opérations unitairesgch 210 – chapitre 5jean-michel lavoie (ph.d) chapitre 5 transfert de chaleur

Opérations unitaires GCH 210 – Chapitre 5 Jean-Michel Lavoie (Ph.D)

Chapitre 5

Transfert de chaleur


Introduction

• Transfert d’énergie sous forme ce chaleur:– Souvent observé dans les procédés chimiques

• Provoqué par:– Différences de température– Chaleur migre vers les zones plus froides

• Équation simple d’équivalence:

Taux de chaleur entrante + Taux de génération de chaleur = Taux de chaleur sortant + taux d’accumulation de chaleur


Fondements du transfert de chaleur

• Il existe trois mécanismes fondamentaux:– Conduction– Convection– Radiation


Conduction

• Conduction:– La chaleur peut être conduite au travers:

• Solides, liquides, gaz

– Comment:• Transfert de l’énergie de mouvement entre les

molécules


Conduction (suite)

• Dans les gaz:– Molécules les plus ‘chaudes’

• Celles qui on plus d’énergie et de mouvement

– Communiquent de l’énergie• Molécules adjacentes à des niveaux d’E plus bas

• Type d’échange:– Existant dans les solides, liquides ou gaz

• Où il existe un gradient de température


Conduction (suite)

• On peut aussi avoir un transfert d’E:– Par transfert des électrons libres

• Particulièrement important:– Solides métalliques

• Exemple:– Transfert de chaleur:

• Parois d’un échangeur ou un réfrigérant


Convection

• Transfert de chaleur:

– En grande quantité

– En mélangeant des éléments plus chaud

– Avec des portions + froides d’un gaz ou liquide

• Souvent relaté à:

– L’échange de chaleur entre une solide et un fluide


2 types de convection• Convection forcée:

– Lorsqu’un fluide est forcé à passer par l’effet d’une pompe ou un ventilateur

• Convection naturelle:– Où un fluide plus chaud ou plus froid adjacent à une

surface solide cause une circulation en raison de la différence de densité résultant de la différence de température dans le fluide.

• Exemple:– Souffler sur une tasse de café pour la refroidir


Radiation

• Diffère des deux précédentes:– Aucun médium physique n’est nécessaire pour sa

propagation

• Transfert d’énergie dans l’espace:– Sous l’effet de radiations électromagnétiques

• Ressemble beaucoup:– Les longueurs d’ondes électromagnétiques de la

lumière– Les solides et liquides absorberont cette radiation


Radiation (suite)

• Les phénomènes de radiation:– Principalement important pour le transfert au

travers de l’espace et des gaz

• Exemple important:– Transfert d’énergie du soleil vers la terre

• Aussi:– Cuisson des aliment sous un système de chauffage

électrique (comme un four)


Même différence

• Les trois type de transfert suivant:– Momentum– Chaleur– Masse

• Régit par les même types d’équations• Qui se simplifient:

Taux d’un procédé de transfert = Force conductrice / résistance


Conduction

• Assumant que le transfert de chaleur se produits uniquement pas conduction:– Loi de Fourier:

q=taux de transfert de chaleur normale p/r à la surface (W)A= surface (m2)T= température mesurée normale p/r à la surface (K)k= Conductivité thermique (W/m*K)

dx

dTk

A

q

Flux de chauffage (W/m2)

Gradient de température dans la direction de l’axe des x


Intégration simple

• La loi de Fourier:– Transfert de chaleur en régime stable– Au travers d’un mur plat:

• Surface de tronçon constante : A

– Température T1 au point 1

– Température T2 au point 2

– Une distance de X2-X1 m entre les deux

2

1

2

1

T

T

x

x

x dTkdxA

q )( 2112

TTxx

k

A

q


Problème représentatif

• Calculez la perte de chaleur par m2 de surface pour un mur isolant composé de fibres isolantes de 25.4 mm d’épais où la température interne est de 352.7 K et la température externe est de 297.1 K.


