outil de cao pour la simulation non linéaire des spectres de bruit de phase et d’amplitude des...

656 pp. 6564571

Michel PRIGENT * Juan OBREGON *

Outil de CAO pour la simulation non lineaire des spectres de bruit de phase et d'amplitude des oscillateurs & transistor & effet de champ

R~sum~

Cet article pr~sente un logiciel, basd sur la m~thode des matrices de conversion, permettant la simulation non lin~aire des spectres de bruit de phase et d'amplitude des oscillateurs ~ transistor ~ effet de champ dont la topologie est de type localis~e ou distribute. Les donndes d'entr~e de ce programme n~cessite d'avoir r~alis~ au prdalable une analyse en grand signal de l'oscillateur au moyen d' un logiciel de type ~quilibrage harmonique ou temporel et d'avoir mesur~ les g~ndrateurs de bruit dquivalent du transistor.

Mots cl~s : Conception assist6e, Simulation num6rique, Oscilla- teur, Transistor effet champ, Spectre bruit, Circuit non lin6aire, Ana- lyse circuit.

Sommaire

Introduction. I. Matrices de conversion du TEC.

II. Description du circuit lindaire. III. Description des gdn~rateurs de bruit. IV. Presentation du logiciel. V. Conclusion.

Annexes. Bibliographie (6 r~f.).

INTRODUCTION

A CAD TOOL FOR PHASE AND AMPLITUDE NOISE

SPECTRUM NON-LINEAR SIMULATION OF FIELD EFFECT TRANSISTOR

OSCILLATORS

Abstract

This paper presents a program, based on the conversion matrix method, which allows to simulate the field effect transistor non linear oscillators phase and amplitude noise spectrums. These oscillators can be realized with distributed or lumped elements. The program in- put data demand that a large signal simulation of this oscillator has been realised beforehand, with harmonic balance or time method program and to have measured the equivalent transistor noise generators.

Key words : Computer aided design, Numerical simulation, Oscillator, Field effect transistor, Noise spectrum, Non linear circuit, Network analysis.

Depuis l'av~nement de la technologie monolithique dans laquelle tout r6glage du circuit est exclu, le besoin d'outils de CAO efficaces et fiables se fait imp6rativement sentir.

Ainsi quelques logiciels de simulation des circuits non lin6aires sont apparus sur le march6 : Spice et Harmonica (Universit6 de Berkeley), Nonlin (Universit6 de Bologne), Limha (Universit6 de Limoges).

Aucun de ces logiciels ne permet, dans l'6tat actuel des choses, de simuler par eux-mSmes l'interaction non lin6aire des g6n6rateurs de bruit avec des signaux de fortes amplitudes pr6sents simultan6ment dans un circuit oscillateur.

L'objet de cet article est de pr6senter un module d'analyse r6alisant une simulation non lin6aire non seulement qualitative mais aussi quantitative des spectres de bruit d'un oscillateur ?~ transistor ~t effet de champ dont la topologie peut ~tre de type localis6e ou distribu6e.

* IRCOM, Facult6 des Sciences, 123, avenue Albert-Thomas, F-87060 Limoges Cedex.

ANN. T~L~COMMUN., 44, n ~ 11-12, 1989 1/16

M. PRIGENT. - OUTIL DE CAO DES OSCILLATEURS ,~ TEC

Le logiciel formE par le couplage de ce module avec un simulateur d 'avalyse par 6quilibrage harmonique ou temporel pe,-inet alors une analyse complete des oscillateurs.

On peut ainsi prEvoir maintenant quantitativement :

- - la puissance de sortie, - - le taux d'harmoniques,

- - les spectrcs de bruit de phase et d 'amplitude d 'un oscillateur de topologie quelconque.

Afin d'introduire la mEthode de simulation proposre pour analyser le bruit nous allons rappeler bri~vement comment on drfinit celui-ci et ce, ~ partir du schrma grnrral d 'un oscillateur prrsent6 figure 1.

I1

,Y

i2

transistor non-lineaire sans bruit

112

circuit lin~a~re

FIG. 1. - - Schrma grnrral d'un oscillateur.

Common oscillator diagram.

Dans ce schema les quadrip61es de bruit (1) et (2) reprEsentent l 'ensemble des g6n6rateurs 6quivalents de bruit du transistor utilisE. Ils comprennent des gEnEra- teurs de bruit thermique, mais aussi des gEnErateurs basse fr6quence dont la densitE spectrale peut varier en

l l f ~. Notons d~s ~ pr6sent que ce sont ces derniers qui sont

la cause principale de la pr6sence de bruit de phase dans un oscillateur hyperfrEquence.

Ce bruit est crrE par melange non linraire, dans le transistor, entre les grnrrateurs basse frrquence et l 'onde d'oscillation en fort signal.

Ces gEnErateurs crrent des bandes latrrales de mo- dulation de phase et d 'amplitude autour de la pulsation d'oscillation w0 comme nous allons le montrer par un calcul simple.

ConsidErons l 'expression classique du courant circulant dans un oscillateur fonctionnant ~ une pulsation w0 ; ce courant sera suppos6 modul6 en amplitude et en phase par des sources de bruit de faible niveau :

cos( ot + + 6A(t)]

(1) i(t) = ao 1+ ao J

5A(t) et 5~(t) reprrsentent les modulations ~ faible indice d 'amplitude et de phase.

Si on analyse ce courant ?tune pulsation distante de Q de la porteuse, dans 1 Hz de bande, ces modulations peuvent s'Ecrire :

(2) 5A(t) = R e [ A A e jar] avec A A < < Zo,

(3) 6~(t) = R e [ m e j(nt+~/~)]

avec m = A f l f ~ < < 1.

657

Le courant peut alors s ' rcrire sous la forme d 'une p^orteuse de pulsation et d 'ampli tude complexe I0 = I0e J~~ et de deux bandes latErales :

- - une bande latErale supErieure a la pulsation w0 + 9l et d 'amplitude complexe Iu -- Iue j~u ;

- - une bande latrrale infrrieure h la pulsation w0 - f~ et d 'ampli tude complexe I1 = I le jr :

(4) i(t) = [o cos(wot + ~o) + ]u cos[(wo + ft) t + ~u] +

c o s [ ( w o - +

En identifiant les expressions (1) et (4) du courant i(t) on obtient les densitEs spectrales de bruit d 'amplitude et de phase par les Equations :

2 ] (5) SA( f ) = eJ~oI~ ~__e J~o/u

(6) S~(f) = e J ~ o I ~ - e - J ~ O l u

2

ofa * indique le conjugu6 et la barre horizontale la valeur moyenne, avec :

I! = [,e j~', Iu = ~r~e j~u.

Ce sont ces expressions qu' i l s 'agit de calculer darts tout osciUateur reprrsent6 par la figure 1.

Le principe de calcul utilis6 pour obtenir le spectre de l 'oscillateur dans ia rrsistance de charge Rc sera le suivant :

A partir d 'une analyse en grand signal de l 'oscillateur la pulsation d'oscillation w0 et ~t ses harmoniques

Nw0, on drcrit chaque non-linrarit6 du TEC par une ou plusieurs matrices de conversion [1]. Les E16ments de cette matrice dependent de l 'amplitude du courant en fort niveau circulant dans l'oscillateur.

D~s lors le transistor se prEsente vis-a-vis de tout gEnrrateur de faible niveau et donc notamment d 'un grnrrateur de bruit sous la forme d 'un quadrip61e dEfini par un certain nombre de matrices reliant courants et tensions aux acc~s, aux diffrrentes frEquences mises en jeu, ~ savoir :

- - les frEquences des grnErateurs de bruit,

- - les frEquences des bandes latrrales rrsultantes autour de la pulsation w0 et de ses harmoniques.

Connaissant l 'amplitude des gEnErateurs de bruit, on peut alors calculer par une resolution de syst~me linEaire matriciel les tensions et courants de bruit induits dans la charge ~ chacune des frEquences prEcEdentes.

Un calcul linraire complEmentaire permet d'obtenir, partir de ces rEsultats, les spectres de bruit de phase et

d 'amplitude de l 'oscillateur dans cette m~me charge.

Le principe du calcul nrcessite donc la connaissance de l ' r tat du syst~me non linraire en oscillation avant d'entreprendre le calcul des matrices de conversion de chaque non-linraritE.

Dans la premiere partie de cet article, nous montre- rons comment calculer ces matrices de conversion dans un TEC ~ partir de son schema 6quivalent non linraire.

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658

Le deuxiSme chapitre montrera bri~vement la ca- ractrrisation du circuit linraire associr. Les grnrrateurs de bruit en entrre et en sortie seront drcrits dans la troisi~me partie.

