PCSI1-Lyce Michelet 2015-2016

PROPAGATION DUN SIGNAL. ONDES PROGRESSIVES

Ltude des ondes a deja t aborde en terminale. La premire image qui apparat quand onparle donde, est celle de la dformation de la surface de leau aprs quon y a jet un caillou.tymologiquement, onde dsigne les vagues (de mme en anglais avec le terme wave). Cesont bien sr les premires "ondes" connues. Puis progressivement, la collection sest enri-chie, avec les ondes acoustiques, les ondes lectromagntiques... jusquaux "ondes de matire"puisque en mcanique quantique on a montr exprimentalement que des lectrons (et dautres"particules") pouvaient avoir un comportement ondulatoire.

I. Gnralits sur les signaux

1. Notion de signal

On appelle signal, toute grandeur physique dont la dtermination permet daccder uneinformation. mesure de temprature par un capteur signal acoustique : transmission directe (par lair) ; transmission longue distance ncessitantdes conversions successives du signal conversion acoustique lectrique lectromagntique lectrique acoustique.Entre lmission et la reception : les ondes sont utilises pour vehiculer le signal.

2. Caractristiques dun signal

signal priodique, valeur moyenne, valeur efficace, analyse spectrale.(voir polycopi)

II. Ondes progressivesLes ondes permettent de vhiculer un signal physique.

1. Quelques rappels

onde sur une cordenature du signal : longation de la cordeonde 1D ou monodimensionnelle : une seule direction de propagation.onde transverse : la vibration (ici le dplacement de la corde) seffectue perpendiculaire-ment la direction de propagation.

ondes la surface de leau (visualisation : cuve onde)nature du signal : cart de hauteur par rapport la position de reposonde 2D ou bidimensionnelle la propagation seffectue sur une surfaceonde transverse

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ondes acoustiques : se propagent dans les fluides (gaz, liquide) et dans les solides (mtal,bton).nature du signal : Dans un fluide, londe acoustique se traduit par cart en pression par rapport la valeur derepos P0. La pression de lair scrit alors P = P0 + p avec p cart en pression. P0 ' 105 Paalors que p est de lordre 105 Pa la limite du seuil daudibilit, et de lordre de la dizainede Pa au seuil de douleur. On a donc toujours donc p P0. Les variations de pression sontlies au dplacement des particules fluides.Dans un solide londe acoustique se traduit par des oscillations des atomes du rseau cris-tallin. On modlise linteraction entre deux atomes par une force lastique reprsente par unressort.Frquences audibles : entre 20 Hz et 20 000 HzVitesse de propagation : environ 340 m.s1dans lair la temprature ambiante, 1500 m.s1dansleau, entre 5600 et 5900 m.s1dans lacier.onde 3D ou tridimensionnelle la propagation peut seffectuer dans un volume.onde longitudinale : la vibration se produit dans une direction parallle la direction depropagation.On peut visualiser la propagation dune onde acoustique grce au lien :http://www.ostralo.net/3_animations/swf/onde_sonore_plane.swfLe dplacement des "particules" fluides seffectue dans la direction de propagation de londe :les ondes acoustiques sont bien des ondes longitudinales.

Remarque : pour des ondes de surface ou de volume, il se peut quune seule variable despaceintervienne quand londe se propage dans une direction donne.exemple 1 : onde de surface gnres par une barre oscillante, les crtes formentdes droites parallles entre elles et perpendiculaire la direction propagation.exemple 2 : onde acoustique dans un tuyau cylindrique.

ondes sismiques :Elles peuvent tre longitudinales (ondes P de mme nature que les ondes acoustiques) outransverses (ondes S). Les ondes tranverses ne peuvent se propager que dans des solides :ainsi elles ne peuvent pas se propager dans le noyau de fer liquide). Ce sont des ondes 3D.Les ondes P sont les plus rapides (' 6 km.s1) et arrivent donc en premier avant les ondes S(' 4 km.s1) qui arrivent en second...Il existe aussi des ondes sismiques 2D, ne se dplaant quen surface : les ondes de Love, etles ondes de Raileigh).

ondes lectromagntiques :nature du signal : champ lectromagntique (

E ,B ).