Conductivité thermique

• Gaz:– Concept relativement simple– Molécules en mouvement aléatoire constant– Se frappent les unes aux autres– Échanges du momentum et de l’énergie

• Lors d’un passage vers une région + froide– Transporte l’énergie cinétique– Par collision avec les molécules de + faible énergie


Pour les gaz

2/1

2

0832.0

M

Tk


Diamètre de collision effectif

Masse molaire

Température


Pour les liquides• Comparable à celle des gaz• Molécule de plus haute énergie• Frappent celles de plus faible énergie• Toutefois:

– Molécules + rapprochées les unes des autres– Champ de force affecte les échanges d’énergie

• Contrairement aux gaz:– Aucune formule représentative– Le plus souvent empirique


Pour les liquides

bTak Conductivité thermique

Constante empirique

Température


Pour les solides

• Pour les solides, k varie largement• Par exemple, aluminium et cuivre:

– Ont des valeurs de k élevées

• Matériaux isolants:– Valeurs de k très faible (roche ou laine)

• Deux mécanismes dans les solides– Utilisation des électrons libres (métalliques)– Transmission de l’énergie de vibration


Matériaux isolants

• Conductivité thermique:

– Matériaux comme roche ou laine

– Approche la conductivité thermique de l’air

– En raison de la quantité d’air dans ces matériaux


Conduction en régime permanent

• En a) un réservoir à mur plat contient un réfrigérant tandis que l’air est à température de la pièce:– La température chute de façon linéaire lorsque

l’on se rapproche du mur


Autre exemple

• Dans le deuxième cas de l’eau bouillante perd de la chaleur au profit de l’air– La température croît de façon linéaire lorsque l’on

se rapproche de la parois


Équation de Fourier

)()( 212112

TTx

kTT

xx

k

A

q

Taux de transfert de chaleur

Surface de la parois


Positions p/r axe des x

Températures correspondant aux positions x1 et x2


Si k n’est pas constant

• Nous devons insérer l’équation:– k = a + bT

• Dans l’équation précédente:

)()( 212112

TTx

kTT

xx

k

A

q

mbTak 2

21 TTTm

)()( 2121 TTx

kTT

x

bTa

A

q mm


Résistance

• Tel que mentionné précédemment:– Le rendement d’un procédé de transport équivaut

à la force conductrice divisée par la résistance

R

T

R

TT

kAx

TTq

2121

/

kA

xR

Exprimé en K/W


Conduction dans un conduit

• Dans plusieurs situations industrielles:– Conduction à travers un tuyau cylindrique

– La température interne correspond à T1

– La température externe correspond à T2


Reprendre l’équation de Fourier

dr

dTk

A

q

Adaptation aux longueurs exprimées en rayon

L’aire (surface) en contact dans et à l’extérieur du tuyau correspond à:

rLA 2En combinant et en intégrant entre les deux valeurs de ‘r’:

2

1

2

12

T

T

r

rdTk

r

dr

L

q


Pour les tuyaux

)()/ln(

221

12

TTrr

Lkq

En multipliant le dénominateur et numérateur par (r2-r1)

R

TT

kArr

TT

rr

TTkAq

lmlm

21

12

21

12

21

/)(


Où…

R

TT

kArr

TT

rr

TTkAq

lmlm

21

12

21

12

21

/)(

)/ln()2/2ln(

)2()2(

12

12

12

12

AA

AA

LrLr

LrLrAlm

kL

rr

kA

rrR

lm 2

)/ln( 1212


Problèmes typiques

• Une tubulure cylindre en caoutchouc dur à parois épaisse possédant un rayon interne de 5 mm et un rayon externe de 20 mm est utilisée comme système de refroidissement dans un bain. De l’eau glaciale s’écoule rapidement à l’intérieur et la température du mur interne est de 274.9 K. La température de la parois externe est de 297.1 K. Un total de 14.65 W doivent être enlevés du bain par ce réfrigérant. Quelle longueur de tube est nécessaire?