Dans le quatri~me chapitre nous 6tudierons l 'organigramme grn6ral du programme que nous avons d6ve- lopp6 puis nous donnerons quelques exemples d'utilisation.

Notons d~s h prrsent que la m6thode proposre permet 6galement le calcul du bruit dans un mrlangeur transistor h effet de champ qui se rrduit pratiquement au calcul des puissances de bruit fournies h la rrsistance de charge Rc, en prrsence d 'un signal fort dfi h l 'oscillateur local.

I. M A T R I C E S DE C O N V E R S I O N DU T E C

I . I . D~f in i t ion de la m a t r i c e de c o n v e r s i o n d ' u n

~ l~ment n o n l in~aire .

Pour expliquer simplement le formalisme permettant d 'aboutir h la notion de matrice de conversion:, considrrons un exemple d'616ment non linraire h savoir un diprle rrsistif de caractrristique i = g(v) off i est le courant traversant l'616ment et v la tension h ses bornes.

Supposons qu'i l existe aux bornes de cet 616ment une tension sinuso'fdale de forte amplitude appliqure autour d 'une tension de polarisation V0 (Fig. 2).

Pour calculer l ' r ta t du diprle il suffit d'introduire l 'expression de la tension dans la caractrristique g(v) et de drcomposer le courant rrsultant en s~rie de Fourier dont la frrquence fondamentale est la frdquence d 'exci- tation f0.

On aura ainsi l ' r ta t fort signal du dispositif non lin6aire.

Superposons alors h la tension v(t), de petites perturbations de faibles amplitudes : 5v(t) que nous reprdsen-

i

I

I

i I '

r

FIG. 2. - - Conductance non linraire excitre par un signal prriodique.

Non-linear conductance excited by a periodic signal.

M. PRIGENT. - OUTIL DE CAO DES OSCILLATEURS A TEC

tons, en reprenant la throrie drveloppEe par Penfield [2], sous la forme de trois signaux h trois fr6quences :

- - une frrquence basse fs, - - une frrquence latrrale infrrieure fl = f0 - fs

distante de fs de la porteuse, - - une frrquence latrrale suprrieure fu = f0 + fs elle

aussi distante de fs de la porteuse. Ces perturbations peuvent s ' rcrire alors :

(7) ~v(t) = Vs e jw~t + V* e - j ~ t + V1 e J ~ ' t +

V~ e -jwr + Vu e jwut + V u e -jwut.

A cause de la non-lin6arit6 de la caract6ristique g(v), les perturbations vont cr6er des composantes de courant d6finies par :

(8) i(t) + 6i(t) = g(v(t) + 6v(t)).

Les perturbations de courant 5i(t) s 'rcriront aux pulsations O2s~ o21~ 02 u ;

(9) 6i(t) = h e j~St + I* e -j~"t + 11 e jwlt + I t e -jwlt

+ I u eJwut + Iu e-Jwut.

Puisqu'il s 'agit de perturbations de faibles amplitudes (bruit), on peut rraliser un drveloppement en srrie de Taylor de la caractrristique 9(v) autour de v(t) ce qui permet de relier 5v(t) et 5i(t) sous la forme :

(10) 5i(t) = dg lv(,)Sv(t) �9

La drrivre dg/dv 6tant prise en v(t) = Vo + Vp cos wot c'est-h-dire en prrsence du signal fort. I1 est alors possible de drvelopper cette drr ivre en srrie de Fourier de pulsation fondamentale w0 :

(11) d9 ~V = E gn ejnw~ n = - - ~

On notera que les op6rations pr6c6dentes reviennent consid6rer que le point de polarisation Vo varie au

rythme de la fr6quence de la porteuse fo avec une amplitude cr~te Vp. Le drveloppement en srrie de Fourier ainsi effectu6 l 'est donc autour d 'une valeur variable Vo + Vp cos wot.

Ce type d 'analyse est tout h fait classique dans les amplificateurs paramrtriques et les m6langeurs h bas niveau.

En reportant les 6quations (7) et (11) dans (10) et en identifiant avec la relation (9) composante apr~s composante, on aboutit h une relation matricielle entre les perturbations de courant et de tension aux bornes de l'616ment non lin6aire :

[u 1_91 g2 90J Wu

off encore :

f = CV.

G est appelre matrice de conversion ou matrice pompde de l'616ment non linraire. Ses 616ments drpendent des signaux de fortes amplitudes appliqurs sur celui-ci.

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M. PRIGENT. - OUTIL DE CAO DES OSCILLATEURS A. TEC

i

0 i v I , s FIG. 3. -- Conductance pomp6e.

Pumped conductance.

Sur la figure 3 est repr6sent6 le dip61e pomp6 par une tension sinusoidale h laquelle est superpos6 le signal de faible amplitude.

1.2. G~n~ra l i sa t ion de la m a t r i c e de c o n v e r s i o n .

1.2.1 Non-lin~arit~s r~actives.

Lorsque les non-lin~arit~s sont r~actives, par exemple du type q = f(v) ou qo -- f( i) , la matrice de conversion devient plus compliqu6e et fait intervenir les fr~quences des signaux de faibles amplitudes. Prenons le cas d'une charge variable q = f(v) car nous l'utiliserons dans le module du transistor.

Le courant la traversant est i = dq/dt et l'on veut calculer les perturbations de courant 5i(t) cr66es par les perturbations 5v(t). Les deux calculs peuvent &re men& :

- - calcul de 5q(t), la variation de charge puis de 6i(t),

- - calcul de i(t) puis de 5i(t). Suivant la premiere m6thode, le d6veloppement est

le suivant. Soit 5v(t) les perturbations de tension, les variations de charges cr66es s'6crivent :

(13) q(t) + 5q(t) = f (v + 6v).

En d6veloppant au premier ordre, il vient : ay

(14) 6q(t) = dv 5v(t).

Cette perturbation correspond hun courant : d (15) 5i(t)= -~ 5q(t)

d f dSv fd~dV)' - dv d~- + 5vd(d

et finalement :

(16) 5 i ( t ) - d fd6v ~ d 2 f d v dv d~ + ~ dt"

659 En faisant un d6veloppement analogue au cas du

dipfle r6sistff, on aboutit h la relation matricielle reliant les composantes des perturbations de courant aux perturbations de tension :

(17) [L ,q [ jwsC0 jwsC1 jwsC~ ] I V s ]

I 1 | = -jwlC~ -jwlCo -jwlC~ Y~ , I~ J jwuC1 jwuC2 jwuC0 Vu

oh les Ci sont les coefficients du d6veloppement en s6rie de Fourier de d f /dv :

(18) d f +o~ -~v : E Cn e jaw~

et off Wl = w0 - ws et Wu = w0 + Ws. Cette relation se met sous la forme condens6e :

(19)

off :

(20)

A/= jWCArV,

02 =

C =

�9 ] ws 0 0 0 -Wl 0 , 0 0 Wu

-Co C1 C~] c 0 .

c1 C Co

1.2.2 Non-lin~arit~ d~pendant de plusieurs variables.

Dans le cas off la non-lin6arit6 d6pend de plusieurs variables, il existe autant de matrices de conversion que de variables. Prenons le cas d'une non-lin6arit6 r6sistive d6pendant de C commandes :

(21) i(t) = f(vl(t) , v2 (t), . . . vc(t)).

Les perturbations de tension vont s'~crire :

5 v l ( t ) , 5 v 2 ( t ) , . . . 5 v c ( t ) ,

et le d6veloppement en s6rie de Taylor au premier ordre va s'effectuer par rapport h chacune des variables. La perturbation de courant va alors s'6crire :

(22) 5 i ( t )= ~(~vl(t)-~-

Of sv2(t ) + . . . + ~--fvcSVC(t). Ov2

Toutes les perturbations se d6composant de faqon identique suivant les trois fr6quences fs, fl, fu la relation matricielle finale s'6crit :

(23) mI---- GIAV 1 ~-G2A92~-...GcA~rC,

avec :

(24) G i = [g~l 9io gi*2[, i = 1 ,2 , . . .C , kgix gi2 gio J

off les g~j sont les coefficients du d6veloppement en sdrie de Fourier des d6riv6es successives de f par rapport chacune des variables :

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(25) of cOvj' j = 1, . . .C,

Of +~ -- Z gnj eJnw~ OVj n=-oc

I1 est 6vident que pour une non-linrarit6 rractive h plusieurs variables, le calcul est le m~me et on obtient :

A f = j W C I A ~ 1 + . . . j W C c A ~ c , (26)

off :

o o 1 (27) w = - ~ 0 .

