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physique année scolaire 2014/2015

Ondes mécaniques et électriques

Notes de coursmardi 17 novembre 2015

Des ondes mécaniques qui se propagent sur une corde et un ressort expérience

de coursOn peut visualiser la propagation d'ondes mécaniques le long d'une corde et d'un ressort.à installer mardi 17 novembre 2015 en salle L111.

Figure 1 Des ondes mécaniques qui se propagent sur une corde et un ressort

I- Etablissement de l'équation de D'Alembert

1. Onde le long d'une corde

1 Etablissement de l'équation de propagation pour une corde vibrante tenduehorizontalement exercice

On s'intéresse à une corde inextensible prin-cipalement suivant un axe Ox tendue avecla tension T0, de masse linéique µl. On né-glige la pesanteur. On note ~T (x, t) la tensionqu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscissesupérieure à x sur la partie de l d'abscisse in-férieure à x. Le petit élément de longueur dxentre les abscisses x et x+ dx est à l'altitudey(x, t) à l'instant t. Cet élément fait avec l'axeOx un angle α(t) petit.

Montrer que l'altitude y(x, t) à l'instant t suit l'équation

∂2y

∂t2= c20

∂2y

∂x2avec c0 =

√T0

µl

Le théorème du centre de masse s'écrit :

µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)

dont la projection suivant ~ux donne :

µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t) =

∂Tx∂x

dx

Aussi, on pourra considérer Tx =∣∣∣~T ∣∣∣ cosα ≈

∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la projection suivant ~uy de la tension

est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α, ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du centre de

masse :

µl.dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t) = T0

∂α

∂xdx

spé PC page n 1 Janson de Sailly


Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x on en déduit l'équation

∂2y

∂t2= c20

∂2y

∂x2

avec la célérité de l'onde c0 =√

T0

µl.

2. Propagation du son dans un solide

Approximation des milieux continus dénitionDans l'approximation des milieux continus, la dimension entre les atomes, ions ou molécules (notée a)et la longueur d'onde λ des ondes acoustiques qui s'y propagent sont telles que

a λ

Elasticité d'un solide schéma

La gure 2 représente l'élasticité d'un solide. Une barre solide de section S de longueur au repos ` voitcette longueur varier de ∆` sous l'action d'une force ~F .

Figure 2 Elasticité d'un solide



Loi de Hooke et module d'Young à retenirLa loi de Hooke stipule que la force pour faire varier la longueur ` d'une barre solide de section S estproportionnelle à l'allongement ∆` :

F = E S∆`

`

où E est le module d'Young (ou module d'élasticité), typiquement de l'ordre de E ≈ 1011 N ·m−2.

2 Etablissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la tige solideexercice

On s'intéresse à une tige solide de masse vo-lumique µ, suivant la loi de Hooke avec le mo-dule d'Young E. On néglige la pesanteur.

Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2avec c0 =

√E

µ

La longueur du système à vide est` = [(x+ dx)]− [x] = dx

La longueur du système allongé est

`′ = [(x+ dx) + ξ(x+ dx, t)]− [x+ ξ(x, t)] = `+∂ξ

∂xdx⇒ ∆` =

∂ξ

∂xdx

Le théorème de la résultante cinétique donne

µS dx∂2x

∂t2= µS dx

∂2ξ

∂t2Fx(x+ dx, t)− Fx(x, t) =

∂Fx∂x

dx

Enn la loi de Hooke donne

∂Fx∂x

=∂

∂x

(E S

∆`

`

)= E S

∂

∂x

(∂ξ

∂x

)= E S

(∂2ξ

∂x2

)En remplaçant, on trouve

µS dx∂2x

∂t2= E S

(∂2ξ

∂x2

)dx

On a donc bien

c0 =

√E

µ

3 Etablissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la chaîne inniede ressorts exercice

On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axeOx) de ressorts sans masse, tous identiques, delongueur à vide l0, de constante de raideur k,séparés par des particules ponctuelles toutesidentiques, de masse m. La masse numéro nest à l'abscisse xn(t). On négligera la pesan-teur.

Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2avec c0 = a

√k

m



Le théorème de la résultante cinétique donne

md2xndt2

= md2ξndt2

= −k. (Xn + ξn −Xn−1 − ξn−1 − l0) + k. (Xn+1 + ξn+1 −Xn − ξn − l0)

En prenant en compte ce qui se passe à l'équilibre, on trouve :

d2ξndt2

=k

m(ξn+1 + ξn−1 − 2.ξn)

Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξn varie lentement devanta :

ξn(t) = ψ(x ≈ n.a, t)

Aussi, on pourra déterminer la déformation en x ≈ (n− 1) .a et en x ≈ (n+ 1) .aξn+1(t) = ψ(x ≈ (n+ 1) .a, t) ≈ ψ(x ≈ n.a, t) + ∂ψ

∂x a+ ∂2ψ∂x2

a2

2

ξn−1(t) = ψ(x ≈ (n− 1) .a, t) ≈ ψ(x ≈ n.a, t)− ∂ψ∂x a+ ∂2ψ

∂x2a2

2

L'équation de la déformation devient alors∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2

avec c0 = a√

km .

Valeurs de la vitesse du son dans diérents solides tableau

Le tableau 1 présente des vitesses du son dans diérents solides.

solide plomb plexiglass cuivre aluminium fer granit

c0 en km/s 1,2 1,8 3,8 5,1 5,1 6,0

Table 1 Vitesse du son dans diérents solides

3. Généralisation : équation de d'Alembert

Equation de d'Alembert dénitionà une dimension, ψ (x, t) suit l'équation de d'Alembert

∂2ψ

∂x2=

1

c20

∂2ψ

∂t2

La célérité de l'onde c0 s'exprime en m · s−1

A trois dimensions, on peut généraliser sans peine quand la grandeur ψ dépend non seulement de x etde t, mais aussi de y et z, en remarquant que le laplacien est ∆ψ = O2ψ = ∂2ψ

∂x2 + ∂2ψ∂y2 + ∂2ψ

∂z2 . L'équationde d'Alembert à trois dimensions est

∆ψ =1

c20

∂2ψ

∂t2

Propriétés de l'équation de D'Alembert s'y retrouverl'équation de d'Alembert est une équation de propagation d'onde. Il s'agit d'une équation diérentielleen x, y, z et t.La linéarité de cette équation induit le théorème de superposition. Si ψ1 et ψ2 sont solutions de l'équationde D'Alembert, alors a1.ψ1 + a2.ψ2 est aussi solution (avec n'importe quelles constantes a1 et a2).L'équation de D'Alembert est réversible. En eet t → −t laisse invariante l'équation. En optique, onparle de la loi du retour inverse de la lumière.



II- Solutions de l'équation de D'Alembert : ondes planes monochro-matiques

1. Ondes planes stationnaires monochromatiques

Onde stationnaire plane dénitionDans le cas d'une onde stationnaire plane,

ψ(x, t) = F (x) ·G(t)

s'y retrouver

les dépendances d'une onde stationnaire vis-à-vis des variables d'espace et de temps sont découplées.



4 Forme mathématique des ondes stationnaires planes monochromatiques(OSPM) théorème

ψ(x, t) = F (x).G(t) vérie l'équation de D'Alembert ∂2ψ∂x2 = 1

c20

∂2ψ∂t2 , qui devient

F”(x).G(t) =1

c20F (x).G”(t)⇔ c20

F”(x)

F (x)=G”(t)

G(t)= cste

en eet, le premier terme ne dépend que de x, le second que de t : il ne peut s'agir que d'une constante.Si cette constante est positive, les fonctions sont exponentielles, et divergent à l'inni : ce n'est pasphysiquement acceptable. Aussi, cette constante est négative, et on la notera −ω2. On trouve la solutionde G”(t)

G(t) = −ω2 : G(t) = G0. cos (ω.t+ ϕG). De même, la solution de F”(x)F (x) = −ω

2

c20est : F (x) =

F0. cos(ωc0.x+ ϕF

). ⇒

En utilisant la méthode de la séparation des variables, on peut réécrire les solutions stationnaires del'équation de D'Alembert sous la forme

ψ (x, t) = ψ0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

avec k = ωc0.

N÷uds de vibration dénition

Les n÷uds de vibration sont les endroits où ψ(x, t) = 0∀t.

Ventres de vibration dénition

Les ventres de vibration sont les endroits où l'amplitude est maximale.

5 Espace entre deux n÷uds de vibration successifs ou deux ventres théorème

cos (k.xn + ϕF ) = cos (k.xn+1 + ϕF ) = 0 sik.xn + ϕF = π

2 + n.πk.xn+1 + ϕF = π

2 + (n+ 1) .π

soit k. (xn+1 − xn) = π, ou bien encore xn+1 − xn = λ2 .

de même pour les ventres : cos (k.xk + ϕF ) = cos (k.xk+1 + ϕF ) = ±1 sik.xk + ϕF = k.π

k.xk+1 + ϕF = (k + 1) .π

soit k. (xk+1 − xk) = π, ou bien encore xk+1 − xk = λ2 . ⇒

Deux n÷uds de vibration successifs sont éloignés de λ2 .

Deux ventres de vibration successifs sont éloignés de λ2 .

Fuseaux s'y retrouverLes fuseaux sont séparés par deux n÷uds de vibration. Ils contiennent chacun un ventre de vibration.La largeur d'un fuseau est la distance entre deux n÷uds de vibration consécutifs, donc elle vaut λ

2 .

Fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration schéma

La gure 3 représente un fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration.



Figure 3 Fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration

Comportement temporel d'une onde stationnaire animation

A l'intérieur du fuseau, l'onde stationnaire oscille au cours du temps. Elle reste toujours nulle aux n÷udsde vibration.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

6 Modes propres d'une corde vibrante xée à ses deux extrémités exerciceB Montrer que les fréquences des modes propres d'une corde de longueur L xée à ses deux extrémitéssont

fn =n c02L

où n est un entier non nul.

Les conditions aux limites pour une corde de longueur L xée à ses deux extrémités imposent un n÷ud auxdeux extrémités donc un nombre entier de fuseaux donc

L = nλ

2⇒ f =

n c02L

Résonances sur la corde de Melde vidéo

Le dispositif de la corde de Melde consiste à faire vibrer une extrémité de la corde, tandis que l'autre estxée. On s'aperçoit expérimentalement que les vibrations sont importantes uniquement si la fréquenced'excitation est une fréquence propre de la corde. Il y a alors résonance.Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.



2. Ondes planes progressives monochromatiques

Forme d'une OPPM dénitionUne onde plane progressive monochromatique (ou harmonique, ou encore OPPM) vers les x croissantspeut s'écrire :

hω = A. cos

[ω.

(t− x

c0

)− ϕ0

]= A. cos [ω.t− k.x− ϕ0]

avec k = ωc .

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique) vers les x décroissants peut s'écrire :

mω = A. cos

[ω.

(t+

x

c0

)− ϕ0

]= A. cos [ω.t+ k.x− ϕ0]

On peut généraliser avec la forme :

ψ = A. cos[ω.t− ~k.~r − ϕ0

]où∣∣∣~k∣∣∣ = ω

c .

7 Vérication qu'une OPPM est solution de l'équation de D'alembert exercice

Sous quelle condition A. cos [ω.t− k.x− ϕ0], A. cos [ω.t+ k.x− ϕ0] et A. cos[ω.t− ~k.~r − ϕ0

]sont-elles

solutions de l'équation de D'Alembert ?

Il faut que∣∣∣~k∣∣∣ = ω

c .