Pour une sphère creuse

dr

dTk

A

q

Adaptation aux longueurs exprimées en rayon

L’aire (surface) en contact dans et à l’extérieur du tuyau correspond à:

24 rA En combinant et en intégrant entre les deux valeurs de ‘r’:

2

1

2

124

T

T

r

rdTk

r

drq


Sphère creuse

21

21

11)(4

rr

TTkq


Solides en série

• Parois planes en série:– Quand nous avons une succession de matériaux

présents (toujours dans un seul plan)

• Comme– Transfert de chaleur doit être équivalent entre

chaque couche

• On utilise successivement l’équation de Fourier


Équations

C

C

B

B

A

A

x

TTAk

x

TTAk

x

TTAkq

)()()( 433221


Isoler ΔT

CC

C

BB

B

AA

A

Ak

xqTT

Ak

xqTT

Ak

xqTT

)(

)(

)(

43

32

21


Combiner les équations

AkxAkxAkx

TTq

CCBBAA ///41

CBA RRR

TTq

41

On exprime donc le tout en fonction de la perte de température et de la résistance totale de la série de matériaux


Exemple typique

• Une chambre froide est composée d’une épaisseur interne de 12.7 mm de pin, d’une couche centrale de panneau de liège de 101.6 mm et d’une couche externe de 76.2 mm de béton. En utilisant les valeurs de conductivité respective de (0.151, 0.0433 et 0.762 W/m*K, calculez la perte de chaleur en W pour 1 m2 et la température à l’interface entre le bois et le liège. La température à l’intérieur de la chambre est de 255.4 K tandis qu’elle est de 297.1 à la sortie du béton.


Conduites multicouches

• Facile d’associer à une situation ou un tuyau sera isolé pour des raisons diverses:

)/()()/()()/()( 34

43

23

32

12

21

ClmCBlmBAlmA Akrr

TT

Akrr

TT

Akrr

TTq


Ainsi

)/()()/()()/()( 34

43

23

32

12

21

ClmCBlmBAlmA Akrr

TT

Akrr

TT

Akrr

TTq

)/ln( 12

12

AA

AAAAlm

)/ln( 23

23

AA

AAABlm

)/ln(

3

34

4

AA

AAAClm

)/()()/()()/()( 342312

41

ClmCBlmBAlmA AkrrAkrrAkrr

TTq


Aussi

CBA RRR

TTq

41


Exemple typique• Une conduite à parois épaisse en stainless ayant un k=21.63

W/m*K avec un diamètre intérieur de 0.0254 m et un diamètre extérieur de 0.0508 m est couvert avec une couche de 0.0254 m d’épais d’isolant (k=0.2423 W/m*K). La température interne du conduit est de 811 K et la surface externe de l’isolation est à 310.8 K. Pour un tuyau d’une dimension de 0.305 m, calculez la perte de chaleur et aussi la température à l’interface entre le métal et l’isolant.


Transfert de chaleur avec fluides

Le liquide a condenser entre par la partie F et sort par la partie G, la partie K sert à ventiler la partie de vapeur qui ne pourra être condensée. Le liquide qui doit être chauffé entrera par la parie H, passera à travers des plaques perforées composées de différents tubes (B2 vers B1) et sortira à la partie J. Le liquide et la vapeur ne seront en contact que par les tubes A.


Fonctionnement

• Si la vapeur entrante:– Un seul composant– N’est pas ultra-chaude

• Si le condensat:– N’est pas super-refroidit sous sa température de

condensation

• La température sur la parois du condensateur– Sera constante sur tout le caisson


Schématiquement

Si on porte la température en fonction de la longueur du condensateur Tca est la température du fluide à l’entrée et Tcb est la température du fluide à la sortie, à une distance L de l’entrée on définit la température Tc et la différence de température entre la condensation de la vapeur et celle du fluide dont la température croît porte le nom de ΔT. La différence entre la température d’entrée du fluide et la température de condensation de la vapeur est ΔT1 et entre la température de condensation de la vapeur et celle du fluide à la sortie du condenseur est ΔT2.