0 Wu

Dans un oscillateur, le signal de forte amplitude comportera des harmoniques de w0; on pourra alors 6ventuellement calculer les bandes latrrales prrcrdentes autour de chacune des composantes harmoniques (cas de l 'oscillateur multifrrquence) : ce calcul est prrsent6 en annexe I.

Pour calculer le spectre d 'un oscillateur, il suffira, comme nous le verrons, de donner ~ Ws des valeurs successives correspondant aux pulsations basses frrquences des grnrrateurs de bruit en 1If considrrrs. Si l 'on sou- haite faire une analyse pour S valeurs de Ws, il fan- dra calculer S matrices de conversion de chacun des 616ments rractifs non linraires si ceux-ci ne drpendent que d 'une seule variable ou 2S si ceux-ci drpendent de deux variables etc. I1 faut noter que ces calculs sont tr~s rapides h effectuer sur des ordinateurs du type vax ou HP 9000.

1.3. Applicat ion au TEC.

Le schdma non linraire couramment utilis6 pour moddliser un transistor h effet de champ est prrsent6 figure 4 [3].

Pour d6crire le comportement des 616ments non linraires, on peut utiliser des expressions analytiques contenant des paramStres qui ajusteront ces fonctions aux caractrristiques mesurres.

G i,(t)

Vgs

d.' k

i2(t) O q

v2(t)

Z Cds

FIG. 4 . - - S c h r m a non linraire intrins~que d'un TEC.

Intrinsic FET non-linear equivalent circuit.

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Les quatre 616ments non lin6aires d@endent des tensions Vgs et Va~ comme indiqu6 ci-dessous :

(28) - - le courant d 'avalanche I~ = f(Vg~, Vds), - - le courant d 'effet de champ entre drain et source

Ids = f ( V g s , Vds), - - la diode Schottky d 'entrre grille source caractrrisre par :

�9 le courant Igs = f(Vgs),

�9 la capacit6 Cgs = f(Vgs).

Cette mrthode est largement utilisre aujourd'hui et c 'es t celle que nous avons retenue. Afin de ne pas alourdir l 'exposr , les expressions drtaillres de chacune des non-linraritrs en fonction des variables dont elles drpendent sont drcrites en annexe II.

Pour calculer le spectre de bruit de l'oscillateur, il convient, comme nous l 'avons indiqu6 dans l ' introduction, de remplacer le schrma non linraire du transistor par des relations matricielles incluant les matrices de conversion de chacune des non-linraritrs prrsentes dans le schrma 6quivalent.

Le transistor 6tant caractrris6 par les relations suivantes (d'apr~s Fig. 4) :

(29) i l ( t ) = f(vl(t) , v2(t))

i2(t) = g(Vi(t), V2(t)).

Les relations matricielles vont alors s ' rcrire de la faqon suivante en utilisant les proprirt6s de la matrice de conversion 6noncres au chapitre 1.2.

(30) iq ---- F 1 V 1 + F 2 r 2

= G1';1 + a2';

off :

~ ( i = 1,2) contient les composantes de bruit des courants ii(t) aux frrquences fs,ufo-4- fs(n = 1 , 2 , . . . N ) .

~ ( i = 1,2) contient les composantes de bruit des tensions V/(t) aux frrquences f~,nfo 4-f~(n = 1 , 2 , . . . N ) .

F1 est form6e des coefficients du drveloppement en srrie de Fourier de Of/OVl.

F2 est formre des coefficients du d6veloppement en srrie de Fourier de Of/Ov2.

G1 est formre des coefficients du drveloppement en srrie de Fourier de 09/0vl.

G2 est formre des coefficients de drveloppement en srrie de Fourier de 09/0v2. Les deux fonctions f et 9 n ' r tant pas connues analy-

tiquement les quatre matrices Fx, F2, G1, G2 seront calculres numrriquement h partir des matrices des quatre non-lindaritds que nous noterons de la faqon suivante :

- - source de courant ids(Vgs, Vds) :

(31)

Les deux matrices gds, et gds2 sont formres des

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M. PRIGENT. - OUTIL DE CAO DES OSCILLATEURS ,h, TEC

coefficients du d6veloppement en s6rie de Fourier de Oids/OVg s et Oids/OVds ;

- - la source de courant d'avalanche : ia(Vgs, Vds) :

(32) L ~ = -4- G~,2Vds, GalVgs

G~I et G~ 2 sont form6es des coefficients de d&eloppe- ment en s6rie de Fourier de Oi~,/OVgs et Oia/OVds ;

- - source de courant de la diode Schottky : Igs(Vgs) :

(33) ~ = aVgs,

G est form6e des coefficients du d6veloppement en s6rie de Fourier de 0igs/0Vgs ;

- - capacit~ non lin6aire de la diode Schottky : c M v M .

Les perturbations de courants la traversant s'6crivent :

(34) r c =jWCVgs, off C est form6e des coefficients du ddveloppement en s~rie de Fourier de dq/dVgs = Cgs.

W h ta m~me forme que celle d6finie au paragraphe 1.2.1.

Pour les 616ments lindaires Ri et Cgd, nous pouvons 6crire les relations suivantes :

+ = (vl - V s) (35)

~ d = j C g d W ( ? 2 - 9 1 ) .

Dans toutes ces relations les vecteurs Ids, I~, Ig,

Ic, Vg~, Vd~ contiennent les composants de bruit des courants et tensions correspondants indiqu6s figure 4 aux frdquences fs et nfo • nfs(n = 1, 2 , . . . N).

A partir de ces 6quations, le nouveau sch6ma 6quiva- lent du transistor vis-a-vis des signaux de faibles amplitudes est celui pr6sent6 figure 5.

I1 I i

12

I j_ l

F~G. 5. - - Circuit &tuivalent bas niveau du transistor pompS.

Pumped transistor small signal equivalent circuit.

La d6termination de tousles 616ments des matrices se fera num6riquement avec une transformde de Fourier rapide. A partir des relations analytiques des courants et charges indiqu6es en annexe I, il est ais6 d'obtenir toutes les d&iv6es analytiques n6cessaires au calcul des matrices de conversion.

A l'aide des lois de Kirchhoff, les matrices de conversion du TEC s'6crivent alors en fonction des six matrices 616mentaires comme :

(36)

off :

171 = ( j W C + G - Gal)A -1 - jCgdW,

F2 = j C g d W - ,

G1 = (G~ 1 + Gdsl)A -1 +jCgdW,

G1 = Ga2 - j C g d W + Gds2,

A = [ Rd j WC + G) + 1],

off 1 est la matrice unit&

661

II. DESCRIPTION DU CIRCUIT LINI~AIRE

Le circuit lin6aire associ6 au transistor intrins~que est caract6ris6 par des matrices lindaires en formalisme Z, Y o u cha~ne; ce circuit d6crit en fait la topologie de l'oscillateur. I1 englobe 6ventuellement le sch6ma 6quivalent du bo~tier dans lequel le transistor est mont6 ainsi que tousles 616ments parasites du transistor : ills de connexion, etc.

Les matrices d6crivant le circuit lin6aire associ6 au transistor peuvent &re obtenues h partir de n'importe quel logiciel d'analyse lindaire existant (supercompact, Touchstone .... ).

Dans notre 6tude, nous avons utilis6 le logiciel d'analyse lin6aire qui a 6t6 d6velopp6 dans notre laboratoire car il permet un couplage direct avec un programme d'analyse non lin6aire, bas6 sur un algorithme du type 6quilibrage harmonique, 6galement r6alis6 dans notre 6quipe.

Le formalisme matriciel utilis6 pour la description de notre oscillateur est le formalisme T tel que :

(37) [VL2 T12] rye, = [ T11 1 T21 T22J LIL1 j

Nous verrons dans le chapitre IV une application pratique de cette description.

III . D E S C R I P T I O N

D E S G I ~ N I ~ R A T E U R S D E B R U I T

I I I . 1 . B r u i t d a n s u n m u l t i p 6 1 e p a s s i f .

On rappelle les r6sultats classiques concernant la caract&isation du bruit dans un multip61e passif.

On sait que tout multip61e passif, r6ciproque ou non d6fini par sa matrice admittance Y, poss~de toujours un bruit thermique.

Ce multip61e peut alors &re repr6sent6 du point de vue du bruit par :

- - des g6n6rateurs de courant de bruit plac6s en parall~le ~ chacun de ses acc~s p e t poss6dant une valeur quadratique moyenne :

< JpJp >= 4 k T A f R ( r o p ) --- 2kTAf(Ypp + Ypp),

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o1~1 Ypp repr6sente l'616ment correspondant de la matrice admittance Y;

- - et par la correlation de ces sources entre portes :

< JpJq > = 2kTAf(Ypq + Yqp), p # q.