Comportement temporel d'une OPPM se déplaçant vers la droite animation

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique) vers les x croissants est un sinus qui sedéplace vers la droite.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

Comportement temporel d'une OPPM se déplaçant vers la gauche animation

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique) vers les x décroissants est un sinus qui sedéplace vers la gauche.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.



Grandeurs temporelles d'une OPPM : pulsation, fréquence, période dénition

• ω : pulsation (en rad.s−1) ;

• ν = ω2π : fréquence (en Hz) ;

• T = 1ν = 2π

ω : période (en s).

Grandeurs spatiales d'une OPPM : vecteur d'onde, longueur d'onde, nombred'onde dénition• ~k : vecteur d'onde (en rad.m−1) ;

• σ =|~k|2π : nombre d'onde (en m−1) ;

• λ = 1σ = 2π

|~k| : longueur d'onde (en m).

Relation entre OPPM complexe et réelle s'y retrouverune onde plane progressive monochromatique a pour amplitude :

ψ(~r, t) = <(ψ(~r, t)

)où ψ est l'OPPM complexe associée.L'amplitude complexe (en ~r, à l'instant t), associée à une onde plane monochromatique de pulsation ωet de vecteur d'onde ~k est :

ψ = ψ0.ej(~k.~r−ω.t+ϕ0)

où ψ0 et ϕ sont des constantes.

remarque

on aurait pu choisir le complexe conjugué ψ0.e−j(~k.~r−ω.t+ϕ0) qui a la même partie réelle. Mais, une fois

choisie la convention, il faut s'y tenir.

remarque

Si l'OPPM se propage suivant ~uz, ~k = k.~uz, et on peut réécrire :

ψ = ψ0.ej(k.z−ω.t+ϕ)

Intérêt des OPPM complexes s'y retrouver

On pourra remplacer l'OPPM réelle ψ par sa forme complexe associée ψ dans toute équation suivie parψ, pour peu que cette équation soit linéaire. L'intérêt est de rendre, avec les complexes, les calculs...plus simples qu'avec des fonctions trigonométriques !

8 Vérication qu'une OPPM complexe est solution de l'équation de D'alem-bert exercice

Sous quelle condition ψ0.ej(~k.~r−ω.t+ϕ0) est-elle solution de l'équation de D'Alembert ?

Il faut que∣∣∣~k∣∣∣ = ω

c .

3. Lien entre ondes progressives et ondes stationnaires

remarque

ψ = ψ0.ej.k.x.e−j.ω.t semble être de la forme F (x) ·G(t), cependant seule compte l'onde réelle ψ = <(ψ) =

ψ0 cos (ω.t− k.x). On voit ainsi qu'il ne s'agit pas d'une onde stationnaire.



9 Onde stationnaire comme somme d'ondes progressives exerciceMontrer que l'onde stationnaire apparaît comme la superposition

• d'une onde plane progressive monochromatique

ψ+ =ψ0

2cos (ω.t− k.x+ ϕG − ϕF )

qui se propage vers les x croissants ;

• et d'une onde plane progressive monochromatique

ψ− =ψ0

2cos (ω.t+ k.x+ ϕG + ϕF )

de même amplitude qui se propage vers les x décroissants.

ψ = ψ0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

peut se réécrire

ψ =ψ0

2[cos (ω.t− k.x+ ϕG − ϕF ) + cos (ω.t+ k.x+ ϕG + ϕF )]

Ondes stationnaires et réexion s'y retrouvercette onde stationnaire peut donc naître en particulier de la réexion totale d'une OPPM incidente, dufait de la superposition de l'OPPM se propageant vers les x croissants (onde incidente) et de l'OPPMse propageant vers les x décroissants (onde rééchie).

III- Paquet d'ondes

1. Notion de paquet d'ondes

Nécessité du paquet d'ondes s'y retrouverune OPPM n'est pas physique car elle a une extension innie dans l'espace et dans le temps. Elle nenit jamais, et a débuté il y a un temps inni ! // L'OPPM est un outil mathématique intéressant caron peut décomposer une onde sous la forme de superposition d'OPPM.

Forme mathématique d'un paquet d'onde dénitionLa décomposition continue d'une onde plane complexe se propageant suivant Ox par une superpositiond'OPPM peut s'écrire

ψ =

∫ ∞0

A (ω) .ej.(ωt−k.x)dω

où A (ω) est le spectre de cette onde.

Extension d'un paquet d'ondes s'y retrouver

Bien souvent A (ω) 6= 0 dans un domaine très limité, de largeur ∆ω : on parle de paquet d'ondes.Dans le domaine des fréquences, le paquet d'ondes a une extension ∆ν = ∆ω

2π .

Paquet d'ondes schéma

La gure 4 représente un paquet d'ondes. Il a été généré en superposant une vingtaine d'OPPM.



Figure 4 Paquet d'ondes

"Petit" paquet d'ondes s'y retrouverOn peut montrer que le paquet d'onde a, en un endroit, une durée ∆t telle que

∆t.∆ω ≈ 1

De la même façon, un instantané montrerait que l'extension spatiale de l'onde est ∆x, reliée à la largeuren vecteur d'onde ∆k par :

∆x.∆k ≈ 1

2. Vitesse de groupe

Petit paquet d'ondes s'y retrouverOn s'intéresse à un petit paquet d'ondes : on suppose que k = k0 + δk et ω = ω0 + δω, avec δω ω0 etδk k0

Vitesse de groupe dénitionOn dénit la vitesse de groupe par

vg =dω

dk

au voisinage de (k0;ω0).

10 Enveloppe d'un paquet d'ondes exerciceB Montrer que

ψ = A′.ej.(ω0.t−k0.x)

pour peu que l'on pose l'enveloppe

A′ =

∫A (ω0 + δω) .e

j.δω.(t− x

vg

)dδω

On peut faire un développement limité autour de (k0;ω0) :

k (ω) ≈ k (ω0) +dk

dω(ω − ω0) = k0 +

δω

vg



En remplaçant dans l'onde plane complexe, on trouve

ψ =

∫A (ω0 + δω) .e

j.(ω0.t+δω.t−k0.x− δωvg x

)dδω

Interprétation du paquet d'onde s'y retrouver

on a donc trouvé une onde moyenne (autour de (k0;ω0) : ej.(ω0.t−k0.x)), modulée par une enveloppe A′

qui se déplace donc vers les x croissants à la vitesse de groupe vg car on retrouve le facteur ej.δω.

(t− x

vg

).

Vitesses de phase et de groupe dans le cas de la dispersion de Klein-GordonschémaLa gure 5 représente les vitesses de phase et de groupe dans le cas de la dispersion de Klein-Gordon. Onvoit que la vitesse de groupe dière a priori de la vitesse de phase. De plus, la vitesse de phase dépendde ω : le milieu est dispersif.

Figure 5 Vitesses de phase et de groupe dans le cas de la dispersion de Klein-Gordon

3. Propagation d'un paquet d'ondes

11 Propagation d'un paquet d'ondes suivant l'équation de D'Alembert exerciceMontrer que vitesses de phase et de groupe sont égales dans le cas de l'équation de D'Alembert :

vϕ = vg = c0

Il n'y a pas de dispersion.

Dans le cas de l'équation de D'Alembert, l'équation de dispersion se réécrit

k2 =ω2

c20⇒ k =

ω

c0

pour une onde se propageant vers les x croissants. Donc

vϕ = vg = c0



Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbantanimationLa propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbant se caractérise par latransmission du paquet d'ondes identique à lui-même au cours de la propagation.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

12 Propagation d'un paquet d'ondes suivant l'équation de Klein-Gordon exer-

ciceDans le cas de l'équation de Klein-Gordon, montrer que vitesses de phase et de groupe sont diérenteset que

vg.vϕ = c2

k =

√ω2 − ω2

c

cpour tout ω > ωc

La vitesse de groupe se calcule ainsi :dk

dω=

2.ω

2.c.√ω2 − ω2

c

vϕ =c√

1−(ωcω

)2la vitesse de groupe est :

vg = c.

√1−

(ωcω

)2

et vitesses de phase et de groupe sont diérentes car

vg.vϕ = c2

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant schéma

La gure 6 représente la propagation dans un milieu absorbant. Le paquet d'onde va se déformer : il vas'étaler et s'amenuiser.

Figure 6 Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant



Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant ani-

mationLa propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif fait apparaître un élargissement de ce paquetd'ondes. Le fait que le milieu soit absorbant se caractérise par l'aaiblissement de l'amplitude du paquetd'ondes au cours de la propagation.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

Transmission de l'information s'y retrouverpour transmettre une information, un émetteur doit envoyer à un récepteur une onde limitée dans letemps et l'espace : une impulsion, un petit paquet d'ondes.Le récepteur détectera le passage de ce paquet d'onde, c'est à dire, en gros, le passage du maximum del'enveloppe qui se propage à la vitesse de groupe.La transmission de l'information se fait donc à la vitesse vg.

IV- Ondes électriques dans un câble coaxial (TP cours)

1. OPPM dans un câble coaxial

Structure du câble coaxial schéma

La gure 7 représente un câble coaxial. Celui-ci est constitué de trois cylindres de même axe Oz :

• l'âme, conducteur électrique, pour r < a ;

• la gaine , isolant de permittivité relative εr, pour r ∈ [a; b] ;

• la masse, conducteur, pour r > b.

Figure 7 Structure du câble coaxial



13 Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte exerciceEn électrocinétique(dans l'ARQS), on né-glige la propagation desgrandeurs électriques :tension et intensité nedépendent que du temps.Aussi les éléments ducircuit (dipôles) sont desconstantes localisées :on notera l'inductancepropre par unité delongueur l et la capacitépropre par unité delongueur c.

Montrer que tension V et intensité I vérient l'équation de D'Alembert et que la célérité des ondes dansle câble est c0 = 1√

l.c.

Une loi des mailles donne :

l.dx.∂I(x, t)

∂t= −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx

La loi des n÷uds donne :

I(x, t)− I(x+ dx, t) = c.dx∂V (x+ dx, t)

∂tsoit − ∂I

∂xdx ≈ c.dx∂V

∂t

L'étude électrocinétique du petit élément de longueur dx qui présente une inductance l.dx et une capacité c.dxnous amène à deux équations couplées :

∂V

∂x= −l ∂I(x, t)

∂tet

∂I

∂x= −c∂V

∂t

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espace xcommutant. Ainsi, en dérivant par rapport à x la première et par rapport à t la seconde, on trouve :

∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2

De même, en dérivant par rapport à x la seconde équation et par rapport à t la première, on trouve :

∂2I

∂x2= l.c

∂2I

∂t2

Ainsi, tension V et intensité I vérient ainsi la même équation de propagation, celle de D'Alembert :

∂2V

∂t2= c20

∂2V

∂x2et

∂2I

∂t2= c20

∂2I

∂x2

avec la célérité c0 = 1√l.c.

Impédance caractéristique d'un câble coaxial s'y retrouverL'impédance ne dépend que des caractéristiques du câble :

Zc = `.c0 =

√`

c=

1

c.c0

car c0 = 1√`.c. Elle est réelle, positive et s'exprime en Ω.

Dans le cas du câble d'antenne Zc v 50Ω.