Aussi• Les deux différences de températures:

– ΔT1 et ΔT2 porte le nom d’approches

• Le changement de température du fluide:– Tcb-Tca porte le nom de domaine de température

• Pour l’instant nous posons:– ΔT symbolise une différence de température

• Entre deux objets ou deux fluides

• Ne symbolise pas la différence de température au sein du même fluide


Échangeur double parois

Un autre exemple commun d’échangeur de chaleur qui fonctionne un peu différemment du procédé mentionné précédemment. Nous avons l’équivalent d’un tuyau qui passe dans un autre mais les fluides ne sont pas en contact. Habituellement le fluide de parois sert à refroidir le fluide au centre. Ils ne sont encore une fois en contact que par la parois du tube les séparant.


Écoulement en parallèle

•Se produit dans une situation où l’écoulement des deux fluides se fait dans la même direction•La température d’entrée pour le fluide chaud est de Tha et celle pour le fluide froid est de Tca

•La température de sortie pour le fluide chaud est de Thb et celle du fluide froid est de Tcb


Écoulement contre-courant

•Se produit dans une situation où l’écoulement des deux fluides se fait dans une direction inverse•La température d’entrée pour le fluide chaud est de Tha et celle pour le fluide froid est de Tca

•La température de sortie pour le fluide chaud est de Thb et celle du fluide froid est de Tcb


Balance d’énergie

• Nous définissons la balance d’énergie dans les échangeurs de chaleur de la façon suivante:

qHHm ab

)(

Écoulement massique (mass flow)

Enthalpie par unité de masse

Taux de transfert de chaleur dans l’écoulement


Spécifications

• On peut cibler des valeurs de q:– Propre au fluide chaud– Propre au fluide froid

hahbhh qHHm

)(cacbcc qHHm

)(

hc qq

qHHmHHm acbccbhahh

)()(


On rapporte en cp

• Valeur d’enthalpie peuvent être exprimées• En valeur de chaleur spécifique (cp)

qTTcmTTcm acbcpccbhahphh

)()(

Chaleur spécifique (fluide chaud) Chaleur spécifique (fluide chaud)


Enthalpie dans le condenseur

• Pour un condenseur:

• Pour avoir cette équation:– On assume que le fluide chaud quittera le condensateur à la

température de condensation Th

qTTcmm acbcpcch

)(

Taux massique de condensation

Chaleur de vaporisation latente de la vapeur


Toutefois…

• Il arrive peu souvent que le fluide chaud:– Ressorte à la température de vaporisation– Souvent en dessous (il condense)– Incidemment il faut ajuster l’équation

qTTcmTTcm acbcpcchbhphh

)()(


Coefficient de transfert de chaleur généralisé

• Dans un échangeur de chaleur:– ΔT est définit comme Th-Tc

• Toutefois:– Température varie au long de l’échangeur

• Et incidemment:– La longueur de l’échangeur aura de l’importance


Coefficient U

)( ch TTUTUdA

dq

Taux de transfert de chaleur dans l’écoulement

Surface de l’échangeur

Coefficient de transfert de chaleur généralisé local


U• Facteur de proportionnalité:

– Entre dq/dA et ΔT

• Porte le nom:

– Coefficient de transfert de chaleur généralisé local• Si on considère que A est la surface externe du tube échangeur de

chaleur:– A = A0

– U = U0

• Si on considère que A est la surface interne du tube échangeur de chaleur:– A = Ai

– U = Ui


Et donc…

• Ou ΔT et q sont indépendant du choix de surface

• A et D sont reliés logiquement

o

i

o

i

i

o

D

D

dA

dA

U

U


• Pour pouvoir appliquer l’équation suivante:

• La surface doit être connue• L’équation doit être intégrée• Pour y arriver, nous assumons:

1. Le coefficient U est constant2. La chaleur spécifique du fluide chaud et froid sont constants3. L’échange de chaleur avec l’air ambiant est négligeable4. L’écoulement est en régime stable et est soit parallèle ou contre-

courant

)( ch TTUTUdA

dq

LT


Aussi

• Parmi les hypothèses précédentes:– Le plus questionnable est le U constant (1)

• Le coefficient varie en fonction de T• Mais le changement:

– Graduel

• Intervalles de température modérés• Donc pour un facteur U constant

– L’erreur est mince


Aussi

• Les assomptions 2 et 4 impliquent que lorsque Tc et Th sont portés sur un graphique en fonction de q, des lignes droites seront obtenues


Ainsi

Tq

TT

dq

Td 12

Approches

Taux de transfert de chaleur dans tout l’échangeur


Remplacer dq

Tq

TT

dq

Td 12

TdAUdq

Tq

TT

TdAU

Td 12


En intégrant

• Si on intègre par la suite entre ΔT1 et ΔT2 et entre une surface nulle jusqu’à la valeur de AT qui plus les la surface totale du transfert de chaleur nous obtenons:

TT

A

T

T

T

T

T

Aq

TTU

T

T

dAq

TTU

T

Td

dAq

TTU

T

Td

q

TT

TdAU

Td

T

)(ln

)(

)(

12

1

2

0

12

12

12

2

1


Isoler qT

• De l’équation précédente:

• On peut isoler la valeur de qT

TT

Aq

TTU

T

T )(ln 12

1

2

LTTT TUAA

TTTTU

q

1

2

12

ln

)(

1

2

12

ln

)(

TTTT

TL


LMTD

• Différence de température moyenne logarithmique

• Quand ΔT1 et ΔT2 sont presque égaux leur moyenne arithmétique peut aussi être employée

• Mais la LMTD plus vaste

LT


Domaine d’application

• Si on parle d’une situation ou un des deux fluides est à température constante, cette équation s’applique aux écoulements à contre-courant, courant parallèle

1

2

12

ln

)(

TTTT

TL


Domaine d’application

• Si on parle d’une situation où les deux fluides sont à des températures variantes et à contre-courant, l’équation peut être remodelée comme ci-haut.

2

1

21

ln

)(

TTTT

TL


Si U varie régulièrement

• Si le coefficient de transfert de chaleur généralisé local varie régulièrement on utilise l’équation suivante:

• Pour y arriver on assume que U varie linéairement avec la tombée de température sur l’ensemble de la surface chauffante.

2112

2112

/ln TUTU

TUTUAq TT


LMTD non valide

• Dans des situations ou ΔT1 et ΔT2 ne varient pas linéairement par rapport à q– Refroidir et condenser de la vapeur à haute

température

– Refroidir une réaction exothermique


Vapeur à haute température


Réaction exothermique


Coefficients individuels de transfert de chaleur

• Le coefficient de tout le système dépend:– Propriétés physiques du fluide– Propriétés de la parois solide de l’échangeur– L’écoulement– Les dimensions de l’échangeur

• Le moyen le plus logique de gérer tout le système:– Cumuler les résistances individuelles


Exemple

• Considérons le coefficient à un endroit spécifique dans l’échangeur ci-haut


Assumons maintenant

• Fluide chaud à l’intérieur• Fluide froid à l’extérieur• Nombre de Reynold des deux fluides:

– Suffisamment grand – Assure un écoulement turbulent

• Les surfaces de tube:– Sont propres


Schématisation


Coefficient de transfert

• Le coefficient de transfert de chaleur du fluide chaud peut ainsi être défini

• Le terme sera négatif en raison de la perte de chaleur

whh TT

dAdqh

/


Coefficient de transfert

• Le coefficient de transfert de chaleur du fluide froid peut ainsi être défini

• Le terme sera positif en raison de l’inversion volontaire de Twc et Tc

cwc TT

dAdqh

/


Assumons aussi

• Très souvent Twc-Twh:– Près de 0

• On utilise une valeur généralisée correspondant à la température à la parois:– Tw