Globalement le multip61e est donc compl5tement d6fini par sa matrice admittance Y, et la matrice de corrdlation de ses sources de bruit ramen6es h chacun des accSs du multip61e) :

C = < J p J ; >

III.2. Bruit dans un quadrip61e actif.

Un tel quadrip61e, et plus particuli~rement dans notre article, un transistor h effet de champ peut &re lui aussi caract6ris6 par sa matrice admittance YA et sa matrice de corrdlation de bruit :

[<< J1AJ~A> < J I A J ~ A > 1 CA---- j , , 2AJ1A > < J2AJ2A > "

alors que dans le quadripSle passif, les coefficients de la matrice C sont directement calculables d'apr~s la matrice Y, dans un quadrip61e actif la matrice CA d6pend des ph~nom~nes physiques internes au quadrip61e : effet de champ, avalanche, injection de porteurs dans une jonction, pi6geages, etc.

I1 faut donc, pour calculer le bruit r6sultant dans l'oscillateur, caract~riser auparavant la matrice CA de chacun des 616ments actifs utilis6s.

Dans notre programme, on transforme cette representation du bruit dans le transistor et on la remplace par un sch6ma totalement 6quivalent dans lequel les g6n6ra- teurs 6quivalents et leur admittance de correlation sont ramen6s h l'entr~e et/ou h la sortie. La figure 6 indique la representation adopt6e.

I~1 +Enl I1 12 En2+ =

v V~ V1 V ~2

In1 Incl In2

nc2

Im = E.1Ynl 1.2= En2Y.2

FIG. 6 . . - - G6n6rateurs de bruit 6quivalents du TEC.

FET equivalent noise generators.

Les relations entre les courants et tensions aux acc~s du ~ c et du circuit lindaire d'une part et des g6ndrateurs de bruit d'autre part peuvent s'6crire :

(38) E n l = l~l - VL1,

J~n2 = 1 ~ 2 - r

+ I L l = In1 + L c l ,

5 + rL2 = L2 + Lc2,

M. PRIGENT. - OUT1L DE CAO DES OSCILLATEURS ,~ TEC

oh les diff6rents vecteurs contiennent les composantes des courants et tensions aux fr6quences consid6r6s pour le calcul du bruit.

Les grandeurs E n l , En2 , lncl et Inc2 repr6sentent les g6n6rateurs de tension et courant de bruit et Ynl et Yn2 les coefficients de corr61ation entre les g6n6rateurs de courant et tension ~ l'entr6e et en sortie.

Ces valeurs d6pendent de la fr6quence choisie pour ces g6n6rateurs de bruit et peuvent &re 6ventuellement nulles.

On notera que les g6ndrateurs de bruit thermique associ6s aux 616ments lin6aires du circuit oscillateur n'ont pas 6t6 pris en compte dans notre programme. Ceci peut ~tre fait sans aucune difficult6 mais n 'a pas 6t6 r6alis6 car le bruit largement dominant provient du transistor h effet de champ (bruit en 1/f et thermique).

Le choix de cette repr6sentation permet par ailleurs d'introduire directement dans le logiciel les r6sultats de mesure des g6ndrateurs de bruit tels qu'ils sont obtenus au LAAS par Pouysegur et Graffeuil (*).

IV. PRI~SENTATION DU L O G I C I E L

Dans les paragraphes pr6c6dents, nous avons expli- cit6 la m6thode de description de chacune des parties composant l'oscillateur h savoir :

- - l'616ment actif non lin6aire (TEC), - - le circuit passif lin6aire, - - les sources de bruit. Afin de calculer l'interaction entre les sources de bruit

et l'616ment actif repr6sent6 par ses matrices de conversion, il nous faut d'abord d6terminer l'6tat fort signal de l'oscillateur : c'est-h-dire calculer les amplitudes et phases des courants et tension dans le circuit h la pulsation d'oscillation et h ses fr6quences harmoniques. Ce calcul est effectu6 h l'aide d'un logiciel d'6quilibrage harmonique ou temporel classique.

Une fois connues ces variables, il suffira de les introduire dans les 6quations (23) ~ (28) pour calculer les 616ments des matrices de conversion (29) du transistor. On peut alors 6tablir les relations matricielles lin6aires reliant les variables bas niveau (bruit) dans l 'ensemble du circuit.

IV.I. Principe de calcul des spectres de bruit de phase et d'amplitude.

Le calcul des spectres de bruit de phase et d'amplitude dans la r6sistance d'utilisation Re se fait en deux 6tapes :

(*) POUYSEGUR (M.), GRAFFEUIL (J.). R6alisation d'oscillateur h bruit de phase minimum. Rapport final contrat Thomson-DAII n ~ 8435195.

ANN. TI~LI~COMMUN., 44, n ~ 11-12, 1989 7/16


1) Tout d'abord nous calculons les tensions et courants aux accbs du circuit lin6aire aux diff6rentes frdquences f~, nfo -4- fs(n = 1, 2 . . . N) avec les 6quations (30)-(37)-(38) qui sont r6sum6es :

{ /~1 =/;'1 I71 + F2 ~ matrices de conversion I2 G1V1 + G2V2 du TEC

{ VL2 = TnVL1 + T12L1 circuit lin6aire /~2 = T2x VL1 + T22&l

{ /~nl = r VL1 /~n2 = ~k~2 -- ~'~L2 g6n6rateurs de bruit

Ces dquations nous permettent d'aboutir au systbme suivant :

Cll C 1 2 ] [% C~I J

(39)

avec :

(40) J~ l ~--- T 1 2 { - / ~ + L c l - F l # n l - F 2 # n 2 } ,

(41) /32 = - / ~ 2 - L 2 + G1E~I + G2L'~2+

T 2 2 { [ a -~- ~ 1 - F l J E n l - F 2 - E n 2 } ,

(42) C n = - T u + T12F1,

(43) C12 = 1 + T22F2,

( 4 4 ) = - + T22F ,

(45) C22 = - C 2 + T21F2,

oh 1 est la matrice unit6. Ce systbme est r6solu dans le logiciel par la m6thode

de Gauss avec recherche du pivot maximal. Une fois d6termin6 eL1 et IlL2 il est facile d'en d6duire ILl et fL2 Par les relations matricielles existant dans le circuit lin6aire (37).

2) On calcule alors les tensions de bruit dans la r6sis- tance de charge de l'oscillateur R~ afin de d6terminer les spectres de bruit de phase et d'amplitude. Les relations utilis6es sont rappel6es [5].

Spectre de bruit d'amplitude :

(46) SA(f) -- leJ~Vi ~ + e-J'~Vul2/V g.

Spectre de bruit de phase :

(47) S~(f) -- l e J * V i' - e-J~Vul2/V~.

ob Vo e j~' est la tension de ]a porteuse aux bornes de Rc.

Afin de bien expliciter le principe de calcul des spectres de bruit, nous montrons dans l'annexe III un exemple simple analytique permettant de suivre le calcul d'un bout ~ l'autre.

IV.2. Organ igramme de s imulat ion d 'un oscUla- teur.

L'organigramme de simulation d'un oscillateur est pr6sent6 figure 7. Le module d'analyse du spectre de

-== g "o

o

g >,

mesures des g6n6rateurs

de bruit du TEC

determination du mod~.le non Iin~aire

du TEC

Analyse non lin(mire du drspositlf - - ~quilibrage harmonique - - temporel

t Oscillation & la

fr6quence desir~e

. . . . . . . . . _ ~ o u i

calcul des matnces de conversion

du TEC

calcul des tensions et courants de bruit converti aux acc(~s

du TEC

t , calcul des spectres dens la r~.sistance

d'utilisation

non

choix d'une topologie

d'oscillateur

I caract6risation du

circuit lineaire associO au TEC

663

FIG. 7. - - Organigramme complet de simulation d'un oscillateur.

Oscillator simulation method.

l'oscillateur est utilis6 en tout demier point. I1 aura fallu auparavant :

- - mesurer les g6n6rateurs 6quivalents de bruit du TEC,

- - d6terminer les param6tres d'ajustage des diff6- rentes non-lin6arit6s du a~c,

- - choisir une topologie d'oscillateur. Ensuite une analyse non lin6aire du circuit oscillant

avec un logiciel de simulation appropri6 aura permis de connMtre le comportement en fort signal de l'oscillateur.

