OGC1 : Les outils d’analyse de marchéLes indices, les taux de variation et les représentations graphiques.Les prévisions des ventes par l’ajustement linéaire.

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R.GROSS

1.Les représentations graphiques.•Attention a des analyses qui manquent de rigueur!

Exemple 1: Analyser le graphique suivant:

Source: le Monde, 2002.

Attention à l’échelle!

Exemple 2

« Emballement du chômage au 1er semestre 2004 »(données en milliers de chômeurs / source INSEE)

3680

3700

3720

3740

3760

3780

3800

3820

3840

janv-04

févr-04

mars-04

avr-04

mai-04

juin-04

Quelle conclusion peut être tirée à partir de ce graphique ?

Est-ce que le titre du graphique est bien choisi ?

Oops ! Stabilisation du chômage au 1er semestre 2004(données en milliers de chômeurs / source INSEE)

0

1000

2000

3000

4000

5000

janv-04

févr-04

mars-04

avr-04

mai-04

juin-04Quelle est la meilleure manière de présenter

les données sur l’évolution du chômage ?

Méthodologie pour analyser un graphique:• Déterminer le titre, la source, la signification des

axes, l’échelle retenue et les légendes.• Déterminer la tendance générale.• Chercher les écarts a cette tendance générale.• Expliquer les causes qui peuvent justifier cette

tendance et les éventuels écarts.

Représentation graphique d’une évolution:

2004 2005 2006Ordinateur portable 745 699 645voiture 15000 14000 13500

Evolution du prix d'un ordinateur et d'une voiture entre 2004 et 2006

On représente les évolutions par des courbes ou des histogrammes en bâton.

Représentation graphique d’une répartition:

2004 2005 2006X 26254 27536 28965Y 125000 140256 126547

Ca de l'entreprise X et Y

On représente une répartition par un diagramme circulaire (dit « camembert », et parfois un histogramme en bâton.

2. Variation et les taux de variation

La variation absolue

• Le calcul le plus simple pour mesurer une variation est la soustraction.

• Ici, le prix de l’ordinateur a diminué de 100€ (Valeur arrivée –Valeur départ) et le prix de la voiture a diminué de 1500€.

•Mais peut on comparer ces 2 chiffres?

2004 2005 2006Ordinateur portable 745 699 645voiture 15000 14000 13500

Evolution du prix d'un ordinateur et d'une voiture entre 2004 et 2006

La variation relative

départ devaleur

départ de valeur - arrivéed'valeur taux2004/2006

• Il faut donc comparer relativement la baisse du prix de l’ordinateur et de la voiture.

•Mais relativement à quoi?•A la valeur de départ bien sur!

•On a donc le taux de variation de 2006 a 2004 qui se calcule par:

Dans notre exemple:2004 2005 2006

Ordinateur portable 745 699 645voiture 15000 14000 13500

Evolution du prix d'un ordinateur et d'une voiture entre 2004 et 2006

•Pour l’ordinateur:(645-745)/745 = -0.134 = -13.4%

•Pour la voiture:(13500-15000)/15000 = -0.1 = -10%

•On notera que % signifie que l’on a multiplié le résultat par 100.

3. Les indices

• Il existe une autre méthode pour calculer une variation relative: l’indice.

•Un indice est un outil de comparaison. C'est un nombre qui nous renseigne sur la valeurrelative d'une variable par rapport à un pointde référence ou de comparaison pour lequell'indice prend la valeur 100 (certains indicesboursiers utilisent 1000).

•Un indice n'a pas d'unités.

exemple 2004 2005 2006Ordinateur portable 745 699 645voiture 13500 14000 15000

Evolution du prix d'un ordinateur et d'une voiture entre 2004 et 2006

• Si on choisit comme référence 2004, on affecte arbitrairement la valeur de 100 pour le prix de l’ordinateur et de la voiture.

• Donc si en 2004, le prix de la voiture est 100 au lieu de 745, quelle est le prix en 2005?

• C’est un simple produit en croix

2004 2005 2006Ordinateur portable 745 699 645Indice 100 93,8255034 86,5771812voiture 13500 14000 15000Indice 96,4285714 100 107,142857

Evolution du prix d'un ordinateur et d'une voiture entre 2004 et 2006

•Pour l’ordinateur: Indice en 2005 base 100 en 2004 est de : I05/04=(699/745)*100.Et I06/04 = (645/745)*100.

•Cela permet de voir rapidement les évolutions par rapport à une référence: le prix d’une voiture a diminué de 100-86.5=13.5%.

•Pour la voiture, on a I04/05=(13500/14000)*100 et I06/05=(15000/14000)*100

Formule

•Un indice s’observe à un date t, par rapport à une référence 0.

