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Notes sur le test Q de CochranF.-G. Carpentier - 20 mai 2009
1) Le test Q de Cochran
On a valu une variable dichotomiqueXsur un chantillon de n individus statistiques o1, o2, , on
observs dans ! conditions di""rentes c1, c2, .., c!. #es observations constituent donc un tableau de taille
$n, !% &
c1 c2 ... c!o1 x11 x12 ... x1ko2 x21 x22 ... x2k... ... ... ... ...
on xn1 xn2 ... xnko'xijprend ses valeurs dans (0,1).
On souhaite tudier si les chances de succ*s sont les m+mes dans toutes les conditions, autrement dit, ondsine par 1, 2, ..., !les "rquences de succ*s correspondant au ! conditions dans la population
parente et on souhaite tester lh/poth*se &
0& 1 2 ... !contre &
1& non$0%
#a statistique de test est alors &
Q =
k1( ) Gj2
j=1
k
G2
k Li Li
2
i=1
n
i=1
n
=
k k1( ) Gj G( )2
j=1
k
k Li Li
2
i=1
n
i=1
n
o' Gjdsine la somme sur la colonnej Gj = x iji=1
n
,Lidsine la somme sur la line i Li = x ij
j=1
k
, G
dsine la somme de toutes les valeurs du tableau G = x ij = G jj=1
k
= Lii=1
n
j=1
k
i=1
n
et G dsine la
mo/enne des valeurs Gj G =Gj
j=1
k
k
.
On remarque que cette valeur nest pas a""ecte par la suppression ventuelle des lines sans variation,
cest-3-dire composes uniquement de 1 ou uniquement de 0.
4ar consquent, dans toute la suite,nous supposerons que les lignes ne sont pas composes
uniquement de 1 ou uniquement de 0, cest-3-dire que nous supposerons que &
i =1,2,..,n, 1Li k1 .
5ans ces conditions, il est nralement indiqu que, pour k 4 et6ou nk 24 , la statistique 7 suit une
loi du !hi-2 3 $!-1% ders de libert 82.
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2) Diverses remarques sur le test Q de Cochran
:ous une apparente simplicit, le test de Cochran cache quelques di""icults, ce qui eplique par eemple,
quon ne trouve pas "acilement des tables relatives 3 ce test pour les petites valeurs de n et !.
1) Cas o k=2
#orsque le nombre de roupes kest al 3 2, la valeur de la statistique Qde Cochran est eactement celle
du !hi-2 de ;ac
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R
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X1[j,]
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probabilit dobserver une valeur de 7 suprieure ou ale 3 la valeur indique% est alement
mentionne.
Ku seuil de 1 par eemple, on constate que toute valeur de 7 suprieure ou ale 3 9 est sini"icative,
tandis que toute valeur de 7 in"rieure ou ale 3 J, est non sini"icative.
Ln revanche, au seuil de , la valeur D, par eemple, est sini"icative lorsque le protocole comporte
lines de somme 1 et 1 line de somme 2, alors que m+me H est une valeur est non sini"icative lorsque leprotocole comporte lines de somme 1 et lines de somme 2. #ensemble de ces lines ne peut donc
+tre rsum de mani*re simple en une seule line de table. Ln revanche, il serait possible de "aire des
tables simpli"ies en indiquant que &
- dune part toute valeur strictement suprieure 3 H est sini"icative au seuil de M
- dautre part toute valeur strictement in"rieure 3 D, est non sini"icative au seuil de M
- et en"in, pour les valeurs comprises, au sens lare, entre D, et H, il convient de se r"rer 3 des
tables dtailles.
5e telles tables pourraient +tre disposes comme suit &
:euil
! n :i, assure si 7 N3
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On dispose des observations suivantes &
c1 c2 c #i #i2
O1 1 1 0 2 I
O2 0 1 0 1 1
O 1 1 1 9
OI 0 1 0 1 1
O 0 1 0 1 1
OD 0 1 1 2 IOH 0 0 0 0 0
OJ 0 1 0 1 1
O9 1 1 0 2 2
O10 0 1 0 1 1
O11 0 0 0 0 0
O12 0 0 1 1 1
GQ 9 1 2H
pQ 0,2 0,H 0,2
>ci, le nombre de lines de somme di""rente de 0 ou est n9.
#a valeur de 7 est & Q =2 3 3
2+ 9
2+ 3
2( ) 15
2
( )
31527= 8 .
5e m+me, on peut ne considrer que les lines utiles du tableau &
On dispose des observations suivantes &
c1 c2 c #i #i2
O1 1 1 0 2 I
O2 0 1 0 1 1
OI 0 1 0 1 1
O 0 1 0 1 1OD 0 1 1 2 I
OJ 0 1 0 1 1
O9 1 1 0 2 I
O10 0 1 0 1 1
O12 0 0 1 1 1
GQ 2 J 2 12 1J
pQ 0,22 0,J9 0,22
#a valeur de 7 est & Q =2 3 2
2+ 8
2+ 2
2( )12
2
( )
31218
= 8 .
4our ! et n9, avec D lines ales 3 1 et lines ales 3 , la table de la statistique 7 donne &
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