Contrairement aux ondes dcrites prcdemment, les ondes lectromagntiques peuvent sepropager dans le vide.Vitesse de propagation dans vide : c = 299 792 458 m.s1. Propagation 3D, structure trans-verse (voir TP sur la polarisation de la lumire).

Les ondes lectromagntiques couvrent un trs large spectre de frquence, dont la lumirevisible ( [400 nm, 800 nm]) constitue une petite partie.

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Spectre des ondes lectromagntiques

Image du fond cosmologique 3K satellite Planck

ondes gravitationnelles :nature du signal : courbure de lespace-temps (phnomne purement relativiste)

Simulation numrique dune onde gravitationnelle cre par leffondrement gravitationneldune toile

Dtecteur : VIRGO (en Italie) LIGO (Etats-Unis)

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On distinguera les ondes progressives mcaniques qui ncessitent un milieu matriel de pro-pagation des ondes lectromagntiques qui peuvent se dplacer dans le vide.

2. Clrit dune onde progressive.

Une onde mcanique progressive correspond au dplacement sans dformationdune perturbation dun milieu sans quil y ait transport de matire. Elle permetpar contre un transfert dnergie dun endroit un autre.

Une caractristique essentielle dune onde progressive est sa vitesse de propagation c (pour c-lrit). Elle dpend, pour un type donde donn, des caractristiques du milieu de propagation.

Exemples :

- onde acoustique : on montre que pour un gaz parfait c =

RTM

o est une constante sansdimension caractristique du gaz (pour lair = 1, 4), R est la constante des gaz parfaits(R = 8, 31 J.K1.mol1 associe la loi des gaz parfaits PV = nRT ) et M est la massemolaire du gaz (pour lair M = 29 g.mol1).Vrifier que la formule est homogne.Calculons la vitesse du son dans lair la temprature ambiante de 20 C :

c =

1, 4 8, 32 (273 + 20)

29.103= 3, 4.102 m.s1

On veillera exprimer la temprature en kelvin et la masse en kilogramme.En gnral, on on se place dans des conditions o c = 340 m.s1.

- onde sur une corde c =

To T reprsente la tension de la corde et la masse linique

de la corde (masse par unit de longueur).Vrifier que la formule est homogne.Calculons c pour une corde de piano en acier de masse volumique = 7800 kg.m3, dediamtre D = 1, 2 mm, de tension T = 850 N.On exprime dabord la masse linique puis on calcule c :

= piD2

4, c =

4 850

7800 pi(1, 2.103)2 = 310 m.s1

- onde lectromagntique dans le vide : c = 100

= 3, 00.108 m.s1.avec 0 la permabilit magntique du vide et 0 la permittivit lectrique du vide.On a vu en dbut danne, que la valeur de la vitesse de la lumire a t fixe 299 792 458 m.s1.La valeur c = 3, 00.108 m.s1 est donc valable si on travaille avec trois chiffres significatifs.

Toutes ces expressions de c seront tablies dans le cours de physique de seconde anne.

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3. Caractrisation mathmatique dune onde progressive 1D

On considre la propagation dune onde la vitesse c le long de laxe x dans le sens desx croissants. On a deux approches possibles : soit on suit le signal au cours du temps (enprenant des "photographies" successives), soit on place des capteurs en des points donns eton y enregistre le signal temporel.

On constate que pour dcrire correctement le signal, nous devrons utiliser deux variables x ett. On introduit donc la fonction deux variables

s(x, t)

s(x0, t) correspond un enregistrement du signal en fonction du temps, en un point dabs-cisse x0 donn

s(x, t0) correspond une "photographie" du signal, un instant t0 donn.

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a) Expression en fonction du retard.

Supposons connu le signal en x = 0 : s(0, t) = f(t).

On se place dsormais au pointM dabscisse x > 0. Quel signal enregistrera-t-on en ce point ?Pour se propager de 0 vers M le signal va mettre un temps t tel que x = ct. t = x/creprsente donc le retard du signal en M par rapport celui en O.

Remarque : cette notion de retard li la vitesse finie de propagation de londe peut treillustre lors de lobservation des astres : lorsquon dit qualpha du Centaure est situe 4 AL(Anne Lumire) de la Terre, cela signifie quelle se situe une distance parcourue en quatreannes par la lumire. Si cette toile venait exploser nous ne pourrions en tre informsque quatre annes plus tard. ce titre, le soleil est situ environ 8 min lumire de la Terre...