• Il est noté It/0.•On a: It/0=(Vt/V0)*100.• Il permet de voir rapidement les évolutions d’une

année sur l’autre.

La prévision des ventesAjustement linéaire par la méthode des points moyens et la méthode des moindres carrés

Prévision des ventes.

• Le problèmeOn vous donne l’évolution du chiffres d’affaires d’une entreprise, et on vous demande de prévoir le CA de l’année prochaine.

année x 1 2 3 4 5 6 7 8CA 1000 1100 1400 1800 2000 1700 2100 2300

Calcul de l’évolution de l’année précédente• On peut calculer le taux d’évolution la dernière année et

l’appliquer.• Ainsi,

▫ T = (va-vd)/vd= (2300-2100)/2100 = 9.5%• On en déduit pour l’année 9:

▫ CA 9= Ca 8 * 1.095 = 2518.5.• Le CA prévisionnel de l’année 9 est de 2518.50 €.

• Mais cette méthode n’utilise que les deux dernières années, et donc néglige beaucoup d’information (6 années).

L’ajustement linéaire

• On a la représentation graphique du CA. On recherche la tendance générale.

•Cela revient à chercher la droite qui passe au plus prés de tous les points.

• Il existe deux techniques à maîtriser:▫La méthode de Mayer (des doubles moyennes).▫La méthode des moindres carrés.

La méthode de Mayer

•Principe

On partage le nuage de points en 2

On calcule les points moyens de chaque série

On trace la droite qui passe par les points moyens.

Analytiquement

• Il faut calculer les coordonnées des deux points moyens.

•A(moyenne des premiers x; moyenne des premiers y).

•B (moyenne des derniers x; moyenne des derniers y).•On détermine alors l’équation y=ax+b de la droite qui

passe par A et B.

aaab

ab axybxx

yya

et

• Coordonnée de A:▫ Abscisse de A=moyenne(1;2;3;4)=(1+2+3+4)/4=2.5▫ Ordonnée de A=moyenne(1000;1100;1400;1800)=1325

• Coordonnée de B▫ Abscisse de B=moyenne(5;6;7;8)=(5+6+7+8)/4=6.5▫ Ordonnée de A=moyenne(2000;1700;2100;2300)=2025

• On cherche alors l’équation de la droite qui passe par A(2.5;1325) et B(6.5;2025).

année x 1 2 3 4 5 6 7 8CA 1000 1100 1400 1800 2000 1700 2100 2300

•On cherche alors l’équation de la droite y=ax+b qui passe par A(2.5;1325) et B(6.5;2025).

•On a donc un système de 2 équations à 2 inconnues:▫1325=a*2.5+b▫2025=a*6.5+b d’où a=(2025-1325)/(6,5-2,5)

•On trouve a=175 et b=887.5• La droite de tendance est donc

▫y=175*x+887.5

• La droite d’ajustement est donc ▫y=175*x+887.5

•On peut donc faire une prévision pour l’année 9:▫y=175*9+887.5=2462.5

année x 1 2 3 4 5 6 7 8CA 1000 1100 1400 1800 2000 1700 2100 2300

La méthode des moindres carrés.•En mathématiques, on vous démontre qu’il existe

une droite et une seule qui minimise les écarts des points de la série à cette droite.

•Cette droite est appelée droite de tendance (ou trend)

Principe

Principe

• La droite des moindres carrés est celle qui passe le plus près de chaque point.

•On minimise la somme des carrés de la différence des ordonnées de chaque point et des ordonnées des prévisions.

Formule

• La droite des moindres carrés passe par le point moyen, donc

• On démontre que:

2X

XYa

avec y-yYet x-xX

bxay

et xayb

Application

95,18042

7600a

725.860)5.4*95.180(1675b

x y X=x-moy(x) Y=y-moy(y) XY X²

1 1 000 -3,5 -675 2 363 12,25

2 1 100 -2,5 -575 1 438 6,25

3 1 400 -1,5 -275 413 2,25

4 1 800 -0,5 125 -63 0,25

5 2 000 0,5 325 163 0,25

6 1 700 1,5 25 38 2,25

7 2 100 2,5 425 1 063 6,25

8 2 300 3,5 625 2 188 12,25

TOTAL 36 13 400 7 600 42,00

MOYENNE 4,5 1 675

• La droite de tendance a donc pour équation:▫y = 180,95x + 860,725

•On peut donc faire une prévision pour l’année 9:▫y=180.95*9+860.725=2489.3

Le CA prévisionnel de l’année 9 est de 2489.30€.