14 Relation entre tension et intensité pour une OPPM se propageant dansun câble coaxial exerciceB Montrer que

V+ = Zc I+ pour une propagation selon xV− = −Zc I− pour une propagation selon x



On a vu que pour l'onde plane se propageant vers les x croissants

V

(t− x

c0

)= Zc.I

(t− x

c0

)et on a vu que pour l'onde plane se propageant vers les x décroissants

V

(t+

x

c0

)= −Zc.I

(t+

x

c0

)

remarque

Attention au signe !Pour une onde plane quelconque, il y a superposition d'une onde se propageant vers les x croissants (I+)et d'une onde se propageant vers les x décroissants (I−) :

I (t, x) = I+

(t− x

c0

)+ I−

(t+

x

c0

)

⇒ V (t, x) = Zc.I+

(t− x

c0

)− Zc.I−

(t+

x

c0

)

Densités d'énergies s'y retrouver

l'énergie dans `.dx est dEL = 12`.dx.I

2, qui donne une densité linéique d'énergie inductive

eL =1

2`.I2

L'énergie dans c.dx est dEC = 12c.dx.V

2, qui donne une densité linéique d'énergie capacitive

eC =1

2c.V 2

L'énergie dans le petit élément de longueur dx est dE = dEL + dEC = 12`.dx.I

2 + 12c.dx.V

2 qui faitapparaître la densité linéique d'énergie

e = eL + eC =1

2` · I2 +

1

2c.V 2

15 Equipartition de l'énergie dans le cas d'une onde progressive exercice

B Montrer qu'il y a équipartition de l'énergie sous ses deux formes (inductive et capacitive) pour uneonde plane dans un câble coaxial.

En utilisant l'impédance caractéristique Zc = `.c0 =√

`c = 1

c.c0, on montre que, s'il s'agit d'une onde plane

progressive (dans un sens ou dans l'autre),

eL = eC ⇒ e = `.I2 = c.V 2

Puissance transférée d'un morceau à l'autre du câble s'y retrouverla partie du câble pour les abscisses x < x0 transfère une puissance à la partie x > x0 :

P (t) = V (x0, t).I(x0, t)

On peut le retrouver en électricité : c'est la puissance qu'échange un dipôle, celui qui correspond à lapartie x > x0 du câble.

16 Puissance transférée par une onde plane suivant le sens de propagationexerciceDéterminer le signe de la puissance transférée de la partie du câble coaxial pour les abscisses x < x0 àla partie x > x0 dans le cas d'une onde plane progressive, suivant son sens de propagation.



Pour une onde se propageant vers les x croissants, comme V (x0, t) = Zc.I(x0, t), on trouve P (t) = Zc.I(x0, t)2 >

0 : la partie x > x0 du câble gagne du travail électrique.Pour une onde se propageant vers les x décroissants, comme V (x0, t) = −Zc.I(x0, t), on trouve P (t) =−Zc.I(x0, t)

2 < 0 : la partie x > x0 du câble perd du travail électrique.

17 Bilan énergétique local exerciceB Montrer que

∂e

∂t= −∂P

∂x

pour la partie du câble comprise entre x0 et x0 + dx, la variation d'énergie électrique est

dE

dt= +P (x0, t)− P (x0 + dx, t) = −∂P

∂xdx

D'autre part, comme E = e.dx,dE

dt=∂e

∂tdx

On trouve donc le bilan local. On retrouve le fait qu'une onde correspond à un transfert d'énergie sans transfertde matière

2. Réexion en bout de ligne

Câble coaxial terminé par une impédance schéma

La gure 8 représente un câble coaxial d'impédance caractéristique Zc relié en x = x0 à une impédanceZ.

Figure 8 Câble coaxial terminé par une impédance

Coecients de réexion en amplitude s'y retrouverOn dénit le coecient de réexion

en intensité : rI =Ir(x = x0, t)

Ii(x = x0, t)et en tension : rV =

Vr(x = x0, t)

Vi(x = x0, t)

Coecient de réexion en énergie s'y retrouveron dénit le coecient de réexion énergétique par

R =

∣∣∣∣ 〈Pr〉〈Pi〉∣∣∣∣ ∈ [0, 1]

où la puissance moyenne est 〈P 〉 = 12<(V .I∗

).



18 Etude de quelques terminaisons particulières exerciceOn peut montrer que le coecient de réexion en énergie au bout d'un câble coaxial d'impédancecaractéristique Zc fermé sur une impédance terminale Z est :

R =

∣∣∣Z − Zc∣∣∣2∣∣∣Zc + Z∣∣∣2

Que vaut R dans le cas :

• d'une ligne ouverte

• d'une ligne en court-circuit

• d'une ligne fermée sur une inductance pure

• d'une ligne fermée sur une capacité pure

• d'une ligne fermée sur une impédance égale à l'impédance caractéristique du câble ?

Dans le cas où Z →∞, R = 1 : la réexion est totale.Dans le cas où Z = 0, R = 1 : la réexion est encore totale.Dans le cas où Z = j.L.ω, R = 1 : la réexion est totale.Dans le cas où Z = 1

j.C.ω = −jC.ω , R = 1 : la réexion est totale.

R =

∣∣∣Z − Zc∣∣∣2∣∣∣Zc + Z∣∣∣2 = 0⇔ Z = Zc

Adaptation d'impédance s'y retrouverOn dit qu'il y a "adaptation d'impédance" si toute l'énergie est absorbée dans l'impédance terminale.C'est le cas si Z = Zc.

3. Réexion et transmission à une interface

Deux câbles coaxiaux schéma

La gure 9 représente un câble coaxial d'impédance caractéristique Z1 relié en x = x0 à un autre câblecoaxial d'impédance caractéristique Z2.

Figure 9 Deux câbles coaxiaux



Coecient de transmission en amplitude s'y retrouveron dénit le coecient de transmission par

en intensité : tI =It(x = x0, t)

Ii(x = x0, t)et en tension : tV =

Vt(x = x0, t)

Vi(x = x0, t)

Coecient de transmission en énergie s'y retrouveron dénit le coecient de transmission énergétique par

T =

∣∣∣∣ 〈Pt〉〈Pi〉∣∣∣∣⇒ R+ T = 1

4. Equations d'onde et relation de dispersion

19 Equation de propagation dans un câble coaxial résistif exercice

On s'intéresse à un câblecoaxial dispersif. Cecâble a une inductancepropre par unité delongueur l, une capacitépropre par unité de lon-gueur c, une résistancepar unité de longueur r1

et une conductance parunité de longueur g2.

Déterminer l'équation d'onde (dite "des télégraphistes") suivie par la tension et l'intensité dans le câbleet vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.


l.dx.∂I(x, t)

∂t+ r1.dx.I(x, t) = −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx



∂t+ g2.dx.V (x+ dx, t)

soit

−∂I∂xdx ≈ c.dx∂V

∂t+ g2.dx.V (x, t)

On arrive à deux équations couplées :

c∂V

∂t+ g2.V (x, t) = −∂I

∂xet l

∂I(x, t)

∂t+ r1.I(x, t) = −∂V

∂x

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espace xcommutant. En dérivant la seconde par rapport à x, on trouve :

∂2V

∂x2= −l ∂

∂t

(∂I(x, t)

∂x

)− r1

∂I(x, t)

∂x

et en utilisant la première,

∂2V

∂x2= l

∂

∂t

(c∂V

∂t+ g2.V (x, t)

)+ r1

(c∂V

∂t+ g2.V (x, t)

)Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" que I(x, t) suit aussi :

∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2+ (r1.c+ l.g2)

∂V

∂t+ r1.g2.V (x, t)



On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.

Recherche des solutions d'une équation d'onde s'y retrouverOn va chercher des solutions sous la forme :

ψ(~r, t) = <(ψ(~r, t)

)où

ψ = ψ0.ej(k x−ω t+ϕ0)

où ψ0 et ϕ sont des constantes. Cette fois, k est a priori complexe.

Relation de dispersion dénition

La relation de dispersion est l'équation entre le vecteur d'onde complexe k et la pulsation ω des OPPMqui composent l'onde qui se propage dans ce milieu.

20 Relation de dispersion dans le cas d'un câble coaxial résistif exercice

Déterminer la relation de dispersion qui correspond à l'équation d'onde des télégraphistes.

Cela donne l'équation de dispersion

k2 = l.c.ω2 + j. (r1.c+ l.g2)ω − r1.g2

Solution d'une équation de dispersion s'y retrouverEn général, on cherche un vecteur d'onde complexe

k = kr + j.ki avec kr = <(k)

et ki = =(k)

La forme de l'onde sera :ψ = ψ0.e

−ki.x.e−j.(ω.t−kr.x−ϕ0)

5. Milieu absorbant / Onde amortie

21 Vecteur d'onde complexe dans le cas du câble coaxial résistif exercice

Dans le cas du câble coaxial résistif, pour une propagation vers les x croissants, montrer que ki > 0.

On aboutissait à l'équation de dispersion

k2 = l.c.ω2 + j. (r1.c+ l.g2)ω − r1.g2 = k2r − k2

i + 2 j kr ki

Dans le cas d'une propagation vers les x croissants, c'est à dire pour kr > 0, on trouve :

ki =(r1.c+ l.g2)ω

2.kr> 0



Onde amortie s'y retrouverL'onde est de la forme :

ψ = ψ0.e−ki.x.e−j.(ω.t−kr.x−ϕ0)

Donc l'amplitude de l'onde estψ0.e

−ki.x = ψ0.e− xδ

L'amplitude de l'onde décroît sur une taille caractéristique (appelée longueur de pénétration)

δ =1

ki=

1

=(k)

Puisque l'amplitude de l'onde décroît avec x si l'onde se propage vers les x croissants, on parle d'ondeabsorbée.

"Photographie" d'une onde amortie sur une corde schéma

La gure 10 représente la "photographie" d'une onde amortie sur une corde. L'atténuation a lieu dansle sens de propagation de l'onde. L'onde perd de l'énergie au prot du milieu de propagation : il y aabsorption de l'onde.

Figure 10 "Photographie" d'une onde amortie sur une corde



6. Milieu dispersif

Vitesse de phase dénitionPour une onde plane de pulsation ω ayant une partie réelle du vecteur d'onde kr, on dénit une vitessede phase

vϕ =ω

kr

Milieu dispersif dénition

Un milieu est dit dispersif si la vitesse de phase dépend de la pulsation ω de l'onde plane.

22 Cas de l'équation de D'Alembert exercice

Montrer qu'un milieu qui suit l'équation de D'Alembert est non dispersif.

L'équation de dispersion se réécrit

k2 =ω2

c20=(k2r − k2

i

)+ j.2.kr.ki

k est alors réel : k = k = kr = ± ωc0

et ki = 0.

Exemple de la loi de Cauchy s'y retrouveren optique, on dénit l'indice optique par n = c

v où v est la vitesse de l'onde électromagnétique dans unmilieu (transparent) et c la vitesse de la lumière dans le vide. La loi empirique de Cauchy relie n à lalongueur d'onde (dans le vide) λ = c

ν = 2π.cω :

n = A+B

λ2

où A et B sont des constantes.On voit donc que les milieux matériels sont dispersifs pour les ondes lumineuses : vϕ = c

n est fonctionde λ donc de ω.

23 Équation de dispersion de Klein-Gordon exerciceDans certains cas, les équations de propagation mènent à la relation suivante(ω

c

)2

= k2 +(ωcc

)2

entre le vecteur d'onde k = kr + j.ki et la pulsation ω.Montrer que le milieu est non absorbant mais dispersif.

Le vecteur d'onde est réel, et pour tout ω > ωc

k = kr =

√ω2 − ω2

c

c

On a alors pour tout ω > ωc

vϕ =c√

1−(ωcω

)2La vitesse de phase dépend de ω : le milieu est dispersif.