Le signal reu en M linstant t est le mme que le signal mis en 0 linstant t t.Lexpression de ce signal sera donc

s(x, t) = s(0, tt) = s(0, t xc

) = f(t x

c

)Toute onde progressive se propageant la vitesse c dans le sens des x croissants peut scriresous la forme :

s(x, t) = f(t x

c

)Inversement, pour une onde se propageant dans le sens des x dcroissants, on obtient, enchangeant c en c une expression de la forme :

s(x, t) = g(t+

x

c

)Exercice :

On enregistre le signal en x = 0 : s(0, t). Onnote c = 1 m.s1 la vitesse de propagationde londe.

1) Tracer s(x0, t) pour x0 = 2 m

2) Tracer s(x, t0) pour t0 = 5 s

Rponse :Trac de s(x0, t) : le signal arrivera en x = x0 avec un retard t = x/c = (x0 0)/c =x0/c = 2/1 = 2 s.

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Trac de s(x, t0 = 5s) :

b) autre interprtation (translation spatiale du signal)

On considre un signal se propageant dans le sens des x croissants.On a reprsent ci-dessous le signal deux instants diffrents t = 0 et t > 0.

On note s(x, 0) = f(x) le profil obtenu t = 0. Au bout dune dure t, ce profil sest translat

dans la direction des x croissants dune distance c t.

On choisit un nouveau repre dorigine O

tel que OO

= ct. Puisque le profil se dplace sans

dformation, son expression dans R

linstant t est la mme que son expression dans R

linstant t = 0.

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s(x, t) = f(x)

OrOM =

OO +

OM , x = ct+ x, x = x ct, do

s(x, t) = f(x) = f(x ct)(voir feuille de calcul SAGE OP1.sws)Toute onde progressive se propageant la vitesse c dans le sens des x croissants pourra doncscrire sous la forme f(x ct).Inversement en changeant c en c, une onde progressive se propageant dans le sens des xdcroissants scrira sous la forme g(x+ ct)

4. Bilan

Les deux approches donnent des rsultats quivalents ;En effet f(x ct) = f(c(t x

c)) = f(t x

c) : toute fonction de x ct peut scrire comme

une fonction de t xc.

de mme g(x+ ct) = g(c(t+ xc)) = g(t+ x

c)

Lune privilgie la variable de temps, lautre la variable despace.

Retenir :

Une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants sexprime sous deuxformes quivalentes :

s(x, t) = f(t x

c

)ou s(x, t) = f(x ct)

Une onde progressive se propageant dans le sens des x dcroissants sexprime sous deuxformes quivalentes :

s(x, t) = g(t+

x

c

)ou s(x, t) = g(x+ ct)

III. Onde progressive sinusodale.

1. Expression gnrale

Lexpression gnrale dun signal sinusodal en 0 sera de la forme :

s(0, t) = A cos(t+ ) avec =2pi

T.

Pour une onde se propageant dans le sens des x croissants la vitesse c on aura

s(x, t) = A cos((t xc

) + ) = A cos(t kx+ ) avec k = c

On remarque que k est homogne linverse dune longueur.

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2. Double priodicit

En x0 donn le signal prsente une priode temporelle T = 2pi . t0 donn, le signal prsente une priodicit spatiale , appele longueur donde, telle que

s(x+ , t0) = s(x, t0)A cos(t0 k(x+ ) + ) = A cos(ct0 kx+ )A cos(t0 kx k+ ) = A cos(t0 kx+ )

La fonction cosinus tant priodique de priode 2pi on en dduit : k = 2pi

k =2pi

k est appel pulsation spatiale

et T sont lis car k =

c. On en dduit

2pi

=

1

c

2pi

T

do = cT =c

f.

La longueur donde est gale la distance parcourue par londe pendant ladure T dune priode.

Pour le retrouver, il nest pas ncessaire de faire de calcul. On peut le visualiser grce desanimations. Par exemple :http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/meca/ondeprog.htmlLexpression de s(x, t) peut ainsi scrire sous la forme :

s(x, t) = A cos(t kx+ ) = A cos[2pi

(t

T x

)+

]Retenir :

s(x, t) = A cos(t kx+ )correspond lexpression gnrale dune onde progressive sinusodale, de p-riode T = 2pi

, de longueur donde = 2pi

kse propageant la vitesse c =

kdans

le sens des x croissants.