Enfin seulement une simulation des spectres de bruit pourra avoir lieu.

IV.3. Un exemple s imple d'uti l isation du logiciel r6alis4 : l 'osci l lateur & r~sonateur di41ectrique.

Afin de tester le logiciel d'analyse de spectres et d'en pr6senter l'utilisation, nous avons choisi d'analyser l'oscillateur pr6sent6 sur la figure 8 que l'on peut mettre sous la forme simplifi6e (Fig. 9).

Ce sch6ma pr6sente plusieurs int6r&s dont le plus important est la possibilitd de pr6voir qualitativement les r6sultats de l'analyse. D6crivons sa topologie :

- - les 616ments Re, Lc, Ce associ& aux deux transfor- mateurs id6aux Td et T repr6sentent symboliquement le r6sonateur didlectrique plac6 entre deux lignes de trans- mission;

8/16 ANN. TI~LI~COMMUN., 44, n ~ 11-12, 1989

664 M. PRIGENT. - OUTIL DE CAO DES OSCILLATEURS ~, TEC

f l :I ~n: 1~--~ ~ ii -- :~ ~rqLaF~ c~ L CL ts _J__ I

/T T 7 FI& 8. -- Osci|lateur ana]ys&

Analyzed oscillator.

c~ L~ a~ L 7V',/ ' ,~qC~L~

El6. 9. - - Sch6ma simplifi6 de l'oscillateur.

Simplified oscillator circuit.

m

Rd L~ Cd Cd ~ Rg

a : l

<.... Ig a

Vb l Rg Eg(fo)

FIG. 10. - - Calcul de la puissance foumie par le TEC.

FET yielded power computation.

- - le t ransformateur parfait Ts associ6 au circuit

Cu, Lu repr6sente le t ransformateur de sortie r6alis6

par une l igne de t ransmiss ion de longueur A0 ] 4 ~ la

fr6quence d 'osc i l la t ion choisie h l ' avance (dans notre

cas F0 = 10 GHz) ;

- - l ' i nduc tance La est l ' i nduc tance d ' accord du cir-

cuit du drain du ~ c ;

- - les 616ments Cd, Lch dans les circuits de grille et

de drain sont des 616ments de d6couplage du courant

cont inu de polar isat ion;

- - les inductances Lg, Ls, Ld et les r6sistances Rs,

Rd, Rg sont les inductances et r6sistances de connexion

du transistor;

- - le transistor est repr6sent6 par son sch6ma 6quiva-

lent de la figure 4. Les valeurs num6riques des diff6rents

616ments lin6aires et des param~tres d 'a jus tage des fonc-

t ions non lin6aires cit6es en annexe I sont donn6s dans

le tableau I.

I V . 3 . 1 A n a l y s e e n f o r t s i g n a l .

Dans une premiere 6tape, il s ' ag i t d 'ob ten i r une

osci l lat ion ~t la fr6quence d6sir6e, c 'est-~-dire 10 GHz avec des condi t ions de puissance de sortie convenables : il nous faut r6aliser une analyse en fort signal.

Deux solutions se pr6sentent ~t nous :

- - la premiere consiste ~ introduire la topologie choi-

sie dans un logiciel temporel ou d '6qui l ibrage harmoni-

que et 7t rechercher la fr6quence d 'osc i l la t ion du syst~me.

Si celle-ci n ' a pas la valeur d6sir6e, on donne une va-

leur diff6rente ~ l ' induc tance La et on r6p~te le proces-

sus j u squ 'h obtent ion du r6sultat d6sir6. On peut ensuite

r ecommencer l ' ana lyse pour d 'aut res valeurs des rap-

ports de t ransformat ion n , nd et ns ;

- - la seconde consiste toujours ~ l ' a ide d ' u n logiciel

d ' ana lyse non lin6aire, ~ r6aliser une premiere analyse la fr6quence fondamenta le en rernplagant la charge et

l '616ment d ' accord La par un g6ndrateur h la fr6quence

ANN. T~L~COMMUN., 44, n ~ 11-12, 1989

d 'osc i l la t ion d6sir6e. Cette premiere analyse b ien qu ' ap -

proch6e permet de calculer (Fig. 10) la puissance fournie

par le TEC en fonct ion de l ' ampl i tude de Eg :

1 Re(Vb/D. (48) P =

TABL. I. - - Valeurs des 616ments lin6aires et des param6tres des expressions non lin6aires.

Linear element and non-linear functions parameters values.

E16ments linEaires

Ri ---- 2, 1 f~ Rd = 0, 7 f2 Rs -- 0, 192 ~ Cgd = 0,0451 pF Lg = 0,189 nH

Ls = 0, 0192 nH RG = 0, 189 f~ Ld = 0,088 nH

Source de courant Iris

Idss = 0,225 b = 0, 00983 m = 0, 06 w = 0, 9921 Vpo = 2,045 p = 0,1557 Vo = 1,762 T = 6, 16 pS

a = 0, 08185 Vdsp = 0, 3917

Source de courant I0c lass ---- 324,174 nA e = -2 , 24504

a = 0, 078475 d = 3, 23368

b = 0, 0924075 e = 1, 00323

Source de courant Igs

Is = l n A c~ = 25V -1

Capacit6 Css Cgso = 0,564 pF

Vb = 0 , 8 V

9/16


On peut 6galement tracer Re(Vb lib) et Im(Vb lib) en fonction de l'amplitude de Eg.

A partir de ces trac6s, pour diff6rentes valeurs du rapport de transformation n, on peut obtenir les conditions d'obtention d'une puissance de sortie maximale pour la topologie analys6e.

Les figures 11 indiquent les r6sultats obtenus pour n = 2 qui repr6sente la meilleure valeur du rapport de transformation. Une fois choisi le point d'oscillation (ici nous avons choisi le point P sans crit~re particulier), on calcule la valeur de la susceptance ~t placer h la sortie. D'apr~s la courbe de la figure l l c on placera :

(49) B = - 2 . 7 9 . i0-2S.

On calcule ensuite le transformateur de sortie et le rapport nd afin que l'ensemble Ru et Rc ramenrs sur le transistor prrsente d'aprrs la courbe de la figure l i b :

(50) G = 1.62.10-2S.

Apr~s ces calculs prrliminaires, on peut simuler le circuit oscillateur complet, une 16g~re retouche de la valeur de La suffit alors ~ obtenir les conditions d'oscillation la frrquence exacte drsirre (10 GHz). L'analyse rralisre alors avec le circuit complet de la figure 8 comportant autant de composantes harmoniques que voulu.

0,02

0

0,02

0,04

0,06

0,08

(a)

P(W)

, , 7 . . . . 2 . . . . 3 . . . . , , (

J

-Re(Zb) (~) p

15 . . . . . . . .

,o

5

0 1 2 3 4 \IEgl (v) \

(b)

-Im(Zb) (II) /

35

30 - - ~

3 4 IE~I (v) (c) 1 2

FIG. 11. - - Rrsultats de l 'analyse en fort signal de l'oscillateur.

Oscillator high signal analysis results.

665

Dans l 'exemple que nous avons choisi, l'analyse numrrique montre que les tensions aux frrquences harmoniques sont extr~mement faibles, et qu'elles peuvent

donc &re nrgligres lorsqu'il s'agira de calculer les matrices de conversion des 616ments non linraires. On peut drj~ remarquer que l'absence d'harmonique se com- prend aisrment compte tenu de la prrsence du rrsonateur dirlectrique simul6 dans notre cas avec un coefficient de surtension de 104. Les rrsultats de l'analyse numrrique sont les suivants :

- - puissance dans Rc : 73,2 mW, - - tension instantanre de drain :

V d ---- 6 + 3 cos(wot)V,

- - tension instantanre de grille :

Vg = - 1 + 1,49 cos(w0t + 173,9~

A l'aide de ces demiers calculs, nous allons pouvoir drduire les matrices de conversion des 616ments non linraires de TEC puis par une analyse matricielle calculer les tensions drveloppres aux diffrrentes frrquences de bruit dans la rrsistance de charge.

I V . 3 . 2 S i m u l a t i o n d u s p e c t r e d e b r u i t d e p h a s e .

Les donnres nrcessaires ~ notre logiciel sont celles qui permettent d'rtudier le schrma que nous avons indiqu6 dans la figure 1.