• La réciproque de ces coefficients:– 1/hh et 1/hc

– Sont les résistances thermiques


On ajoute l’effet du solide

• Pour une parois:– D’épaisseur xw

– Conductivité thermique

• La résistance thermique devient:– xw/k

• Si on ajuste aux changements de surface• Les résistances individuelles deviennent

généralisées: 1/U


On assume aussi

• Les transfert de chaleur près de la parois:– Se produisent seulement par conduction

• On peut donc se référer:

• L’utilisation du w souligne le fait:– Le gradient doit être déterminé à la parois

wdx

dTk

dA

dq


En éliminant dq/dA

wdx

dTk

dA

dq

w

w

w

w

TT

dxdTk

TT

dxdT

k

h

)/(

cwc TT

dAdqh

/


Adaptation ‘libre’

• T est la température moyenne du fluide• Th équivaut à T pour le côté chaud

• Tc équivaut à T pour le côté froid

• Inversion de Tw et T du côté froid pour signifier le gain de chaleur

w

w

TT

dxdTkh

)/(

TT

dxdTkh

w

w

)/(


Équation sans dimension

• On a vu le Re• Maintenant on verra le Nu

– Le nombre de Nusselt

• En modifiant le h:– On le multiplie par une distance:

• Dans le cas d’un tube par D

– On le divise par la conductivité thermique


Nombre de Nusselt

• Si on parle de la partie froide:– La partie du bas est remplacée par Tw-T

w

w

TT

dydTD

k

hDNu

)/(


Explications du Nu

• Expliquons en fonction de l’équation• Dans la partie de droite:

– (dT/dy)w : Gradient de température à la parois– T-Tw/D : Gradient de température à travers le

conduit au complet

• Nu: ratio de ces deux gradients

w

w

TT

dydTD

k

hDNu

)/(


Sommairement

whh

ii TT

dAdqh

)/(

cwc

oo TT

dAdqh

)/(

Coefficient de transfert de chaleur externe

Coefficient de transfert de chaleur interne

Aire externe du tube

Aire externe du tube


Coefficient sommatif

• La question est à ce point:– Comment aller chercher un coefficient sommatif

de tout l’échangeur des chaleur?

• La réponse:– À partir des coefficients individuels– Combinée à la parois de la conduite


Pour la parois

w

wcwhm

L x

TTk

Ad

dq )(

Différence de température à la parois

Épaisseur de la parois du tube

Conductivité thermique de la parois

Flux local de chaleur basé sur la moyenne logarithmique de la surface interne et

externe de la conduite


Combinons

cwc

oo TT

dAdqh

)/(

whh

ii TT

dAdqh

)/(

w

wcwhm

L x

TTk

Ad

dq )(

o

ocwc h

dAdqTT

)/(

i

iwhh h

dAdqTT

)/(

Lm

wwcwh

Adk

dqxTT )(

TTTTTTTTT chcwcwcwhwhh

ooLm

w

iiooLm

w

ii hdAAdk

x

hdAdq

hdA

dq

Adk

dqx

hdA

dqT

11


On solutionne pour dAo

• Le choix de dAo est arbitraire (nous aurions aussi bien pu prendre dAi) mais nous permettra d’aller plus loin car:

oL

o

m

w

i

o

i

ch

o

hAd

dAkx

dAdA

h

TT

dA

dq

11

i

o

i

o

D

D

dA

dA

L

o

L

o

D

D

Ad

dA


Ainsi…

oL

o

m

w

i

o

i

ch

o

hD

Dkx

DD

h

TT

dA

dq

11

)( ch TTUTUdA

dq

Et en considérant…

oL

o

m

w

i

o

i hD

Dkx

DD

h

U11

10

o

i

oL

i

m

w

i

i

DD

hD

Dkx

h

U11

1

opérations unitairesgch 210 – chapitre 5jean-michel lavoie (ph.d) chapitre 5 transfert de chaleur

Documents