Technique à maîtriserjeudi 19 novembre 2015

I- Les capacités exigibles

1. Etablir une équation d'onde

ce qu'il faut savoir faire capacités

Établir l'équation d'onde pour des ondes transversales sur une corde vibrante inniment souple dansl'approximation des petits mouvements transverses en utilisant un système innitésimal.Relier la raideur des ressorts ctifs à l'énergie de liaison et évaluer l'ordre de grandeur du moduled'Young.Établir l'équation d'onde dans une tige solide dans l'approximation des milieux continus en utilisant unsystème innitésimalReconnaître une équation de d'Alembert.Associer qualitativement la célérité d'ondes mécaniques, la raideur et l'inertie du milieu support.

2. Chercher des solutions à l'équation d'onde


Diérencier une onde stationnaire d'une onde progressive par la forme de leur représentation réelle.Décrire les modes propres.En négligeant l'amortissement, associer mode propre et résonance en régime forcé.Utiliser qualitativement l'analyse de Fourier pour décrire une onde non harmonique.Déterminer la vitesse de groupe à partir de la relation de dispersion. Associer la vitesse de groupe à lapropagation de l'enveloppe du paquet d'ondes.

3. Etudier la discontinuité à une interface


Expliciter des conditions aux limites à une interface.Établir les expressions des coecients de transmission et de réexion.Associer l'adaptation des impédances au transfert maximum de puissance.

II- Méthodes


A) Equation de propagation dans un milieu continu méthodeOn part de l'étude d'un petit élément de longueur dx, et on prend garde à faire la diérence entre lesactions qui s'exercent à gauche (−~F (x)) et à droite (+~F (x+ dx)).



B) Equation de propagation dans un milieu discontinu méthodeOn part de l'étude d'un élément n, on observe l'équilibre, puis ce qui se passe hors équilibre, ce qui donneune équation de récurrence sur les déformations. Ensuite, on utilise l'hypothèse des milieux continus enfaisant un développement limité au deuxième ordre des déformations pour les éléments n, n− 1 et n+ 1.On réinjecte dans la relation de récurrence pour trouver l'équation de propagation.


C) Ondes stationnaires sur une corde méthodeOn injecte dans l'équation de propagation des ondes stationnaires. Cela donne la relation de dispersionentre k et ω. Puis on utilise les deux conditions aux limites pour déterminer la partie spatiale.

D) Forme de l'onde solution méthodeOn cherche une onde de la forme :

ψ = ψ0.e−j.(ω t−veck ~r−ϕ0) = ψ0 e

−j.(ω.t−kx.x−ϕ0)

On repasse ensuite aux réels.

E) Equation de propagation dans un câble coaxial méthodeOn part de l'étude d'un petit élément de longueur dx, et on écrit la loi des mailles et celle des n÷uds.On découple les deux équations couplées en les re-dérivant.

F) Etablir la relation de dispersion méthodeAn d'arriver à la relation de dispersion, on recherche les solutions de l'équation de propagation sous la

forme ψ = ψ0.e−j.(ω t−k x−ϕ0). NB : on aurait pu tout aussi bien choisir ψ = ψ0.e

+j.(ω.t−k.x−ϕ0). Maisune fois fait le choix, on n'en change plus !On trouve ensuite k = f(ω).

G) Forme de l'onde solution méthode

Il faut trouver la solution de la relation de dispersion de en utilisant k = kr + j.ki qui donne deuxéquations réelles.Une fois déterminés kr et ki, on réinjecte dans la forme de l'onde :

ψ = ψ0.e−j.(ω t−k x−ϕ0) = ψ0.e

−ki.x.e−j.(ω.t−kr.x−ϕ0)



H) Paquets d'onde méthodeL'onde complexe est la superposition d'ondes monochromatiques :

ψ =

∫ ∞0

A (ω) .ej.(ωt−k.x)dω

où A (ω) est le spectre de cette onde.En faisant le développement limité autour de ω0, k0 :

ω = ω0 + uk(ω) ≈ k0 + ∂k

∂ωu = k0 + uvg

on peut déterminer le paquet d'onde par le changement de variable ω → u :

ψ =

∫ ∞−∞

A (ω0 + u) .ej.(u t− u

vg

)ej.(ω0 t−k0 x)du


I) Coecients de transmission et de réexion méthodeIl s'agit d'abord de déterminer la condition à l'interface. On écrit ensuite les ondes incidente, transmiseet rééchie en complexe. Puis on réécrit les conditions de continuité à l'interface en faisant apparaître lescoecients de transmission et réexion en amplitude. Le tout donne un système d'équations qui permetde déterminer les coecients.

J) Transmission et de réexion pour une onde mécanique sur une corde mé-

thodeLes conditions de continuité à l'interface sont :- la continuité de la déformation y

(y = y−0 , t

)= y

(y = y+

0 , t)∀t ;

- la continuité de la force Ty(y = y−0 , t

)= Ty

(y = y+

0 , t)∀t.

III- Exercices


1.1) Corde tendue horizontalement

On s'intéresse à une corde inextensible principalement suivant un axe Ox tendue avec la tension T0, de masselinéique µl. Montrer que l'altitude y(x, t) à l'instant t suit l'équation

∂2y

∂t2= c20

∂2y

∂x2

On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie del d'abscisse inférieure à x. On négligera l'eet de la pesanteur. Le petit élément de longueur dx entre lesabscisses x et x+ dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cet élément fait avec l'axe Ox un angle α(t) petit.


µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)


µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t) =

∂Tx∂x

dx




∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la projection suivant ~uy de la

tension est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α, ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du

centre de masse :

µl.dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t) = T0

∂α

∂xdx


∂2y

∂t2= c20

∂2y

∂x2


T0

µl.

1.2) Corde de violoncelle

Un violoncelle baroque joue le la3 dont la fréquence est ν = 415Hz.1) Quelle est la tension T de la corde de longueur l = 50, 0cm, de masse volumique µ = 8000kg.m−3 et de

rayon r = 250µm ?

1) La longueur de la corde est reliée à la longueur d'onde par l = λ2 (la corde est xée aux deux bouts).

La masse linéique de la corde est µl = µ.π.r2. La célérité est c =√

Tµl

= ν.λ = 2.ν.l qui conduit à la tension

T = µ.π.r2.4.ν2.l2 = 270N

1.3) Corde verticale

On s'intéresse à une corde inextensible, de masse linéique µl, accrochée en un point O, l'axe Ox étant vertical,vers le bas. Déterminer l'équation d'onde que suit y(x, t), la coordonnée orthogonale à Ox.

On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie del d'abscisse inférieure à x. On négligera pas l'eet de la pesanteur. Le petit élément de longueur dx entre lesabscisses x et x+ dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cet élément fait avec l'axe Ox un angle α(t) petit.


µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t) + µl.dx.~g


µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t) + µl.g.dx =

∂Tx∂x

dx+ µl.g.dx


∣∣∣~T ∣∣∣ = T0−µl.g.x, constante. Donc, la projection suivant ~uy du

théorème du centre de masse donne :

µl.dx∂2y

∂t2= (T.α)(x+dx,t) − (T.α)(x,t) =

∂ (T.α)

∂xdx


µl∂2y

∂t2= (T0 − µl.g.x) .

∂2y

∂x2+∂T

∂x

∂y

∂x= (T0 − µl.g.x) .

∂2y

∂x2− µl.g

∂y

∂x

soit∂2y

∂t2=

(T0

µl− g.x

).∂2y

∂x2− g ∂y

∂x



1.4) Corde avec frottement

On considère une corde inextensive tendue principalement suivant un axe Ox, de masse linéique µl soumiseà une tension T0 avec une force de frottement uide par unité de longueur ~ff = −λ.~v.On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de ld'abscisse inférieure à x.Déterminer l'équation de propagation des ondes sur une telle corde.

Le petit élément de longueur dx entre les abscisses x et x + dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cetélément fait avec l'axe Ox un angle

α(t) ≈ y (x+ dx, t)− y (x, t)

dx=∂y

∂x

car cet angle est petit. Le théorème du centre de masse s'écrit :

µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)− λ.dx.~v


µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t)− λ.dx∂x

∂t≈ ∂Tx

∂xdx

car le déplacement de la corde se fait selon une direction Oy perpendiculaire à Ox. Aussi, on pourra considérer

Tx =∣∣∣~T ∣∣∣ cosα ≈

∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la projection suivant ~uy de la tension est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α,

ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du centre de masse :

µl.dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t)− λ.dx∂y

∂t= T0

∂α

∂xdx− λ.dx∂y

∂t

Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x , soit une équation de propagation

∂2y

∂t2+

1

τ

∂y

∂t= c20

∂2y

∂x2


T0

µlet le temps caractéristique d'amortissement τ = µl

λ .

1.5) Chaine de ressorts

On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axe Ox) de ressorts sans masse, tous identiques, de longueur àvide l0, de constante de raideur k, séparés par des particules ponctuelles toutes identiques, de masse m. Lamasse numéro n est à l'abscisse xn(t). On négligera la pesanteur.

1) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2

1) Le théorème de la résultante cinétique donne

md2xndt2

= 0 = −k. (Xn −Xn−1 − l0) + k. (Xn+1 −Xn − l0)

2) Le théorème de la résultante cinétique donne

md2xndt2

= md2ξndt2

= −k. (Xn + ξn −Xn−1 − ξn−1 − l0) + k. (Xn+1 + ξn+1 −Xn − ξn − l0)


d2ξndt2

=k

m(ξn+1 + ξn−1 − 2.ξn)



3) Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξn varie lentementdevant a :

ξn(t) = ψ(x ≈ n.a, t)


∂x a+ ∂2ψ∂x2

a2

2


∂x2a2

2

L'équation de la déformation devient alors

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2

avec c0 = a√

km .

1.6) Echelle de perroquet

On s'intéresse à un l de torsion suivant un axe Oz vertical, le long duquel sont disposées à des distances ades barettes horizontales identiques, de moment d'inertie J par rapport à Oz.

La barette numéro n fait un angle θn(t) avec un axe Ox horizontal. Le l entre les barettes numéro n etn+ 1 exerce sur la barette numéro n le moment

~Mn+1→n = Γ. (θn+1 − θn) ~uz

1) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2

1) A l'équilibre, le théorème du moment cinétique donne pour la barette numéro n qui fait l'angleθn(t) = αn avec Ox :

Jd2θndt2

= 0 = −Γ. (θn−1 − θn) + Γ. (θn+1 − θn) = Γ. (αn+1 + αn−1 − 2.αn) = Γ. (αn+1 + αn−1 − 2.αn)

Hors équilibre, le théorème du moment cinétique donne pour la barette numéro n fait maintenant l'angleθn(t) = αn + ξn(t) :

Jd2θndt2

= Jd2ξndt2

= −Γ. (αn + ξn − αn−1 − ξn−1) + Γ. (αn+1 + ξn+1 − αn − ξn)


d2ξndt2

=Γ

J(ξn+1 + ξn−1 − 2.ξn)

Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξn varie lentement devanta :

ξn(t) = ψ(x ≈ n.a, t)


∂x a+ ∂2ψ∂x2

a2

2


∂x2a2

2

L'équation de la déformation devient alors

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2

avec c0 = a√

ΓJ .



1.7) Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte

On s'intéresse à un câble coaxial sans perte. On notera l'inductance propre par unité de longueur l et lacapacité propre par unité de longueur c.