I1 nous faut prrciser : - - la frrquence d'oscillation f0, - - les relations matricielles drcrivant le circuit

linfaire aux frrquences mises en jeu : - - bande de base (frrquence basse) : fs, - - bandes latrrales : f0 + fs,

- - la valeur des tensions de commandes Vg et Vd des non-linraritrs qui ont 6t6 calculres au paragraphe IV.3.1.,

- - la description des 616ments non linraires du TEC (annexe I),

- - la valeur des grnfrateurs de bruit et 6ventuellement de leur coefficient de corrrlation :

- - en basse frrquence pour les grnrrateurs de bruit en l l f ,

- - autour de la porteuse pour les g6n6rateurs de bruit thermique.

IE3.2.1. Description du circuit lin~aire. Dans notre exemple, cette description est faite par la

matrice T. Les relations liant les tensions et courants aux acc~s

du circuit linraire aux frrquences sont les suivantes :

(51)

V;L1 = Tl1(~)* 0 V~i~, + V2Lu 0 T11(Wu) VlLu

0 0 T12 (Wu) LI1Lu 3

10/16 ANN. T~LECOMMUN.,44, n ~ 11-12, 1989

666

(52)

o

1 = T~I (~lJl) *

LhL~ 0

FT22(Ws) 0 0 0 0

0 [V, sl 0 V;L,/ +

T21((Mu) . E lL u J

~ l r'X ] T22 ( ( ,~) 0 / / i L l

r22(~Ou) LL~o

Le circuit linfaire du circuit simplifi6 indiqu6 figure 9 pourra alors se mettre sous la forme (Fig. 12). L'acc~s l sera connect6 a la grille, l'acc~s 2 au drain du TEC.

I. Rg ~ Cd . Cd L~ R,~

Iv,, ::l vrl FIG. 12. - - Circuit lin6aire simplifi6.

Simplified finear circuit.

114.3.2.2. G~n~rateurs de bruit. Les figures 13 et 14 indiquent les valeurs des g6n6ra-

teurs de bruit qui ont 6t6 utilis6es dans l'exemple que nous pr6sentons.

Pour le transistor utilis6 le bruit basse fr6quence en 1 / f a pu ~tre repr6sent6 par un g6n6rateur de tension unique plac6 en s6rie dans l'61ectrode de grille.

Eg(IJV/~/Hz) 1

0,1

0,01-

0,001 - f(kHz)

i i i [ J I 10 -1 1 10 102 103 104 10 s

FIG. ]3. - - C,-en~ruteur de bruit bassr frequencr en 1/ f .

1 / f low frequency noise generator.

0,1

0,01

Eg(UV/~/Hz)

distance 0,00t porteuse

10 I-1 1 10 102 103 104 10 s (kHz)

FIG. 14. - - G~n~rateur de bruit thermique autour de la porteuse.

Thermal noise generator around carrier.

M. PRIGENT. - OUT1L DE CAO DES OSCILLATEURS .~, TEC

Par ailleurs et pour simplifier l'explication des r6sul- tats obtenus nous avons consid6r6 un seul g6n6rateur de bruit therrnique plac6 lui aussi dans la grille. I1 faut noter que cette simplification qui peut para~tre abusive n'apporte pas une erreur consid6rable, 6tant donn6 Fin- fluence peu importante de ce type de g6n6rateur de bruit dans le spectre final de l'oscillateur comme nous allons l'expliquer dans le paragraphe IV.3.3.

IK.3.2.3. Calcul du spectre. La derni6re 6tape consiste ~ exprimer la tension dans

la r6sistance Rc en fonction de VL1,1L1, VL2, IL2 aux fr6quences fo 4- fe, afin de pouvoir appliquer la relation (6).

Dans le cas g6n6ral un calcul matriciel suppl6mentaire est n6cessaire. On 6crit le syst~me lin6aire sous la forme d'un hexapole (Fig. 15) o3 les acc~s 1 et 2 sont les m~mes que pr6c6demment et l'acc~s 3 contenant la r6sistance de charge. On calcule la nouvelle matrice T' puis on relie/3 et V3 par la relation Va = -Rcla.

La tension V3 peut s'exprimer alors comme :

Y31 Y32 V2, (53) Vz - 1 Vt + 1

- - - - Y 3 3 - - - - Y 3 3 Rc Rc

et ceci pour chacune des deux fr6quences fo - fs et

fo + fs. Ill It2

9

circuit 2'1 ~ V~ lineaire VI

Va

FIG. 15. - - REseau lin6aire pour le calcul du spectre.

Linear network for spectrum computation.

IV.3.3 Commentaires sur les spectres de bruit de phase des oscillateurs.

Avant de pr6senter les r6sultats obtenus par la simulation, nous allons expliquer l'allure g6n6rale d'un spectre de bruit de phase d'un oscillateur pr6sent6e figure 16.

k puissance

~brConvers ion du

uit n 1/f conversion du

~ rmique bruit add~tif

frequence

FIG. 16. - - Spectre de bruit de phase d 'un oscillateur.

Oscillator phase noise spectrum.

ANN. T~t4COMMtrN., 44, n ~ 11-12, 1989 11/16


Ce spectre peut ~tre s6par6 en deux parties ca- ract6ris6es par deux ph6nom~nes :

- - Un ph6nom~ne de m61ange (ou de conversion) : ~t cause des diff6rentes non-lin6arit6s existantes dans le transistor, le signal de l'oscillateur est modul6 par du bruit. Cette conversion s'effectue aussi bien par les sources de bruit basse fr6quence que par les sources de bruit thermique pr6s de la porteuse mais celles-ci ayant des niveaux tr~s inf6rieurs aux premi6res, la conversion de bruit basse fr6quence (en 1 I f ) est pr6pond6rante.

Un calcul analytique [1] montre que la densit6 spectrale du bruit de phase convertie est proportionnelle

la densit6 spectrale des g6n6rateurs de bruit basse fr6quence et ~t l'inverse de la distance h la porteuse fro.

SBF(f) (54) Sqo(f) CX f2 m

Lorsque l 'on trace cette densit6 spectrale, le ph6no- m~ne de conversion de bruit se traduit par une pente de 20 dB inf6rieure h celle du bruit basse fr6quence. Un bruit dont la densit6 spectrale sera en 1 [ f'~ donnera une densit6 spectrale de bruit de phase de pente 6gale ( - 20 - 10 a) dB/d6cade : on reconnait donc le bruit en 1 / f converti ~ une pente de - 30 dB par d6cade (a = 1) et le bruit thermique converti ~ une pente de - 20 dB/d6cade (a -- 0).

- - Un ph6nom6ne d'addition : de chaque c6t6 de la fr6quence d'oscillation s'ajoute la contribution du bruit thermique par simple addition au bruit converti. Celle- ci sera d'autant plus faible devant ce bruit converti que l 'on se rapprochera de la porteuse.

Dans le logiciel pr6sent6 dans cet article, ce dernier ph6nom~ne qui provient du bruit thermique n'est pas pris en compte.

IV.3.4 Pr4sentation des r6sultats.

Les r6sultats obtenus sont indiqu6s figure 17. Nous avons trac6 le spectre de bruit de phase de l'oscillateur. Le spectre de bruit d'amplitude n 'a pas 6t6 retenu car son niveau est inf6rieur au bruit de phase d'au moins 20 dB. Ce r6sultat est d'ailleurs classique dans les oscillateurs microondes h TEC ~ des distances de la porteuse inf6rieures h 1 MHz. De plus, h cause de cette particularit6, sa mesure est quasiment impossible car il est souvent noy6 dans le bruit de la chaine de mesure et

S ~ ( d B c / H z )

- 2 0

- 6 0 -

- 1 0 0 -

- 1 4 0 -

_ d i s t a n c e p o r t e u s e

- 180 - ( kHz)

10 1 1 10 102 10 a 10 '~ 10 s

FIG. 17. - - Spectre de bruit de phase simul6 de l'oscillateur.

Simulated phase noise spectrum.

667

il nous est apparu inutile de discuter des r6sultats non v6rifiables exp6rimentalement.

Ce spectre correspond bien au comportement exp6ri- mental d'un oscillateur.

La densit6 spectrale de bruit de phase varie bien en - 30 dB/d6cade jusqu'~ une distance de 100 kHz de la porteuse qui indique donc la conversion de bruit en 1 / f . A partir de cette fr6quence, c'est le bruit thermique converti qui devient pr6pond6rant et donc la pente s'61~ve ~ - 20 dB/d6cade.

Le bruit thermique additif non consid6r6 ici limite- rait cette densit6 spectrale ~ des valeurs inf6rieures et ferait appara3tre un plancher constant pour des fr6- quences 61oign6es de la porteuse, fr6quences auxquelles l'oscillateur est rarement caract6ris6 en bruit.

