B =

√

7√

5 − 1C =

1 +√

2√

3 −√

2D =

√

7 −√

2√

7 +√

2

Exercice 23.1. Montrer que

√

2 + 1 est l’inverse de√

2 − 1.

2. Montrer que si a est un réel positif différent de 1, le réel√

a − 1

a − 1est l’inverse de

√

a + 1.

3. Montrer de la même manière que si les réels a et b sont tels que b > 0 et a2 ≠ b, les réelsa −√

b

a2 − bet a +

√

b

sont inverses.

Exercice 24. Calculer la valeur numérique de :(9 − 7x)(3x + 1)

(2x − 5)(5x − 4)pour x =

√

2.

Exercice 25. Calculer la valeur numérique de :a

a + b+

b

a − b−

1

a2 − b2pour a = 1 +

√

2 et b = 1 −√

2.

Roussot 3 2015 / 2016