Montrer que tension V et intensité I vérient l'équation de D'Alembert. Que vaut la célérité des ondes dansle câble ?


l.dx.∂I(x, t)

∂t= −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx



∂tsoit − ∂I

∂xdx ≈ c.dx∂V

∂t

L'étude électrocinétique du petit élément de longueur dx qui présente une inductance l.dx et une capacitéc.dx nous amène à deux équations couplées :

∂V

∂x= −l ∂I(x, t)

∂tet

∂I

∂x= −c∂V

∂t

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espacex commutant. Ainsi, en dérivant par rapport à x la première et par rapport à t la seconde, on trouve :

∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2


∂2I

∂x2= l.c

∂2I

∂t2


∂2V

∂t2= c20

∂2V

∂x2et

∂2I

∂t2= c20

∂2I

∂x2



2.8) Onde sur une corde xée à ses deux extrémités

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L, deux extrémités où elle est xée, telle que l'élongationverticale y(x, t) suit l'équation de D'Alembert avec la célérité c.

Montrer que les solutions possibles peuvent s'écrire

y(x, t) =

∞∑n=1

yn. sin

(2π

x

λn

). cos (2π.νn.t+ ϕG)

On donnera λn et νn.

On peut chercher les solutions de l'équation de D'Alembert sous la forme d'onde stationnaires :

y(x, t) = y0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

avec k = ωc0

à cause de l'équation de D'Alembert.Les conditions aux limites imposent : y(x = 0, t) = y(x = L, t) = 0, soit cos (k.x+ ϕF ) = sin (k.x) avec

k.L = n.π où n ∈ Z, soit λ = 2.Ln .

Aussi, on peut réécrire en prenant en compte les conditions aux limites

y(x, t) =

∞∑n=1

yn. sin

(2π

x

λn

). cos (2π.νn.t+ ϕG)



avec

λn =2L

net νn =

n.c02L

où n ∈ N

Ce sont les modes propres de la corde xée aux deux extrémités.

2.9) Onde sur la corde de Melde

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L, telle que l'élongation verticale y(x, t) suit l'équation deD'Alembert avec la célérité c. Une des extrémités est xée

y(x = L, t) = 0 ∀t

quant à l'autre limite, en x = 0, un vibreur eectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a. cos (ω.t), donc :

y(x = 0, t) = a. cos (ω.t) ∀t

1) Donner la forme de la solution de l'équation de propagation pour la corde de Melde.2) Déterminer les conditions de résonance de la corde de Melde.

1) On peut chercher les solutions de l'équation de D'Alembert sous la forme d'onde stationnaires :

y(x, t) = y0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

avec k = ωc0. La condition à la limite x = L impose d'une part k.L+ϕF = π

2 , ce qui donne cos (k.x+ ϕF ) =sin (k. (L− x)). D'autre part, la condition à la limite x = 0 impose :

y0. cos (ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG) = a. cos (ω.t)

soit ϕG = 0 et y0. cos (ϕF ) = y0. sin (k.L) = a. En prenant en compte les nouvelles conditions aux limites,

y(x, t) =a

sin (k.L)sin (k. (L− x)) . cos (ω.t)

avec k = ωc0.

2) On constate que pour

k = kn =nπ

Loù n ∈ N

l'amplitude tend -théoriquement - vers l'inni : asin(kn.L) →∞. On parle de résonance.

Bien entendu, du fait d'inévitables amortissements, l'amplitude de la corde ne tend en fait pas vers l'inni.

2.10) Onde sur la corde de Melde - le retour

1) Lors d'une manipulation avec la corde de Melde, pour une longueur L de la corde et une masse Maccrochée à celle-ci, on obtient une fréquence de résonance à 19Hz pour deux fuseaux et une à 28Hz pour troisfuseaux.

1.a) Ces valeurs numériques sont-elles compatibles entre elles ?1.b) Quelles seraient les fréquences de résonance suivantes ?

2) On donne la longueur de la corde : L = 117cm. Quelle est la vitesse c de propagation d'une perturbationsur cette corde ?

3) La masse accrochée à la corde est M = 25g.3.a) Quelle est la tension T0 de la corde ?3.b) En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique µl de la corde.

1)1.a) Les fréquences de résonance valent

νn = nc

2.L

Or ν2 = 19Hz et ν3 = 28Hz, ce qui donne :

ν3

ν2= 1, 47 au lieu de

3

2= 1, 5



Ces valeurs numériques sont donc compatibles entre elles.1.b) Les fréquences suivantes sont données par la formule νn = n c

2.L , soit :ν4 = 38Hzν5 = 47Hz

2)

c =2.L.νnn

= 22m.s−1

3)3.a) La tension de la corde est donc

T0 = M.g = 0, 25N

3.b) La vitesse de propagation étant c =√

T0

µl, on en déduit la masse linéique de la corde :

µl = 5.10−4kg.m−1 = 0, 5g/m

Cette valeur aurait pu être trouvée en pesant, par exemple, 10m de l sur une balance de précision.

2.11) Solutions de la corde de Melde

Dans l'expérience de la corde de Melde, le vibreur eectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a :

ψ (0, t) = a. cos (ω.t)

La corde, de longueur L, est xée à l'autre extrémité, la tension de la corde étant T0.1) Déterminer les déplacements ψ (x, t) de tout point de la corde à tout instant.2) Donner les valeurs des fréquences de résonance.

1) La solution stationnaire sinusoïdale :

ψ (x, t) = ψ0. cos (ω.t+ ϕt) . cos (k.x+ ϕx)

avec k = ωc convient si elle satisfait aux conditions aux limites, c'est-à-dire :

ψ (0, t) = a. cos (ω.t)ψ (L, t) = 0

Ceci est réalisé si nous prenons ϕx = π

2 − k.Lϕt = 0

ψ0 = asin(k.L)

Conclusion :ψ (x, t) =

a

sin (k.L)cos (ω.t) . sin (k. (L− x))

2) Nous constatons que, pour k = kn = n.πL (avec n entier) l'amplitude devient (théoriquement !) innie :

la corde entre en résonance.À la résonance, a est très faible devant l'amplitude des ventres de vibration. De ce fait, le vibreur peut

quasiment être considéré comme un n÷ud de vibration de la corde. Les fréquences de résonance valent

νn = nc

2.L

2.12) Equation de dispersion dans le cas de l'équation de propagation de D'Alembert

Déterminer l'équation de dispersion dans le cas de l'équation de D'Alembert.



∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2⇒ k2 =

ω2

c20

2.13) Forme des ondes planes progressives

1) Montrer que ψ(t, x) = f(x− c0.t) ou h(t− x

c0

)est solution de l'équation de D'Alembert.

2) De même, montrer que ψ(t, x) = g(x+c0.t) oum(t+ x

c0

)est aussi solution de l'équation de D'Alembert.

1) On va chercher f(t, x) = f(u), où u est une fonction de x et de t. Comme f est telle que(∂∂t + c0

∂∂x

)f(t, x) = 0, on en déduit

(∂u∂t + c0

∂u∂x

)dfdu = 0. On voit que u = x− c0.t convient.

2) On va chercher maintenant g(t, x) = g(v), où v est une fonction de x et de t. Comme g est telle que(∂∂t − c0

∂∂x

)g(t, x) = 0, on en déduit

(∂v∂t − c0

∂v∂x

)dgdv = 0. On voit que v = x+ c0.t convient.

2.14) Réécriture de l'équation de D'Alembert à une dimension

1) montrer que l'éqution de D'Alembert à une dimension peut se réécrire sous la forme :

∂

∂u

∂

∂vψ = 0

où les solutions de l'équation de d'Alembert à une dimension sont de type :

• ψ = cste, qu'on exclut habituellement ;

• ψ = f(u) ;

• ψ = g(v).

2) Quel sens donner à ces deux types de solutions ?

1) ∂2ψ∂t2 − c

20∂2ψ∂x2 = 0 en (

∂

∂t− c0

∂

∂x

)(∂

∂t+ c0

∂

∂x

)ψ = 0

Les solutions de l'équation de d'Alembert à une dimension sont de type :

• ψ = cste, qu'on exclut habituellement ;

• ψ = f(t, x), telle que(∂∂t + c0

∂∂x

)f(t, x) = 0 ;

• ψ = g(t, x), telle que(∂∂t − c0

∂∂x

)g(t, x) = 0.

2) Les premières sont des OPP se propageant vers les x croissants ; les secondes vers les x décroissants.

2.15) Vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique

On dénit la vitesse de phase comme la vitesse à laquelle il faut se déplacer pour que la phase φ = ω t−~k ·~r−ϕsoit constante.

1) Déterminer la vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique vers la droite.2) Même chose pour une onde plane progressive monochromatique vers la gauche.

1) Dans le premier cas, ψ(t+ ∆t, x+ ∆x) = ψ(t, x), pour peu que

ω t− k x− ϕ = ω (t+ ∆t)− k (x+ ∆x)− ϕ

Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peuqu'on ait déplacé cette forme de +∆x, avec

∆x =ω

k∆t = +c0.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x croissants, avec une vitesse ∆x∆t = +c0



2) Dans le deuxième cas, ψ(t + ∆t, x + ∆x) = ψ(t, x), pour peu que x + c0.t = x + ∆x + c0. (t+ ∆t).Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peuqu'on ait déplacé cette forme de ∆x, avec

∆x = −c0.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x décroissants, avec une vitesse algébrique ∆x∆t = −c0.

2.16) Vitesse de phase d'une onde plane progressive

On dénit la vitesse de phase comme la vitesse ~vϕ = vx~ux à laquelle il faut se déplacer pour qu'on retrouvela même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peu qu'on ait déplacé cetteforme de vx ∆t.

1) Déterminer la vitesse de phase d'une onde plane progressive vers la droite.2) Même chose pour une onde plane progressive vers la gauche.

1) Dans le premier cas, ψ(t+∆t, x+∆x) = ψ(t, x), pour peu que x− c0.t = x+∆x− c0. (t+ ∆t). Aussi,on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t+ ∆t qu'à l'instant t, pour peu qu'on aitdéplacé cette forme de +∆x, avec

∆x = +c0.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x croissants, avec une vitesse ∆x∆t = +c0

2) Dans le deuxième cas, ψ(t + ∆t, x + ∆x) = ψ(t, x), pour peu que x + c0.t = x + ∆x + c0. (t+ ∆t).Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peuqu'on ait déplacé cette forme de ∆x, avec

∆x = −c0.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x décroissants, avec une vitesse algébrique ∆x∆t = −c0.

2.17) Corde avec frottement

On considère une corde inextensive tendue principalement suivant un axe Ox, de masse linéique µl soumiseà une tension T0 avec une force de frottement uide par unité de longueur ~ff = −λ.~v.On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de ld'abscisse inférieure à x.Déterminer l'équation de propagation des ondes sur une telle corde.

Le petit élément de longueur dx entre les abscisses x et x + dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cetélément fait avec l'axe Ox un angle

α(t) ≈ y (x+ dx, t)− y (x, t)

dx=∂y

∂x

car cet angle est petit. Le théorème du centre de masse s'écrit :

µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)− λ.dx.~v


µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t)− λ.dx∂x

∂t≈ ∂Tx

∂xdx

car le déplacement de la corde se fait selon une direction Oy perpendiculaire à Ox. Aussi, on pourra considérer

Tx =∣∣∣~T ∣∣∣ cosα ≈

∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la projection suivant ~uy de la tension est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α,

ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du centre de masse :

µl.dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t)− λ.dx∂y

∂t= T0

∂α

∂xdx− λ.dx∂y

∂t

Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x , soit une équation de propagation

∂2y

∂t2+

1

τ

∂y

∂t= c20

∂2y

∂x2


T0

µlet le temps caractéristique d'amortissement τ = µl

λ .



