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Physique – Terminale SChapitre 8

Correction des exercices

1

Oscillations dans un dipôle RLC sérieCorrection des exercices

Exercice 10 p. 174

1. Le condensateur est initialement chargé. en basculant l’interrupteur de 1 à 2, le condensateur se décharge dans le dipôle RL (phase

1 : 0 à 0,5 ms) ; toutefois, la bobine emmagasine une partie de l’énergie restituée par condensateur et la

restitue à son tour (phase 2 : 0,5 à 1,0 ms) : le condensateur se charge (armatures inversées, d’où uC < 0)

le condensateur se décharge à nouveau (phase 3 : 1,0 à 1,5 ms) et la bobine emmagasinel’énergie, qu’elle restitue à son tour (phase 4 : 1,5 à 2,0 ms) en chargeant le condensateur

La courbe s’amortit progressivement car les échanges énergétiques entre condensateur et bobine transitent par le conducteur ohmique qui en dissipe une partie par effet Joule à chaque échange. Le régimeoscillatoire n’est de ce fait pas périodique, mais pseudo-périodique : les oscillations s’amortissent à cause de la résistance R du conducteur ohmique.

2.

a boT k L C

a b

oT L C

22 2/ /

aa b ba b b a a

o

U q U qT U Q T T

di dt U d q dt U

donc a – b = 0 et 2a = 1

E

C

1

2

A

P

N

B

R

i

+

D

L

C = 1,00 µFL = 0,112 HE = 12,0 V

1

23

4



2

On en déduit 1

2a b .

oT k LC3. Echelle : 1,5 cm pour 2 ms.On mesure Δt = 4,95 cm pour 3 pseudo-périodes, ce qui permet d’obtenir

2 4,95 /1,52,2

3oT ms

3

6

2,2.106,6 2

0,112 1,00.10oT

kLC

Exercice 11 p. 174

1.

222 2

1 1 1

/ / / / / /C

LL C L C

q uT

LC u T qu di dt q u u d q dt q u

2222

22

/

4 / /

r r

LL

u i u IrT

L u I Tu di dt

1/2

2

2

2 1

14

TLCr

LC L

2. Calculons les valeurs :3 9 42 2 42,2.10 470.10 8,8488.10oT LC s

4

2 2

22 3 9 3

2 28,8497.10

1 1 8,54 42,2.10 470.10 4 42,2.10

T sr

LC L

Il n’y a donc pas de différence significative, d’autant plus si l’on tient compte des chiffres significatifs !

Exercice 14 p. 175

1. La résistance de la bobine étant négligeable, si l’interrupteur est fermé, la loi des mailles donne

R L R CE u u u u puisque C Lu u (tensions prises entre les 2 mêmes points)

diE R i L

dt (en négligeant la résistance de la bobine)

E

R

LC

uL

uR

uC

K

i iL

iC



3

Le régime permanent étant établi, les grandeurs ne varient plus : 0di

dt , donc uL = uC = 0 et

E R i On en déduit

Ei

R

A.N. : 12,0

0,040 4025

i A mA

D’après la loi des nœuds, i = iL + iC.L’intensité i est bien celle traversant la bobine : celle-ci ayant une résistance négligeable, l’intensité dans sa branche sera iL = i, tandis que dans la branche du condensateur, iC = 0. Comme uC = 0, le condensateur est initialement déchargé.2. La tension aux bornes du condensateur uC est égale à la tension aux bornes de la bobine uL (cf. schéma) : ainsi,

0C L

diu u L

dt

car, en régime permanent, 0di

dt .

3. En ouvrant l’interrupteur S, le circuit se résume à un dipôle LC série. Nous avons alors

L Cu u

C

diL u

dt

C

d dqL u

dt dt

CC

dudL C u

dt dt

2

2C

C

d uLC u

dt

2

2

10C

C

d uu

dt LC

4. Les solutions de l’équation précédente se mettent sous la forme

( ) cosC m ou t U t

où 1

oLC

est la pseudo-pulsation. On détermine Um et φ à l’aide des conditions initiales, (0) 0Cu

et (0)E

iR

.

Comme (0) 0Cu , (0) cos 0C mu U .

Par ailleurs, comme ( ) sinCo m o

dudqi t C CU t

dt dt ,

(0) sino m

Ei CU

R .

On atteint donc le systèmecos 0

sin

m

o m

U

ECU

R



4

cos 0 ,2

sino m o m mo

k k

E E ECU CU U

R R R C

( ) sinC oo

Eu t t

RC

Exercice 18 p. 175

1. 22

2 21 1 1

2 2 2C

L

dudqE Li L LC

dt dt

2. 2

2 21 1

2 2C

C L C

duE E E C u LC

dt

3. 2 2

2 2 22

1 1

2 2C C C C

C C

du du du d udE dC u LC C u LC

dt dt dt dt dt dt

2

20C C

C

du d udEC u LC

dt dt dt

Cette équation n’est vérifiée à chaque instant qu’à la condition où 2

20C

C

d uu LC

dt car ni C, ni Cdu

dtne sont nuls à tout instant. On retrouve ainsi l’équation du circuit LC série.

Exercice 19 p. 175

1. cf. schéma

2. 1CHui

R ; 2

2

1

2c CHE C u et 21

2BE Li

3. Initialement, le condensateur étant chargé, EC est maximale.

R

C

LE

1 2A

B

DCH1

CH2

En vert : Etot

En bleu : EC

En rouge : EB



5

4. La présence de la résistance R justifie la dissipation d’énergie observée : l’énergie totale diminue globalement, car une partie est dissipée par effet Joule.