Remarque : les expressions suivantess(x, t) = A cos(kx t+ ) (on peut vrifier que = ),s(x, t) = A sin(t kx+ ) (on peut vrifier que = + pi

2),

s(x, t) = A sin(kx t+ ) (on peut vrifier que = + pi2) ,

peuvent galement tre utilises pour dcrire une onde progressive sinusodale de mmescaractristiques.

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3. Dphasage des vibrations entre deux points diffrents

On considre une onde progressive sinusodale se propageant dans le sens des x croissants la vitesse c. On choisit une origine des temps telle que le signal au point O scrive sous laforme

s(0, t) = A cos(t).

On aura, en un point M dabscisse x > 0

s(x, t) = A cos((t xc

)) = A cos(t kx) = A cos(t 2pix)

Le signal s(x, t) est en retard de phase de 2pix par rapport s(0, t).

Cas particuliers :

x = n avec n N 2pix =

2pi

n = n2pi

s(x, t) = A cos(t n2pi) = A cos(t) = s(0, t)Deux points distants dun nombres entiers de longueurs dondesvibrent en phase.

x = n+ 2avec n N 2pi

x =

2pi

(n+

1

2) = n2pi + pi

s(x, t) = A cos(t n2pi pi) = A cos(t) = s(0, t)Deux points distants de n+

2vibrent en opposition de phase.

On a reprsent sur la figure ci-dessous les signaux s(0, t) = s(, t), s(/4, t), s(/2, t). s(/4, t) est en quadrature de phase (

2pi

4

=

2pi

4

=

pi

2

) retard par rapport s(0, t), le signal

est dcal vers la droite de T/4.

s(/2, t) est en opposition de phase par rapport s(0, t)

Lorsque deux points sont distants dun nombre entier de longueur donde n,

ils vibrent en phase.

Lorsque deux points sont distants de

2

+n, ils vibrent en opposition de phase.

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IV. Quelques remarques complmentaires

1. nergie associe une onde

Quand on considre loscillateur harmonique, lnergie potentielle lastique est proportionnelleau carr de llongation du ressort, lnergie cintique est proportionnelle au carr de la vitesse.En gnral, lnergie transporte par londe est proportionnelle au carr de lamplitude delonde.

2. Onde plane progressive

Considrons une onde acoustique (donc 3D), mais se propageant dans une seule direction,concidant avec laxe Ox, dans le sens des x croissants.La surpression associe aura pour expression

p(x, t) = p0 cos(t kx+ ) = p0 cos()avec phase de londe. t fix, le lieu des points = cte correspond des plans x = Cte.Tous les points dun mme plan vibrent en phase. On parle alors donde plane progressive.

Soit O un point origine.Soit M un point quelconque, dfini par le vecteur position ~r =

OM = x~ux + y~uy + z~uz.

On a x =OM.~ux = ~r.~ux

ainsi k x = kr .~ux = k~ux.r = ~k.r = ~k.OM avec ~k = k~ux = 2pi ~ux.

p(x, t) = p0 cos(t ~k.~r + ))

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De manire gnrale lexpression dune ondeplane se propageant dans la direction donnepar le vecteur unitaire ~u sera de la forme :

p(x, t) = p0 cos(tk(~u.OM)+) = p0 cos(t~k.~r+)

avec ~k = k~u =2pi

~u .

~k est appel vecteur donde.

3. Onde sphrique

Interprter le signal dont lexpression serait de la forme :

s(M, t) = s(r, t) = A(r) cos(t kr + ) = A(r) cos()o r = OM dsigne la distance entre un point origine O et le pointM o londe est calcule.Allure des surfaces = cte ?Interprter la variation damplitude avec le rayon r.Sachant que la surface dune sphre de rayon r vaut 4pir2 et que lnergie tranporte parlonde est proportionnelle au carr de lamplitude de londe, quelle est lexpression possiblepour A(r) ?