2.18) Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte

On s'intéresse à un câble coaxial sans perte. On notera l'inductance propre par unité de longueur l et lacapacité propre par unité de longueur c.

Montrer que tension V et intensité I vérient l'équation de D'Alembert. Que vaut la célérité des ondes dansle câble ?


l.dx.∂I(x, t)

∂t= −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx



∂tsoit − ∂I

∂xdx ≈ c.dx∂V

∂t

L'étude électrocinétique du petit élément de longueur dx qui présente une inductance l.dx et une capacitéc.dx nous amène à deux équations couplées :

∂V

∂x= −l ∂I(x, t)

∂tet

∂I

∂x= −c∂V

∂t

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espacex commutant. Ainsi, en dérivant par rapport à x la première et par rapport à t la seconde, on trouve :

∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2


∂2I

∂x2= l.c

∂2I

∂t2


∂2V

∂t2= c20

∂2V

∂x2et

∂2I

∂t2= c20

∂2I

∂x2


2.19) ImpedanceCable

Les rayons de l'âme et de la gaine d'un câble coaxial de télévision valent respectivement a = 1mm etb = 3, 5mm.

L'espace séparant l'âme et la gaine n 'est pas vide mais rempli d'un matériau isolant non magnétique(polyéthylène) de permittivité diélectrique relative εr = 2, 26. La capacité et l'inductance linéiques du câblesont respectivement :

c = 2π.ε0.εrln( ba )

l = µ0

2π ln(ba

)1) Calculer la vitesse c0 de propagation des signaux électriques.2) Calculer l'impédance caractéristique Zc du câble.

1) La célérité des ondes est :

c0 =1√l.c

=1

√µ0.ε0.εr

= 2.108m.s−1

2) L'impédance caractéristique est :

Zc =

√l

c=

1

2π

√µ0

ε0.εrln

(b

a

)



2.20) Equation de propagation dans un câble coaxial avec perte

On s'intéresse à un câble coaxial dispersif. Ce câble a une inductance propre par unité de longueur l, unecapacité propre par unité de longueur c, une résistance par unité de longueur r1 et une conductance par unitéde longueur g2.

1) Déterminer l'équation "des télégraphistes" suivie par la tension et l'intensité dans le câble.2) Vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.

1) Une loi des mailles donne :

l.dx.∂I(x, t)

∂t+ r1.dx.I(x, t) = −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx



∂t+ g2.dx.V (x+ dx, t)

soit

−∂I∂xdx ≈ c.dx∂V

∂t+ g2.dx.V (x, t)

On arrive à deux équations couplées :

c∂V

∂t+ g2.V (x, t) = −∂I

∂xet l

∂I(x, t)

∂t+ r1.I(x, t) = −∂V

∂x

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espacex commutant. En dérivant la seconde par rapport à x, on trouve :

∂2V

∂x2= −l ∂

∂t

(∂I(x, t)

∂x

)− r1

∂I(x, t)

∂x

et en utilisant la première,

∂2V

∂x2= l

∂

∂t

(c∂V

∂t+ g2.V (x, t)

)+ r1

(c∂V

∂t+ g2.V (x, t)

)Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" que I(x, t) suit aussi :

∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2+ (r1.c+ l.g2)

∂V

∂t+ r1.g2.V (x, t)

2) On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.

2.21) Equation de dispersion dans le cas de l'équation de propagation de D'Alembert

Déterminer l'équation de dispersion dans le cas de l'équation de D'Alembert.

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2⇒ k2 =

ω2

c20

2.22) Equation de dispersion dans le cas d'une corde subissant un frottement uide

Dans le cas de la corde subissant une force de frottement uide, on aboutit à l'équation de propagation

∂2ψ

∂t2+

1

τ

∂ψ

∂t= c20

∂2ψ

∂x2

Déterminer alors l'équation de dispersion.




(−j.ω)2

+−j.ωτ

= c20.(j.k)2

Montrer que dans le cas de la corde subissant une force de frottement uide, on aboutit à l'équation dedispersion

k2 =ω2

c20+j.ω

τ.c20

2.23) Equation de dispersion dans le cas d'un câble coaxial résistif

Dans le cas d'un câble coaxial résistif, on aboutit à l'équation de propagation dite des "télégraphistes" :

∂2ψ

∂x2= l.c

∂2ψ

∂t2+ (r1.c+ l.g2)

∂ψ

∂t+ r1.g2.ψ

Déterminer alors l'équation de dispersion.


k2 = l.c.ω2 + j. (r1.c+ l.g2)ω − r1.g2

2.24) Equation de dispersion dans le cas d'une chaine de pendules couplés

La propagation d'onde le long d'une chaîne de pendules simples, identiques, de masse M et longueur L,couplés par des ressorts de raideur K, disposés à une distance a les uns des autres dans l'approximation desmilieux continus suit l'équation : ∂

2ψ∂t2 + ω2

p.ψ = c2 ∂2ψ∂x2 avec c2 = a2.ω2

p.Déterminer l'équation de dispersion.

L'équation de dispersion est celle de Klein Gordon :

ω2 = ω2p + c2.k2

2.25) Equation de dispersion de Klein Gordon

On s'intéresse à un milieu qui vérie la relation de dispersion de Klein-Gordon :

ω2 = ω2p + k2.c2

1) Calculer en fonction de ω, ωp et c :1.a) la vitesse de phase vϕ,1.b) la vitesse de groupe vg.

2) Exprimer vg en fonction de c et vϕ.3) Comparer chacune des vitesses à c.

1)1.a) la vitesse de phase :

vϕ =c√

1−(ωpω

)21.b) la vitesse de groupe :

vg = c.

√1−

(ωpω

)2



2)

vg =c2

vϕ

3) vg < c < vϕ.

2.26) Diverses ondes à la surface de l'eau

On peut montrer que la relation de dispersion d'une onde à la surface d'une eau de profondeur h est donnéepar :

ω2 =

(g.k +

γ.k3

µ

)th (k.h)

où g = 9, 81m.s−2 est l'accélération de la pesanteur, µ = 1, 0kg/L la masse volumique de l'eau et γ = 72.10−3SIla tension supercielle à l'interface eau-air.

1) Calculer la vitesse de groupe d'une onde :1.a) de marée (λ = 1000km et h = 5km),1.b) de houle (λ = 5m),1.c) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde (λ = 1cm),1.d) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde (λ = 2cm et h = 1mm).

1) NB : en eaux profondes, th (k.h) ≈ 1. On trouve :1.a) pour une onde de marée de λ = 1000km et h = 5km,

vg = 800km/h

1.b) pour une onde de houle (λ = 5m),

vg = 5km/h

1.c) pour une onde de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde (λ = 1cm),

vg = 30cm.s−1

1.d) et pour une onde de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde (λ = 2cmet h = 1mm),

vg = 20cm.s−1

2.27) Onde absorbée

1) Une onde plane se déplace dans un milieu absorbant. On suppose que la puissance absorbée par unvolume élémentaire est proportionnelle à ce volume et à l'intensité de l'onde au voisinage du volume considéré.

1.a) Montrer alors que l'intensité de l'onde décroît exponentiellement avec la distance parcourue dansle milieu (loi de Beer-Lambert).

1.b) Que dire alors de l'intensité en décibels ?2) Application : une bre optique présente une absorption de 0, 1dB.km−1. Au bout de quelle longueur

l'intensité d'entrée aura-t elle diminué de moitié ?

1) La puissance incidente sur une tranche de section transversale S comprise entre les abscisses z et z+dzest I(z).S où I(z) est l'intensité de l'onde à l'abscisse z. De même, la puissance transmise est I(z + dz).S.

La puissance absorbée est proportionnelle au volume S.dz traversé et à l'intensité incidente, on a donc :I(z + dz).S − I(z).S = −β.S.I(z).dz où β est un coecient positif.

1.a) On a donc dIdz = −β.I(z) qui s'intègre en :

I(z) = I0.e−β.z

L'intensité décroît exponentiellement.



1.b) L'intensité en décibels est IdB = 10log(I(z)Iref

). C'est donc une fonction ane décroissante de z

de pente − 10.βln(10) :

IdB = 10.log

(I0Iref

)− 10.β

ln(10)z

2) 10.βln(10) = 0, 1dB.km−1. La longueur L au bout de laquelle I(L)

I0= 1

2 est :

L =2

β= 30km

2.28) Paquet d'onde à spectre rectangulaire

Établir l'expression de l'amplitude du paquet d'ondes si le paquet d'ondes est à spectre rectangulaire :A(ω) = A0

∆ω si ω ∈[ωm − ∆ω

2 ;ωm + ∆ω2

]A(ω) = 0 sinon

Un signal physique non périodique représenté par une onde plane peut être mis sous la forme d'unesuperposition continue d'O.P.P.M, (un paquet d'ondes), son amplitude pouvant s'écrire :

ψ(x, t) = <(∫ ω=∞

ω=0

A(ω).ej.(ω.t−k(ω).x).dω

)La répartition A(ω) des amplitudes des composantes spectrales de l'onde dénit son spectre. On supposeraque la largeur spectrale ∆ω de ce paquet d'ondes est faible devant la pulsation moyenne ωm du paquet.

On notera vg la vitesse de groupe correspondante.On trouve :

ψ(x, t) = A0.sinc

[∆ω

2

(t− x

vg

)]. cos (ωm.t− km.x)

2.29) Paquet d'onde à spectre gaussien

Établir l'expression de l'amplitude du paquet d'ondes si le paquet d'ondes est à spectre gaussien :

A(ω) =A0√

2.π.∆ωe−

(ω−ωm)2

2.∆ω2

On donne : ∫ ∞−∞

e−α2.x2+j.β.x.dx =

√π

αe−

β2

4.α2

pour tout réel β et tout complexe α d'argument compris entre −π4 et +π4 .

Un signal physique non périodique représenté par une onde plane peut être mis sous la forme d'unesuperposition continue d'O.P.P.M, (un paquet d'ondes), son amplitude pouvant s'écrire :

ψ(x, t) = <(∫ ω=∞

ω=0

A(ω).ej.(ω.t−k(ω).x).dω

)La répartition A(ω) des amplitudes des composantes spectrales de l'onde dénit son spectre. On supposeraque la largeur spectrale ∆ω de ce paquet d'ondes est faible devant la pulsation moyenne ωm du paquet.

On notera vg la vitesse de groupe correspondante.On trouve :

ψ(x, t) = A0.e− (∆ω)2

2

(t− x

vg

)2

. cos (ωm.t− km.x)



2.30) Interférence d'un paquet d'onde

On s'intéresse à un paquet d'onde de largeur spectrale ∆ω, faible devant la pulsation moyenne ωm dupaquet.

1) Calculer l'amplitude du paquet d'ondes suivant :

ψ(x, t) =

n=+N−12∑

n=−N−12

A0. cos (ωn.t− kn.x)

où ωn = ωm + nN∆ω. On supposera pour simplier les calculs que N est impair.

2) Quelle durée caractéristique ∆t peut être attribuée aux bouées d'ondes de ce paquet ? Commenter sadépendance vis-à-vis de sa largeur spectrale ∆ω.

1) On peut changer ψ(x, t) en :

ψ(x, t) = A0.<

ej.(ωm.t−km.x)

n=+N−12∑

n=−N−12

ej. nN ∆ω.