5. 2 21 1(0) (0) 6,2

2 2C CE C U CE mJ donc 3

42 2

2 2 6,2.101,5.10

9,00CE

C FE

.

6. On voit que T = 10 ms.

7. 2T LC donne 232

22 2 4

10.101,7.10 17

4 4 1,5.10

TL H mH

C

.

8. 1,3 6,2 4,9E mJ .

Exercice 21 p. 176

Initialement en position 1, on bascule l’interrupteur en position 2 à t = to = 0 : on décharge le condensateur dans la bobine réelle.1. 0C Bu u

0di

uC L Ridt

2

20C C

C

d u duu LC RC

dt dt

2. On pose 2

( ) costCu t Ae t

T

.

2 2 2cos sint tCdu

A e t e tdt T T T

2

2

2 2 2cos sin

2 2 2 2sin cos

t t

C

t t

e t e tT T Td u

Adt

e t e tT T T T

E

C

1

2

A

P

N

R

i

+

L

uCuB

C = 600 nFuo = 15,0 VL = 60,0 mHR = 50,0 Ω



6

22

2

2

2 2cos

2 2 2sin

t t

C

t t

e e tT Td u

Adt

e e tT T T

Raisonnons par fonction trigonométrique :

en 2

cos tT

: 2

2 2t t t tAe A RCe ALC e eT

en 2

sin tT

: 2 4t tARC e ALC eT T

On obtient donc2

2 21 RC LC

T

2 4RC LC

T T

3.

22 4

04 2

RC RTRC LCT T LLC

T

22

2

22 2

22

22

2

2

2

2

2

21 0

2 4

21 0

2 4

21 0

4

1 2

4

2 1

42

14

R RRC LC

L L T

R C R CLC

L L T

R CLC

L T

R

LC L T

R

T LC L

TR

LC L

4. Les conditions initiales sont uC(0) = uo et i(0) = 0.(0) cosC ou A u

Comme 2 2 2

( ) cos sint tCdudqi t C AC e t e t

dt dt T T T

,

2(0) cos sin 0i AC

T

Cette dernière expression donne tan2

T

. On en déduit



7

coscos

2

o ou uA

TArctan

Exercice 5 p. 1811.

2.

2.a. L’interrupteur étant basculé en position A,

C RE u u

CE u Ri (loi d’Ohm)

C

dqE u R

dt (définition de l’intensité)

CC

duE u RC

dt (relation du condensateur)

1CC

du Eu

dt RC RC

2.b. L’équation est de la forme 'y a y b avec 1

aRC

et E

bRC

. Les solutions de l’équation

précédente se mettent sous la forme ( ) a t by t k e

a ,

Déviation verticale : 1 V/divBalayage : 0,5 ms/div

Cr

R

L

A B

M

E

Oscillovoie A

uC

uR

i

t = τ = 1,5 × 0,5 = 0,75 ms

0,63 × uC,max



8

( ) expC

tu t k E

RC

La constante k se détermine à l’aide de la condition initiale de continuité sur la tension, uC(0) = 0. On a alors ( ) 0Cu t k E k E .

Ainsi,

( ) 1 expC

tu t E

RC

Le terme « RC » est homogène à une durée de manière à ce que l’argument de l’exponentielle soit adimensionné. C’est la constante de temps τ du circuit RC.2.c. cf. oscillogramme : τ = 0,75 ms. On en déduit

36

3

0,75.100,75.10 0,75

1,00.10C F µF

R

3.a.

3.b.

Nous voyons, par la loi des mailles, que

C Lu u

C

diu L

dt (relation de la bobine)

2

2C

d qu L

dt (définition de l’intensité)

uC(t) présente des oscillations qui s’amortissent ; elles semblent être périodiques, mais cet amortissement nous impose de les dire « pseudo-périodiques ».

Cr

R

L

A B

M

E

Oscillovoie A

uC

uR

i

uL

5 × T = 8 div

T = 1,6 ms



9

2

2C

C

d uu LC

dt (relation du condensateur en conv. générateur)

2

2

10C

C

d uu

dt LC

Les solutions sont du type2

( ) cosC mu t U tT

2 2sinC

m

duU t

dt T T

22

2

2 2cosC

m

d uU t

dt T T

22

2

1 1 2 2cos 0C

C m

d uu U t

dt LC LC T T

Ceci est vérifié à chaque instant à condition que 2

1 20

LC T

soit 2T LC .

Les constantes Um et φ se déterminent par les conditions initiales : uC(0) = E et i(0) = 0.

i(0) = 0 ↔ 0

2 2 2sin 0 sin 0C

m mt

duC CU CU

dt T T T

donc sin φ = 0 et

0 ,k k uC(0) = E ↔ cosmU E donc Um = E (Um > 0)

Il vient alors 2

( ) cosCu t E tT

.

3.d. On détermine (cf. graphique) : T = 1,6 ms.

2T LC2 24T LC

2

24

TL

C

A.N. : 23

32 6

1,6.1086.10 86

4 0,75.10L H mH

3.e. 3

2

2

21,6.10 1,6

14

T s msr

LC L

On retrouve la valeur déterminée à l’aide de l’oscillogramme.

Or, nous avons négligé la résistance de la bobine tout au long de notre étude… L’influence de r n’est donc pas accessible par l’oscillogramme obtenu.

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