V. CONCLUSION

L'un des logiciels indispensables ~ la CAO des circuits non lin6aires poss6dant des g6n6rateurs de bruit est celui qui permet la simulation quantitative de l'interaction entre une onde de forte amplitude (appel6e signal de

pompage) et des signaux de bruit, d'amplitude tr~s faible : celui-ci permet de calculer les spectres de bruit d'amplitude et de phase des oscillateurs ~ TEC ayant des topologies localis6es ou distribu6es.

Dans cet article, un tel logiciel a 6t6 pr6sent6 et ap- pliqu6 au calcul des spectres de bruit d'un oscillateur r6sonateur di61ectrique. Les donn6es d'entr6e de ce programme n6cessitent au pr6alable l'6tude de l'oscillateur en r6gime fort signal afin de d6terminer les diff6rents tensions et courants ~ la fr6quence d'oscillation choisie, aux acc~s du TEC.

Un logiciel d'analyse des circuits non lin6aires bas6 sur une m6thode temporelle ou fr6quentielle comme l'6quilibrage harmonique peut &re utilis6.

L'61ement actif d6crit par un module comportant autant de non-lin6arit6s que souhait6es d6pendant elles- m~mes d'autant de variables que n6cessaires est trans- form6 en un nombre de matrices de conversion 6gal, pour chaque non-lin6arit6, au nombre de variables dont elle d6pend.

Un calcul matriciel permet alors de d6terminer les courants et tensions de bruit aux fr6quences basses fs et autour de la porteuse fo :t: fs aux bomes d'un 616ment quelconque du circuit (g6n6ralement la r6sistance de charge) et d 'en d6duire les spectres d'amplitude et de phase.

Ce formalisme mis en place dans le logiciel per- mettra 6galement, par une extension en cours de d6ve- loppement, de consid6rer des g6n6rateurs de bruit non lin6aires (d6pendant du niveau de l'oscillateur local) corr616s entre eux. Le logiciel final devra alors pouvoir calculer non seulement le briait dans un oscillateur mais aussi dans un m61angeur utilisant un nombre quelconque d'616ments actifs (bipolaires, TEC, diodes Schottky...).

12/16 ANN. ~I~COMMUN., 44, n ~ 11-12, 1989

668

ANNEXE I

Matrices de conversion d'616ments non iin6aires pom- p6s par un signal p~riodique comportant N harmoniques.

Dans les calculs prdc6dents, nous avons 6tudi6 les perturbations de l 'oscillateur autour de la fr6quence fondamentale, mais il peut &re int6ressant (pour des multi- plicateurs de fr6quences par exemple) d'6tudier les spectres autour des harmoniques. Si N est le nombre d 'harmoniques consid6rd dans l 'dtude en grand signal de l 'oscillateur, on montre, h partir d 'un calcul similaire h celui effectu6 au paragraphe 1.1., mais avec une perturbation de tension 3v( t ) s'6crivant :

(55) 5v( t ) = Vs e jwst + V s e - J ~ " t + N

E Vpl eJ(P~~ + V~ e - J ( P ~ ~ p = l

N Z Vpu eJ(Pw~ + V* e -j(pw~

Pu p=l

que la matrice pomp6e gfn6ralis6e h N harmoniques se met sous la forme suivante :

(56)

Ilu

I2u

I ~ .INu

Pour une

�9 go 91 g~ go gl g2

= 92 93 : :

g*N * g g - 1 gN gN+I

relation (19)

g~ g2 g~

g0 g3 g~ 90

gl g4 go : : :

g ~ + l * * gN+2 gN+2 g N - 1 gN--2 g N - 2

non-lin6arit6 rdactive, la matrice W de la a la forme suivante :

(57)

W =

off :

"02s

--0211 0 021u

--0221

022u

02Nu

M. PRIGENT. - OUTIL DE CAO DES OSCILLATEURS A, TEC

parambtres d'ajustage : Cg~0, V~. 2) Source de courant grille source Igs(Vgs) :

(59) Igs = I s ( e ~V~ - 1),

parambtres d'ajustage : Is, a .

3) Source de courant d 'avalanche Ia(Vgs, Vds) [5] :

Ia = Ias~(a + bV~s) (d+eu~'),

parambtres d'ajustage : a, b, c, d, e, lass�9 4) Source de courant d 'effet de champ Ids(Vgs, Vds)

[6]:

Id~ = f(Vgs(t - r) , Vd.(t)),

= l d F d F g

(60)

avec :

(61)

(62)

d88 / a= 1 1 - • - e -m)

m

F g : Y g s n - 1 ( 1 _ e - m Y g s . ) ,

Fd = 1 - e -Vd~"(l+aVdS"+bV~~

et Ids = 0 pour Vg - V,I, < Vp, off :

(63) Vgsn = 1 q- Wg - Vkl., Vp

�9 , .

gN 9*N gN-1 gN+l

gN+l g N - 1 g N - 2 g Y - 2 gN+2 g N - 2 :

go g~N g2N go

- � 8 9

V{l Vlu

V~I x V2u

v ~ -VNu

Vd (64) Vdsn = Vdsp(1 -'{- 02Vg/Vp)'

(65) Vp : Vpo + pVdsp + V~.

Vg = Vgs(t - T ) r 6tant le retard introduit par le parcours du courant dans le canal :

Vd ---- Vds(t),

pararn5tres d 'ajustage : Idss, re, p, a, b, w, Vdsp, Vr Vp0.

ANNEXE III

02il = i02o - 02s i = 1, . . �9 N.

02iu = i02o + 02s i = l , . . . N . Caicul analytique des spectres de bruit de phase et d'amplitude d'un oscillateur dipolaire.

ANNEXE II

Expressions des quatre non-lin~arit6s du TEC.

1) Capacitd grille sou rce Cgs(Vgs) :

Cgso (58) Cg s -- 4 1 _ Vgs/V~ ,

A titre d 'exemple, nous indiquons ci-dessous un calcul de spectre de bruit de phase qui peut ~tre men6 ana- lytiquement. Consid6rons le sch6ma simple d'oscillateur avec deux non-lin6arit6s de la figure A3.1.

L'oscillateur est form6 de deux non-lin6arit6s en pa- rallble : une non-lin6arit6 r6sistive i = f ( v ) et une charge non lin6aire q = 9(v) , le circuit R, L, C est le circuit d 'accord permettant de r6aliser les conditions d 'os-

ANN. T~L~COMMUN.. 44, n ~ 11-12, 1989 13/16

M. PRIGENT. - OUTIL DE CAO DES OSCILLATEURS ,h TEC

Lch Cd

LTt FIG. A3.1. -- Oscillateur 616mentaire.

Elementary oscillator.

cillation, les 616ments Cd et Lch servent de drcouplage du continu : les imprdances h la frrquence d'oscillation sont supposres nulles et infinies.

Les deux fonctions non linraires f ( v ) et q(v) ca- ractrrisant la rrsistance et la charge non linraire ne sont pas connues mais les ddveloppements en sdrie de Fourier de leurs ddrivres s'rcrivent :

Of +oo (66) ~ - - E G p e jpw~ a v e c G p = G * p~

n = - o o

(67) Oq +o0 Ov = E Cp e jpw~ a v e c C p = C * p~

n ~ - - - r

off fo est la fr6quence d'oscillation. Nous allons calculer les spectres autour de fo.

1) Analyse en fort signal.

Si les deux non-linraritrs sont reprrsentres par leur fonction de description pour une entrre sinuso'idale f0 [1] que l'on nommera Geq et Ceq. Les conditions d'oscillations de ce syst~me s'rcrivent d'apr& le schrma 6quivalent de l'oscillateur ~ la frrquence d'oscillation (Fig. A3.2) :

1 (68) R + Geq + J(woCeq + woC - woL ) = 0 ,

d'ofi en srparant parties rrelles et imaginaires :

(69) R = -Geq, 1

~2 _ L(C + Ceq)'

Lt R FIG. A3.2. -- Schrma 6quivalent de l'oscillateur ~ fo. Oscillator equivalent circuit at oscillation frequency.

go + jCows + Y~ (74) 91 - jwl C1

gl + jwuC1

2) Spectres de bruit de phase et d'amplitude.

Pour calculer le spectre de l'oscillateur, nous al- Ions simplement introduire un g6nrrateur de bruit basse

frrquence Eg dans le circuit puisque c'est la conversion de ce bruit qui engendre la quasi-totalit6 du bruit pros de la porteuse.

669

Le circuit se srpare en deux parties, la premiere contenant le circuit linraire, la deuxi~me le circuit non linraire comme indiqu6 figure A3.3.

I Eg I~

7 , 7 , FIG. A3.3. -- Oscillateur bruit&

Noisy oscillator.