(t− x

vg

)Il s'agit ensuite de calculer la série géométrique. On trouve pour nir :

ψ(x, t) = A0.sin[

∆ω2

(t− x

vg

)]sin[

∆ω2.N

(t− x

vg

)] . cos (ωm.t− km.x)

2) On peut associer à chaque " bouée " du paquet d'ondes une durée

∆t ≈ 1

∆ω

d'autant plus courte que la largeur spectrale est étendue.

2.31) RelationDeuxVitesses

1) Démontrer la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe qui fait intervenir comme variablela longueur d'onde λ :

vg = vφ − λdvφdλ

2) On suppose que la relation de dispersion s'écrit ω = A.kα où A et α sont indépendants de k. Exprimerla vitesse de groupe en fonction de vφ et α.

1) On peut écrire

vg =d(vφ.k)

dk= vφ + k

dvφdk

= vφ + kdλ

dk

dvφdλ

qui donne la formule de Rayleigh car λ = 2.πk , d'où k dλdk = k−2.π

k2 = −λ.2) On peut faire la dérivée logarithmique de la relation de dispersion, et on trouve :

vg = α.vφ


3.32) Coecients de réexion au bout d'un câble coaxial

On considère un câble coaxial d'impédance caractéristique Zc, pour x < x0. Le câble se termine sur uneimpédance Z en x = x0.

1) Déterminer les coecients de réexion en amplitude pour la tension et l'intensité.2) En déduire le coecient de réexion en énergie.



1) En x = x0, le câble se termine sur une impédance Z. Cette impédance impose comme condition à lalimite

V (x0, t) = Z.I(x0, t) ∀t

Pour réaliser une telle condition, il faut supposer que se superposent

• une onde incidente qui se propage vers les x croissants : Vi = Zc.Ii ;

• une onde rééchie qui se propage vers les x décroissants : Vr = −Zc.Ir.L'onde dans le câble (pour x < x0), est

I = Ii + Ir

V = Vi + Vr = Zc.(Ii − Ir

)Donc, en x0, ∀t,

Zc.(Ii − Ir

)= Z.

(Ii + Ir

)En x0, ∀t,

Ii.(Zc − Z

)= Ir.

(Zc + Z

)Il vient d'après la condition à la limite précédemment énoncée

rI =Zc − ZZc + Z

et rV =Z − ZcZc + Z

= −rI

2) Aussi,

R =

∣∣∣∣∣−Zc.I2r

Zc.I2i

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ I2r

I2i

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ V 2r

V 2i

∣∣∣∣∣ce qui permet de conclure

R = |rV |2 = |rI |2 =

∣∣∣Z − Zc∣∣∣2∣∣∣Zc + Z∣∣∣2

3.33) Coecients de réexion et transmission à la jonction de deux câbles coaxiaux

On considère deux câble coaxiaux connectés en x = x0 :

• pour x < x0, l'impédance est Zc1 ;

• pour x > x0, l'impédance est Zc2 .

1) Déterminer les coecients de réexion et transmission en amplitude pour la tension et l'intensité.2) En déduire les coecients de réexion et transmission en énergie.

1) En x = x0, il y a continuité de l'intensité et de la tension à la limite :

V (x−0 , t) = V (x+0 , t) et I(x−0 , t) = I(x+

0 , t) ∀t

Pour réaliser une telle condition, il faut supposer que coexistent

• une onde incidente qui se propage dans le premier câble (pour x < x0) vers les x croissants : Vi = Zc1 .Ii ;

• une onde rééchie qui se propage dans le premier câble (pour x < x0) vers les x décroissants : Vr = −Zc1 .Ir.• une onde transmise qui se propage dans le second câble (pour x > x0) vers les x croissants : Vt = Zc2 .It.

L'onde dans le premier câble (pour x < x0), estI = Ii + Ir

V = Vi + Vr = Zc1 .(Ii − Ir

)En x0, ∀t, Vi + Vr = Vt ⇒ Zc1 .

(Ii − Ir

)= Zc2 It

Ii + Ir = It ⇒ 1Zc1

(Vi − Vr

)= 1

Zc2Vt



On peut réécrire les conditions à la limite de la façon suivante1 + rI = tI

1− rI =Zc2Zc1

tI

1 + rV = tV1− rV =

Zc1Zc2

tV

soit rI =

Zc1−Zc2Zc1+Zc2

= −rVtI =

2.Zc1Zc1+Zc2

=Zc1Zc2

tV

2) Du coup, R = |rV .rI | =

(Zc1−Zc2)2

(Zc1+Zc2)2

T = |tV .tI | =4.Zc1 .Zc2

(Zc1+Zc2)2

3.34) Coecients de réexion et transmission à la jonction de deux cordes

On s'intéresse à une corde très longue qui est composée de deux tronçons de masses linéiques µ1 (si x < 0)et µ2 (si x > 0), la tension étant toujours T0 ; le n÷ud en x = 0 est sans masse.

1) Déterminer les coecients de réexion et transmission en amplitude.

2) Entre quelles limites peuvent-ils varier ? Discuter ces cas suivant la valeur du coecient α =√

µ2

µ1.

1) On écrit

• la continuité de la déformation en x = 0 : y (x = 0−, t) = y (x = 0+, t) ∀t ;• la continuité des projections des tensions puisqu'il n'y a pas de masse discrète en x = 0 : Ty (x = 0−, t) =Ty (x = 0+, t) ∀t.

Or Fy = Zc.vy avec Zc =√µ.T0. Pour réaliser une telle condition, il faut supposer que coexistent

• une onde incidente qui se propage dans le premier câble (pour x < x0) vers les x croissants : Tyi =Zc1 .vyi =

√µ1.T0.j.ω.yi ;

• une onde rééchie qui se propage dans le premier câble (pour x < x0) vers les x décroissants : Tyr =−Zc1 .vyr = −

√µ1.T0.j.ω.yr.

• une onde transmise qui se propage dans le second câble (pour x > x0) vers les x croissants : Tyt =Zc2 .vyt =

√µ2.T0.j.ω.yt.

Ainsi, la première relation donne : yi + yr = yt soit 1 + r = t. D'autre part, la seconde relation donne :√µ1 −

√µ1r =

√µ2t. Ces deux conditions donnent :

r =√µ1−√µ2√

µ1+√µ2

= 1−α1+α

t =2.√µ1√

µ1+√µ2

= 21+α

2)

• α = 1 correspond à une seule corde de dimension innie, d'où r = 0 et t = 1 ;

• α = 0 correspond à une extrémité libre en x = 0 (attention l'onde transmise ne transporte pas d'énergiepuisque la masse de la deuxième corde est nulle), d'où r = 1 et t = 0 ;

• α =∞ correspond à un objet rigide en x = 0, d'où r = −1 et t = 0.



Résolution de problèmevendredi 20 novembre 2015

Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.

Les frettes de la guitare

Extrait de la page "frette" de wikipédia :disponible à l'adresse https: // fr. wikipedia. org/ wiki/ Frette_ ( musique)

Où sont disposées les frettes de la guitare ?

Les frettes sont des éléments de certains instru-ments de musique à cordes et à manche comme laguitare, la mandoline ou le banjo. Elles font partieintégrante du manche, étant serties dans la touche.Chaque frette correspond à une partie surélevéede la touche ; elle permet de choisir la longueurde corde qui va entrer en vibration entre le cheva-let et elle, donc de varier les notes jouées. Il s'agitdonc d'une pièce fondamentale de nombreux ins-truments.

Jusqu'à l'époque romantique, on utilisait aulieu des frettes des ligatures faites de cordes enboyau nouées autour du manche. Avec le dévelop-pement des techniques de trélage des métaux, ilest devenu possible de monter des cordes d'acierbeaucoup plus sonores dont la dureté excluaitl'emploi des ligatures en boyau. Ce changementinitié à la n du XVIIIe siècle en Italie a en-traîné l'abandon des luths classiques mais permisla oraison des guitares et mandolines. Les frettesétaient fréquemment en laiton autrefois, mais aucours de la seconde moitié du XXe siècle les alliagestype maillechort (nickel silver) ou cupro-nickel sesont généralisés.

Les frettes sont placées à des intervalles dé-terminés tout le long du manche. Ces intervallessont calculés pour reproduire le schéma d'un tem-pérament. Pour la plupart des guitares, il s'agitdu tempérament égal, qui divise l'octave en douzeintervalles chromatiques, les demi-tons.

Enoncé

1) Déterminer la distance depuis le chevalet jusqu'à la frette nn, sachant qu'une corde de guitare mesure64, 2 cm du chevalet à la tête.


https://fr.wikipedia.org/wiki/Frette_(musique)


Correction

1) Dans une gamme, la note fondamentale est séparée de sa première octave par 12 demi-tons. Chaquecase de la guitare générant une note à un demi-ton de sa voisine, la douzième frette est donc le milieu dela corde, car une octave est le résultat du doublement de la fréquence de la corde, qui équivaut à diminuersa longueur de moitié. Ainsi, considérons ln la longueur de la corde au niveau de la nième case et donc parextension l0, la longueur de la corde à vide.

Le fait que chaque case est située à un demi-ton de sa précédente signie que monter d'une case correspondà multiplier la fréquence de la corde par une valeur xe, noté r, et donc à diviser la longueur de la cordepar ce même nombre. r constitue de ce fait la raison d'une suite géométrique telle que car la douzième casecorrespond à l'octave, d'où r = 2

112 .

La longueur de la corde entre la frette n et le chevalet est donc donnée par la formule :

ln = l0 2−n12

La mesure sur le schéma donné est la suivante :n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15ln 61.9 58.4 55.0 51.8 48.7 45.9 43.4 41.0 38.7 36.7 34.8 32.6 30.8 29.0 27.2qui est très bien modélisée par la fonction théorique :

Travaux pratiquesvendredi 20 novembre 2015

La moitié de la classe fait un TP sur les ondes dans un câble coaxial.



Approche documentairevendredi 20 novembre 2015

Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Théo Godard et Victor Génot feront un exposé.

Chevaucher les ondes

Jean-Michel COURTY et Roland LEHOUCQIdées de physique c© Pour la Science.

Un mobile rattrapant les ondes qu'il émet au cours de son mouvement en subitles rudes eets. Au contraire, quand il les dépasse, il peut en proter. De violentsmouvements agitaient la carlingue d'un avion transsonique qui dépassait le mur

du son ; ce phénomène t courir de graves dangers aux pilotes d'essais quifranchirent en premier le mur du son après la Seconde guerre mondiale.Actuellement, la conception des avions supersoniques modernes permet

d'atténuer considérablement tous ces eets.

Un avion qui vole à la vitesse du son vibre tant qu'il est dicile à piloter. Depuis 1947, date à laquelle lemur du son fut vaincu par l'aviateur américain Charles Yeager, les pilotes savent que les fortes vibrationsqui, au passage du mur du son, secouent la carlingue d'un avion non préparé à cette n, disparaissent dès quesa vitesse excède celle du son.

L'apparition de vibrations au passage de la vitesse de propagation d'une onde est un phénomène général.Il existe ainsi un mur de l'onde pour chaque type : un mur de l'onde mécanique, un mur de la vagueetc. Quand la vitesse du mobile a dépassé celle de l'onde qu'il vient de chevaucher, celui-ci reprend une allurepaisible.Le mur de la caténaireEn 1990, les ingénieurs de la SNCF qui préparaient le record de vitesse du TGV furent confrontés au

phénomène : le train ne pouvait dépasser 500 kilomètres par heure car, à cette vitesse, le captage du courantdevient dicile à cause des mouvements qui agitent la caténaire (le câble tendu, suspendu à l'horizontale au-dessus du train où circule le courant).