4. Milieu dispersif

On a suppos jusqu prsent que la clrit c de londe tait constante.Il arrive cependant que cette clrit dpende de la frquence (ou de la longueur donde).Par exemple, les ondes la surface de leau : les grandes longueurs donde se propagent plusvite. Si on jette une pierre dans leau et quon observe la dformation de la surface, les grandeslongueurs dondes sont lavant du front donde suivies par les longueurs dondes plus courtes.Dans un milieu dispersif, un train donde ne se propagera plus sans dformation.

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V. Cas particulier des ondes acoustiquesRappel : On peut visualiser la propagation dune onde acoustique grce au lienhttp://www.ostralo.net/3_animations/swf/onde_sonore_plane.swf

1. Description de londe progressive sinusodale.

Progagation dune onde acoustique(Daprs Ondes et Physique moderne M. Sguin Ed de boeck)

Sur la figure ci-dessus, on a reprsent une onde acoustique sinusodale un instant donnt = 0 ; P correspond la surpression par rapport la pression atmosphrique.

On rappelle que la surpression P est trs faible par rapport la pression atmosphrique : lapression totale scrit p = P0 + P avec P0 ' 105 Pa et P variant de 105 Pa 10 Pa.

Frquences audibles : entre 20 et 20000 Hz

2. Intensit dune onde acoustique

Une onde transporte de lnergie. Soit I lintensit dune onde acoustique.Si on note S laire dune surface place perpendiculairement la direction de propagationde londe

P = IS

reprsente lnergie qui traverse cette surface par unit de temps. IS est donc homogne une puissance.I = P

Sest donc donne en W.m2.

Pour un individu donn, la sensibilit de loreille dpend de la frquence du son, le maximumde sensibilit se situant entre 500 Hz et 5000 Hz. Lintensit I varie denviron 1012 W.m2

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au niveau du seuil daudition environ 1 W.m2 au niveau du seuil de douleur. On choisitalors une chelle logarithmique.On dfinit L le niveau dintensit sonore par

L = IdB = 10 logI

I0

avec I0 intensit sonore de rfrence I0 = 1012 W.m2I intensit de londe en W.m2L = IdB est mesure en dcibel (dB)

ainsi, lorsquon est au seuil daudition I = I0, L = 0 dB et lorquon atteint la limite du seuilde douleur L = 10 log 1

1012 = 10 log 1012 = 10 12 = 120 dB.

titre indicatif, le diagramme ci-dessous, appel diagramme de Fletcher, rend compte de lasensibilit dune oreille standard en fonction de la frquence. Les lignes correspondent deslignes dgale sensation auditive.

Diagramme de FletcherOn retrouve la zone de sensibilit maximale de loreille entre 500 et 5000 Hz. I0 = 1012 W.m2correspond au seuil daudition 1000 Hz.

3. Notions dacoustique musicale

La frquence f = 1/T du signal produit correspond la hauteur du son : aigu pour leshautes frquences, bas pour les basses frquences.Cependant deux instruments diffrents jouant la mme note (donc mme frquence) produi-ront des sons de timbre diffrent.Un son dune hauteur donne (de frquence f) produit par un instrument est rarement pu-rement sinusodal. Cependant, il peut scrire comme une somme dondes sinusodales. defrquence fn multiples de f (cf analyse de Fourier).

f : frquence du fondamentalfn = n f : frquence de lharmonique de rang n.

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R4 dune flte becLe timbre, caractristique de linstrument, dpend du spectre du signal (nombre dharmo-niques) mais aussi de leur volution au cours du temps (attaque et extinction du son).

On peut tudier les facteurs influenant le timbre sur le lien :http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/00/30/20/HTML/m_sons/etude5/ac_etud5.htm

Enfin, pour les musiciens, la gamme dite tempre est constitue de 12 demi-tons.

Dans cette gamme, le rapport entre la frquence dune note donne et celle de la note situeun demi-ton au dessus est constant :

fi+1 = fi par exemple fdo] = fdo

Or, pour passer dune note donne celle situe une octave au dessus (exemple : passage dudo3 au do4), la frquence est double. Une octave correspondant 12 demi-tons,

fi+12 = 2fi = 12fi

on en dduit = 2112 , et fi+1 = 2

112fi.

Exemples : Le do] tant un demi-ton au dessus du do : fdo] = 2

112fdo

Le sol 7 demi-tons au dessus du do (quinte juste) : fsol = 2712fdo

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