Pour les perturbations, la partie non linraire est caractrrisre par les matrices de conversion des deux non- linraritrs qui s'ajoutent (puisque on travaille en formalisme Y) pour donner la relation suivante d'apr~s (12) et (17). [i:]

[ g0-~-jCocos ffl ' t - j e l l s gl -}- jVl~s ] [ r~s, ] = gl - jClCOl go - jCo~l g2 - jC20~l Y 1 �9

91 + j C l ~ u 92 +jC2wu go +jCowu Vu

D'autre part le circuit linraire est caractrris6 par son admittance h chacune des frrquences considrrres : fs, fl = fo - f . , fu -- fo + fs que l'on peut 6crire sous la forme :

[i ~ ~ (71) = Y~' 0 Vs , LILu 0 Yu VLu j

off :

(72) = r ( ~ s ) ,

Y~ = r ( ~ ) ,

1 + j ( C w - 1 ) Y . = Y ( w u ) a v e c Y = ~ Lw "

PrOs de la porteuse (< 10 MHz de faqon grnrrale), on montre [1] que YI et Yu s'rcrivent sous la forme :

OB (73) Y1 = 92 - go - j(-~wW~ + (Co - C2)wo),

�9 OB Y . = g2 - go + j ( - $ 5 ~ - (Co - c 2 ) ~ o ) .

D'apr~s la figure A3.3, IL = --I et en utilisant les relations (70) et (71), il vient :

go - jwlCo + Y~ 92 - jWlC2 V 1 = 92 +jwuC2 9o +jwuCo + Yu Vu

Nous allons calculer les trois tensions de bruit Vs, V~ et Vu. Auparavant, nous allons faire deux simplifications dans le cas oh nous sommes pros de la porteuse :

(75) ~ l = ~o - ~ # ~o,

Wu =WO+Ws #WO.

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670 M. PRIGENT. - OUTIL DE CAO DES OSC1LLATEURS A TEC

En remplaqant Y~' et Yu Par en posant :

(76) go + jCows + Ys = Yg,

gl + jClwo = Ylo,

g~ + jC2wo = Y2o,

91 + jClws = Y~,

-Y~E~ = 1~, OB & o Ws = ft.

les expressions (73) et

Le systbme se rdcrit plus simplement :

(78) Y~o Y2o+j~ Y~o V~ = , (79) LY~o Y=o Y2o + j z L Vu

de l'dquation (77) on tire : Ig Yls . .

(8o) v~ - Yg V~ (v~ + Vu),

que l'on porte successivement dans les dquations (78) et (79) pour obtenir le systbme suivant :

[~sY;o (r~o +J~) + Vu [Y, sY~o , r~o (81) V~'[ yg ] L Yg Y2o] = --fg-g/g

L FY'~ Yg ] LFYlsY~~ Yg J] Y2o/g -~g (82) V; 112o + V,, (II2o + Jfl)/ = �9

Le dfterminant vaut alors :

(83) A = f l [ 2 j ( 9 2 77-Yls , fl] - % 9 0 ) - �9

On obtient ensuite les tensions de bruit :

(84) V~ = ~ x

cOB - jClwo)] 2jwo (6192 - 6 2 9 1 ) - j - ~ w w s (91

(85) Vu = Ig - - X /xy~

tOB + jClwo)] -2jwo(Vlg2 - 6291) - j-~-~ww Ws(gl

Los densitds spectrales des bruits de phase et d'am- plimde se calculent ensuite h partir de V~ et Vu d'aprbs les relations (5) et (6) que nous rappelons ici :

(86) S~( f ) - Iv~ - vul2 v02 ,

(87) SA(f) -- IV? + Vul ~ U~ '

on supposera que la plu de la tension de la porteuse sert de r~fdrence. I1 vient alors :

II~12 (88) S ~ ( f ) - iygl2V2 x

4~262w 2 + 16w2(6192 - 6291)

(89) SA(f)- iygl2V~

~S ~ f1212j(92 - ~-g91) -/3] 2

4g~

Z212j(g2 - ~ g l ) - Zl 2

En utilisant les relations (76), il vient finalement : IEgl 2 IY~I 2

(90) S ~ ( f ) - Vg 190 +jCows +Ysl 2

4"2 20B C'lOd 0 0--~03s -~- 16wg(Clg2 - C 2 g l )

OB 2 _ 91 + jClWsysgl) _ cOB 2' --~wwsl2j(g2 go +jCows + O-~-w ws

(91) S h ( f ) - IEgl2 IY~I2 v~ 19o +jCo~s + Y~I 2

4912 12j(g2 -

gl + jClws ~ tOB 2' go + jCows + y glj b-5~sl

on peut faire deux remarques sur ces relations : si nous remplagons la capacit6 non lin6aire par une capacit6 lin6aire Co, alors 61 = 62 = 0 et SA(f) ne change pas mais S~o(f) = O.

Si maintenant nous remplaqons la r6sistance non lin6aire par une r6sistance R = l /g0 alors 91 = 92 = 0

et SA(f) = 0 tandis que S~o(f) devient :

IEgl 2 IY~I 2 (92)S~o(f) - Wo 2 Igo +jCows + Ysl 2

2 2 461w o OB2 2 tO& ~ds

Nous retrouvons les r6sultats connus concemant la conversion de bruit h basse fr6quence en bruit de phase principalement par les charges non lin6aires et en bruit d'amplitude par des rdsistances non lindaires essentiel- lement.

La relation (92) peut 6galement s'6crire de la faqon suivante en supposant Ys r6elle et Cows < < g0 + Ys et en remarquant que :

(93) O B _ 2Qo Ow Rwo '

off Qo = RCwo = R/Lwo est le coefficient de surtension ~ vide du circuit rdsonant R, L, C.

IEgl 2 [Ysl 2 4C2w~R 2 (94) S~(f ) - V~ Igo + Y~]2 2 2 Q0~os

Si le g6n6rateur de bruit Eg a une densit6 spectrale en 1 / f , on retrouve bien pour S~(f ) une pente de - 30 dB/d6cade. On remarque 6galement que le bruit de phase varie en fonction inverse du carr6 du coefficient de qualit6 du circuit r6sonant.

REMERCIEMENTS.

Les auteurs tiennent d remercier le Centre national d'dtudes des tdldcommunications pour le soutien finan- cier qu'il a apporM au cours de cette dtude.

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lls remercient par ailleurs leurs colldgues de l' (quipe de rlnstitut de recherches en communications opti- ques et microondes pour les discussions trds fructueuses qu'ils ont eues et qu'ils poursuivent avec eux.

Manuscrit rer le 29 novembre 1988, accept~ le 21 septembre 1989.

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[3] PUCEL (R. A.). MMICS, modelling and CAD, where do we go from here ? 16th European microwave Conference, Dublin (1986), pp. 61-70.

[4] SnVER/S (H. J.), SCHIEK (B.). Analysis of noise up conversion in microwave FET oscillators. IEEE Trans. MTT (mars 1983), 33, n ~ 3, pp. 233-242.

[5] DuPIS (E). Analyse temporelle et conception d'oscillateur ~ faible bruit de phase. Thdse de doctorat, Universit6 de Limoges (1986), pp. 98-124.

[6] TAJIMA (Y.), ]~[ILLER (P. D.). Design of broad-band power GaAs ~T amplifiers. IEEE Trans. MTT (1984), 32, n ~ 3, pp. 261-267.

BIBLIOGRAPHIE

[1] PRIGENT (M.). Contribution A l'6tude de la conversion de fr6quence dans les circuits non lin6aires : application ~ la CAO d'oscillateur

bruit de phase minimum. Thdse de doctorat, Universit6 de Limoges (1987), n ~ 46-87, pp. 142-151.

[2] PENFIELD (P.). Circuit theory of periodically driven non linear system. Proc. IEEE (1966), 54, n ~ 2, pp. 88-102.

BIOGRAPHIE

Michel PRIOENT, n6 en 1960, ancien 61~ve de la Facult6 des Sciences de Limoges. Maitre de Conf&ences ~t l'itrr g6nie 61ectrique et informatique industrielle de Brive poursuit ses recherches h I'mCOM dans l'6quipe circuits actifs microondes.

Juan OBRECON, n6 le 30 mai 1939, Professeur ~t l'Universit6 de Limoges. Anime une 6quipe sur la CAO des circuits actifs lin6aires et non lin~aires microondes, ~t I'IRCOM de Limoges (UA CNRS n ~ 356).

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outil de cao pour la simulation non linéaire des spectres de bruit de phase et d’amplitude des...

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