Ce courant alimentant enénergie la motrice est prélevépar le pantographe, un bras ar-ticulé situé sur le toit.

Telle une corde de piano,la caténaire vibre verticale-ment dans une direction per-pendiculaire à son axe : desondes transverses s'y pro-pagent. Leur vitesse est d'au-tant plus grande que la caté-naire est légère et qu'elle esttendue (cette vitesse est égaleà la racine carrée du quotientde la tension par la masse parunité de longueur de la caté-naire).

À titre de comparaison, lacorde de piano qui donne lela du diapason (440 hertz) estsoumise à une tension d'en-viron 85 kilogrammes. D'unelongueur de 42 centimètres et



d'un diamètre de un millimètre, une telle corde d'acier (de densité 7,86) pèse environ 6,2 grammes par mètre.Les ondes qui la parcourent avancent à 370 mètres par seconde (1 330 kilomètres par heure) ; elles font ainsiexactement 440 aller et retour par seconde.

Le problème des ingénieurs de la SNCF était que les ondes transverses qui parcourent une caténaire sontplus lentes que sur une corde à piano et deviennent comparables aux vitesses des trains les plus rapides. Unecaténaire de TGV est constituée d'un câble prolé de cuivre pur d'une section de 150 millimètres carrés, soutenupar un câble porteur en bronze. Comme la densité du cuivre est de 8,9, la masse par unité de longueur d'untel câble est de quelque 1,4 kilogramme par mètre soit environ 200 fois plus que celle de la corde à piano déjàévoquée ; il est mis sous une tension 30 fois plus forte que celle de cette corde, soit 2 600 décanewtons. La vitessede propagation des ondes transverses le long de la caténaire est, par conséquent, seulement deux fois et demieplus faible que le long de la corde à piano. Elle vaut environ 500 kilomètres par heure.

Toutefois, contrairement au marteau du piano, le pantographe ne frappe pas la caténaire, mais la soulève.An de créer le bon contact électrique recherché, il pousse le câble de cuivre vers le haut. Lorsque le train est àl'arrêt, le pantographe soulève le câble avec une force d'environ cinq décanewtons ; la caténaire adopte la formed'un V renversé dont la pointe est soutenue par le pantographe. La situation est similaire lorsque le train sedéplace lentement. La vitesse augmentant, le V renversé dû au pantographe se déforme et des ondulations sonttransmises dans la caténaire.

L'amplitude de ces déformations augmente avec la vitesse d'autant plus que l'on s'approche de la vitesse depropagation des ondes. Le soulèvement de la caténaire atteint alors 30 à 35 centimètres par endroits : tout sepasse comme si le câble se dérobait devant le pantographe. Le phénomène dégrade le captage du courant jusqu'àentraîner la disjonction des engins de traction, voire des avaries sur les installations !

Ainsi, la vitesse de propagation de ce type d'onde apparaît comme une vitesse limite. Il existe un murde la caténaire analogue au mur du son. Sur une voie de TGV normale, où la vitesse de propagation desondes mécaniques est proche de 500 kilomètres par heure, un bon captage de l'électricité n'est possible que sile TGV ne dépasse pas 470 kilomètres par heure. La SNCF a d'ailleurs spécié que, lors des trajets normaux,la vitesse de ses TGV ne devait jamais excéder 70 pour cent de la vitesse de propagation des ondes le long dela caténaire. Pour franchir la barre symbolique des 500 kilomètres sur rails il faut donc augmenter la vitesse depropagation des ondes mécaniques le long de la caténaire. Pour y parvenir, les ingénieurs avaient le choix entredeux solutions : abaisser la masse par unité de longueur de la caténaire ou augmenter sa tension. La premièresolution imposait de changer de matériau ; moins dense que le cuivre, le cadmium aurait fait l'aaire. Cependant,le temps disponible pour préparer le record de vitesse ne susait pas pour concevoir, fabriquer et tester descaténaires d'un nouveau type. Aussi, les ingénieurs ont-ils choisi d'augmenter la tension de la caténaire. Aprèsdes tests de résistance des installations en place, la caténaire a été retendue sous une plus forte tension, 3 000décanewtons. Cette précaution a porté la vitesse de propagation des ondes mécaniques à 532 kilomètres parheure sur tout le tronçon du record. Finalement, le 18 mai 1990, la rame 325 a pu atteindre la vitesse record de515,3 kilomètres par heure. Conformément à ce qu'avaient prévu les ingénieurs, la caténaire ne se souleva pasplus de 30 centimètres.

Le mur des ondes de gravitéSi le mur de la caténaire semble infranchissable, la plupart des murs d'ondes ne le sont pas. Bien avant

le mur du son, un autre mur, moins célèbre avait été franchi, dès le début du XIXe siècle, sur les canauxanglais : le mur des ondes de gravité. Les ondes de gravité sont, par exemple, les vagues sur la mer ou cellesque crée un bateau sur une surface d'eau. Leur formation est un phénomène d'analyse délicate, car la vitessede propagation de telles vagues varie avec leurs longueurs d'onde, lesquelles dépendent à leur tour de leursconditions de création.



La situation se simplie toutefois dans un canal peu profond car la vitesse de propagation de toutes lesvagues dont la longueur d'onde est supérieure à la profondeur du canal y est constante ; elle est égale à la racinecarrée du produit de la profondeur du canal par l'accélération de la pesanteur.

Dans les canaux de faible profondeur (1,2 mètre) en usage en Angleterre au XIXe siècle pour la navigationde barges à fond plat, cette vitesse excède à peine 12 kilomètres par heure. Si le canal est étroit, les ondesen occupent toute la largeur, et le sillage en V habituellement observé à l'arrière des bateaux ne se développepas. Les ondes prennent naissance à l'avant du bateau et forment plusieurs ondulations qui suivent la poupede l'embarcation. Ces ondes se déplacent avec la barge, leurs crêtes restant quasi perpendiculaires au bord ducanal. Elles ralentissent le bateau qui doit en permanence gravir la vague qu'il crée devant lui, contrairementau surfeur qui prote de l'énergie de la vague qu'il chevauche en la descendant continuellement.

Comme les déformations d'une caténaire, ces ondulations de la surface de l'eau augmentent en amplitudequand s'accroît la vitesse de l'embarcation. Ces oscillations commencent à se briser et à écumer quand le bateauapproche de la vitesse de propagation des ondes dans le canal (12 kilomètres à l'heure). Ce phénomène dissipe del'énergie, ce qui freine encore plus le bateau. Cet eet est toutefois beaucoup moins gênant que les oscillations dela caténaire ou que les eets aérodynamiques à l'approche du mur du son. Le bateau peut continuer à naviguermalgré l'apparition de ces vagues turbulentes, et si l'on dispose d'un bon cheval, il est même possible de lui fairedépasser la vitesse des vagues.

Dans un savoureux texte de 1844, l'Anglais Scott Russel raconte comment le phénomène fut découvert parhasard dans le canal de Glasgow à Ardrossan. Un cheval fougueux tirant une barge de William Houston, l'un despropriétaires du canal, prit peur et partit au galop, tirant le bateau avec lui. Il fut observé par Monsieur Houstonà son grand étonnement, que les vagues pleines d'écume de la poupe qui dévastaient les rives habituellementavaient disparu ; le bateau semblait porté sur une eau bien plus lisse qui freinait beaucoup moins le bateau.Monsieur Houston eut l'intelligence de reconnaître l'intérêt de cette découverte pour la société exploitant le canal,dont il était actionnaire. Il s'occupa lui-même d'introduire sur le canal des bateaux naviguant à des vitessespouvant atteindre neuf miles par heure, ce qui augmenta considérablement les bénéces des propriétaires ducanal.

Une fois le mur de l'onde passé, les vagues créées par le bateau sont désordonnées et ont une amplitudetrès faible. L'eau est à nouveau plate devant le bateau et la résistance à l'avancement fortement réduite.

Le grand physicien Rutherford, à qui l'on demandait s'il suivait la mode dans ses recherches en physique,avait déjà répondu : Je crée la vague, je ne la suis pas ?. Comme le batelier de William Houston.

Enoncé

1) Corde de pianoOn s'intéresse à une corde de piano en acier suivant l'axe Ox, soumise à une tension T0, de masse linéique

µl, de longueur `. Vérier :1.a) qu'une telle corde "de densité 7, 86 d'un diamètre d'un millimètre pèse 6, 2 g ·m−1".1.b) que sur une telle corde, soumise à une tension "d'environ 85 kg", les ondes se propagent à la vitesse

de 1330 km ·h−1 (on donnera l'équation diérentielle suivies par les ondes transverses).1.c) qu'une telle corde "de longueur 42 cm donne le la du diapason à 440 Hz" (on donnera la forme des

solutions de l'équation diérentielle pour ce "la").2) Caténaire

2.a) Vérier qu'une caténaire "de section 150 mm2 de densité 8,9 tendue à 2 600 décanewtons" voit desondes se déplacer à 500 kilomètres par heures.

2.b) Que devient cette vitesse si les caténaires sont tendues à "3 000 décanewtons" ?



Correction

1) Corde de pianoOn s'intéresse à une corde de piano en acier suivant l'axe Ox, soumise à une tension T0, de masse linéique

µl, de longueur `. Vérier :1.a) Comme la masse volumique de l'eau est µ0 = 1, 0× 103 kg ·m−3, la masse linéique de la corde

de densité dc = 7, 86 et de diamètre d = 1mm est

µl = dc µ0π d2

4= 7, 86× 1, 0× 103 ×

π ×(10−3

)24

= 6, 2× 10−3 kg ·m−1

1.b) Sur une telle corde, soumise à une tension T0 = mg = 85 × 9, 81 = 8, 3 × 102 N", les ondes sepropagent à la vitesse

c0 =

√T0

µl=

√8, 3× 102

6, 2× 10−3= 3, 7× 102 m · s−1 = 1, 3× 103 km ·h−1

L'équation diérentielle suivies par les ondes transverses est celle de D'Alembert :

∂2ψ

∂x2=

1

c20

∂2ψ

∂t2

1.c) Une telle corde de longueur ` = 42cm présente comme mode fondamental celui qui correspond à

` =λ

2=

c02 f⇒ f =

c02 `

=3, 7× 102

2× 0, 42= 4, 4× 102 Hz

La forme des solutions de l'équation diérentielle pour ce "la" est celle d'une onde stationnaire :

ψ (x, t) = ψ0 sin (k x) sin (ω t+ ϕ) = ψ0 sin(π x`

)sin

(π c0 t

`+ ϕ

)2) Caténaire

2.a) Pour une caténaire "de section s = 150× 10−6 m2 de densité d0 = 8, 9 tendue avec une tensionT0 = 2600× 101 N, les ondes ont pour célérité

c0 =

√T0

µl=

√T0

d0 µ s=

√2, 6× 104

8, 9× 103 × 150× 10−6= 1, 4× 102 m · s−1 = 5, 0× 103 km ·h−1

2.b) Si les caténaires sont tendues à "3 000 décanewtons"

c0 =

√3, 0× 104

8, 9× 103 × 150× 10−6= 1, 5× 102 m · s−1 = 5, 4× 103 km ·h−1

Devoir surveillésamedi 21 novembre 2015

Un DS commun aura lieu samedi 21 novembre 2015, il portera sur toute la mécanique de uides : bilanspour les systèmes ouverts, cinématique des uides, uides parfaits et visqueux.


ondes mécaniques et électriques notes de coursalain.lerille.free.fr/2015/corriges10.pdfousv pouvez...

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